ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένων...
17
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών «Γραμμική Άλγεβρα & Αναλυτική Γεωμετρία» (ΕΜ111) – Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 3 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Πόσοι μεμονωμένοι πολλαπλασιασμοί χρειάζονται όταν ένας m n × πίνακας Α πολλαπλασιάζεται: α) με ένα n-διάστατο διάνυσμα x G ; β) με ένα n p × πίνακα Β; Άσκηση 2: Δώστε παραδείγματα 4 4 × και υπολογίστε το ίχνος κάθε πίνακα για τις περιπτώσεις: α) διαγώνιου πίνακα, β) άνω τριγωνικού πίνακα, γ) κάτω τριγωνικού πίνακα Άσκηση 3: Εξετάστε αν καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής, και δώστε ένα αντιπαράδειγμα στις ψευδείς περιπτώσεις. α) Αν η 1 η και η 3 η στήλη του Β είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την 1 η και 3 η στήλη του ΑΒ. β) Αν η 1 η και η 3 η γραμμή του Β είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την 1 η και 3 η γραμμή του ΑΒ. γ) Αν η 1 η και η 3 η γραμμή του Α είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την 1 η και 3 η γραμμή του ΑΒ. δ) 2 2 2 ( ) AB AB = . Άσκηση 4: Το γινόμενο δύο κάτω τριγωνικών πινάκων είναι πάλι κάτω τριγωνικός. Δώστε ένα παράδειγμα 3 3 × και εξηγήστε πως αυτό έπεται από τους νόμους του πολλαπλασιασμού πινάκων. Άσκηση 5: Βρείτε παραδείγματα πραγματικών πινάκων 2 2 × , τέτοιων ώστε: α) 2 A I =− , β) 2 0 B = , με 0 B ≠ , γ) CD DC =− , με 0 CD ≠ , δ) 0 EF = , χωρίς κανένα στοιχείο των Ε & F να είναι 0. Άσκηση 6: Αν για κάθε πίνακα M( ) ∈ \ n B , ισχύει AB BA = με 0 A ≠ , τότε ο Α είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού (μοναδιαίου) πίνακα. Αποδείξτε αυτήν την πρόταση για την περίπτωση που 2 n = . Άσκηση 7: Ποιοι από τους επόμενους πίνακες είναι ίσοι με 2 ( ) A B + , για κάθε , M( ) ∈ \ n AB ; α) 2 ( ) B A + , β) ( )( ) A B B A + + , γ) ( ) ( ) AA B BA B + + + , δ) 2 2 A AB BA B + + + , ε) 2 2 2 A AB B + + Άσκηση 8: Εφαρμόστε απαλοιφή για να βρείτε τους παράγοντες L και U των πινάκων: α) 2 1 8 7 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , β) 3 1 1 1 3 1 1 1 3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , γ) 1 1 1 1 4 4 1 4 8 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Άσκηση 9: Λύστε την εξίσωση 1 0 0 2 4 4 2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 0 1 2 u v w ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣⎦ , αναλύοντας την σε δύο τριγωνικές εξισώσεις, Lc b = και Ux c = . Άσκηση 10: Πώς θα μπορούσατε να παραγοντοποιήσετε τον πίνακα Α σε ένα γινόμενο UL, δηλ. άνω τριγωνικού επί κάτω τριγωνικό; Θα είχε τους ίδιους παράγοντες με τον A LU = ; Άσκηση 11: Λύστε τα ακόλουθα συστήματα με απαλοιφή, κάνοντας εν ανάγκη εναλλαγή γραμμών: α) 4 2 2 2 8 3 32 1 u v w u v w v w + + =− ⎧ ⎪ − − + = ⎨ ⎪ + = ⎩ , β) 0 0 1 v w u v u v w + = ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ Ποιοι πίνακες μεταθέσεων απαιτούνται;
Transcript of ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Εφαρμοσμένων...
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
«Γραμμική Άλγεβρα & Αναλυτική Γεωμετρία» (ΕΜ111) – Χειμερινό Εξάμηνο 2008-2009 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης
3Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Πόσοι μεμονωμένοι πολλαπλασιασμοί χρειάζονται όταν ένας m n× πίνακας Α πολλαπλασιάζεται: α) με ένα n-διάστατο διάνυσμα x ; β) με ένα n p× πίνακα Β; Άσκηση 2: Δώστε παραδείγματα 4 4× και υπολογίστε το ίχνος κάθε πίνακα για τις περιπτώσεις: α) διαγώνιου πίνακα, β) άνω τριγωνικού πίνακα, γ) κάτω τριγωνικού πίνακα Άσκηση 3: Εξετάστε αν καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής, και δώστε ένα αντιπαράδειγμα στις ψευδείς περιπτώσεις. α) Αν η 1η και η 3η στήλη του Β είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την 1η και 3η στήλη του ΑΒ. β) Αν η 1η και η 3η γραμμή του Β είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την 1η και 3η γραμμή του ΑΒ. γ) Αν η 1η και η 3η γραμμή του Α είναι ίδιες, το ίδιο συμβαίνει και με την 1η και 3η γραμμή του ΑΒ. δ) 2 2 2( )AB A B= . Άσκηση 4: Το γινόμενο δύο κάτω τριγωνικών πινάκων είναι πάλι κάτω τριγωνικός. Δώστε ένα παράδειγμα 3 3× και εξηγήστε πως αυτό έπεται από τους νόμους του πολλαπλασιασμού πινάκων. Άσκηση 5: Βρείτε παραδείγματα πραγματικών πινάκων 2 2× , τέτοιων ώστε: α) 2A I= − , β) 2 0B = , με
0B ≠ , γ) CD DC= − , με 0CD ≠ , δ) 0EF = , χωρίς κανένα στοιχείο των Ε & F να είναι 0. Άσκηση 6: Αν για κάθε πίνακα M ( )∈ nB , ισχύει AB BA= με 0A ≠ , τότε ο Α είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού (μοναδιαίου) πίνακα. Αποδείξτε αυτήν την πρόταση για την περίπτωση που 2n = . Άσκηση 7: Ποιοι από τους επόμενους πίνακες είναι ίσοι με 2( )A B+ , για κάθε , M ( )∈ nA B ; α) 2( )B A+ , β) ( )( )A B B A+ + , γ) ( ) ( )A A B B A B+ + + , δ) 2 2A AB BA B+ + + , ε) 2 22A AB B+ + Άσκηση 8: Εφαρμόστε απαλοιφή για να βρείτε τους παράγοντες L και U των πινάκων:
α) 2 18 7⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, β) 3 1 11 3 11 1 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, γ) 1 1 11 4 41 4 8
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Άσκηση 9: Λύστε την εξίσωση 1 0 0 2 4 4 21 1 0 0 1 2 01 0 1 0 0 1 2
uvw
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, αναλύοντας την σε δύο τριγωνικές
εξισώσεις, Lc b= και Ux c= . Άσκηση 10: Πώς θα μπορούσατε να παραγοντοποιήσετε τον πίνακα Α σε ένα γινόμενο UL, δηλ. άνω τριγωνικού επί κάτω τριγωνικό; Θα είχε τους ίδιους παράγοντες με τον A LU= ; Άσκηση 11: Λύστε τα ακόλουθα συστήματα με απαλοιφή, κάνοντας εν ανάγκη εναλλαγή γραμμών:
α) 4 2 2
2 8 3 321
u v wu v w
v w
+ + = −⎧⎪− − + =⎨⎪ + =⎩
, β) 00
1
v wu vu v w
+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩
Ποιοι πίνακες μεταθέσεων απαιτούνται;
Άσκηση 12: Βρείτε τις παραγοντοποιήσεις ′=PA LDU και επαληθεύστε τις, για
α) 0 1 11 0 12 3 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, β) 1 2 12 4 21 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Άσκηση 13: Ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών a, b, c οδηγούν σε εναλλαγές γραμμών και ποιες κάνουν τους ακόλουθους πίνακες ιδιόμορφους;
α) 1 2 0
8 30 5ab
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, β) 2
6 4c⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.
