1=− 0ln22 rrKQhH e

π

[ ] NNrrrr /1210 ),..,,(∏=

ESERCIZIO n.1 In un cantiere edile è necessario effettuare uno scavo su un’area rettangolare larga 25 m e lunga 50 m fino ad una profondità di 3 m al di sotto del piano di campagna. Nel terreno è presente una falda freatica limitata da un strato impermeabile orizzontale (base della falda) situato alla profondità di 12 m sotto il piano di campagna. Durante il periodo interessato dallo scavo l’altezza di falda indisturbata è mediamente H = 10 m (2 m al di sotto del piano di campagna) misurata dalla superficie impermeabile. Per abbassare la falda si pensa di utilizzare 5 pozzi di diametro D = 20 cm interamente scavati nella falda e situati a distanza di 12.5 m l’uno dall’altro su una linea parallela al lato maggiore dell’area interessata e a 10 m da essa (vedi figura). Sapendo che la conduttività K del terreno è di 0.1 cms-1 e che il raggio di influenza re è di 100 m per tutti i pozzi determinare: 1. Il valore della portata qp (supposta uguale per tutti) che si deve emungere da ciascun pozzo perché nel punto C sia garantito un abbassamento ∆ della falda di 3.5 m dal piano di campagna; 2. l’abbassamento δ nei pozzi e la potenza necessaria complessiva per sollevare la portata dai cinque pozzi , fino al piano di campagna, supponendo un rendimento globale η = 0.7 e trascurando le perdite di carico. 3. verificare inoltre che lungo tutto il lato A-B l’altezza della falda sia di almeno 3 m al di sotto del piano di campagna. Soluzione Osserviamo che la disposizione dei pozzi è simmetrica rispetta alla retta che unisce il pozzo 3 al punto C; il campo di moto che ne consegue sarà simmetrico rispetto al piano verticale passante per tale retta. Punto 1 Si impone che in C la quota piezometrica h sia 8.5 m sulla base della falda (abbassamento di 3.5 m dal piano campagna). Si utilizza la relazione: (1) In cui H (10 m) è la quota piezometrica indisturbata, Q è la portata complessiva ( Q = N×Qp con Qp portata del singolo pozzo), re è il raggio di influenza e K la conduttività, supposti uguale per tutti gli N pozzi, ed r0 è dato dalla relazione: (2) in cui ri è la distanza del punto C dal singolo pozzo. Facendo riferimento alla figura ed ai dati del problema si ottiene: r1 = r5 = 43.011 m ; r2 = r4 = 37.16 m; r3 = 35 m. ------------------ r0 = 38.93 m. Dalla (1) si ricava Q = 0.0924 m3s-1 e quindi Qp =Q/5 = 0.0185 m3s-1. Punto 2 Utilizzando la (1) e la (2) applicate ai singoli pozzi (alla distanza r = 0.1 m dal centro del pozzo) si ottiene: 1. Pozzo 1 e pozzo 5 : r0 = 8.98 m; h = 5.39 m; δ = 4.61 m; 2. Pozzo 2 e pozzo 4 : r0 = 6.81 m; h = 4.58 m; δ = 5.42 m; 3. Pozzo 3: r0 = 6.28 m; h = 4.31 m; δ = 5.69 m.

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

P1

P2

P3

P4

P5

A

B

C

2

Per ottenere la prevalenza totale ∆H da utilizzare nel calcolo della potenza necessaria per le pompe, all’abbassamento δ bisogna aggiungere la distanza della superficie di falda indisturbata dal piano di campagna, che è 2 m. Si utilizza la relazione: W = (9.81 × ∆H × Qp)/η che dà la potenza in kW; si ottiene: pozzi 1 e 5 W = 1.712 kW; pozzi 2 e 4 W = 1.924 kW; pozzo 3 W = 1.993 kW La potenza complessiva è pari a 9.265 kW. Punto 3 Si utilizzano ancora le (1) e (2) considerando il punto A (e il simmetrico B); si ottiene r0 = 44.53, h B = 8.73 m sulla base della falda e quindi un abbassamento di 3.27 m dal piano di campagna. Pertanto lungo tutto il lato A-B l’abbassamento prodotto dalle pompe soddisfa la richiesta

3

1uDlnL8D Dd+

= π= uln 8d LLπ

ESERCIZIO n. 2 E’ necessario realizzare un drenaggio di falda su un campo coltivato di dimensione 400 m × 500 m al fine di eliminare l’eccesso di acqua durante il periodo autunnale e di inizio primavera, in cui la falda si innalza fino a 0.2 m dal piano di campagna. Si consideri un evento di progetto corrispondente ad una pioggia di 15 mmd-1. Il terreno è caratterizzato da una conduttività di 1.5 md-1 e la base della falda è 5 m sotto il piano di campagna. Determinare la spaziatura dei dreni L perché, in corrispondenza della pioggia di progetto, sia rispettato un franco di 0.4 m e determinarne il diametro. Si utilizzano tubi di plastica ondulati i cui diametri interni nominali in mm sono 40, 50, 65, 100, 125, 200; il diametro da assumere non deve mai essere inferiore ai 40 mm. Le formule utilizzabili per il calcolo del diametro sono le seguenti: Q = 22 di2.67 i0.50 moto uniforme Q = 38 di2.67 i0.50 moto permanente in cui Q è la portata in m3s-1, di il diametro interno in m e i la cadente (pendenza media della tubazione nella pratica). Soluzione La profondità di falda equivalente d è data dalle seguenti formule interpolanti : Per D<L/4 per D > L/4 ove D è la distanza tra la base del dreno e la base della falda, u è il perimetro bagnato ed L la spaziatura dei dreni Nell’effettuare il calcolo si ipotizzi per la base del dreno una profondità di 2 m dal piano campagna e per u il valore di 0.3 m. Si utilizzi per i dreni una pendenza media costante di 0.001 ed una lunghezza massima di 200 m. Si utilizza la formula di Hooghoudth scritta nella forma: (3) L = 2 × qKhqKhd 22 + (m) ove L è la spaziatura dei dreni, K la conduttività dell’acquifero ( md-1), q la pioggia di progetto ( md-1) e d (m) è data dalla relazione (valida per D < L/4): (4) 1ln8 +

= uDLD Ddπ

in cui u è il perimetro bagnato della trincea in cui è posato il dreno. Sostituendo i dati del problema ottiene la relazione: L2 = 1280 × d + 1024 che associata alla (4) viene risolta per tentativi e porta alla soluzione L = 63.5 m; si può scegliere L = 63 m. Tenendo conto che l’area drenata dal singolo dreno è pari a 63 × 200 = 12600 m2 si ottiene una portata drenata alla sezione finale della tubazione di 2.19 ls-1. Imponendo un coefficiente di sicurezza di 1.33 si ottiene la portata di progetto di 2.9 ls-1. Se si ipotizza il moto permanente si ricava per il dreno un diametro di 104.7 mm e si sceglie Dd = 100 mm;: se si ipotizza il moto uniforme il diametro trovato è 128.6 mm e si sceglie Dd 125 mm.

4

ESERCIZIO n. 3 E’ dato un sistema drenante costituito da moduli di falda orizzontali realizzati con tubi forati posti alla profondità di 2 m in una falda con le seguenti caratteristiche: conduttività K = 2 md-1, porosità efficace µ = 0.05. I dreni sono distanziati di 50 m e la base della falda è 3 m al di sotto della base del dreno. Determinare il valore massimo (in mmd-1) che assume la portata scolata in corrispondenza dell’evento di pioggia riportato in tabella e verificare se il sistema drenante sia in grado di mantenere il franco di coltivazione al di sopra di 0.5 m, tenendo conto che all’inizio della pioggia dal modulo drenante esce una portata di 1 mmd-1. t (giorni) hp(mm) hcum(mm) 1 10 10 2 15 25 3 25 50 4 30 80 5 10 90 6 5 95 Soluzione Il calcolo della portata viene ricavato con la relazione: (5) q(t+∆t)= q(t) e-α∆t + R*(1-e-α∆t) = q1(t) + q2(t) essendo q (t) la portata specifica drenata in mmd-1, R* (mmd-1) la ricarica media nell’intervallo ∆t (d) e α il fattore di risposta in d-1 dato dalla relazione: (6) α = 22LKdµπ ove L (m) , K (md-1) e d (m) hanno il significato sopra detto e µ è la porosità efficace dell’acquifero. Per d si ottiene dalla (4) d = 2.219 m e dalla (6) α = 0.35 d-1. Utilizzando la (5) con ∆t = 1d e tenendo conto che h(t) = (q(t) × L2)/(8 × K × d) si ottiene: t (giorni) R ( mmd-1) q1 (mmd-1) q2 (mmd-1) qtot (mmd-1) h (m) Franco (m) 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.07 1.93 1.00 10.00 0.70 1.48 2.18 0.15 1.85 2.00 15.00 1.54 3.70 5.23 0.37 1.63 3.00 25.00 3.69 5.91 9.60 0.68 1.32 4.00 30.00 6.76 8.13 14.89 1.05 0.95 5.00 10.00 10.49 5.91 16.40 1.15 0.85 6.00 5.00 11.55 2.22 13.77 0.97 1.03 7.00 9.70 0.74 10.44 0.73 1.27 8.00 7.35 0.00 7.35 0.52 1.48 9.00 5.18 0.00 5.18 0.36 1.64 10.00 3.65 0.00 3.65 0.26 1.74 11.00 2.57 0.00 2.57 0.18 1.82 12.00 1.81 0.00 1.81 0.13 1.87 13.00 1.27 0.00 1.27 0.09 1.91 14.00 0.90 0.00 0.90 0.06 1.94 15.00 0.63 0.00 0.63 0.04 1.96 16.00 0.45 0.00 0.45 0.03 1.97 17.00 0.31 0.00 0.31 0.02 1.98 18.00 0.22 0.00 0.22 0.02 1.98 19.00 0.16 0.00 0.16 0.01 1.99

5

La portata massima drenata si verifica in corrispondenza del 5° giorno di pioggia ed è di 16.4 mmd-1; in corrispondenza si ha il franco minimo pari a D – hmax = 2 – 1.15 = 0.85 m; il sistema drenante è in grado di soddisfare le esigenze di coltivazione in corrispondenza di questo evento di pioggia. 0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25tempo (giorni)

po

rtat

e (m

m/d

) af(mmd-1)

Qes(mmd-1)

Qric(mmd-1)

Qtot(mmd-1)

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20 25tempo (giorni)

alte

zze

(m)

h(m)

Franco(m)

6

ESERCIZIO n. 4 Dimensionare un sistema drenante orizzontale in grado di produrre un abbassamento della falda di 0.50 m dal piano di campagna in quattro giorni. La falda è caratterizzata da una conduttività K = 1 md-1 e una porosità efficace µ = 0.04 ed ha una potenza di 4 m. Lo spessore di terreno interessato dalle coltivazioni è di 1 m. Scegliere opportunamente la base del treno ipotizzando che lo scarico nel collettore non sia mai rigurgitato. Soluzione La base del dreno W viene fissata tenendo conto del vincolo fisico imposto dalla profondità delle radici che è di 1 m, poiché la scarico del collettore non è mai rigurgitato e non c’è quindi altro vincolo da rispettare. E’ buona cosa dunque porre W > 1 m e W ≤ 3 m. Fatte queste premesse si utilizza la formula di Glover-Dumm: (7) h(t) = π4 h0 e-αt = 1.27 h0 e-αt con α dato dalla (6). Se si ipotizza W = 2 m si ottiene D = 4 - W = 2 m. L’altezza iniziale h(0) = h0 della falda supposta orizzontale è pari a 2 m sulla base del dreno; essa deve abbassarsi di 0.5 m in quattro giorni, quindi h(4) = 1.5. Dalla (7) si ricava per α il valore di 0.137 d-1. Dalla (6) si ricava: L 2 = 1873.8 × d con d dato dalla (4). Risolvendo per tentativi si ottiene d = 1.708 m e L ≈ 56.5 m Se si ipotizza W = 2.5 m si ottiene D = 4 - W = 1.5 m. L’altezza iniziale h(0) = h0 della falda supposta orizzontale è pari a 2.5 m sulla base del dreno; essa deve abbassarsi di 0.5 m in quattro giorni quindi h(4) = 2. Dalla (7) si ricava per α il valore di 0.115 d-1. Dalla (6) si ricava: L 2 = 2145.5 × d con d dato dalla (4). Risolvendo per tentativi si ottiene d = 1.345 m e L ≈ 53.5 m ESERCIZIO n. 5 Calcolare il volume d’adacquamento necessario per irrigare un comprensorio agricolo di 120 ha sapendo che la stagione irrigua va da aprile ad agosto compresi e che l’intervallo di tempo tra un’irrigazione e l’altra è mediamente di 20 giorni su tutto il periodo. Il terreno è un medio impasto con i seguenti valori di umidità: umidità massima ottimale Umo = 22 % e umidità di appassimento Ua = 10 %. Si consideri un valore di 1 m per lo spessore di terreno da inumidire. Soluzione Ricordiamo che l’altezza di adacquamento in mm è data dalla relazione: (8) ha =(Umo – Ucc) × ht in cui Umo è l’umidità massima ottimale, Ucc è l’umidità critica colturale, pari a 1.2 volte l’umidità di appassimento Ua, e ht è lo spessore (in mm) interessato dalle radici e quindi dall’adacquamento. Nella (8) i valori di umidità sono valori assoluti di umidità di volume. Nel caso proposto si ottiene ha = 100 mm e il corrispondente volume di adacquamento Wa = 10 × ha = 1000 m3ha-1. Poiché la superficie da irrigare è di 120 ha si ottiene, per ogni adacquamento, un volume di 120000 m3; se si considera il mese standard di 30 giorni la stagione irrigua, da aprile ad agosto compresi, ha una durata di 150 giorni. Il numero di adacquamenti è pertanto Na = INT(150/20 +1) = 8 a cui corrisponde un volume complessivo di 960000 m3.

7=− ∑ = i ieNi ii rrKQhH ,122 lnπ

ESERCIZIO n.6 Si consideri una falda freatica con potenza (distanza tra piano campagna e letto impermeabile) di 21 m. La quota piezometrica indisturbata è 20 m al di sopra del letto impermeabile. Nella falda sono scavati 4 pozzi con un diametro di 0,2 m per tutta la profondità di falda. La loro posizione è riportata in figura, nella quale le distanze sono in metri. Il raggio di influenza re è costante ed uguale a 100 m. Dal pozzo P3 si emunge, in condizioni stazionarie e in assenza di emungimento da altri pozzi, una portata Q3 di 50 ls-1. Mediante due piezometri posti rispettivamente ad una distanza di 5 e 25 m dal pozzo P3 si misura l’abbassamento della falda a regime al di sotto del piano campagna, che è di 3,77 e 2,23 m. 1) Determinare la conduttività media della falda. Con il pozzo P3 in funzione (Q3=50 ls-1) si emunge dal pozzo P2 una portata Q2 di 20 ls-1. In questa condizione: 2) Determinare qual è la portata massima che si può emungere contemporaneamente e con identico valore dai pozzi P0 e P1 portando l’abbassamento δ nei due pozzi (rispetto alla quota indisturbata) al valore massimo di 10 m. 3) Calcolare, in questa situazione, l’abbassamento δ in P2 e P3. Coordinate dei pozzi nel sistema x,y di figura x y Q (ls-1) P0 5 0 ? P1 5 40 ? P2 20 20 20 P3 50 20 50 Soluzione Quesito n.1 La conduttività media della falda si ottiene utilizzando la relazione che esprime la portata Q emunta in funzione delle due quote piezometriche h1 e h2 e della loro rispettiva distanza dal pozzo: (9) ( ) =− 121122 ln rrKQhhπ

si ottiene (10) ( )2122 12ln hh rrQK−×

=π

I valori di h1 e h2 si ricavano con le relazioni h1=21- 3,77 = 17,23 m e h2 = 21-2,23=18,77 m. Sostituendo nella (10) si ottiene K = 0,00463 ms-1 equivalenti a 40 md-1. Quesito n.2 Si utilizza la relazione (11) Indicando con Q* la portata di uguale valore nei due pozzi 0 e 1 la (11), scritta per i pozzi 0 e 1, diventa:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40 50 60

P0

P1

P2 P3

8

+++=− 33221*0*21,02 lnlnlnln rrKQrrKQrrKQrrKQhH eeeeππππ

+++=− 33221*0*22 lnlnlnln2 rrKQrrKQrrKQrrKQhH eeeeππππ +++=− 33221*0*232 lnlnlnln rrKQrrKQrrKQrrKQhH eeeeππππ

(12) in cui i valori delle distanze ri (m) sono ricavate dalle coordinate (x,y) dei pozzi. Se si considera il pozzo 0: r0 = 0_0 = 0,1 ; r1 = 0_1 = 40 ; r2 = 0_2 = 25 ; r3 = 0_3 = 49,244 Se si considera il pozzo 1: r0 = 1_0 = 40 ; r1 = 1_1 = 0,1 ; r2 = 1_2 = 25 ; r3 = 1_3 = 49,244 inoltre: h= H - δ = 10 m ; re = 100 m; Q2 = 0,02 m3s-1, Q3 = 0,05 m3s-1 ; K = 0,00463 ms-1. Sostituendo nella (12) ed esplicitando q si ottiene Q* =0,048 m3s-1. Quesito n.3 Si utilizza ancora la relazione (11) da cui si ricava questa volta il valore h e quindi δ=H-h. Per il pozzo 2 la relazione diventa: (13) Con: r0 = 2_0 = 25 ; r1 = 2_1 = 25 ; r2 = 2_2 = 0,1 ; r3 = 2_3 = 30 esplicitando h2 si ottiene h2=13,139 m e quindi δ2 = 6,861 m. Per il pozzo 3 la relazione diventa: (14) Con: r0 = 3_0 = 49,244 ; r1 = 3_1 = 49,244 ; r2 = 3_2 = 30 ; r3 = 3_3 = 0,1 esplicitando h3 si ottiene h3 = 9,696 m e quindi δ3 = 10,031 m. Nella figura seguente è rappresentato l’andamento della piezometrica nel piano verticale passante per la retta y=20. 0

5

10

15

20

25

-100 -50 0 50 100 150 200

9

qKhqKhdL 222 +×= 1uDlnLπ8D Dd+

×

= 12,3423,682 +××= dL 1L45,79d 6+

=

ESERCIZIO n.7 Dimensionare un drenaggio di falda orizzontale per un campo di 500 m di lunghezza per 150 di larghezza in modo che, in corrispondenza di un evento di pioggia di durata di 24 ore ad intensità costante, il franco di coltivazione non scenda al di sotto di 1 m. La potenza della falda è 8 m; il terreno è caratterizzato da una conduttività k = 5 md-1 .La curva di possibilità climatica di assegnato tempo di ritorno da utilizzare è la seguente: h = 53 t 0.32 con h in mm e t in ore. Scegliere opportunamente il valore della base del dreno e la pendenza longitudinale e determinare: 1) la spaziatura dei dreni laterali; 2) il loro diametro. Utilizzare tubi di plastica ondulati i cui diametri interni nominali in mm sono 40, 50, 65, 100, 125, 150, 175, 200,250 e crescendo di 50 fino a 400; il diametro da assumere non deve mai essere inferiore ai 40 mm. Considerando una pioggia con lo stesso tempo di ritorno e durata 12 ore determinare: 3) l’innalzamento a regime della piezometrica in mezzeria, una volta che sia stato realizzato il modulo drenante; 4) il tempo in ore impiegato dalla fine della pioggia perché si ristabilisca il franco di progetto, sapendo che e la porosità efficace è uguale al 10%. Soluzione Quesito n. 1 Per determinare la spaziatura dei dreni utilizziamo la formula di Hooghoudth. La portata per unità di superficie da drenare in condizioni stazionarie si ricava dalla curva di possibilità climatica per t = 24 ore. Si ottiene h = 146,54 mm e quindi q = 146,54/24= 6,11 mmh-1. Scegliamo per la base del dreno il valore W = 2 m, congruente sia col franco minimo di coltivazione di 1 m, sia con il criterio economico. Ne consegue che la distanza D compresa fra base del dreno e base della falda è di 6 m. Utilizzando la formula di Hooghoudt: (15) accoppiata con la relazione che lega lo spessore equivalente d alle caratteristiche fisiche del sistema (si ipotizza, come è di solito che sia D<L/4) (16) si ottiene il sistema: (17) (18) che deve essere risolto per tentativi. Il procedimento iterativo è il seguente: 1) si fissa un primo valore di d, che sia minore di D, e si calcola L con la (17); 2) con il valore di L così ottenuto si ricava d con la (18); 3) si utilizza il nuovo valore di d per ricalcolare L con la (17); 4) si continua finchè la differenza in % su L diventa inferiore al valore prefissato, nel nostro caso 5%.

10

×= uln 8d LLπ

A titolo di esempio si riportano nella tabella sottostante i valori ottenuti a partire da un primo valore di d, posto uguale a 5 m (si sa di certo che d<D). d L d dif% su L 5 38.74 2.75 2.75 29.78 2.36 23.13 2.36 27.94 2.27 6.18 2.27 27.49 2.25 1.61 Come si vede sono sufficienti 4 tentativi (che diventano 3 se ci si accontenta di una precisione un po’ inferiore al valore prefissato) per ottenere la soluzione. Si verifica che è effettivamente D<L/4; assumiamo, per comodità di realizzazione L=28 m. Ricaviamo altre possibili soluzioni (considerando valori di W compresi fra i valori estremi accettabili) ed otteniamo: Osserviamo che, per W=1,5 risulta D>L/4, per cui alla (16) va sostituita la: (19) La sostituzione non comporta modifiche nel metodo di risoluzione. Dalla Tabella 2 si osserva come, all’aumentare della profondità del dreno (W) aumenti pure la spaziatura L. Quesito n. 2 Per rispondere a questo quesito consideriamo la soluzione ottenuta con W = 2 m, corrispondente a L = 28 m.. Realizziamo il modulo drenante in modo che il collettore sia disposto lungo la dimensione maggiore per una lunghezza di 500 m. Di conseguenza i dreni laterali avranno una lunghezza Ld di 150 m, del tutto accettabile secondo i normali criteri di progettazione. Assumiamo una pendenza per il dreno di 20 cm ogni 100 m pari a 2‰. L’area drenata da ciascun dreno è data da A=L×Ld = 28×150 = 4200 m2. Moltiplicando l’area per la portata specifica q si ottiene, per la sezione terminale il valore Q = 7,13 ls-1. Se utilizziamo un coefficiente di sicurezza pari a 1,2 la portata di progetto diventa Qp = 8,56 che arrotondiamo in 9 ls-1. Per determinare il diametro, avendo deciso di usare tubi di plastica ondulati, possiamo utilizzare le relazioni: (20) Qp = 22 d2.67 i0.50 ipotesi di moto uniforme (21) Qp = 38 d2.67 i0.50 ipotesi di moto permanente che diventano, esplicitando il diametro d: (22) d = 0,3142 Qp 0,374 i-0,187 ipotesi di moto uniforme (23) d = 0,2565 Qp 0,374 i-0,187 ipotesi di moto permanente Utilizzando i valori di progetto si ricava d = 0,172 m, se si ipotizza il moto uniforme e d = 0,141 m, se si ipotizza il moto permanente. Nei due casi si sceglieranno i diametri commerciali di 175 e 150 mm, rispettivamente. Quesito n. 3 Una volta che il drenaggio è stato dimensionato con L = 28 m e W=2 m si considera la situazione in cui la portata drenata, a regime, sia quella corrispondente all’intensità media della pioggia definita dalla curva di possibilità climatica per t=12 ore. Si ricava h = 117,39 mm e q = 9,78 mmh-1. Per calcolare, a regime, l’altezza h in mezzeria sulla base del dreno si utilizza ancora la formula di Hooghoudth da cui si esplicita h:

W D L d L/41.5 6.5 16 1.55 42 6 28 2.25 7

2.5 5.5 37 2.62 9.253 5 45.5 2.8 11.375

11

(24) E’ un’equazione di secondo grado che, con i valori noti di L, q, d e K si scrive: (25) 833,33h2 + 3741,13h –7669,18 = 0 L’equazione ha una soluzione accettabile h=1,529 m a cui corrisponde un’innalzamento della piezometrica in mezzeria, rispetto alla condizione di progetto di 0,529 m. In realtà, in questo caso la portata drenata da ogni dreno è pari a 11,4 ls-1, e manda in pressione il dreno stesso, per cui l’altezza in mezzeria non può essere quella calcolata (corrispondente al funzionamento a pelo libero, cioè h=0 in corrispondenza dei dreni). Sarebbe necessario che il dreno fosse dimensionato per una portata di almeno 12 ls-1 che, a parità di pendenza porterebbe a diametri rispettivamente di 200 mm e 175 mm nelle due ipotesi di moto uniforme e moto permanente. Quesito n. 4 Per determinare il tempo necessario perché la falda, dalla fine della pioggia, ritorni dalla condizione ricavata al punto 3, alla condizione di progetto si utilizza la formula di Glover-Dumm: (26) h(t) = 1.16 h0 e-αt Si tratta di determinare il tempo t (in ore) per il quale l’altezza h diventa 1 m a partire dal valore h0 di1,529 m. E’ necessario calcolare il fattore di risposta α, dato dalla relazione: (27) Conoscendo i valori di K (5 md-1), d, µ e L si ottiene α = 1,411 d-1. Dalla (26) si ottiene: (28) da cui, sostituendo, t = 0,406 giorni = 9,745 ore.

084 22 =−+ qLKdhKh22LKdµ

πα =

α

×−

= 016,1 )(ln htht

12

ESERCIZIO n.8 Si consideri un terreno agricolo caratterizzato da una porosità efficace del 5%, una conduttività K di 5 md-1. Il terreno è sede di una falda freatica con potenza di 8 m, la cui quota piezometrica è variabile durante la stagione irrigua tra 6 e 7 m (in conseguenza delle perdite irrigue). La pluviometria della zona è caratterizzata, nello stesso periodo, da precipitazioni di breve durata che possono produrre una risalita rapida della falda. Si consideri come evento critico una pioggia di durata 30 minuti e altezza totale 50 mm. Si chiede: 1) calcolare l’innalzamento della falda in corrispondenza dell’evento, che per la sua breve durata equivale ad una applicazione istantanea di portata distribuita, supponendo che l’80% dell’altezza di pioggia venga assorbita dal terreno; 2) determinare la spaziatura dei dreni di un modulo drenante orizzontale (fissando opportunamente il valore della base), che sia in grado riportare il franco di coltivazione al valore di 1 m in 24 ore nel caso che l’evento critico si verifichi nella situazione più sfavorevole relativamente alla quota della falda. Soluzione Quesito n° 1 La pioggia totale di 50 mm viene assorbita per l’80%, corrispondente a 40 mm, mentre il restante 20 % viene trattenuto in superficie, costituendo le perdite per ritenzione e lo scorrimento superficiale. Dunque 40 mm di pioggia, in modo praticamente istantaneo, si infiltrano nel terreno e producono un innalzamento della falda corrispondente al rapporto tra l’altezza di pioggia infiltrata e la porosità efficace, che sarà dunque ∆h = 40/0.05 = 800 mm cioè 0,8 m. Quesito n° 2 Si osserva che le perdite di adacquamento non comportano mai una riduzione del franco H ad un valore inferiore a 1 m; infatti la falda in queste occasioni, può raggiungere al massimo la quota Zmax = 7 m. Ma se, subito dopo l’irrigazione si verifica la pioggia di progetto il franco si riduce fino a 0,2 m (situazione più sfavorevole) se la quota piezometrica è salita, per le perdite a 7 m. Il modulo drenate da progettare dovrà dunque garantire, in questo caso, un abbassamento di 0,8 m della piezometrica in mezzeria. La potenza della falda è P = 8 m. Si scelga per la base del dreno un profondità W = 2 m. La distanza tra la base del dreno e la base della falda sarà D = P – W = 8 – 2 = 6 m. Per determinare la spaziatura dei dreni si utilizza la formula di Glover-Dumm (18). Si impone che l’altezza h in mezzeria al tempo iniziale (t=0) sia uguale a Zmax + ∆h - D = 7 + 0,8 – 6 = 1,8 m e la stessa dopo un tempo t =24 ore sia uguale a P – H – D = 8 – 1 – 6 = 1 m. Con questi valori dalla (18) così riscritta: (29) si ottiene: Il valore così calcolato è in h-1 e diventa α = 0,736 d-1, a cui corrisponde una costante di invaso 1/α = 1,358 d. D’altra parte il valore di α è espresso dalla (27), nella quale l’unica grandezza incognita è L. Esplicitando questa grandezza si ottiene: (30) che diventa, sostituendo i valori noti: (31) in cui d è lo spessore equivalente secondo Hooghoudth, dato dalla relazione (16), nell’ipotesi che sia D<L/4. Sostituendo nella (16) i valori noti si ottiene: t hth ×

−= 016,1 )(ln

α 0306,024 8,116,1 1ln=

×−

=α

αµπ

×= KdL 2 dL ×= 6,36

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(32) Le (31) e (32) costituiscono un sistema di equazioni da risolvere per tentativi. Il procedimento iterativo è il seguente: 1) si fissa un primo valore di d, che sia minore di D, e si calcola L con la (31); 2) con il valore di L così ottenuto si ricava d con la (32); 3) si utilizza il nuovo valore di d per ricalcolare L con la (31); 4) si continua finchè la differenza in % su L diventa inferiore al valore prefissato, nel nostro caso 5%. Si riportano in tabella i valori ottenuti a partire da un primo valore di d, posto uguale a 5 m (si sa di certo che d<D). d L d diff% su L 5 81.8 3.85 3.85 71.79 3.66 12.24 3.66 70 3.63 2.49 In questo caso si ottiene un valore accettabile come soluzione dopo due sole iterazioni. La spaziatura dei dreni sarà dunque di 70 m, ad una profondità di 2 m. E’ altresì verificato che L/4 = 17,5 m è maggiore di D= 6 m. 1L45,79d 6

+=

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ESERCIZIO n.9 Calcolare l’idrogramma di portata uscente da un sistema drenante caratterizzato da una costante di invaso di 2 giorni ed una porosità efficace del 5% in corrispondenza dell’evento di pioggia definito dalla sottostante tabella (pioggia cumulata). Si ipotizzi che tutta la pioggia venga assorbita dal terreno; all’inizio della pioggia la portata drenata è di 2mm d-1. T (giorni) mm 1 20 2 60 3 70 4 75 Sapendo che la base del dreno è posta 1,5 m sotto il piano campagna, determinare il valore minimo del franco in mezzeria. Soluzione Per determinare l’idrogramma della portata drenata si utilizza il metodo della fluttuazione della piezometrica, che in pratica non è altro che il metodo dell’invaso lineare applicato alla falda, considerata come invaso il cui volume dipende linearmente dalla portata uscente. La relazione che si utilizza è la seguente: (33) Q(t+∆t)= Q(t) e-α∆t + R*(1-e-α∆t) = q1(t) + q2(t) in cui α è l’inverso della costante di invaso, e in questo caso vale 0,5 d-1. R* è il valore medio della ricarica (portata per unità di superficie che si infiltra dall’esterno) nell’intervallo di tempo ∆t: R*= 0,5*[R(t)+R(t+∆t) ]. Per eseguire il calcolo sarà dunque necessario anzitutto ricavare il valore dell’altezza d’acqua infiltrata giornalmente a partire dalla curva cumulata e poi i valori R*(t). Se si utilizza, come è logico, ∆t =1 giorno, i valori e-α∆t e 1-e-α∆t sono rispettivamente 0,606 e 0,393. Il valore di R*(t) è riportato nella tabella 5: T (giorni) h(mm) mmR(mm/d)R*(mm/d)1 20 20 10 2 60 40 30 3 70 10 25 4 75 5 7.5 5 2.5 Tabella 5: ietogramma di pioggia infiltrata Utilizzando la (33) e ricordando che per t=0 (prima della pioggia) la portata drenata è uguale a 2 mmd-1, si ricavano i valori di q1(t), q2(t) e quindi di Q(t), riportati in tabella. Il calcolo è arrestato quando il valore di Q diventa inferiore al valore iniziale. t(giorni) q1 q2 Q (mm/d) R(mm/d) h(m) 0 2 0 2 0 0.099 1 1.213 3.935 5.148 10 0.254 2 3.122 11.804 14.926 30 0.736 3 9.053 9.837 18.890 25 0.931 4 11.457 2.951 14.408 7.5 0.710 5 8.739 0.984 9.723 2.5 0.479 6 5.897 0.000 5.897 0 0.291 7 3.577 0.000 3.577 0 0.176 8 2.169 0.000 2.169 0 0.107 9 1.316 0.000 1.316 0 0.065 Tabella: idrogrammi di portata e di livello in mezzeria.

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Nella tabella 6 è anche riportato il valore della piezometrica in mezzeria ricavato utilizzando la formula di Hooghoudth semplificata: (34) dalla quale si ottiene: (35) relazione ottenuta utilizzando la relazione che esprime α in funzione dei parametri caratteristici del modulo drenante. Pertanto, essendo la base del dreno W = 1,5 m sotto il piano campagna, il franco minimo è: Hmin = W – hmax =1,5 – 0,931 =0,569 m. Andamento della ricarica e della portata drenata

Andamento della piezometrica in mezzeria e del franco

28 LKdhq = qqKdqLh ×=== 298,4988 22αµπ

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Q(mm/d)

R*(mm/d)

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

1.400

1.600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

H(m)

h(m)

161uDlnL8D Dd

+

= π= uln 8d LLπ

0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500 600

p1

p2

p3

p4p5

ESRCIZI DA RISOLVERE ESERCIZIO n.1 In un terreno è presente una falda freatica di spessore pari a 33 m (distanza del fondo impermeabile dal piano campagna). L’altezza piezometrica in condizioni indisturbate varia durante l’anno tra i 30 m e i 27 m (da 3 a 6 m al di sotto del piano di campagna). Sul terreno sono dislocati quattro pozzi disposti secondo le coordinate (in metri) indicate in tabella. I pozzi p1, p2, p3 e p4 sono utilizzati per uso industriale e sono profondi 33 metri. Il pozzo p5 è un pozzo privato ed è profondo 10 m. Sapendo che la conduttività K del terreno è di 40 md-1 e che il raggio di influenza re è di 500 m per tutti i pozzi verificare se il pozzo p5 può essere utilizzato durante tutto l’anno o se resta asciutto, sapendo che la portata in concessione emunta da ciascuno dei pozzi industriali è di 100 ls-1 per tutto l’anno. Trascurare la portata emunta dal pozzo privato (di due ordini di grandezza più piccola). pozzo x y

p1 0 300 p2 300 50 p3 250 500 p4 500 390 p5 200 310 ________________________________________________________________________________ ESERCIZIO n. 2 Dimensionare un modulo drenante di falda per un campo di dimensioni 400 m × 750 m. Il terreno è caratterizzato da una conduttività di 1.5 md-1 e la base della falda è 5 m sotto il piano di campagna. Nell’effettuare il calcolo si ipotizzi per la base del dreno una profondità di 2 m dal piano campagna. Determinare la spaziatura dei dreni L perché sia rispettato un franco di 0.4 m adottando come criterio base di progetto in moto permanente un valore del rapporto h/q di 60 giorni, essendo h l’altezza massima in mezzeria in m e q la pioggia di progetto in md-1. Determinare il diametro dei tubi drenanti avendo scelto di utilizzare tubi di plastica ondulati i cui diametri interni nominali in mm sono 40, 50, 65, 100, 125, 150, 175, 200; il diametro da assumere non deve mai essere inferiore ai 40 mm. Le formule utilizzabili per il calcolo del diametro sono le seguenti: Q = 22 di2.67 i0.50 moto uniforme ; Q = 38 di2.67 i0.50 moto permanente in cui Q è la portata in m3s-1, di il diametro interno in m e i la cadente (nella pratica pendenza media della tubazione). Si utilizzi per i dreni una pendenza media costante di 0.001 ed una lunghezza massima di 200 m. La profondità di falda equivalente d è data dalle seguenti formule interpolanti : Per D<L/4 per D > L/4 ove D è la distanza tra la base del dreno e la base della falda, u è il perimetro bagnato. ________________________________________________________________________________________________ ESERCIZIO n. 3 Dimensionare il collettore a servizio del modulo drenante dell’esercizio n. 2. Il collettore a doppio ingresso è posto al centro del terreno ed è lungo 750 m. Si adotti una pendenza costante di 20 cm ogni 100m. I tubi sono di acciaio semplicemente bitumati. La perdita di carico in moto uniforme è data dalla relazione: J = i = 0.00141×Q1.82 D – 4.72 Ove Q è la portata di progetto in m3s-1 e D il diametro in m. Determinare i diametri commerciali da utilizzare, considerando due variazioni di diametro (tre diametri in totale) I diametri commerciali partono da 100 mm con aumento di 50 mm fin a 500mm. Poi aumentano di 100 mm fino a 1000 mm.

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________________________________________________________________________________________________ ESERCIZIO n. 4 E’ dato un sistema drenante costituito da moduli di falda orizzontali realizzati con tubi forati posti alla profondità di 2 m in una falda con le seguenti caratteristiche: conduttività K = 1 md-1, porosità efficace µ = 0.05. I dreni sono distanziati di 50 m e la base della falda è 3 m al di sotto della base del dreno. Sul terreno viene effettuato un adacquamento per due giorni consecutivi a cui corrisponde una perdita di 12.5 mm al giorno. Il successivo adacquamento viene effettuato dopo 8 giorni dalla fine del primo. Determinare il franco in mezzeria all’inizio del secondo adacquamento (dopo 10 giorni dall’inizio del primo), supponendo che all’inizio del primo adacquamento la falda in mezzeria sia 1 m sopra la base del dreno. Utilizzare la formula di Hooghoudth semplificata per definire il legame tra la portata e il carico in mezzeria. ________________________________________________________________________________________________ ESERCIZIO n. 5 Determinare la spaziatura di un sistema drenante orizzontale in grado di produrre un abbassamento della falda di 1 m dal piano di campagna in quattro giorni. La falda è caratterizzata da una conduttività K = 3 md-1 e una porosità efficace µ = 0.06 ed ha una potenza di 4.5 m. Lo spessore di terreno interessato dalle coltivazioni è di 1 m. Scegliere opportunamente la base del dreno ipotizzando che lo scarico nel collettore non sia mai rigurgitato. ________________________________________________________________________________________________