Σκοπός: Η μελέτη της σχέσης εισροών και εκροών

Συντελεστέςπαραγωγής(Εισροές)

ΠαραγόμενοΠροϊόν

(Εκροές)

Παραγωγικήδιαδικασία

ΚεφαλαιουχικάαγαθάΕργασίαΓήΕπιχειρηματικέςή διοικητικέςικανότητεςκλπ

ΤεχνολογίαΑγαθάΥπηρεσίες

Συνάρτηση Παραγωγής

Η συνάρτηση η οποία εκφράζει την τεχνική σχέση ανάμεσαστις εισροές (συντελεστές παραγωγής) και την μεγαλύτερηδυνατή ποσότητα εκροών (ποσότητες παραγόμενωνπροϊόντων).

( )1 2, ,..., nQ F X X X=

Παράδειγμα:

1 2 34Q X X X=

Για Χ1=2, Χ2=2 και Χ3=4 Q=16

Η μεγαλύτερη δυνατή ποσότηταπου μπορεί να παραχθεί με αυτέςτις ποσότητες των συντελεστών

Βραχυχρόνια και Μακροχρόνια περίοδος

Στην βραχυχρόνια περίοδο ένας τουλάχιστονσυντελεστής παραγωγής παραμένει σταθερός

Στην μακροχρόνια περίοδο κανένας συντελεστήςπαραγωγής δεν είναι σταθερός

Χρονικοί ορίζοντες που διαφέρουν από επιχείρηση σεεπιχείρηση και από κλάδο σε κλάδο

Υπόθεση: Υπάρχουν δύο μόνο συντελεστές παραγωγής, κεφάλαιο (Κ) και εργασία (L) και ένα προϊόν(Q).

Στην βραχυχρόνια περίοδο μεταβάλλεται μόνο ηεργασία

Παραγωγή στηβραχυχρόνια περίοδο

Καμπύλη προϊόντος και συνάρτησηπαραγωγής

L Q1 42 203 464 796 1627 2098 25911 40412 44513 48017 56118 56119 55520 543

Στην βραχυχρόνια περίοδο η σχέση μεταξύπροϊόντος και εργασίας μπορεί να δίνεται

Με την μορφή ενός πίνακα Με την μορφή μιας συνάρτησης

( ),Q F K L= ( )Q F L=ή

Παράδειγμα:

0,610Q L=

Παράδειγμα:

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15 20 25

Εργασία L

Ποσ

ότητ

α Q

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25

Εργασία L

Ποσ

ότητ

α

Q

Καμπύλη προϊόντος

Μέσο και Οριακό Προϊόν

Μέσο Προϊόν: Η ποσότητα προϊόντος που αντιστοιχεί κατάμέσο όρο σε κάθε μονάδα μεταβλητούσυντελεστή

LQAPL

=

Οριακό Προϊόν: Η μεταβολή στην παραγόμενη ποσότηταπροϊόντος που αντιστοιχεί σε μια μεταβολή τουμεταβλητού συντελεστή κατά μια μονάδα

LQMPL

Δ=Δ L

dQMPdL

=ή

Παραγωγικότητατης εργασίας

-20,0

-10,0

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

0 5 10 15 20 25

Ποσότητα Q

AP L

MP L

L Q APL MPL1 4 4,02 20 10,0 16,03 46 15,3 26,04 79 19,8 33,06 162 27,0 41,57 209 29,9 47,08 259 32,4 50,0

11 404 36,7 48,312 445 37,1 41,013 480 36,9 35,017 561 33,0 20,318 561 31,2 0,019 555 29,2 -6,020 543 27,2 -12,0

Παράδειγμα:

020000

4000060000

80000100000

120000140000

160000

0 20 40 60 80L

Q

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 10 20 30 40 50 60 70 80

L

APL

M

PL

Παράδειγμα:

2 3100Q L L= −2 3

2100 100LL LAP L LL−

= = −

2200 3LMP L L= −

Γεωμετρική απεικόνιση του MPL και του APL

Q

L

L

MPL APL

( )Q F L=

( )LAP f L=

( )LMP g L=

Σχέση μεταξύ MPL και APL

L

MPLAPL

ΜPL

ΑPL

Αρχίζουν από το ίδιο σημείοΌταν MPL > APL APL

Όταν MPL < APL APL

Όταν MPL = APL APL Max

( )Ld APdL

QdLdL

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= L LMP AP

L−

=2

dQ L QdLL

−=

dQ QdL LL

−=

( ) 0LL L

d APMP AP

dL> ⇒ >

( ) 0LL L

d APMP AP

dL< ⇒ <

( ) 0LL L

d APMP AP

dL= ⇒ = (APL MAX)

Ελαστικότητα Προϊόντος

,Q LQ LEL Q

Δ=Δ ,Q L

dQ LEdL Q

=

,L

Q LL

dQ dL MPEQ L AP

= =

, 1L L Q LMP AP E> ⇒ >

, 1L L Q LMP AP E< ⇒ <

, 1L L Q LMP AP E= ⇒ =

L

MPLAPL

ΜPL

ΑPL, 1Q LE =

, 1Q LE =, 1Q LE >

, 0Q LE =

, 1Q LE <

Q

L

L

MPL APL

( )Q F L=

LAP

LMP

Στάδιο Ι

Στάδ

ιοΙΙ

Στάδιο ΙΙΙ

Τα τρία στάδια της παραγωγής

Στάδιο Ι

LAP ↑Υποεκμετάλλευση τουσταθερού συντελεστή

Στάδιο ΙΙ

0L LAP MP↓ >

Υπερεκμετάλλευση τουσταθερού συντελεστή

Νόμος των ΦθινουσώνΑποδόσεων

Στάδιο ΙΙΙ

0LMP <

Παραγωγή στημακροχρόνια περίοδο

Q

K

L

K1

L1

Q1

K2

L2

Q2

Υπόθεση: ∆ύο μόνο συντελεστές παραγωγής, Εργασία (L) και Κεφάλαιο (K)

Κάθετη τομή σε συγκεκριμένο Κμας δίνει την καμπύλη προϊόντος

Καμπύλες ίσου προϊόντος

Κ

L

Q

Κ

L

A

Β

Γεωμετρικός τόπος των σημείων πουαντιπροσωπεύουν συνδυασμούς

συντελεστών που παράγουν την ίδιαποσότητα προϊόντος

Χάρτης καμπυλών ίσου προϊόντος

Το σχήμα τους αντιπροσωπεύειτην τεχνολογία της επιχείρησης

Καμπύλες ίσου προϊόντος

L2L1

K2

K1

Q0

Οριζόντια τομή του διαγράμματοςπαραγωγής στο ύψος Q0

Κ

LQ0

Q1

Q2

Υποθέτει πλήρη διαιρετότητα τωνσυντελεστών παραγωγής

Ιδιότητες των καμπυλών ίσου προϊόντος

Η κατασκευή τους βασίζεται στην ίδια λογική με αυτήτων Κ.Α. Γι αυτό και έχουν κοινές ιδιότητες

Ανώτερη καμπύλη αντιπροσωπεύει μεγαλύτερο ύψος παραγωγής

Αφού αποκλείεται το Στάδιο ΙΙΙ 0, 0L KMP MP> >

Έχουν αρνητική κλίση

Αφού 0, 0L KMP MP> >Μια αύξηση του ενός συντελεστή συνεπάγεται μείωση τουάλλου για να διατηρηθεί το ίδιο επίπεδο παραγωγής

∆εν τέμνονται

Το σημείο τομής θα αντιπροσώπευε δύο διαφορετικάεπίπεδα παραγωγής στην ίδια καμπύλη ίσου προϊόντος

1.

2.

3.

Είναι κυρτές ως προς την αρχή των αξόνων4.

Ο αριθμός που αντιστοιχεί σε κάθε καμπύλη ίσου προϊόντοςδεν είναι απλός δείκτης αλλά έχει σημασία και σαν απόλυτομέγεθος

5.

Ο Οριακός Λόγος ΤεχνικήςΥποκατάστασης

Η αρνητική κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος συνεπάγεταιυποκατάσταση

Με τι ρυθμό πραγματοποιείται η υποκατάσταση;

Οριακός Λόγος Τεχνικής Υποκατάστασης (MRTS):

Η ποσότητα του ενός συντελεστή που πρέπει ναεγκαταλειφθεί για να χρησιμοποιηθεί μια επιπλέονμονάδα του άλλου συντελεστή έτσι ώστε το επίπεδο

παραγωγής να παραμείνει αμετάβλητο

0,L K

Q

KMRTSL

Δ= −

Δ

Παράδειγμα

Κ

L

A

Β

400100

30

60

Q=20020C

800

,200

30 60 0,1400 100L K

Q

KA B MRTSL =

Δ −→ = − = − =

Δ −

,200

20 30 0,025800 400L K

Q

KB C MRTSL =

Δ −→ = − = − =

Δ −

Από το σημείο Α στο σημείο Β για κάθε μονάδαεργασίας που προστίθεται πρέπει να αφαιρούνταικατά μέσο όρο 0,1 μονάδες κεφαλαίου ώστε ναδιατηρηθεί το ύψος παραγωγής στις 200 μονάδες

Ερμηνεία

Όταν η συνάρτηση παραγωγής είναι γνωστή

0,L K

Q

dKMRTSdL

= −

Κ

L

A

Β

L2L1

K2

K1

Q0

Υπολογίζεται σε κάθε σημείο τηςκαμπύλης ίσου προϊόντος

Ισοδυναμεί με την απόλυτη τιμήτης κλίσης της εφαπτομένης στοσυγκεκριμένο σημείο

Παράδειγμα

Κ

L

A

Β

82

5

20

Q=4004C

10

10Q KL= Για Q = 400400 4010

KL L

= =

, 2400

40L K

Q

dKMRTSdL L=

= − =

, 2

40 102L KA MRTS→ = =

, 2

40 0,6258L KB MRTS→ = =

, 2

40 0,410L KC MRTS→ = =

Ο Οριακός Λόγος Τεχνικής Υποκατάστασης είναι ίσοςμε τον λόγο των δύο οριακών προϊόντων (MPL , MPK)

Q QdQ dL dKL K

∂ ∂= +∂ ∂ L KMP dL MP dK= ⋅ + ⋅

0dQ =Q σταθερό

0L KMP dL MP dK⋅ + ⋅ =

,L

L KK

MP dK MRTSMP dL

= − =

0,4104C

0,62585Β

10220Α

MRTSLΚ

10Q KL=

,L

L KK

MPMRTSMP

=1010K KL L

= =

Παράδειγμα

Όσο το κεφάλαιο βρίσκεται σε αφθονία, σε σχέση με την εργασία, η ποσότητα κεφαλαίου που υποκαθίσταται με μια μονάδαεργασίας είναι μεγάλη.

Όσο το κεφάλαιο γίνεται πιο σπάνιο, η ποσότητα αυτή γίνεται όλοκαι πιο μικρή. Η υποκατάσταση γίνεται όλο και πιο δύσκολη.

Κ

MRTS=10

82

5

20

Q=4004

10

MRTS=0,625MRTS=0,4

L

Παρατήρηση:Κυρτές καμπύλες ίσου

προϊόντος

Νόμος του Φθίνοντος Οριακού ΛόγουΤεχνικής Υποκατάστασης

Οριακός Λόγος ΤεχνικήςΥποκατάστασης συνεχώς μειώνεται

Αποδόσεις Κλίμακας ήΟικονομίες Κλίμακας

Μεταβολή όλων τωνσυντελεστών παραγωγής κατά

το ίδιο ποσοστόΜεταβολή στην

παραγόμενη ποσότητα

Ποσοστό μεταβολής τηςπαραγόμενης ποσότητας

Ποσοστό μεταβολήςτων συντελεστών>

Αύξουσες Αποδόσεις(οικονομίες) Κλίμακας

Ποσοστό μεταβολής τηςπαραγόμενης ποσότητας

Ποσοστό μεταβολήςτων συντελεστών< Φθίνουσες Αποδόσεις

(οικονομίες) Κλίμακας

Ποσοστό μεταβολής τηςπαραγόμενης ποσότητας

Ποσοστό μεταβολήςτων συντελεστών

= Σταθερές Αποδόσεις(οικονομίες) Κλίμακας

Ομογενείς συναρτήσεις παραγωγής

( ),Q F K L=

Ομογενής βαθμού r αν ( ) ( ), ,rF tK tL t F K L=

Αύξουσες Αποδόσεις (οικονομίες) Κλίμακας r > 1

Φθίνουσες Αποδόσεις (οικονομίες) Κλίμακας r < 1

Σταθερές Αποδόσεις (οικονομίες) Κλίμακας r = 1

Κ

L100

200300

400

L1 L2 L3 L4

Κ1

Κ4Κ3Κ2

Αύξουσες Αποδόσεις(οικονομίες) Κλίμακας

Κ

L100

200300

400

L1 L2 L3 L4

Κ1

Κ4

Κ3Κ2

Φθίνουσες Αποδόσεις(οικονομίες) Κλίμακας

Κ

L100

200300

400

L1 L2 L3 L4

Κ1

Κ4Κ3Κ2

Σταθερές Αποδόσεις(οικονομίες) Κλίμακας

Παράδειγμα

KLKLQ 1022 ++=

( ) ( ) ( )( )tLtKtKtL 1022 ++ ( )KLKLt 10222 ++= Qt 2=

2=r Αύξουσες Οικονομίες Κλίμακας

6,04,0 KLQ =

( ) ( ) 6,04,0 tKtL ( )6,04,0 KLt= tQ=1=r Σταθερές Οικονομίες Κλίμακας

3,03,020 KLQ =

( )3,03,06,0 20 KLt=6,0=r Φθίνουσες Οικονομίες Κλίμακας

( ) ( ) 3,03,020 tKtL

Η συμμετρία των σταδίων παραγωγής

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση παραγωγής είναι συνάρτηση τηςεργασίας και του κεφαλαίου:

Η συνάρτηση είναι ομογενής πρώτου βαθμού (σταθερέςαποδόσεις κλίμακας) εάν:

Για m=1/L παίρνουμε:

( ),Q f L K=

( ),mQ f mL mK=

1,Q KfL L

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

KQ LgL

⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

'Q K K Kg gL L L L

∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Q KgK L∂ ⎛ ⎞′⇒ = ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

LK K KMP g gL L L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

'KKMP gL

⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Η συμμετρία των σταδίων παραγωγής

Άρα:L K

K K KL MP K MP Lg Kg KgL L L

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′⋅ + ⋅ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L KKL MP K MP Lg QL

⎛ ⎞⇒ ⋅ + ⋅ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

K LQ LMP MPK K

⇒ = − ⋅

( )K L L LL Q L LMP MP AP MPK L K K

⇒ = − ⋅ = −

Στάδιο Ι για το L: L LAP MP< 0KMP⇒ < ⇒ Στάδιο ΙII για το K.Στάδιο Ι για το K: K KAP MP< 0LMP⇒ < ⇒ Στάδιο ΙII για το L.

Στάδιο ΙI για το L: 0L LAP MP> > 0KMP⇒ >

Στάδιο ΙI για το K.

K L K LQ L LMP MP AP MPK K K

= − ⋅ = − ⋅ L K KL MP AP MPK

⇒ ⋅ = −

0K KAP MP⇒ − > K KAP MP>0LMP >

Ελαστικότητα Κλίμακας

Ποσοστιαία μεταβολή στην παραγόμενη ποσότηταύστερα από μια μεταβολή στις εισροές κατά 1%

SCQ QEμ μ

Δ=Δ SC

dQ QEdμ μ

=ή

, ,SC Q K Q LE E E= +

Q QdQ dK dLK L∂ ∂

= +∂ ∂

dQ Q dK K Q dL LQ K Q K L Q L

∂ ∂= +∂ ∂

dK dL dK L

μμ

= = dQ Q Q K Q Ld K Q L Qμ μ

∂ ∂= +∂ ∂

, ,SC Q K Q LE E E= +

επειδή

Παράδειγμα

KLKLQ 1022 ++= ( )QLKL

QL

LQE LQ 102, +=∂∂

=

( )QKLK

QK

KQE KQ 102, +=∂∂

=

( ) ( )QKLK

QLKLEE KQLQ 102102,, +++=+

QKLKKLL 102102 22 ++

=

( )Q

KLKL 102 22 ++= 22

==QQ

6,04,0 KLQ =QLKL

QL

LQE LQ

6,06,0, 4,0 −=

∂∂

=

( ) 4,014,0 6,04,0 ==Q

KL

QKKL

QK

KQE KQ

4,04,0, 6,0 −=

∂∂

=

( ) 6,016,0 6,04,0 ==Q

KL

16,04,0,, =+=+ KQLQ EE

Παράδειγμα(συνέχεια)

Παράδειγμα(συνέχεια)

βαKALQ =QLKAaL

QL

LQE LQ

βα−=∂∂

= 1,

( ) αα βα ==Q

KAL 1

QKKLA

QK

KQE KQ

βαβ −=∂∂

= 1,

( ) ββ βα ==Q

KAL 1

βα +=+ KQLQ EE ,,

Ελαστικότητα Υποκατάστασης

Κ

LL1

K1

L2

K2

0

A

BC

Κ

L

A

BC

Κ

L

A

B

C

Στο Α η κλίση της ΟΑKL

η κλίση της εφαπτομένης ,L KMRTS

Όσο πιο εύκολη είναι η υποκατάσταση τόσο πιο αργή είναιη μεταβολή του MRTS σε σχέση με την μεταβολή τουλόγου K/L

L3

K3

( ),

%

% L K

KL

MRTSσ

⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎝ ⎠=

Δ( ) ( )

( ), ,L K L K

d K L K Ld MRTS MRTS

σ =

Ελαστικότητα Υποκατάστασης

ή

Ποσοστιαία μεταβολή στον λόγο K/L ύστερααπό μια μεταβολή του ΟΛΤΥ (MRTS) κατά 1%

Πάντα σ > 0Όσο μεγαλύτερη η τιμή του σ τόσοπιο εύκολη η υποκατάσταση

Ειδικές περιπτώσεις ελαστικότηταςυποκατάστασης

σ = ∞Κ

L

0σ = { }min ,Q aK bL=Κ

L

b

a

1.

2.

ΠαράδειγμαΠαραγωγή 1 μονάδας προϊόντος απαιτεί 1Κ και 3 L

1min 1 ,3

Q K L⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

13

KL=

3. cσ = (σταθερή ελαστικότητα υποκατάστασης)

( )1Q K Lν

ρ ρ ργ δ δ−− −⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

11 0 0 1 , 01

ρ ρ δ ν γ σρ

− < < ∞ ≠ < < > =+

όπου

Συνάρτηση CES (Constant Elasticity of Substitution)

13

KL<

13

KL> Πλεονάζον

κεφάλαιοΠλεονάζουσα

εργασία

4. 1σ = a bQ AK L= Συνάρτηση Cobb-Douglas

,L

L KK

MPMRTSMP

=

( )( ) ,, L KL K

d K L K LMRTSd MRTS

σ =

1

1

a b

a b

bAK LaAK L

−

−= b Ka L

=

a K Lb Kba L

= 1=