ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

«Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) – Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης

4Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Εφαρμόστε τη διαδικασία απαλοιφής Gauss για να επιλύσετε καθένα από τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων:

α)

2 3 54 2 3 1

2 7 33 1

u v zu v w zu v wu v w z

− − =⎧⎪ + − + = −⎪⎨− + + =⎪⎪− + + − =⎩

, β) 2 54 2 2 6

2 7 2 9

u v wu v wu v w

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪− + + =⎩

, γ) 2

2 3 53 4 6

u v wu wu v w

+ + =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

, δ)

2 22 3 5

3 34 8 6 4 8

u v w zu w zu v w zu v w z

+ + − =⎧⎪ + − =⎪⎨− + − + = −⎪⎪ + + − =⎩

Άσκηση 2: Χρησιμοποιήστε απαλοιφή Gauss για να λύσετε τα ακόλουθα συστήματα:

α) 4 2 2

2 8 3 321

u v wu v w

v w

+ + = −⎧⎪− − + =⎨⎪ + =⎩

, β) 00

1

v wu vu v w

+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

Άσκηση 3: Έστω το σύστημα εξισώσεων:

22 2 5

3 2 1

u v wu v wu v w

+ + = −+ − =− + = −

α) Εφαρμόστε τη διαδικασία απαλοιφής Gauss για να το επιλύσετε. β) Αλλάξτε το συντελεστή του v στην τρίτη εξίσωση, ώστε να πάρετε ένα σύστημα που δεν έχει λύση. γ) Αλλάξτε τη σταθερά στο δεξί μέλος της νέας εξίσωσης, έτσι ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις. Άσκηση 4: Βρείτε την τάξη των ακόλουθων πινάκων, για τις διαφορετικές τιμές των πραγματικών αριθμών

,λ α . Τι συμπέρασμα βγάζεται για τη λύση των ομογενών συστημάτων 0Ax = και 0Bx = ; Βρείτε τις λύσεις τους για τις διαφορετικές τιμές των παραμέτρων ,λ α .

α) 2

6 4A

λ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, β) 2

1 1 2 11 1 1

1 1 4 1

Bα

α

α α α

⎡ ⎤− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + +⎣ ⎦

.

Άσκηση 5: Έστω 1 2 0 10 1 1 01 2 0 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

α) Χωρίς να υπολογίσετε οτιδήποτε, τι συμπέρασμα βγάζετε για τη λύση του συστήματος 0=Ax ; β) Ποια είναι η τάξη του Α; γ) Προσδιορίστε τις βασικές και τις ελεύθερες μεταβλητές του συστήματος 0=Ax και βρείτε τη λύση του. δ) Τι έχετε να παρατηρήσετε για το πλήθος λύσεων του μη-ομογενούς συστήματος =Ax b ; Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι συντεταγμένες του διανύσματος b , έτσι ώστε το =Ax b να έχει λύση (δηλαδή, να μην είναι αδύνατο);

ε) Αλλάξτε κατάλληλα το στοιχείο ( )34A έτσι ώστε το =Ax b να έχει άπειρες λύσεις 3∀ ∈b . Άσκηση 6: Προσδιορίστε την κλιμακωτή μορφή U, τις βασικές μεταβλητές, τις ελεύθερες μεταβλητές και τη γενική λύση του ομογενούς συστήματος 0=Ax , για

0 1 4 00 2 8 0

A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Ποια είναι η τάξη του πίνακα Α; Βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι συντεταγμένες του διανύσματος b , έτσι ώστε το μη-ομογενές σύστημα =Ax b να έχει λύση. Σ’ αυτήν την περίπτωση, γράψτε τη γενική λύση του =Ax b ως άθροισμα μιας ειδικής του λύσης και της γενικής λύσης του ομογενούς συστήματος 0=Ax .

Άσκηση 7: Έστω οι πίνακες της άσκησης 1 του 2ου φυλλαδίου:

1 2 3 07 1 3 46 5 0 23 4 1 1

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

,

1 0 1 42 3 1 43 1 0 11 11 2 1

B

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

,

από τη λύση της οποίας ξέρουμε ότι det 56A = − , det 0B = , καθώς και τον 1A− . α) Ποιο συμπέρασμα μπορείτε να βγάλετε άμεσα για την τάξη κάθε πίνακα, από τις τιμές των det A και

detB ; β) Τι συμπέρασμα βγάζετε για τις λύσεις των ομογενών συστημάτων 0=Ax και 0By = ; γ) Τι συμπέρασμα βγάζετε για τις λύσεις των μη-ομογενών συστημάτων =Ax b και By b= , με 0b ≠ ; δ) Ποια η λύση του =Ax b για (1,2,0, 3)b = − ; Άσκηση 8: Έστω n nA ×∈ . α) Αν κάθε γραμμή του Α έχει άθροισμα στοιχείων μηδέν, δείξτε ότι det 0A = . β) Αν κάθε γραμμή του Α έχει άθροισμα στοιχείων 1, δείξτε ότι det( ) 0A I− = . Δείξτε με κάποιο παράδειγμα ότι αυτό δεν σημαίνει det 1A = .

Άσκηση 9: Βρείτε παραδείγματα πραγματικών πινάκων 2 2× , τέτοιων ώστε: α) CD DC= − , με CD O≠ , β) EF O= , χωρίς κανένα στοιχείο των Ε & F να είναι 0. Άσκηση 10: Επιλύστε τα παρακάτω συστήματα με αγνώστους , ,x y z∈ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του

Cramer: α) 10

ax bycx dy

+ =⎧⎨ + =⎩

, β) 2 3

3 2 4 22 3 6

x y zx y zx y z

+ + =⎧⎪ − − = −⎨⎪ + − = −⎩