ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ–ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ–ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ JULIA ΚΑΙ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ MANDELBROT

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΟΥΜΕΛΙΩΤΗ Ε. ΕΛΕΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : Δρ. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΒΟΓΓΛΗΣ

ΑΘΗΝΑ 2004

I

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Την τελευταία εικοσαετία οι επιστήμονες έχουν αναπτύξει ένα νέο τρόπο για την κατανόηση της πολυπλοκότητας της φύσης. Πρόκειται για τις επιστήμες του Χάους και της fractal Γεωμετρίας. Στην αρχή η σχέση των fractal δομών και του χάους δεν ήταν προφανής, αργότερα όμως αποδείχθηκε ότι οι σχέσεις τους είναι ιδιαίτερα στενές. Οι fractal δομές πρόσφεραν μια νέα και χρήσιμη γλώσσα για την έκφραση του χάους και για αυτό έχει σημασία να τις εξετάσουμε λεπτομερέστερα. Η Γεωμετρία των fractals είναι μια επέκταση της Ευκλείδειας γεωμετρίας και μπορεί να χρησιμοποιηθεί, για την κατασκευή μοντέλων φυσικών δομών από φύλλα φτέρης μέχρι γαλαξίες.

Στην εισαγωγή αναφερόμαστε στα δυναμικά συστήματα και στα χαοτικά δυναμικά συστήματα, δίνονται οι ορισμοί τους και γίνεται μια περιληπτική αναφορά στο χάος και στην γεωμετρία των fractals. Επίσης δίνονται παραδείγματα fractal συνόλων και τα χαρακτηριστικά τους.

Στο πρώτο κεφάλαιο, διατυπώνουμε βασικούς μαθηματικούς ορισμούς και έννοιες που είναι απαραίτητες για την μελέτη των fractal συνόλων. Στην συνέχεια ορίζεται ο μετρικός χώρος (Η(Χ),h) του οποίου τα στοιχεία είναι τα μη κενά συμπαγή υποσύνολα ενός μετρικού χώρου (Χ,ρ), καθώς επίσης και η μετρική Hausdorff h. Σε αυτόν το χώρο “ζουν” τα fractals και με την βοήθεια κατάλληλης συνάρτησης συστολής κατασκευάζουμε fractals ως σταθερό σημείο της συνάρτησης συστολής με τη βοήθεια του θεωρήματος συστολής του Banach.

Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε την έννοια της fractal διάστασης και συγκεκριμένα της διάστασης Hausdorff–Besicovitch, που ορίζεται με την βοήθεια του εξωτερικού μέτρου Hausdorff. Επίσης δίνεται ο ορισμός της box διάστασης, και αποδεικνύεται η σχέση που ισχύει μεταξύ των δύο αυτών διαστάσεων. Τέλος δίνουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της Hausdorff και box διάστασης του συνόλου Cantor.

Το κεφάλαιο τρία αναφέρεται στην τοπική δομή των fractals (s–σύνολα), διατυπώνονται αποτελέσματα που αφορούν την “συγκέντρωση” των fractal σε ένα τυχόν σημείο. Ιδιαίτερα μελετάται η τοπική πυκνότητα και πως μπορεί να οριστεί μια έννοια εφαπτόμενης σε ένα σημείο.

Στο τέταρτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με τα σύνολα Julia. Δίνετε ο ορισμός του συνόλου Julia και διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί, καθώς και οι βασικές ιδιότητες των συνόλων αυτών. Στην συνέχεια αναφερόμαστε στην γεωμετρία των συνόλων Julia, στην συνεκτικότητά τους και στην διάστασή τους. Επίσης διατυπώνουμε ένα θεώρημα που αφορά την συνέχεια της μεταβολής του συνόλου Julia ως προς κάποια παράμετρο. Τέλος αναφερόμαστε σε κάποιες ιδιότητες των “σχεδόν κύκλων” καθώς και στη δυναμική κοντά στα αδιάφορα περιοδικά σημεία. Στο πέμπτο κεφάλαιο διατυπώνεται ο ορισμός του συνόλου Mandelbrot και ορισμένες ιδιότητές του. Γίνεται αναφορά στο κυρίως καρδιοειδές και στο μεγαλύτερο εξόγκωμα, καθώς και στην σχέση του συνόλου Mandelbrot με την λογιστική απεικόνιση και την ακολουθία Fibonacci. Στις τελευταίες παραγράφους του κεφαλαίου διατυπώνονται θεωρήματα που αφορούν την γεωμετρία των κεραιών του συνόλου Mandelbrot και τη σχέση τους με το δέντρο Farey. Δίνεται ο ορισμός των σημείων Misiurewicz, καθώς η τοπική αυτοομοιότητα του Mandelbrot και των συνόλων Julia στα σημεία αυτά.

II

Αναφερόμαστε επίσης στην τοπική ομοιότητα του Mandelbrot στα σημεία Misiurewicz με το αντίστοιχο σύνολο Julia. Τέλος, δίνονται εικόνες από τις πιο γνωστές περιοχές του Mandelbrot. Στον επίλογο γίνεται μια περιληπτική αναφορά σε ορισμένους τομείς που βρίσκουν εφαρμογή τα fractals. Με την ευκαιρία αυτή θα ήθελα να ευχαριστήσω την τριμελή επιτροπή που αποτελείται από τους : κ. Βόγγλη Νικόλαο Διευθυντή του κέντρου Αστρονομίας και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών της Ακαδημίας Αθηνών, την κ. Ευαγγελάτου–Δάλλα Λεώνη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών και τον κ. Μουσά Ξενοφών Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Αθηνών, για την ανάθεση της συγγραφής της διπλωματικής εργασίας και την συμμετοχή τους στην διαμόρφωσή της. Ιδιαίτερα, τον κ. Βόγγλη Νικόλαο για το ενδιαφέρον που έδειξε και τις υποδείξεις που μου έκανε, καθώς και την κ. Ευαγγελάτου–Δάλλα Λεώνη για την επιστημονική της συμβολή κατά την συγγραφή της διπλωματικής μου εργασίας. Τέλος τον κ. Δρακόπουλο Βασίλειο Διδάκτορα και Επιστημονικό Συνεργάτη του Τμήματος Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Αθηνών, για τις υποδείξεις που μου έκανε. Ρουμελιώτη Ελένη Φεβρουάριος 2004

III

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Κεφάλαιο 1 : Μαθηματικό Υπόβαθρο . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 Μετρικοί χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Πλήρης μετρικός χώρος . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων . . . . . . . . . . . 17 1.4 Σταθερό σύνολο ή ελκυστής συνάρτησης . . . . . . . . . . 18 1.5 Κατασκευή του μετρικού χώρου εντός του οποίου “ζουν”

τα fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Κατασκευή fractal συνόλων με Σ.Ε.Σ. . . . . . . . . . . . 19

Κεφάλαιο 2 : Fractal διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1 Μέτρο Lebesgue – Μέτρο Hausdorff . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Διάσταση Hausdorff – Besicovitch . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Διάσταση Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Βασική σχέση μεταξύ των διαστάσεων . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Υπολογισμός Hausdorff και Box διάστασης

του συνόλου Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Κεφάλαιο 3 : Τοπική δομή των fractals. (s–σύνολα) . . . . . . . . . 32

3.1 Εφαπτόμενες στα s–σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . 36 Κεφάλαιο 4 : Σύνολα Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 Σύνολα Julia και οι ιδιότητές τους . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Γεωμετρία των συνόλων Julia. Συνεκτικότητα – Διάσταση . . . . 44 4.3 Συνεχής εξάρτηση των συνόλων Julia από τις παραμέτρους . . . 53 4.4 Χαρακτηρισμός των “σχεδόν κύκλων” από την διάσταση . . . . 57 4.5 Η δυναμική κοντά στα αδιάφορα περιοδικά σημεία . . . . . . 58

Κεφάλαιο 5 : Σύνολο Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Σύνολο του Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.1.1 Καρδιοειδές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.2 Μεγαλύτερο εξόγκωμα . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.3 Σχέση Mandelbrot και Λογιστικής απεικόνισης . . . . . . 65 5.1.4 Σύνολο Mandelbrot και ακολουθία Fibonacci . . . . . . . 66

5.2 Το δέντρο Farey και η γεωμετρία των κεραιών του συνόλου Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Ομοιότητες μεταξύ του συνόλου Mandelbrot και των συνόλων Julia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4 “Χάρτης” με τις πιο γνωστές περιοχές του συνόλου Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Επίλογος : Εφαρμογές των fractals . . . . . . . . . . . . . . . 90 Βιβλιογραφία : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

IV

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Δυναμικά Συστήματα – Χαοτικά Δυναμικά Συστήματα

Η άποψη που είχαμε για το σύμπαν ήταν ότι είχε μία ντετερμινιστική συμπεριφορά μόνο που δεν γνωρίζαμε πλήρως τους νόμους που την καθόριζαν. Υποθέταμε δε ότι αν οι νόμοι θα γίνονταν εντελώς γνωστοί, τότε η εξέλιξη των διαφόρων συστημάτων θα μπορούσε θεωρητικά τουλάχιστον, να προβλεφθεί με απόλυτη ακρίβεια.

Όμως η θεωρία του Χάους και η Γεωμετρία των Fractals άλλαξαν αυτή την εικόνα. Εκείνο που προέκυψε από αυτές τις νέες θεωρίες, είναι ότι οι έννοιες “νομοτέλεια ή απόλυτος ντετερμινισμός” και “τυχαία μεταβολή” είναι δυνατόν να συνυπάρχουν και να μην αποκλείει η μία την άλλη και ότι η συνύπαρξη αυτή αποτελεί νόμο της φύσης. Η θεωρία του Χάους και η Γεωμετρία των Fractals αναφέρονται ακριβώς σε αυτό το θέμα της συνύπαρξης.

Όταν εξετάζουμε την μεταβολή μιας ανέλιξης που λαμβάνει χώρα κατά την διάρκεια μιας χρονικής περιόδου, τότε χρησιμοποιούμε όρους και έννοιες της θεωρίας του Χάους.

Όταν όμως μας ενδιαφέρει η δομή των διαφόρων μορφών μιας χαοτικής ανέλιξης, τότε χρησιμοποιούμε την ορολογία της Γεωμετρίας των Fractals, η οποία γεωμετρία είναι εκείνη, οι δομές της οποίας προσδίδουν “τάξη” στο χάος.

Έτσι θα μπορούσε κανείς να πει ότι η Γεωμετρία των Fractals είναι ένας τρόπος περιγραφής και ανάλυσης των πολύπλοκων μορφών που παρατηρούνται στη φύση. Η διαφορά από την Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι ότι οι βασικές μορφές της δεν είναι εύκολα “παρατηρήσιμες” όπως είναι η ευθεία, ο κύκλος, η σφαίρα κ.λ.π. της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Οι μορφές εδώ παρουσιάζονται μέσω αλγορίθμων, για αυτό και η βοήθεια των υπολογιστών είναι απαραίτητη έτσι ώστε να μπορούμε να έχουμε προσεγγιστική παρατήρηση.

Η ύπαρξη της σχέσης μεταξύ Χάους και της Γεωμετρίας των Fractals γίνεται αντιληπτή αν εξετάσουμε το σύνολο του Mandelbrot. Πρόκειται για ένα αντικείμενο (fractal) που ανακάλυψε ο Benoit Mandelbrot το 1980, αν και ήταν και πιο νωρίς γνωστό. Θεωρείται ως το πολυπλοκότερο και το πιο εντυπωσιακό σύνολο των μαθηματικών. Πρόκειται για ένα παράδειγμα τάξεως που επικρατεί στο Χάος. Παρά όμως το πολύπλοκο σχήμα του, ο αλγόριθμος που το παράγει είναι πάρα πολύ απλός. Η θεμελιώδης αρχή που χαρακτηρίζει τις φυσικές επιστήμες συνίσταται στην ικανότητα αυτών να συσχετίζουν το αίτιο με το αιτιατό. Δηλαδή με τους νόμους της βαρύτητας μπορούν να προβλεφθούν οι εκλείψεις ή οι εμφανίσεις των κομητών χιλιάδες χρόνια πριν. Αλλά η πρόβλεψη άλλων φαινομένων είναι αρκετά πιο δύσκολη. Για παράδειγμα, οι κινήσεις της ατμόσφαιρας υπακούουν τους νόμους της φυσικής όπως και οι κινήσεις των πλανητών, η πρόβλεψη όμως του καιρού είναι πολύ δύσκολη καθώς ο καιρός εξαρτάται από 12 και παραπάνω ποσότητες. Μερικές από αυτές είναι η θερμότητα, η ατμοσφαιρική πίεση, η υγρασία, η ταχύτητα του ανέμου, η νέφωση κ.α.

Ένα άλλο φαινόμενο είναι αυτό της παλίρροιας. Μπορεί να θεωρηθεί απλούστερο γιατί μπορεί να προβλεφθεί ευκολότερα από τον καιρό. Στην

1

πραγματικότητα όμως, το σύστημα που παράγει την παλίρροια εξαρτάται και αυτό, όπως και ο καιρός, από πολλές μεταβλητές όπως είναι το σχήμα των ακτών, η θερμοκρασία της θάλασσας, η περιεκτικότητα σε αλάτι, οι πιέσεις, τα επιφανειακά κύματα, οι θέσεις του Ήλιου και της Σελήνης κ.α. Όμως, σε αυτή την περίπτωση, οι μεταβλητές εξαρτώνται μεταξύ τους κατά τρόπο προβλέψιμο. Δηλαδή, οι παλίρροιες είναι ένα φαινόμενο τάξεως, ένα φαινόμενο ντετερμινιστικό, ενώ ο καιρός δεν είναι. Στην περίπτωση του καιρού οι διάφορες μεταβλητές επιδρούν μεταξύ τους κατά τρόπο άτακτο και μη προβλέψιμο. Άρα ο καιρός είναι ένα χαοτικό φαινόμενο. Μιλάμε για το απρόβλεπτο του καιρού όπως ακριβώς κάνουμε όταν ρίχνουμε τα ζάρια. Σε αυτές τις περιπτώσεις δεν υπάρχει σαφής σχέση μεταξύ της αιτίας και του αποτελέσματος, υπάρχουν στοιχεία τυχαιότητας. Βέβαια κάποιος θα μπορούσε να αμφιβάλλει για αυτό, υποστηρίζοντας ότι αν μπορούσαμε να συγκεντρώσουμε περισσότερες και ακριβέστερες πληροφορίες για τα υπό μελέτη φαινόμενα, τότε η πρόβλεψη θα μπορούσε να είναι ακριβής. Όπως π.χ. στην περίπτωση του καιρού, αν το δίκτυο των μετεωρολογικών σταθμών παρατήρησης ήταν πυκνότερο.

Όμως, η θεωρία του Χάους άλλαξε αυτή την άποψη, δηλαδή ότι αν τα δεδομένα των παρατηρήσεων ήταν περισσότερα ότι θα είχαμε και ακριβέστερη πρόβλεψη. Έτσι αποδείχθηκε, ότι απλά ντετερμινιστικά συστήματα αποτελούμενα από λίγα μόνο στοιχεία,μπορούν να παρουσιάσουν τυχαία συμπεριφορά, ότι η τυχαιότητα αυτή είναι ενδογενής στο σύστημα και η συγκέντρωση μεγαλύτερου αριθμού πληροφοριών δεν είναι δυνατόν να απαλείψει αυτήν. Η παρατηρούμενη αυτή θεμελιώδης τυχαιότητα ονομάστηκε ΧΑΟΣ. Ενδιαφέρον είναι ότι το Χάος είναι ντετερμινιστικό. Παράγεται δηλαδή από σταθερούς κανόνες που δεν έχουν στοιχεία τύχης. Στην πράξη δε, υπάρχουν επιπλέον μικρές αβεβαιότητες, όπως είναι τα πολύ μικρά σφάλματα που γίνονται στις μετρήσεις, των οποίων η επίδραση γίνεται μεγαλύτερη με την πάροδο του χρόνου. Έτσι παρά το γεγονός ότι η συμπεριφορά του υπό μελέτη φαινομένου βραχυπρόθεσμα είναι προβλέψιμη, δηλ. ντετερμινιστική, μακροπρόθεσμα είναι μη προβλέψιμη, δηλαδή χαοτική.

Με διάφορους τρόπους μπορεί να ελεγχθεί η παρουσία χαοτικής συμπεριφοράς, δηλαδή να βρεθεί ο λεγόμενος “ορίζοντας πρόβλεψης” του συστήματος. Πρόκειται για μια μαθηματική, φυσική ή χρονική παράμετρο, η οποία προσδιορίζει τα όρια εντός των οποίων είναι δυνατή θεωρητικά η πρόβλεψη, ενώ πέρα των ορίων αυτών δεν θα είναι ποτέ δυνατό να γίνει μετά βεβαιότητας πρόβλεψη. Για παράδειγμα έχει βρεθεί ότι ο ορίζοντας πρόβλεψης για τον καιρό δεν ξεπερνά τις 2 ή 3 εβδομάδες. Δηλαδή, όσο ακριβέστερα και αν αναλύσουμε τα δεδομένα για τον καιρό ή όσα περισσότερα και αν συλλέξουμε, δεν θα μπορέσουμε ποτέ να προβλέψουμε τον καιρό με ακρίβεια πέρα του χρονικού αυτού ορίζοντα πρόβλεψης.

Αυτό παρατηρήθηκε από τον Ed Lorenz το 1960 στην εργασία του για την μελέτη προτύπου για χρήση αριθμητικών προβλέψεων του καιρού. Στο πρότυπο που έδωσε, χρησιμοποίησε ένα πλήθος από εξισώσεις. Όταν έλυσε αριθμητικά το σύστημα, διαπίστωσε ότι κάποια σωματίδια είχαν πολύ περίπλοκη τροχιά και επίσης ότι τέτοια τροχιά πλησίαζε πάντα το ίδιο γενικό σχέδιο κάποιου ελκυστή. Το σχέδιο είχε σχήμα πεταλούδας και είναι τώρα γνωστό ως Lorenz attractor και το φαινόμενο αυτό πήρε την ονομασία “Butterfly Effect”.

2

Ελκυστής Lorenz Ο Lorenz περιγράφει το “ντετερμινιστικό χάος” ως εξής : Όταν κατά την διάρκεια μιας σειράς διαδοχικών μετρήσεων μιας ποσότητας γίνει κάποιο σφάλμα, τότε το σφάλμα αυτό με την επανάληψη της μέτρησης διαρκώς μεγαλώνει. Το φαινόμενο του χάους εκδηλώνεται όταν το μέγεθος του σφάλματος αυξανόμενο γίνει τόσο μεγάλο όσο και το μέγεθος της αρχικά μετρηθείσας ποσότητας. Αξίζει όμως να τονιστεί ότι τα φαινόμενα που παρατήρησε ο Lorenz λαμβάνουν χώρα και σε πολύ πιο απλά συστήματα από εκείνο του καιρού, όπως π.χ το σύστημα z→z2+c. Αυτό σημαίνει ότι η απλότητα μιας διαδικασίας δεν πρέπει κατά ανάγκη να μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι και οι συνέπειες αυτής θα είναι και αυτές απλές.

Τώρα όσον αφορά τα Fractals και τις βασικές έννοιες της θεωρίας τους, πρέπει να πούμε ότι αυτά σαν εικόνες, δομές ή σχήματα δεν πρέπει να θεωρούνται ως στατικά αντικείμενα. Για να έχουμε περισσότερες πληροφορίες για τα αντικείμενα αυτά, θα πρέπει να μας ενδιαφέρει όχι μόνο η πολύπλοκη γεωμετρική εικόνα τους, αλλά κυρίως η δυναμική διαδικασία που ακολουθείται για τον σχηματισμό των Fractals αντικειμένων, η οποία είναι η “επανάληψη”. Το κλασσικό παράδειγμα απλής διαδικασίας με εξαιρετικά πολύπλοκες συνέπειες είναι αυτή που καθορίζεται από την x2+c. Η περιγραφή της είναι η εξής : Εκλέγουμε τον αριθμό c, έστω c=–2 και μια τιμή για το x, έστω x=0,5. Επαναληπτική διαδικασία : Υπολογίζουμε την παράσταση x2+c, c=–2 και x=0,5 και βρίσκουμε 0,252–2=–1,75. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία θέτοντας στην θέση του x την τιμή –1,75. Βρίσκουμε 1,0625 κ.λ.π. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα που παίρνουμε μετά από 4 επαναλήψεις της ίδιας διαδικασίας.

3

x x2+c , c=–2 0,5 –1,75

–1,75 1,0625 1,0625 –0,87109375

–0,87109375 –1,2411956787109375 Παρατηρούμε ότι μετά από κάθε επανάληψη το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων διπλασιάζεται, πράγμα που καθιστά αδύνατη την απόκτηση ακριβών αποτελεσμάτων, διότι οι υπολογιστές έχουν θέσεις για πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Αν συνεχίσουμε τώρα την παραπάνω διαδικασία, παίρνοντας τιμές κατά προσέγγιση δηλαδή μέχρι κάποιο δεκαδικό ψηφίο, τότε το σφάλμα που κάναμε όσο μικρό και αν είναι στην αρχή, αυξάνει ολοένα και αποκτά μεγάλες διαστάσεις, καθιστώντας τα λαμβανόμενα αποτελέσματα ανακριβή. Μέσω αυτής της διαδικασίας δημιουργείται το σύνολο του Mandelbrot το οποίο δείχνει την σχέση που υπάρχει μεταξύ Χάους και Γεωμετρίας των Fractals.

Πριν όμως εξετάσουμε το θέμα αυτό από αυστηρότερη μαθηματική σκοπιά, θα πρέπει να αναφερθούμε στις έννοιες των δυναμικών συστημάτων και των χαοτικών δυναμικών συστημάτων.

Γενικά και απλά, καλούμε δυναμικό σύστημα κάθε απεικόνιση ενός συνόλου εντός του εαυτού του. Όμως, ο ακριβής ορισμός είναι η περιγραφή του από μαθηματικές εξισώσεις. Ας θεωρήσουμε ένα Ν–διάστατο χώρο εξαρτημένων μεταβλητών xΚ(t), Κ=1,2,...,Ν που έχουν ως μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή τους το χρόνο t και αποτελούν συνιστώσες του διανύσματος :

x(t)=(x1(t),x2(t),…,xN(t)) , t∈Ι=(α,β) όταν ο χρόνος είναι συνεχής στο διάστημα Ι (έστω ότι οι μεταβλητές μας είναι πραγματικές) ή ενός διανύσματος :

xn=x(tn)=(x1,n , x2,n , …,xN,n) , xK,n=xK(tn) όταν ο χρόνος παίρνει διακριτές τιμές tn (n ακέραιος). Η εξέλιξη στον χρόνο των διανυσμάτων αυτών, δίνεται από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης αν το t είναι συνεχές :

•

= xdtdx =f(x,t) ή =fKx

•

Κ(x,t) , K=1,2,…,N

ή ένα σύστημα εξισώσεων διαφορών : xn+1=g(xn) ή xK,n+1=gK(xn) , K=1,2,…,N

αν t διακριτό και ορίζεται ως το δυναμικό σύστημα που περιγράφει το φυσικό φαινόμενο που μας ενδιαφέρει. Οι διανυσματικές συναρτήσεις f και g αποτελούν την “μαθηματικοποίηση” του φαινομένου και φυσικά διαφέρουν ανάλογα με τους φυσικούς νόμους που διέπουν κάθε φαινόμενο.

4

Παραδείγματα : 1. Κίνηση αρμονικού ταλαντωτή. Η θέση x(t) ενός αρμονικού ταλαντωτή, μάζας m που κινείται σε μία διάσταση, σύμφωνα με το νόμο του Hooke, δίνεται από την εξίσωση της Κλασσικής Νευτώνειας Μηχανικής

Kxxmtdxdm 2

2

−==⋅⋅

όπου Κ η σταθερά του ελατηρίου. Με την εισαγωγή νέων μεταβλητών, η εξίσωση αυτή γράφεται ως ένα δυναμικό σύστημα δύο εξισώσεων πρώτης τάξης (θέτοντας x1=x) :

•

1x = x2 = f(x1 , x2) •

2x = –mK x1 = f2(x1 , x2)

2. Σύστημα Αλληλεπιδρώντων Οργανισμών (Lotka – Volterra). Έστω ότι x1(t) και x2(t) είναι οι πληθυσμοί δύο ζώντων οργανισμών, που αναπτύσσονται και αλληλεπιδρούν (πολλαπλασιάζονται, τρώγονται μεταξύ τους κ.λ.π.) με τρόπο που μπορεί, σύμφωνα με το αποτέλεσμα κάποιων παρατηρήσεων, να περιγραφεί από εξισώσεις της μορφής :

•

1x = αx1 – x1x2 , = –bx•

2x 2 + x1x2

(α,b θετικές παράμετροι). Η μελέτη των εξισώσεων αυτών θα μπορούσε να απαντήσει σε ερωτήματα σχετικά με την εξέλιξη των πληθυσμών x1,x2 στο μέλλον : αν π.χ. ένα από αυτά τα είδη κινδυνεύει να εκλείψει, ή αν υπάρχει άλλη σταθερή κατάσταση στην οποία τείνει το σύστημα καθώς t→∞ κ.λ.π.

Οι λύσεις λοιπόν των εξισώσεων δυναμικών συστημάτων μας περιγράφουν την ιστορία του συστήματος (t<0) και το μέλλον τους (t>0) στον χρόνο. Τι γίνεται όμως αν οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές; Δεν υπάρχει ακόμη καμία γενική θεωρία (αντίστοιχη των γραμμικών) που να επιτρέπει την λύση τέτοιων συστημάτων.Αυτό όμως που μας απασχολεί είναι να καταλάβουμε τι είδους συμπεριφορά μπορούμε να περιμένουμε από τέτοια μη γραμμικά δυναμικά συστήματα. Βέβαια τα περισσότερα φαινόμενα που συναντάμε στην φύση είναι μη γραμμικά και εμφανίζουν μία “ακανόνιστη” και “απρόβλεπτη” εξέλιξη στον χρόνο που ονομάσαμε χαοτική συμπεριφορά. Δίνουμε τώρα έναν πιο ακριβή ορισμό του χαοτικού δυναμικού συστήματος. Ο επόμενος ορισμός διατυπώθηκε από τον Devaney : Ορισμός : Έστω (Χ,f) ένα δυναμικό σύστημα, όπου Χ μετρικός χώρος και f:Χ→Χ συνεχής. Το δυναμικό σύστημα (Χ,f) καλείται χαοτικό αν :

1. Είναι μεταβατικό. 2. Τα περιοδικά του σημεία είναι πυκνά στο Χ. 3. Εμφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες.

Το ότι το δυναμικό σύστημα (Χ,f) είναι μεταβατικό σημαίνει ότι : για κάθε x∈X και y∈X, υπάρχει ένα σημείο z, έτσι ώστε η τροχιά του να περνάει όσο

5

κοντά θέλουμε και από το x και από το y, δηλαδή υπάρχουν κ1,κ2∈ : f (z) και f (z) να είναι οσοδήποτε γειτονικά θέλουμε του x και του y.

1κ

2κ

Τώρα, αν f: Χ→Χ απεικόνιση και f(x)=x, τότε το x λέγεται σταθερό σημείο της f. Αν υπάρχει κ∈ : fκ(x)=x, τότε το x καλείται περιοδικό σημείο του δυναμικού συστήματος, δηλαδή αν είναι κάποιο σταθερό σημείο της απεικόνισης fκ για κάποιο κ. Η (2) δηλώνει ότι αρκεί η γνώση των περιοδικών σημείων για να πάρουμε (ως όριό τους) το οποιοδήποτε σημείο του Χ. Το δυναμικό σύστημα λέμε ότι εμφανίζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες, αν υπάρχει δ>0 έτσι ώστε, για κάθε x και για κάθε ε>0 υπάρχει y με d(x,y)<ε και κ∈ έτσι ώστε :

d (fκ(x) , fκ(y)) ≥ δ , δηλαδή οι τροχιές αρχίζουν όσο θέλουμε κοντά και ύστερα από πεπερασμένο πλήθος (: κ) επαναλήψεων απομακρύνονται,καθώς η απόσταση των σημείων τους fκ(x) και fκ(y) γίνεται μεγαλύτερη από δ. Πιο ειδικά η (3) υποδηλώνει ότι είναι αδύνατη η ακριβής μακροπρόθεσμη αριθμητική προσέγγιση των τροχιών της f. Γενικά αυτές οι συνθήκες είναι δύσκολο να ελεγχθούν. Έτσι μπορεί να δειχθεί ότι υπάρχει ένα υποσύνολο π.χ. του Χ (ένας ελκυστής) στον οποίο η δυναμική συμπεριφορά της απεικόνισης f είναι χαοτική. Πριν όμως αναφέρουμε περιληπτικά πως πετυχαίνεται η μετάβαση στο χάος, παραθέτουμε τις έννοιες του ελκυστή και απωθητή. Είπαμε ότι ένα δυναμικό σύστημα είναι απλά ένα σχήμα επανάληψης fκ, στο οποίο μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά της ακολουθίας των επαναλήψεων ή οι τροχιές για διάφορα αρχικά σημεία x, και ιδιαίτερα για μεγάλο κ. ( ) ∞=1κ

κ xfΕπίσης είπαμε, ότι μερικές φορές η fκ(x) μπορεί να εμφανιστεί να περιφέρεται στην τύχη, παραμένοντας όμως πάντα κοντά σε ένα συγκεκριμένο σύνολο, που μπορεί να είναι fractal, που καλείται ελκυστής fractal ή παράξενος ελκυστής. Δηλαδή, ένας ελκυστής είναι σύνολο στο οποίο συγκλίνουν όλες οι γειτονικές τροχιές. Είναι ένα κλειστό, αναλλοίωτο σύνολο υπό την f. Παρομοίως, ένα κλειστό αναλλοίωτο σύνολο υπό την f, από το οποίο όλα τα γειτονικά σημεία που δεν ανήκουν σε αυτό απομακρύνονται επαναλαμβανόμενα, ονομάζεται απωθητής. Ένας ελκυστής ή απωθητής μπορεί να είναι ένα μεμονωμένο σημείο ή τροχιά. Όμως ακόμα και σχετικά απλές απεικονίσεις της f μπορούν να έχουν ελκυστές fractal. Πολύ συχνά, αν η f έχει ελκυστή ή απωθητή fractal F, τότε η f εμφανίζει “χαοτική” συμπεριφορά στο F. Επιπλέον, συχνά οι ίδιες συνθήκες που δημιουργούν ελκυστές fractal επίσης οδηγούν σε χαοτική συμπεριφορά. Αναφέρουμε, τώρα, τους μέχρι σήμερα γνωστούς “δρόμους” προς το χάος. Είναι οι εξής : α) Ακολουθίες διπλασιασμού περιόδου (Feigenbaum). β) Διαλειπτότητα (Pomeau – Manneville). γ) Εμφάνιση παράξενου ελκυστή (Ruelle – Takens). Και τα τρία αυτά σενάρια προέρχονται κατά κανόνα από κάποια διαφορετικού είδους διακλάδωση των λύσεων ενός δυναμικού συστήματος μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων (ή εξισώσεων διαφορών).

6

Επίσης παρατηρείται και στις 3 αυτές μεταβάσεις στο χάος μια αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας, με την εμφάνιση χαοτικής συμπεριφοράς που έχει “δομή” μέσα σε “δομή” κ.ο.κ. σε κάθε μεγέθυνση !

Λογιστική απεικόνιση Ύστερα από αυτή την περιληπτική αναφορά περί δυναμικών συστημάτων θα μπορούσαμε να αναφέρουμε ότι το σύνολο Cantor είναι ένα άλλο παράδειγμα δυναμικών συστημάτων όπως θα δούμε, το οποίο παρουσιάζεται συχνά στην θεωρία του χάους. Το σύνολο Cantor, είναι ένα αντικείμενο που περιέχει όλα τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου fractal. Για να καταλάβουμε όμως καλύτερα την έννοια fractal, θα πρέπει να αναφερθεί η εξής παρατήρηση. Το σύνολο του Mandelbrot καθώς και πολλά άλλα fractals, προκύπτουν με κάποια επαναληπτική διαδικασία κατασκευής, η οποία συνεχίζεται επ’ άπειρον και ουδέποτε σταματά. Σε κάθε πεπερασμένο στάδιο της διαδικασίας έχει παραχθεί κάποιο αντικείμενο, το οποίο έχει βέβαια κάποια δομή περισσότερο ή λιγότερο πολύπλοκη, ανάλογα με το πόσο έχει διαρκέσει η διαδικασία κατασκευής μέχρι εκείνη τη στιγμή, όμως απέχει από την τελική δομή του fractal το οποίο “υπάρχει” ως ένα εξιδανικευμένο αντικείμενο, το οποίο θα προέκυπτε αν η διαδικασία συνεχιζόταν επ’ άπειρον. Με άλλα λόγια τα fractals αυτά είναι οριακά αντικείμενα, τα οποία ουδέποτε παρατηρούμε. Η μαθηματική θεμελίωση των οριακών αυτών αντικειμένων είναι αναγκαία. Τα όρια μας οδηγούν συνήθως σε νέες ποσότητες, σε νέα αντικείμενα και αυτό ισχύει και για τα fractals. Παραδείγματα fractals. Α) Σύνολο Cantor Το πρώτο παράδειγμα συνόλου fractal που θα εξετάσουμε είναι το “μεσαίο 1/3 – σύνολο Cantor”, που είναι ένα από τα πιο γνωστά και εύκολα κατασκευάσιμα σύνολα fractal. Κατασκευάζεται ως εξής : Θεωρούμε διάστημα Ε0=[0,1] της πραγματικής ευθείας . Το χωρίζουμε σε 3 διαστήματα και αφαιρούμε το μεσαίο ανοιχτό διάστημα (1/3,2/3) και έχω το Ε1=[0,1/3] U [2/3,1]. Από τα [0,1/3] και [2/3,1] αφαιρώ τα (1/9,2/9) και (7/9,8/9) αντίστοιχα και έχω το E2 που αποτελείται από 4 διαστήματα :

E2=[0,1/9] U [2/9,3/9] U [6/9,7/9] U [8/9,1].

7

Έτσι στο κ στάδιο θα έχω το Εκ που είναι η ένωση 2κ κλειστών διαστημάτων μήκους 3-κ το καθένα. Έτσι προκύπτει το παρακάτω σχήμα :

Σχήμα 1. Κατασκευή του “Μεσαίου 1/3 – συνόλου Cantor” F

με επαναλαμβανόμενη αφαίρεση του μεσαίου 1/3 των διαστημάτων. Τα FL και FR τμήματα του F είναι αντίγραφα του F πολλαπλασιασμένα με 1/3

“Το Μεσαίο 1/3 – σύνολο Cantor” F είναι η τομή των ΕK δηλαδή . I∞

=0KκE

Δηλαδή το σύνολο Cantor F είναι το τοπολογικό όριο της ακολουθίας των συνόλων ΕΚ καθώς το κ → ∞.

Παραθέτουμε μερικά από τα χαρακτηριστικά του “Μεσαίου 1/3 – συνόλου Cantor” F. Όπως θα διαπιστώσουμε παρόμοια χαρακτηριστικά υπάρχουν σε πολλά fractal. Χαρακτηριστικά του συνόλου Cantor 1. Το F είναι αυτοόμοιο. Είναι σαφές ότι το τμήμα του F στο [0,1/3] και το τμήμα του F στο [2/3,1] είναι γεωμετρικά παρόμοια με το F, με συντελεστή κλίμακας 1/3. Πάλι, τα τμήματα του F σε καθένα από τα 4 τμήματα του Ε2 είναι όμοια με το F αλλά με συντελεστή κλίμακας το 1/9 κ.λ.π. Το σύνολο Cantor περιλαμβάνει αντίγραφα του εαυτού του και σε διάφορες κλίμακες. 2. Το F έχει “λεπτομερή δομή” δηλαδή περιλαμβάνει λεπτομέρεια σε οσοδήποτε μικρές κλίμακες. Όσο πιο πολύ μεγεθύνουμε την εικόνα του Cantor, τόσο γίνονται πιο εμφανή τα κενά. 3. Παρότι το F έχει λεπτομερή δομή, η κατασκευή του F είναι καλά ορισμένη. 4. Μπορούμε να πάρουμε το F με επαναλαμβανόμενη διαδικασία, δηλαδή με επαναλαμβανόμενη απομάκρυνση των μεσαίων τρίτων των διαστημάτων. Με διαδοχικά βήματα παίρνουμε βαθμιαία όλο και καλύτερες προσεγγίσεις

στο F. KE5. Η γεωμετρία του F δεν είναι εύκολο να περιγραφεί με κλασσικούς όρους, δηλαδή δεν είναι ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν κάποια απλή γεωμετρική συνθήκη, ούτε είναι το σύνολο των λύσεων κάποιας εξίσωσης. 6. Η τοπική δομή του F είναι περίπλοκη. Κοντά σε κάθε ένα σημείο του βρίσκεται μεγάλος αριθμός άλλων σημείων, χωρισμένα από κενά διαστήματα ποικίλου μήκους. 7. Παρότι το F είναι αρκετά μεγάλο σύνολο (είναι υπεραριθμήσιμο), έχει Lebesgue μέτρο στο ίσο με το μηδέν.

8

Β) Νιφάδα Von Koch – Καμπύλη Von Koch Θεωρώ ισόπλευρο τρίγωνο Ε1 με μήκος πλευράς 1. Σε κάθε πλευρά αφαιρούμε το μεσαίο διάστημα μήκους 1/3 και το αντικαθιστούμε με δύο ευθύγραμμα τμήματα ίσο υ μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, για να πάρω το Ε2. Την διαδικασία επαναλαμβάνουμε σε κάθε πλευρά για να πάρουμε το Ε3 κ.ο.κ.

Σχήμα 2. Η νιφάδα Von Koch

Η ακολουθία των πολυγωνικών καμπυλών ΕΚ, πλησιάζει μία οριακή καμπύλη F που καλείται νιφάδα Von Koch. Εάν αυτό γίνει στο ευθύγραμμο τμήμα [0,1], δηλαδή στην μια πλευρά θα παίρναμε την καμπύλη Vοn Koch.

Σχήμα 3. Η καμπύλη Von Koch

9

Τα σχήματα Vοn Koch έχουν χαρακτηριστικά παρόμοια με αυτά που αναφέραμε για το σύνολο Cantor. Όπως φαίνεται από το σχήμα, έχουν περίπλοκη δομή, όμως προέρχονται όπως και το σύνολο Cantor από μία πολύ απλή κατασκευή. Η νιφάδα, έχει την εξής γεωμετρική ιδιότητα. Έχει άπειρο μήκος και το εμβαδόν που περιβάλει είναι πεπερασμένο. Πράγματι : Αν Νκ είναι ο αριθμός πλευρών στο κ βήμα τότε :

Ν0=1, Ν1 = 4 × 1 =4, Ν2 = 4 × 4 = 16…….

ΝΚ = 4ΝΚ-1 = 4Κ

Για τον υπολογισμό της περιμέτρου έχουμε : Στην αρχή το μήκος της πλευράς ήταν 1. Στο πρώτο βήμα, κάθε πλευρά έχει μήκος 1/3, στο δεύτερο βήμα έχει μήκος 1/32 κ.ο.κ.

Άρα : ΚΚ 31L =

για το μήκος της κάθε πλευράς στην κ επανάληψη. Το μήκος της καμπύλης στην κ επανάληψη θα είναι προφανώς :

Κ

ΚΚ

ΚΚK 343

3143LΝ3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=×⋅=×⋅=l

οπότε : ∞=∞→ ΚK

lim l , δηλαδή η ακολουθία αποκλίνει.

Το εμβαδόν τώρα είναι πεπερασμένο, αφού η νιφάδα προφανώς περιέχεται σε ένα τετράγωνο πλευράς 2. Άρα : εμβαδόν Ε<4. Μια πολύ σημαντική ιδιότητα των σχημάτων του Koch είναι ότι αποδεικνύουν την ύπαρξη συνεχών καμπυλών οι οποίες είναι πουθενά διαφορίσιμες : Σε κανένα σημείο τους δεν υπάρχει παράγωγος (εφαπτόμενη). Άρα ούτε το μήκος ούτε το εμβαδόν αποτελεί μια χρήσιμη περιγραφή του μεγέθους τους. Επαναληπτικές διαδικασίες αυτού του τύπου μπορεί να γίνουν με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα το τρίγωνο Sierpinski λαμβάνεται με επαναλαμβανόμενη αφαίρεση ισοπλεύρων τριγώνων, από ένα αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο.

Σχήμα 4. Τρίγωνο Sierpinski

10

Ένα άλλο παράδειγμα είναι το “σκόνη Cantor” (Cantor dust) που φαίνεται στο σχήμα 5.

Σχήμα 5. Σκόνη Cantor Έτσι ένα τετράγωνο πλευράς έστω μήκους 1, το χωρίζουμε σε 9 ίσα τετράγωνα και αφαιρούμε τα 5 όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Την διαδικασία αυτή επαναλαμβάνουμε σε κάθε τετράγωνο που κρατάμε. Όπως φαίνεται αυτά τα παραδείγματα έχουν ιδιότητες όμοιες με εκείνες του συνόλου Cantor και της καμπύλης Von Koch. Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι κατασκευής που οδηγούν σε σύνολα με τέτοιες ιδιότητες. Ένας τέτοιος είναι η κατασκευή συνόλων Julia, που θα οριστούν αργότερα, και τα οποία προκύπτουν από επαναλαμβανόμενη χρήση της συνάρτησης f(z)=z2+c, με z,c μιγαδικούς αριθμούς και c σταθερό. Ένα τέτοιο σύνολο φαίνεται στο σχήμα 6. Παρότι το σύνολο δεν είναι αυστηρά “αυτοόμοιο” με την έννοια που είναι το Cantor και η καμπύλη του Vοn Koch, είναι “σχεδόν αυτοόμοιο” με την έννοια ότι μικρά κομμάτια από το σύνολο μπορούν να μεγεθυνθούν και μετά να αλλάξουν μορφή ομαλά ώστε να συμπέσουν με ένα μεγάλο τμήμα του συνόλου.

Σχήμα 6. Ένα σύνολο Julia

11

Μέχρι τώρα οι κατασκευές είχαν μια προκαθορισμένη επιλογή σε κάθε βήμα. Μπορούν όμως να “τυχαιοποιηθούν” (randomized construction). Μια τέτοια απλή κατασκευή δίνει την “τυχαία Von Koch” καμπύλη, που απεικονίζεται στο σχήμα 7.

Σχήμα 7. Τυχαία Von Koch καμπύλη Κατασκευάζεται ως εξής : Ρίχνω ένα νόμισμα κορώνα – γράμματα, για να την παράγουμε. Προηγουμένως το ισόπλευρο τρίγωνο κατασκευαζόταν από την ίδια πλευρά του τμήματος. Τώρα ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα, δηλαδή με πιθανότητα κορώνας 1/2. Αν το νόμισμα δείξει κορώνα τότε το τρίγωνο θα το κατασκευάσουμε στο πάνω μέρος του ευθύγραμμου τμήματος, θεωρώντας το οριζόντιο. Αν όμως έλθει γράμματα προς τα κάτω. Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζω την “τυχαία καμπύλη Von Koch”. Αυτή βέβαια δεν παρουσιάζει ντετερμινιστική αυτοομοιότητα, αλλά μια “στατιστική αυτοομοιότητα”. Δηλαδή η παραγόμενη κατά αυτόν τον τρόπο καμπύλη θα “τείνει” κατά μία έννοια, η οποία καθορίζεται από τους διάφορους τρόπους σύγκλισης που χρησιμοποιούνται στην Θεωρία Πιθανοτήτων, προς την συνήθη Vοn Koch καμπύλη. Αυτά είναι παραδείγματα συνόλων που είναι κοινώς γνωστά σαν fractals. Πρόκειται δηλαδή για αντικείμενα που είναι πολύ ανώμαλα για να ταιριάζουν με τα συνήθη γεωμετρικά σχήματα.Οι κλασσικές μέθοδοι της Γεωμετρίας & Ανάλυσης δεν “ταιριάζουν“ για την μελέτη των fractals και έτσι χρειαζόμαστε εναλλακτικές τεχνικές. Βασικό εργαλείο της fractal γεωμετρίας είναι η διάσταση. Είμαστε αρκετά οικείοι με την ιδέα ότι μια καμπύλη είναι ένα μονοδιάστατο αντικείμενο και μια επιφάνεια διδιάστατο. Όμως το σύνολο

Cantor, όπως θα δούμε έχει “διάσταση” 631,03log2log≅ , παρόλο που έχει

12

μήκος 0 και η καμπύλη του Koch 262,13log4log≅ είναι “μεγαλύτερη“ από ένα

σύνηθες μονοδιάστατο αντικείμενο και μικρότερη από ένα σύνηθες διδιάστατο παρόλο που έχει εμβαδόν 0. Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί της διάστασης ενός συνόλου, όπως : Hausdorff – Besicovitch, box – counting, ομοιότητας κ.λ.π. που θα αναπτυχθούν λεπτομερώς παρακάτω, μαζί με τις μεθόδους για τον υπολογισμό τους. Γενικά μια διάσταση δείχνει μια περιγραφή του πόσου χώρου γεμίζει ένα σύνολο. Είναι ένα μέτρο των ανωμαλιών ενός συνόλου όταν “βλέπεται” σε πολύ μικρές κλίμακες. Όμως η διάσταση περιλαμβάνει πολλές πληροφορίες για τις γεωμετρικές ιδιότητες ενός συνόλου. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι διαφορετικοί ορισμοί μπορεί να δώσουν διαφορετικές τιμές της διάστασης για το ίδιο σύνολο και μπορεί επίσης να έχουν διαφορετικές ιδιότητες. Ο Mandelbrot όρισε σαν fractal να είναι το σύνολο εκείνο που έχει Hausdorff διάσταση μεγαλύτερη από την τοπολογική του διάσταση. Η τοπολογική διάσταση ενός συνόλου είναι πάντα ένας ακέραιος και είναι 0, αν το σύνολο είναι ολικά μη συνεκτικό (π.χ. μόνο σημεία) και 1, αν κάθε σημείο έχει τυχούσες μικρές γειτονιές με σύνορο διάστασης 0. Αυτός ο ορισμός της τοπολογικής διάστασης δεν είναι επαρκής για τα fractal σύνολα. Πολλοί ερευνητές που ασχολούνται με σύνολα fractal, υποστηρίζουν ότι δεν υπάρχει αυστηρός ορισμός για το τι είναι fractal, αλλά πρέπει να θεωρείται με τον ίδιο τρόπο που οι βιολόγοι θεωρούν τον ορισμό της “ζωής”. Δηλαδή δεν υπάρχει αυστηρώς και σύντομος ορισμός για την ζωή, αλλά μόνο μια λίστα από χαρακτηριστικές ιδιότητες ενός ζωντανού όντος, όπως η ικανότητά του να αναπαράγεται ή να κινείται ή να υπάρχει ανεξάρτητα από το περιβάλλον. Πολλά ζώντα όντα έχουν τα περισσότερα από αυτά τα χαρακτηριστικά, όμως υπάρχουν ζώντα όντα που δεν έχουν αρκετά από αυτά. Κατά τον ίδιο τρόπο, είναι καλύτερο να θεωρείται ένα fractal σαν ένα σύνολο που έχει κάποιες ιδιότητες, που θα αναφερθούν, απ’ ότι να ψάχνουμε για ακριβή ορισμό που είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα αποκλείσει κάποιες ενδιαφέρουσες περιπτώσεις τέτοιων συνόλων. Όταν, λοιπόν, αναφέρουμε ότι ένα σύνολο F είναι fractal, θα πρέπει να έχουμε τα παρακάτω τυπικά χαρακτηριστικά υπ’ όψιν : 1. Το F έχει “λεπτομερή (fine) δομή” δηλαδή λεπτομέρεια σε αυθαίρετα μικρές κλίμακες. 2. Το F είναι τόσο ανώμαλο, ώστε δεν μπορεί να περιγραφεί με την κλασσική γεωμετρία και τοπικά και ολικά. 3. Συχνά το F έχει κάποια μορφή αυτοομοιότητας ίσως προσεγγιστική ή στατιστική. 4. Συνήθως η “fractal διάσταση” του F (ορισμένη με τέτοιον τρόπο) είναι μεγαλύτερη από την τοπολογική διάσταση. 5. Σε πολλές περιπτώσεις το F κατασκευάζεται με πολύ απλό τρόπο, αρκετές φορές με επαναληπτικές μεθόδους.

13

Όπως στην κλασσική γεωμετρία που το ενδιαφέρον της βρίσκεται στις εφαρμογές που αυτή έχει στην φύση, π.χ. οι ελλείψεις περιγράφουν τις τροχιές των πλανητών (κατά προσέγγιση) και η σφαίρα το σχήμα της Γης (πάλι κατά προσέγγιση), το ίδιο συμβαίνει και με την fractal γεωμετρία, δηλαδή πολλά φυσικά αντικείμενα περιγράφονται ως fractal, όπως τα σύννεφα, ακτές, η τυρβώδης κίνηση στα υγρά κ.λ.π.

Στην πραγματικότητα τίποτα από αυτά δεν είναι fractal, τα fractal χαρακτηριστικά τους εξαφανίζονται όταν ειδωθούν σε αρκετά μικρές κλίμακες. Όμως κατά προσέγγιση μπορούν να θεωρηθούν σαν fractal και να περιγραφούν αρκετά καλά απ’ αυτά. Δεν υπάρχουν πραγματικά fractals στην φύση, όπως δεν υπάρχουν ευθείες γραμμές ή κύκλοι ! Πάντως πολλά φυσικά φαινόμενα, όπως η κίνηση Brown, περιγράφεται πολύ καλά βάσει fractal γεωμετρίας.

14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μαθηματικό υπόβαθρο 1.1 Μετρικοί χώροι Οι ακόλουθοι ορισμοί είναι βασικοί για όσα θα ακολουθήσουν : Ορισμός 1.1 :Ένας μετρικός χώρος είναι ένα ζεύγος (X,d), όπου X είναι ένα μη κενό σύνολο και d:X×X→ μία πραγματική συνάρτηση, η οποία καλείται μετρική ή απόσταση και ικανοποιεί για όλα τα x,y,z ∈X τις ιδιότητες :

I. d(x,y) ≥ 0 και d(x,y) = 0 ⇔ x = y

II. d(x,y)=d(y,x) (συμμετρία) III. d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) (τριγωνική ανισότητα)

Ορισμός 1.2 : Η ακολουθία (xn) n∈ του Χ συγκλίνει στο y∈X, yxlim nn

=∞→

, αν η ακολουθία

των αριθμών (d(xn,y)), n∈ συγκλίνει στο 0, δηλαδή για κάθε ε>0, υπάρχει

n0∈ ώστε d(xn,y)<ε για n≥n0. Η ακολουθία (xn) n∈ καλείται συγκλίνουσα ακολουθία. Ορισμός 1.3 : Ένα Κ⊂Χ καλείται κλειστό, αν για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία του Κ το . Ένα Α⊂Χ καλείται ανοικτό, αν το Χ\A είναι κλειστό.

( )∞=1nnxKxlim nn

∈∞→

Ορισμός 1.4 :Καλείται θήκη του Α⊂Χ και συμβολίζεται A , το ελάχιστο κλειστό σύνολο που περιέχει το Α. Ως σύνορο του Α ορίζεται το σύνολο ∂Α= A ∩ ( )A\X , δηλαδή το σύνολο των σημείων του Χ στα οποία βρίσκονται όσο θέλουμε κοντά σημεία του Α και σημεία του (X\A). Ορισμός 1.5 :Αν Α είναι οποιοδήποτε σύνολο πραγματικών αριθμών, μη κενό, τότε το supremum supA είναι o ελάχιστος αριθμός m ώστε x≤m για κάθε x∈A ή το ∞, αν δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός. Παρόμοια το infimum infA είναι ο μεγαλύτερος αριθμός m ώστε m≤x για κάθε x∈A ή το -∞. (Το supA και infA δεν είναι ανάγκη να ανήκουν στο σύνολο Α).

15

Ορισμός 1.6 : Ορίζουμε διάμετρο, δ(Α) , ενός συνόλου Α⊆Χ ως εξής : δ(A)=supd(x,y):x,y∈A αν A≠∅ και δ(A)=0 αν A=∅. Ορισμός 1.7 : Έστω x0 ∈ Χ. • Αν r > 0 , τότε το σύνολο S(x0,r)=x∈X : d(x,x0) < r καλείται ανοικτή σφαίρα κέντρου x0 και ακτίνας r. • Αν r ≥ 0 , τότε το σύνολο S ( xˆ 0,r)=x∈X : d(x,x0) ≤ r καλείται κλειστή σφαίρα κέντρου x0 και ακτίνας r. Ορισμός 1.8 : • Το D⊆X καλείται φραγμένο σύνολο αν υπάρχει Μ>0 και x0∈X ώστε D⊆S(x0,M). (Ισοδύναμα ένα σύνολο είναι φραγμένο, αν έχει πεπερασμένη διάμετρο.) • Το C⊆X καλείται ολικά φραγμένο σύνολο, αν για κάθε ε>0 υπάρχουν

x1,x2,…..,xn ∈ X ώστε . )ε,x(SUC i

η

1i=⊆

Ορισμός 1.9 : Ένα σύνολο Β καλείται πυκνό στο Α αν BAB ⊂⊂ δηλαδή να υπάρχουν σημεία του Β αυθαίρετα κοντά σε κάθε σημείο του Α. Ορισμός 1.10 : Το Β⊆Χ καλείται συμπαγές σύνολο αν για κάθε τυχούσα κάλυψή του Ai :

i∈I από ανοικτά σύνολα , , υπάρχουν , iiIiAUΒ

∈⊆

K21 iii A,....,A,A j∈I j=1,2,…,κ

ώστε . Αν ο μετρικός χώρος είναι ο Ευκλείδειος χώρος (ji

κ

1jAUB

=⊆ d , d), ένα

σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Ορισμός 1.11 : • Ένα υποσύνολο Α του μετρικού χώρου (Χ,d) καλείται συνεκτικό, αν δεν υπάρχουν ανοικτά σύνολα U και V, τέτοια ώστε A⊂UU V και τα Α U και A V να είναι μη κενά και ξένα μεταξύ τους.

I I

• Το Α⊆C καλείται ολικά μη συνεκτικό σύνολο, αν και μόνο αν, για κάθε α∈Α το μοναδικό συνεκτικό υποσύνολο του Α που περιέχει το α είναι το α. Τα μόνα συνεκτικά σύνολα του μετρικού χώρου ( , |⋅|) είναι τα διαστήματα.

Στον Ευκλείδειο χώρο 2 ένα ανοικτό σύνολο είναι συνεκτικό αν και μόνο αν για κάθε ζεύγος σημείων του υπάρχει πολυγωνική γραμμή εντός του συνόλου που τα συνδέει.

16

1.2 Πλήρης μετρικός χώρος 1. Η ακολουθία (xn) n∈ του Χ είναι βασική ακολουθία (ή ακολουθία

Cauchy) αν για κάθε ε>0, υπάρχει n0∈ ώστε d(xn, xm)<ε για n,m≥n0. 2. Ο μετρικός χώρος (Χ,d) καλείται πλήρης, αν κάθε βασική ακολουθία του συγκλίνει σε κάποιο σημείο του. 1.3 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων Έστω (Χ,d),(Y,σ) μετρικοί χώρου και f:X → Y συνάρτηση μεταξύ των συνόλων Χ,Υ. 1. Η f είναι συνεχής στο x0∈Χ, αν και μόνο αν, για κάθε ε>0 υπάρχει δ=δ(ε,x0), ώστε, για x∈X με d(x,x0)<δ, να έχω σ(f(x),f(x0))<ε Ισοδύναμα : Για κάθε ακολουθία (xn) n∈ του Χ με 0nn

xxlim =∞→

έχουμε και )x(f)x(flim 0nn=

∞→

Η f είναι συνεχής στον Χ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Χ. 2. Η f είναι ομοιόμορφα συνεχής του Χ, αν και μόνο αν, για κάθε ε>0 υπάρχει δ=δ(ε)>0 ώστε, για x,y∈X με d(x,y)<δ έχουμε σ(f(x),f(y))<ε. Ισοδύναμα : Για κάθε ζεύγος ακολουθιών (xn) n∈ , (yn) n∈ του Χ με

έχουμε και .

0)y,x(dlim nnn=

∞→

0))y(f),x(f(σlim nnn=

∞→

3. Η συνάρτηση f ικανοποιεί συνθήκη Lipschitz, αν υπάρχει Μ>0, ώστε : σ(f(x),f(y)) ≤ M ⋅ d(x,y) για κάθε x,y∈X. 4. Η f είναι συνάρτηση συστολής, αν υπάρχει 0<s<1, ώστε : σ(f(x),f(y)) ≤ s ⋅ d(x,y) για κάθε x,y∈X. Ο αριθμός s καλείται συντελεστής συστολής της f. 5. Μια συνάρτηση f καλείται ομοιότητα αν υπάρχει s>0 ώστε : σ(f(x),f(y)) = s⋅d(x,y) για κάθε x,y∈X. Ο αριθμός s καλείται συντελεστής ομοιότητας της f.

17

1.4 Σταθερό σύνολο ή ελκυστής συνάρτησης

Το σύνολο Α≠∅ , Α⊆X καλείται σταθερό σύνολο ή ελκυστής για την f:X→X, αν f(A)=A. Αν το Α είναι μονοσύνολο, Α=x0, τότε το x0 καλείται σταθερό σημείο της f. Γενικά μια συνάρτηση f δεν έχει σταθερό σύνολο. Συμβολίζουμε :

f1 = f και

4434421 oooςέφορn

n f.......fff = , n∈

την σύνθεση συναρτήσεων. Θεώρημα σταθερού σημείου του Banach : Έστω f:X→X συνάρτηση συστολής, όπου (X,d) πλήρης μετρικός χώρος.Τότε :

1. Υπάρχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο x0 της f. 2. , για κάθε y∈X. )y(flimx n

n0 ∞→=

Η διαδικασία κατασκευής fractals που ακολουθούμε είναι η εξής : Δημιουργούμε έναν πλήρη μετρικό χώρο (Η(X),h) μέσα στον οποίο “ζουν” τα fractals ενώ με την βοήθεια κατάλληλης συστολής κατασκευάζουμε fractals ως σταθερό σημείο της συνάρτησης, βάσει του θεωρήματος του Banach. 1.5 Κατασκευή του μετρικού χώρου εντός του οποίου “ζουν” τα fractals Έστω (X,d) μετρικός χώρος. Συνήθως έχουμε τους Ευκλείδειους χώρους ,

², ³. Ορίζουμε με Η(Χ) το σύνολο των μη κενών συμπαγών υποσυνόλων του Χ. Για κάθε Α,Β∈Η(Χ) θέτουμε :

d(A,B) = max d(α,B):α∈Α

d(B,A) = max d(b,A):b∈B

όπου d(x,Β) = min d(x,y):y∈B Συνήθως d(A,B)≠d(B,A). Αν το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β, τότε d(A,B)=0 ενώ d(B,A)>0.

Ορίζουμε ως μετρική Hausdorff την :

h(A,B) = max d(A,B),d(B,A)

Αποδεικνύεται ότι η h(⋅ , ⋅) ικανοποιεί τις ιδιότητες της μετρικής και ισχύουν :

1. Ο (H(X),h) είναι μετρικός χώρος. 2. Εάν ο (X,d) είναι πλήρης μετρικός χώρος, τότε και ο (H(X),h) είναι

πλήρης μετρικός χώρος. Επιπλέον, αν Αn∈H(X), n∈N είναι μία

18

ακολουθία Cauchy,τότε το οριακό σύνολο )X(HAlimA nn∈=

∞→, μπορεί να

χαρακτηριστεί ως εξής: Α=x∈X:υπάρχει ακολουθία xn∈An, n∈N που συγκλίνει στο x.

3. Αν ο (X,d) είναι συμπαγής μετρικός χώρος, τότε και ο (H(X),h) είναι

συμπαγής μετρικός χώρος. (Θεώρημα επιλογής Blaschke, 1916) Ισοδύναμος ορισμός : Αν Α∈H(X) και ε≥0 , είναι η κλειστή μοναδιαία σφαίρα του )1,0(SBd = d, ορίζουμε :

Α+ε: = Α+ε Bd = x∈ d:x=α+εy,α∈Α,y∈ Bd = x∈ d :d(x,A)≤ε.

Αν Α,Β∈H(X), τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι :

h(A,B) = min ε≥0 : Α⊆Β+ε , Β⊆Α+ε

Με αυτόν τον τρόπο έχουμε κατασκευάσει τον χώρο (Η( d),h) μέσα στον οποίο υπάρχουν τα fractals και αυτά θα ανελκυστούν με την βοήθεια κατάλληλης συνάρτησης συστολής. 1.6 Κατασκευή fractal συνόλων με ΣΕΣ Ορισμός :

Ένα σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (ΣΕΣ) αποτελείται από έναν πλήρη μετρικό χώρο (Χ,d) μαζί με ένα πεπερασμένο σύνολο συναρτήσεων συστολής με αντίστοιχους παράγοντες συστολικότητας s

XX:wn →n, για n=1,2,.....,Ν. Αυτό συμβολίζεται με X; w1…N και ο

παράγοντας συστολικότητας του είναι: s = max sn: n=1,2,……,N. Με την βοήθεια κατάλληλου ΣΕΣ κατασκευάζουμε σύνολα στον , ² και ³, ως σταθερά σημεία κατάλληλης συστολής. Θεώρημα :

Έστω ότι X; w1…N είναι ένα ΣΕΣ με παράγοντα συστολικότητας s. Τότε η

συνάρτηση : W:H(X)→H(X) με W(B)= για κάθε Β∈Η(Χ), είναι μια

συστολή πάνω στον πλήρη μετρικό χώρο (H(X),h) με παράγοντα συστολικότητας s. Το μοναδικό σταθερό σημείο της Α∈Η(Χ), ικανοποιεί την

A=W(A)= και για κάθε Β∈Η(Χ).

)B(wU n

N

1n=

)A(wU n

N

1n=)B(WlimA n

n ∞→=

Το μοναδικό σταθερό σημείο Α∈Η(Χ) καλείται ελκυστής του ΣΕΣ. Ο όρος ελκυστής επιλέχθηκε ώστε να επιδείξει την μετακίνηση οιουδήποτε συνόλου Β προς το Α, κάτω από συνεχή εφαρμογή της W. Αντιθέτως το Α είναι το μοναδικό σύνολο του Η(Χ) το οποίο δεν αλλάζει με την W, διότι A=W(A) και γι’ αυτό καλείται και αμετάβλητο σύνολο του ΣΕΣ.

19

Παραδείγματα : 1. Τριαδικό σύνολο Cantor. Έστω ( ,d) όπου d(x,y)=|x–y|, x,y∈ ο πλήρης μετρικός χώρος των πραγματικών αριθμών.

Ορίζουμε τις συστολές, 31-1 το πλήθος, x31)x(w1 = ,

32x

31)x(w 2 += , x∈ .

Τότε η W:H( )→H( ) με W(Β)=w1(Β)Uw2(Β) είναι συνάρτηση συστολής, με

s=31 όπου Β∈H( ).

Για Β=[0,1]

W([0,1])= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 1,

32

31,0 U ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 1,

98

97,

96

93,

92

91,01,

32

31,0W])1,0([W 2 UUUU .

Τότε το σταθερό σημείο της W (ελκυστής της W) είναι το το

οποίο είναι το “τριαδικό σύνολο Cantor”. (Από όποιο Β∈H( ) να ξεκινήσουμε θα καταλήξουμε στο σύνολο Cantor).

])1,0([WlimA n

n ∞→=

2. Τρίγωνο Sierpinski : Έστω ( 2,d) όπου d, η Ευκλείδεια απόσταση. Ορίζουμε τις συστολές, 22–1 το πλήθος :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

yx

1001

21

yx

W1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛021

yx

1001

21

yx

W2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

0yx

1001

21

yx

W3

όπου (x,y)∈ 2.

Τότε η : W:H( 2)→H( 2) με W(Β) = w1(Β) wU 2(Β)Uw3(Β), Β∈H( 2) , είναι συνάρτηση συστολής με ελκυστή το “τρίγωνο Sierpinski”.

20

3. Καμπύλη Vοn Koch Στον ( 2,d) , όπου d η Ευκλείδεια απόσταση, ορίζουμε :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛00

yx

1001

31

yx

w1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛031

yx

21232321

31

yx

w 2

(στροφή κατά 3π )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛321

21yx

21232321

31

yx

w 3

(στροφή κατά -3π )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛032

yx

1001

31

yx

w 4

Το σταθερό σημείο της W(B)=w1(B) wU 2(B) wU 3(B) wU 4(B) ,

B∈H( 2) είναι η καμπύλη Vοn Koch.

21

4. Πλατανόφυλλο : Στον ⟨ 2 , d⟩ , όπου d η Ευκλείδεια απόσταση, ορίζουμε :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

25yx

62,0001,049,0

yx

w1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛560

yx

36,040,052,027,0

yx

w 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8

88yx

26,050,073,018,0

yx

w 3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3252

yx

050,001,004,0

yx

w 4

22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Fractal διαστάσεις

Η μέτρηση γεωμετρικών συνόλων, όπως ευθύγραμμα τμήματα, ευθείες, τετράγωνα, τρίγωνα, κύκλοι, κύβοι, σφαίρες κ.λ.π., γίνεται με μήκος, εμβαδόν, όγκο, δηλαδή με το μέτρο Lebesgue στους χώρους , 2, 3.Στην περίπτωση των fractals η μέτρηση με το μέτρο Lebesgue δεν δίνει πληροφορίες για το πόσο χώρο καταλαμβάνουν τα σύνολα αυτά, για παράδειγμα το εμβαδόν του τριγώνου Sierpinski είναι μηδέν όσο και ενός ευθύγραμμου τμήματος.

Γι’ αυτό χρειαζόμαστε ένα ειδικότερο μέτρο, το μέτρο Hausdorff. Θα πρέπει οι μετρήσεις των γεωμετρικών συνόλων που θα γίνονται με το νέο μέτρο να “συμπίπτουν” με τις μετρήσεις που έχουμε ήδη γι’ αυτά. 2.1 Μέτρο Lebesgue – Μέτρο Hausdorff Ορισμός : Έστω Χ≠∅ τυχαίο σύνολο. Μια οικογένεια A υποσυνόλων του Χ, καλείται σ-άλγεβρα, εφόσον ισχύουν τα εξής : 1. ∅∈A 2. Αν Ε∈A τότε Χ\Ε=Ec∈A

3. Αν Ei∈A , i=1,2,… , τότε ∈A U∞

=1iiE

Ορισμός : Εάν P(Χ) είναι το σύνολο των υποσυνόλων του Χ, μια απεικόνιση μ: P(Χ) →[0,+∞] ώστε :

a. μ(∅)=0 b. μ(Α)≤μ(Β) αν Α⊂Β c. Αν A1,A2 ,…. είναι αριθμήσιμη ακολουθία συνόλων, τότε :

( )i1i1i

i AμAμ ∑∞

=

∞

=

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛U

λέγεται εξωτερικό μέτρο. Εάν έχω την μ να ορίζεται σε σ–άλγεβρα A ώστε

να ισχύει η (a) και για A( )i1i1i

i AμAμ ∑∞

=

∞

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛U i∈A και ∩ =∅ i≠j τότε η μ

καλείται μέτρο. Τότε οι (b) και (c) συνεπάγονται.

iA jA

Η συνθήκη (a) λέει ότι το κενό σύνολο έχει μέτρο μηδέν, η (b) λέει “όσο μεγαλύτερο το σύνολο, τόσο μεγαλύτερο το μέτρο” και η (c) λέει ότι αν ένα σύνολο είναι ένωση αριθμήσιμων κομματιών, τότε το άθροισμα του μέτρου των κομματιών είναι τουλάχιστον ίσο με το μέτρο του όλου. Ένα εξωτερικό μέτρο ορίζεται σε όλο το P(X) ενώ το μέτρο δεν είναι πάντα δυνατόν να ορισθεί. Αν έχω ένα εξωτερικό μέτρο μ στο P(X) και θεωρήσω το M ⊆ P(X), που είναι τα μ–μετρήσιμα κατά Καραθεοδωρή υποσύνολα του Χ, η M είναι σ–άλγεβρα και το μ είναι μέτρο πάνω στην M.

23

Ορισμός : Στον χώρο d ορίζουμε το εξωτερικό μέτρο Lebesgue, λd ως εξής :

Θεωρούμε το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Β = [α1 ,β1] x…x [αd,βd] ⊆ d,

όπου: [αi ,βi] ⊆ , i=1,..,d και ορίζουμε )αβ()αβ()αβ()B(V dd2211d −⋅⋅⋅⋅−⋅−= τον d-όγκο του Β. Για τυχαίο σύνολο Ε ⊆ d ορίζουμε :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⊆= ∑∞

=

∞

=

Ni,πεδοίπαραλληλεπνιοώορθογB,BE:)B(Vinf)Ε(λ i1i 1i

iidd U

Με ανάλογη κατασκευή έχουμε τα λd–μετρήσιμα κατά Καραθεοδωρή που καλώ Lebesgue μετρήσιμα σύνολα και τον περιορισμό του λd σε αυτά που καλώ μέτρο Lebesgue λd, χρησιμοποιώντας το ίδιο σύμβολο. Ορισμός : Στον χώρο ( d , d) (d η Ευκλείδεια μετρική στον d), ορίζουμε το εξωτερικό μέτρο Hausdorff για s∈ , s≥0 ως εξής : sH

Θεωρούμε δ(Α) = sup d(x,y): x,y∈A την διάμετρο του συνόλου Α⊆ d και ε>0

εάν :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈≤<⊆=∞

=

∞

=∑ U

1iii

1ii

ssε i,ε)U(δ0,UE:)U(δinf)E(H N όπου Ε⊆ d,

ορίζουμε ως εξωτερικό μέτρο Hausdorff του Ε⊆ sH d το : )E(Hlim0ε,)E(Hsup)E(H s

ε0ε

sε

s+→

=>= .

Αν περιορίσουμε το Ηs στην σ–άλγεβρα των Ηs–μετρήσιμων συνόλων, τότε ο περιορισμός αυτός είναι το μέτρο Hausdorff s–διάστασης, (s∈ , s≥0). Στην

άλγεβρα αυτή περιέχονται τα ανοικτά και τα κλειστά σύνολα του d, άρα και

όλα τα Borel του d. Ανάμεσα στο εξωτερικό μέτρο Lebesgue λd και στο εξωτερικό μέτρο Hausdorff Hd ισχύει η εξής πολύ σημαντική σχέση :

λd (E) = cdHd(E) όπου Ε ⊆ d και cd ο όγκος της σφαίρας του d διαμέτρου 1. 2.2 Διαστάσεις 2.2.1 Διάσταση Hausdorff – Besicovitch Σε κάθε γεωμετρικό σχήμα δίνουμε μια διάσταση ως εξής : Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει μήκος πεπερασμένο, εμβαδόν και όγκο μηδέν. Ένα τρίγωνο έχει “μήκος” άπειρο, εμβαδόν πεπερασμένο και όγκο μηδέν. Ένας κύβος έχει “μήκος” και “εμβαδόν” άπειρο και όγκο πεπερασμένο. Παρατηρούμε ότι η γνωστή διάσταση ένας γεωμετρικού σχήματος είναι εκείνος ο αριθμός n που αν το μετρήσουμε με μέτρο λ1,λ2,……,λn-1 έχει μέτρο

24

άπειρο, ενώ αν το μετρήσουμε με μέτρο λn+1,λn+2,…… έχει μέτρο μηδέν. Για αυτό και η συνήθης διάσταση είναι ανεπαρκής.

Την έννοια “διάσταση” συνόλου θα την γενικεύσουμε, με ανάλογο τρόπο, με την βοήθεια του μέτρου Hausdorff του συνόλου. Έστω Ε⊆ d και ) το s–Hausdorff μέτρο του, για s≥0. Αν 0≤s<t τότε : E(Hs

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈≤⊆=∞

=

∞

=∑ U

1iii

1ii

ssε i,ε)U(δ,UE:)U(δinf)E(H N

)Ε(Ηi,ε)U(δ,UE:)U(δinf tε

1iii

1ii

t =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈≤⊆≥∞

=

∞

=∑ U N

για 0<ε<1.

Από τον ορισμό του μέτρου Hausdorff έχουμε ότι : για 0 ≤ s < t. Άρα, αν H

)E(H)E(H st ≤s(Ε)=0 για κάποιο s≥0, θα έχουμε Ht(Ε)=0 για κάθε t ≥ s. Επιπλέον :

)E(Hε1)E(Hεi,ε)U(δ,UE,)U(δ)U(δinf)Ε(H t

εsttε

tsi

1iii

tsi

1i

tsε −

−∞

=

−∞

=

=≥⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈≤⊆⋅= ∑ NU

Αν 0< + , τότε : ∞≤)E(Ht

ts0θεάκγια)E(Hε1lim)E(Hlim)E(H t

st0ε

sε0ε

s <≤∞+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥= −→→

.

Ιδιαιτέρως για τον d έχουμε : Hd( d)=+∞ και Hs( d)=0 , s>d και για κάθε

Ε⊆ d έχουμε : Hs(Ε)=0 για s>d. Άρα από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ακριβώς ένας πραγματικός αριθμός s0, με 0 ≤ s0 ≤ d , ώστε :

⎩⎨⎧

<≤∞+

>=

0

0t

st0γιαstγια0

)E(H

τότε : 0)E(H:0tinf)E(H:0tsups tt0 =≥=+∞=≥=

Τον αριθμό αυτόν ονομάζουμε Hausdorff – Besicovitch διάσταση του Ε και συμβολίζεται dimHE.

Ht(E) +∞ 0 s0=dimHE t

Σχήμα 8.

Το μέτρο (Ε) είναι δυνατό να είναι 0, +∞ ή ένας θετικός αριθμός. 0sH

25

2.2.2 Διάσταση Box Είναι η απλούστερη διάσταση που χρησιμοποιούμε και η κατανόησή της είναι εφικτή μέσω παραδειγμάτων στον 3. Αν έχουμε τετράγωνο πλευράς α και δ>0, χρειαζόμαστε τουλάχιστον

22

2

δ δ1α

δαΝ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= τετράγωνα πλευράς δ για να καλύψουμε το τετράγωνο.

Για κύβο πλευράς α χρειαζόμαστε 3

33

δ δ1α

δαΝ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= κύβους πλευράς δ για

να τον καλύψουμε.

Σχήμα 9.

Η δύναμη που εμφανίζεται στο δ1 , είναι η διάσταση του αντικειμένου.

Γενικεύοντας τον συλλογισμό, για τυχαίο αντικείμενο χρειαζόμαστε : s

δ δ1cΝ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅ , κύβους πλευράς δ για να το καλύψουμε, για κάποιο

s≥0(c=σταθερά εξαρτημένη από το αντικείμενο). Λογαριθμόντας έχουμε : logΝδ≅logc-slogδ

δlogΝloglims δ

0δ −=

+→

Ορισμός :

26

Αν F⊆ d είναι φραγμένο σύνολο, ορίζουμε ως box διάσταση του τον αριθμό:

δlog)F(ΝloglimFdim δ

0δB −

=+→

(αν υπάρχει το όριο), όπου Νδ(F) είναι ο ελάχιστος αριθμός κύβων του d, πλευράς δ που καλύπτουν το F. 2.3 Βασική Σχέση μεταξύ των διαστάσεων Αν , είναι οι διαστάσεις Hausdorff και Box του φραγμένου συνόλου Ε⊆

EdimH EdimBd, τότε ισχύει :

dimHE ≤ dimBE (γενικά δεν ισχύει η ισότητα) Απόδειξη : Έστω s = = sup t ≥ 0 : HEdimH

t(Ε)=+∞. Αν s = 0 ⇒ ≤ . EdimH EdimB

Έστω s>0 και t<s τότε Ηt(Ε) = +∞ = και >1 για 0<δ<ε για

κάποιο ε>0.

)E(Hlim t

0δ

→δ +)E(Ht

δ

Αν )E(δΝ ελάχιστος αριθμός συνόλων διαμέτρου δ καλύπτουν το Ε, θα έχουμε :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤⊆=∞

=

∞

=∑ δ)U(δ,UE:)U(δinf)Ε(H i

1iii

1i

ttδ U ≤ Νδ(Ε) ⋅ δt

Άρα >1 και logtδ δ)Ε(Ν ⋅ 0δlogt)Ε(Νδ >+ για 0<δ<ε.

Άρα stθεάκγια)E(dimδlog

loglimt Bδ

0δ<=

−Ν

≤+→

Άρα s ≤ dimBE ⇒ dimHE ≤ dimBE. Παράδειγμα με dimHE≠dimBE : B

Έστω Ε=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 0,........,

31,

21,1 . Τότε dimHE=0 και dimBE=

21

Πράγματι : Ισχύει dimHE =0, επειδή το Ε είναι αριθμήσιμο.

444 8444 76 1κ+ 44 844 76 1κ−

0 ….… ….… 1/κ+1 1/κ 1/κ-1 …1/3 1/2 1

Θεωρούμε δ>0 μικρό και κ∈ ώστε :

27

)1κ(κ1δ

)1κ(κ1

−<≤

+.

Το ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

κ1,.....,0 καλύπτεται από (κ+1) διαστήματα μήκους δ και χρειαζόμαστε

(κ-1) διαστήματα, για να καλύψουμε ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−1,......,

2κ1,

1κ1 .

Άρα : κ+1+κ–1=2κ Έχουμε : κ2)Ε(Νδ ≤ (1) Καθένα από τα διαστήματα μήκους δ μπορεί να καλύψει το πολύ ένα από τα

σημεία ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

κ1,.......,

21,1 (αφού είναι κ σημεία χρειάζομαι για να τα καλύψω

) κ)Ε(Νδ ≥

Άρα : κ)Ε(Νδ ≥ (2) Επομένως από (1) και (2) έχουμε :

κ2)Ε(Νκ δ ≤≤ ⇒

logκ κ2log)Ε(Νδ ≤≤ (3)

Από την )1κ(κ

1δ)1κ(κ

1−

<≤+

⇒ log κ(κ–1) ≤ -logδ ≤ log κ(κ+1) (4)

Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (3) και (4) έχω :

)1κ(κlogκ2log

δlog)E(Νlog

)1κ(κlogκlog δ

−≤

−≤

+

Άρα :

21

δlog)Ε(ΝloglimEdim δ

0δB =

−=

+→

2.3.1 Υπολογισμός Hausdorff και Box διάστασης του συνόλου Cantor

Θα δείξουμε ότι : s= dimH(E) = dimB(E) = .....6309,03log2log= και 1)E(H

21 s ≤≤ .

Έχω , όπου κάθε EI∞

=

=1n

nEE n αποτελείται από 2n διαστήματα μήκους n31 το

καθένα. Άρα :

n

t

t

nnt

31 3

2312)E(H

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≤

Για να είναι Ht(E) ≤ +∞ θα πρέπει : 132

t ≤ , δηλαδή t3log2log

≥

Για s=3log2log έχουμε Hs(E) ≤ 1 .

28

Θα δείξουμε ότι 21)E(Hs ≥ .

Έστω όπου UU∞

=

⊆1n

nUE n=(αn,βn). Θα δείξουμε ότι :

sn1n

s

31

21)U(δ =≥∑

∞

=

(*)

Θεωρούμε ε>0 και εn >0 με

∑∞

=

+−1n

snnn )ε2αβ( ≤ ∑

∞

=

+−1n

snn ε)αβ(

Τότε , με Ε συμπαγές, άρα: U∞

=

+−⊆1n

nnnn )εβ,εα(E UK

1innnn ]εβ,εα[E

iiii=

+−⊆

Αν αποδείξουμε ότι ∑=

≥+−K

1i

snnn 2

1)ε2αβ(iii

τότε ∑∞

=

≥+−1n

snn 2

1ε)αβ( για

τυχαίο ε>0.

Δηλαδή ∑∞

=

≥1n

ns

21)U(δ .

Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε το εξής :

Αν , , τότε Uν

1nnUE

=

⊆ ]δ,γ[U nnn = ∑=

≥ν

1nn

s

21)U(δ .

Πράγματι :

Έστω δ( ) ≤ δ( ) ≤.......≤ δ( ) και κ1U 2U νU n∈ , ώστε 1κn31+ ≤ δ( ) < nU

nκ31 ,

n=1,2,...,ν. Τότε ≥ ≥......≥ ≥….≥κ1κ 2κ nκ ν. Το Un τέμνει το πολύ ένα από τα διαστήματα που αποτελούν το . Αν j≥ ,

τότε το Unκ

E nκ

n τέμνει το πολύ απ’ τα διαστήματα που αποτελούν το . Άρα: nκj2 −jE

( nssj

s

)1κ(sj

κsj

κjκj Uδ32

3132

312

2122

nnn

n ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

+− ) (1)

Το τέμνει το πολύ ένα από τα διαστήματα του . 1U 1κ2

1κE

Το τέμνει το πολύ από τα διαστήματα του . 2U 21 κκ2 − 1κ21κ

EM M M Το τέμνει το πολύ από τα διαστήματα του . νU ν1 κκ2 − 1κ2

1κE

Επειδή τα , ,...., τέμνουν όλα από τα διαστήματα του θα πρέπει : 1U 2U νU1κ

E1ν121 κκκκκ 22.....21 ≥+++ −− (2)

Άρα από (1) και (2) έχουμε :

29

( ) 11 κn

ssν

1n

κ 2Uδ32 ≥⋅∑=

, ( )21

31Uδ sn

ν

1n

s =≥∑=

Από την (∗) έχουμε 21)E(Hs ≥ .

Άρα για s=3log2log , 1)E(H

21 s ≤≤ , επομένως

3log2logEdimH = .

Τώρα υπολογίζουμε την box διάσταση του συνόλου Cantor.

Αν κ31 <δ≤ 1κ3

1−

, για κάποιο κ∈ , τότε ο ελάχιστος αριθμός για να καλύψουμε

το Ε με διαστήματα μήκους δ, είναι . κδ 2)Ε(Ν ≤

Άρα : 1κ

κ3log2log

3log2log

δlog)E(Nlog

1κ

κδ

−⋅=≤

− −

παίρνω όριο και έχω 3log2log .

Αν 1κ31+≤δ< κ3

1 , για κάποιο κ∈ , τότε Nδ(Ε) ≥ 2κ.

Άρα : 1κ

κ3log2log

3log2log

log)E(Nlog

1κ

κ

δ

δ

+=≥

− + παίρνω όριο και έχω 3log2log

.

Άρα 3log2log

log)E(NloglimEdim

0B =

−=

δ

δ

→δ + .

Από τους παραπάνω υπολογισμούς παρατηρούμε ότι η εύρεση των διαστάσεων για σύνολα fractals είναι ιδιαίτερα κοπιαστική. Υπάρχει το εξής σημαντικό αποτέλεσμα. Θεώρημα (Hutchinson 1981) : Έστω w1,w2,…,wN :Rd → d , ομοιότητες (με την Ευκλείδεια μετρική) με συντελεστές , ώστε να ικανοποιούν την συνθήκη ανοικτού συνόλου :

)1,0(s,....,s,s N21 ∈

Υπάρχει V⊆ d , V≠∅ , V ανοικτό ώστε :

I. και UN

1ii V)V(w

=

⊆

II. ∅ , i≠j =)V(w)V(w ji I

Αν Κ είναι το σταθερό σημείο της W:H( d) → H( d) , τότε :

I. , όπου D δίνεται από την σχέση : D)K(dim)K(dim BH == ∑=

=N

1i

Di 1s

II. 0 < ΗD(Κ) < +∞ Το προηγούμενο θεώρημα μπορεί να γενικευθεί, ώστε να εκτιμήσουμε

την διάσταση ενός αναλλοίωτου συνόλου Κ μιας οικογένειας συστολών που δεν είναι ομοιότητες αλλά απλές συστολές.

30

Πρόταση : Έστω w1,……,wn συστολές πάνω σε ένα κλειστό υποσύνολο Α του d έτσι ώστε : |wi(x)-wi(y)| ≤ ci |x-y| (x,y∈Α) Με ci < 1 για κάθε i.

Τότε dimH Κ ≤ D και Bdim K ≤ D όπου ∑ . =

=m

1i

Di 1c

Στην συνέχεια παίρνουμε ένα κατώτερο όριο της διάστασης στην περίπτωση που τα wi(K) του K είναι ξένα, τότε το K πρέπει να είναι ολικά μη συνεκτικό. Πρόταση :Έστω w1,….,wn συστολές πάνω σε ένα κλειστό υποσύνολο A του d ώστε :

)y(w)x(wyxb iii −≤− (x,y∈A) με 0<b i <1 για κάθε i. Υποθέτουμε ότι K είναι σταθερό για τις wi :

)K(wKm

1iiU

=

=

με wi(K)∩wj(K)=∅, i≠j. Τότε όπου . DKdimH ≥ ∑=

=m

1i

Di 1b

31

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τοπική δομή των fractals. (s–σύνολα)

Μία λεία καμπύλη ή επιφάνεια σε μια μικρή περιοχή ενός σημείου της προσεγγίζεται αρκετά καλά από την εφαπτομένη της ή το εφαπτόμενο επίπεδο στο αντίστοιχο σημείο. Μπορούμε να έχουμε κάτι ανάλογο για την τοπική δομή ενός fractal σε ένα σημείο του ; Προς αυτήν την κατεύθυνση υπάρχουν διάφορα αποτελέσματα που αφορούν την “συγκέντρωση” των fractals σε ένα τυχόν σημείο. Ιδιαίτερα μελετάτε η τοπική πυκνότητα σε ένα σημείο και πως μπορεί να οριστεί μια έννοια εφαπτομένης σε ένα σημείο. Δίνουμε τώρα τον εξής ορισμό : Ορισμός : Ένα Borel σύνολο F⊆ n λέγεται s–σύνολο εάν 0<Hs(F)<∞.

Επομένως και η Hausdorff διάσταση του F είναι s. Πολλά fractal είναι s–σύνολα ή έχουν s–υποσύνολα, για αυτό και το ενδιαφέρον για τα s–σύνολα. Εδώ θα παραθέσουμε διάφορα αποτελέσματα για τον 2. Ανάλογα ισχύουν

και για τον n.

Έστω F ένα Borel σύνολο του 2. Η πυκνότητα του F στο x∈ 2 ορίζεται σαν το όριο :

( )( )

( )2

r

0rr

r

0r rπ)x(BFνόεμβαδlim

)x(Βνόεμβαδ)x(BFνόεμβαδlim II

→→=

όπου Βr (x) είναι η κλειστή σφαίρα ακτίνας r και κέντρου x.

Εάν τώρα F είναι μία λεία καμπύλη του 2, τότε η πυκνότητα στο x∈ 2

ορίζεται σαν το r

r

0r Βμετροςάδι)BF(κοςήμlim I

→, για να είναι διάφορη του μηδενός.

Ορίζουμε τώρα την πυκνότητα ενός s–συνόλου F⊆ n μέσω του Hausdorff–s μέτρου.

32

Ορισμοί : Κάτω και άνω πυκνότητα Έστω F⊆ n ένα s–σύνολο και x∈ n. Ορίζουμε την κάτω και άνω πυκνότητα στο x, αντίστοιχα, σαν :

( )( )s

rs

0r

s

r2)x(BFHlim)x,F(D I

→= ∈[0,1]

( )( )s

rs

0r

s

r2)x(BFHlim)x,F(D I

→= ∈[0,1]

όπου |Br(x)| = 2r, η διάμετρος του Βr (x). Αν αυτές είναι ίσες, τότε λέμε ότι η πυκνότητα στο x του F υπάρχει, και την συμβολίζουμε Ds(F,x). Ένα σημείο x στο οποίο )x,F(D)x,F(D

ss = =Ds(F,x)=1, λέγεται ομαλό σημείο του F, διαφορετικά το x λέγεται ανώμαλο σημείο. Έτσι σε ένα ανώμαλο σημείο θα έχουμε 1)x,F(Ds < . Το F λέγεται ομαλό, αν το Ηs–σχεδόν όλα τα σημεία του είναι ομαλά και ανώμαλο αν Ηs–σχεδόν όλα τα σημεία του είναι ανώμαλα. Οπότε και η κάτω πυκνότητα θα είναι μικρότερη του 1 σχεδόν σε κάθε σημείο του. Αποδεικνύεται ότι αν s δεν είναι ακέραιος ένα s–σύνολο F⊆ n είναι ανώμαλο, ενώ αν είναι ομαλό, τότε το s είναι ακέραιος s≤n. Για τις άνω και κάτω πυκνότητες ενός συνόλου F⊆ n ισχύει : Πρόταση : Αν F είναι ένα s–σύνολο στον n, τότε :

α) )x,F(D)x,F(Dss = =0 για Ηs–σχεδόν όλα τα x∉F

β) 1)x,F(D2ss ≤≤− για Ηs–σχεδόν όλα τα x∈F

Στην περίπτωση που το F είναι ένα ομαλό σύνολο, τότε από το θεώρημα πυκνότητας του Lebesgue έχουμε ότι )x,F(D)x,F(D

ss = =1 σχεδόν για όλα τα x∈F. Εάν τώρα F είναι ένα s–σύνολο και Ε ένα Borel σύνολο, υποσύνολο του F τότε έχουμε :

( ) ( ) ( )s

rs

sr

s

sr

s

)r2()x(B)E\F(H

)r2()x(BEH

)r2()x(BFH III

+=

Από την (α) της παραπάνω πρότασης έχουμε : ( ) 0)r2(

)x(B)E\F(Hs

rs

→I καθώς

r→0 και έτσι από την παραπάνω ισότητα έχουμε για r→0 : )x,E(D)x,F(D ss =

=)x,F(Ds

)x,E(Ds

σχεδόν για όλα τα x∈E. Επομένως αν Ηs(Ε)>0, τότε το Ε είναι ομαλό αν το F είναι ομαλό και το Ε είναι ανώμαλο αν το F είναι ανώμαλο. Αν τώρα το F είναι ομαλό και το Ε είναι η τομή του F με ένα ανώμαλο σύνολο, τότε Ηs(Ε)=0, διότι αλλιώς σχεδόν όλα τα σημεία του Ε θα είναι ομαλά.

33

Ανάλογα αν F είναι ένα ανώμαλο σύνολο και Ε η τομή του με ένα ομαλό θα έχουμε Ηs(Ε)=0. Επομένως η τομή ενός ανώμαλου και ενός ομαλού s–συνόλου έχει s–Hausdorff μέτρο 0. Όπως είπαμε εάν s δεν είναι ακέραιος το σύνολο F είναι ανώμαλο. Εάν s είναι ακέραιος, τότε είναι δυνατόν το F να είναι ομαλό. Για s=0 το Η0(F) είναι ο αριθμός σημείων του F, επομένως ένα 0–σύνολο είναι πεπερασμένο, αφού θέλουμε Η0(F)<∞ και έτσι δεν έχει ενδιαφέρον. Θεωρούμε τώρα την περίπτωση n=2 και s=1. Ισχύει το εξής : Θεώρημα διάσπασης :Έστω F ένα 1–σύνολο. Το σύνολο των ομαλών σημείων του F σχηματίζει ένα ομαλό σύνολο, το σύνολο των ανωμάλων σημείων του F σχηματίζει ένα ανώμαλο σύνολο.

Ομαλό Ανώμαλο

Σχήμα 9 Βάσει του προηγούμενου θεωρήματος, μπορούμε να χωρίσουμε ένα 1–σύνολο σε ένα ομαλό και σε ένα ανώμαλο μέρος και μπορούμε έτσι, να τα αναλύσουμε χωριστά και να τα επανασυνδέσουμε χωρίς να “πειράξουμε” τις ιδιότητες πυκνότητας. Οι λείες καμπύλες είναι ομαλά 1–σύνολα, ενώ η επαναλαμβανόμενη κατασκευή του παρακάτω σχήματος, δίνει ένα ανώμαλο 1–σύνολο το οποίο είναι ένα ολικά μη συνεκτικό fractal.

34

Σχήμα 10

Μία καμπύλη C είναι η εικόνα του [a,b] μέσω μιάς συνεχούς και 1–1 συνάρτησης γ:[a,b]→ 2 και L(C) είναι το μήκος της. Εάν L(C)<∞, τότε η καμπύλη έχει πεπερασμένο μήκος. Αν L(C) <∞, τότε αποδεικνύεται ότι Η1(C)=L(C). Καθώς Η1(C)=L(C), τότε 0< Η1(C)<∞ για μια καμπύλη με μήκος, άρα αυτή είναι 1–σύνολο. Αποδεικνύεται ότι η D1(C,x)=1 για όλα τα x∈C εκτός των δύο άκρων, επομένως η C είναι ένα ομαλό 1–σύνολο. Έχουμε ότι ενώσεις ομαλών συνόλων και υποσύνολα ομαλών συνόλων είναι ομαλά σύνολα. Ορίζουμε ένα 1–σύνολο να είναι “τύπου καμπύλης” αν περιέχεται σε μία αριθμήσιμη ένωση, από συνεχείς καμπύλες πεπερασμένου μήκους. Αποδεικνύεται ότι ένα “τύπου καμπύλης” σύνολο είναι ένα ομαλό 1–σύνολο. Αντίστοιχα ένα 1–σύνολο καλείται “χωρίς καμπύλες” αν η τομή του με κάθε καμπύλη πεπερασμένου μήκους έχει Η1–μέτρο μηδέν. Εάν F είναι ένα ανώμαλο 1–σύνολο και C μια καμπύλη με μήκος, τότε F∩C είναι υποσύνολο του F και της C που είναι ομαλό σύνολο, επομένως Η1(F∩C)=0, άρα το F είναι “χωρίς καμπύλες”. Έχουμε τώρα το εξής αποτέλεσμα : Πρόταση :

Αν F είναι ένα “χωρίς καμπύλες” 1–σύνολο στο 2, τότε 43)x,F(D1 ≤ , σχεδόν

για όλα τα x∈F. Τότε έχουμε τον επόμενο χαρακτηρισμό των ομαλών και ανωμάλων συνόλων: Θεώρημα : α) Ένα 1–σύνολο στο 2 είναι ανώμαλο ⇔ είναι σύνολο “χωρίς καμπύλες”.

β) Ένα 1–σύνολο στο 2 είναι ομαλό ⇔ είναι η ένωση ενός “τύπου καμπύλης” συνόλου με ένα σύνολο Η1- μέτρου μηδέν.

35

Έτσι τα ομαλά 1–σύνολα είναι ενώσεις υποσυνόλων καμπύλων με μήκος, ενώ τα ανώμαλα 1–σύνολα δεν περιέχουν κανένα τμήμα καμπύλης με μήκος. Τα ομαλά 1–σύνολα μπορεί να είναι συνεκτικά, ενώ τα ανώμαλα 1–σύνολα είναι ολικά μη συνεκτικά. 3.1 Εφαπτόμενες στα s–σύνολα Εάν μια καμπύλη C έχει εφαπτομένη σε ένα σημείο x, τότε κοντά στο x το σύνολο C είναι συγκεντρωμένο σε δύο διαμετρικά αντίθετες κατευθύνσεις που είναι πάνω στην εφαπτομένη. Έτσι για ένα s–σύνολο F⊆ 2 ορίζουμε ότι έχει

μία εφαπτομένη στο x∈ 2 κατά την διεύθυνση θ (όπου θ μοναδιαίο

διάνυσμα του 2) αν :

0)x,F(Ds

> (1) και για κάθε γωνία φ>0 έχουμε :

( ) 0))φ,θ,x(S\)x(B(FHrlim rss

0r=−

→I (2)

όπου S(x,θ,φ) είναι ο διπλός κυκλικός κώνος με κορυφή το x, που περιλαμβάνει εκείνα τα y∈ 2 για τα οποία το ευθύγραμμο τμήμα [x,y] κάνει γωνία το πολύ φ με το διάνυσμα θ. Μπορεί να πει κανείς ότι εάν υπάρχει εφαπτομένη στο x∈F τότε η (1) λέει ότι ένα σημαντικό τμήμα του F βρίσκεται κοντά στο x, ενώ από την (2) βλέπουμε ότι αμελητέο τμήμα του F βρίσκεται εκτός του παραπάνω κυκλικού κώνου.

36

Όσον αφορά την εφαπτομένη σε s–σύνολο έχουμε τις εξής προτάσεις : Πρόταση : o Μια συνεχής καμπύλη με πεπερασμένο μήκος C έχει μία εφαπτομένη σε όλα σχεδόν τα σημεία της, δηλαδή σχεδόν παντού.

o Ένα ομαλό 1–σύνολο στο 2 έχει μια εφαπτομένη σχεδόν σε όλα τα σημεία του.

o Σχεδόν σε όλα τα σημεία ενός ανώμαλου 1–συνόλου δεν υπάρχει εφαπτομένη.

Πρόταση : Αν F είναι ένα s–σύνολο στο 2 με 1<s<2, τότε σχεδόν σε όλα τα σημεία του δεν υπάρχει εφαπτομένη. Αυτά τα αποτελέσματα μας δίνουν μια τοπική εικόνα των fractals που είναι s–σύνολα. Επεκτείνοντας τα προηγούμενα αποτελέσματα μπορεί να δειχθεί ότι αν s>1, σχεδόν κάθε γραμμή διαμέσου σχεδόν κάθε σημείου ενός s–συνόλου F τέμνει το F σε ένα σύνολο διάστασης s–1.

37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.1 Σύνολα Julia και οι ιδιότητές τους

Τα σύνολα Julia είναι ένα παράδειγμα για το πώς μερικές απλές επαναληπτικές διαδικασίες μπορεί να οδηγήσουν σε τόσο περίπλοκα σύνολα και αποτελέσματα. Συναρτήσεις του μιγαδικού επιπέδου C απλές όπως η f(z)=z2+c, με c σταθερά, μας δίνουν fractals με πραγματικά “εξωτική” εμφάνιση. Μερικά παραδείγματα συνόλων Julia φαίνονται στο σχήμα 11.

Σχήμα 11. Μερικά σύνολα Julia. Τα σύνολα Julia εμφανίζονται με την επαναλαμβανόμενη σύνθεση μιας συνάρτησης f μιας μιγαδικής μεταβλητής, έτσι είναι συνδεδεμένα με τα δυναμικά συστήματα. Στην γλώσσα των δυναμικών συστημάτων το σύνολο Julia (J) είναι ένας δυναμικός απωθητής. Για πληρέστερη μελέτη αυτών, θα χρησιμοποιήσουμε στοιχεία της θεωρίας των Αναλυτικών Μιγαδικών Συναρτήσεων, ώστε να μπορέσουμε να πάρουμε περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την δομή τέτοιων απωθητικών συνόλων.

38

Δίνουμε τώρα διάφορους ορισμούς και μερικά βασικά θεωρήματα. Ορισμός : (Κανονικής οικογένειας) Έστω ℱ οικογένεια αναλυτικών συναρτήσεων που ορίζονται στο ανοικτό

σύνολο V⊆C.

• Η ℱ καλείται κανονική οικογένεια στο V, αν για κάθε ακολουθία fnη∈

της ℱ υπάρχει υπακολουθία f nκ n∈ , ώστε να ισχύει ακριβώς ένα από τα

επόμενα : 1. f ⇒f, σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του V, όπου f:V→C αναλυτική συνάρτηση.

nκ

2. f ⇒∞, σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του V. nκ

όπου ⇒ συμβολίζει την ομοιόμορφη σύγκλιση.

• Η ℱ καλείται κανονική οικογένεια στο w∈V, αν υπάρχει ανοικτό σύνολο U⊆V με w∈U ώστε η f|U να είναι κανονική οικογένεια στο U.

Εύκολα μπορεί να δει κανείς ότι αν η ℱ = fi : i∈I είναι κανονική οικογένεια στο V και g : C→C πολυώνυμο, τότε

η gfi , i∈I είναι κανονική οικογένεια στο V. Θεώρημα Montel : Έστω gnn∈ οικογένεια αναλυτικών συναρτήσεων ορισμένων στον τόπο V⊆C.

Εάν gnn∈ δεν είναι κανονική στο V, τότε :

=∞

=

)V(g1n

nU C ή C\z=∞

=

)V(g1n

nU 0

για κάποιο z0∈C. Μία ισοδύναμη διατύπωση του παραπάνω είναι η εξής :

Αν ⊆C\α,β με α≠β, τότε η οικογένεια g)V(g1n

nU∞

=nn∈ είναι κανονική στο V.

Το θεώρημα αυτό αποδείχθηκε από τον Montel (1912) και αναφέρεται

ως Θεμελιώδες Κριτήριο Κανονικότητας. Είναι από τα βασικότερα αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται στη θεωρία των συνόλων Julia.

Στην συνέχεια θα δώσουμε ορισμένους σημαντικούς ορισμούς και τον ορισμό του συνόλου Julia συνόλων πολυωνυμικών συναρτήσεων. Θεωρούμε μια f: C→C να είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n≥2 με μιγαδικούς συντελεστές, f(z)=α0 + α1z +.…..+ αnzn. Γράφουμε fκ, δηλώνοντας την κ σύνθεση της f, έτσι fκ(z) είναι η κ επανάληψη f(f(….(f(z)))) του z.

39

Ορισμοί :• Αν f(z)=z καλούμε το z σταθερό σημείο της f. • Αν fp (z)=z για κάποιο ακέραιο p≥1 καλούμε το z ένα περιοδικό σημείο της f. • Το μικρότερο p για το οποίο έχουμε fp (z)=z καλείται περίοδος του z. • Καλούμε το σύνολο z,f(z),…, fp(z) τροχιά του z περιόδου p. Υποθέτουμε ότι το z∈ είναι ένα σταθερό σημείο μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f και λ=f΄(z). Τότε το z καλείται : α) Υπερελκυστικό, αν λ=0. β) Ελκυστικό, αν 0<|λ|<1. γ) Απωστικό, αν |λ|>1. δ) Ρητώς αδιάφορο, αν η λ είναι μία ρίζα της μονάδας. ε) Αρρήτως αδιάφορο, αν |λ|=1, αλλά η λ δεν είναι μία ρίζα της μονάδας. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των ελκυστικών περιοδικών και αδιάφορων περιοδικών σημείων είναι πεπερασμένο. Άρα, ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα απωστικά περιοδικά σημεία, των οποίων όπως θα δούμε, η κλειστή θήκη είναι το σύνολο Julia της συνάρτησης f. Θεωρούμε το πολυώνυμο fc(z)=z2+c το οποίο παράγει την ακολουθία μέσω της σχέσης z

∞0nz

n+1= +c με z2nz 0∈ και c∈ , δηλαδή zn= (zn

cf 0). Η

συμπεριφορά της ακολουθίας εξαρτάται από την επιλογή του z0∈ και του

c∈ . Εάν το |c| είναι μεγάλο π.χ. |c|>4 τότε zn→∞ για κάθε z0∈ . Για να έχουμε μια ιδέα της ταχύτητας που το zn πλησιάζει το ∞ παρατηρούμε ότι το |z13| είναι μεγαλύτερο του λόγου του όγκου του γνωστού μέχρι σήμερα σύμπαντος, δηλαδή μέχρι τα πιο απομακρυσμένα quasars, προς τον όγκο ενός πρωτονίου. Υπάρχουν όμως τιμές του c∈ , για τις οποίες υπάρχουν

z0∈ έτσι ώστε η zn να παραμένει φραγμένη. Το σύνολο αυτών των c∈ συμβολίζεται με Μ και ονομάζεται σύνολο Mandelbrot (σχήμα 12) από το όνομα του Benoit Mandelbrot που το μελέτησε και έδωσε τις πρώτες εικόνες του από υπολογιστή.

Σχήμα 12.

40

Για c∈M το σύνολο των z0∈ για τα οποία η zn είναι φραγμένη συμβολίζεται με Kc και ονομάζεται το πλήρες σύνολο Julia της fc και το ∂Κc καλείται το σύνολο Julia της fc και συμβολίζεται με Jc. Ορισμός : Ορίζουμε J(f) το σύνολο Julia της f, το σύνολο :

J(f) = fτηςοίσημεόπεριοδικόαπωθητικw:w C∈

Όπου A = κλειστή θήκη του Α = κλειστότητα του Α. Το σύνολο F(f) = C\J(f) (δηλαδή το συμπλήρωμα του J(f)), καλείται σύνολο Fatou ή σύνολο ευστάθειας της f. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση f(z)=z2. Έτσι fn (z)= z , z∈C.

n2

Η fn (z) για |z|>1 συγκλίνει στο ∞ για |z|<1 συγκλίνει στο 0 Ενώ για |z|=1 έχουμε |fn(z)|=1.

Σχήμα 13.

Τα σταθερά σημεία της f(z)=z2 δίνονται από την σχέση z2=z και είναι τα z=0,1 και ∞ στο C . Στο C είναι τα 0 και 1, όπου έχω f΄(0)=0 και f΄(1)=2, άρα το 0 είναι υπερελκυστικό ενώ το 1 είναι απωστικό. Για τα περιοδικά σταθερά περιόδου n έχω fn(z)=z ή z =z που είναι εκτός του 0 και του 1 (και του ∞ στο

n2

C ) οι 2n-1 ρίζες της μονάδας. Για κάθε σημείο πάνω στον |z|=1 έχω |f΄(z)|=2|z|=2, άρα όλα τα περιοδικά σταθερά είναι απωστικά και το σύνολο αυτών είναι πυκνό στο |z|=1. ‘Ετσι η κλειστότητά τους είναι ο κύκλος |z|=1 που είναι το σύνολο Jf της f(z)=z2. Αν τώρα θεωρήσουμε σημεία πάνω στον |z|=1 της μορφής exp(2πir/2m) με r,m ακέραιους αριθμούς,τότε fn(z)=exp(2n 2πir/2m)=1, αν n≥m. Δηλαδή, ξεκινώντας από κάποιο από αυτά τα σημεία, τα οποία είναι πυκνά στον |z|=1, ύστερα από πεπερασμένα βήματα n=m φθάνουν στο 1 και παραμένουν εκεί, παρόλο που αυτό είναι απωστικό. Όμως πολύ κοντά, όσο θέλουμε κοντά, σε αυτά υπάρχουν και τα περιοδικά σταθερά σημεία, τα οποία διαγράφουν συνεχώς τον κύκλο χωρίς να

41

σταματούν αλλά με συμμετρικό τρόπο αφού επαναλαμβάνουν τα ίδια βήματα. Τέλος υπάρχουν και σημεία τα οποία κινούνται συνεχώς χωρίς να παρουσιάζει η τροχιά τους κάποια συμμετρία και η τροχιά τους να είναι πυκνή στον |z|=1. Έτσι βλέπουμε την χαοτική συμπεριφορά που έχει η fn(z) πάνω στον |z|=1 που είναι το Jf. Ορισμός : Εάν w ελκυστικό σταθερό σημείο της f, συμβολίζουμε με Α(w) το σύνολο z∈ : (z)=w και με Α(∞) το σύνολο z∈ : (z)= ∞ και τα

ονομάζουμε λεκάνες έλξης του w και του ∞ αντίστοιχα.

n

nflim

∞→

n

nflim

∞→

Εάν τώρα έχουμε ένα δευτεροβάθμιο πολυώνυμο, τότε Α(∞)≠∅, ενώ είναι δυνατόν να μην έχει ελκυστικά σταθερά σημεία στο C π.χ. z2+2 ενώ μπορεί να

έχει το πολύ ένα ελκυστικό. Αποδεικνύεται ότι Jf=∂Α(∞). Για την κατασκευή και την μελέτη σε ηλεκτρονικό υπολογιστή χρησιμοποιείται ένας εναλλακτικός ορισμός σύμφωνα με τον οποίο το σύνολο Julia της f είναι το σύνολο των σημείων στα οποία η οικογένεια των συναρτήσεων fn δεν είναι κανονική. Παρατηρήσεις : 1. Αν f(z)=z0+c(z-z0)n , τότε z0∉J(f)

2. Αν w∈J(f), τότε υπάρχει πάντα z≠w ώστε f(z)=w. 3. Η εικόνα του συνόλου Julia που παίρνουμε από τον υπολογιστή είναι μια προσέγγιση του πραγματικού συνόλου J, γιατί ο αριθμός των επαναλήψεων

που γίνονται είναι πεπερασμένος, ενώ το σύνολο J σαν όριο χρειάζεται άπειρες επαναλήψεις κάτι που είναι αδύνατο να γίνει. Πριν διατυπώσουμε τις ιδιότητες των συνόλων Julia, πρέπει να αναφέρουμε την εξής πρόταση : Πρόταση :Έστω f πολυώνυμο. Τότε είτε :

1. Η f έχει ένα σταθερό σημείο q με f΄(q)=1, είτε 2. η f έχει ένα σταθερό σημείο q με |f΄(q)|>1,

δηλαδή αποκλείεται όλα τα σταθερά σημεία να είναι ελκυστικά. Επομένως είτε η f έχει ένα απωθητικό σταθερό σημείο (και άρα J(f)≠∅) ή διαφορετικά η f έχει ένα αδιάφορο περιοδικό σημείο με παράγωγο ακριβώς ένα. Ένα τέτοιο σημείο αποδεικνύεται ότι είναι όριο απωθητικών περιοδικών σημείων. Άρα αν f είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n≥2, τότε J(f) ≠∅. Για την περίπτωση δευτεροβάθμιου πολυωνύμου η απόδειξη είναι απλή : το f με κατάλληλο μετασχηματισμό γράφεται στην μορφή z2+c. Τότε για τα σταθερά σημεία α,β θα έχουμε ότι είναι λύσεις της z2–z+c=0, άρα α+β=1 , αβ=c.

42

Επομένως f΄(α)+ f΄(β)=2α+2β=2(α+β)=2. Άρα αποκλείεται |f΄(α)|<1 και |f΄(β)|<1 επομένως έχει το πολύ ένα σταθερό ελκυστικό, επομένως Jf≠∅. Αναφέρουμε ορισμένες βασικές ιδιότητες των συνόλων Julia : 1) Το J(f) είναι ένα συμπαγές δηλ. κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του .

2) Το J(f) είναι μη κενό σύνολο.

3) Ισχύει J=f(J)=f-1(J) (αναλλοίωτο σύνολο).

4) J(f)= J(fp) , p∈ . Ισοδύναμα F(f)=F(fp).

5) Είναι σύνολο με κενό εσωτερικό. 6) Τέλειο σύνολο (J(f)=J΄(f)),δηλαδή κλειστό και χωρίς μεμονωμένα σημεία. 7) Υπεραριθμήσιμο σύνολο. 8) Το σύνολο Κ=w∈ J(f) : υπάρχει z≠w με f(z)=w και f΄(z) ≠0 , είναι

πυκνό στο J(f) (K =J(f)).

9) Εάν z∈J(f), ε>0 και J*=J(f)∩S(z,ε), τότε υπάρχει n ακέραιος ώστε

fn(J*)= J(f) Θεώρημα : (Εύρεσης του συνόλου Julia, από ένα και μόνο ένα σημείο του !!!) Έστω z∈J(f) , τότε :

J(f)=U∞

=

−

1κ

κ )z(f

Δηλαδή εάν έχω κάποιο z∈J(f), τότε παίρνω τις αντίστροφες εικόνες του μέσω των fκ, στη συνέχεια παίρνω την ένωσή τους και μετά την θήκη. Το αποτέλεσμα είναι το σύνολο Julia της f. Έτσι όταν “πατήσει” κανείς πάνω στο σύνολο Julia δεν μπορεί να ξεφύγει !!! Το τελευταίο θεώρημα δίνει έναν καλό αλγόριθμο για να απεικονίσουμε τα σύνολα Julia γραφικά. Έτσι βρίσκεται ένα απωθητικό σταθερό σημείο και υπολογίζονται οι αντίστροφες εικόνες του.

43

4.2 Γεωμετρία των συνόλων Julia. Συνεκτικότητα – Διάσταση Θα δώσουμε μερικές εικόνες συνόλων Julia όταν fc(z)=z2+c. Έχουμε ήδη δει την περίπτωση c=0 όπου το J0 είναι ο μοναδιαίος κύκλος. Αν |c| είναι

κοντά στο 0 περιμένουμε να μην έχει αλλάξει πολύ το Jc και να παραμένει μια απλή κλειστή καμπύλη. Πράγματι, αυτό συμβαίνει όταν η fc έχει ένα σταθερό ελκυστικό σημείο. Δηλαδή, σε μία από τις ρίζες της fc(z)=z να έχουμε την | (z)|<1, οπότε η άλλη θα είναι απωστικό σημείο. Ύστερα από πράξεις βλέπουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν το c είναι μέσα στο καρδιοειδές με εξίσωση

΄cf

( π2θ0e211e

21z θiθi ≤≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ⋅⋅ ), που είναι το κύριο μέρος του συνόλου

Mandelbrot. Για δύο συγκεκριμένες τιμές του c έχουμε :

Σχήμα 14.

Τα σύνολα Julia της fc για i101

21c −−= αριστερά και i

21c = δεξιά

Επιπλέον, μπορεί να δειχθεί ότι το σύνολο Julia για τέτοια c είναι μία απλή κλειστή πουθενά διαφορίσιμη καμπύλη. Τέτοιες καμπύλες μερικές φορές αναφέρονται σαν “σχεδόν κύκλοι”. Το J(fc) θα είναι μία fractal καμπύλη εάν c>0 και αποδεικνύεται ότι για μικρά c, η διάστασή του δίνεται από την σχέση:

)|c(|o2log4c

1)f(Jdim)f(Jdims 22

cHcB ++=== .

Τώρα θεωρούμε την περίπτωση που η fc έχει μία ελκυστική περιοδική τροχιά περιόδου 2, δηλαδή η fc2 έχει ελκυστικά σταθερά σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν

|c+1|<41 .

Δηλαδή αν το c βρίσκεται στον μεγάλο κύκλο του Μ που συνορεύει με το καρδιοειδές στα αριστερά. Επειδή η είναι ένα πολυώνυμο βαθμού 4, η f2

cf c έχει δύο σταθερά σημεία και δύο σημεία περιόδου 2.

44

Παράδειγμα : Έστω f(z)=z2–1, δηλαδή c=–1=το κέντρο του κύκλου.

Βρίσκουμε τα σταθερά σημεία της z2–1=z που είναι τα ( )2

51+ και ( )2

51− ,

που είναι απωθητικά. Παίρνουμε την f2(z) και έχουμε : και βρίσκουμε τα σταθερά σημεία της που δίνονται από την σχέση (z

1)1z()z(f 222 −−=2–1)2–1=z. Αυτά είναι τα δύο

προηγούμενα και τα 0 και –1. Έχουμε )1z(z4)z()f( 22 −=

με 0)0()f( 2 = άρα το 0 υπερελκυστικό

και 0)1()f( 2 =− άρα και το –1 υπερελκυστικό. Άρα τα 0 , –1 είναι ελκυστικά περιοδικά σημεία περιόδου 2 για την fc.

Το σταθερό σημείο ( )2

51− είναι το διαχωριστικό σημείο μεταξύ των λεκανών

έλξης του 0 και του –1.

Σχήμα 15

Στο σχήμα 15 έχουμε το σύνολο J της f(z)=z2–1. Το συμπλήρωμά του, το F, δεν είναι συνεκτικό. Η μη φραγμένη συνιστώσα είναι η Α(∞) και είναι η μόνη συνεκτική συνιστώσα του F που είναι αναλλοίωτη ως προς την f, δηλαδή f(Α(∞))=Α(∞) και f-1(Α(∞))=Α(∞). Η τυχούσα φραγμένη συνεκτική συνιστώσα του F δεν είναι αναλλοίωτη καθώς η δράση της f την μεταφέρει σε μια άλλη και ύστερα από πεπερασμένα βήματα θα φτάσει σε μια από τις συνιστώσες που περιέχουν τα 0 και –1 και μετά θα εναλλάσσονται οι δύο αυτές συνιστώσες. Το γεγονός ότι υπάρχουν άπειρα συνεκτικά κομμάτια σε ένα σταθερό σύνολο της f, δεν είναι τυχαίο, επειδή έχουμε την εξής πρόταση : Έστω f πολυώνυμο βαθμού ≥ 2, τότε το σύνολο Fatou της f περιλαμβάνει 1,2 ή άπειρες συνεκτικές συνιστώσες. Για |c| μεγάλο, τότε έχουμε :

clog2log2~)f(Jdim)f(Jdim cHcB =

Τα σύνολα Julia J(fc) που είναι πολύ περίπλοκα και δύσκολα να εξεταστούν και να αναλυθούν μαθηματικά, είναι αυτά που αντιστοιχούν για τις τιμές c πάνω στο σύνορο του Μandelbrot.

45

Διάφορες τιμές του c πάνω στο σύνολο Mandelbrot μας δίνουν διαφορετικά σύνολα Julia.

Αν το c∈M το σύνολο Julia είναι συνεκτικό, αν c∉M τότε το σύνολο Julia δεν έχει συνεκτική δομή (σχήμα 16).

Σχήμα 16.

Το σύνολο Julia Jc είναι ολικά μη συνεκτικό, για c=0,11031-0,67037i.

Ενώ αν π.χ. c=–0,12+0,74i που είναι το κέντρο του μεγάλου εξογκώματος που βρίσκεται στην κορυφή του κυρίως καρδιοειδούς τότε παίρνουμε το σχήμα 17.

Σχήμα 17. Η λεκάνη ενός ελκυστικού κύκλου περιόδου 3.

Εδώ το σύνολο Julia δεν είναι ένας απλός παραμορφωμένος κύκλος, αλλά αποτελείται από άπειρο αριθμό παραμορφωμένων κύκλων που επίσης αποτελούν ένα συνεκτικό σύνολο. Το εσωτερικό αυτού του συνόλου έλκεται, όχι μόνο από ένα σταθερό σημείο αλλά από έναν ελκυστικό κύκλο περιόδου 3, που φαίνονται στο σχήμα 17 ως τρεις παχιές τελείες.

Επιπλέον ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το σύνορο του Μ. Μπορούμε να φανταστούμε ένα μονοπάτι στο c–επίπεδο το οποίο ξεκινά μέσα στο Μ και τελειώνει έξω από το Μ. Καθώς το c μεταβάλλεται κατά μήκος αυτού του μονοπατιού, τα αντίστοιχα σύνολα Julia θα παρουσιάσουν σημαντικές ποιοτικές αλλαγές και όταν το c θα βγει έξω από το Μ, το σύνολο Julia θα διασπασθεί σε άπειρα σημεία.

46

Το κύριο καρδιοειδές περιλαμβάνει τις τιμές του c για τις οποίες το σύνολο Julia είναι λιγότερο ή περισσότερο ένας παραμορφωμένος κύκλος, που είναι το σύνορο της λεκάνης έλξης ενός μοναδικού σταθερού σημείου. Κάθε εξόγκωμα στο Μ αντιστοιχεί σε έναν ελκυστή μιας ιδιαίτερης περιόδου. Οι τρεις κύκλοι δημιουργήθηκαν από μια τριακλάδωση του σταθερού σημείου όταν η παράμετρος c κινείται από το καρδιοειδές προς το εξόγκωμα. Στο σημείο τομής του καρδιοειδούς με το εξόγκωμα, το σύνολο Julia περιέχει το αδιάφορο σημείο. Αυτή καλείται παραβολική περίπτωση. Παραδείγματα αυτής της κατάστασης είναι οι παρακάτω εικόνες του σχήματος 18.

Σχήμα 18. α) Παραβολική λεκάνη έλξης γύρω από ένα σταθερό σημείο

β) Παραβολική περίπτωση όπου το σταθερό σημείο εξελίσσεται σε έναν ελκυστικό κύκλο περιόδου 20

Υπάρχουν όμως και άλλου είδους συνοριακά σημεία. Όταν π.χ. c=–0.39054 –0.58679i παίρνουμε το σχήμα 19. Οι κύκλοι που φαίνονται γύρω από το αδιάφορο σταθερό σημείο καλούνται αναλλοίωτοι κύκλοι. Αν τώρα κάποιος πάρει ως αρχικό σημείο ένα σημείο πάνω σε αυτούς τους κύκλους, όλα τα επαναλαμβανόμενα σημεία θα είναι επίσης πάνω σε αυτόν. Μέσα στην περιοχή που φράσσεται από το σύνολο Julia η διαδικασία γίνεται ως εξής : πρώτα το σημείο πηδά από μικρότερο περιφερειακό εξόγκωμα σε μεγαλύτερο μέχρι να φτάσει μέσα στον δίσκο που περιέχει το σταθερό σημείο. Αυτός ο δίσκος καλείται δίσκος Siegel, από τον μαθηματικό Carl Ludwig Siegel.

Σχήμα 19. Σημεία του πλήρους συνόλου Julia περιστρέφονται

πάνω στον δίσκο Siegel γύρω από το σταθερό σημείο Ρ

Όταν ένα σημείο φτάσει εκεί, απλά θα περιφέρεται γύρω από το σταθερό σημείο πάνω στους αναλλοίωτους κύκλους.

47

Ανακεφαλαιώνοντας, έχουμε τις εξής τέσσερις τυπικές περιπτώσεις, που μπορούμε να πάρουμε από την διαδικασία z→z2+c : 1. Αν c είναι στο εσωτερικό του κυρίως σώματος του συνόλου Mandelbrot, τότε το σύνολο Julia είναι ένας παραμορφωμένος κύκλος που περιέχει το σταθερό ελκυστικό σημείο. 2. Αν c είναι στο εσωτερικό ενός από τα εξογκώματα, τότε το σύνολο Julia αποτελείται από άπειρα πολλούς παραμορφωμένους κύκλους που περιβάλλουν τα σημεία ενός περιοδικού ελκυστή και τις αντίστροφες εικόνες του. 3. Αν c είναι το σημείο τομής του καρδιοειδούς και ενός εξογκώματος, έχουμε την παραβολική περίπτωση και το αδιάφορο σημείο ανήκει στο Jc. 4. Αν c είναι ένα οποιοδήποτε άλλο συνοριακό σημείο του καρδιοειδούς ή ενός εξογκώματος, έχουμε έναν ή περισσότερους δίσκους Siegel. Επίσης, όπως μπορούμε να δούμε από το σχήμα του Mandelbrot, το Μ αποτελείται και από δομές που μοιάζουν με “τρίχες” ή “νήματα”. Αν πάρουμε μια τιμή του c πάνω σε αυτές, τότε παίρνουμε παρόμοιο σύνολο Julia όπως φαίνεται στο σχήμα 20 για c=i και το σύνολο Julia καλείται δενδρίτης (σχήμα 20). Αυτό συμβαίνει όταν μία επανάληψη του σημείου 0 είναι περιοδική. Δηλαδή, για θετικούς ακέραιους κ και q. )0(f)0(f qκ

cκc

+=Αυτοί οι δενδρίτες δεν έχουν εσωτερικό και δεν υπάρχει άλλος ελκυστής εκτός από το άπειρο.

Σχήμα 20. Δενδρίτης για c=i Το σύνολο Julia τώρα είναι το σύνορο ενός μοναδικού τομέα έλξης και περιλαμβάνει εκείνα τα σημεία τα οποία δεν πηγαίνουν στο άπειρο. Παρατηρώντας, τώρα, τις κεραίες του Μ, βλέπουμε ότι αυτές έχουν μικρά αντίγραφα του Μ (σχήμα 21). Επιπλέον μικρότερα βρίσκονται μεταξύ μεγαλυτέρων κ.ο.κ.

48

Σχήμα 21. Μικροσκοπικά αντίγραφα του Mandelbrot

Αν πάρουμε μια τιμή του c μέσα σε ένα από αυτά τα αντίγραφα (μινιατούρες) του Μ, τότε το σύνολο Julia είναι ένας συνδυασμός ενός δενδρίτη και του συνόλου Julia που παίρνουμε για την αντίστοιχη τιμή του c μέσα στο σύνολο Μ, το οποίο επαναλαμβάνεται πολλές φορές και κολλάει πάνω στους δενδρίτες. Το σχήμα 22 δείχνει ένα τέτοιο παράδειγμα.

Σχήμα 22. Δενδρίτης με “χάντρες”. Είναι το σύνολο Julia για την τιμή του c, που αντιστοιχεί σε μινιατούρα σύνολο Mandelbrot

Τέλος, μπορούμε να πάρουμε τιμές του c έξω από το Μ. Σε αυτήν την περίπτωση το άπειρο είναι ο μόνος ελκυστής, αλλά τώρα το σύνολο Julia έχει διασπασθεί και αποτελείται από ένα σύννεφο σημείων που καλείται σκόνη Cantor. Αυτή η σκόνη των σημείων γίνεται όλο και πιο λεπτή καθώς το c απομακρύνεται από το Μ.

49

Σχήμα 23. Σύνολο Julia για τιμή του c από την κοιλάδα ιππόκαμπων

Σχήμα 24. Σκόνη Cantor Αν το c είναι κοντά στο σύνορο Μ, η σκόνη φτιάχνει εντυπωσιακές εικόνες όπως φαίνεται στα σχήματα 23,24 τα οποία έχουν δομή fractal, παρουσιάζουν αυτοομοιότητα και έχουν χαοτική δυναμική. Το σχήμα 25 δίνει αναπαραστάσεις μερικών από τα παραπάνω και το σχήμα 26 δείχνει τα σύνολα Julia που αντιστοιχούν για τις διάφορες τιμές του c πάνω στο σύνολο Mandelbrot.

50

Σχήμα 25. Μία συλλογή συνόλων Julia της εξίσωσης fc(z)=z2+c. (a) c= -0,1+0,1i : η fc έχει ένα ελκυστικό

σταθερό σημείο και το J είναι σχεδόν-κύκλος. (b) c= -0,5+0,5i : η fc έχει ένα ελκυστικό

σταθερό σημείο και το J είναι σχεδόν-κύκλος. (c) c= -1+0,05i : η fc έχει μία ελκυστική τροχιά περιόδου 2. (d) c= -0,2+0,75i : η fc έχει μία ελκυστική τροχιά περιόδου 3. (e) c= 0,25+0,52i : η

fc έχει μία ελκυστική τροχιά περιόδου 4. (f) c= -0,5+0,55i : η fc έχει μία ελκυστική τροχιά περιόδου 5. (g) c=0,66i : η fc δεν έχει ελκυστικές τροχιές και το J είναι ολικά μη συνεκτικό.

(h) c= -i : η fc2(0) είναι περιοδική και το J είναι ένας δενδρίτης

Σχήμα 26.

51

Πρέπει να αναφέρουμε ότι τα εξογκώματα πάνω στο Mandelbrot αντιστοιχούν σε ελκυστικές τροχιές περιόδου p, όπως φαίνεται στο σχήμα 27.

Σχήμα 27.

52

4.3 Συνεχής εξάρτηση των συνόλων Julia από τις παραμέτρους

Έχουμε ορισμένα χρήσιμα αποτελέσματα σχετικά με την σύγκλιση των συνόλων Julia τα οποία σχετίζονται με τις συναρτήσεις f(z)=z2+c και fn(z)=z2+cn με cn→c.

Το βασικό θεώρημά μας είναι κυρίως ένα οριακό θεώρημα που εξηγεί από πού προέρχεται η παραμόρφωση μερικών συνόλων Julia των δευτεροβάθμιων πολυωνύμων, καθώς επίσης πώς και πότε αυτή συμβαίνει. Ο μόνος περιορισμός, εδώ είναι, ότι επικεντρωνόμαστε στο κυρίως καρδιοειδές του συνόλου Mandelbrot. Η χρησιμότητα των αποτελεσμάτων δεν μπορεί να ειδωθεί με την πρώτη ματιά, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε προβλήματα εύρεσης της διάστασης Hausdorff συνόλων Julia, καθώς στην γραφική αναπαράσταση με υπολογιστές.

Προηγουμένως θα διατυπώσουμε μερικά βασικά λήμματα και έναν ορισμό που μας χρειάζονται για το κύριο θεώρημά μας. Ορισμός : Εάν γ είναι μία απλή κλειστή καμπύλη (καμπύλη Jordan), τότε η γ χωρίζει το επίπεδο σε δύο ξένα τμήματα. Ορίζουμε int(γ), εσωτερικό της γ, το φραγμένο τμήμα και ext(γ), εξωτερικό της γ, το μη φραγμένο τμήμα. Λήμμα 1 :

Για κάθε R>21 + c

41 , έχουμε ότι \Α(∞)⊆ )R,0(S και υπάρχει n0∈ τέτοιο

ώστε \Αn(∞)⊆ )R,0(S , για κάθε n≥n0. Λήμμα 2 : Για κάθε δ>0, υπάρχει n1∈ τέτοιο ώστε ∂(J+δ)∩A(∞)⊆An(∞), για κάθε n≥n1

(όπου ∂(J+δ) το σύνορο του (J+δ)) Εάν α και αn είναι ελκτικά σταθερά σημεία των f και fn αντίστοιχα, τότε έχω : Λήμμα 3:

Για κάθε 0<R<21 + c

41 , έχουμε ότι, S(0,R)⊆A(α) και υπάρχει n2∈ έτσι ώστε

S(0,R)⊆An(αn) για κάθε n≥n2. Λήμμα 4 : Για κάθε δ>0 υπάρχει n3∈ έτσι ώστε ∂(J+δ)∩A(∞)⊆An(αn), για κάθε n≥n3. Τώρα διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το παρακάτω θεώρημα : Θεώρημα : Δοθέντος οποιουδήποτε θετικού ε, υπάρχει ένας θετικός ακέραιος Ν, έτσι ώστε

h(J,Jn)≤ε για κάθε n≥N, δηλαδή J

∞→nlim n=J ως προς την μετρική Hausdorff.

53

Απόδειξη θεωρήματος : Έστω ε>0. Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχει Ν∈ τέτοιο ώστε :

(a) J ⊆ Jn + ε

(b) Jn ⊆ J + ε (a) Έστω z0 , zn να είναι τα απωθητικά σταθερά σημεία των f , fn για n=1,2… αντίστοιχα. Χρειαζόμαστε μόνο να δείξουμε ότι υπάρχει Ν1∈ ώστε :

( ) ( ) εWεzfzfW nn1κ

κn0

1κ

κ +=+⊆=∞

=

−∞

=

− UU .

Έτσι θα έχουμε ότι : εJJεWW nn +⊆⇔+⊆ , για κάθε n≥N1. Υποθέτουμε ω∈W, τότε ω∈f-κ (z0) για κάποιο κ∈ και το fκ(ω)–z0 έχει 2κ ρίζες. Η εξίσωση

έχει τον ίδιο αριθμό ριζών με την fnκn z)z(f = κ(z)–z0 για τα παραπάνω κ. Επειδή έχουμε για το πολυώνυμο , ότι υπάρχει δ>0 και

n

cclim nn=

∞→ nκn z)z(f −

κ∈ έτσι ώστε οι συντελεστές των ίσων δυνάμεων να απέχουν λιγότερο από δ από αυτούς της fκ(z)–z0 και επιπλέον, σύμφωνα με γνωστό θεώρημα, οι

ρίζες τους θα απέχουν λιγότερο από 2ε , δηλαδή αν ζn∈ f-κ (zn) έχουμε :

|ζn–ω| < 2ε , για κάθε n≥nκ

τότε θα έχουμε ότι :

2ε)z(fω n

1κ

κn +∈

∞

=

−U , για κάθε n≥nκ (1)

Όμως το J είναι συμπαγές, έτσι για κάθε οικογένεια ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4ε,xS i , i∈ όπου xi∈

J, έχουμε :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊆

= 4ε,xSJ i

1iUl

, ∈ .

Επειδή ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∞

=

−U1κ

0κ zfJ , υπάρχει i=1,2,…, έτσι ώστε

y

( )01κ

κi zfy U

∞

=

−∈

i∈ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4ε,xS i , έτσι :

Ul

1ii 2ε,ySJ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⊆ , ∈ .

Τότε εξαιτίας της (1) , για όλα τα yi ∈ , έχουμε )z(f 0κi− ( )

2εzfy 0

1κ

κni +∈

∞

=

−U , για

κάθε i=1,2,…, και n≥N1 , όπου l21 κκκ1 n,...,n,nmaxN = .

54

Τελικά :

( ) εJ)ε,0(Szf2ε,0Sy,...,y,y

2ε,ySJ nn

1κ

κne21

1ii +⊆+⊆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⊆

∞

=

−

=UU

l

,

για κάθε n1∈ . (b) Από το λήμμα 3, έχουμε ότι υπάρχει n1∈ έτσι ώστε :

∂ (J+ε) ∩ A(∞) ⊆ An(∞) ⇔ ext (∂ (J+ε) ∩ Α(∞)) ⊆ Αn(∞) ⇔

))(Α)εJ(int()(A\ n ∞+∂⊆∞ IC ⇔ ))(A)εJ(int(Jn ∞+∂⊆ I , για κάθε n≥n1 (2)

Από το λήμμα 5, έχουμε ότι υπάρχει n3∈ έτσι ώστε :

∂ (J+ε) ∩ A(α) ⊆ An(αn) ⇔

int(∂(J+e)∩A(a))⊆An(αn)

( ) ( )( )αAεJext)α(A\ nn I+∂⊆C ⇔ (4)

( ) ( )( )αAεJextJn I+∂⊆ , για κάθε n≥n3 (3)

και θέτοντας Ν2 = maxn1 , n3 έχουμε από την (2) και (3) ότι Jn ⊆ J+ε , για κάθε n≥N2. Θέτοντας τελικά Ν = maxN1 , N2 παίρνουμε :

h (J , Jn) ≤ ε

55

Σχήμα 28.

Σχήμα 29.

56

4.4 Χαρακτηρισμός των “σχεδόν–κύκλων” από την διάσταση Ξέρουμε ότι αν το c ανήκει στο κύριο καρδιοειδές του Μ, τότε το σύνολο Julia της fc(z)=z2+c είναι μια απλή κλειστή καμπύλη. Όμοια το σύνολο Julia της fc(z) =zn+c είναι μια απλή κλειστή καμπύλη για κάθε n≥2, με τον όρο ότι το c είναι αρκετά μικρό. Έτσι όλες αυτές οι συναρτήσεις έχουν σύνολα Julia που είναι τοπολογικά τα ίδια, είναι δηλαδή όλα ομοιομορφικά με έναν κύκλο. Εδώ μάλιστα ισχύει κάτι πιο ισχυρό όπως θα εξηγήσουμε παρακάτω. Για αυτό δίνουμε μερικούς ορισμούς: 1. Έστω F⊆ n και f : F → m. Αυτή λέγεται αμφι–Lipschitz εάν υπάρχουν

c1,c2 ώστε c1|x–y|n ≤ |f(x)–f(y)|m ≤ c2 |x–y|n για κάθε x,y∈F με 0<c1≤c2<∞. 2. Έστω F⊆ 2. Το F λέγεται σχεδόν–κύκλος ή ψεύδο–κύκλος εάν :

I. Το F είναι ομοιομορφικό με ένα κύκλο. (υπάρχει 1-1 αμφισυνεχής και επί απεικόνιση)

II. 0 < Ηs(F) < ∞ με s = dimHF. III. Υπάρχουν b≥α>0 και r>0 τέτοια ώστε για κάθε U⊆F με |U|≤r να

υπάρχει μία φ:U→F που να είναι αμφι–Lipschitz με c1= |U|α και

c2= |U|b .

Δύο σύνολα λέγονται αμφι–Lipschitz ισοδύναμα εάν υπάρχει μία αμφι–Lipschitz απεικόνιση μεταξύ τους. Γνωρίζουμε ότι αν Ε και F είναι αμφι–Lipschitz ισοδύναμα, τότε dimHE=dimHF. Εάν τα E και F είναι σχεδόν–κύκλοι, τότε ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν dimHE=dimHF, τότε Ε και F είναι αμφι–Lipschitz ισοδύναμα, που δείχνει ότι τα Ε και F ουσιαστικά έχουν την ίδια fractal δομή. Εάν τώρα πάρουμε τα σύνολα Julia J1 , J2 δύο πολυωνύμων f1 και f2 και

υποθέσουμε ότι 1)z(f ΄i > για z∈ Ji , i=1,2 , τότε μπορεί να δειχθεί ότι αυτά είναι σχεδόν–κύκλοι οπότε από τα παραπάνω έχουμε ότι είναι αμφι–Lipschitz ισοδύναμα αν και μόνο αν dimH J1= dimH J2.

57

4.5 Η δυναμική κοντά στα Αδιάφορα περιοδικά σημεία Επειδή τα ελκυστικά περιοδικά σημεία ανήκουν στο F (σύνολο Fatou) και τα απωθητικά περιοδικά σημεία ανήκουν στο J, αναρωτιόμαστε σχετικά με τα αδιάφορα περιοδικά σημεία. Αυτά όπως είδαμε μπορεί να ανήκουν τόσο στο J όσο στο F. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι το 0 είναι σταθερό σημείο και θεωρούμε την ανάπτυξη γύρω από το 0. Έστω f(z)=λz+α2z2+α3z3+...+αnzn, f΄(0)=λ με |λ|=1, δηλαδή λ=exp(2πiα) με α∈[0,1]. Υπάρχουν δύο τύποι αδιάφορων περιοδικών σημείων, όπως έχουμε αναφέρει. Το σταθερό σημείο 0 καλείται ρητώς αδιάφορο αν το α είναι ένας ρητός αριθμός και καλείται αρρήτως αδιάφορο αν το α είναι ένας άρρητος αριθμός. Ένα ρητώς αδιάφορο σταθερό σημείο καλείται επίσης παραβολικό. Ήταν γνωστό στους Julia και Fatou ότι x0∈J , αν x0 είναι ένα παραβολικό περιοδικό σημείο της f. Δίσκοι Siegel. Η άρρητη περίπτωση είναι πιο δύσκολη. Χρειαζόμαστε την έννοια της ευστάθειας για ένα σταθερό σημείο. Το σημείο 0 καλείται ευσταθές, αν για κάθε περιοχή U του 0, υπάρχει μία περιοχή V του 0 ώστε V⊂U και fκ(V)⊂U , για κάθε κ≥1. Προφανώς τα ελκυστικά σταθερά σημεία είναι ευσταθή. Όμως, για να περιγράψουμε την ευστάθεια των αδιάφορων σταθερών σημείων, χρησιμοποιούμε ένα αποτέλεσμα των J.Moser και C.L.Siegel : Έστω f(z)=λz+α2z2+…+αnzn, |λ|=1 και λn≠1, για κάθε n∈ . Τότε το 0 είναι ένα ευσταθές σταθερό σημείο αν και μόνο αν η συναρτησιακή εξίσωση

Φ(λz)=f(Φ(z)) (I) έχει μία αναλυτική λύση στην περιοχή του 0 ως προς Φ. Η συναρτησιακή εξίσωση (Ι) καλείται εξίσωση Schröder. Ο E.Schröder, μελέτησε την επιλυσιμότητά της το 1871 σε σχέση με την μέθοδο Newton για την εύρεση ριζών. Σχετικά με την (I) έχουμε το εξής : Θεώρημα :Η (Ι) έχει λύση εάν και μόνο εάν η ακολουθία fn είναι ομοιόμορφα φραγμένη σε μια περιοχή του 0. Μια άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι τότε έχουμε

λz=Φ-1(f(Φ(z))) Δηλαδή, η f είναι συζυγής ως προς μια στροφή κατά λ. Όμως έχουμε και το εξής : Θεώρημα :Υπάρχει λ=e2πiα, ώστε η (Ι) για κάθε πολυώνυμο f να μην έχει λύση. O C.L.Siegel το 1942 έδειξε ότι η (Ι) έχει λύση αν για το α , λ=e2πiα , ισχύει : υπάρχούν ε>0 και μ>0 ώστε :

58

μnε

nmα >− ,

για κάθε m∈Z και n∈N. Εάν λοιπόν το α ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη, τότε η f είναι συζυγής ως προς μια στροφή κατά λ σε μια περιοχή του σταθερού σημείου 0. Η μέγιστη περιοχή που περιέχει το 0 λέγεται δίσκος Siegel. Εάν τα παραπάνω ισχύουν για το τυχόν αρρήτως αδιάφορο σταθερό σημείο z0 της f(z), τότε το z0 λέγεται κέντρο του δίσκου Siegel και αποδείχτηκε ότι τότε το z0∈Ff , δηλαδή το z0 ανήκει στο σύνολο Fatou της f. Η παραπάνω συνθήκη είναι μόνο ικανή. Δεν υπάρχουν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τον καθορισμό εάν το z0∈Ff ή z0∈ Jf.

59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.1 Σύνολο του Mandelbrot Το 1980, ο Benoit Mandelbrot αποφάσισε να μελετήσει το πως μεταβάλλεται η συμπεριφορά της συνάρτησης f(z)=z2+c κατά την επαναληπτική διαδικασία, καθώς μεταβάλλεται το c, στην περίπτωση όμως που τα z και c είναι μιγαδικοί αριθμοί. Το αποτέλεσμα της έρευνάς του μέσω υπολογιστή ήταν ένα αξιοσημείωτα πολύπλοκο και όμορφο συνάμα υποσύνολο του επιπέδου, στο οποίο αργότερα δόθηκε το όνομά του, από τον Adrien Douady. [ Νωρίτερα το 1979 είχε δοθεί σχέδιο του ιδίου συνόλου με την βοήθεια υπολογιστή από τους R.Brooks και J.P.Matelski (Ann.of Math.Studies (1980) : 65-71). Το δικό τους υστερούσε στην απόδοση αξιοπρόσεκτων λεπτομερειών σε σχέση με εκείνο του Mandelbrot ]. Το σύνολο αυτό είχε μελετηθεί πριν από το 1920 από τους Pierre Fatou και Gaston Julia. Όμως πριν την επινόηση των υπολογιστών δεν είχαν ιδέα για το πως έμοιαζε. Ο Mandelbrot, ερευνητής στην IBM, έκλεινε μια εικοσαετία έρευνας fractal φαινομένων στην φύση. Ήταν επισκέπτης καθηγητής εκείνη την χρονιά στο Harvard και αποφάσισε να σχεδιάσει με την βοήθεια υπολογιστή το σύνολο που έμελλε να φέρει το όνομά του. Εντυπωσιασμένος από ότι είδε, χρησιμοποίησε ότι καλύτερο είχε να παρουσιάσει η IBM, για να ανακαλύψει ότι το σύνολο αυτό ήταν ένα εκπληκτικό fractal σύνολο, με μικροσκοπικά αντίγραφα του όλου να εμφανίζονται σε όλες τις μεγεθύνσεις. Καμία, όμως, εικόνα στον υπολογιστή δεν πρόκειται να δώσει τέλεια αναπαράσταση του συνόλου του Mandelbrot, καθώς αυτό υπάρχει μόνο σε οριακή μορφή, ενώ με τον υπολογιστή έχουμε πάντα μια προσέγγιση, συνεχώς καλύτερη καθώς οι υπολογιστές βελτιώνονται. Το σύνολο του Mandelbrot θεωρείται ως το πολυπλοκότερο αντικείμενο που παρουσιάστηκε στα μαθηματικά και πράγματι οι εικόνες του δείχνουν ότι έχει μια εξαιρετικά περίπλοκη δομή.

Σχήμα 30. Σύνολο Mandelbrot.

60

Αποτελείται : από ένα κυρίως καρδιοειδές το οποίο έχει “κολλημένα” μια σειρά από εξογκώματα (buds ή bulbs), κάθε ένα από αυτά περιτριγυρίζεται από άλλα τέτοια εξογκώματα κ.ο.κ. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό. Από αυτά τα εξογκώματα ξεφυτρώνουν νήματα (hairs), τα οποία φέρουν μικροσκοπικά αντίγραφα ολόκληρου του συνόλου Mandelbrot κατά μήκος τους. Είναι δυνατόν να μην εμφανίζονται αυτά τα νήματα σε εικόνες υπολογιστή, καθώς η προσέγγιση που γίνεται να μην είναι αρκετή. Ας δώσουμε όμως τον βασικό ορισμό του συνόλου Mandelbrot, αλλά και άλλους ισοδύναμους ορισμούς. Το σύνολο Mandelbrot ορίζεται για τα πολυώνυμα δευτέρου βαθμού. Κάθε πολυώνυμο δευτέρου βαθμού μπορεί να γραφεί ως fc(z)=z2+c με κατάλληλο μετασχηματισμό. Ο μετασχηματισμός αυτός αφήνει τοπολογικά αναλλοίωτο το σύνολο Julia, το δε σύνολο Mandelbrot σχετίζεται με την μορφή των συνόλων Julia. Ορισμός :Έστω J(fc)=Jc όπου fc(z)=z2+c , c∈ , το σύνολο Julia της fc. Σύνολο Mandelbrot είναι το :

M = c∈ : το J(fc) είναι συνεκτικό σύνολο Για το σύνολο Mandelbrot έχουμε τους εξής ισοδύναμους ορισμούς :

I. M = : είναι φραγμένη ακολουθία ∈c ∞=κκ1c )0(fn

II. \Μ = c ∈ : ∞=κ

∞→κ)0(flim c

III. M = : ∈c N∈≤ κ,2)0(f κc = c∈ : c∈Kc = c∈ : το σημείο 0 ∈ Kc , όπου Kc το πλήρες σύνολο Julia.

IV. Μ= c∈ : το σημείο 0 ∉ Α(∞).

Από το (ΙΙΙ) βλέπουμε ότι το Μ περιέχεται σε ένα κλειστό δίσκο ακτίνας 2. Οι αποδείξεις της ισοδυναμίας ορισμών απαιτούν ορισμούς και αποτελέσματα από την Θεωρία Καμπυλών. Στην συνέχεια θα αναφέρουμε μερικές βασικές ιδιότητες του συνόλου Mandelbrot : 1) Το σύνολο Mandelbrot είναι μη κενό. 2) Παρά την περίπλοκη δομή του το 1982, ο Andrien Douady της Ėcole

Normale Supérieure στο Παρίσι και ο John Hubbard του Πανεπιστημίου του Cornell, απέδειξαν ότι το σύνολο του Mandelbrot είναι συνεκτικό. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να χωριστεί σε δύο πλήρως αποκομμένα μεταξύ τους μέρη. Η απόδειξη στηρίζεται σε προχωρημένη Μιγαδική Ανάλυση. Η ανάλυσή τους δείχνει ότι υπάρχουν εξαιρετικά λεπτές κλωστές που συνδέουν όλα τα “μικρά” Mandelbrot. Υπολογιστικά προγράμματα όμως, δεν θα μπορέσουν ποτέ να δείξουν όλες αυτές τις κλωστούλες. Είναι ακόμα ένα ανοικτό πρόβλημα εάν αυτές οι κλωστές μπορεί να έχουν μια συνεχή αναπαράσταση σαν τόξα καμπύλων.

61

3) Αποδεικνύεται επίσης, ότι το σύνολο Mandelbrot είναι συμπαγές, δηλαδή κλειστό και φραγμένο.

4) Επίσης δείχθηκε ότι η Hausdorff διάσταση του συνόρου του συνόλου

Mandelbrot είναι ίση με 2. [ Τον Ιούλιο του 1991, από τον Mitsuhiro Shishikura. ] και για κάθε ανοιχτό σύνολο U με U∩∂M ≠ ∅, έχουμε dimH

(∂M∩U) = 2 . Επίσης η διάσταση του συνόλου Julia, που προέρχεται από

το σύνορο του Μ, είναι επίσης dimHJc=2 για κάθε c∈∂M.

5) Αν c∈Μ⇔c ∈Μ δηλαδή το Μ είναι συμμετρικό ως προς τον πραγματικό άξονα.

Ισχύουν : Θεώρημα : (κριτήριο διαφυγής στο άπειρο) Έστω 2 < |c| ≤ |z|. Τότε η fc–τροχιά του z είναι μη φραγμένη, δηλαδή

∞→∞→n

nc )z(f (εξού και η ονομασία του θεωρήματος).

Θεώρημα : (της βασικής διχοτόμησης) Έστω fc(z)=z2+c. Τότε ισχύει ένας από τους δύο παρακάτω ισχυρισμούς : 1) Η τροχιά του σημείου 0∈ διαφεύγει στο άπειρο, οπότε το Jc είναι ολικά

μη συνεκτικό. (Cantor dust, σκόνη ή σύννεφο Cantor). 2) Η τροχιά του 0 παραμένει φραγμένη, οπότε το Jc είναι συνεκτικό. Έτσι μπορούμε να διατυπώσουμε αλγόριθμους κατασκευής του συνόλου Mandelbrot. Το Κριτήριο Διαφυγής ( στο ∞ ), μας πληροφορεί ότι, αν |c|>2, τότε η fc–τροχιά του 0 διαφεύγει στο ∞. Επομένως το σύνολο Mandelbrot το αναζητούμε όταν |c|≤2. Επίσης γνωρίζουμε ότι για c=–2 έχουμε J-2=[–2,2], που είναι συνεκτικό, η τιμή

|c|=2 είναι η μεγαλύτερη τιμή για την οποία το Jc είναι συνεκτικό.

62

Σχήμα 31. Σύνολο Mandelbrot και τα διάφορα σύνολα Julia.

Όπως γνωρίζουμε το Μ αποτελείται από το κύριο καρδιοειδές και από

τα διάφορα εξογκώματα. Κάθε εξόγκωμα έχει μια ιδιαίτερη δυναμική. Για παράδειγμα η περιοχή μέσα στο κύριο καρδιοειδές, αποτελείται από εκείνες τις τιμές του c για τις οποίες η fc έχει ένα ελκυστικό σταθερό σημείο.

Σχήμα 32. Οι περίοδοι των εξογκωμάτων στο σύνολο Mandelbrot.

Όμοια το μεγάλο εξόγκωμα στα αριστερά του καρδιοειδούς, αποτελείται από τις τιμές του c για τις οποίες η fc έχει μια ελκυστική τροχιά περιόδου 2. Γενικά, κάθε ένα από τα εξογκώματα του Mandelbrot έχει μία ελκυστική περιοδική τροχιά κάποιας περιόδου Ν. Το σχήμα 32 δείχνει μερικές από αυτές τις περιοχές περιόδου Ν.

63

5.1.1 Καρδιοειδές

Τα κρίσιμα σημεία μιάς f είναι εκείνα για τα οποία δεν είναι αντιστρέψιμη.

Αν f είναι το πολυώνυμο z2+c, για κάποιο μιγαδικό c, τότε μοναδικό κρίσιμο σημείο του f είναι το σημείο z=0, όπου f΄(0)=0. Η τροχιά του κρίσιμου σημείου z=0 καλείται κρίσιμη τροχιά. Αν το πολυώνυμο f βαθμού τουλάχιστον 2, έχει έναν ελκυστικό κύκλο, τότε πρέπει να υπάρχει ένα κρίσιμο σημείο της f του οποίου η τροχιά συγκλίνει σε αυτόν τον κύκλο. Αλλά η απεικόνιση fc(z)=z2+c έχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο το 0 στο . Αυτό έχει την εξής σημαντική συνέπεια : Αν για κάποιο c∈ , η fc έχει έναν ελκυστικό κύκλο στο , τότε η τροχιά του 0 πρέπει να συγκλίνει σε αυτόν τον κύκλο και επομένως το c∈Μ. Αυτό θα το χρησιμοποιήσουμε για να περιγράψουμε δύο τμήματα του Μ. Το καρδιοειδές και το μεγαλύτερο εξόγκωμα, που έρχεται σε επαφή με το καρδιοειδές. Πρώτα θα βρούμε όλα εκείνα τα c για τα οποία η fc έχει ένα ελκυστικό σταθερό σημείο. Για να βρούμε τα σταθερά σημεία έχουμε :

fc(z) = z2+c = z ⇔ z2-z+c = 0

έστω z1,z2 οι ρίζες και έχουμε :

(z - z1) (z - z2) = z2 - (z1 + z2) z + z1z2

άρα z1 + z2 = 1 και z1z2 = c. Άρα (z΄

cf 1)+ (z΄cf 2)=2 . Επομένως το πολύ ένα από τα z1 , z2 είναι ελκυστικό.

Για να είναι το z1 ελκυστικό, θα πρέπει 2|z1|=|f΄(z1)|<1. Άρα c=z1(1–z1), άρα το ζητούμενο σύνολο των c είναι το

c∈ : c= - με |z1z 21z 1|< 2

1

Το σύνολο αυτό είναι το εσωτερικό του καρδιοειδούς με εξίσωση :

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

→

t2sin41tsin

21,t2cos

41tcos

21)t(r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= itit e

211e

21 , t∈[0,2π]

64

5.1.2 Μεγαλύτερο εξόγκωμα

Το οποίο καλείται και πρωταρχικό εξόγκωμα. Τώρα δεν έχω σταθερό ελκυστικό σημείο. Ανάλογα με το καρδιοειδές, τώρα υπολογίζουμε τα c για τα οποία η fc έχει ελκυστικά σημεία περιόδου 2.

fc(z) = z2+c 2cf (z) = (z2+c)2 + c = z4 + 2z2c + c2 + c

Θέλω τα σταθερά σημεία, άρα : z4 + 2z2c - z + c2 + c = 0 (1)

Αλλά, αν κάποιο σημείο είναι σταθερό για την fc, πρέπει να είναι σταθερό και για την επίσης. 2

cfΟπότε η (1) γράφεται :

(z2 – z + c) (z2 + z + c + 1) = 0 ⇔ (z – z1) (z – z2) (z – u) (z – v) =0

όπου z1,z2 τα σταθερά σημεία της fc , τα οποία είναι σταθερά και για την και u,v τα άλλα δύο σταθερά σημεία της . Για να είναι τα u,v ελκυστικά σημεία, για την πρέπει |( )΄(u)| , |( )΄(v)| <1, και u=f

2cf

2cf

2cf

2cf

2cf c(v) , v=fc(u).

Όμως : |( )΄(u)| = | (f2

cf΄cf c(u)) ⋅ (u)| ΄

cf = | (v) ⋅ (u)| ΄

cf΄cf

= |4uv| = 4(1+c) Άρα το ζητούμενο σύνολο των c είναι το

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <+∈

41c1:c C

που είναι κύκλος κέντρου –1 και ακτίνας 41 .

5.1.3 Σχέση Mandelbrot και λογιστικής απεικόνισης

Επίσης, πρέπει να αναφέρουμε την σχέση και την μαθηματική ισοδυναμία που παρατηρείται ανάμεσα στο σύνολο Mandelbrot και την λογιστική απεικόνιση ή αλλιώς διαδικασία Verhulst η οποία είναι :

xn+1 = r xn (1-xn) Με μία απλή αλλαγή μεταβλητών, η λογιστική απεικόνιση μετασχηματίζεται στην μορφή : xn+1 = + c. 2

nx Αυτό συμβαίνει ως εξής :

Θέτουμε 21

rzx n

n +−= με zn ∈ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

2r,

2r

και η λογιστική γίνεται :

zn+1 = 2r

2r1z2

n ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ , με c=

2r

2r1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − .

65

Επίσης η σχέση ανάμεσα στο σύνολο Mandelbrot και στην λογιστική απεικόνιση ή σενάριο διπλής περιόδου όπως αλλιώς λέγεται, λαμβάνει χώρα αν το c μεταβάλλεται σαν πραγματική παράμετρος. Οι διακλαδώσεις αντιστοιχούν στα εξογκώματα και τα περιοδικά παράθυρα που διακόπτουν το χάος στην λογιστική, αντιστοιχούν στα μικρά αντίγραφα του Mandelbrot που βρίσκονται στην κεντρική κεραία του. Η περίοδος δύο στο μεγάλο εξόγκωμα είναι για –1,25<c<-0,75 στον πραγματικό άξονα. Το σημείο c=–2 είναι το τέλος της κεραίας του Μ και αντιστοιχεί στην τιμή r=4 στην λογιστική απεικόνιση.

Τέλος, η παγκόσμια σταθερά Feigenbaum δ=4,6692... παρατηρείται και στο σύνολο Mandelbrot. Στην λογιστική απεικόνιση είναι ο λόγος ανάμεσα στις διαδοχικές διακλαδώσεις, όσον όμως αφορά το σύνολο Mandelbrot είναι ο λόγος ανάμεσα στις διαμέτρους των διαδοχικών κύκλων πάνω στον πραγματικό άξονα του Μ.

Σχήμα 33. Σύνολο Mandelbrot και λογιστική απεικόνιση Το σχήμα 33 δείχνει την σχέση Mandelbrot και λογιστικής και δείχνει καθαρά πως από το σύνολο Mandelbrot παίρνουμε πιο περίπλοκες εικόνες από ότι στην πραγματική ανάλυση. 5.1.4 Σύνολο Mandelbrot και η ακολουθία Fibonacci

Ένα άλλο χαρακτηριστικό του συνόλου Mandelbrot είναι ότι εμφανίζει την ακολουθία Fibonacci. Αν συγκεντρωθούμε μόνο στις περιόδους των εξογκωμάτων, παρατηρούμε τα εξής : καλούμε το κύριο καρδιοειδές ως εξόγκωμα περιόδου 1, το αμέσως μεγαλύτερο εξόγκωμα στα αριστερά του ως εξόγκωμα περιόδου 2. Τώρα, το μεγαλύτερο εξόγκωμα ανάμεσα σε εκείνο

66

περιόδου 2 και σε εκείνο περιόδου 1 είναι το εξόγκωμα περιόδου 3, είτε στην κορυφή του Mandelbrot ή το συμμετρικό του από κάτω. Το μεγαλύτερο εξόγκωμα ανάμεσα στο περιόδου 2 και 3 είναι το περιόδου 5 και το μεγαλύτερο ανάμεσα στο 5 και 3 είναι το 8 κ.ο.κ. Η ακολουθία που παράγεται (1,2,3,5,8,13,.....) είναι, φυσικά, η ακολουθία Fibonacci (σχήμα 34).

Σχήμα 34. Η ακολουθία Fibonacci : 1,2,3,5,8,13……

Όμως, όπως είναι γνωστό η ακολουθία Fibonacci σχετίζεται με την χρυσή τομή. Αν πάρουμε τον λόγο μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών στην ακολουθία Fibonacci, τότε βρίσκουμε :

61538,11321,625,1

813,6,1

58

,...6666,135,5,1

23,2

12

===

===

η τιμή που τείνει είναι η χρυσή τομή : (1,618034....) Άρα η χρυσή τομή εμφανίζεται στο σύνολο Mandelbrot.

67

5.2 Το δέντρο Farey και η γεωμετρία των κεραιών του συνόλου Mandelbrot Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, το σύνολο Mandelbrot, αποτελείται από ένα κυρίως καρδιοειδές στο οποίο εφάπτονται διάφορα εξογκώματα ή bulbs ή buds όπως αλλιώς αναφέρονται. Βασικά κάθε ένα από αυτά τα εξογκώματα αποτελείται από ένα μεγάλο δίσκο που συνδέεται απευθείας με το καρδιοειδές και που επάνω του έχει άλλα μικρότερα εξογκώματα και μια προεξέχουσα κεραία. Ο μεγάλος δίσκος περιέχει τιμές της c για τις οποίες η fc δέχεται έναν ελκυστικό κύκλο περιόδου q και αριθμό περιστροφής p/q , με p<q. Δηλαδή, ο ελκυστικός κύκλος της fc τείνει να περιστρέφεται γύρω από ένα κεντρικό σταθερό σημείο γυρνώντας περίπου p/q περιστροφές με κάθε επανάληψη. Ένας κύκλος είναι μία τροχιά z0,fc(z0),….., (zq

cf 0)=z0 που επιστρέφει στον εαυτό της ύστερα από q επαναλήψεις, για πρώτη φορά. Για αυτό το λόγο, αυτό το εξόγκωμα ονομάζεται p/q εξόγκωμα. Για κάθε μία από τις c–τιμές σε αυτό το εξόγκωμα έχουμε την ίδια δυναμική συμπεριφορά.

Ένα από τα εντυπωσιακά συμπεράσματα που αφορούν το σύνολο Mandelbrot, είναι ότι κάποιος μπορεί απευθείας να αναγνωρίσει το p/q εξόγκωμα από την γεωμετρία αυτού. Το p/q εξόγκωμα έχει μία ακτινωτή κεραία που αποτελείται από ένα σημείο που καλείται κομβικό και από το οποίο “πηγάζουν” q ακτίνες. Μία από αυτές συνδέεται απευθείας με το εξόγκωμα. Αυτή η ακτίνα καλείται κεντρική ακτίνα. Για αρκετά από αυτά τα εξογκώματα, η “κοντύτερη” ακτίνα που ξεκινά από το κομβικό σημείο, απέχει από την κεντρική ακτίνα p/q στροφές γύρω από το κομβικό σημείο με διεύθυνση αντίθετη από τους δείκτες του ρολογιού.

Για παράδειγμα στο σχήμα 35, βλέπουμε το 2/5 εξόγκωμα. Για οποιαδήποτε c–τιμή στον μεγάλο δίσκο αυτού του εξογκώματος η fc παρουσιάζει έναν ελκυστικό κύκλο με αριθμό περιστροφής 2/5. Παρατηρούμε ότι σε αυτό το εξόγκωμα, υπάρχει ένα κομβικό σημείο από το οποίο “πηγάζουν” 5 ακτίνες. Μία από αυτές συνδέεται απευθείας με το 2/5 εξόγκωμα. Αυτή είναι η κεντρική ακτίνα.

Σχήμα 35. 2/5 εξόγκωμα

68

Τώρα παρατηρούμε την μικρότερη από τις μη κεντρικές ακτίνες. Αυτή εντοπίζεται, περίπου, στα 2/5 μιας περιστροφής, αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού, από την κεντρική ακτίνα. Για αυτό και χαρακτηρίζεται ως 2/5 εξόγκωμα. Σαν ένα άλλο παράδειγμα παρατίθεται το 3/7 εξόγκωμα.

Σχήμα 36. 3/7 εξόγκωμα

Αυτό το εξόγκωμα έχει 7 ακτίνες που βγαίνουν από το κομβικό σημείο και η μικρότερη βρίσκεται στα 3/7 της αντίθετης με τους δείκτες του ρολογιού περιστροφής από την κεντρική ακτίνα. Έτσι ένας περιγραφικός τρόπος χαρακτηρισμού είναι ο εξής : “Για τον χαρακτηρισμό ενός εξογκώματος ως p/q βρίσκουμε την κοντύτερη ακτίνα και υπολογίζουμε την γωνία της ως προς την κεντρική”. Βέβαια η έννοια της “κοντύτερης” και της “μακρύτερης” ακτίνας είναι περιγραφική και χρειαζόμαστε κάποιον ορισμό. Ο ορισμός των εννοιών αυτών με την βοήθεια της Ευκλείδειας νόρμας δεν είναι αρκετά ικανοποιητικός. Θα χρησιμοποιήσουμε μια διαφορετική προσέγγιση που βασίζεται σε χαρακτηριστικά του εξογκώματος. Ξεκινώντας θα δώσουμε κάποιους ορισμούς. Το p/q εξόγκωμα και το σύνολο Mandelbrot έχουν ένα μόνο κοινό σημείο που συμβολίζεται με cp/q και καλείται ριζικό σημείο. Το τμήμα του συνόλου Mandelbrot που περιέχει το p/q εξόγκωμα καλείται p/q άκρο.

Το κύριο θεώρημα των Douady και Hubbard, εξασφαλίζει ότι υπάρχει μία απεικόνιση Φ που απεικονίζει το εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου, στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο ισομορφικά με το εξωτερικό του Μ, πηγαίνοντας το ∞ στο ∞ και απεικονίζοντας το τμήμα του θετικού πραγματικού άξονα x>1 επί της ευθείας x>1/4. Η εικόνα μέσω της Φ της ευθείας rexp(2πiθ) με σταθερό θ και r>1 καλείται εξωτερική ακτίνα με εξωτερική γωνία θ. Μετράμε αυτές τις εξωτερικές γωνίες modulo 1, δηλαδή, θεωρούμε ότι μία γωνία 2π είναι ίση με 1, οπότε μία γωνία π/2 είναι ίση με 1/4. Επιπλέον το θεώρημα των Douady και Hubbard, δηλώνει ότι κάθε εξωτερική ακτίνα με ρητή εξωτερική γωνία θ*, καταλήγει σε ένα μοναδικό σημείο πάνω στο σύνορο του Μ.

69

Αυτό καθορίζεται από το Φ(rexp(2πiθ1r

lim→

*)), που υπάρχει όταν το θ* είναι

ρητός. Ιδιαίτερα, η 0–ακτίνα βρίσκεται κατά μήκος του πραγματικού άξονα και καταλήγει στο σημείο c=1/4 του Μ. Παρατηρούμε επίσης τα εξής : ας θεωρήσουμε το 2/5 εξόγκωμα και τα γειτονικά μεγαλύτερα από αυτό που είναι τα 1/3 και 1/2 εξογκώματα. Ορίζοντας την πράξη ⊕ σαν :

δβγα:

δγ

βα

++

=⊕

τότε έχουμε

52

31

21

=⊕

Σχήμα 37.

52

31

21

=⊕

Αυτή η πράξη καλείται πρόσθεση Farey. Ένα άλλο παράδειγμα είναι το 5/12 εξόγκωμα που είναι το μεγαλύτερο μεταξύ των 2/5 και 3/7 εξογκωμάτων το οποίο επίσης παίρνουμε με πρόσθεση κατά Farey :

125

73

52

=⊕

70

Σχήμα 38. 125

73

52

=⊕

Ιδιαιτέρως, θα δούμε ότι το μέγεθος και η σειρά των εξογκωμάτων καθορίζεται από το δέντρο Farey. Σε κάθε φάση της οικοδόμησής του, το δέντρο Farey, αποτελείται από μια πεπερασμένη λίστα ρητών. Γειτονικοί ρητοί στην λίστα ονομάζονται γείτονες κατά Farey. Τα βήματα της δομής του είναι : Κάθε ζεύγος γειτόνων Farey φτιάχνουν έναν απόγονο Farey, που είναι ο ρητός ανάμεσα στους δύο και που παράγεται με την παραπάνω πρόσθεση. Οι ρητοί που παράγουν τον απόγονο Farey, ονομάζονται γονείς Farey. Θα ξεκινήσουμε την κατασκευή του δέντρου με το ζευγάρι των ρητών 0 και 1, που γράφονται 0/1 και 1/1. Το παιδί τους είναι το 1/2, έτσι το 2ο στάδιο της κατασκευής δίνει την λίστα

11

21

10

Στο επόμενο στάδιο παίρνουμε δύο παιδιά Farey :

11

32

21

31

10

στην 4η γενιά έχουμε :

11

43

32

53

21

52

31

41

10

Είναι γνωστό ότι το σύνολο Farey περιλαμβάνει όλους τους ρητούς. Επίσης χρησιμοποιείται το εξής : Οι α/β και γ/δ είναι γείτονες Farey σε κάποιο βήμα αν και μόνο αν |αδ–γβ| = 1. Πριν ασχοληθούμε με τις εξωτερικές ακτίνες και τον υπολογισμό τους, θα αναφέρουμε λίγα σχετικά με την συνάρτηση διπλασιασμού γωνίας.

71

Η συνάρτηση διπλασιασμού ορίζεται πάνω στον κύκλο και δίνεται από τον τύπο : D(θ) = 2θmod1. Η συνάρτηση αυτή παράγει μία ακολουθία που είναι περιοδική αν και μόνο αν η θ είναι ρητός της μορφής p/q με q περιττό και (p,q)=1. Για παράδειγμα, αν θ=1/3 :

.......31

32

31

→→

που έχει περίοδο 2. Ο ρητός θ=1/7 έχει περίοδο 3 υπό διπλασιασμό :

........71

74

72

71

→→→ ,

ενώ ο 1/5 έχει περίοδο 4 :

........51

53

54

52

51

→→→→

Οι ρητοί με άρτιο παρανομαστή δεν έχουν ακολουθία περιοδική αλλά τελικά περιοδική. Για παράδειγμα ο 1/6 έχει τελικά περίοδο 2 :

........31

32

31

61

→→→

και ο 1/8 είναι τελικά σταθερός :

........00121

41

81

→=→→→

Ένα δεύτερο σημαντικό γεγονός είναι ότι μπορεί να βρεθεί η δυαδική ανάπτυξη του θ σημειώνοντας το δρομολόγιο του θ στον κύκλο που παράγει η D. Για να ορίσουμε το δρομολόγιο, σημειώνουμε το πάνω ημικύκλιο 0 ≤ θ < 1/2 με Ι0 και το κάτω 1/2 ≤ θ < 1 με Ι1. Το δρομολόγιο της θ είναι Β(θ)=(s0,s1,s2…) όπου :

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈

∈=

1j

0j

j Ι)θ(Dαν,1Ι)θ(Dαν,0

s

Δηλαδή, απλά παρακολουθούμε την τροχιά του θ στον κύκλο μέσω της D και σημειώνουμε 0 ή 1 ανάλογα αν το Dj(θ) βρίσκεται στο Ι0 ή στο Ι1. Το δρομολόγιο Β(θ) είναι η δυαδική ανάπτυξη του θ. Για παράδειγμα, αν θ=1/3, τότε θ∈Ι0 ενώ D(θ)∈Ι1 και D2(θ)=θ. Επομένως Β(1/3) είναι η επαναλαμβανόμενη ακολουθία 01, που είναι το δυαδικό ανάπτυγμα του 1/3. Όμοια, Β(1/7)= 001, ενώ Β(1/5)=0011.

Τώρα θα διατυπώσουμε το βασικό θεώρημα των Douady και Hubbard σχετικά με τις εξωτερικές ακτίνες και γωνίες. Θεώρημα : Έστω ένα εξόγκωμα Β που αποτελείται από τις c–τιμές για τις οποίες η δευτεροβάθμια απεικόνιση έχει έναν ελκυστικό κύκλο q. Τότε το ριζικό σημείο αυτού του εξογκώματος είναι το σημείο στο οποίο καταλήγουν ακριβώς 2 ακτίνες και οι γωνίες της κάθε μιας από αυτές τις ακτίνες έχει περίοδο q υπό διπλασιασμό.

72

Για παράδειγμα, το μεγάλο εξόγκωμα που βρίσκεται στα αριστερά του κύριου καρδιοειδούς, είναι το 1/2 εξόγκωμα (ο απόγονος Farey μεταξύ 0 και 1), επομένως δύο ακτίνες περιόδου 2 υπό διπλασιασμό πρέπει να πέφτουν εκεί. Τώρα οι μόνες γωνίες με περίοδο 2 υπό διπλασιασμό που καταλήγουν στο c1/2, όπως θα δειχθεί παρακάτω, είναι οι 1/3 και 2/3.

Τώρα θεωρούμε το 1/3 εξόγκωμα στην κορυφή του κυρίως καρδιοειδούς. Αυτό βρίσκεται μεταξύ ακτίνων 0 και 1/2. Υπάρχουν μόνο 2 γωνίες μεταξύ του 0 και 1/3 που έχουν περίοδο 3 υπό διπλασιασμό, οι 1/7 και 2/7. Έτσι αυτές είναι οι ακτίνες που βρίσκονται στο ριζικό σημείο στο 1/3 εξόγκωμα.

Άλλο παράδειγμα είναι το 2/5 εξόγκωμα που βρίσκεται μεταξύ των 1/3 και 1/2 εξογκωμάτων. Επειδή οι ακτίνες που βρίσκονται στο c2/5 πρέπει να έχουν περίοδο 5 υπό διπλασιασμό και να βρίσκονται μεταξύ του 2/7 και 1/3. Οι μόνες γωνίες που έχουν αυτή την ιδιότητα είναι οι 9/31 και 10/31. Έτσι αυτές οι ακτίνες βρίσκονται στο c2/5.

Σχήμα 39. Οι ακτίνες που καταλήγουν στο σύνολο Mandelbrot Αυτά μας επιτρέπουν να μετρήσουμε το “μέγεθος” διαφόρων τμημάτων του Μ. Υποθέτουμε ότι έχουμε 2 ακτίνες με γωνίες θ- και θ+ που καταλήγουν στο σημείο c* πάνω στο σύνορο του Μ. Τότε, από τον ισομορφισμό Φ, όλες οι ακτίνες με γωνίες ανάμεσα στα θ- και θ+ πρέπει να πλησιάζουν το τμήμα του M-c* που κόβεται από τις θ- και θ+. Επομένως είναι λογικό να μετρήσουμε το μέγεθος αυτού του τμήματος του Μ από το μήκος του διαστήματος [θ- , θ+]. Έτσι μπορούμε να μετρήσουμε το μέγεθος του p/q άκρου, αν γνωρίζουμε τις εξωτερικές ακτίνες που καταλήγουν στο ριζικό σημείο του p/q εξογκώματος. Καλούμε )q/p(S− την κατώτερη γωνία του p/q εξογκώματος και )q/p(S+ την ανώτερη γωνία. Το S±(p/q) σε δυαδική ανάπτυξη είναι μία διαδοχή των q ψηφίων (0 ή 1) και έτσι το )q/p(S± δηλώνει την άπειρα επαναλαμβανόμενη ακολουθία.

73

Έστω Rp/q δηλώνει την περιστροφή του μοναδιαίου κύκλου p/q φορές, δηλαδή Rp/q(θ)=e2πi(θ+p/q)

Θα θεωρήσουμε την διαδρομή των σημείων στον μοναδιαίο κύκλο υπό την R, χρησιμοποιώντας 2 διαφορετικές διαμερίσεις του κύκλου. Η μία είναι η

−0I

= θ | 0 < θ ≤ 1 - p/q και −1I = θ | 1 - p/q < θ ≤ 1

και το σημείο 0 ανήκει στο και το –p/q=1–p/q ανήκει στο . Τότε ορίζουμε S

−1I

−0I

-(p/q) να είναι η διαδρομή του p/q υπό την Rp/q και την καλούμε κατώτερη διαδρομή του p/q. Δηλαδή S-(p/q)=S1....Sq όπου Sj είναι είτε 0 ή 1 με Sj=0 αν και μόνο αν (p/q)∈ . Διαφορετικά, S1j

q/pR − −0I j=1.

Για παράδειγμα, S-(1/3)=001 επειδή −0I = (0 , 2/3] −1I = (2/3 , 1]

και η τροχιά LL3101

32

31

→=→→ βρίσκεται στο αντίστοιχα. −0I , −

0I , −1I

Όμοια, S-(2/5)=01001 επειδή −0I = (0 , 3/5] −1I = (3/5 , 1]

και η τροχιά είναι →→→51

54

52

LL521

53

→→

Η άλλη είναι η +0I := [ 0 , 1 – p/q) +1I := [ 1 – p/q , 1)

και την διαδρομή του p/q ως προς αυτήν συμβολίζουμε S+(p/q) και καλούμε ανώτερη διαδρομή του p/q. Τα και διαφέρουν από τα και μόνο στα τελικά ψηφία. +

0I+1I

−0I

−1I

Για παράδειγμα, S+(1/3)=010 επειδή η τροχιά είναι .....132

31

→→ και +0I

= [ 0 , 2/3 ) +1I

= [ 2/3 , 1 ) Αυτή η τροχιά αρχίζει στο , πηγαίνει στο και μετά επιστρέφει στο +

0I+1I

+0I .

Για 2/5 έχουμε +0I

= [ 0 , 3/5 ) +1I

= [ 3/5 , 1 ) και S+(2/5)=01010.

Το επόμενο θεώρημα μας βοηθάει να υπολογίσουμε τις γωνίες των ακτίνων που βρίσκονται στο cp/q. Θεώρημα : Οι δύο ακτίνες που βρίσκονται στο ριζικό σημείο cp/q του p/q εξογκώματος έχουν γωνίες )q/p(S− και )q/p(S+ .

74

Παρατηρούμε ότι οι S±(p/q) διαφέρουν μόνο στα 2 τελευταία ψηφία τους (υπό τον όρο ότι q≥2). Πράγματι μπορούμε να γράψουμε :

S-(p/q) = S1.....Sq-201 S+(p/q) = S1.....Sq-210

Αυτό λόγω της μορφής των διαμερίσεων. Τώρα ορίζουμε σαν μέγεθος του p/q άκρου : να είναι το μήκος του διαστήματος [ )q/p(S,)q/p(S +− ] και αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με

121)q/p(S)q/p(S q −

=− −+

Σχήμα 40. Το μέγεθος του 2/5 και 1/3 άκρου του Μ Παραδείγματα υπολογισμού : Υπολογίζουμε τις γωνίες του 1/3–εξογκώματος. Ξέρουμε ότι η κατώτερη γωνία είναι )3/1(S− . Έχουμε S-(1/3) = 001. Άρα :

)3/1(S− = 001 001..... = =+++ .....21

21

21

963

71

8781

811

81

.....81

81

81 32

==−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Η ανώτερη γωνία είναι : )3/1(S+ . Έχουμε S+(1/3)=010.

75

Άρα :

)3/1(S+ = 010 010 010 ..... = =+++ .....21

21

21

852

72

211

121.....

21

211

21

3

2632 =−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

Όμοια τώρα υπολογίζουμε τις )5/2(S± του 2/5–εξογκώματος : Έχουμε S-(2/5)=01001. Άρα :

)5/2(S− = 01001 01001 01001 .....= .....21

21

21

21

21

21

151210752 ++++++ =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ .....

21

211

21.....

21

211

21

10551052 =

= 319

122

212

5

5

5

3

=−

+

και

)5/2(S+ = 01010 01010 01010 ..... = .....21

21

21

21

21

21

14129742 ++++++ =

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ .....

21

211

21.....

21

211

21

10551052 =

= 12

22

125

5

4

2

−+ =

3110

Σχέση γονέων με παιδιά Είναι φυσικό οι γονείς να έχουν σχέση με το παιδί τους! Η επόμενη πρόταση συσχετίζει τις διαδρομές τους. Πρόταση : Έστω 0<α/β<γ/δ<1 να είναι οι γονείς Farey του p/q. Τότε το κατώτερο δρομολόγιο S-(p/q) αποτελείται από τα q ψηφία της ανώτερης γωνίας )β/α(S+ του μικρότερου γονέα και το ανώτερο δρομολόγιο S+(p/q) αποτελείται από τα πρώτα q ψηφία της κατώτερης γωνίας )δ/γ(S− του μεγαλύτερου γονέα. Στην περίπτωση που ένας από τους γονείς Farey του p/q είναι το 0, τότε τα q ψηφία στο κατώτερο δρομολόγιο του p/q δίνονται από :

S- (p/q) = 0....01 Αν ένας γονέας Farey του p/q είναι 1, τότε έχουμε :

S+ (p/q) = 1....10 Τελικά παρατίθεται το εξής θεώρημα : Θεώρημα : Έστω α/β<γ/δ να είναι οι γονείς Farey του p/q. Τότε το μέγεθος του p/q άκρου είναι μεγαλύτερο από το μέγεθος οποιουδήποτε άλλου άκρου ανάμεσα στα α/β και γ/δ άκρα.

76

5.3 Ομοιότητες μεταξύ του συνόλου Mandelbrot και των συνόλων Julia

Έχει παρατηρηθεί για μερικές τιμές του c στο σύνολο Μ ότι η τοπική δομή του Μ στο c κάτω από διαδοχικές αυξανόμενες μεγεθύνσεις γίνεται όλο και πιο όμοια. Το ίδιο έχει παρατηρηθεί για το αντίστοιχο σύνολο Julia Jc.

Δηλαδή τόσο το Μ όσο και το Jc παρουσιάζουν κάποια τοπική αυτοομοιότητα. Το ίδιο φαινόμενο παρατηρείται και όταν συγκρίνουμε τοπικά στο c το Μ και το Jc, δηλαδή τα Μ και Jc κατά κάποια έννοια μοιάζουν τοπικά στο c ενώ ολικά διαφέρουν πολύ μεταξύ τους. Ένα βασικό βήμα στην απόδειξη ότι το dimH∂M=2, στηρίζεται στην τοπική ομοιότητα του Μ και του αντίστοιχου Jc. Οι παραπάνω ομοιότητες είναι ιδιαίτερα έντονες στα σημεία Misiurewicz.

Ένα c∈Μ λέγεται σημείο Misiurewicz αν το 0 υπό την fc είναι τελικά περιοδικό αλλά όχι περιοδικό. Δηλαδή ) , για κάποιο n>κ>0 αλλά

για κάθε n>1. Επειδή τα σημεία Misiurewicz είναι ρίζες πολυωνύμων είναι αριθμήσιμα. Αποδεικνύεται ότι όλα ανήκουν στο ∂M, είναι καταλήξεις εξωτερικών ακτίνων και με την βοήθεια του θεωρήματος Montel δείχνεται ότι είναι πυκνά στο ∂M. Το σημείο c=i είναι ένα απλό παράδειγμα σημείου Misiurewicz : Για f

0(f)0(f κc

nc =

0)0(f nc ≠

i : z→z2 +i, η τροχιά του 0 είναι : 0 → i → i-1 → -i → i-1. Δηλαδή έχουμε . )0(f)0(f 2

i4i =

Ένα άλλο τέτοιο σημείο είναι το c=–2 : Για f-2 : z → z2–2 , η τροχιά του 0 είναι 0 → –2 → 2 → 2. Τα σχήματα 41 και 42 δείχνουν τα παραπάνω για το Μ και το Jc όταν c=i. Επειδή οι ομοιότητες που παρατηρούνται είναι πιο έντονες όταν μεγαλώνει η μεγέθυνση είναι ουσιαστικά ασυμπτωτικές. Δίνονται τώρα οι αυστηροί ορισμοί για την περιγραφή της παρατηρούμενης ομοιότητας.

Σχήμα 41.Τρεις διαδοχικές μεγεθύνσεις του Μ. Κέντρο : i. Πλάτος της 1ης εικόνας :0,5656854≈0,1x4 2 . Μεγέθυνση : 4 2

77

Σχήμα 42. Το σύνολο Julia Jc. c=i. Κέντρο : 0, πλάτος : 3.0.

Ορισμός 1 : Έστω r ένας θετικός πραγματικός αριθμός, σημειώνουμε με Dr τον ανοικτό δίσκο με κέντρο 0 και ακτίνα r. Για κάθε κλειστό σύνολο Β⊂ ορίζουμε ένα συμπαγές σύνολο:

Βr = ( Β ∩ rD ) ∪ ∂ Dr

Σχήμα 43. Β και Βr.

Για την ανάλυση της τοπικής συμπεριφοράς του Β κοντά στο σημείο α∈Β, χρησιμοποιείται η μετατόπιση : τ-α : z → z–α, και έτσι μετατοπίζεται το α στην αρχή και ορίζεται τώρα :

(τ-α Β)r = ((τ-α Β) ∩ rD ) ∪ ∂ Dr

Ορισμός 2 : Έστω ρ = |ρ| eiθ , |ρ|>1 και 0 ≤ θ < 2π.

1. Ένα κλειστό υποσύνολο Β του λέγεται ρ–αυτοόμοιο στο 0, αν υπάρχει r>0 έτσι ώστε (ρΒ)r = Br. Αυτό μας λέει ότι αν μεγεθύνουμε με παράγοντα κλίμακας |ρ| και με περιστροφή της γωνίας θ, το σύνολο Β παραμένει το ίδιο μέσα στο rD .

78

2. Ένα κλειστό υποσύνολο Α του λέγετε ασυμπτωτικά ρ–αυτοόμοιο στο x∈A αν υπάρχει r>0 και ένα κλειστό σύνολο Β έτσι ώστε (ρn τ-x Α)r → Βr για n → ∞ ως προς την Hausdorff απόσταση. Το σύνολο Β είναι τότε ρ–αυτοόμοιο στο 0 και καλείται το οριακό μοντέλο του Α στο x.

3. Δύο κλειστά σύνολα Α και Β είναι ασυμπτωτικά όμοια στο 0 αν

υπάρχει r>0 έτσι ώστε limdr (tA , tB) = 0 t∈ , t→∞ όπου dr(A,B) είναι η h– απόσταση των Αr,Br

Παραδείγματα :

1. Ο δίσκος RD είναι ο ίδιος μια τετριμμένη περίπτωση ρ-αυτοομοιότητας στο 0 για κάθε ρ∈ . Επίσης μία γραμμή, ένα ευθύγραμμο τμήμα που

διέρχονται από το 0 είναι αυτοόμοια για κάθε ρ∈ . 2. Μία καμπύλη με εφαπτομένη είναι ασυμπτωτικά όμοια με την

εφαπτομένη της στο σημείο επαφής. Τώρα όσον αφορά τις παραπάνω αυτοομοιότητες στα σύνολα Julia, στην περίπτωση των σημείων Misiurewicz, πρέπει εκτός από τις γνωστές ιδιότητες των συνόλων Julia να αναφέρουμε και τους εξής ορισμούς. Ορισμός 3 :

Ένα σημείο x∈C είναι τελικώς περιοδικό, αν υπάρχουν ακέραιοι ℓ≥0 και p≥1 έτσι ώστε fp(fℓ(x)) = fℓ(x). Λέμε τότε ότι το x είναι τελικά απωθητικό (ελκυστικό κ.λ.π.) περιοδικό αν fℓ(x) είναι απωθητικό (ελκυστικό κ.λ.π.). Ορισμός 4 : Ένα κλειστό σύνολο Α καλείται πλήρως αναλλοίωτο υπό την f αν f(A)=f-1(A)=A Αν το Α είναι πλήρως αναλλοίωτο υπό την f,τότε είναι πλήρως αναλλοίωτο και υπό την fκ. Για τα σημεία Misiurewicz ισχύει η βασική πρόταση των Douady και Hubbard που χρησιμοποιείται στην απόδειξη του επόμενου θεωρήματος. Πρόταση : Αν c είναι ένα σημείο Misiurewicz τότε : 1. Το 0 και το c είναι τελικά απωθητικά περιοδικά σημεία και

2. Kc=Jc δηλ. το Kc δεν έχει εσωτερικό, όπου Kc είναι το πλήρες σύνολο Julia.

79

Κύριο θεώρημα : Έστω f μία ρητή συνάρτηση και Α ένα πλήρως αναλλοίωτο σύνολο υπό την f. Έστω x ένα τελικά απωθητικό περιοδικό σημείο της f με περίοδο p. Τότε Α είναι ασυμπτωτικά αυτοόμοιο στο x, με κλίμακα ρ=(fp)΄(x). Στην περίπτωση που το c είναι ένα σημείο Misiurewicz, εφαρμόζοντας αυτό το θεώρημα απευθείας στο A=Jc με x=c έχουμε ότι το Jc είναι ασυμπτωτικά αυτοόμοιο στο c, αφού το c είναι τελικά απωθητικό υπό την fc. Παραδείγματα : 1. Το σχήμα 44 είναι το σύνολο Julia για c=0,11031–0,67037i. Το πολυώνυμο fc έχει δύο σταθερά σημεία και τα δύο απωθητικά.

Επιλέγουμε το ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

2c411x ≈ –0,14205–0,52205i να είναι το ένα από

αυτά. Η περίοδος p του x είναι τότε 1 και ρ=(f)΄(x) = 2x≈–0,2841–1,0441i Το σχήμα 45 αποτελείται από μία ακολουθία μεγεθύνσεων του Jc στο x, ο παράγοντας μεγέθυνσης από την μία εικόνα στην άλλη είναι ρ3 (αφού |ρ| 1,082 που είναι πολύ κοντά στο 1).

Σχήμα 44. c=0.11031-0.67037i. Κέντρο : 0, πλάτος : 3.0.

Σχήμα 45. Τρεις διαδοχικές μεγεθύνσεις του Jc για c=0.11031-0.67037i. Κέντρο : -0.14205-0.52205i. Πλάτος της 1ης εικόνας : 0.01. Παράγοντας μεγέθυνσης : 1.26688, περιστροφή : 44.3349°

2. Το σχήμα 46 είναι το σύνολο Julia για c=–1,25. Έχει ένα εντελώς διαφορετικό σχήμα από το σχήμα 44. Στην πραγματικότητα, στην μία περίπτωση έχουμε ένα συνεκτικό σύνολο και στην άλλη ένα ομοιομορφικό στο

80

σύνολο Cantor. Αλλά το σταθερό σημείο ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

2c411x το οποίο είναι

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −2

61 –0,72475, είναι σε αυτή την περίπτωση επίσης ένα απωθητικό

σταθερό σημείο για fc=f-1,25. Έτσι το φαινόμενο αυτοομοιότητας συμβαίνει πάλι γύρω από αυτό το σημείο. Έχουμε p=1 και ρ –1,4495. Το σχήμα 47 αποτελείται από 3 μεγεθύνσεις από την μία εικόνα στην άλλη του Jc στο x, ο παράγοντας μεγέθυνσης από την μία εικόνα στην άλλη είναι |ρ|=1,4495. Επειδή ο ρ είναι αρνητικός πραγματικός, υπάρχει μία διαφορά στην περιστροφή της γωνίας κατά 180° από την μία εικόνα στην άλλη. Έτσι τα σχήματα 47a και 47c δείχνουν ίδια.

Σχήμα 46. c=-1.25. Κέντρο : 0, πλάτος : 3.6

a b c

Σχήμα 47. Τρεις διαδοχικές μεγεθύνσεις του Jc για c=-1.25. Κέντρο : -0.72475, πλάτος της 1ης εικόνας : 0.01. Παράγοντας μεγέθυνσης : 1.4495, περιστροφή : 0°

3. Ας εξετάσουμε τώρα το σημείο Misiurewicz c=i. Το σημείο i είναι τελικώς απωθητικό περιοδικό με ℓ=1, p=2, α= (c)=i–1. l

cf

ρ = ( )΄ (α) = 4+4i = 42cf 4

i

e2π

και ( )΄ (c) = (fl

cf i)΄ (i) =2i.

Το σχήμα 48a είναι μία μεγέθυνση του 42 στην περιοχή του i–1.

Το σχήμα 48b είναι μία μεγέθυνση του σχήματος 48a με κλίμακα 4 4i

e2π

. Το σχήμα 48c είναι μία μεγέθυνση του 42 στην περιοχή του i, με πλάτος του παράθυρου ίσο με το μισό του πλάτους του 48a. Το σχήμα 48d είναι το 48c στραμμένο με γωνία 90°. Τα σχήματα 48a και 48d έχουν κέντρα τα i–1 και i αντίστοιχα.

81

Σχήμα 48a-d. Μεγέθυνση του Jc για c=i. a) Κέντρο : i-1, πλάτος : 0.001, περιστροφή : 0. b) Κέντρο : i-1, πλάτος : 24/001.0 , περιστροφή : 45°. c) Κέντρο : i, πλάτος : 0.0005 ,

περιστροφή : 0. d) Κέντρο : i, πλάτος : 0.0005, περιστροφή : 90°

Στην συνέχεια θα αναφερθούμε στην ασυμπτωτική ομοιότητα μεταξύ Μ και Jc στο c, όταν αυτό είναι ένα σημείο Misiurewicz. Σύμφωνα με το θεώρημα το Jc είναι ασυμπτωτικά αυτοόμοιο στο c με κλίμακα ρ και με κάποιο οριακό μοντέλο Ζ. Αποδεικνύεται ότι το Μ είναι επίσης ασυμπτωτικά ρ–αυτοόμοιο στο c αλλά με οριακό μοντέλο λΖ, με λ κάποιο μιγαδικό αριθμό. Δηλαδή : 1. Το Μ είναι ασυμπτωτικά ρ-αυτοόμοιο στο c. 2. Τα Μ και Jc είναι ασυμπτωτικά όμοια στο c, μέχρι έναν πολλαπλασιασμό με κάποιον μιγαδικό αριθμό. Δίνουμε τώρα μερικές εικόνες για διάφορα c.

1. Οι δύο σπείρες. Το Μ έχει πολλές σπείρες. Στο σημείο c –0,77568377+ 0,13646737i που είναι ένα σημείο Misiurewicz το Μ έχει σπειροειδές σχήμα κοντά στο c. Το σχήμα 49a είναι μία μεγέθυνση του Jc στο c και το σχήμα 49b είναι μία μεγέθυνση του Μ στο c.

Σχήμα 49 a,b. Μεγεθύνσεις του Jc και του Μ για c=-0.77568377+0.13646737i a) Jc, κέντρο : c, πλάτος : 0.00018. b) M, κέντρο : c, πλάτος : 0.00024.

82

2. Το τριπλό σημείο. Το σημείο c = –0,1011+0,95629i είναι το σημείο της τριπλής διακλάδωσης κοντά στην κορυφή του συνόλου Μ. Είναι επίσης ένα

Σχήμα 50 a-d. Μεγεθύνσεις των J

τυπικό σημείο Misiurewicz με ℓ=3 και p=1.

ι Μ στο c=-0.1011+0.95629i. a) Jc, ρο :

-0.3276

3. Το i

Σχήμα 51 περιστροφή :

c κακέντρο : -0.3276+0.57776i, πλάτος : 0.01, περιστροφή : 0. b) Jc, κέντ

+0.57776i, πλάτος : 0.00753, περιστροφή : 119.6°. c) Jc, κέντρο : c, πλάτος : 0.00155, περιστροφή : 178.39°. d) Μ, κέντρο : c, πλάτος : 0.00193, περιστροφή : 156.51°

σχήμα 51 δείχνει την ομοιότητα μεταξύ των Μ και J .

a,b. Μεγεθύνσεις των Ji και Μ στο i. a) Ji, κέντρο : i, πλάτος : 0.0001,

0. b) M, κέντρο : i, πλάτος : 2/50001.0 × , περιστροφή : -26.565°.

83

Παρατίθεται τώρα ένα παράδειγμα αυτοομοιότητας του Μ για c=i που δόθηκε από τους Peitgen, Jürgens και Sauper και φαίνεται στο σχήμα 52.

Σχήμα 52. Δώδεκα διαδοχικές μεγεθύνσεις του Μ. Κέντρο : i, πλάτος της 1ης εικόνας :

0.5656854≈0,1x4 2 . Παράγοντας μεγέθυνσης : 4 2

Σύμφωνα με τα προηγούμενα το σύνολο Μ πρέπει να είναι σχεδόν αμετάβλητο αν κάνουμε δύο μεγεθύνσεις επικεντρωμένες στo i με παράγοντες να διαφέρουν κατά 4 2 και με περιστροφή κατά π/4. Αν μόλις το μεγεθύνουμε διαδοχικά κατά 4 2 χωρίς περιστροφή, κάθε ένα θα μπορούσε να διαφέρει κατά μία στροφή κατά π/4 από το προηγούμενο. Επομένως, μετά από 8 μεγεθύνσεις θα φτάσουμε σχεδόν στο ίδιο σύνολο. Αν συγκρίνουμε για παράδειγμα τις 52-4 & 52-12 δεν φαίνονται να διαφέρουν. Τέλος υπάρχουν και άλλα είδη ομοιότητας στο Μ. Κοιτάζοντας προσεκτικά το σύνολο Μ διαπιστώνουμε ότι περιλαμβάνει αρκετά αντίγραφα του εαυτού του.

Οι Eckmann, Epstein, Douady και Hubbard μελέτησαν την συμπεριφορά για τα μικρά αντίγραφα του Μ κοντά σε ένα σημείο Misiurewicz. Πιο συγκεκριμένα για κάθε c∈M με c ένα σημείο Misiurewicz, υπάρχει μία ακολουθία αντιγράφων Mn του Μ που συγκλίνουν στο c γεωμετρικά με λόγο

84

1/ρ (όπου ρ είναι ίσο με την κλίμακα ομοιότητάς μας για το Μ στο c) και η

διάμετρος των Mn μειώνεται στο 0 επίσης γεωμετρικά, αλλά με λόγο 2|ρ|1 .

Επομένως η διάμετρος των Mn μειώνεται γρηγορότερα από την σύγκλιση των Mn στο c. Επίσης ο Peitgen έχει παρατηρήσει πειραματικά ένα άλλο φαινόμενο ομοιότητας ανάμεσα στα Μ και Jc :

Σχήμα 53. Μ και Jc στο c, με c=-0.745429+0.113008i Δηλαδή για κάποια τιμή του c μία προσεκτική μεγέθυνση, ούτε πολύ μικρή αλλά ούτε πολύ μεγάλη, των Μ και Jc στο c, δίνει πολύ όμοιες εικόνες. Αυτό το φαινόμενο είναι διαφορετικό από αυτά που έχουμε αναφέρει, γιατί η έννοια της ομοιότητας είναι περισσότερο τοπική αλλά όχι ασυμπτωτική.

85

5.4 “Χάρτης” με τις πιο γνωστές περιοχές του συνόλου Mandelbrot

Παρατίθεται μια αριθμημένη εικόνα του συνόλου Mandelbrot και δίπλα είναι τα ονόματα των “δημοφιλών” περιοχών που αριθμούνται πάνω στην εικόνα.

1. Seahorse Valley–0.75, 0.1

2. Elephant Valley0.275, 0

3. Triple Spiral Valley –0.088,0.654

4. Quad-Spiral Valley 0.274,0.482

7.Double Scepter Valley –0.1002,0.8383

5. Scepter Valley –1.36,0.005

8. Mini Mandelbrot –1.75, 0

6. Scepter Variant –1.108,0.230

9.Another Mandelbrot –0.1592,–1.0317

Μπορεί κανείς να παρατηρήσει μοτίβα με ιππόκαμπους, με το δικέφαλο ιππόκαμπο, με τρικέφαλο κ.λ.π. καθώς και διπλά, τριπλά ή τετραπλά σπειροειδή.

Ξεκινώντας από το κύριο εξόγκωμα και κινούμενοι κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού, εξετάζουμε τα διαδοχικά εξογκώματα κατά σειρά

μεγέθους μέχρι να φτάσω στο c=41 και εγκαταλείποντας τα ενδιάμεσα. Αν

πάρουμε το σημείο σύνδεσης των εξογκωμάτων με το κυρίως καρδιοειδές, τότε παρατηρείται το εξής : στη δεξιά σχισμή της σύνδεσης από την μία μεριά έχουμε τους ιππόκαμπους και από την άλλη έχουμε σπειροειδή και όπως κινούμαστε κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού εξετάζοντας τα αντίστοιχα σημεία σύνδεσης, αυξάνεται ο αριθμός των βραχιόνων και των κεφαλών. Η περιοχή ανάμεσα στο καρδιοειδές και στο αριστερό μεγάλο εξόγκωμα καλείται “κοιλάδα των ιππόκαμπων” (σχήμα 54).

86

Σχήμα 54. Κοιλάδα ιππόκαμπων Ένα άλλο μοτίβο είναι τα σκήπτρα : Διαλέγουμε ένα εξόγκωμα με έναν δενδρίτη και σημειώνουμε τον αριθμό των βραχιόνων του δενδρίτη και όσα τυχόν σπειροειδή αυτός ο δενδρίτης έχει. Έπειτα επιλέγουμε το μεγαλύτερο εξόγκωμα που ανήκει στο αρχικό εξόγκωμα. Αφού λοιπόν ξέρουμε ότι το μεγαλύτερο εξόγκωμα του Μ έχει μία σειρά από ιππόκαμπους, συνεπώς αυτό το εξόγκωμα έχει ιππόκαμπους με σκήπτρα προσκολλημένα επάνω τους. Τα σκήπτρα αυτά εκτείνονται ακτινωτά σε μια ομάδα από την “κορώνα” του ιππόκαμπου και έχουν τον ίδιο αριθμό με τους βραχίονες που είχαμε μετρήσει στον αρχικό δενδρίτη. Αν ο δενδρίτης είχε από μόνος του έναν ελέφαντα ή ιππόκαμπο με μια σπείρα, τα σκήπτρα έχουν σπείρες και έχουν τη μορφή ενός ελέφαντα ή ιππόκαμπου. • Οι ιππόκαμποι μεταβάλλονται καθώς κατεβαίνουμε την τυχούσα ρωγμή. Όλοι οι ιππόκαμποι στην κοιλάδα ιππόκαμπων δεν είναι ίδιοι. Στην πραγματικότητα, τα χαρακτηριστικά τους μπορούν να αλλάζουν σημαντικά όσο πιο χαμηλά στην ρωγμή προσπαθήσουμε να μεγεθύνουμε έναν ιππόκαμπο.

87

Σχήμα 55.

Κάθε ιππόκαμπος έχει δύο βραχίονες περισσότερους από τον προηγούμενο του στην σειρά και οι σπείρες επίσης τυλίγονται πιο σφιχτά (σχήμα 55). Οι πιο κάτω εικόνες δείχνουν πέντε εξογκώματα που βρίσκονται σε χαμηλότερο σημείο στη διαδρομή μέσα στην κοιλάδα, καθώς και τους αντίστοιχους ιππόκαμπους.

88

• Mini Mandelbrot Έχουμε αναφέρει ότι υπάρχουν μινιατούρες του Mandelbrot οι οποίες έχουν κάθε χαρακτηριστικό του κυρίου συνόλου που αναπαράγεται, όπως εξογκώματα, ιππόκαμπους και σπείρες. Κάθε mini Mandelbrot έχει επίσης δενδρίτες των οποίων το σχήμα εξαρτάται από το συγκεκριμένο mini Mandelbrot. Ένα mini Mandelbrot μπορεί να βρεθεί συχνά εκεί όπου υπάρχει ένα συμμετρικό ζεύγος από σπείρες, ιππόκαμπους ή άλλα αντικείμενα.

Ένα ζεύγος συμμετρικών ιππόκαμπων

Ένα mini Mandelbrotανάμεσά τους

Σχήμα 56.

Στο σχήμα 56 παρατηρούμε ότι η περιοχή που περιβάλλει το mini Mandelbrot είναι ένα ζεύγος ιππόκαμπων που συνδέονται κοντά στα “μάτια” τους. Ένα άλλο παράδειγμα αυτού του φαινομένου είναι το διπλό σπειροειδές. Μέσα σε ένα σπειροειδή υπάρχει ένα mini Mandelbrot, δίπλα από αυτό υπάρχουν 2 ενωμένες σπείρες ακριβώς στο σημείο που βρίσκεται το Mandelbrot. Οι εικόνες που ακολουθούν είναι άλλα παραδείγματα αυτού του φαινομένου. Η πάνω εικόνα του κάθε ζεύγους εικόνων, δείχνει μια δομή Mandelbrot και η κάτω εικόνα δείχνει την περιοχή που περιλαμβάνει το mini Mandelbrot, που είναι το μαρκαρισμένο σημείο στην εικόνα.

89

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Εφαρμογές των fractals

Τα fractals έχουν όλο και περισσότερες εφαρμογές στην επιστήμη γενικά. Ο κύριος λόγος είναι ότι περιγράφουν καλύτερα τον πραγματικό κόσμο από τα “παραδοσιακά” μαθηματικά και φυσική.

Θα αναφέρουμε μερικούς κλάδους όπου χρησιμοποιείται η θεωρία των fractals. 1. Αστρονομία : Τα fractals είναι ένα “εργαλείο” περιγραφής του σύμπαντος. Οι παρατηρήσεις δείχνουν ότι η ύλη δεν είναι κατανεμημένη ομοιόμορφα στο σύμπαν. Πολλοί αστρονόμοι υποστηρίζουν ότι το σύμπαν είναι “ομαλό” σε μεγάλη κλίμακα. Υπάρχει, όμως, μια ομάδα επιστημόνων που υποστηρίζει ότι η δομή του σύμπαντος είναι fractal σε όλες τις κλίμακες. Επομένως χρειάζονται πολλές παρατηρήσεις όσον αφορά την κατανομή των γαλαξιών στο σύμπαν, ώστε τελικά να αποφασίσουμε για το αν ζούμε ή όχι σε ένα fractaliko σύμπαν. 2. Τοπία : Τα τοπία αποτελούν μια κλασσική εφαρμογή των fractals. Αν κοιτάξουμε ένα βουνό ή έναν λόφο ή μία ακτή, θα δούμε όλο και πιο περίπλοκα σχήματα όσο πιο κοντά τα κοιτάξουμε. Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας. 3. Καιρός : Η συμπεριφορά του καιρού είναι πολύ απρόσμενη. Μπορεί να αλλάξει από λεπτό σε λεπτό, για αυτό θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο καιρός συμπεριφέρεται με πολύ χαοτικό τρόπο. Πράγματι ο καιρός μπορεί να δημιουργήσει μοτίβα fractal. 4. Ηλεκτρονικοί υπολογιστές : Η πιο χρήσιμη χρήση των fractals στην επιστήμη των υπολογιστών, είναι η fractal συμπίεση εικόνας. Αυτό το είδος συμπίεσης χρησιμοποιεί το γεγονός ότι ο πραγματικός κόσμος περιγράφεται πολύ καλά από την γεωμετρία των fractals. Άλλο ένα πλεονέκτημα της fractal συμπίεσης, είναι ότι όταν η εικόνα μεγεθύνεται, δεν υπάρχει pixelisation. Η εικόνα φαίνεται πολύ καλύτερα όταν το μέγεθός της αυξάνεται. 5. Μηχανική ρευστών : Η μελέτη της τυρβώδους κίνησης στα υγρά αναπροσαρμόζεται πολύ στα fractals. Ο στροβιλισμός των υγρών είναι χαοτικός και είναι πολύ δύσκολο να μοντελοποιηθεί. Η fractaliki αναπαράσταση αυτών βοηθάει τους φυσικούς να καταλάβουν καλύτερα τα πολύπλοκα υγρά.

90

6. Ιατρική : Όσον αφορά την ιστοπαθολογία που ασχολείται με την μελέτη των μορφολογικών αλλαγών σε κύτταρα και ιστούς, η διαδικασία μέτρησης και ανάλυσης τέτοιων δύσκολων και ανώμαλων μορφολογιών μπορούν να ξεπεραστούν με την γεωμετρία των fractals, η οποία δίνει αντικειμενικό τρόπο μέτρησης, προσέγγισης και κατανόησης της πολυπλοκότητας των σχημάτων. Επίσης μας βοηθά να μοντελοποιήσουμε και διακρίνουμε φυσιολογικές και παθολογικές αλλαγές στην μορφή των κυττάρων. Επιπλέον στην λειτουργία της καρδιάς εμφανίζονται fractal χαρακτηριστικά. 7. Γεωλογία : Έχουν βρεθεί χρήσιμα μοντέλα fractal για την περιγραφή και την πρόβλεψη του τόπου και του χρόνου των σεισμών. 8. Fractal στην μουσική και στην τέχνη : Έχουμε εφαρμογές των fractals στην μουσική, όπου fractal σχέδια χρησιμοποιούνται στην σύνθεση και ακόμα νέα μουσικά όργανα κατασκευάζονται με fractal χαρακτηριστικά όπως π.χ. drums με περίμετρο fractal. Με την βοήθεια υπολογιστών κατασκευάζονται μοτίβα fractals που είναι καλλιτεχνικά και αισθητικά ευχάριστα.

91

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Ευαγγελάτου–Δάλλα Λεώνη, Στοιχεία Fractal Γεωμετρίας (2000). 2. Μπούντης Αναστάσιος, Δυναμικά Συστήματα και Χάος (1995). 3. Barnsley M. F., Fractals Everywhere, 2nd edition (Academic Press 1993). 4. Beardon Alan, Iteration of Rational Functions (Springer–Verlag 1991). 5. Carleson L.–Gamelin Th. W., Complex Dynamics (Springer – Verlag

1993). 6. Devaney R.L., An introduction to chaotic dynamical system, 2nd edition

(Addison – Welsey 1989). 7. Devaney R.L., The Mandelbrot Set and the Farey Tree, Boston

University December 29, 1997. 8. Devaney R.L. – Moreno–Rocha M., Geometry of the Antennas in the

Mandelbrot Set, May 4, 2000. 9. Douady A. – Hubbard J.H., Itération des polynômes quadratiques

complexes, C.R.Acad. Sci. Paris, 294, 1982, pp.123–126. 10. Douady A. – Hubbard J.H., Étude dynamique des polynômes complexes,

(Première Partie), Publ. Math. d’Orsay 84–02, 1984, (Deuxième Partie), 85–02, 1985.

11. Douady A. – Hubbard J.H., On the dynamics of polynomial–like

mappings, Ann. Sci. École Norm. Sup., 18, 1985, pp. 287–343. 12. Falconer K. J., The Geometry of Fractal Sets (Cambridge University

Press 1985). 13. Falconer K. J., Fractal Geometry (John Wiley 1990). 14. Falconer K. J., Techniques in Fractal (John Wiley 1990). 15. Peitgen H.–O. – Rechter P. H., The Beauty of Fractals (Springer –

Verlag 1986). 16. Siegel C. L. – Moser J. K., Lectures on Celestial Mechanics (Springer –

Verlag 1971). 17. Tan Lei, Similarity between the Mandelbrot Set and Julia Sets, Commun.

Math. Phys. 134, 587–617 (1990).

92