185

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α

1.1 Ισότητα τριγώνων.

1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων.

1.3 Θεώρημα του Θαλή.

1.4 Ομοιοθεσία.

1.5 Ομοιότητα.

1.6 Λόγος εμβαδών ομοίωνσχημάτων

Γενικές ασκήσεις 1ου ΚεφαλαίουΕπανάληψη – Ανακεφαλαίωση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ1o

✔ Θυμάμαι ποια είναι τα στοιχεία ενός τριγώνου(κύρια – δευτερεύοντα) και τα είδη των τριγώνων.

✔ Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και ποια είναι τακριτήρια ισότητας τριγώνων.

✔ Μαθαίνω ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

AÓ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı›, ÙfiÙ ı· Ù·˘-ÙÈÛÙ› Ì ¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Δ1, Δ2, Δ3, Δ4.

1. ¡· ·ÔÙ˘ÒÛÂÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Û ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È Ó· ‚Ú›Ù Ì ÔÈÔ ·fi Ù·ÙÚ›ÁˆÓ· Δ1, Δ2, Δ3, Δ4 Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È.

2. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:∞μ = ....., μ° = ....., °∞ = .....,

∧

∞ = ....., ∧

μ = ..... Î·È ∧

° = .....

∫‡ÚÈ· Î·È ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ – ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È·ÚÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. √È Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘∞μ° Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘

∧

∞, ∧

μ, ∧

°Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·, ‚, Á.

°È· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ οı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÈÛ¯‡ÂÈ ∏ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›·ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·˘ÙÒÓ, .¯. ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ∞° Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›·

∧

∞.√È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ϤÁÔÓÙ·ÈÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·˘Ù‹˜ .¯. ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ μ° Â›Ó·È ÔÈ

∧

μ Î·È ∧

°.ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È:

∧

∞ +∧

B +∧

° = 180Æ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

186

πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ1.1

∞

μ °·

‚Á

∞

∞μ °

°

μ ∞

°

μ

∞KH I

N

™ƒ£ §

ª

¢

∂

∑

B °

Δ1 Δ3

Δ2

Δ4

Οξυγώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ fiϘÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÍ›˜.

Aμβλυγώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈÌÈ· ÁˆÓ›· ·Ì‚Ï›·.

Ορθογώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈÌÈ· ÁˆÓ›· ÔÚı‹.

™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ÏÂ˘Ú¿ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÔÚı‹ ÁˆÓ›·ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·, ÂÓÒ ÔÈ ¿ÏϘ ‰‡Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜.ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È:

™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ∞μ = ∞° Ë ÏÂ˘Ú¿ μ° ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ÛËÌ›Ô∞ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘.

™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÂÎÙfi˜ ·fi Ù· ·ÚÈ· ÛÙÔȯ›·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Ù· ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›·,Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ, ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È Ù· ‡„Ë.

ÿÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Û ÌÈ· ¿ÏÏË ı¤ÛËÎ·È ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ Î·Ù¿ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛ‹ ÙÔ˘ ·˘Ùfi ‰ÂÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, ÙfiÙ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ∞, μ, ° ı· ¿ÚÔ˘ÓÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞�, μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È ÙÔÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ı· ¿ÚÂÈ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞�μ�°�.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÙfiÙ ÔÈ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜,·ÊÔ‡ Î·È ·˘Ù¤˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ:

∞μ = ∞�μ�, μ° = μ�°�, ∞° = ∞�°� Î·È ∧

∞ = ∧

∞�, μ = ∧

μ�, ∧

° = ∧

°�.¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°�, ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜, ϤÌ fiÙÈÂ›Ó·È ›Û·. ¢ËÏ·‰‹

ñ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

187

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

∞ ∞

μ °

∞

μ °M

°μ

∞

°μ

∞

μ °∏

∞

μ °¢

∞

B� °�

μ °∞�

Σκαληνό, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·È ÙȘÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ¿ÓÈÛ˜.

Ισοσκελές, fiÙ·Ó ¤¯Âȉ‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜.

Ισόπλευρο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·ÈÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.

Διάμεσος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÌÈ· ÎÔ-Ú˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ̤ÛÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜.

Διχοτόμος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÌÈ·ÎÔÚ˘Ê‹, ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙË ÁˆÓ›· Û‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È Î·Ù·-Ï‹ÁÂÈ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿.

Ύψος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÔÓÔ-Ì¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fiÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È Â›Ó·ÈοıÂÙÔ ÛÙËÓ Â˘ı›· Ù˘·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜.

IÛ¯‡ÂÈ ·ÎfiÌË Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ¢ËÏ·‰‹

ñ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.

™ÙÔ ÂÍ‹˜ Û οı ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ı· ıˆÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È. ∞˘ÙfiÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· Î·È ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿,ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È.°È· Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙȤ¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÙȘ Ôԛ˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ì ÏÈÁfiÙÂÚ·ÛÙÔȯ›· Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·.√È ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (¶ – ° – ¶) °È· ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ú·Î¿Ùˆ ‚·ÛÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÈÛfiÙËÙ·˜∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜›ÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°Î·È ∞�μ�°� Ô˘ Ó· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜∞μ = ∞�μ�, ∞° = ∞�°� Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓËÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË

∧

∞ = ∧

∞�.

∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ Ë

ÁˆÓ›· ∧

∞ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ∧

∞� Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ∞μ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË

Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ ∞�μ�, ÙfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ∞° ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ ∞�°� Î·È ÔÈ

ÎÔÚ˘Ê¤˜ μ, ° ı· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó Ì ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È

∞�μ�°� Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ‰‡ÔÏ¢ڤ˜ ›Û˜ (∞μ = ¢∂ = 4 cm, μ° = ∂∑ = 5 cm)Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË (

∧

μ =∧

∂ = 70Æ).∂Ô̤ӈ˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ··ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹

∞° = ¢∑, ∧

° =∧

∑ Î·È ∧

¢ =∧

∞.

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜∧

°,∧

∑ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ∂¢.°ÂÓÈο:™Â ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.

188

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

B� °�μ °

∞�

∞

μ °

E

¢

∑

5 cm

5 cm

4 cm 4 cm

70Æ

70Æ

2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (° – ¶ – ° ).

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ô˘ Ó·¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË μ° = μ�°� Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂ-Ó˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜

∧

μ = ∧

μ� Î·È ∧

° = ∧

°�.∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ËÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ μ° Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ μ�°� Î·È Ë ÁˆÓ›·

∧

μ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ ÌÂÙË ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›·

∧

μ�, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ∧

° ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ∧

°� Î·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹∞ ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞�.ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ∂Ô̤ӈ˜

∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿›ÛË (∞° = ¢∂ = 8 cm) Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ (

∧

∞ = ∧

¢ = 60Æ, ∧

° = ∧

∂ = 40Æ).∂Ô̤ӈ˜ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ··ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹

∧

μ = ∧

∑, ∞μ = ¢∑, μ° = ∂∑.

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ¢∑ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜∧

°, ∧

∂.

°ÂÓÈο:™Â ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜.

3Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (¶ – ¶ – ¶).

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Ô˘ Ó·¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜

(∞μ = ∞�μ�, μ° = μ�°�, ∞° = ∞�°�).∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ÙfiÙ·˘Ùfi Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞�μ�°�, ÔfiÙ ٷÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·. EÔ̤ӈ˜

∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ∞μ = ¢∂ = 3 cm, A° = ¢∑ = 6 cm Î·È μ° = ∂∑ = 5 cm. ÕÚ· ı· ¤¯Ô˘ÓÎ·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·,‰ËÏ·‰‹

∧

∞ = ∧

¢, ∧

μ = ∧

∂ Î·È ∧

° = ∧

∑.

189

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

∞�

μ� °�

∞

μ °

∞

μ° °�

∞�

μ�

∞

μ

°

8 cm

60Æ

40Æ

∞

μ

°

3 cm 6 cm

5 cm

¢

∂

∑

3 cm

6 cm

5 cm

∂

∑

¢ 60Æ

40Æ8 cm

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓΔ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ Ù· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ·ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·.

™ÙÔ Û¯‹Ì· 1 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÙȘ οıÂ٘Ϣڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ·ÊÔ‡ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚı‹.™ÙÔ Û¯‹Ì· 2 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Î·È ÌÈ· οıÂÙËÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙËÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘˜ ›ÛË. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜̛· ÚÔ˜ Ì›·.

√È ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂÂ›Ó·È ›Û·.

™ÙÔ Û¯‹Ì· 3 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.™Ù· Û¯‹Ì·Ù· 4 Î·È 5 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘Â›Ó·È 180Æ. ÕÚ· Â›Ó·È ›Û· ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.

√ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓÙÚÈÁÒÓˆÓ.∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›·›ÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ:¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Óñ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ‹ñ Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.

190

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

°

μ ∞�

°�

μ�™¯‹Ì· 1

™¯‹Ì· 3

∞

°

μ ∞�

°�

μ�

™¯‹Ì· 2

™¯‹Ì· 4 ™¯‹Ì· 5

™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∞μ = ∞°) ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ ∞¢.·) ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢ Î·È ∞¢°.‚) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ

∧

μ = ∧

° Î·È fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ‡„Ô˜.

Λύση·) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢, ∞¢° Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ

¤¯Ô˘Ó:ñ ∞¢ = ∞¢, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ñ ∞μ = ∞° ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛËñ

∧

∞1 = ∧

∞2, ·ÊÔ‡ ∞¢ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∧

∞.ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜̛· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË.

‚) ∂Âȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢ Î·È ∞¢° Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›·ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙÂ

∧

μ = ∧

°, μ¢ = ¢° Î·È ∧

¢1 = ∧

¢2.∞ÊÔ‡ ›ӷÈ

∧

¢1 = ∧

¢2 Î·È ∧

¢1 + ∧

¢2 = 180Æ, ı· ¤¯Ô˘Ì ∧

¢1 = ∧

¢2 = 90Æ, ÔfiÙ ˉȯÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜. ∏ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜, ·ÊÔ‡ μ¢ = ¢°. ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ:·) √È ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.‚) ∏ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜, ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÚÔ˜ ÙË

‚¿ÛË ÙÔ˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∧

∞ = ∧

¢ = ˆ Î·È ∞° = °¢.¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ∞μ = ¢∂.

Λύση™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°, °¢∂ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ ∞° = °¢ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛËñ

∧

∞ = ∧

¢ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛËñ

∧

°1 = ∧

°2 ÁÈ·Ù› Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È °¢∂ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û ·˘Ù‹ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È fiÏ· Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜›Û·, ÔfiÙ ∞μ = ¢∂.

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.

Λύσηº¤ÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ Ô˘ ÙÔ Ù¤ÌÓÂÈ ÛÙÔ

3

2

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

191

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

∞

μ °1 2¢

21

∞

μ

°

¢

∂

ˆ1 2

ˆ

ÛËÌÂ›Ô ª. ∞Ó ™ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘, ı··Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ™∞ = ™μ. ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· ∞ª™, 쪙 Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ ™ª = ™ª, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ηÈñ ∞ª = ªμ,·ÊÔ‡ ÙÔ ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘ ∞μ.ÕÚ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ··ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ ™∞ = ™μ.

÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜

∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÛËÌ›ÔÙ˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘.

Λύσηº¤ÚÓÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ √z Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x

∧

Oy Î·È ¿Óˆ Û’·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ∞. ∞Ó ∞μ, ∞° ›ӷÈÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ÁˆÓ›·˜, ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∞μ = ∞°.™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· √∞μ, √∞° ηȷڷÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ √∞ = √∞ ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ηÈñ

∧

√1 = ∧

√2, ·ÊÔ‡ Ë √z Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x∧

Oy.ÕÚ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ηÈÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·,ÔfiÙ ∞μ = ∞°.

÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜

∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜.∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘.

4

192

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞ μ

(Â)

ª

™

μ

A

°

12

√ x

z

y

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°Î·È ∞∂¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó·Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜∧

μ = ....., ∧

° = ..... Î·È μ° = ...... .

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ·ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Î·È ¤¯Ô˘Ó ‰‡ÔÏ¢ڤ˜ ›Û˜ Î·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË.

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘÈÛfiÙËÙ˜ ∞μ = ..... Î·È ∞° = .....

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

∂›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜;¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘÈÛfiÙËÙ˜

∧

∞ = ..... , ∧

μ = ..... Î·È ∧

° = .....

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜:·) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.‚) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.Á) ™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜.‰) ™Â ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜.Â) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ηÈ

ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘˜ ÁˆÓ›· ›ÛË.ÛÙ)∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó

Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘˜ ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË.

7

6

5

4

3

2

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

193

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

∞

°μ

∂¢

∞

B °7 cm

6 cm

45Æ

¢

∂ ∑

7 cm 6 cm

45Æ

∞

B °80Æ

70Æ

8 cm

¢

∂ ∑80Æ

70Æ

8 cm

∞

B °7 cm60Æ 45Æ

∫

§ ª7 cm60Æ

75Æ

¢

∂ ∑7 cm

60Æ

45Æ

∞¢

∂B °5 cm 5 cm

70Æ 50Æ

60Æ

∑

70Æ

60Æ 50Æ

∞

μ °

¢∂

∑8 cm

8 cm

7 cm

7 cm

5 cm

5 cm

∂›Ó·È ›Û· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜;¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

Δ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜.¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰ÂÓÂ›Ó·È ›Û·.

¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù›Â›Ó·È ›Û· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞°¢.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ = ∞° Î·È ∞¢ = ∞∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ¢ = °∂.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë √‰ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ÁˆÓ›·˜ x

∧

Oy. ∞Ó √∞ = √μ Î·È ™ Ù˘¯·›Ô ÛËÌ›ÔÙ˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ™∞ = ™μ.

™ÙË ‚¿ÛË μ° ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ¿ÚÂÙ ÛËÌ›· ¢, ∂, ÒÛÙÂ μ¢ = °∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞¢ = ∞∂.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È √∞ = √° Î·È √μ = √¢.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ° = ∞¢.

4

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

11

10

9

8

194

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞ °

μ

8 cm

55Æ

¢ ∑

∂

8 cm

35Æ

∞ B

°

50Æ

5 cm

∞ °

B

8 cm

6 cm

¢ Z

E

8 cm

6 cm

∫ §

ª

40Æ5 cm¢ ∂

∑

5 cm

40Æ

∞

B

°

¢

4 cm

4 cm

∞B

°

¢

∂

μ

O ™ ‰

y

x

A

√

°

¢ y

x∞ μ

K¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°Â›Ó·È 8 cm. ∞Ó Â›Ó·È ∞∑ = μ¢ = °∂ = 3 cm,Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ ›ӷÈÈÛfiÏ¢ÚÔ.

™ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ›ÛˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ∞°ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ¿ÚÂÙ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· μ¢ = °∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ

∧

¢ = ∧

∂.

™’ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ∞° ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ∧

∞ Î·È ∧

°.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞μ = ∞¢ Î·È μ° = °¢.

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.

Δ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ∞¢ Î·È ∞�¢�

›Û˜. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ∞μ = ∞�μ�

‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fiÙ· ÛËÌ›· μ Î·È ° ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù·ÙÚ›ÁˆÓ· √∞μ Î·È √∞° Â›Ó·È ›Û·.

∞Ó √, ∞ Â›Ó·È Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ∞√‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ÁˆÓ›· μ

∧

∞°.

Δ· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢μ° ÙÔ˘‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË μ°. ¡··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ∞¢ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜

∧

∞ηÈ

∧

¢.

12

11

10

9

8

7

6

5

195

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

∞

μ °

∑

∂

¢

3 cm

3 cm

3 cm

∞

B

¢ ∂

°

∞

B ¢ °

30Æ

70Æ

∞�

B� ¢� °�

30Æ

70Æ

√

μ

∞

°

O A

B

°

∞

B

¢

°

™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ∞ª Î·È ∞�ª� Â›Ó·È ›Û˜.∞Ó ∞μ = ∞�μ� Î·È μª = μ�ª�, ÙfiÙ ӷ ·Ô-‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·)

∧

μ = ∧

μ�.‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.

™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ªÂ›Ó·È ̤ÛÔ Ù˘ ‚¿Û˘ μ°. ∞Ó Â›Ó·È μ¢ = °∂,Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ª¢∂ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢ª Î·È ∞∂ª Â›Ó·È ›Û·.

™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∞μ = ∞°) ӷʤÚÂÙ ∞¢ ⊥ ∞μ Î·È ∞∂ ⊥ ∞°. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = ∞∂, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ¢ = °∂.

™Â ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∧

μ = ∧

¢ = 90Æ Î·È ∞μ = ∞¢. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ° = °¢Î·È fiÙÈ Ë ∞° Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ μ¢.

™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧

∞ = 90Æ) Ó· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ μ¢. ∞Ó ¢∂ ⊥ μ°, Ó··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ∞μ = μ∂.

ªÈ· ¢ı›· (Â) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù·ÛËÌ›· ∞, μ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ Â˘ı›· (Â).

Δ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� ¤¯Ô˘Ó ∧

∞ = ∧

∞� ηÈ∞μ = ∞�μ�. ∞Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘˜ ∞¢ Î·È ∞�¢� ›ӷț۷, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·)

∧

μ = ∧

μ�

‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.

∞Ó ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ∞μ, °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜,Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È Ù· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘˜√ª, √¡ Â›Ó·È ›Û· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë ∞μ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙԢ·ÎÏÔ˘. ∞Ó ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ∞° Î·È ∞¢ Â›Ó·È ›Û˜, Ó··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ μ° Î·È μ¢ Â›Ó·È›Û˜.

21

20

19

18

17

16

15

14

13

196

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

ªB °

∞�

ª�B� °�

∞

∞

B

¢

M

E

°

B

¢

M

E

°

∞

μ °

∞�

μ� °�¢�¢

√°

¢

∞μ

ª

¡

°

∞ μ

¢

√

ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÂÓfi˜ ÏÔ›Ô˘ ·fi ÙË ÛÙÂÚÈ¿AÓ ¤Ó· ÏÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË ∞ ÛÙË ı¿Ï·ÛÛ·, ÂÌ›˜ ÛÙÂÎfiÌ·ÛÙ ÛÙË ı¤ÛË μ ÛÙËÛÙÂÚÈ¿ Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞μ, ÙfiÙÂ:

ñ •ÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô μ Î·È ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜¿Óˆ ÛÙËÓ ·Ú·Ï›· οıÂÙ· ÛÙËÓ ∞μ‰È·Ó‡Ô˘Ì ÌÈ·Ó ·fiÛÙ·ÛË μ°. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô °‚¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÛËÌ¿‰È, .¯. ÛÙÂÚÂÒÓÔ˘Ì ¤Ó·Ú·‚‰› Î·È Û˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·‰È·Ó‡Ô˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË °¢ = μ°.

ñ ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ·ÊÔ‡ ‚¿ÏÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌ¿‰È, .¯.ÌÈ· ¤ÙÚ·, οÓÔ˘Ì ÛÙÚÔÊ‹ Î·È ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜Î¿ıÂÙ· ÛÙË μ¢ ÛÙ·Ì·Ù¿Ì fiÙ·Ó ‚ÚÂıԇ̠ے¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È °Ê·›ÓÔÓÙ·È Ó· Â›Ó·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·.

∏ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·fiÛÙ·ÛË ∞μ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ·fiÛÙ·ÛË ¢∂ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÙÚ‹-ÛÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ¿Óˆ ÛÙË ÛÙÂÚÈ¿.

ΔË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹, ϤÁÂÙ·È, fiÙÈ ÂÊ¿ÚÌÔÛ ÚÈÓ ·fi 2.500 ¯ÚfiÓÈ· ÂÚ›Ô˘ Ô £·Ï‹˜ ÔªÈÏ‹ÛÈÔ˜.

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡

197

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

¢

∞

E

° B

¶Ò˜ ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘ÚÔ˜ Ô £·Ï‹˜ fiÙÈ ∞μ = ¢∂; ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·Ô‰Â›ÍÂÙÂ;μÚ›Ù ÙȘ ¤ÓÙ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ·¤‰ÂÈÍÂ Ô £·Ï‹˜ Î·È ÛËÌÂÈÒÛÙ ÔÈ··’ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘·fi ÙË ÛÙÂÚÈ¿.

198

✔ Μαθαίνω πότε παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σεμια ευθεία που τις τέμνει.

✔ Μαθαίνω να διαιρώ ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ν ίσα τμήματα.✔ Μαθαίνω τι ονομάζεται λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων

και πώς υπολογίζεται.✔ Mαθαίνω πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα προς

δύο άλλα τμήματα.

1. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¢ı›·  οıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Û·˜ Î·È Ó· ‰È·ÈÛÙÒ-ÛÂÙ fiÙÈ ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›·  ›Û· ¢ı‡-ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.

2. ∞Ó ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘,ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ Â�;

ÿÛ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÌÂٷ͇ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ô˘Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, μ, ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜,¤ÙÛÈ ÒÛÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, μ° Ó· Â›Ó·È ›Û·ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.∞Ó ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2, Â3 ÛÙ· ÛËÌ›· ∞�,μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ù·Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ�, μ�°� Â›Ó·È ›Û· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì ∞�¢ // Â, μ�∂ // Â Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞�μ�¢ Î·È μ�°�∂·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó:ñ ∞�¢ = μ�∂ ÁÈ·Ù› ∞�¢ = ∞μ, μ�∂ = μ° ˆ˜ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿Ì̈Ó

∞∞�¢μ, μμ�∂° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË ¤¯Ô˘Ì ∞μ = μ°.ñ

∧

μ2� = ∧

°2� ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â2, Â3 Ô˘Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â�.

ñ∧

∞1� = ∧

μ1� ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ∞�¢, μ�∂Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â�.

Δ· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ÕÚ·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜›Û·, ÔfiÙ ∞�μ� = μ�°�. ∞ԉ›ͷÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:

∞Ó ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË Â˘ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

§fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ1. 2

∞

B

°

¢

∂

Â

Â1

Â2

Â3

�

∞�

μ�

°�

2

2

1

1

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ (∞μ // °¢) ·Ó ·fiÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ∞¢ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ª¡ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ∞μ, ª¡, ¢°, ·ÊÔ‡ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ ∞¢, ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ηÈÛÙËÓ μ°. ÕÚ· μ¡ = ¡°.

√ÌÔ›ˆ˜, Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ·Ó ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // μ° Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ∞μʤÚÔ˘Ì ª¡ // μ°, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ Â, ª¡, μ° ·ÊÔ‡ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ ∞μ, ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ηÈÛÙËÓ ∞°. ÕÚ· ∞¡ = ¡°.∞ԉ›ͷÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:

∞Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ Ì›·¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ÙfiÙ ·˘Ù‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘.

¢È·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÂ Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ = 5 cm Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì Û ÙÚ›·›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ı· Â›Ó·È 1,66... cm, ÔfiÙ ηı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿‰ÂÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·.ªÔÚԇ̠fï˜ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· ∞μ Û ÙÚ›· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·, ·ÓÂÚÁ·ÛÙԇ̠̠ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ˆ˜ÂÍ‹˜:∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ËÌÈ¢ı›· ∞xÎ·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ÙÚ›·‰È·‰Ô¯Èο ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂, ∂∑, ∑∏.∂ÓÒÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· μ, ∏ Î·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∑, ∂, ∞ʤÚÓÔ˘Ì ∑¢, ∂°, ∞y ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙË μ∏. √È ·Ú¿ÏÏËϘ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ ∞x ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù·, ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞μ. ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì ∞° = °¢ = ¢μ.ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ∞μ Û 4, 5, 6, ..., Ó ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù·.

H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓñ ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Î·È Û ÌÈ· ¢ı›·  ¿ÚÔ˘Ì ٤ÛÛÂÚ· ‰È·‰Ô-

¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ∞μ, ÙfiÙ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Ï¤Ì fiÙÈ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 4 � ∞μ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì °¢ = 4 � ∞μ.

∏ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: = 4. °¢∞μ

199

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

∞ μ

¢

ª

ª

¡

¡

°

(Â)∞

μ °

∞ ° ¢ μ

∂

y

x

∑

∏

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙԢ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 4.

ñ ∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Û ÙÚ›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢,

¢μ, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞° Â›Ó·È ›ÛÔ Ì � ∞μ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ:

∞° = � ∞μ ‹ = .

§¤Ì ·ÎfiÌË fiÙÈ:

∞¢ = � ∞μ ‹ = .

¢ËÏ·‰‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞° ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È ,

ÂÓÒ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È .

™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:

√ ÏfiÁÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ

Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Î·È Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï, ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = Ï � ∞μ.

ñ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ = 3 cmÎ·È °¢ = 6 cm, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒ-ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜

∞μ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Â›Ó·È ,

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜ =

√ ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, ÂÊfiÛÔÓ¤¯Ô˘Ó ÌÂÙÚËı› Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ¢∂ = 120 cm Î·È ZH = 1,5 m, ÙfiÙÂ

= = =

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· Ì‹ÎË ÙÔ˘˜.∞Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ ÙÔ ÏfiÁÔ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ .¯. = 2, ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ

fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ °¢, ·ÏÏ¿ ‰Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì‹ÎԘοı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Â›Ó·È ∞μ = 80 cm Î·È °¢ = 40 cm ‹ ∞μ = 18 cmÎ·È °¢ = 9 cm Î.Ù.Ï.

∞μ°¢

45

120 cm150 cm

120 cm1,5 m

¢∂∑∏

Γενικά

12

3 cm6 cm

12

°¢∞μ

23

13

23

∞¢∞μ

23

13

∞°∞μ

13

13

200

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞ B

° ¢(Â)

4 � AB

∞ ° ¢ μ

∞

° ¢

μ3 cm

6 cm

∞Ó¿ÏÔÁ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·

∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ = 9 cm Î·È °¢ = 3 cm, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ

ÚÔ˜ ÙÔ °¢ Â›Ó·È = 3. √ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∂∑ = 6 cm ηÈ

∏£ = 2 cm, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∂∑ ÚÔ˜ ÙÔ ∏£ Â›Ó·È = 3.

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ = = 3, ‰ËÏ·‰‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ ÚÔ˜ ÙÔ °¢ ›ӷÈ

›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ∂∑ ÚÔ˜ ÙÔ ∏£. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ·

ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, ∂∑ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢, ∏£.

Δ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, Á Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, ‰, fiÙ·Ó

ÈÛ¯‡ÂÈ = .

∏ ÈÛfiÙËÙ· = ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á, ‰.

Δ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‰ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÎÚÔÈ fiÚÔÈ, ÂÓÒ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·‚, Á ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ì¤ÛÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜.™Â ÌÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á, ‰ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙȘÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË·˘Ù‹ ˆ˜ ·, ‚, Á, ‰ ıˆÚԇ̠ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.

√È ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Â›Ó·È:

ñ ™Â οı ·Ó·ÏÔÁ›· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ fiÚˆÓÂ›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ fiÚˆÓ.

ñ ™Â οı ·Ó·ÏÔÁ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘ÌÂÙÔ˘˜ ̤ÛÔ˘˜ ‹ ÙÔ˘˜ ¿ÎÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Î·È Ó·ÚÔ·„ÂÈ ¿ÏÈ ·Ó·ÏÔÁ›·.

ñ §fiÁÔÈ ›ÛÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î·È ›ÛÔÈ Ì ÙÔÏfiÁÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ·ÚÈıÌËÙÒÓ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

· Á · Á · + Á ∞Ó ⎯ = ⎯ ÙfiÙÂ ⎯ = ⎯ = ⎯

‚ ‰ ‚ ‰ ‚ + ‰

· Á · ‚ ‰ Á ∞Ó ⎯ = ⎯ ÙfiÙÂ ⎯ = ⎯ ‹ ⎯ = ⎯

‚ ‰ Á ‰ ‚ ·

· Á∞Ó ⎯ = ⎯ ÙfiÙ ·‰ = ‚Á

‚ ‰

Á‰

·‚

Á‰

·‚

Γενικά

∂∑∏£

∞μ°¢

∂∑∏£

∞μ°¢

201

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

∞ ° ¢B

∂ ∏ £∑

9 cm

6 cm2 cm

3 cm

™Â ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ¤¯Ô˘Ì ¯·Ú¿ÍÂÈ ÙÔ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ.·) ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢ Î·È ¢μ.

‚) ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ÏfiÁÔÈ , , .

Λύση·) OÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3, Â4 ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ Â˘ı›· ˙1, ÔfiÙÂ

ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞μ. ÕÚ· ∞° = °¢ = ¢μ.

‚) ∞ÊÔ‡ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢, ¢μ Â›Ó·È ›Û·, ¤¯Ô˘ÌÂ:

= , = , = = 1

∞Ó ¢ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞μ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°,¢∂ // μ° Î·È ∂∑ // ∞μ, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ:·) ∑ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ μ°

‚) ¢∂ =

Λύση·) ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ¤¯Ô˘Ì ¢ ̤ÛÔ ∞μ Î·È ¢∂ // μ°, ÔfiÙ ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ∞°. ∂Âȉ‹

∂ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ∞° Î·È ∂∑ // ∞μ, ¤¯Ô˘Ì ∑ ̤ÛÔ μ°.

‚) ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¢∂∑μ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜

ÙÔ˘ ·Ú¿ÏÏËϘ, ¿Ú· ¢∂ = μ∑. ŸÌˆ˜ μ∑ = , ÔfiÙÂ Î·È ¢∂ = .

ÕÌÂÛ· ÏÔÈfiÓ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:

ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿Ï-ÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘.

∞Ó ∞¢ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° (∧

∞ = 90Æ)Î·È ¢∂ // ∞μ, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ:·) ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞°

‚) ∞¢ =

Λύση·) ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ¤¯Ô˘Ì ¢ ̤ÛÔ Ù˘ μ° Î·È ¢∂ // ∞μ, ÔfiÙ ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ∞°.

‚) ∂Âȉ‹ ¢∂ // ∞μ Î·È ∞μ ⊥ ∞°, ı· Â›Ó·È ¢∂ ⊥ ∞°. ÕÚ·, ¢∂ ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ∞°Î·È ·fi ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ¤¯Ô˘Ì ∞¢ = ¢°.

μ°2

3

μ°2

μ°2

μ°2

2

22

A¢μ°

32

Aμ∞¢

13

A°∞μ

∞¢μ°

∞μ∞¢

∞°∞μ

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

202

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

˙1

˙2

˙3

Â1 Â2 Â3 Â4

∞

°

¢

μ

¢ ∂

∑μ °

∞

∞ B

°

∂ ¢

ŸÌˆ˜ ¢° = , ÔfiÙÂ Î·È ∞¢ = . ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:

∏ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛËÌ ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜.

∞Ó ∞, μ, °, ¢ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ٤ÙÔÈ· ÒÛÙ ∞μ = 2 cm,μ° = 4 cm Î·È °¢ = 3 cm, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, °¢ ›ӷȷӿÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· μ°, ∞°.

Λύση

E›Ó·È = = Î·È = = .

ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì = Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, °¢ ›ӷÈ

·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· μ°, ∞°.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2 // Â3.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

AÓ μ�μ // °°� // ¢¢� Î·È Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ °¢ ÙÔ˘‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ Â›Ó·È 4 cm, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›ÙÂÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ.

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë∂∑ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘;¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:

·) = ‚) =

Á) = ‰) = μ°∞°

∞μ∞°

μ°∞μ

∞μμ°

4

3

2

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

°¢∞°

∞μμ°

12

3 cm6 cm

°¢∞°

12

2 cm4 cm

∞μμ°

4

μ°2

μ°2

203

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

∞ μ ° ¢2 cm 4 cm 3 cm Â

4

4

Â

Â1

Â2

Â3

�

5

x

∞ ° ¢ B

x

°�

¢�

μ�

∞ B

¢

∂4

4

5

6

∑

°

∞ B °4 cm 12 cm

∞Ó ∞μ = μ° = °¢ = ¢∂Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:

·) = ‚) = Á) = ‰) = Â) =

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ∞Ó ∞μ = 8 cm Î·È °¢ = 12 cm, ÙfiÙ = .

‚) ∞Ó = , ÙfiÙ ∞μ = 2 Î·È °¢ = 3.

Á) √ ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì 1.

‰) ∞Ó = , ÙfiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢.

Â) √ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È 2.

ÛÙ) ∞Ó ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ, ÙfiÙ = .

˙) √ ÏfiÁÔ˜ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ

ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È .

μϤÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· = Ë ª·Ú›· ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ∞μ = 1 Î·È °¢ = 4,

ÂÓÒ Ë ∂ϤÓË ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ÙÔ °¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ∞μ. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô¤¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ;

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ // ¢∂ // ∏£Î·È μ° // ∂∑ // £π.∞Ó ∞¢ = ¢∏, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Î·È ÙÔ y.

·) ªÂ ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ = 7 cm Û ¤ÓÙ ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ¿Óˆ ÛÂ

ÌÈ· ¢ı›·  ӷ ۯ‰ȿÛÂÙ ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢ = ∞μ,

¢∑ = ∞μ Î·È ∑∏ = ∞μ.

‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

i) ii) iii) iv) v) °¢ZH

ZH¢∑

ABZH

¢∑°¢

°¢∞μ

65

45

25

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

14

∞μ°¢7

13

12

∞ª∞μ

25

∞μ°¢

23

∞μ°¢

23

∞μ°¢

6

∞°°∂

∞∂μ°

∞°∞∂

μ¢μ∂

∞μ∞¢

5

204

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞ μ ° ¢ ∂

∞B

°

¢

∂∏π

x

y

43

£

∑

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

·) ‚) Á)

™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧

∞ = 90Æ) Â›Ó·È ∞μ = 6 cm Î·È μ° = 10 cm. ¡· ˘ÔÏÔ-Á›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

·) ‚) Á)

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ 4 cm. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.

∞fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ∞° ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏË-ÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢, Ó· ʤÚÂÙ ∂∑ // ∞¢.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) Δ· ÛËÌ›· ∂, ∑ Â›Ó·È Ì¤Û· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ¢°

·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.‚) Δ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, ∞° Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù·

ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂, ∞ª.

™Â ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∧

μ = ∧

¢ = 90Æ.AÓ ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ∞°, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μª = ª¢.

ŒÓ· ·ÁÚfiÎÙËÌ· ¤¯ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ÂÓfi˜ÙÚ·Â˙›Ô˘ ∞μ°¢. √ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ ÙÔ˘ı¤ÏÂÈ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘,ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÙÔ ÂÚÈÊÚ¿ÍÂÈ ·ÏÏ¿ ÙËμ° ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÙË ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÁÈ·Ù›·ÚÂÌ‚¿ÏÏÂÙ·È ¤Ó·˜ ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ˜ Ô˘Û¯ËÌ·Ù›ÛÙËΠ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›·‚ÚÔ¯fiÙˆÛË, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÛ¯‹Ì·. ¶Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÙËÓ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ;

8

7

6

5

∞μ∞°

∞°μ°

∞μμ°

4

∞°μ°

μ°∞μ

∞μ∞°

3

205

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

∞ B

°

2 cm

1 cm

∞

ª

B

°

∂

∑¢

∞

μª

°

¢

ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ˜

Ô

Ù¿Ì

È

∞ μ

°¢

206

✔ Μαθαίνω το Θεώρημα του Θαλή και πώς να το χρησιμοποιώγια τον υπολογισμό του μήκους ενός ευθυγράμμου τμήματοςκαι του λόγου δυο τμημάτων.

1. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¢ı›·  οıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Û·˜ Î·È Ó· ÂÈϤÍÂ-Ù ÙÚÂȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Ô˘ Ó· ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.

2. ∞Ó ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘,ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ô˘ ÂÈϤͷÙ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Î·È ÛÙËÓ Â� ‰‡Ô¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘;

¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ô˘Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, μ, ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜,¤ÙÛÈ ÒÛÙ ∞μ = 2 � μ°.∞Ó ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›· Â� Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2, Â3 ÛÙ· ÛËÌ›·∞�, μ�, °� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ı· ·Ô‰Â›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ÁÈ·Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ�, μ�°� ÈÛ¯‡ÂÈ ÌÈ· ·Ó¿ÏÔÁËÛ¯¤ÛË. ¢ËÏ·‰‹ ∞�μ� = 2 � μ�°�.¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª ÙÔ˘ ∞μ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ¢ı›˜Â1, Â2, Â3, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, ‰, Â2, Â3 ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›·  ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·,ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ Â˘ı›· Â�. ¢ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ∞�ª� = ª�μ� = μ�°� ηÈÂÔ̤ӈ˜ ∞�μ� = 2 � μ�°�.¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ, ·Ó ∞μ = 2 � μ° ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ∞�μ� = 2 � μ�°�, ÔfiÙÂ:

= ‹ = .

∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞μ, μ° Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ·ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ�, μ�°�.

∞Ó ÙÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙË Ì›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË. ¢ËÏ·‰‹:

·Ó Â1 // Â2 // Â3 ÙfiÙÂ = =

∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹.∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÏfiÁˆÓ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜

= Î·È = .∞°∞�°�

∞μ∞�μ�

B°μ�°�

∞μ∞�μ�

∞°∞�°�

B°μ�°�

∞μ∞�μ�

Γενικά

B°μ�°�

∞μ∞�μ�

2 � B°2 � μ�°�

∞μ∞�μ�

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹1. 3

∞

ª

B

°

Â

Â1

‰

Â2

Â3

�

ª�

∞�

μ�

°�

∞Ó ÛÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ·˘Ù¤˜ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ̤ÛÔ˘˜ fiÚÔ˘˜, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Î·È ÔÈ ÂÍ‹˜

·Ó·ÏÔÁ›Â˜ = Î·È = .

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, ·Ó ¢∂ // μ° Î·È ·fiÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // μ°, ÙfiÙ ÔÈ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â, ¢∂, μ° ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙȘ Ï¢ڤ˜∞μ, ∞° ÙÌ‹Ì·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ·.

¢ËÏ·‰‹, = , ÔfiÙÂ Î·È = .

∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = , ÙfiÙ ¢∂ // μ°. ∂Ô̤ӈ˜:

°È· ‰‡Ô ÛËÌ›· ¢, ∂ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞μ, ∞° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÈÛ¯‡Ô˘Ó:

ñ ∞Ó ¢∂ // μ° ÙfiÙÂ = .

ñ ∞Ó = ÙfiÙÂ ¢∂ // μ°.

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ∞μ = 9, ∞∂ = 4 Î·È ∂° = 6.∞Ó ¢∂ // μ° Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· x, y.

Λύση™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ¢∂ // μ°, ÔfiÙ ·fiÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:

= ‹ = ‹ 10x = 36 ‹ x = 3,6.

ÕÚ· y = 9 – 3,6 ÔfiÙÂ y = 5,4.

M¤Û· ·fi ¤Ó· ÔÈÎfiÂ‰Ô ∞μ°¢ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÚ·-Â˙›Ô˘ Ì ∞¢ = 50 m Î·È μ° = 60 m ¤Ú·Û ¤Ó·˜‰ÚfiÌÔ˜ ·Ú¿ÏÏËÏÔ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ∞μ,°¢ Ô˘ ›¯Â Ï¿ÙÔ˜ 10 m Î·È ¯ÒÚÈÛ ÙÔ ÔÈÎfiÂ-‰Ô ÛÙ· ‰‡Ô, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·.∞Ó Â›Ó·È ∞∂ = 22 m Î·È ∑¢ = 18 m, Ó· ˘ÔÏÔÁÈ-ÛÙÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ μ∏,£°, ∏£.

Λύση∂Âȉ‹ ∞μ // ∂∏ // ¢° ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:

2

910

x4

∞μ∞°

∞¢∞∂

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

∞∂∂°

∞¢¢μ

∞∂∂°

∞¢¢μ

∞∂∂°

∞¢¢μ

∞∂∂°

∞¢¢μ

¢μ∂°

∞¢∞∂

∞�μ�∞�°�

∞μ∞°

∞�μ�μ�°�

∞μμ°

207

1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹

¢ ∂

(Â)∞

μ °

¢ ∂

∞

μ °

x 4

6y

9

∞ B

¢ °

E

Z £

H

22 m

10 m

18 m

60 m

= ‹ = ‹ 50 � μ∏ = 1320 ‹ μ∏ = 26,40 m.

EÂȉ‹ ∞μ // ∑£ // ¢° ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ

= ‹ = ‹ 50 � £° = 1080 ‹ £° = 21,60 m.

ÕÚ· ∏£ = 60 – (26,40 + 21,60) ‹ ∏£ = 12 m.

AÓ ∞μ, ∂∑, ∏£, ¢° Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, Ó·Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜:

·) = ‚) = Á) =

AÓ ¢∂ // μ°, Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿-ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó ›ӷÈÏ·Óı·Ṳ̂Ó˜:

·) = ‚) =

Á) = ‰) =

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÚ·¤˙ÈÔ∞μ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘. ∂›¯Â‰›ÎÈÔ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2 // Â3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

·) ‚) Á) ‰)

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ //  // °¢. ¡· Û˘ÌÏËÚÒ-ÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οıÂÏfiÁÔ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË μ.

21. ⎯312. ⎯313. ⎯2

4. 3

BK·. ⎯K°∫°‚. ⎯μ°μ°Á. ⎯μ∫

™Ù‹ÏË μ™Ù‹ÏË ∞

5

∞μμ°

√∞√μ

μ°√°

√μμ°

4

3

∞∂∞°

∞¢∞μ

∞°∂°

∞μ∞¢

∂°∞∂

∞¢¢μ

∞μ∞°

¢μ∂°

2

μ£μ°

∑£∑°

μ∑£°

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

6050

£°18

μ°∞¢

£°∑¢

6050

μ∏22

μ°∞¢

μ∏∞∂

208

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞ μ

∑

£

°¢

∞ μ

∑

°¢

∂

3

4

6

4 5

76

∏

∂

∂

∞

μ °

¢

Â2

Â1

Â3

∞

√

Â

3

4

2

Â�∞�

μμ�

°� °

Â

A B

° ¢

∫

3

6

Á‚·

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚·-ÛÂȘ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· μ∑.

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚¿-ÛÂȘ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·μ∑ Î·È ∑°.

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ¢∂ // μ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

™Ùo ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ Ù·Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √° Î·È ∂∑.

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ¢∂ // μ°, ∂∑ // ∞μ.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

™Ùo ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞μ // ∫§ // °¢. ¡· ˘ÔÏÔÁ›-ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √∫ Î·È ∫°.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∂∑ // ¢° Î·È ∂∏ // μ°.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ x, y.

K¿ÔÈÔ˜ Û˘Ó·ÚÌÔÏfiÁËÛ ÌÈ· Ù˘ÛÛfiÌÂÓË ÛȉÂÚÒ-ÛÙÚ·, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ηȉȷ›ÛÙˆÛ fiÙÈ Ë Û·Ó›‰· ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·.¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜;

8

7

6

5

4

3

2

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

209

1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹

∞

∂ ∑6

14

B

°¢

18

∞

∂ ∑4

6

B

°¢

8

A

x 18

¢8

μ °

∂x

∞

64¢

μ °∑

∂

x5

21 18√

∞ ° ∂14 10

Â1

Â2

μ ¢ ∑

B ¢

∞°

√

12

18 610

∫

§

∞μ

°¢

∑ ∂

∏y

x 12

89

18

∞ °34 cm

65 cm

68 cm

√

μ¢

28cm

210

✔ Μαθαίνω να βρίσκω το ομοιόθετο ενός σχήματος.✔ Γνωρίζω με ποιες σχέσεις συνδέονται τα ομοιόθετα σχήματα.

1. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Î·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó· ¿ÚÂÙ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √.

2. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √μ, √°, √¢ Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· √∞�, √μ�, √°�,√¢� ‰ÈÏ¿ÛÈ· ÙˆÓ √∞, √μ, √°, √¢. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Î·È Ó·Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘.

3. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √μ, √°, √¢ Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· √∞�, √μ�, √°�,√¢�, ÌÈÛ¿ ÙˆÓ √∞, √μ, √°, √¢. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Î·È Ó· Û˘-ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÂÙڷχÚÔ˘. ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÛËÌ›Ԣ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· √, ∞ Î·È ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √∞ ¿ÚÔ˘Ì¤ӷ ÛËÌÂ›Ô ∞�, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ √∞� = 2 � √∞, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔÛËÌÂ›Ô ∞� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2.

∞Ó ∞� ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ √∞, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ √∞� = � √∞,

ÙfiÙ ÙÔ ∞� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = .

∏ ‰È·‰Èηۛ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ ÏÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌÔÈÔıÂÛ›·. ΔÔ ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜, ÂÓÒ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÏÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜. ∂›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ¤¯ÂÈ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘.

ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì· ∞�μ�, fiÔ˘ ∞�, μ� Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ ÙԢ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞μ. ∂Âȉ‹ √∞� = 2 � √∞ ηÈ

√μ� = 2 � √μ, ı· ¤¯Ô˘Ì = = 2, ÔfiÙ ∞μ // ∞�μ�.

∂Ô̤ӈ˜Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·.

∞Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· ∞�μ� Î·È ∞μ, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞�μ� = 2 � ∞μ ‹ = 2.A�μ�Aμ

√μ�√μ

√∞�√∞

12

12

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

√ÌÔÈÔıÂÛ›·1. 4

O ∞

∞O

∞�

∞�

√

∞

μ

∞�

μ�

∞�

μ�

AÓ ∞�μ� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = , ÙfiÙÂ:

∞�μ� = � ∞μ ‹ = .

ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÁˆÓ›·˜ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ x

∧

∞y Ì ΤÓÙÚÔ√ Î·È ÏfiÁÔ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï (.¯. Ï = 2), ·›ÚÓÔ˘Ì¤ӷ ÛËÌÂ›Ô μ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞x, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿∞y Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· μ�, ∞�, °� Ô˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›-¯ˆ˜ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ μ, ∞, °. √Ú›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ Ë ÁˆÓ›·x�

∧

∞�y�, Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙË Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x∧

∞y.∞Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ x

∧

∞y = x�∧

∞�y�. ∂Ô̤ӈ˜

√È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.

ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2, ÙÔ ÔÌÔÈfi-ıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞μ°¢ Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ∞�μ�°�¢�, fiÔ˘ ∞�, μ�, °�, ¢� Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÔÌÔÈfi-ıÂÙ· ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘ ∞, μ, °, ¢. √È Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ Áˆ-ӛ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ Ì ÙȘ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ∞μ°¢, ÔfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó:

= = = = 2 Î·È ∧

∞� = ∧

∞, ∧

μ� = ∧

μ, ∧

°� = ∧

°, ∧

¢� = ∧

¢.

ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ÏfiÁÔ Ï = 2 Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ∞μ°¢.

∞Ó ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = , ÔÌÔ›ˆ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó:

= = = = ηÈ∧

∞� = ∧

∞, ∧

μ� = ∧

μ, ∧

° � = ∧

°, ∧

¢� = ∧

¢.

ΔÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ÏfiÁÔ Ï = Â›Ó·È ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛËÙÔ˘ ∞μ°¢.

ñ ¢‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.

ñ √È ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È·Â˘ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ.

ñ ∞Ó ÙÔ ÔχÁˆÓÔ ¶� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ Ì ÏfiÁÔ Ï, ÙfiÙ ÙÔ ¶� ›ӷȖ ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, fiÙ·Ó Ï > 1– ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, fiÙ·Ó 0 < Ï < 1 ηȖ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¶, fiÙ·Ó Ï = 1.

Γενικά

12

12

¢�∞�¢∞

°�¢�°¢

μ�°�μ°

A�μ�Aμ

12

¢�∞�¢∞

°�¢�°¢

μ�°�μ°

A�μ�Aμ

12

∞�μ�Aμ

12

12

211

1.4 OÌÔÈÔıÂÛ›·

√∞

μ

°

∞�

μ�

°�

y�

x�

x

y

∞�

∞�μ�

°�¢�

μ�

¢�

°�

∞

O

μ

°¢

ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ Î‡ÎÏÔ˘ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜Î‡ÎÏÔ˘ (∫, Ú) Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ √Î·È ÏfiÁÔ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï(.¯. Ï = 2), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ∫ Î·È ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ÛËÌ›Ԣ ∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∫� Î·È ∞� ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.√Ú›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (∫�, Ú�), fiÔ˘ Ú� = ∫�∞�, Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘(∫, Ú). ΔÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∫�∞� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∫∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔÏ = 2, ÔfiÙ ∫�∞� = 2 � ∫∞, ‰ËÏ·‰‹ Ú� = 2Ú.

M ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô √ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢, ÏÂ˘Ú¿˜ 1,5 cmÎ·È ÏfiÁÔ Ï = 3, Ó· ۯ‰ȷÛÙ› ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙfi ÙÔ˘ Î·È Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.

Λύση™ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √μ, √°, √¢ ·›ÚÓÔ˘Ì·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· √∞� = 3 � √∞,√μ� = 3 � √μ, √°� = 3 � √°, √¢� = 3 � √¢.To ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3,

ÔfiÙÂ: = = = = 3.

ÕÚ·, ∞�μ� = 3 � ∞μ = 3 � 1,5 = 4,5 cm.OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì μ�°� = °�¢� = ¢�∞� = 4,5 cmEÂȉ‹ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜, ÙÔ ÙÂÙÚ¿-Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ ı· ¤¯ÂÈ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜.∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘›Û˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜. ÕÚ· ΔÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿.™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ·) Ï = 5 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÙÔ ....... ‚) Ï = 2 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ μ Â›Ó·È ÙÔ .......

Á) Ï= ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ° Â›Ó·È ÙÔ ....... ‰) Ï = ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∂ Â›Ó·È ÙÔ .......35

13

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

¢�∞�¢∞

°�¢�°¢

μ�°�μ°

A�μ�Aμ

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

212

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∫�

Ú�

∞�

∫Ú

∞

O

∞�

∞

¢

μ

°

B�

°�¢�

1,5 cm

√

√ A μ ° ¢ ∂

™Â ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ù· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ·;

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·:

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞μ°¢ Ì ÏÂ˘Ú¿ 3 cm.

·) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ: i) Ï = ii) Ï = 2.‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Ô˘ ۯ‰ȿ۷ÙÂ.

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°, Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ = 12 cm ηÈ

∞° = 9 cm. ªÂ ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ Î·È ÏfiÁÔ Ï = Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ

ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘.

N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·-ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô √ ÂÎÙfi˜ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ √ Î·È ÏfiÁÔÏ = 3. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ô Ó¤Ô˜ ·ÎÏÔ˜ ı· ¤¯ÂÈ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÂÓÓ·ϿÛÈÔÂÌ‚·‰fiÓ.

4

3

23

2

12

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

3μμ§∫ƒ∞μ°∞¢™ª™ª°ƒ¡

3∞∫ƒ

OÌÔÈfiıÂÙÔÙÌ‹Ì·ÙÔ˜

§fiÁÔ˜ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜

∫¤ÓÙÚÔÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜

E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔÙÌ‹Ì·

3

2

213

1.4 OÌÔÈÔıÂÛ›·

∞ K § μ

¢ ¡ ª °

ƒ

™

∞

μ

°

2 cm

45Æ

(Σχ. 1) (Σχ. 2) (Σχ. 3)

¡· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÛËÌ›· ∫, §, ª, ¡, ƒ ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ:

– ΔÔ ∫ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ .

– ΔÔ ∞ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ § Ì ΤÓÙÚÔ ∫ Î·È ÏfiÁÔ 2.

– ΔÔ §ª Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ .

– ΔÔ ∞μ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∫¡ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ 3.

√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ÏfiÁÔ 2 Î·È Î¤ÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜:·) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ ‚) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Á) ¤Ó· Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘.

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ÙÚ›· ÔÌÔÈfiıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

™’ ¤Ó· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› Ó· ¯·Ú¿ÍÂÙ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Î·È Ó· ¿ÚÂÙ ٷÛËÌ›· ∞(–1, 1), μ(2, 2) Î·È °(0, –2).·) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞�μ�°� ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ

·ÍfiÓˆÓ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. ªÂ ÔÈ·Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ;

‚) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞�μ�°� ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(1, 1),ÏfiÁÔ Ï = 2 Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. πÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁËÛ¯¤ÛË ÁÈ· ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ;

™ÙȘ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ∞° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ÔÚ›ÛÂÙ ٷ ÛËÌ›· ¢, ∂ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÒÛÙÂ

∞¢ = ∞μ Î·È ∞∂ = ∞°. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ¢∂ // μ° Î·È ¢∂ = μ°.

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔÙÔ˘ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢∂ ÛÙËÓÔÌÔÈÔıÂÛ›· ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· Ù·ÛËÌ›· ∞�, μ� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ·ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, μ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.

9

13

13

13

8

7

6

23

13

5

214

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

B °

∞

°∂

A

B

¢

μ�

A�

215

✔ Μαθαίνω πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια.✔ Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞�μ�°�¢� (‹ ¶�) ¤¯Ô˘Ó‰ÈÏ¿ÛÈÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞μ°¢ (‹ ¶) Î·È ÔÈ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÙÂÙڷχ-ÚˆÓ Â›Ó·È ›Û˜.

1. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢-ÚÔ ∞�μ�° �¢� (‹ ¶�) Ô˘ ›ӷÈÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì Τ-ÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2.

2. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢-ÚÔ Ô˘ ۯ‰ȿ۷Ù Ì ÙÔ ¶�.

3. ¶ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈÁÈ· Ù· ·Ú¯Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶Î·È ¶�;

ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ·∞Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ·, ÙfiÙ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘¿ÏÏÔ˘. ¢‡Ô ÔχÁˆÓ· ¶ Î·È ¶� Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ٷϤÌ fiÌÔÈ· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ¶ ≈ ¶�. ∞fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ:

Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

∞Ó fï˜ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ¶�, ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ ‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ÂÍËÁ‹ÛÔ˘ÌÂfiÙÈ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶, ÙfiÙ Ҙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈfi ÙÔ˘;∞˜ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ (‹ ¶) Î·È ∞�μ�°�¢� (‹ ¶�), ÒÛÙ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ¶� Ó·Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ¶ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ›Û˜. ∞Óۯ‰ȿÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞�μ�° �¢� (‹ ¶�) ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ Ì ÏfiÁÔ Ï = 2, ÙfiÙ ٷÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶� Î·È ¶� Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜›Û˜. ΔÔ ¶� ˆ˜ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶, Ì ÏfiÁÔ 2 Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘, ¿Ú· Î·È ÙÔ ›ÛÔ ÙÔ˘ÔÏ˘ÁÒÓÔ ¶� Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, ÔfiÙ ٷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶ Î·È ¶� Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ΔÔ ›‰ÈÔ ı· Û˘Ó¤‚·ÈÓ ·Ó ÙÔ ¶� ‹Ù·Ó ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶.Δ· ·Ú¯Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ Î·È ∞�μ�°�¢� Ù· ۯ‰ȿ۷ÌÂ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ:

= = = = 2 (1) ηÈ∧

∞� = ∧

∞, ∧

μ� = ∧

μ, ∧

°� = ∧

°, ∧

¢� = ∧

¢ (2)

Î·È ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

AÓ ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

Γενικά

¢�∞�¢∞

°�¢�°¢

μ�°�μ°

A�μ�Aμ

∞

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

OÌÔÈfiÙËÙ·1.5

μ�

μ∞∞�

¶�

¢�

°�

O

¶

¢

°

¢‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÔÌÔ›ˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ

(.¯. = 2), ÁÈ’ ·˘Ùfi ϤÁÔÓÙ·È ÔÌfiÏÔÁ˜ Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ϤÁÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜.

∂›‰·Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·Ó Â›Ó·È ‹ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÌÔÈfiıÂÙ· ηÈÂÔ̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ’ ·˘Ù¿ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÌÔÈÔı¤ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ‰ËÏ·‰‹:∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.

Afi ÙË Û¯¤ÛË (1) Î·È ÁÓˆÛÙ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ¤¯Ô˘ÌÂ:

Ï = = = = = = . ÕÚ·

√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ oÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

§fiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ – ∫ϛ̷η√È ¯¿ÚÙ˜ Û˘Ó‹ıˆ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· ÁˆÁÚ·ÊÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË, ‰ËÏ·‰‹·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi. ΔÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ Ù˘ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛ˘ ηıÔÚ›-˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Îϛ̷η ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË Ô˘ ·Ó·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ¿Óˆ Û’ ·˘ÙfiÓ. ∏ Îϛ̷η Â›Ó·È ÔÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙÔ ¯¿ÚÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË, ‰ËÏ·‰‹Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Û¯ËÌ¿ÙˆÓ.°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Îϛ̷η 1 : 2000000 ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ

¯¿ÚÙË ÚÔ˜ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Â›Ó·È Ï = , ÔfiÙ 1 cm ÛÙÔ ¯¿ÚÙË Â›Ó·È 20 km ÛÙËÓ

Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·.

N· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ ‰‡Ô ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

Λύση√È Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘Â›Ó·È ›Û˜. ÕÚ· Ù· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ·∞μ°¢∂ Î·È ∞�μ�°�¢�∂� ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ:

= = = =

·ÊÔ‡ Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ Î·È ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·-ÛÙ¤˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ÛÔÈ.Δ· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ÂÊfiÛÔÓ Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜

Â›Ó·È Ê = 180Æ – = 180Æ – 72Æ = 108Æ.360Æ5

∂∞∂�∞�

¢∂¢�∂�

°¢°�¢�

μ°μ�°�

AμA�μ�

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

12000000

ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶�ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶

A�μ� + μ�°� + °�¢� + ¢�∞�∞μ + μ° + °¢ + ¢∞

¢�∞�¢∞

°�¢�°¢

μ�°�μ°

A�μ�Aμ

A�μ�Aμ

216

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

μ

°¢

∂ Ê

Ê

Ê

ÊÊ

∞�

μ�

°�¢�

∂� Ê

Ê

Ê

ÊÊ

ÕÚ· Ù· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë ·ÂÚÔʈÙÔ-ÁÚ·Ê›· ÂÓfi˜ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈÛ¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ¤¯ÂÈ ÂÚÈÊÚ·¯Ù›ÌÂ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· Ì‹ÎÔ˘˜ 270 m. ¡·‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜. ªÂ ÔÈ· Îϛ̷η ¤¯ÂÈʈÙÔÁÚ·ÊËı› ÙÔ ·ÁÚfiÎÙËÌ·;

ΛύσηTÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞μ°¢ Ù˘ ·ÂÚÔʈÙÔÁÚ·Ê›·˜ Â›Ó·È ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ ∞�μ�°�¢�, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ·˘Ùfi.

ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ = = Ï (1).

√ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜.∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Â›Ó·È 2 � 4 + 2 � 5 = 18 cm, ÂÓÒ ÙÔ˘ ∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ›ÛË ÌÂÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û˘ÚÌ·ÙÔϤÁÌ·ÙÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ 270 m ‹ 27000 cm.

ÕÚ· Ï = = ÔfiÙÂ = = .

∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ:A�¢� = 1500 � ∞¢ = 1500 � 4 = 6000 cm ‹ A�¢� = 60 m.¢�°� = 1500 � ¢° = 1500 � 5 = 7500 cm ‹ ¢�°� = 75 m.¢ËÏ·‰‹, ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 60 m Î·È 75 m. ∏ ÎÏ›-

̷η ʈÙÔÁÚ¿ÊÈÛ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = ‰ËÏ·‰‹ 1 : 1500.

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ¢‡Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.‚) ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.Á) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.‰) ¢‡Ô ÚfiÌ‚ÔÈ Â›Ó·È Û¯‹Ì·Ù· fiÌÔÈ·.Â) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ÛÙ) ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

11500

11500

¢°¢�°�

A¢A�¢�

11500

1827000

¢°¢�°�

A¢A�¢�

2

Γενικά

217

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

∞μ

°¢5 cm

4 cm

¶ÔÈ· ·fi Ù· ÔχÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜

Â›Ó·È fiÌÔÈ·;

™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÙȘ ‰È·ÛÙ¿-ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÔÈ· ·’ ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

AÓ Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ Î·È ∞�μ�°�¢� ›ӷÈfiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:·) √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞μ°¢ ÚÔ˜ ÙÔ

∞�μ�°�¢� Â›Ó·È ......................‚) √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞�μ�°�¢� ÚÔ˜

ÙÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ......................Á) ∞Ó Ë ÁˆÓ›·

∧

μ Â›Ó·È 110Æ, ÙfiÙÂ Î·È Ë ÁˆÓ›· ....... Â›Ó·È 110Æ.

‰) √ ÏfiÁÔ˜ Ï = Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì .......

Â) ∏ ÏÂ˘Ú¿ μ° Â›Ó·È ›ÛË Ì ....... cm.

™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ∞μ°¢ Î·È ∂∑∏£Â›Ó·È fiÌÔÈ·; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.·) ‚)

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

A�μ� + μ�°� + °�¢� + ¢�∞�∞μ + μ° + °¢ + ¢∞

4

3

2

218

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

M §

∫

∞

∂ ∑

∏£π

μ

°¢

∫

£∞

1ÌÔÓ

H

∂B

πZ

¢ °

π∫§ª

∂∑∏£

∞μ°¢

¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ

A£π∫

AEZH

∞μ°¢

¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ

∞ B

°¢

8 cm

12 c

m 15 cm

∞�μ�

°�

¢�

∞ μ

°¢

∂ ∑

∏£

6 cm

5 cm

2 cm

3 cm

∞ B

°

∂

¢

9 cm

4 cm

6 cm 6 cm120Æ

∑

∏£

60Æ

¶3

¶2

¶7¶6

¶1

¶5¶4

1ÌÔÓ

∞Ó Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞μ°¢ Î·È ∂∑∏£ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚)

ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 24 cm Î·È 18 cm. ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ı¤ÏÔÓÙ·˜Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÌÔÈÔ Ì’ ·˘Ùfi ·ÏÏ¿ Ô˘ Ó· ¤¯ÂÈ ÙËÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ 20 cm, ÛΤÊÙËΠӷ ÌÂÈÒÛÂÈ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ηٿ 4 cm.◊Ù·Ó ÛˆÛÙ‹ Ë ÛΤ„Ë ÙÔ˘; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞μ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ¡··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·Ó ÂÓÒÛÔ˘Ì ٷ ̤۷ ÙˆÓ ∫∞, ∫μ,∫°, ∫¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ∞μ°¢.

™ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∞∫ = ∞°, ∂∑ // ∞¢ Î·È ∏£ // ∞μ.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ΔÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞∂∫∏ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÌÂ

ÙÔ ∞μ°¢.‚) ΔÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞∂∫∏ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÌÂ

ÙÔ ∫£°∑.

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÍÂΛÓËÛ ÙÔ Úˆ› ·fi ÙÔ Û›ÙÈ ÙÔ˘ª Î·È ·ÊÔ‡ ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯¤‰ÈÔ, ¤ÊÙ·Û ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ˘ ™.ΔÔ ÌÂÛË̤ÚÈ Â¤ÛÙÚ„ ۛÙÈ ÙÔ˘ ·fi ¿ÏÏÔ‰ÚfiÌÔ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ Î·È ·fi ÙÔ Û›ÙÈÂÓfi˜ Ê›ÏÔ˘ ÙÔ˘ Ô˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô º. ∞ÓË Û˘ÓÔÏÈ΋ ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘ ¤Î·ÓÂ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ‹Ù·Ó640 m, Ó· ‚Ú›Ù fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· Û›ÙÈ· ÙˆÓ‰‡Ô ʛψÓ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Îϛ̷η ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘;

6

145

4

3

2

219

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

∞ μ

∂

∑

A

∏

£

°

¢

6,3

cm

x

9 cm

6 cm

B

°¢

130Æ E

∑∏

£

x

∞ B∂

∏∫

∑

£

°¢

M

º™

1cm

1cm

220

M¤ÚÔ˜ μ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ŸÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ°, ¢∂∑, fiˆ˜ ηȉ‡Ô ÔχÁˆÓ·, Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·Ó¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁÂ˜Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.

¢ËÏ·‰‹ ·Ó ¤¯Ô˘Ó = = Î·È ∧

∞ = ∧

¢, ∧

μ = ∧

∂, ∧

° = ∧

∑.

°È· Ó· Â›Ó·È ÏÔÈfiÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· fiÌÔÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ÈÛfiÙËÙ˜; ∂˘Ù˘¯Ò˜ fi¯È.°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·˜ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ¢∂∑ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜(∧

∞ = ∧

¢ Î·È ∧

μ = ∧

∂).AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ ¿Óˆ ÛÙÔ ∞μ°, ÒÛÙÂ Ë ÁˆÓ›·

∧

¢ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›·

∧

∞, ÙfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ∂∑ ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙË μ�°� Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∧

μ, ∧

μ� ı· ›ӷțÛ˜. ÕÚ· μ�°� // μ° Î·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:

= = ‹ ∞μ� = � ∞μ Î·È ∞°� = � ∞μ

ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ�°� Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° ÛÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ

, ÔfiÙ ∞μ�°� ≈ ∞μ°. ∂Âȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢∂∑, ∞μ�°� Â›Ó·È ›Û·, ı· Â›Ó·È Î·È ¢∂∑ ≈ ∞μ°.

∂Ô̤ӈ˜

∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

∂›‰·Ì ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·,ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË Î·È ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.

ŒÓ·˜ ÚÔ‚ÔϤ·˜ ¶ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Î·È ÊˆÙ›˙ÂÈ ¤Ó· ‰¤ÓÙÚÔ μ°. ∏ ÛÎÈ¿ ÙÔ˘‰¤ÓÙÚÔ˘ ÛÙÔ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÙ›ÚÈÔ ÊÙ¿ÓÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙËÓ ÔÚÔÊ‹ ÙÔ˘ 4Ô˘ ÔÚfiÊÔ˘. ∞Ó ÙÔÈÛfiÁÂÈÔ Î·È Î¿ı fiÚÔÊÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ‡„Ô˜ 3 m Î·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘ ·fi ÙÔÓÚÔ‚ÔϤ· Â›Ó·È 8 m, ÂÓÒ ·fi ÙÔ ÎÙ›ÚÈÔ Â›Ó·È 12 m, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘.

ΛύσηΔ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¶μ° Î·È ¶μ�°� Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·,·ÊÔ‡

∧

μ = ∧

μ� = 90Æ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ∧

¶ÎÔÈÓ‹. ∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜,ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔ-Á˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹

= (1).¶μ¶μ�

μ°μ�°�

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

23

23

23

23

∞°�∞°

∞μ�∞μ

μ°∂∑

∞°¢∑

∞μ¢∂

B ∞

B °

¢

∂ ∑

3 cm

2 cmμ� °�

°�

μ�

°

¶ 8 m 12 mμ

∏ ÛÎÈ¿ ηχÙÂÈ ÙÔ ÈÛfiÁÂÈÔ Î·È 4 ÔÚfiÊÔ˘˜, ÔfiÙ ı· ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ μ�°� = 5 � 3 = 15 m.

ÕÚ· Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) Á›ÓÂÙ·È = ‹ 20 � μ° = 120, ÔfiÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘

‰¤ÓÙÚÔ˘ Â›Ó·È μ° = 6 m.

™’ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· μ° = 10 cm Î·È ∞° = 8 cm Ó·¯·Ú·¯ı› ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞°¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· ηÈÓ· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ›ÛÔÈ ÏfiÁÔÈ. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢° Î·È ¢μ.

ΛύσηΔ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞¢° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ·ÊÔ‡

∧

∞ = ∧

¢ = 90Æ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›·∧

° ÎÔÈÓ‹. ¢ËÏ·‰‹, ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı·¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. √È ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓÂ›Ó·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜.

ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì = = (1).

∞fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) ¤¯Ô˘Ì = ‹ = .

ÕÚ· 10 � ¢° = 64, ÔfiÙ ¢° = 6,4 cm. ∂Âȉ‹ μ° = 10 cm Î·È ¢° = 6,4 cm ¤¯Ô˘ÌÂμ¢ = 10 – 6,4 ‰ËÏ·‰‹ μ¢ = 3,6 cm.

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·;·) ‚) Á)

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

8¢°

108

∞°¢°

μ°∞°

∞°¢°

∞μ∞¢

μ°∞°

¢°∞¢∞°∞¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢°

∞°∞μB°∞¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°

∧

ˆ = ∧

Ê ∧

° ÎÔÈÓ‹∧

∞ = ∧

¢ = 90ÆÿÛ˜ ÁˆÓ›Â˜

2

88 + 12

μ°15

221

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

∞

¢

μ

°

ˆ

Ê8 cm

10 cm

50Æ 60Æ

50Æ

60Æ

50Æ

60Æ80Æ

60Æ 30Æ60Æ

N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

N· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ˘˜ ›ÛÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.·) ‚) Á)

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·ÓÂ›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜.·) ¢‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.‚) ∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË, Â›Ó·È fiÌÔÈ·.Á) ¢‡Ô fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.‰) ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.Â) ∞Ó ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÁˆÓ›· 40Æ, Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ÛÙ)√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ‰‡Ô ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ,

Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

·) ¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ¢ Î·È ∂∑∏Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

‚) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔÓ ›‰ÈÔ·ÚÈıÌfi ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ fiÌÔÈ·;

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:·) ‚) Á)

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

5

4

3

2

222

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

¢

∂ ∑μ

30Æ

°75Æ

∞ ∑ ∂

¢

B °

= = = = = =

∞

μ

°

¢

A

B °

¢

∂

∑

∂

∑

∞ B ∂

∏£

∑

°¢

∞

∞

B

B

B°

° °

¢

¢

∂

∂ ∂¢

9 cm

8 cm12 cm

x

6 cm

4 cm

12 c

m

4 cm

x

∞

6 cm

x

8 cm

¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° (∧

∞ = 90Æ) Î·È ∞¢ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈÙ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢μ Î·È ∞¢° Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∞Ó ¢μ = 4 cm Î·È ¢° = 9 cm, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔÌ‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞¢.

™ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ = 8 cm Î·È ∞° = 12 cm ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È ∂, ÒÛÙ ∞¢ = 2 cm Î·È ∞∂ = 3 cm. N··Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ¢∂ // μ°‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂, ∞μ° Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ∞μ ÙÔ˘ ÔÙ·ÌÔ‡,

·Ó ∞° = 12 m, °¢ = 28,8 m, E¢ = 60 m ηÈ∧

∞ = ∧

¢ = 90Æ.

¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞∂°, μ∂¢Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

MÚÔÛÙ¿ ÛÙÔ Ì¿ÙÈ Ì·˜ Î·È Û ·fiÛÙ·ÛË 0,4 mÎÚ·Ù¿Ì ηٷÎfiÚ˘Ê· ¤Ó· Ú·‚‰› ∞μ = 0,5 m. ∞ÓÌÂÙ·ÎÈÓËıÔ‡ÌÂ Î·È ÛÙ·ıԇ̠۠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∑Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÔÈ Â˘ı›˜ √∞, √μ Ó· ηٷϋÁÔ˘ÓÛÙË ‚¿ÛË Î·È ÛÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÎÂÚ·›·˜ ÂÓfi˜Ú·‰ÈÔʈÓÈÎÔ‡ ÛÙ·ıÌÔ‡, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë·fiÛÙ·Û‹ Ì·˜ ·fi ÙËÓ ÎÂÚ·›· Â›Ó·È °∑ = 16,8 m.ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÎÂÚ·›·˜;

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ∂∑ // ¢°, μ∏ // ∞¢ Î·È ∂£ // ∞¢. ¡· ·Ô‰Â›-ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· μ∏∂, ∂£° ›ӷÈfiÌÔÈ· Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

7

6

5

4

3

2

223

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

∞

°

¢∂

∞

μ

¢

∂

8

63x

x

°

∞ B

∏∂∑

£°¢

12 cm

x

9 cm

15 cm

μ

28 cm

μ

∞

° ∑

¢

∂

√

16,4 m 0,4 m

0,5 m

√ ÁÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 1,36 m.¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘·Ù¤Ú· ÙÔ˘;

∏ ıˆڛ· ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ‹ ·fi Ù· ̤۷ ÙÔ˘ 7Ô˘ ·ÈÒÓ· .Ã. ªÂ ÙË‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ıˆڛ·˜ ·˘Ù‹˜ Ô £·Ï‹˜ Ô ªÈÏ‹ÛÈÔ˜ (624 - 547 .Ã.), ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÙ¿ÛÔÊÔ‡˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, ηÙfiÚıˆÛ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÌÂÁ¿Ï˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÙÔ˘Ã¤ÔÔ˜ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘, ·ÔÛÒÓÙ·˜ ÙÔ ı·˘Ì·ÛÌfi ÙÔ˘ ‚·ÛÈÏÈ¿ Ù˘ ∞ÈÁ‡ÙÔ˘,ÙÔ˘ ÕÌ·ÛÈ.¢Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙȘ Ù¯ÓÈΤ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛÂ Ô £·Ï‹˜ Û’ ·˘Ùfi ÙÔ Â›Ù¢ÁÌ¿ÙÔ˘. √ ¶ÏÔ‡Ù·Ú¯Ô˜, ˆÛÙfiÛÔ, Ì·˜ ‰ÈËÁÂ›Ù·È Ù· ÂÍ‹˜:

«∞ÊÔ‡ ¤ÛÙËÛ ÙÔ Ú·‚‰› ÙÔ˘ Ô£·Ï‹˜ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘˘Ú·Ì›‰·˜ ·fi Ù· ‰‡Ô fiÌÔÈ·ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙËÓ·ʋ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÙÔ˘ ‹ÏÈÔ˘,·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ o ÏfiÁÔ˜ Ô˘ ›¯Â ËÛÎÈ¿ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÚÔ˜ ÙË ÛÎÈ¿Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘ ‹Ù·Ó Ô ›‰ÈÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔÔ˘ ›¯Â ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ÚÔ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘».

√ ¢ÈÔÁ¤Ó˘ Ô §·¤ÚÙÈÔ˜, Ì¿ÏÈÛÙ·, ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ Ô £·Ï‹˜ ̤ÙÚËÛ ÙË ÛÎÈ¿ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜,fiÙ·Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘ ¤ÁÈÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘.

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡

8

224

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

B

¢ ∞�

μ�

°�

·ÎÙ›Ó˜ ÙÔ˘ ‹ÏÈÔ˘

ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙÂ, Ò˜ Ô £·Ï‹˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙÂÏÈο ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘˘Ú·Ì›‰·˜, ·ÊÔ‡ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚¿Û˘ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È Ù˘ ÛÎÈ¿˜ ¢∞�;

225

✔ Mαθαίνω τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά ομοίωνπολυγώνων.

ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ¤Ó· Á‹Â‰Ô Ì¿ÛÎÂÙ Ì Îϛ̷η 1 : 50. ΔÔ Û¯¤‰ÈÔ Â›¯Â ‰È·-ÛÙ¿ÛÂȘ 60 cm x 30 cm.1. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ Áˤ‰Ô˘.2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘ ÚÔ˜ ÙÔ

·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ Áˤ‰Ô˘.3. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ Ô˘ ‚ڋηÙ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ

Ù˘ Îϛ̷η˜ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘.

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞μ°¢ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·,‚. ∞Ó Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞�μ�°�¢� ÌÂÙÚÈÏ¿ÛȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ, ÙfiÙ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·˘Ùfi ›ӷÈfiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = 3.Δ· ÂÌ‚·‰¿ ∂�, ∂ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ›ӷÈ:

∂� = 3· � 3‚ Î·È ∂ = · � ‚ÔfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ:

= = 32

¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ›ӷțÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

√ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ÛÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞μ, ∞° ÂÓfi˜ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ¿ÚÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ¢, ∂

·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÒÛÙ ∞¢ = ∞μ Î·È ∞∂ = ∞°, ÙfiÙÂ

Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂, Ô˘ ›ӷÈ

ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ° Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ∞ ηÈ

ÏfiÁÔ . ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ

ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = .

°È· Ù· ÂÌ‚·‰¿ (∞¢∂) Î·È (∞μ°) ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ:

= = � = � = ( )2.3

535

35

∞∂∞°

∞¢∞μ

1� � ∞¢ � ∞∂21� � ∞μ � ∞°2

(∞¢∂)(∞μ°)

35

35

35

35

3· � 3‚· � ‚

∂�∂

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

§fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ1. 6

∞

·

3·

3‚

‚

B

°¢∞�

¢�

B�

°�

∞

B

°

¢

∂

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞¢∂, ∞μ° Â›Ó·ÈÎ·È ¿ÏÈ ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÔχÁˆÓÔ (¶)Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÔχÁˆÓÔ (¶�) Î·È ‰‡Ô ÔÌfiÏÔÁ˜Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 2 cm Î·È 4 cm ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. √ ÏfiÁÔ˜

ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ (¶) ÚÔ˜ ÙÔ (¶�) Â›Ó·È Ï = = ,

ÔfiÙ ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ∂ Î·È ∂� ÈÛ¯‡ÂÈ =( )2= .

™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞μ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô ¢,

Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ∞¢ = ∞μ. ∞fi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ·Ú¿Ï-

ÏËÏË ÛÙË μ° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ∞° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂. ∞Ó ÙÔÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Â›Ó·È 18 cm2, Ó· ‚ÚÂı›ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ¢∂°μ.

ΛύσηΔ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂ Î·È ∞μ° ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›·

∧

∞ ÎÔÈÓ‹ Î·È ∧

¢1 = ∧

μ, ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜Î·È › Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ¢∂, μ° Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ∞μ.¢ËÏ·‰‹, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·

Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = = . ÕÚ· ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ (∞¢∂) Î·È (∞μ°) ÈÛ¯‡ÂÈ

= ( )2‹ = ‹ (∞¢∂) = 8 cm2.

TÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ¢∂°μ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ (¢∂°μ) = 18 cm2 – 8 cm2 = 10 cm2.

™Â ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ∞μ, ∞°,∞¢ ηٿ ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿-Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏. ¶fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Â›Ó·È ÙÔÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙڷχÚÔ˘ ∞∂∑∏ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓÙÔ˘ ∞μ°¢;

ΛύσηΔo ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞μ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ 2.

2

49

(∞¢∂)18

23

(∞¢∂)(∞μ°)

23

∞¢∞μ

23

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

14

12

∂∂�

12

24

Γενικά

226

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

B

¢1

∂

°

∞

B°

¢

∏

∑∂

4 cm2 cm

¶�

¶

ÕÚ· ∞∂∑∏ ≈ ∞μ°¢, ÔfiÙÂ = ( )2= ( )2

= .

EÔ̤ӈ˜, (∞∂∑∏) = 4(∞μ°¢), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔÂÌ‚·‰fiÓ ·fi ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞μ°¢.

∞Ó Ù· ÔχÁˆÓ· ¶1, ¶2 Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ∂1, ∂2.

E1 = ...E2 E1 = ...E2 E1 = ...E2

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ:·) ∞Ó ÙÚÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È

....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.‚) ∞Ó ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÈÛoχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ

ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È ....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ.Á) ∞Ó ¤Ó·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 6 cm Î·È ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ fiÌÔÈfi˜ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ

ÏÂ˘Ú¿ 3 cm, ÙfiÙÂ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ....................... ÊÔÚ¤˜ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘.

ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¶1 Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¶2 Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ .

√ °È¿ÓÓ˘ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ¶1 Â›Ó·È ÙÔ 16% ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ¶2.Œ¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ;

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ¢∂ // μ°.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ¢∂ // B°.∞Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 18 cm2,ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°.

2

(∞¢∂)(∞μ°)

1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

253

2

1

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

14

12

∞μ∞∂

(∞μ°¢)(∞∂∑∏)

227

1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ

4 cm

2 cm

¶1

¶2

¶1

¶2

4 cm

2 cm

¶1 ¶2

∞

B °

¢ ∂

2 cm

3 cm

∞

B °

∂¢ 3 cm

5 cm

™Â ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞μ°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ ∞μ = 1 cm Î·È °¢ = 5 cm, ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ∞° Î·È μ¢Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ √. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √°¢Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √∞μ.

∞Ó ¢, ∂, ∑ Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ μ°, °∞, ∞μ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙÂÓ· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

·) ‚)

∞Ó ∂ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°, ¢∑ // μ° Î·È¢∏ // ∞°, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ∂1, ∂2,

∂3 ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ∂1 = ∂ , ∂2 = ∂ Î·È ∂3 = ∂1.

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Ó· ʤÚÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

·) ‚)

™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ° Ó· ¿ÚÂÙÂ Ù˘¯·›ÔÛËÌÂ›Ô √. ∞Ó ¢, ∂, ∑ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ√∞, √μ, √°, ÙfiÙ ӷ ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:·) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ°.‚) ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂Ó˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜

Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ٷ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°.

ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 40 cm2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ô˘ı· ÚÔ·„ÂÈ, ·Ó ʈÙÔÙ˘Ëı›:·) ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË 120% ‚) ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË 75%.

∞Ó Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·˘ÍËı› ηٿ 30%, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›Ù fiÛÔ %ı· ·˘ÍËı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘.

√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ÌÂÈÒıËηÓηٿ 20%, ÁÈ·Ù› ·˘Í‹ıËΠÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰ÈÏ·ÓÒÓ‰ÚfïÓ. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ % ÌÂÈÒıËΠÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ÔÈÎÔ¤‰Ô˘.

10

9

8

34

7

(∞μ¢)(∞μ°)

(∞μ¢)(∞°¢)

6

19

49

5

(¢∂∑)(∞μ°)

(∞∑∂)(∞μ°)

4

3

228

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∞

¢ ∑

∏B

∂1

∂3

°

8 cm

4 cm

3 cm4

cm∞

B

¢

°

∞

B°

√

∞ Kμ

°¢

ª §

¢

∂ ∑

∂2

∞Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞¢∂ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹, Ó· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ μ¢ = °∂.

¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞μ°¢ Î·È ÛËÌ›· ∑, ∂ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ∞μ Î·È μ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ∞∑ = μ∂.¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ¢∑ = ∞∂ ‚) ¢∑ ⊥ ∞∂.

™Â ¢ı›·  ӷ ¿ÚÂÙ ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ∞, μ Î·È °. ¶ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜Â˘ı›·˜ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ٷ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ∑ Î·È μ°∏. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ∞∏ = °∑.

™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È μ° = μ�°�, ∧

μ = ∧

μ� Î·È ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ μª Î·Èμ�ª� Â›Ó·È ›Û˜. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È ∞�μ�°� Â›Ó·È ›Û·.

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È μ¢ // ∞° Î·È ¢∂ // °μ.·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √¢ Î·È √∂.‚) ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ √μ2 = √∞ � √∂.

ŒÓ· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 6 cm. N· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ.

√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô √.∞fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÙÔ˘ √μ Ó· ʤÚÂÙ ª∂ ⊥ ∞¢ Î·È ª∑ ⊥ °¢.¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ª∂¢∑.

ªÂ ÏÂ˘Ú¿ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ∞°, ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞μ°¢ ÏÂ˘Ú¿˜x, Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞°∂∑.

·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ .

‚) ∞Ó (∞°∂∑) = 200 cm2, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ x.

(∞°∂∑)(∞μ°¢)

8

7

6

5

4

3

2

1

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 1Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À

229

1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ

∞

B ¢ ∂°

∞ B

E

°¢

Z

O

AB

∂x

y

°¢

5 cm3 cm

6 cm

∞ B

ª

∑

∂

°¢

O

8 cm

∞ μ

°¢

∑

∂

x

x

x

x

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¢∂ // μ°

Î·È (∞¢∂) = (∞μ°). ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¢∂ // μ°,¢∑ // ∞° Î·È ∂∏ // ∞μ. ¡· ·Ô‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ:

·) μ∑ = °∏ ‚) (¢∂∏∑) = � (∞μ°)

ñ ÿÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.

ñ ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó:– ¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË (¶ – ° – ¶).– ª›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· (° – ¶ – °).– ΔȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· (¶ – ¶ – ¶).

ñ ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó:– ¢‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·.– ª›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.

ñ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, ·Ó ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Û ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û·ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË Â˘ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ.

ñ §fiÁÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞μ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï ÁÈ· ÙÔÓÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = Ï � ∞μ.

ñ Δ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, Á Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, ‰, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = .

ñ £ÂÒÚËÌ· £·Ï‹. ΔÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ¢ı›˜, ·Ó Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙË Ì›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË.

ñ √ÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞� Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜√∞ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ √∞� = Ï � √∞.

ñ Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·.ñ √È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜.ñ ¢‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.ñ ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÔχÁˆÓ· Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.ñ ¢‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜

›Û˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.ñ Δ· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.ñ ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜

Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.ñ ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙÂ:

– √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.– √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

Γ . ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ – ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Á‰

·‚

Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ

Α. IΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 1o˘ K∂º∞§∞π√À

1649

10

916

9

230

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô∞

B °

¢ ∂x

3 cm

∞

B °

¢ ∂

Z H

2 cm

5 cm