Γεωμετρια Α λυκειου σημειώσεις

- 1 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΕΠΠΙΙΜΜΕΕΛΛΕΕΙΙΑΑ:: ∆∆ΡΡΟΟΥΥΓΓΑΑΣΣ ΑΑΘΘΑΑΝΝΑΑΣΣΙΙΟΟΣΣ http://mathhmagic.blogspot.com

ΕΥΚΛΕΙ∆ΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ



ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πρωταρχικές έννοιες της γεωμετρίας είναι εκείνες οι έννοιες οι οποίες δεν μπορούν να

οριστούν και για να τις καταλάβουμε καταφεύγουμε στην εμπειρία , τέτοιες έννοιες είναι το

σημείο , η ευθεία και το επίπεδο .

Αξιώματα είναι οι προτάσεις που τις δεχόμαστε χωρίς απόδειξη.

Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας μαζί με τα παρακάτω αξιώματα, που είναι προτάσεις

τις οποίες δεχόμαστε ότι ισχύουν, δημιουργούν τα διάφορα θεωρήματα - πορίσματα της Γε-

ωμετρίας.

Με άλλα λόγια, θεμελιώνουν τη Γεωμετρία τον επιπέδου.

ΑΞΙΩΜΑΤΑ

Ημιευθεία Αν θεωρήσουμε μια ευθεία εε' και ένα οποιοδήποτε σημείο της Α,

τότε καθένα από τα μέρη στα οποία χωρίζεται η ευθεία από το

σημείο Α ονομάζεται ημιευθεία με αρχή το σημείο Α. Έτσι έχουμε

τις ημιευθείες Αε και Αε'.

Η ημιευθεία Αε΄ ονομάζεται αντικείμενη ημιευθεία της Αε.

Η αρχή Α των δύο ημιευθειών ανήκει και στις δύο ημιευθείες.

Μια ημιευθεία ορίζεται επίσης αν θεωρήσουμε ένα άλλο σημείο Β της ευθείας, οπότε η

ημιευθεία Αε μπορεί να ονομαστεί και ως ημιευθεία ΑΒ.

Μια ευθεία τον επίπεδου χωρίζει δύο ημιεπίπεδα. Σε αυτήν

την περίπτωση η ευθεία ονομάζεται ακμή των δύο

ημιεπιπέδων.

Ευθύγραμμο τμήμα

Πάνω σε μια ευθεία ε παίρνουμε δύο σημεία Α και Β. Το σχήμα που αποτελείται από τα σημεία

Α, Β και από όλα τα σημεία της ευθείας ε που βρίσκονται μεταξύ των Α και Β λέγεται

ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα Α και Β και συμβολίζεται με ΑΒ ή ΒΑ.

Η ευθεία ε λέγεται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Ολα τα

σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ εκτός των άκρων Α και Β

Α1 . Από δυο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.

Α2. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο τον επιπέδου που δεν ανήκει σε

αυτή.

A3. Κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο

κατευθύνσεις, χωρίς να διακόπτεται.

Α4. Από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτήν την ευθεία.



λέγονται εσωτερικά σημεία του ΑΒ.

Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων Η σύγκριση των ευθύγραμμων τμημάτων γίνεται τοποθετώντας τα «το ένα πάνω στο άλλο».

Δηλαδή, αν έχουμε να συγκρίνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ, τοποθετούμε (με τη

βοήθεια του διαβήτη) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πάνω στο ΓΔ έτσι, ώστε το άκρο Α να συμπέσει

με το άκρο Γ, οπότε έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• Αν το άκρο Β συμπέσει με το Δ, τότε λέμε ότι τα ευθύγραμμα

τμήματα είναι ίσα και γράφουμε:

ΑΒ = ΓΔ

• Αν το άκρο Β βρεθεί μεταξύ των Γ και Δ, τότε λέμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι

μικρότερο του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ και γράφουμε:

ΑΒ<ΓΔ

•Αν το άκρο Β βρεθεί εκτός του ΓΔ και προς το μέτρο του Δ η το Δ βρεθεί μεταξύ των Α και Β ,

τότε λεμέ ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μεγαλύτερο του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ και

γραφούμε

ΑΒ>ΓΔ

Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζουμε το μοναδικό σημείο του το οποίο χωρίζει το

ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα ευθύγραμμα τμήματα.

Αν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Μ είναι το μέσο του, τότε

AM = MB.

Στην περίπτωση που το σημείο Μ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος λέμε ακόμα ότι το σημείο

Β είναι το συμμετρικό του Α ως προς το Μ ή ότι το Α είναι το συμμετρικό του Β ως προς το Μ.

Διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά, όταν έχουν κοινό

ένα άκρο τους και δεν έχουν άλλο κοινό εσωτερικό σημείο.



Πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων

Για να προσθέσουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα , τα τοποθετούμε πάνω σε μια ευθεία έτσι ώστε

να είναι διαδοχικά. Το ευθύγραμμο τμήμα που

προκύπτει ονομάζεται άθροισμα των δυο

ευθυγράμμων τμημάτων

Γινόμενο ευθυγράμμων τμημάτων

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Το ευθύγραμμο τμήμα KM που προκύπτει αν

προσθέσουμε ν φορές το ΑΒ ονομάζεται γινόμενο του φυσικού αριθμού ν με το ΑΒ και

γράφεται:

ΚΜ = ν·ΑΒ (1)

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι

ΑΒ = 1

νKM (2)

Αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

Αν ΑΒ και ΓΔ είναι δύο ευθύγραμμα τμήματα με ΑΒ > ΓΔ,

προκειμένου να τα αφαιρέσουμε, εργαζόμαστε ως εξής:

Πάνω σε μια ευθεία θεωρούμε (κατασκευάζουμε) τα

ευθύγραμμα τμήματα ΚΛ = ΑΒ και KM = ΓΔ

(το σημείο Μ θα βρίσκεται μεταξύ των σημείων Κ και Λ,

αφού KM < ΚΑ).

Το ευθύγραμμο τμήμα ΜΛ ονομάζεται διαφορά των

τμημάτων ΚΛ και ΚΜ και γραφούμε:

ΜΛ=ΚΛ-ΚΜ=ΑΒ-ΓΔ

Μέτρηση ευθυγράμμου τμήματος

Μέτρηση ενός ευθυγράμμου τμήματος ονομάζουμε την σύγκριση του με ένα άλλο

ευθύγραμμο τμήμα το οποίο θεωρείται ως μονάδα. Το ευθύγραμμο τμήμα που θεωρείται ως

μονάδα λέγεται μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα. Ο θετικός ρητός αριθμός που προκύπτει από

την σύγκριση αυτή λέγεται μήκος του ευθυγράμμου τμήματος .



Αν λοιπόν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ,ΟΧ είναι το μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα και κ

ν

είναι ο αριθμός που προκύπτει από την σύγκριση του ΑΒ με το ΟΧ, θα έχουμε την ισότητα :

(ΑΒ)= κ

ν(ΟΧ)

To (AB) παριστάνει το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Στα επόμενα, για να δηλώσουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, θα χρησιμοποιούμε

το ίδιο σύμβολο με το ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή

(ΑΒ) = ΑΒ.

• Το ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο

τμήμα. Το μήκος του μηδενικού ευθύγραμμου τμήματος είναι μηδέν ( 0).

• Αν για το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ισχύει, για παράδειγμα, ότι ΑΒ = 8

7 ΟΧ, όπου ΟΧ το

μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα, τότε, επειδή 8 1

17 7= + η παραπάνω ισότητα γράφεται:

ΑΒ = 1. ΟΧ + 1

7ΟΧ

Η ισότητα αυτή δηλώνει ότι το ΑΒ αποτελείται από ένα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ΟΧ και

από 1

7 του ΟΧ.

Το μήκος του ΑΒ είναι ο ρητός αριθμός 8

7 = 1,14

• Το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος δεν είναι πάντα ρητός αριθμός.

• Για τις πράξεις που αναφέρονται στα ευθύγραμμα τμήματα ή στα μήκη αυτών ισχύουν οι

γνωστές πράξεις των αριθμών.

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Λύση

i) Επειδή το Α είναι κοινό μέσο των ΚΝ,ΛΜ , ισχύει ότι:

ΚΑ=ΑΝ ,ΛΑ=ΑΜ

Τις σχέσεις αυτές τις αφαιρουμε κατά μέλη και έχουμε

ΚΑ –ΛΑ= ΑΝ- ΑΜ η ΚΛ=ΜΝ

ii) Είναι ΚΜ=ΚΑ+ΑΜ=ΑΝ+ΛΑ=ΛΝ

1)Δίνονται τα διαδοχικά σημεία Κ,Λ,Μ,Ν μιας ευθείας ε , ώστε τα τμήματα ΚΝ και ΛΜ

να έχουν κοινό μέσο το Α.

Να δείξετε ότι :

i)ΚΛ=ΜΝ ii)KM=ΛΝ



Λύση

ΜΝ= ΜΒ+ΒΓ +ΓΝ =2 2

ΑΒ Γ∆+ΒΓ + =

2

2 2

2 2 2

ΑΒ+ ΒΓ +Γ∆ ΑΒ+ΒΓ +ΒΓ +Γ∆= =

ΑΒ+ΒΓ ΒΓ + Γ∆ ΑΓ +Β∆+ =

Λύση

Αν ΜΑ=χ τότε ΜΒ= 10 –χ και η ισότητα 3

2ΜΑ = ΜΒ

γράφεται : 3

(10 ) .... 62

χ χ χ= − ⇔ ⇔ = . Άρα ΜΑ=6 και ΜΒ=4

2)Σε μια ευθεία ε δίνονται τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ και Δ. Αν Μ και Ν είναι αντίστοιχα τα

μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ , να αποδείξετε ότι

1

( )2

ΜΝ = ΑΓ +Β∆

3)Αν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος 10 και Μ είναι ένα σημείο του για το οποίο

ισχύει 3

2ΜΑ = ΜΒ , να υπολογίσετε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΜΑ και

ΜΒ.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.Για να δείξουμε ότι δυο ευθείες συμπίπτουν , αρκεί να δείξουμε ότι έχουν δυο (διαφορετικά μεταξύ

τους ) κοινά σημεία.

2.Για να δείξουμε ότι ένα σημείο Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΜ είναι το μέσο αυτού , αρκεί να

δείξουμε ότι ΑΜ=ΜΒ.

3.Για να δείξουμε ότι δυο ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα , αρκεί να δείξουμε ότι συμβαίνει μια από

τις εξής περιπτώσεις:

α)Είναι ίσα με ένα τρίτο ευθ. τμήμα.

β)Είναι το άθροισμα ή η διαφορά ίσων τμημάτων.

γ) Έχουν ίσα μήκη.

4.Για να δείξουμε ότι δυο ευθ. τμήματα έχουν το ίδιο μέσο συνήθως εργαζόμαστε ως εξής.

Παίρνουμε το μέσο του ενός ευθύγραμμου τμήματος και δείχνουμε ότι είναι και μέσο του αλλού.



Λύση

Εκφράζουμε αρχικά τα τμήματα ΜΑ και ΜΒ της ισότητα 5

7ΜΑ = ΜΒ με την βοήθεια των ΓΜ,

ΓΑ και ΓΒ.

Είναι ΜΑ=ΓΜ-ΓΑ και ΜΒ=ΓΒ-ΓΜ, οπότε έχουμε:

5 5

( ) ( )7 7

7 7 5 5 7 5 5 7

5 712 5 7

12 12

ΜΑ = ΜΒ ⇔ ΓΜ−ΓΑ = ΓΒ−ΓΜ ⇔

ΓΜ− ΓΑ = ΓΒ− ΓΜ ⇔ ΓΜ + ΓΜ = ΓΒ+ ΓΑ ⇔

ΓΜ = ΓΒ+ ΓΑ ⇔ ΓΜ = ΓΒ+ ΓΑ

Λύση

Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις

i) To O είναι προς το μέρος του Β

2 2 2 2

2 2 2 2 2

ΑΒ ΟΒ ΟΒ ΑΒΟΜ = ΟΒ+ΒΜ = ΟΒ+ = + + =

ΟΒ ΟΒ+ ΑΒ ΟΒ ΟΑ ΟΑ+ΟΒ+ = + =

ii) To O είναι προς το μέρος του A

2 2 2 2

2 2 2 2 2

ΑΒ ΟΑ ΟΑ ΑΒΟΜ = ΟΑ+ΑΜ = ΟΑ+ = + + =

ΟΑ ΟΑ+ΑΒ ΟΑ ΟΒ ΟΑ+ΟΒ+ = + =

4)Έστω ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και Μ ένα σημείο μεταξύ των Α και Β για το

οποίο ισχύει 5

7ΜΑ = ΜΒ .Αν Γ είναι σημείο της ημειευθειας ΜΑ που δεν ανήκει στο

ευθύγραμμο τμήμα ΜΑ , να αποδείξετε ότι

5 7

12 12ΓΜ = ΓΑ+ ΓΒ

4)Θεωρούμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Μ .Αν Ο είναι οποιοδήποτε

σημείο ευθείας ΑΒ, που δεν ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, να αποδειχθεί ότι

2

ΟΑ+ΟΒΟΜ =



Λύση

Θέτω ΜΑ=χ , ΑΓ =y οπότε ΜΒ=ΜΓ=χ+y άρα

Έστω το Α μέλος της προς απόδειξη ισότητας : 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) (2 )

4 4 4 4 2 (1)

y y y y

x xy y y x xy y

χ χ χΑΒ +ΑΓ = + + + = + + =

+ + + = + +

Όμοια στο Β μέλος 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2( ) 2 2( 2 )

2 2 4 2 4 4 2 (2)

x x y x x xy y

x x xy y x xy y

ΑΜ + ΜΒ = + + = + + + =

+ + + = + +

Από (1) ,(2) προκύπτει η ζητούμενη .

Λύση

Από υπόθεση (1)κ

λ κλ

ΜΑ= ⇔ ΜΑ⋅ = ⋅ΜΒ

ΜΒ

Αφού το Π είναι εσωτερικό σημείο του ΑΜ ισχύει ΑΠ+ΠΜ=ΑΜ από οπού έχουμε

(2)λ λ λ⋅ΠΑ+ ⋅ΠΜ = ⋅ΑΜ

Όμοια αφού το Μ είναι εσωτερικό του ΠΒ ισχύει ΠΜ+ΜΒ=ΠΒ από οπού έχουμε (3)κ κ κ⋅ΠΜ + ⋅ΜΒ = ⋅ΠΒ

Προσθέτω κατά μέλη (2) και (3) και έχω:

(1)

λ λ κ κ λ κ

λ κ λ

⋅ΠΑ+ ⋅ΠΜ + ⋅ΠΜ + ⋅ΜΒ = ⋅ΑΜ + ⋅ΠΒ

⋅ΠΜ + ⋅ΠΜ = ⋅ΑΜ κ λ κ+ ⋅ΠΒ− ⋅ΠΑ − ⋅ΜΒ

( )λ κ κ λ

κ λ

κ λ

+ ΠΜ = ⋅ΠΒ− ⋅ΠΑ

⋅ΠΒ− ⋅ΠΑΠΜ =

+

5)Σε μια ευθεία ε παίρνουμε τα σημεία Β,Α,Γ και ονομάζουμε Μ το μέσο του ΒΓ να αποδειχθεί

ότι :

2 2 2 22 2ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + ΜΒ

6) Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ του τμήματος ΑΒ τέτοιο ώστε : κ

λ

ΜΑ=

ΜΒ οπού κ,λ *

ℕ . Αν Π

είναι ένα τυχαίο σημείο του τμήματος ΑΜ να αποδειχθεί ότι :

κ λ

κ λ

⋅ΠΒ− ⋅ΠΑΠΜ =

+



Λύση

Αφού το Μ είναι σημείο του ΑΒ και ισχύει ΑΜ=λ ⋅ΑΒ

έχουμε (ΑΜ)=λ ⋅ (ΑΒ)( )

( )λ

ΑΜ⇔ =

ΑΒ άρα 1 1 0ο λ λ< < ⇔ − > οπότε

( )

(1 0

λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

ΜΝ = Α∆ −ΑΜ −Ν∆ = Α∆ − ⋅ΑΒ− ⋅Γ∆ =

Α∆ − ΑΒ−ΒΓ −Γ∆ − ⋅Γ∆ = Α∆ − ⋅ΑΒ− ⋅ΒΓ − ⋅Γ∆ − ⋅Γ∆

Α∆ − ⋅Α∆ + ⋅ΒΓ = − ⋅Α∆ + ⋅ΒΓ

Λύση

Με βάση το διπλανό σχήμα έχουμε :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

2( )

P ON OM OA AP OB BM OA AN

AB BOA OB OA

AB BOA OB OA

OA OB OA

OA OB OA OB

Ο + + = + + + + + =

Γ ΑΓ+ + + + + =

Γ ΑΓ+ + + + + =

ΑΓ + ΑΓ+ + + =

+ + ΑΓ +ΟΑ = + +ΟΓ

7) Σ ε μια ευθεία θεωρούμε τα διαδοχικά τμήματα ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ και τα σημεία Μ,Ν των τμημάτων

ΑΒ και ΓΔ αντιστοίχως τέτοια ώστε να είναι ΑΜ=λ ⋅ΑΒ και ΔΝ=λ ⋅ΓΔ με λ>0.Να αποδειχθεί ότι:

(1 )λ λΜΝ = ⋅ΒΓ + − ⋅Α∆

8) Σ ε μια ημιευθεία με αρχή το Ο θεωρούμε τα διαδοχικά σημεία Α,Β και Γ , το μέσο P του

ΑΒ , το μέσο Μ του ΒΓ και το μέσο Ν του ΑΓ .Να αποδειχθεί ότι :

P ON OM OA OB OΟ + + = + + Γ



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1)Με μονάδα μέτρησης ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, ποιο είναι το μήκος του ευθύγραμμου

τμήματος ΓΔ , όταν ισχύει: Γ∆=ΑΒ2

5 .

2)Στο παρακάτω σχήμα ποιο είναι το μήκος κάθε ευθύγραμμου τμήματος με μονάδα μέτρησης

το ευθύγραμμο τμήμα

α)ΑΒ β)ΓΔ γ)ΕΖ

3)Πάνω σε μια ευθεία παίρνουμε ένα σημείο Α .ποσά σημεία της ευθείας απέχουν από το Α

απόσταση 5;

4)Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ είναι μοναδιαίο , ποιο είναι το μήκος του ευθύγραμμου

τμήματος ΑΝ= ΚΛ+ΚΛ+ΚΛ10

3

10

13 .

5)Για τρία σημεία Α, Β και Γ μιας ευθείας ε ισχύει ΑΒ=α και ΑΓ=β με α<β. Ποιο είναι το μήκος του

ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ;

6)Ποιες ημιευθειες και ποια ευθύγραμμα τμήματα ορίζονται στο παρακάτω σχήμα;

7)Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ=8 και ΑΓ=20 .Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ, να βρείτε το μήκος

του ευθυγράμμου τμήματος ΑΜ.

8)Ποιοι είναι οι τρόποι ώστε δυο διαφορετικές ημιευθειες να τέμνονται;

9)Η γραμμή ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος είναι άθροισμα των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και

ΒΓ;



8)Ποσά ευθύγραμμα τμήματα και πόσες ημιευθειε ορίζουν τέσσερα σημεία

μιας ευθείας ;

10)Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΓ=χ+6,ΑΒ=χ και ΒΓ=2χ-4.Να υπολογιστούν τα

μήκη των τμημάτων ΑΒ,ΒΓ και ΑΓ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

1 . Αν Μ είναι το μέσο τμήματος ΑΒ και Ο σημείο της ημιευθείας ΜΑ, τότε:

i)Αν το Ο δεν ανήκει στο ΑΜ, είναι ΟΜΟΑ ΟΒ

=+

2

i i)Αν το Ο ανήκει στ ΑΜ, είναι ΟΜΟΑ ΟΒ

=−

2

2 . Ε π ί ε υ θ ε ί α ς ε π α ί ρ ν ο υ μ ε τ α δ ι α δ ο χ ι κ ά τ μ ή μ α τ α Α Β , Β Γ , Γ Δ . Α ν Μ , Ν ε ί ν α ι

τ α μ έ σ α τ ω ν τ μ η μ ά τ ω ν Α Γ κ α ι Β Δ α ν τ ί σ τ ο ι χ α , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

ΜΝΑ∆ ΒΓ

=−

2

3 . Α ν τ α σ η μ ε ί α Α , Β , Γ ε ί ν α ι σ υ ν ε υ θ ε ι α κ ά κ α ι ( Α Β ) = 7 , ( Β Γ ) = 1 1 , ( Γ Α ) = 4 , π ο ι ο

α π ό τ α Α , Β , Γ β ρ ί σ κ ε τ α ι μ ε τ α ξ ύ τ ω ν δ ύ ο ά λ λ ω ν ;

4 . Ε π ί ε υ θ ε ί α ς ε π α ί ρ ν ο υ μ ε τ α δ ι α δ ο χ ι κ ά τ μ ή μ α τ α Α Β , Β Γ . Α ν Δ , Ε , Ζ ε ί ν α ι τ α

μ έ σ α τ ω ν Α Β , Β Γ , Γ Α α ν τ ί σ τ ο ι χ α , ν α δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι τ α τ μ ή μ α τ α Δ Ε , Β Ζ έ χ ο υ ν

κ ο ι ν ό μ έ σ ο .

5 . Έ σ τ ω Ο έ ν α ση μ ε ί ο ε υ θ υ γ ρ ά μ μ ο υ τ μ ή μ α τ ο ς Α Β . Α ν Γ κ α ι Δ ε ί ν α ι

α ν τ ί σ τ ο ι χ α τ α μ έ σ α τ ω ν ε υ θ υ γ ρ ά μ μ ω ν τ μ η μ ά τ ω ν Α Β κ α ι Ο Α , ν α

α π ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι Ο Β = 2 Γ Δ .



6 . Έ ν α ε υ θ ύ γ ρ α μ μ ο τ μ ή μ α Α Β έ χ ε ι μή κ ο ς 8 c m . Α ν Ο ε ί ν α ι τ ο σ η μ ε ί ο τ ο υ

Α Β γ ι α τ ο ο π ο ί ο ι σ χ ύ ε ι 1

3ΟΑ = ΟΒ , ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ α μ ή κ η τ ω ν

ε υ θ υ γ ρ ά μ μ ω ν τ μ η μ ά τ ω ν Ο Α κ α ι Ο Β .

7 . Σ ε μ ι α η μ ι ε υ θ ε ι α μ ε α ρ χ ή τ ο Ο θ ε ω ρ ο ύ μ ε τ α δ ι α δ ο χ ι κ ά σ η μ ε ί α Α , Β κ α ι

Γ , τ ο μ έ σ ο Π τ ο υ Α Β , τ ο μ έ σ ο Μ τ ο υ Β Γ κ α ι τ ο μ έ σ ο Ν τ ο υ Α Γ .

Ν α α π ο δ ε ι χ θ ε ί ό τ ι

Ο Π + Ο Ν + Ο Μ = Ο Α + Ο Β + Ο Γ

8 . Σ τ ο π α ρ α κ ά τ ω σ χ ή μ α τ α Μ κ α ι Ν ε ί ν α ι μ έ σ α τ ω ν τ μ η μ ά τ ω ν Α Β κ α ι Β Γ

α ν τ ί σ τ ο ι χ α . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι :

2

2

ΟΑ+ ΟΒ+ΟΓΟΜ +ΟΝ =

9 . Σ τ ο ε π ί π ε δ ο δ ί ν ο ν τ α ι ν ε υ θ ε ί ε ς , ο ι ο π ο ί ε ς τ έ μ ν ο ν τ α ι α ν ά δ υ ο , α λ λ ά α ν ά

τ ρ ε ι ς δ ε ν δ ι έ ρ χ ο ν τ α ι α π ό τ ο ί δ ι ο σ η μ ε ί ο . Π ο σ ά ε ί ν α ι τ α σ η μ ε ί α τ ο μ ή ς τ ω ν

ε υ θ ε ι ώ ν α υ τ ώ ν .



ΓΩΝΙΕΣ

Έστω μια γωνία xoy .Θεωρούμε το ημιεπίπεδο Π1 που έχει ακμή το φορέα χ΄χ της Οx και

περιέχει την Oy .

Επίσης θεωρούμε το ημιεπιπεδο Π2 που έχει ακμή το φορέα y’y της Oy και περιέχει την Οx.

Το μέρος του επιπέδου που περιέχει τα κοινά στοιχειά των Π1 και Π2 χωρίς τα σημεία των Οx,

Oy ονομάζεται εσωτερικό της xoy .Τα σημεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην γωνία ,

αλλά ούτε στο εξωτερικό της , αποτελούν το εξωτερικό της xoy .

Μια γωνία με πλευρές δυο αντικειμενες ημιευθειες ονομάζεται ευθεία γωνία.(σχημα1 )

Αν οι πλευρές Οx, Oy μιας γωνίας συμπίπτουν και το εσωτερικό της δεν περιέχει σημεία τότε η

γωνία λέγεται μηδενική. (σχημα2 )

Γωνία ονομάζεται το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δυο ημιευθειες Οx, Oy με κοινή

αρχή το Ο. Οι Οx, Oy

ονομάζονται πλευρές και το σημείο Ο κορυφή

της γωνίας .

Η γωνία αυτή συμβολίζεται με xoy .(η απλά O )

σχ 2 σχ 1



Το μέρος (χωρίο) του επιπέδου που αποτελείται από μια γωνία και το εσωτερικό της

ονομάζεται κυρτή γωνία. Το χωρίο που αποτελείται από την γωνία και το εξωτερικό της

ονομάζεται μη κυρτή γωνια.

Αν η κυρτή γωνία είναι μηδενική ,

τότε η μη κυρτή γωνία ονομάζεται

πλήρης γωνία.

Συνήθως με τον ορό γωνία εννοούμε τόσο

το σχήμα των δυο τεμνομενων ημιευθειων,

όσο και την κυρτή γωνία που ορίζουν αυτές .

Διχοτόμος μιας γωνίας xoy ονομάζεται η ημιευθεια Οδ που χωρίζει την κυρτή γωνία σε

δυο ίσες κυρτές γωνίες ,

δηλαδή ισχύει :

xo oyδ δ= (σχημα 4 )

Αν η γωνία xoy είναι ευθεία , τότε η διχοτόμος Οδ αυτής τη χωρίζει σε δυο ίσες γωνίες που η

καθεμιά τους είναι ορθή.(σχήμα 4)

Μια γωνία μικρότερη από την ορθή ονομάζεται οξεία.(σχήμα 5) , ενώ μια γωνία μεγαλύτερη

από την ορθή ονομάζεται αμβλεία. .( σχήμα 6)

σχ 3

σχ 4

σχ 4 σχ 5 σχ 6



Κάθετες ευθείες

Αν δυο ευθείες δ,ε τέμνονται και από μια από τις σχηματιζομενες γωνίες είναι ορθή τότε

λεμέ οι ευθείες είναι κάθετες και γραφούμε : δ ε⊥ (σχήμα 6)

Από ένα σημείο Α μιας ευθείας ε η έξω από την ε μπορούμε να φέρουμε μονό μια ευθεία δ

κάθετη στην ε.(σχήματα 7,8 )

Το σημείο τομής των δ και ε λέγεται ορθή προβολή ( η απλά προβολή) η ίχνος του σημείου Α

πάνω στην ε. Επίσης , το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση του Α από

την ε.

Μεσοκαθετη ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη σε

αυτό και διέρχεται από το μέσο του.

(σχήμα 9)

Στην περίπτωση αυτή τα σημεία Α και Β

ονομάζονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε.

ΠΡΑΞΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ

Αν δυο γωνίες έχουν μια κοινή πλευρά και δεν έχουν μια κοινά εσωτερικά σημεία , τότε

ονομάζονται εφεξής η διαδοχικές . (σχήμα 10)

Τρεις γωνίες ονομάζονται διαδοχικές , όταν η πρώτη με την δεύτερη και η δεύτερη με την τρίτη

είναι εφεξής , χωρίς να έχουν και οι τρεις κοινή πλευρά . (σχήμα 11)

σχ 6 σχ 7 σχ 8

σχ 9

σχ 11 σχ 10



Το άθροισμα και η διαφορά δυο γωνιών δίνονται στα σχήματα που ακολουθούν

xoy yoz xoz+ ⋅ = xoz yox yoz− =

Γινόμενο του φυσικού αριθμού ν με την γωνία xoy ονομάζεται η γωνία z ωΑ που είναι

άθροισμα ν γωνιών ίσων με την xoy και γραφούμε

z xoyω νΑ = ⋅ η 1 z

xoy zω

ων ν

Α= ⋅ Α = ⋅

Γινόμενο ενός θετικού ρητού λ

ν με την γωνία xoy ονομάζεται η γωνία z ωΑ που είναι

άθροισμα λ γωνιών ίσων με την 1x y

ν⋅ Α και γραφούμε

xoy

z xoyλ λ

ων ν

⋅Α = ⋅ =

Αλλά είδη γωνιών

Δυο γωνίες ονομάζονται κατακόρυφην , όταν οι πλευρές της μιας είναι οι αντικειμενες

ημιευθειες των πλευρών της άλλης



Δυο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα μια

ευθεία γωνία.

Δυο γωνίες λέγονται συμπληρωματικές όταν έχουν άθροισμα μια ορθή

γωνία.

Θεωρήματα

Δυο κατακόρυφην γωνίες είναι ίσες .

Οι διχοτόμοι δυο κατακόρυφην γωνιών

είναι αντικείμενες ημιευθείες .

Δυο εφεξής και παραπληρωματικές γωνίες

έχουν τις μη κοινές πλευρές τους

αντικειμενες ημιευθειες και αντιστρόφως .

Οι διχοτόμοι δυο εφεξής και

παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες .



ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Για να αποδείξουμε ότι μια ημιευθεια ΟΓ είναι διχοτόμος μιας

γωνίας OΑ Β ,

αρκεί να αποδείξουμε ότι O OΑ Γ = Γ Β η

2

OO

Α ΒΑ Γ = η

2

OO

Α ΒΒ Γ =

Για να αποδείξουμε ότι δυο ευθείες ΟΑ και ΟΒ είναι κάθετες

, αρκεί να αποδείξουμε ότι:

- η ΟΒ είναι διχοτόμος της ευθείας γωνίας OΑ Ε η

- 090O O OΑ Γ+Γ ∆ + ∆ Β = δηλαδή

ότι η γωνία OΑ Β σχηματίζεται από διαδοχικές γωνίες

με άθροισμα μια ορθή γωνία.

Για να αποδείξουμε ότι δυο ημιευθειες ΟΑ και ΟΒ είναι αντικειμενες

(η ότι τα σημεία Α, Ο και Β είναι συνευθειακα ) ,

προσπαθούμε να γράψουμε την γωνία OΑ Β ως άθροισμα

διαδοχικών γωνιών με κοινή κορυφή το Ο.

Το άθροισμα των γωνιών αυτών πρέπει

να είναι ίσο με μια ευθεία γωνία (180ο ) .

Έτσι για το διπλανό σχήμα ισχύει ότι οι ΟΑ και ΟΒ είναι αντικειμενες ημιευθειες , αν και μονό αν

χ+y+ω=180ο ( 2 ορθές )

Για να αποδείξουμε ότι δυο γωνίες χ και y είναι συμπληρωματικές , αποδεικνύουμε ότι

χ+y=90ο ( 1 ορθή )

Για να αποδείξουμε ότι οι γωνιές χ και y είναι παραπληρωματικές αποδεικνύουμε ότι

χ+y+ω=180ο ( 2 ορθές)



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ

Λύση

Το μέτρο της δοσμένης γωνίας είναι ω=5/6.90ο =75ο .Έτσι το μέτρο της συμπληρωματικής της

γωνίας είναι: 90ο – 75ο =15ο .και το μέτρο της παραπληρωματικής της γωνίας είναι 180ο –75ο =105ο .

Λύση

Έστω χ το μέτρο της γωνίας. Τότε θα έχουμε:

)180(2

1)90( 00 xxx −+−= ⇔ )180(

2

12)90(22 00 xxx −+−=

xxx −+−= 00 18021802 ⇔ 00 18018022 +=++ xxx ⇔ 03605 =x

⇔5

3600

=x ⇔ x=72o

Λύση

Έχουµε

(ΕΟΖ )=(ΕΟΓ )+(ΓΟ∆ )+(∆ΟΖ )

1)Μια γωνία είναι τα 5/6 της ορθής. Να βρεθεί το μέτρο της συμπληρωματικής της και της

παραπληρωματικής της γωνίας.

2) Μια οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα της συμπληρωματικής της γωνίας και του μισού

της παραπληρωματικής της. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας αυτής.

3)Από ένα σημείο Ο μιας ευθείας ΑΒ φέρνουμε προς το ίδιο μέρος της ευθείας ΑΒ τις

ημιευθειες ΟΓ και ΟΔ έτσι , ώστε οι γωνίες ΑΟΓ,ΓΟΔ,ΔΟΒ να είναι διαδοχικές .Καλούμε ΟΕ τη

διχοτόμο της γωνίας ΑΟΓ και ΟΖ τη διχοτόμο της γωνίας ΔΟΒ. Να δείξετε ότι

(ΕΟΖ)= 01( ) 90

2ΓΟ∆ +

Ο



0

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 21 1

( ) ( ) [( ) ( ) ( )]2 21 1

( ) ( ) ( )2 21

( ) ( ) 902

EOZ AO= Γ + ΓΟ∆ + ΓΟ∆ + ∆ΟΒ =

ΕΟΖ = ΓΟ∆ + ΑΟΓ + ΓΟ∆ + ∆ΟΒ =

ΕΟΖ = ΓΟ∆ + ΑΟΒ =

ΕΟΖ = ΓΟ∆ +

.

Λύση

Έχουμε (ΑΟΒ )=90ο

(ΒΟΓ )=60ο

(ΓΟ∆ )= 00 75906

5=

α) Έχουμε:

(ΚΟΒ )+(ΒΟ∆ )= 1( ) ( ) ( )

2AOB BO+ Γ + ΓΟ∆ =

= =++ 00 7560902

1 ο 45ο +60ο +75ο =180ο

Άρα οι εφεξης γωνίες ΚΟΒ καιΒΟ∆ είναι παραπληρωματικές και επομένως οι μη κοινές

πλευρές τους ΟΚ και ΟΔ είναι αντικείμενες ημιευθειες.

β)Επειδή οι ημιευθειες ΟΚ και ΟΔ είναι αντικείμενες , έπεται ότι οι εφεξής γωνίες ΑΟΚ και

ΑΟ∆ είναι παραπληρωματικές.

Δηλαδή: (ΑΟΚ )+(ΑΟ∆ )=180ο

(ΑΟ∆ )=180ο +(ΑΟΚ )

(ΑΟ∆ )=180ο - 1( )

2AOB

(ΕΟΓ)= 1( )

2ΑΟΓ γιατί η ΟΕ διχοτόμος της ΑΟΓ)

( )∆ΟΖ = 1( )

2∆ΟΒ γιατί η ΟΖ διχοτόμος της ΔΟΒ)

4)Από τις διαδοχικές γωνίες ΑΟΒ,ΒΟΓ,ΓΟΔ και ΔΟΑ η πρώτη είναι ορθή , η δεύτερη έχει

μέτρο 60ο και η τρίτη είναι τα 5/6 της ορθής.

Καλούμε ΟΚ τη διχοτόμο της ΑΟΒ , ΟΛ τη διχοτόμο της ΒΟΓ και ΟΜ τη διχοτόμο της ΛΟΓ.

α)Να δείξετε ότι οι ημιευθειες ΟΚ και ΟΔ είναι αντικείμενες.

β)Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ΑΟΔ.

γ)Να δείξετε ότι οι ημιευθειες ΟΜ και ΟΔ είναι κάθετες

∆

Α

Β

Γ

Μ Λ

Κ

Ο



(ΑΟ∆ )=180ο - 0902

1

(ΑΟ∆ )=180ο –45ο

(ΑΟ∆ )= 135ο

γ)Έχουμε (ΜΟΓ )= 1( )

2ΛΟΓ = 1 1

( ( ))2 2

ΒΟΓ = =0604

115ο

Έτσι έχουμε : (ΜΟ∆ )=(ΜΟΓ )+(ΓΟ∆ )=15ο +75ο =90ο

Άρα η γωνία ΜΟΔ είναι ορθή και επομένως οι ημιευθειες ΟΜ και ΟΔ είναι κάθετες.

Λύση

Προκειμένου να αποδείξουμε ότι οι ΟΒ και ΟΒ΄

είναι αντικειμενες ημιευθειες αρκεί να αποδείξουμε ότι η 'BOB είναι ευθεία γωνία .Αρκεί

λοιπόν να αποδείξουμε ότι η 'BOB είναι ίση με 'AOA , που είναι ευθεία γωνία , αφού οι

ημιευθειες ΟΑ και ΟΑ’ είναι αντικειμενες .

Έχουμε λοιπόν:

' '

' ' ' ' '

' '

AOB A OB

BOB BOA A OB BOA AOB

AOB BOA AOA

=

= + = + =

+ =

Λύση

Με βάση το διπλανό σχήμα παίρνουμε:

2 2

1

2 2 2

O OO O O

O O Oορθης

Α Γ Β Γ∆ Ε = ∆ Γ −Ε Γ = − =

Α Γ −Β Γ Α Β= =

5)Αν δυο γωνίες ΑΟΒ και Α΄ΟΒ΄ είναι ίσες και οι ηµιευθειες ΟΑ και ΟΑ’ είναι αντικειµενες ,

να αποδείξετε ότι και οι ηµιευθειες ΟΒ και ΟΒ΄ , όταν βρίσκονται στα διαφορετικά

ηµιεπιπεδα που ορίζει η ΑΑ’ , είναι αντικειµενες .

6)Μια ορθή γωνία OBΑ είναι διαδοχική µε µια οξεία γωνία OΒ Γ .Αν ΟΔ και ΟΕ είναι οι

διχοτόµοι των γωνιών OΑ Γ και OΒ Γ αντίστοιχα , αν αποδειχθεί ότι 1

2O ορθης∆ Ε =



Λύση

α. Από το σχήμα έχουμε :

090O O OΑ Γ+Γ Β = Α Β = (1)

090O O OΓ Β+Β ∆ = Γ ∆ = (2)

Τα δευτέρα μέλη των (1) και (2) είναι ίσα άρα πρέπει να είναι ίσα και τα πρώτα μέλη

O OΑ Γ+ Γ Β O= Γ Β O O O+Β ∆ ⇔ Α Γ = Β ∆ (3)

β. Από το σχήμα έχουμε :

0 0 0

( ) ( )

(90 ) (90 ) 180

O O O O O O

O O O

Β Γ + Α ∆ = Β Α−Α Γ + Α Β+Β ∆ =

−Α Γ + +Β ∆ = − Α Γ O+ Β ∆(3)

0180=

Άρα οι γωνίες OΒ Γ και OΑ ∆ είναι παραπληρωματικές.

γ. Έχουμε:

2 2O O φ ω φ ωΑ Γ = Β ∆ ⇔ = ⇔ = (4)

(4)0 0 0

0 0 0

0

90 2 90 90

90 ( ) 90 90

90

O O

O O

O

φ χ φ φ χ

ω φ χ ω χ φ

Α Γ+Γ Β = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔

+ + = ⇔ + + = ⇔ Ν Β+Β Μ = ⇔

Ν Μ = ⇔ ΟΜ ⊥ ΟΝ

7)Στο διπλανό σχήμα οι γωνίες OBΑ και OΓ ∆ είναι ορθές .

α)Να αποδειχθεί ότι OBΑ = OΓ ∆ .

β) Οι γωνίες OΒ Γ και OΑ ∆ είναι παραπληρωματικές .

γ)Οι διχοτόμοι ΟΜ και ΟΝ των

γωνιών OΑ Γ και OΒ ∆ τέμνονται κάθετα.



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1)Ποια είναι η συμπληρωματική της ορθής γωνίας ;

2)Μια αμβλεία γωνία έχει συμπληρωματική;

3)Είναι δυνατόν δυο παραπληρωματικές γωνίες να είναι ίσες ;

4)Αν μια γωνία είναι τα 2

3 της ορθής , τι μέρος της ορθής είναι η συμπληρωματική της και η

παραπληρωματική της .

5)Στα παρακάτω σχήματα έχουμε σημειώσει δυο γωνίες .Να δικαιολογήσετε ποιες από αυτές

είναι εφεξής και ποιες όχι .

6)Τι μέρος της ορθής γωνίας είναι η γωνία των διχοτόμων δυο συμπληρωματικών γωνιών;

7)Υπάρχει περίπτωση δυο παραπληρωματικές γωνίες να είναι ίσες ;

8)Μια αμβλεία γωνία είναι συμπληρωματική;

9)Αν η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ , υπάρχουν αλλά

ευθύγραμμα τμήματα που έχουν μεσοκάθετη την ε;

10)Θεωρούμε την πρόταση «Αν η γωνία ΑΒΓ είναι μηδενική , τότε τα σημεία Α, Β , Γ είναι

συνευθειακά».Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση και να εξετάσετε αν αληθεύει;



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

1)Στο παρακάτω σχήμα είναι ,ΟΕ ⊥ ΑΓ ΟΖ ⊥ ∆Β .

α)Να γράψετε τα ζεύγη των γωνιών που είναι συμπληρωματικές .

β)Να αποδείξετε ότι:

i) ΑΟΒ = ΕΟΖ = ΓΟ∆ ii) ΒΟΕ = ΖΟΓ

2)α)Να βρείτε δυο διαδοχικές γωνιές που να είναι συμπληρωματικές και να διαφέρουν κατά 1

9

της ορθής γωνίας .

β)Να βρείτε δυο διαδοχικές γωνίες που να είναι παραπληρωματικές και να διαφέρουν κατά 1

3

της ορθής γωνίας .

3)Αν οι γωνίεςΑΟΒ , ΒΟΓ , είναι εφεξής και ΟΜ η διχοτόμος της ΒΟΓ να αποδείξετε ότι:

1( )

2ΑΟΜ = ΑΟΒ+ ΑΟΓ .

4)Να αποδείξετε ότι η γωνία των διχοτόμων δυο εφεξής γωνιών είναι ίση με το ημιάθροισμα των

γωνιών αυτών;

5)Αν η συμπληρωματική μιας γωνίας ΑΟΒ είναι το ¼ της ορθής γωνίας , να βρείτε σε μέρη

ορθής την παραπληρωματική της ΑΟΒ .

6)Αν οι γωνίες ΑΟΒ , ΒΟΓ ,ΓΟ∆ είναι διαδοχικές και ισχύειΑΟΒ =ΓΟ∆ . Να δείξετε ότι οι

γωνίες ΑΟ∆ και ΑΟΓ έχουν κοινή διχοτόμο.

7)Δίνεται μια αμβλεία γωνία χΟψ και δυο ημιευθειες Οχ’ και Οψ’ στο εσωτερικό της τέτοιες,

ώστε να ισχύει Οχ ⊥ Οχ’ και Οψ ⊥ Οψ. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες χΟψ και χ’Οψ’ έχουν κοινή

διχοτόμο και είναι παραπληρωματικές.

8)Μια ημιευθεια ΟΑ βρίσκεται στο εσωτερικο γωνίας χΟψ και ισχύει χΟΑ = 5

7OAψ Μια άλλη

ημιευθεια ΟΒ δεν είναι εσωτερική της γωνίας χΟΑ και βρίσκεται προς το μέρος της Οχ.

Να αποδείξετε ότι ΑΟΒ = 7 5

12 12xO ψΒ+ ΟΒ .



9)Δίνεται μια ορθή γωνία χΟψ και οι γωνίες ΑΟΒ και ΓΟΔ τέτοιες ώστε η Οχ να είναι διχοτόμος

της ΑΟΒ, η Οψ διχοτομος της ΓΟΔ και οι ημιευθειες ΟΒ,ΟΓ να βρίσκονται στο εσωτερικό της

γωνίας χΟψ.Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ΑΟΓ και ΒΟΔ είναι παραπληρωματικές.

Το ηξερες ότι….. Όταν κάποτε ο Πτολεμαίος ο πρώτος Μακεδόνας στρατηγός του

μεγάλου Αλεξάνδρου και ανώτατος αρχών της Αιγύπτου συνάντησε

στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου , τον Ευκλείδη τον διάσημο

Γεωμέτρη ,τον ρώτησε αν υπάρχει πιο εύκολος τρόπος να μάθει

κανείς γεωμετρία χωρίς να διαβάσει τα περίφημα «στοιχεία» του ,

αυτός κοφτά απάντησε ότι δεν υπάρχει βασιλική οδός για την

γεωμετρία.



ΚΥΚΛΟΣ,ΤΕΘΛΑΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ

-Το σημείο του Λ επιπέδου του κύκλου για το οποίο ισχύει ΚΛ< ρ

ονομάζεται εσωτερικό σημείο του κύκλου.

-Το σημείο του Ε επιπέδου του κύκλου για το οποίο ισχύει ΚΕ >ρ

ονομάζεται εξωτερικό σημείο του κύκλου.

-Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου αποτελούν το εσωτερικό του

κύκλου.

-Κυκλικό δίσκο ονομάζουμε τον κύκλο μαζί με το εσωτερικό του..

-Χορδή του κύκλου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που

ενώνει δυο τυχαία σημεία του κύκλου για παράδειγμα τα Γ και Δ.

Διάμετρο (ΑΒ) του κύκλου ονομάζουμε την χορδή η οποία

διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Τα άκρα της διαμέτρου ονομάζονται αντιδιαμετρικα

σημεία.

-Δυο ή περισσότεροι κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο λέγονται ομόκεντροι.

-Το μέρος του κύκλου που βρίσκεται ανάμεσα στα άκρα μιας χορδής λέγεται τόξο. Το μικρό τόξο

από τα δυο που σχηματίζονται , λέγεται έλασσον , ενώ το μεγάλο

μείζον.

Συμβολίζουμε με ΑΒ το έλασσον και ΑΜΒ το μείζον.

Τα τόξα τα οποία δημιουργούν η διάμετρος καλούνται ημικύκλια.

Κάθε σημείο Γ διαφορετικό από τα Α και Β ονομάζεται εσωτερικό

σημείο του τόξου ΑΒ

Ισότητα τόξων: Δυο τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων λέγονται ίσα όταν με κατάλληλη

μετατόπιση το ένα ταυτίζεται με το άλλο .

Κύκλος η περιφέρεια με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα ρ ονομάζουμε το σχήμα του

επιπέδου του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το σημείο Κ απόσταση ίση με ρ.



Για να συμβολίσουμε την ισότητα δυο τόξων ΑΒ και ΓΔ γράφουμε

ΑΒ = Γ∆ .

-Επίκεντρη γωνία: Μια γωνία της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο ενός κύκλου ονομάζεται

Επίκεντρη .

Το τόξο ΑΒ λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας χΚψ.

Λεμε επίσης ότι η επικεντρη γωνία βαίνει στο τόξο ΑΒ .

Το τόξο στο οποίο βαίνει μια γωνία όταν αυτή γίνει επικεντρη

μας δίνει την πληροφορία με την οποία μπορούμε να συμπεράνουμε

αν η γωνία είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη της ευθείας γωνίας.

-Όταν οι επικεντρες γωνίες είναι άνισες , τότε τα αντίστοιχα τόξα είναι ομοίως άνισα.

Δηλαδή, αν ΑΚΒ <ΓΚ∆ , τότε θα λέμε ότι το τόξο ΑB είναι μικρότερο

από το ΒΓ και θα γράφουμε ΑΒ<ΔΓ.

-Η σύγκριση τόξων γίνεται μόνο όταν αυτά είναι τόξα του ίδιου

κύκλου ή ίσων κύκλων.

Την σχέση της επίκεντρης γωνίας με το τόξο στο οποίο βαίνει δίνουν

τα παρακάτω θεωρήματα

Θεώρημα Ι

Δυο τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσα όταν και μόνο όταν οι

αντίστοιχες επικεντρες γωνίες τους είναι ίσες και αντίστροφα.

Δηλαδή: ΑΚΒ = ΓΚ∆ ⇔ ΑΒ= Γ∆

Θεώρημα ΙΙ

Δυο τόξα του ίδιου κύκλου ή ίσων κύκλων είναι άνισα όταν οι

αντίστοιχες επικεντρες γωνίες είναι ομοίως άνισες και αντίστροφα. .

Δηλαδή:

αν ΑΚΒ < ΓΚ∆ τότε ΑΒ< Γ∆



και

αν ΑΒ< Γ∆ τότε ΑΚΒ < ΓΚ∆

Πόρισμα : Κάθε διάμετρος ενός κύκλου διαιρεί τον κύκλο σε δυο ίσα

τόξα.

Δηλαδή , ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου τότε έχουμε ότι:

ΑΓΒ = Α∆Β

-Όταν οι διάμετροι ενός κύκλου τέμνονται κάθετα , τα 4 τόξα που δημιουργούνται είναι ίσα

( επειδή οι αντίστοιχες επικεντρες γωνίες τους είναι ίσες).Καθένα από αυτά

τα τόξα λέγεται τεταρτοκύκλιο.

-Μέσο τόξου: Μέσο ενός τόξου ονομάζουμε το εσωτερικό σημείο του τόξου

το οποίο χωρίζει το τόξο σε δυο ίσα τόξα.

Αν το σημείο Μ είναι μέσο του τόξου ΑΒ, τότε ισχύει ΑΜ=ΜΒ και αντίστροφα.

Ισχύει το εξής θεώρημα:

Θεώρημα ΙΙΙ : Κάθε τόξο έχει μόνο ένα μέσο.

Δυο τόξα ενός κύκλου λέγονται διαδοχικά όταν έχουν κοινό το ένα τους

άκρο και δεν έχουν αλλά κοινά εσωτερικά σημεία.

Έτσι τα τόξα ΑΒ και ΒΓ του διπλανού σχήματος είναι διαδοχικά

-Οι αντίστοιχες επικεντρες γωνίες διαδοχικών τόξων είναι επίσης

διαδοχικές εφεξής.

-Οι πράξεις πρόσθεση τόξων , αφαίρεση τόξων και πολλαπλασιασμός

τόξου με φυσικό ( ή με θετικό πραγματικό ) αριθμό γίνονται όπως στα

ευθύγραμμα τμήματα.



Μέτρηση τόξου: Η μέτρηση ενός τόξου ( ενός κύκλου) γίνεται συγκρίνοντας το με ένα άλλο

τόξο του ίδιου κύκλου το οποίο θεωρείται ως μονάδα (μοναδιαίο τόξο).

Ο(μη αρνητικός) αριθμός που προκύπτει ονομάζεται μέτρο του τόξου ως προς

την μονάδα που επιλέξαμε.

Ως μονάδα μέτρησης των τόξων θεωρείται το 0360

1 του κύκλου , το οποίο

ονομάζεται τόξο μιας μοίρας και συμβολίζεται 10.

Μέτρο γωνίας λέγεται το μέτρο του αντιστοίχου τόξου της όταν η γωνία γίνει

επικεντρη σε κάποιον κύκλο.

Αν χΚψ μια γωνία , τότε το μέτρο της συμβολίζεται (χΚψ).

Αν είναι , για παράδειγμα, ΑΒ=30ο , τότε (ΑΒ)=30 και (ΑΚΒ)=30.

Δηλ ισχύει (ΑΚΒ)=(ΑΒ).

Ο κύκλος είναι 360ο σε τεταρτοκύκλιο 90ο και το ημικύκλιο 180ο .

Το μέτρο της ορθής, της ευθείας και της πλήρους γωνίας είναι

αντίστοιχα 90ο ,180ο και 360ο , δηλαδή η ορθή γωνία είναι 90ο , η ευθεία

180ο και η πλήρης 360ο .

Το τόξο του οποίου τα άκρα συμπίπτουν λέγεται μηδενικό τόξο

.Αυτό είναι 0ο και έχει μέτρο 0.

-Τα τόξα ΑΒ και ΓΔ του διπλανού σχήματος δεν είναι ίσα παρόλο που έχουν το ίδιο μέτρο .Αυτό

συμβαίνει διότι οι κύκλοι στους οποίους βρίσκονται τα τόξα δεν είναι ίσοι.

ΤΕΘΛΑΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΗ

Τεθλασμένη γραμμή λέμε το σχήμα που αποτελείται από

ευθύγραμμα τμήματα τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Η τεθλασμένη γραμμή λέγεται και πολυγωνική γραμμή.

Τα ευθύγραμμα τμήματα που αποτελούν μια τεθλασμένη γραμμή

λέγονται πλευρές της και τα άκρα τους λέγονται κορυφές της

τεθλασμένης γραμμής .

Το άθροισμα των πλευρών μιας τεθλασμένης γραμμής λέγεται

περίμετρος.

Όταν οι πλευρές μιας τεθλασμένης γραμμής δεν τέμνονται σε κάποιο εσωτερικό τους σημείο ,

τότε η τεθλασμένη γραμμή λέγεται απλή.

Μια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κλειστή όταν τα άκρα της συμπίπτουν



Πολύγωνο ονομάζεται μια απλή τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν.

Τα πολύγωνα , ανάλογα με τον αριθμό των πλευρών τους χωρίζονται σε:

Τρίγωνα (έχουν τρεις πλευρές )

Τετράπλευρα (έχουν τέσσερις πλευρές )

. .

. .

ν-γωνα (έχουν ν πλευρές )

Κυρτό ονομάζεται το πολύγωνο στο οποίο , όταν προεκτείνουμε μια πλευρά του αυτή δεν θα

συναντήσει (δεν θα τέμνει) καμία από τις υπόλοιπες πλευρές τού.

Απλή τεθλασμένη

γραμμή Μη απλή τεθλασμένη

γραμμή πολύγωνο

Το ηξερες ότι….. Κάποιοι από τους προέδρους των ΗΠΑ έχουν κατά κάποιον τρόπο συνδεθεί με τα

μαθηματικά. Ο Τζόρτζ Ουάσιγκτον ήταν διακεκριμένος τοπογράφος, ο Τόμας

Τζέφφερσον έκανε ό,τι μπορούσε να ενθαρρύνει τη διδασκαλία ανώτερων

μαθηματικών στις ΗΠΑ και ο Αβραάμ Λίνκολν λέγεται ότι έμαθε λογική μελετώντας

τα Στοιχεία του Ευκλείδη ,έγραφε τους πύρινους πολιτικούς του λογούς αφού είχε

μάθει από τον μεγάλο Αλεξανδρινό γεωμέτρη την σωστή παρουσίαση των

επιχειρημάτων . Περισσότερο δημιουργικός ήταν ο Τζ. Γκάρφιλ-ντ (James

Abram Garfield, 1831-1881) ο εικοστός πρόεδρος των ΗΠΑ, ο οποίος σαν σπουδαστής

ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον και δραστηριότητα στα στοιχειώδη μαθηματικά. Στα

1876 και ενώ ήταν μέλος της Βουλής των Αντιπροσώπων, πέντε μόλις χρόνια πριν

γίνει πρόεδρος των ΗΠΑ, έδωσε μόνος του μια πολύ ωραία απόδειξη του πυθαγόρειου

θεωρήματος. Την απόδειξη αυτή τη σκέφτηκε σε μια μαθηματική συζήτηση με άλλα

μέλη του Κογκρέσου1 η απόδειξη δημοσιεύτηκε στη συνέχεια στο New England

Journal of Education.(Όλα αυτά βεβαια τον προηγουμενο αιωνα!!!!!)



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -ΚΥΚΛΟΣ

Λύση

i)Η παραπληρωματική της γωνίας ω , έστω χ , ισούται με

0 ˆ180χ ω= −

ii) Η συμπληρωματική της γωνίας ω , έστω ψ , ισούται με

0 ˆ90ψ ω∧

= − ∧

iii)Η διάφορα των γωνιών χ και ψ θα ισούται με: 0 0 0 0 0ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(180 ) (90 ) 180 90 90χ ψ ω ω ω ω− = − − − = − − + = .

Λύση

Αν Μ είναι το μέσο του ΒΖ , τότε ισχύει ΒΜ =ΜΖ .Θα αποδείξουμε

ότι το σημείο Μ είναι μέσο του τόξου ∆Ε , δηλαδή ισχύει ∆Μ = ΜΕ .

Επειδή ,∆Μ = ∆Β + ΒΜ ΜΕ = ΜΖ + ΖΕ και ΒΜ = ΜΖ ,αρκεί να

αποδείξουμε ότι ∆Β = ΖΕ .

Πράγματι έχουμε:

2

AB∆Β = και

1)Έστω ω μια τυχαία γωνία .Να βρείτε με τι ισούται :

i)η παραπληρωματική της ,

ii)η συμπληρωματική της

iii)η διάφορα των δυο αυτών γωνιών.

2)Θεωρούμε δυο διαδοχικά τόξα AB και ΒΓ ενός κύκλου με AB < ΒΓ .Αν Δ,Ε,Ζ

είναι τα μέσα των AB ,ΒΓ , ΑΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι τα τόξα ΒΖ και ∆Ε έχουν κοινό μέσο .

2 2 2 2

ΑΓ ΒΓ ΑΓ −ΒΓ ΑΒΖΕ = ΖΓ −ΕΓ = − = =



Λύση

Πρώτα γράφουμε τις ισότητες που προκύπτουν από το γεγονός ότι τα σημεία Μ και Ν είναι

μέσα των τόξων ΑΓ και Β∆ αντίστοιχα.

Έτσι λοιπόν είναι:

1

2ΑΜ =ΜΓ = ΑΓ και

1

2ΒΝ = Ν∆ = Β∆

όποτε για τόξο ΜΝ έχουμε:

1 1 1( )

2 2 21 1 1 1 1

( )2 2 2 2 2

1 1 1 1 1( ) ( )

2 2 2 2 2

ΜΝ = ΑΝ −ΑΜ = ΑΒ+ΒΝ − ΑΓ = ΑΒ+ Β∆ − ΑΓ =

= ΑΒ+ Α∆ −ΑΒ − ΑΓ = ΑΒ− ΑΒ+ Α∆ − ΑΓ =

= ΑΒ+ Α∆ −ΑΓ = ΑΒ+ Γ∆ = ΑΒ+Γ∆

Λύση

i) Επειδή τα τόξα , ,AB BΓ Γ∆ ,∆Α είναι ανάλογα των αριθμών 1,2,4,5

θα ισχύει ότι

00

1 2 4 5

36030

1 2 4 5 12

AB B

AB B

Γ Γ∆ ∆Α= = = =

+ Γ +Γ∆ + ∆Α= = =

+ + +

3)Σε κύκλο με κέντρο Κ θεωρούμε τρία σημεία Α, Β και Γ τέτοια ώστε AB ,Γ∆ ,να είναι

διαδοχικά και να έχουν άθροισμα μικρότερο του ημικύκλιου. Αν Μ είναι το μέσο του τόξου

Α∆ και Ν το μέσο του τόξου Β∆ , να αποδείξετε ότι

1( )

2ABΜΝ = +Γ∆

4)Σε ένα κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε με τη σειρά τα σημεία Α,Β,Γ και Δ , ώστε τα τόξα

, ,AB BΓ Γ∆ και ∆Α να είναι ανάλογα των αριθμών 1,2,4 και 5.

i)Να βρεθούν τα μετρά των τόξων αυτών

ii) Να αποδειχθεί ότι ΟΑ ⊥ ΟΓ .

iii) Nα αποδειχθεί ότι τα σημεία Ο,Β και Δ είναι συνευθειακα.

iv)Τι γωνία σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών ΒΟΓ και ΓΟ∆ .



Άρα

0 030 30

1

ABAB= ⇔ = ,

0 030 60

2

BΓ= ⇔ ΒΓ = ,

0 030 120

4

Γ∆= ⇔ Γ∆ = ,

0 030 150

5

∆Α= ⇔ ∆Α =

ii) Είναι

0 0 030 60 90ΑΟΓ = ΑΟΒ+ΒΟΓ = + =

διοτι 030ΑΟΒ = ΑΒ = και 060ΒΟΓ = ΒΓ =

iii) Επειδή 0 0 060 120 180ΒΟ∆ = ΒΟΓ+ΓΟ∆ = + = τα σημεία Β.Ο.Δ είναι συνευθειακα.

iv) Οι γωνιές ,ΒΟΓ ΓΟ∆ είναι εφεξής και παραπληρωματικές , οπότε οι διχοτόμοι τους

τέμνονται κάθετα. (σχηματίζουν γωνία 090 ).


1)Το άθροισμα της συμπληρωματικής και της παραπληρωματικής μια γωνίαςω είναι 170ο .Να

υπολογίσετε την γωνία ω .

2)Να βρεθεί το μέτρο μιας γωνίας ω της οποίας η συμπληρωματική είναι τα 2

11 της

παραπληρωματικής της .

3)Σε κύκλο (Κ,ρ) δίνονται τα διαδοχικά τόξα 082ΑΒ = , 098ΒΓ = και 030Γ∆ = .Να αποδείξετε ότι

τα σημεία Α,Γ του κύκλου είναι αντιδιαμετρικα και να υπολογίσετε την γωνίαΑΚ∆ .

4)Υπολογίστε το μέτρο της διαφοράς της συμπληρωματικής μιας γωνίας από την

παραπληρωματική της .

5) Σε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και κέντρου Κ φέρουμε μια ακτίνα ΚΓ και τις διχοτόμους των

γωνιών ΑΚΓ και ΒΚΓ , οι οποίες τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία Μ και Ν .Να αποδείξετε ότι

το τόξο ΜΝ είναι τεταρτοκύκλιο.

6)Δίνεται γωνία 0100∧

ΑΟΒ = και η ημιευθεια ΟΜ , που περιέχεται στην γωνία και ισχύει

2 3 .∧ ∧

ΜΟΑ = ΜΟΒ

Να υπολογίσετε τις γωνίες ∧

ΜΟΑ , .∧

ΜΟΒ

7) Σε ένα ημικύκλιο διαμέτρου ΑΟΒ θεωρούμε τα σημεία Γ και Δ ώστε 0100ΑΒ = και

0120Β∆ = .Να βρείτε το μέτρο των τόξων Γ∆ και την γωνία ΓΟ∆ .

8)Να υπολογίσετε τα μέτρα των διαδοχικών τόξων , ,ΑΒ ΒΓ Γ∆ και ∆Α ενός κύκλου , όταν είναι

ανάλογα με τους αριθμούς 2,3,5 και 6 αντίστοιχα.



9)Τα διαδοχικά τόξα , ,ΑΒ ΒΓ ΓΑ έχουν μέτρα που είναι ανάλογα των αριθμών 2,4 και 6

αντίστοιχα.

i)Να υπολογίσετε τα μέτρα τους .

ii) Να αποδείξετε ότι το μέσο της χορδής ΑΓ είναι το κέντρο του κύκλου πάνω στον οποίο

βρίσκονται τα τόξα αυτά.

10)Με βάση τον διπλανό κύκλο με κέντρο Ο , του οποίου οι ακτίνες ΟΒ και ΟΓ είναι κάθετες , να

αποδείξετε ότι:

i) αν είναι 090ΑΒ+∆Γ = , τα σημεία Δ,Ο και Α είναι

συνευθειακα .

ii) αν είναι 0180′ ′Α Β+ ∆ Γ = , το τοξο ′ ′Α ∆ είναι τεταρτοκύκλιο.

11)Αν στο διπλανό κύκλο είναι 060AB = και τα σημεία Α και Γ είναι αντιδιαμετρικα τότε:

α)Να υπολογίσετε το τόξο BΓ .

β)Αν Κ και Λ είναι τα μέσα των τόξων AB και BΓ αντίστοιχα

να αποδείξετε ότι ΟΕ ⊥ Ο∆ .

12)Για τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ και Δ ενός κύκλου να αποδείξετε ότι:

α) ΑΓ+Β∆ = Α∆ +ΒΓ

β)Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ και Ν το μέσο του Γ∆ τότε να δείξετε ότι

2

Α∆+ΒΓΜΝ =

13)Θεωρούμε ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ και κέντρουΚ. Φέρουμε την ακτίνα ΚΓ ⊥ ΑΒ και μια

ακτίνα ΚΔ, οπού Δ σημείο του τόξου ΑΓ .Αν οι διχοτόμοι των γωνιών ΒΚ∆ και ΓΚ∆ τέμνουν το

ημικύκλιο στα σημεία Μ και Ν , να αποδείξετε ότι 045ΜΝ =



ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ. Τότε:

Tα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι από τις κορυφές Α, Β και Γ

συμβολίζονται με α, β και γ αντίστοιχα.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ (όπως και σε κάθε τρίγωνο) έχουμε επίσης

τις διάμεσους, τις διχοτόμους και τα ύψη του τριγώνου. Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά (με μήκος) α

συμβολίζεται με μα. Όμοια ορίζονται και οι διάμεσοι μρ και

μγ που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ αντίστοιχα. Η διχοτόμος της γωνίας Α συμβολίζεται με δα. Όμοια

ορίζονται και οι διχοτόμοι δβ και δγ των

γωνιών Β και Γ αντίστοιχα.

τα σημεία Α, Β και Γ λέγονται κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ,

τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ λέγονται πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ,

οι γωνίες ΒΑ Γ, ΑΒΓ και ΑΓΒ λέγονται γωνίες του τριγώνου και συμβολίζονται με Α, Β και Γ


Διάμεσο ενός τριγώνου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τρι-

γώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Διχοτόμο μιας γωνίας τριγώνου ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που έχει για ένα άκρο μια

κορυφή του τριγώνου και για άλλο άκρο το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την

απέναντι πλευρά.



Το ύψος που φέρνουμε προς την πλευρά α

συμβολίζεται με υα.

Όμοια ορίζονται και τα ύψη υβ και υγ που φέρνουμε

προς τις πλευρές β και γ αντίστοιχα. Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου, ενώ οι

διάμεσοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι του λέγονται δευτερεύοντα στοιχεία του.

Οι γωνίες ενός τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα

μιας πλευράς του λέγονται προσκείμενες σε αυτήν την

πλευρά. Η γωνία που δεν είναι προσκείμενη σε μια

πλευρά λέγεται απέναντι γωνία της πλευράς

αυτής ή περιεχόμενη στις δύο πλευρές.

Έτσι, οι γωνίες Α και Β στο διπλανό σχήμα είναι προ-

σκείμενες στην πλευρά ΑΒ, ενώ η γωνία Γ είναι η

απέναντι της περιεχόμενη των πλευρών ΑΓ και ΓΒ.

Αν οι πλευρες της γωνίας ∧

Γ προεκταθούν προς το μέρος του σημείου Γ , τότε σχηματίζονται

δυο γωνίες , οι ,χ ψ∧ ∧

ΑΓ ΒΓ που είναι εξωτερικές του τρίγωνου ΑΒΓ , ίσες(ως κατακορυφην),

εφεξής και παραπληρωματικές της γωνίας ∧

Γ .Καθεμία από αυτές λέγεται αντίστοιχη

εξωτερική της γωνίας ∧

Γ και συμβολίζεται εξωτ

∧

Γ .

Ανάλογα ορίζονται οι εξωτ

∧

Α , εξωτ

∧

Β

• Ύψος ενός τριγώνου ονομάζουμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια

κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά του.



ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥΣ.

Ένα τρίγωνο ως προς τις πλευρές χαρακτηρίζεται:

Ισόπλευρο όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες .

Ισοσκελές όταν έχει δυο πλευρές του ίσες .

Σκαληνό όταν έχει τρεις πλευρές άνισες.

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνιές τους

Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες χαρακτηρίζεται:

ορθογώνιο όταν έχει μια γωνία ορθή.

αμβλυγώνιο όταν έχει μια γωνία αμβλεία.

οξυγώνιο όταν έχει και τις τρεις γωνιές του οξείες .

Ισότητα τριγώνων

Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν μετά από μετατόπιση εφαρμόζουν σε όλα τους τα σημεία

.Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δυο ίσα

τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις

γωνιές τους ίσες μια προς μια και

μάλιστα σε δυο ίσα τρίγωνα ισχύει ότι

απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται

ίσες γωνιές και αντίστροφα.

Αν δυο τρίγωνα έχουν τις γωνιές τους

ίσες μια προς μια, τότε οι ίσες γωνιές

λέγονται ομόλογες ή αντίστοιχες

γωνιές , οι δε πλευρές τους που

βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνιές

λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες

πλευρές .

Σκαληνό Ισόπλευρο

οξυγώνιο αµβλυγώνιο ορθογώνιο

Ισοσκελές



ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π). (Π - Γ - Π νσημαίνει πλευρά - γωνία - πλευρά).

Δηλαδή, αν για τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει ότι

ΑΒ= ΔΕ, ΑΓ = ΔΖ και Α = ∆

τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Άμεση συνέπεια της ισότητας των

τριγώνων ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι οι ισότητες:

ΒΓ = ΕΖ

(αντίστοιχες πλευρές των γωνιών Α και Δ)

ɵΒ = Ε και ɵ Γ = Ζ

(αντίστοιχες γωνίες των ίσων πλευρών)

Από το 1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π - Γ - Π) προκύπτουν τα παρακάτω πορίσματα:

Δηλαδή, αν στο τρίγωνο ΑΒΓ

είναι ΑΒ = ΑΓ, τότε Β = Γ.

Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν δυο πλευρές του ενός τριγώνου είναι ίσες μία προς μία με

δύο πλευρές του άλλον τριγώνου και οι περιεχόμενες στις πλευρες αυτες γωνίες είναι

ίσες.

πόρισμα 1 Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς

μία, τότε είναι ίσα.

πόρισμα 2: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσης.



Δηλαδή, αν είναι ΑΒ = ΑΓ και Αι = Α2

(δηλαδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α),

τότε ισχύει ότι ΒΔ = ΔΓ και ΑΔ 1 ΒΓ.

Δηλαδή, αν είναι ΑΒ = ΒΓ = ΑΓ, τότε Α = Β = Γ.

Δηλαδή, αν η ευθεία ε είναι μεσοκάθετη του ευθύγραμμου

τμήματος ΑΒ και Μ ένα οποιοδήποτε σημείο της ε,

τότε είναι ΜΑ = MB.

.

Δηλαδή, αν είναι ΑΒ = ΓΔ, τότε ΑΒ = ΓΔ.

πόρισμα 3 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι επίσης

διάμεσος και ύψος.

πόρισμα 4 Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες.

Πόρισμα 5 Κάθε σημείο της μεσοκάθετης ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από

τα άκρα του

Πόρισμα 6 :Σε ίσα τόξα ενός κύκλου ή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσες χορδές



2ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Γ-Π-Γ).

(Γ - Π - Γ, που σημαίνει γωνία - πλευρά - γωνία).

Δηλ για τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ ισχύει:

ΒΓ=ΕΖ, ɵΒ = Ε και ɵ Γ = Ζ .

Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Π-Π). (Π - Π - Π, που σημαίνει πλευρά - πλευρά – πλευρά ).

Δηλ για τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ ισχύει:

ΒΓ=ΕΖ, ΑΒ=ΕΖ,και ΑΓ =ΔΖ.

Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

Άμεσα προκύπτουν τα επόμενα θεωρήματα

Δηλαδή , αν είναι ΑΒ=ΔΓ,

τότε ΑΒ = ∆Γ

Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου και οι

προσκείμενες γωνίες στις πλευρές αυτές είναι ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι

ίσα .

Αν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με τις πλευρές ενός αλλού

τριγώνου , τότε τα δυο τρίγωνα είναι ίσα.

θεώρημα 1 :Σε ίσες χορδές ενός κύκλου η ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσα τόξα.



Δηλαδή , αν στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και η ΑΔ είναι η

διάμεσος του , τότε η ΑΔ είναι επίσης διχοτόμος ,

δηλαδή 1 2Α = Α και υψος δηλαδη Α∆ ⊥ ΒΓ .

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Αν για τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ

ισχύουν ,για παράδειγμα , ότι ΑΓ=ΔΖ , δηλαδή

έχουν από μια κάθετη πλευρά ίση , και ΒΓ=ΕΖ,

δηλαδή έχουν τις υποτείνουσες ίσες , τότε τα

τρίγωνα είναι ίσα.

Για παράδειγμα , αν για τα ορθογώνια τρίγωνα

ΑΒΓ και ΔΕΖ ισχύει, ΒΓ=ΕΖ και ɵ Γ = Ζ , τότε τα

τρίγωνα είναι ίσα

θεώρημα 2

Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου που άγεται από την κορυφή του είναι επίσης

υψος και διχοτόμος .

θεώρημα 1

Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δυο οποιεσδήποτε πλευρές τους ίσες .

θεώρημα 2

Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τις υποτείνουσες ίσες και μια οξεία

γωνία ίση.



Το σημείο Ε ισαπεχει από τα άκρα

του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ(ΑΕ=ΕΒ)

Δήλ αν Οδ είναι η διχοτόμος της γωνίας xoy και ΓΑ ,ΓΒ είναι οι

αποστάσεις ενός τυχαίου σημείου Γ της διχοτόμου τότε ΓΑ=ΓΒ.

(ισχύει και το αντίστροφο) Γ εσωτερικό σημείο της γωνίας χοy τέτοιο

ώστε ΓΑ=ΓΒ

τότε θα ανήκει στην διχοτόμο της xoy .

Δηλαδή αν σε ένα κύκλο με κέντρο το Ο είναι ΑΒ=ΓΔ και ΟΜ,ΟΝ

είναι οι αποστάσεις του κέντρου από τις χορδές (αποστήματα),

τότε θα είναι

ΟΜ=ΟΝ

θεώρημα 3

Κάθε σημείο που απέχει εξίσου από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει

στην μεσοκαθετο του τμήματος

θεώρημα 4

Κάθε σημείου της διχοτόμου μιας γωνίας απέχει εξίσου από τις πλευρές της γωνίας

και αντίστροφα.

θεώρημα 5

Το κέντρο ενός κύκλου ισαπεχει από ίσες χορδές και αντίστροφα.

Ε



Από τα παραπάνω θεωρήματα προκύπτουν τα παρακάτω πορίσματα

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) οπού το ΑΔ είναι το υψος του

τριγώνου που αντιστοιχεί στην βάση του τριγώνου ΒΓ ,άμεσα

συμπεραίνουμε ότι το ΑΔ είναι διχοτόμος και διάμεσος επίσης .

Στο διπλανό σχήμα Μ είναι μέσο της χορδής ΑΒ και το Γ το μέσο του τόξου ΑΒ .

Πόρισμα 1

Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που άγεται από την κορυφή του είναι διάμεσος και

διχοτόμος .

Πόρισμα 2

Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διέρχεται από το μέσο της

χορδής και του αντιστοίχου τόξου.

Χρήσιμες παρατηρήσεις Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα ή δύο γωνίες είναι ίσες η πιο

συνηθισμένη τακτική που ακολουθούμε είναι η σύγκριση τριγώνων.

Διαδοχικά εκτελούμε τις παρακάτω ενέργειες :

Κατασκευάζουμε ένα ικανοποιητικό (όσο πιο ακριβές είναι δυνατόν) σχήμα.

Εντοπίζουμε δύο τρίγωνα, τα οποία με μια πρώτη παρατήρηση να δείχνουν ίσα και να έχουν

απαραίτητα ως στοιχεία τα ζητούμενα τμήματα ή τις ζητούμενες γωνίες.

Tα παραπάνω τρίγωνα πρέπει οπωσδήποτε ανάμεσα στα ίσα στοιχεία τους να έχουν και μια

πλευρά . Μόνο με ισότητα γωνιών δεν προκύπτει ποτέ ισότητα τριγώνων.

Ενδεχομένως τα ίσα στοιχεία των δύο τριγώνων που συγκεντρώθηκαν για τη σύγκριση, να μην

αρκούν. Σ' αυτές τις περιπτώσεις πιθανόν να απαιτείται πρώτα η σύγκριση δύο άλλων τριγώνων, τα

οποία να είναι τελικά ίσα και να μας εφοδιάσουν με νέα δεδομένα.

.



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Απόδειξη: Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)

και τα ύψη του ΒΔ, ΓΕ. Θα αποδείξουμε ότι ΒΔ=ΓΕ.

Tα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ, ΓΕ είναι πλευρές

των τριγώνων ΑΒΔ, ΑΓΕ αντίστοιχα. Tα τρίγωνα

αυτά είναι ορθογώνια (Δ=Ε = 90°), έχουν

ίσες υποτείνουσες (ΑΒ = ΑΓ) και την οξεία γωνία Α κοινή.

Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα

και επομένως ΒΔ=ΓΕ.

Παρατήρηση: Η παραπάνω απόδειξη έγινε για οξυγώνιο ισοσκελές

τρίγωνο. Ανάλογα αποδεικνύεται όταν το ισοσκελές τρίγωνο είναι

α) ορθογώνιο, β) αμβλυγώνιο. Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση, τι μπορείτε να

συμπεράνετε για τα ύψη ισόπλευρου τριγώνου;

Λύση:

Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΔΕ, ΓΕΖ και ΑΔΖ.

Tα τρίγωνα αυτά έχουν

i) ΒΔ=ΓΕ=ΑΖ.

ii) BE = ΓΖ = ΑΔ, ως αθροίσματα ίσων τμημάτων.

iii) ɵ1 1 1Α = Β = Γ , ως παραπληρωματικές των ίσων

γωνιών ɵ, ,Α Β Γ του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ.

Από την ισότητα των τριγώνων ΒΔΕ, ΓΕΖ και ΑΔΖ,

προκύπτει ότι ΔΕ =ΕΖ = ΖΔ και επομένως

το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

1)Nα αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του

είναι ίσα.

2) Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΛΒΓ προεκτείνουμε τις πλευρές του ΛΒ, ΒΓ και ΓΑ προς τις

κορυφές Β, Γ και Α αντίστοιχα. Στις προεκτάσεις αυτές παίρνουμε αντίστοιχα τα ίσα

τμήματα ΒΔ, ΓΕ και ΑΖ. Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.



Λύση

Tα τρίγωνα ΒΓΔ και ΒΓ'Δ' είναι ίσα, γιατί έχουν

ΒΓ = ΒΓ/, ΒΔ = Β'Δ'

και 1 1 'Β = Β (ως μισά των ίσων γωνιών Β και Β').

Από την ισότητα αυτών των τριγώνων, προκύπτει ότι ɵ ɵ 'Γ = Γ . Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β' Γ' είναι ίσα

γιατί έχουν ΒΓ = ΒΓ/, 'Β = Β , ɵ ɵ 'Γ = Γ .(Γ-Π-Γ)

Λύση

Φέρνουμε τις ΒΔ⊥ ΑΜ και ΓΕ⊥ ΑΜ. Θα αποδείξουμε ότι οι αποστάσεις ΒΔ και ΓΕ είναι ίσες. Tα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα, γιατί I) ΒΜ=ΓΜ , αφού το Μ είναι μέσο της ΒΓ.

ii) 1 2Μ =Μ ως κατακορυφήν.

Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ΒΔ=ΓΕ.

Λύση

Φέρνουμε τις ακτίνες ΟΓ και ΟΒ .Τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα , διότι

ΑΒ=ΑΓ , ΟΒ=ΟΓ και η ΑΟ είναι κοινή .Άρα ΒΑΓ = ΓΑΟ .Αυτό σημαίνει

ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΟ είναι διχοτόμος της γωνίας Α .Άρα ΑΟ ⊥ ΒΓ .

3) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β' Γ' έχουν α=α', 'Β = Β και 'β βδ δ= και να αποδείξετε ότι

είναι ίσα.

4) Nα αποδείξετε ότι οι κορυφές Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν από τη διάμεσο AM.

5) Ένα σημείο Α, εσωτερικό ενός κύκλου (0,R),ισαπεχει από δυο σημεία Β και Γ του

κύκλου .να αποδειχθεί ότι ΑΟ ⊥ ΒΓ



Λύση

Θεωρούμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και παίρνουμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των

πλευρών ΒΓ,ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα.

Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές.

Tα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν:

i) ΒΔ=ΓΔ, αφού το Δ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ.

ii) ΒΖ=ΓΕ, ως μισά των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ.

iii) ɵΒ = Γ , ως προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου.

Από την ισότητα των τριγώνων αυτών συμπεραίνουμε ότι ΔΕ = ΔΖ και

επομένως το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. Λυση Φέρνουμε τις ΑΓ και ΒΔ. Tα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΓΔ είναι ίσα, διότι:

• ΑΔ = ΒΓ,

• η ΓΔ είναι κοινή και

• ɵ∆ = Γ ( Α∆Γ = ΒΓ∆ ).

Άρα ΑΓ = ΒΔ(1).

Συγκρίνουμε τώρα τα τρίγωνα ΔΑΒ και ΓΑΒ. Αυτά έχουν:

• ΔΑ = ΓΒ,

• ΔΒ = ΓΑ, λόγω της σχέσης (1) και

• η ΑΒ είναι κοινή.

Tα τρίγωνα ΔΑΒ και ΓΑΒ είναι επομένως ίσα, οπότε Α = Β

Λύση

Αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΜ ,ΑΓΜ διαπιστώνουμε ότι είναι ίσα

,ΑΒΜ=ΑΓΜ.

(διότι ΑΒ=ΑΓ,ΑΜ κοινή πλευρά και 21Α = Α Π-Γ-Π)

Όμοια έχουμε ΑΒΝ=ΑΓΝ. αφού έχουν τις πλευρές τους ίσες μια προς

μια .

Άρα ΜΒΝ =ΜΓΝ

6) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών ισοσκελούς

τριγώνου είναι ισοσκελές

7) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΔ=ΒΓ και ɵ∆ = Γ .Να αποδειχθεί Α = Β

8) Αν Μ και Ν είναι δυο σημεία του φορέα της διχοτόμου ΑΔ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ

(ΑΒ=ΑΓ) , να δειχτεί ότι ΜΒΝ =ΜΓΝ .



Λύση

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΗΑΜ και ΘΔΝ είναι ίσα διότι ΑΜ=ΔΝ και ΑΗ=ΔΘ. Επομένως

ΑΜΒ = ∆ΝΕ .

Είναι όμως ΒΓ=ΕΖ και οι ΑΜ και ΔΝ είναι διάμεσοι .

Άρα

ΜΒ=ΝΕ και ΜΓ=ΝΖ

Τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΔΝΕ είναι ίσα , καθώς

και τα τρίγωνα ΑΜΓ και ΔΝΖ , αφού:

ΑΜ=ΔΝ,ΜΒ=ΝΕ και ΑΜΒ = ∆ΝΕ

ΑΜ=ΔΝ,ΜΓ=ΝΖ και ΑΜΓ = ∆ΝΖ

Άρα ΑΒ=ΔΕ και ΑΓ=ΔΖ .Έτσι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι

ίσα ,

διότι έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μια προς μια.

Λύση

i)Φέρνουμε τα αποστήματα ΟΜ και ΟΝ των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα. Επειδη οι χορδές

αυτές είναι ίσες , θα είναι και ΟΜ=ΟΝ.

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΜΟΣ και ΝΟΣ έχουν την ΟΣ κοινή και ΟΜ=ΟΝ. Άρα είναι ίσα

.Επομένως θα ισχύει ΣΜ=ΣΝ.

Είναι όμως ΜΒ=ΝΔ , ως μισά ίσων τμημάτων ( τα αποστήματα είναι μεσοκαθετοι των χορδών

).Άρα

ΣΜ-ΜΒ=ΣΝ-ΝΔ⇔ ΣΒ=ΣΔ.

ii)Από την ισότητα των τριγώνων ΟΜΣ και ΟΝΣ

προκύπτει ότι ΟΣΜ =ΟΣΝ .Έτσι η ΣΟ θα διχοτομεί

την γωνία ɵΣ .Επειδή ακόμα ΣΒ=ΣΔ και ΒΑ=ΔΓ ,

το τρίγωνο ΣΑΓ είναι ισοσκελές .Επομένως

η διχοτόμος ΣΟ της γωνίας ɵΣ θα είναι κάθετη

στην πλευρά ΑΓ.

9) Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ με ΒΓ=ΕΖ τα ύψη τους ΑΗ και ΔΘ και τις διαμέσους

ΑΜ και ΔΝ .Αν ΑΗ =ΔΘ και ΑΜ=ΔΝ, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα.

10)Δίνονται δυο ίσες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου κέντρου Ο , των οποίων οι

προεκτάσεις προς τα σημεία Β και Δ τέμνονται στο σημείο Σ . Να αποδειχθεί ότι

i)ΣΒ=ΣΔ και ii) ΣΟ ⊥ ΑΓ



Λύση

Τα τρίγωνα ΜΔΕ και ΜΔΖ είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια , έχουν την ΜΔ κοινή και ΜΕ=ΜΖ

.Άρα:

Μ∆Β =Μ∆Γ

Δηλαδή ɵ1 2φ φ φ= = . Στο τρίγωνο ΔΒΓ η ΔΜ είναι διάμεσος και διχοτόμος

, οπότε το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές .

Άρα ΔΒ=ΔΓ. Τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι ίσα , διότι έχουν την ΑΔ

κοινή , ΔΒ=ΔΓ και Α∆Β = Α∆Γ ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών

1 2,φ φ .

Άρα ΑΒ=ΑΓ.

Λύση

Φέρουμε τις ∆Κ ⊥ ΒΓ ,ΕΜ ⊥ ΒΓ και την ΑΗ ⊥ ΒΓ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΗ και ΔΒΚ είναι ίσα οπότε

ισχύει ΔΚ=ΑΗ.

Ομοίως , από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΑΓΗ

και ΕΓΜ , έχουμε ΕΜ=ΑΗ.

Άρα ΔΚ=ΕΜ.

Λύση Είναι ΑΓ=ΒΔ = ρ ως ακτίνες των ημικυκλίων (Α, ρ)

και (Β, ρ) αντίστοιχα. Επομένως είναι και ΑΓ = Β∆ .

Στο ημικύκλιο (Ρ) οι επίκεντρες γωνιες

ΑΟΓ και ΒΟ∆ βαίνουν στα ίσα τόξα ΑΓ και Β∆


Άρα είναι ΑΟΓ = ΒΟ∆ .

11) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε την διάμεσο ΑΜ , τυχαίο σημείο Δ αυτής ,

ΜΕ ⊥ ∆Β ΜΖ ⊥ ∆Γ .Αν ΜΕ =ΜΖ να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές .

12) Αν προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ κατά ευθύγραμμα τμήματα

ΒΔ=ΑΒ και ΓΕ=ΑΓ .Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ και Ε απέχουν εξίσου από την ευθεία

ΒΓ.

13) Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου ΑΒ=2ρ και κέντρου Ο. Με κέντρα τα Α, Β και

ακτίνα ρ γράφουμε τα ημικύκλια που τέμνουν το ημικύκλιο (Ο, ρ)

στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Nα αποδείξετε ότι: ΑΟΓ = ΒΟ∆ .



ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1)Είναι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισοσκελές; ισχύει το αντίστροφο;

2)Όταν δυο τρίγωνα έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες ναι προς μια είναι ίσες ;

3)Να βρεθεί ένα σημείο το οποίο να ισαπεχει από τα σημεία Α,Β,Γ του

σχήματος

4)Υπάρχει τρίγωνο στο οποίο τα τρία ύψη συμπίπτουν με τις διχοτόμους

και τις διαμέσους ;

5) Τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος έχουν μια

γωνία ίση και τις δυο πλευρές ίσες μια προς μια .Γιατί

δεν είναι ίσα.

6)Είναι δυνατόν σε ένα τρίγωνο ένα ύψος του να

είναι ταυτόχρονα και πλευρά του ;

7) Ποια σχέση έχουν μεταξύ τους οι εξωτερικές γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου ;

8)Έστω Δ ένα εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ .Βρείτε την γραμμή στην οποία ανήκει το Δ αν:

α)ΔΒ=ΔΓ

β)Το Δ ισαπέχει από τις ΑΒ και ΒΓ.

9)Βρείτε το σημείο της ευθείας ε που απέχει εξίσου από τις πλευρές της γωνίας ΑΟΒ

10)Με την βοήθεια του διπλανού σχήματος να απαντήσετε στις παρακάτω

ερωτήσεις :

α)Αν ΑΒ=ΑΓ ποιες γωνίες είναι ίσες ;

β)Αν ΑΒΓ = ΑΓΒ ποιες πλευρές είναι ίσες ;

γ)Αν ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ ποιες γωνίες είναι ίσες και πόσες μοίρες είναι η καθεμιά;

δ)Αν Α∆ ⊥ ΒΓ μπορούμε να φέρουμε άλλη κάθετη από το Α προς την ΒΓ;

ε)Αν ΒΑ∆ = ∆ΑΓ και ΑΒΓ = ΑΓ∆ μπορούμε να πούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ

και ΑΔΓ είναι ίσα;

στ)Αν 125οεξΒ = να υπολογίσετε την ɵ

εξΓ .




1)Έστω δυο ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒ’ Γ’ με κορυφή το Α έχουν ' 'ΒΑΓ = Β ΑΓ .Να δειχθεί

ότι ΒΒ’=ΓΓ’ η ΒΓ’=Β’Γ.

2)Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ κατά ίσα τμήματα

ΒΔ ,ΓΕ. Να δειχθεί ότι ΓΔ=ΕΒ και ∆ΓΕ = ΕΒ∆

3)Τα μέσα των πλευρών ισοπλεύρου τριγώνου σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο .

4)Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α’Β’Γ’ έχουν α=α’,β=β', 'α αµ µ= τότε είναι ίσα.

5)Το μέσο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ισαπεχει από τις ίσες πλευρές του .

6) Αν το μέσο μιας πλευράς τριγώνου προβάλλεται στις άλλες δυο πλευρές του και ισαπέχει

από αυτές , τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

7)Στις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε τέτοια ώστε

ΑΔ=ΑΕ. Να δειχθεί ότι τα Δ και Ε ισαπεχουν από την ΒΓ και από τα άκρα της .

8)Δίνεται σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ , η διχοτόμος του ΑΔ και πάνω στην ημιευθεια ΑΔ τα σημεία Ε,

Ζ ώστε ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ =ΑΓ. Να αποδειχθεί ότι ΑΓΕ = ΑΖΒ .

9)Στο διπλανό σχήμα η ΟΜ είναι διχοτόμος της γωνίας Ο ,ΟΑ=ΟΓ και

ΟΒ=ΟΔ. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΓΔ είναι ίσα.

10) Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φέρνουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ, τα οποία τέμνονται

στο σημείο Ι.

Να αποδειχθεί ότι:

i) ΑΙ ⊥ ΒΓ ii) ΑΙ ⊥ ∆Ε

11) Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος , στο οποίο είναι ΑΜ=ΜΒ , ΜΓ=ΜΔ και ΑΓ=ΒΔ , να

αποδείξετε ότι :

α)Τα τρίγωνα ΑΓΜ και ΒΔΜ είναι ίσα και να γράψετε τις γωνίες

τους που είναι αντίστοιχα ίσες.

β)Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές .

γ)ΔΜΑ=ΓΜΒ.

δ) τα τρίγωνα ΑΚΜ και ΒΜΛ είναι ίσα,

ε)Το τρίγωνο ΚΟΛ είναι ισοσκελές.



12)Δυο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν ίσες περιμέτρους , ΑΓ= ΔΖ και ɵ Γ = Ζ .

Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

13)Δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν από μια κάθετη πλευρά ίση και ίσες περιμέτρους .Να

αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

14)Δυο ίσες χορδές ΑΒ και ΓΔ ενός κύκλου κέντρου Ο τέμνονται στο εσωτερικό σημείο Θ του

κύκλου , ώστε το Ο να είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας ∆ΘΒ .

Να αποδείξετε ότι ΟΘ ⊥ ΑΓ .

15)Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τις γωνίες Α και ɵΓ .Να αποδείξετε ότι

ΑΓ ⊥ Β∆ .

16)Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΔ=ΔΜ και ΒΔ=ΒΜ=ΜΓ. Να αποδείξετε ότι :

α) BΑ∆ = ∆ΜΓ

β)ΑΒ=ΔΓ

17)Στο διπλανό σχήμα οι κύκλοι με κέντρα τα σημεία Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Α και Β .

α)Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΛ και ΚΛΒ είναι ίσα.

β) Αν Μ είναι το μέσο της χορδής ΑΒ , να αποδειχθεί ότι

τα σημεία Κ,Λ,Μ είναι συνευθειακα.

18)Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΑΓ και

BΑ∆ = ∆ΑΕ = ΕΑΓ .

Να αποδείξετε ότι :

α)ΑΔ=ΑΕ β) ΒΕ=ΓΔ

γ) τα σημεία Δ και Ε απέχουν ίσες αποστάσεις από τις

πλευρές ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα.



19) Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ . Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς τα

Β και Γ αντίστοιχα) θεωρούμε τμήματα ΒΔ και ΓΕ τέτοια ώστε ΓΕΒ∆ = . Αν οι ΓΔ και ΒΕ

τέμνονται στο Η να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΗΓ είναι ισοσκελές .

20)Σε ένα τρίγωνα ΑΒΓ είναι ɵ2Β = Γ και α=2γ.

α)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

β)Να βρεθούν οι γωνιές Β και ɵΓ .

(Υποδειξη : Να φερετε διχοτομο ΒΔ και διαμεσο ΔΜ)

21)Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το υψος ΓΗ και η διάμεσος ΒΚ είναι ίσα τμήματα .Αν

ΓΒΚ = ΒΓΗ να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

Το ηξερες ότι …

Το Νοέμβριο του 1959, στο σεμινάριο του Royaumont για τη μεταρρύθμιση της διδασκαλίας

των Μαθηματικών της Μέσης Εκπαίδευσης που είχε διοργανωθεί από τον Ο.Ο.Σ.Α, ο Γάλλος

μαθηματικός Jean Dieudonne(1906-1992), ηγετικό στέλεχος των Bourbaki και αναμφισβήτητη

«αυθεντία» της σύγχρονης μαθηματικής κοινότητας, είχε εκφράσει με τον πιο ακραίο τρόπο

το πνεύμα εκείνης της μεταρρύθμισης, εκφωνώντας το περιβόητο σύνθημα «Να φύγει ο

Ευκλείδης!».

Με το σύνθημα αυτό ο Dieudonne επιχειρούσε ουσιαστικά να καταργήσει τη

μεγάλη παράδοση που είχε εγκαινιάσει το 1792 ο συμπατριώτης του, A.M. Legendre,

με το βιβλίο «Στοιχεία Γεωμετρίας» , το οποίο εκσυγχρόνισε το κλασικό έργο του

Ευκλείδη και συνέβαλε αποφασιστικά στηστη διάδοση της διδασκαλίας της Ευκλείδειας

Γεωμετρίας σε όλο τον κόσμο.

Η λεγόμενη μεταρρύθμιση των «Νέων Μαθηματικών» κατάφερε τελικά να ε-

κτοπίσει την Ευκλείδεια Γεωμετρία, ως αυτόνομο μάθημα από τα αναλυτικά προ-

γράμματα διδασκαλίας των Μαθηματικών στις περισσότερες χώρες του κόσμου, χω-

ρίς, όμως, να προσφέρει κάποια ισότιμη εναλλακτική λύση. Σήμερα, 45 χρόνια μετά,

ενώ βασικές επιλογές εκείνης της μεταρρύθμισης έχουν αποτύχει όπως για παράδειγ-

μα η έμφαση στη διδασκαλία των συνόλων και των αλγεβρικών δομών, κάποιες άλ-

λες, δικαίως, επιβιώνουν όπως η διδασκαλία της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων,

του Διανυσματικού Λογισμού, της Γραμμικής Άλγεβρας. Η κατάσταση στο χώρο της

Γεωμετρίας παραμένει διεθνώς «θολή». Για αυτή την κατάσταση ο Άγγλος μαθημα-

τικός και παιδαγωγός Douglas Quadling είπε: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κε-

νό που άφησε πίσω του επικρατεί χάος»

Αλλωστε είναι γεγονος ότι στην Ρωσια ποτε δεν καταργηθηκε η Ευκλειδεια Γεωμετρια στην

μεση εκπαιδευση,εκει το επιπεδο των αποφοιτων είναι πολύ υψηλο και τασχολικα τους

εγχειριδια αποτελουν σημεια αναφορας …



ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ

Παραδείγματα γνωστών γεωμετρικών τόπων

i)Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν από ένα

σταθερό σημείο Ο σταθερή απόσταση ρ ,

είναι ο κύκλος (Ο,ρ).

ii)Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα

άκρα ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ , είναι η μεσοκαθετη του ΑΒ.

iii)Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου, που ισαπεχουν

από τις πλευρές μιας γωνίας , είναι η διχοτόμος της γωνίας .

Για να αποδείξουμε ότι ένα γεωμετρικό σχήμα είναι ο γεωμετρικός τόπος μιας ιδιότητας ,

εργαζόμαστε ως εξής :

α)Αποδεικνύουμε ότι κάθε σημείο που έχει την συγκεκριμένη ιδιότητα ανήκει στο γεωμετρικό

σχήμα.

β) Αντίστροφα , κάθε σημείο του γεωμετρικού σχήματος έχει την συγκεκριμένη ιδιότητα.

Ένα σύνολο σημείων του οποίου τα στοιχεια και μονό αυτά έχουν μια κοινή ιδιότητα

ονομάζεται γεωμετρικός τόπος της ιδιοτητας αυτής .




Λύση

Αν ονομάσουμε Δ το ζητούμενο σημείο τότε θα έχουμε :

ΔΑ=ΑΒ (1) και ΔΒ=ΑΒ (2)

Η ισότητα (1) μας λέει ότι το σημείο Δ θα βρίσκεται πάνω στον κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα

ΑΒ, ενώ η ισότητα (2) μας λέει ότι το Δ θα βρίσκεται

πάνω στον κύκλο με κέντρο Β και ακτίνα ΒΑ

Με κέντρα λοιπόν τα Α και Β κατασκευάζουμε δυο

κύκλους .Το σημείο στο οποίο τέμνονται είναι το

ζητούμενο σημείο γιατί απέχει από τα άκρα Α και Β

του ευθυγράμμου τμήματος απόσταση ίση με ΑΒ

Λύση

Έστω το ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με σταθερή βάση ΒΓ.Επειδη ΑΒ=ΑΓ η

κορυφή Α είναι σημείο Α είναι σημείο της μεσοκαθετου ε της ΒΓ.

Αντίστροφα

Έστω σημείο Δ της μεσοκαθετου ε της ΒΓ .Τότε είναι ΔΒ =ΔΓ.

Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκαθετος της ΒΓ

Ασκήσεις προς λύση

1)Ποιο σημείο στο εσωτερικό μιας γωνίας χοψ ισαπέχει από τις πλευρές της και απέχει από την

κορυφή της σταθερή απόσταση α;

2)Ποιο είναι εκείνο το σημείο στο εσωτερικό μιας γωνίας χοψ που ισαπεχει από τις πλευρές

της αλλά και από δυο σημεία Α και Β των πλευρών Οχ και Οψ αντίστοιχα.

3)Θεωρούμε τον κύκλο (Ο,ρ) και μεταβλητό του σημείο Κ.Αν Μ το μέσο της ακτίνας ΟΚ , να

βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ.

4)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων , οι οποίοι ορίζουν ίσες χορδές ΑΒ

και ΓΔ σε δυο τεμνομενες ευθείες ε και ε’ αντίστοιχα.

2)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών ισοσκελών τριγώνων ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ)

που έχουν σταθερή βάση ΒΓ.

1)Να βρείτε σημείο του επιπέδου το οποίο να απέχει από τα άκρα Α και Β ενός

ευθυγράμμου τμήματος απόσταση ίση με το μήκος του ΑΒ.



ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Για παράδειγμα στο διπλανό τρίγωνο για την εξωτερική

γωνία του

εξχΑΒ = Β ισχύει ότι :

ɵεξΒ > Γ και

εξΒ > Α

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει το παρακάτω πόρισμα:

Ισχύει ακόμα:

Άμεσα προκύπτει το παρακάτω πόρισμα

Μπορούμε να διατάξουμε τις γωνίες ενός τριγώνου από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη η

κι αντίστροφα χρησιμοποιώντας το παρακάτω θεώρημα:

Θεώρημα 1

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμιά από τις απέναντι πλευρές

Πόρισμα

Κάθε τρίγωνο μπορεί να έχει το πολύ μια αμβλεία η μια οξεία γωνία.

Θεώρημα 2

Αν ένα τρίγωνο έχει δυο γωνίες ίσες , τότε και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από

ίσες γωνίες θα είναι ίσες , δηλαδή το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές

Πόρισμα

Αν οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες , τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Θεώρημα 3

Σε κάθε τρίγωνο ,απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται η μεγαλύτερη γωνία και

αντίστροφα



Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος , στο οποίο απέναντι από

την πλευρά ΑΓ βρίσκεται η γωνία Β και απέναντι από την

πλευρά ΑΒ βρίσκεται η γωνία ɵΓ θα ισχύει ότι:

Αν ΑΒ<ΑΓ τότε ɵΓ < Β

Αν ɵΓ < Β τότε ΑΒ<ΑΓ

Άμεσα από τα παραπάνω προκύπτει το παρακάτω πόρισμα:

Τριγωνική Ανισότητα

Η τριγωνική ανισότητα διατυπώνεται ως εξής :

Για το διπλανό τρίγωνο στο οποίο είναι προφανές ότι ΑΓ<ΑΒ η

τριγωνική ανισότητα εκφράζεται ως εξής :

ΑΒ-ΑΓ<ΒΓ<ΑΒ+ΑΓ η γ-β <α <γ +β

Όταν δεν ξέρουμε την διάταξη μεταξύ των πλευρών

(ποια είναι μεγαλύτερη) κάνουμε χρήση απόλυτης τιμής στην

τριγωνική ανισότητα .

β γ α β γ− < < +

Με την βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας μπορούμε να ελέγξουμε αν τρία ευθύγραμμα

τμήματα μπορούν να σχηματίσουν ένα τρίγωνο.

Πόρισμα

α)Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις πλευρές του.

β)Η μεγαλύτερη πλευρά ενός αμβλυγωνίου τριγώνου είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι

από την αμβλεία γωνία του.

Θεώρημα 4

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δυο πλευρών και

μεγαλύτερη από την διαφορά τους .



Μια πιο απλή διατύπωση της τριγωνικής ανισότητα είναι:

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο από το άθροισμα των πλευρών οποιασδήποτε

τεθλασμένης γραμμής που έχει για άκρα τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος ‘’

ή

‘’Ο συντομότερος δρόμος που ενώνει δυο σημεία είναι η ευθεία’’

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΛΑΓΙΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Το σημείο Μ ονομάζεται ίχνος η ορθή προβολή του σημείου Α πάνω

στην ε

Στο διπλανό σχήμα αν είναιδ ε⊥ και ζ μια πλαγία ευθεία , τότε:

Το ΑΜ είναι το κάθετο τμήμα.

Το ΑΒ είναι το πλάγιο τμήμα.

Το ΜΒ λέγεται προβολή του ΑΒ πάνω στην ευθεία ε.

Το σημείο Μ λέγεται ίχνος της κάθετης , ενώ το σημείο Β λέγεται

ίχνος της πλάγιας πάνω στην ευθεία ε .

Θεώρημα 5

Από τυχαίο σημείο ευθείας ε μπορούμε να φέρουμε μια κάθετη προς την ευθεία , η

οποία είναι μοναδική

Θεώρημα 6

Από τυχαίο σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε μια κάθετη προς την ευθεία η

οποία είναι μοναδική.



Είναι ΑΜ<ΑΒ .

Ισχύει

Η απόσταση ενός σημείου που βρίσκεται εκτός ευθείας από την ευθεία είναι μικρότερη

από κάθε πλάγια που φέρνουμε από το σημείο προς την ευθεία.

Δηλαδή αν ΑΒ και ΑΓ είναι οι πλάγιες από το σημείο Α προς την

ευθεία ε και Μ το ίχνος της κάθετης από αυτό τότε:

-αν ΑΒ=ΑΓ , θα είναι ΒΜ=ΜΓ

-αν ΒΜ=ΜΓ, θα είναι ΑΒ=ΑΓ

Δηλαδή

-αν ΑΓ<ΑΔ τότε ΜΓ<ΜΔ

-αν ΜΓ<ΜΔ τότε ΑΓ<ΑΔ

Θεώρημα 7

Τα ίχνη δυο ίσων πλαγίων ευθυγράμμων τμημάτων που άγονται από το ίδιο σημείο προς

μια ευθεία ισαπεχουν από το ίχνος της κάθετης που άγεται από το σημείο αυτό και

αντίστροφα.

Θεώρημα 8

Τα ίχνη δυο άνισων πλαγίων τμημάτων που άγονται από το ίδιο σημείο προς μια ευθεία

απέχουν ομοίως άνισα από το ίχνος της κάθετης που άγεται από το σημείο και

αντίστροφα.




Απόδειξη

Προκειμένου να αποδείξουμε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και

ΔΒ , προσπαθούμε να εμφανίσουμε και τα δυο σαν πλευρές στο ίδιο

τρίγωνο.

Βασιζόμενοι κατόπιν στο γεγονός ότι κάθε σημείο της διχοτόμου

μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρες της γωνίας , φέρνουμε από

το σημείο Δ την ευθεία ΔΕ ⊥ ΑΓ .Τότε έχουμε ΔΕ=ΒΔ (1)

Εμφανίσαμε την ΒΔ ως πλευρά στο ορθογώνιο τρίγωνο

ΔΕΑ(Ε=90ο ).

Στο τρίγωνο όμως αυτό η ΔΒ είναι η υποτείνουσα οπότε είναι

ΔΒ >ΔΕ (2)

Άρα από (1) και(2) προκύπτει ότι

ΔΒ<ΑΔ η ΑΔ>ΔΒ

Χρήσιμη παρατήρηση

Για την σύγκριση τμημάτων η γωνιών πολλές φορές

χρησιμοποιούμε την παρακάτω πρόταση η οποία μας

δίνει μια σχέση ανισότητας για δυο τρίγωνα

Έχουμε :

Στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ στα οποία είναι

ΑΒ=ΔΕ και ΑΓ=ΔΖ , αν ισχύει

Α > ∆ τότε ΒΓ > ΕΖ και αντίστροφα

αν ΒΓ > ΕΖ τότε Α > ∆

1)Αν στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Β=90ο ) του σχήματος η ΓΔ είναι διχοτόμος της

γωνίας ɵΓ να αποδείξετε ότι ΒΔ<ΔΑ.



Λύση

Οι γωνίες 1 2,Α Α είναι γωνίες των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΔΓ αντίστοιχα .Αυτά

έχουν ΑΒ=ΑΓ (από υπόθεση ) την πλευρά ΑΔ κοινή και ΒΔ>ΔΓ.Αρα απέναντι

των άνισων πλευρών τους θα βρίσκονται όμοια άνισες γωνιές . δηλαδή

1 2Α > Α

Απόδειξη

α)Αφού ΜΒ είναι στο εσωτερικό της γωνίας Β , θα

τέμνει την πλευρά ΑΓ, έστω σε σημείο Δ.Απο τα

τρίγωνα ΑΒΔ και ΜΓΔ παίρνουμε

ΒΜ+ΜΔ<ΑΒ+ΑΔ (1) και ΜΓ<ΜΔ+ΔΓ (2).

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) παίρνουμε:

ΜΒ+ΜΓ<ΑΒ+ΑΔ+ΔΓ, δηλαδή

ΜΒ+ΜΓ<ΑΒ+ΑΓ.

Εξ αλλου 1ΒΜΓ > ∆ > Α

β)Από τα τρίγωνα ΜΑΒ,ΜΒΓ,ΜΑΓ συμφωνά με την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε :

ΑΒ<ΜΑ+ΜΒ ,ΑΓ<ΜΑ+ΜΓ , ΒΓ<ΜΒ+ΜΓ

Αυτές με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν:

ΑΒ +ΑΓ +ΒΓ <ΜΑ+ΜΒ +ΜΑ+ΜΓ +ΜΒ+ΜΓ η

ΑΒ +ΑΓ +ΒΓ <2ΜΑ+2ΜΒ +2ΜΓ

ΑΒ +ΑΓ +ΒΓ <2(ΜΑ+ΜΒ +ΜΓ )

2

ΑΒ+ ΑΓ +ΒΓ<ΜΑ+ΜΒ +ΜΓ

τ <ΜΑ+ΜΒ +ΜΓ

2)Έστω σημείο Δ της βάσης ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ τέτοιου ώστε ΒΔ>ΔΓ.Να

αποδείξετε ότι 1 2Α > Α .

3)Αν Μ είναι σημείο στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ τότε ισχύει :

α) ΜΒ+ΜΓ<ΑΒ+ΑΓ , ΒΜΓ > Α

β) τ<ΜΑ+ΜΒ+ΜΓ<2τ

(οπού τ η ημιπεριμετρος του τριγώνου δήλα 2

α β γτ

+ += )



Από το ερώτημα α) έχουμε :

ΜΒ+ΜΓ<ΑΒ+ΑΓ

ΜΑ+ΜΒ<ΑΓ+ΒΓ (πρόσθεση κατά μέλη)

ΜΑ+ΜΓ<ΑΒ+ΒΓ

ΜΑ+ΜΓ+ ΜΒ+ΜΓ+ ΜΑ+ΜΒ <ΑΒ+ΑΓ +ΑΓ+ΒΓ + ΑΒ+ΒΓ

2(ΜΑ+ΜΓ+ ΜΒ) <2(ΑΒ+ΑΓ +ΒΓ)

ΜΑ+ΜΓ+ ΜΒ<2τ

Απόδειξη

Ας υποθέσουμε για ευκολία στο συμβολισμό ότι έχουμε την

τεθλασμένη ΚΑΒΓΔΕΛ. Για τεθλασμένη με ν κορυφές η

απόδειξη δεν διαφέρει .Από το διπλανό σχήμα συμφωνά με

την τριγωνική ανισότητα έχουμε

ΚΛ ≤ ΚΕ+ΕΛ , ΚΕ ≤ Κ∆ + ∆Ε , Κ∆ ≤ ΚΓ +Γ∆ ,

ΚΓ ≤ ΚΒ+ΒΓ ,ΚΒ ≤ ΚΑ+ΑΒ (1)

προσθέτοντας κατά μέλη και διαγράφοντας τα τμήματα που

εμφανίζονται και στα δυο μέλη παίρνουμε :

ΚΛ ≤ ΚΑ+ΑΒ+ΒΓ +Γ∆ + ∆Ε+ΕΛ Επειδή όμως τρεις διαδοχικές κορυφές δεν είναι σε ευθεία το

ίσον αποκλείεται να ισχύει σε δυο διαδοχικές από τις σχέσεις

(1) π.χ στην περίπτωση μας ισχύει μονό στην τέταρτη .Έτσι

λοιπόν τελικά θα έχουμε:

ΚΛ<ΚΑ+ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΛ

Λύση

α)Προεκτείνουμε την διάμεσο ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ=ΑΜ , οπότε ΜΓ∆ >ΜΑΒ διότι:

ΜΒ=ΜΓ ,ΜΑ+ΜΔ, 1 2Μ >Μ .Άρα

1Α > ∆ και ΓΔ=γ.Ομως β>γ δηλαδή ΑΓ>ΓΔ οπότε 2∆ > Α

δηλαδή 1 2Α > Α .

Χρήσιμη παρατήρηση

Για τρία σημεία του επιπέδου Α,Β,Γ τα οποία δεν γνωρίζουμε αν είναι συνευθειακα η όχι η

τριγωνική ανισότητα δίνει :

ΑΒ+ ΑΓ ≥ ΒΓ η ΑΒ+ΒΓ ≥ ΑΓ η ΑΒ+ΒΓ ≥ ΑΒ

με την ισότητα να ισχύει στην περίπτωση που τα σημεία αυτά είναι συνευθειακα .

(βλέπε επόμενο παράδειγμα)

4) Κάθε τμήμα ΚΛ είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη γραμμή με άκρα Κ,Λ.

5)Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ τότε

α) ΜΑΒ > ΜΑΓ β) 2 2α

β γ β γµ

− +< < γ) 2α β γµ µ µ τ+ + <



β) Από το τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε

ΑΓ-ΓΔ<ΑΔ<ΑΓ+ΓΔ δηλαδή

β-γ<2 αµ <β+γ άρα 2 2α

β γ β γµ

− +< < .

γ) Βρήκαμε 2α

β γµ

+< . Όμοια βρίσκουμε

2β

α γµ

+< ,

2γ

α βµ

+< οπότε με πρόσθεση κατά μέλη

2 2 2

2

2

α β γ

α β γ

α β γ

β γ α γ α βµ µ µ

β γ α γ α βµ µ µ

µ µ µ

+ + ++ + < + +

+ + + + ++ + <

+ + <( )

2

α γ β+ +

2α β γµ µ µ τ+ + <

Χρήσιμη παρατήρηση ΙΙ Αν θεωρήσουμε την ανισότητα

ΑΒ+ ΑΓ ≥ ΑΒ παρατηρούμε ότι η ελάχιστη τιμή του

αθροίσματος ΑΒ+ΑΓ είναι το ΒΓ.

Αυτό συμβαίνει μονό όταν

τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακα και μάλιστα όταν

το σημείο Α βρίσκεται μεταξύ των σημείων Β και Γ.

Αν λοιπόν μας ζητηθεί να βρούμε ποιο σημείο της ευθείας ε έχει το μικρότερο άθροισμα

αποστάσεων από τα σημεία Α και Β εργαζόμαστε ως εξής :

Παίρνουμε ένα σημείο Δ της ευθείας ε.

Η τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΑΔΒ δίνει :

Α∆ + ∆Β ≥ ΑΒ Η μικρότερη ( η ελάχιστη )τιμή

του αθροίσματος ΑΔ+ΔΒ είναι τότε

το ΑΒ και προκύπτει μονό όταν

το σημείο Μ βρίσκεται πάνω

στην ευθεία ΑΒ.

Άρα το ζητούμενο σημείο θα

προκύψει από την τομή του ΑΒ με την ε.



ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΠΠΡΡΟΟΣΣ ΛΛΥΥΣΣΗΗ

11))Nα σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και να συγκρίνετε τις αποστάσεις

οποιουδήποτε σημείου μιας των ίσων πλευρών από τα άκρα της βάσης.

2) Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ, οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Δ.

Nα εξηγήσετε γιατί ΔΒ <ΔΓ.

3) α) Nα αποδείξετε ότι κάθε ΰψος τριγώνου δεν υπερβαίνει καμιά από τις προσκείμενες

πλευρές του.

β) Σε κάδε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε τις ανισότητες:

i)2α

β γυ

+< , ii) 2α β γυ υ υ τ+ + <

4)Σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι ισχύει:

i)2α

β γ αυ

+ −> ii) α β γυ υ υ τ+ + >

5)Σ' ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι

ΑΓ + ΒΔ >ΑΒ + ΓΔ.

6)Στiς κάθετες πλευρές ΑΒ και AΓ ορθογώνιου τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε δύο σημεία Δ και Ε

αντίστοιχα. . Nα αποδείξετε ότι ΔΕ < ΒΓ.

7) Έστω Γ ένα σημείο χορδής ΑΒ ενός κυκλου κέντρου Ο.

Nα αποδείξετε ότι ΟΑΓ < ΟΓΑ .

8) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχυει ΒΓ = 2ΑΒ να αποδείξετε ότι ΑΒ<ΑΓ.

9) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει2α

αµ > , να αποδείξετε ότι ɵΑ > Β+Γ .

Τι συμπεραίνουμε στις περιπτώσεις 2α

αµ < και

2α

αµ =

10) Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ ισχύουν ɵΑ = Γ και ΑΒ = ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΔΓ.

11). Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ = ΓΔ και ɵΒ > Γ , να αποδείξετε ότι ΑΓ > ΒΔ.

12.) Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρουμε τη διάμεσο AM, να αποδείξετε ότι ΑΜΒ < 90° και

ΑΜΓ>90°.

13). Από σημείο Δ της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τις κάθετες στις πλευρές ΑΒ και

ΑΓ, που τις τέμνουν στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Nα αποδείξετε ότι ΕΖ<ΒΓ.

14) Αν σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ μεγαλύτερη πλευρά είναι η ΑΒ και μικρότερη η ΓΔ, να

αποδείξετε ότι ɵΑ < Γ και Β < ∆ .

15 ) Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε οποιαδήποτε σημεία Δ, Ε και Ζ

αντίστοιχα. Nα αποδείξετε ότι



τ<ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ<3τ, όπου τ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

16) Δίνεται μια ευθεία ε και δυο σημεία Α και Β που δεν ανήκουν στην ε. Nα βρεθεί σημείο Μ

της ε, του οποίου η διαφορά των αποστάσεων από τα Α και Β είναι μέγιστη.

(Nα διακρίνετε δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το αν τα Α, Β βρίσκονται εκατέρωθεν ή όχι της

ευθείας ε).

Το ηξερες ότι … Οι Γ. Θωμαίδης και Α. Πούλος στο βιβλίο τους «Διδακτική της Ευκλείδειας

Γεωμετρίας» απαντώντας στο ερώτημα, «Γιατί διδάσκουμε την Ευκλείδεια Γεωμετρία;»,

παραθέτουν απόσπασμα από τις αυτοβιογραφικές σημειώσεις του Albert Einstein, το οποίο

δείχνει μια άλλη, τελείως διαφορετική αντίληψη σχετικά με τηχρησιμότητα της Ευκλείδειας

Γεωμετρίας. Γράφοντας για τα γεγονότα της παιδικής και εφηβικής του ζωής, που είχαν

μεγάλη επίδραση στη μετέπειτα επιστημονική του εξέλιξη, ο Einstein σημειώνει:

«Σε ηλικία 12 ετών δοκίμασα μια δεύτερη, τελείως διαφορετική έκπληξη: σε ένα μικρό βιβλίο Ευκλείδειας επίπεδης Γεωμετρίας …. Εδώ υπήρχαν ισχυρισμοί, όπως

για παράδειγμα ότι τα τρία ύψη ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο , οι οποίοι-

αν και καθόλου προφανείς- μπορούν ωστόσο να αποδειχτούν με τέτοια βεβαιότητα,

ώστε να μη χωρεί η παραμικρή αμφιβολία. Αυτή η σαφήνεια και βεβαιότητα μου προ-

ξένησαν μιαν εντύπωση που δεν μπορεί να περιγραφεί. Το γεγονός ότι, τα αξιώματα

έπρεπε να γίνουν δεκτά χωρίς απόδειξη δεν με ενόχλησε. Σε κάθε περίπτωση, μου αρ-

κούσε πλήρως το γεγονός ότι μπορούσα να στηρίζω τις αποδείξεις σε προτάσεις, η εγκυρότητα των οποίων ήταν για μένα αναμφισβήτητη.»



ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ

••••Μια ευθεία λέγεται εξωτερική ευθεία ενός κύκλου όταν δεν έχει κανένα

κοινό σημείο με τον κύκλο.

Αν λοιπόν ε είναι μια εξωτερική ευθεία ενός κύκλου, κέντρου Ο και ακτίνας

ΟΚ = ρ, και δ = ΟΜ είναι η απόσταση του κέντρου Ο από την ευθεία ε, τότε

θα ισχύει

ΟΜ > ρ ή δ > ρ

Κάθε σημείο της ευθείας ε είναι εξωτερικό του κύκλου.

••••Μια ευθεία η οποία έχει μόνο ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο λέγεται εφαπτομένη του κύκλου

αυτού.

Αν η ευθεία ε είναι εφαπτομένη του κύκλου (Ο. ρ) και δ = ΟΜ είναι η απόσταση του κέντρου Ο

από την ευθεία, τότε ισχύει

ΟΜ=ρ ή δ=ρ

Το κοινό σημείο της εφαπτομένης και του κύκλου λέγεται σημείο

επαφής. Κάθε άλλο σημείο Α της ε είναι εξωτερικό του κύκλου.

Ισχύουν τα εξής:

• Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην

εφαπτομένη.

• Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική.

••••Μια ευθεία που έχει δύο κοινά σημεία με έναν κύκλο λέγεται τέμνουσα του

κύκλου αυτού.

Αν η ευθεία ε είναι τέμνουσα του κύκλου (Ο, ρ) και δ = ΟΜ είναι η απόσταση

του κέντρου Ο από την ε, τότε ισχύει :

ΟΜ < ρ ή δ < ρ

Μια ευθεία και ένας κυκλος εχουν δυο το πολύ κοινα σημεια .

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΚΥΚΛΟΥ

••••Έστω (Ο, ρ) ένας κύκλος και Α ένα εξωτερικό σημείο του. Από το Α μπορούμε να φέρουμε δύο

εφαπτόμενες του κύκλου και έστω Β και Γ τα σημεία επαφής. Τα

τμήματα ΑΒ και ΑΓ ονομάζονται εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου

από το σημείο Α. Η ευθεία ΑΟ ονομάζεται διακεντρική ευθεία του

σημείου Ο.

θεώρημα :Τα εφαπτόμενα ευθυγραμμα τμηματα που αγονται από

σημειο εκτος κυκλου είναι ισα.

Δηλαδή, αν ΑΒ και ΑΓ τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το Α,

τότε

ΑΒ=ΑΓ

Πόρισμα :Αν ΑΒ και ΑΓ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο Α

προς τον κύκλο (Ο, ρ), τότε η διακεντρική ευθεία Ο Α:



α) είναι μεσοκάθετος της χορδής ΒΓ,

β) διχοτομεί τις γωνίες ΒΑΓ και ΒΟΓ.

Πράγματι, ισχύει ΑΒ =ΑΓ και ΟΒ = ΟΓ, άρα τα σημεία Ο και Α ανήκουν στη μεσοκάθετο του

ΒΓ.Επίσης, θα έχουμε ότι OB ⊥ ΒΑ και ΟΓ ⊥ ΓΑ, οπότε τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΑΓΟ είναι ίσα,

επειδή είναι ορθογώνια, έχουν την ΑΟ κοινή και ΑΒ = ΑΓ. Συνεπώς ΒΑΟ = ΓΑΟ και ΒΟΑ = ΙΌΑ.


1)Από εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο, R) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Στην

προέκταση του ΡΑ παίρνουμε σημείο Γ από το οποίο φέρνουμε την εφαπτομένη ΓΔ του κύκλου,

η οποία τέμνει τη ΡΒ στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

α) ΡΓ = ΓΔ + ΑΡ

β) ΡΓ - ΓΑ = ΡΕ - ΔΕ

2)Στο διπλανό σχήμα οι ΑΓ, ΑΕ και ΓΔ είναι εφαπτόμενες του κύκλου

με κέντρο Ο.

α) Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία είναι ίσα,

δικαιολογώντας την απάντηση σας.

β) Να αποδείξετε ότι ΑΓ = ΑΕ + ΓΔ.

3)Αν για τα παρακάτω σχήματα ισχύουν ότι ΑΓ = ΔΖ και AM=ΔΛ, να αποδείξετε ότι οι κύκλοι

είναι ίσοι.

4)Στο διπλανό σχήμα η ΔΕ εφάπτεται του κύκλου (Ο, ρ) στο σημείο Α. Αν ΑΔ = ΑΕ, να

αποδείξετε ότι ΔΓ = ΒΕ



5)θεωρούμε κύκλο κέντρου Κ και ένα εξωτερικό του σημείο Ρ. από το οποίο φέρνουμε τα

εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΡΚ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Λ και η

εφαπτομένη του κύκλου στο Λ τέμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα. Να


α) το τρίγωνο ΡΜΝ είναι ισοσκελές,

β) ΜΑ = ΝΒ,

γ) η περίμετρος του τριγώνου ΡΜΝ ισούται με ΡΑ + ΡΒ.

6)Στο διπλανό σχήμα είναι ΜΑ = MB. Να αποδείξετε ότι:

α) AMO O MB∧ ∧

=

β) ΑΓ=ΒΔ



ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ

•Διάκεντρος δύο κύκλων λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα κέντρα των κύκλων

και συμβολίζεται με d.

Στο διπλανό σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ = d είναι

η διάκεντρος των κύκλων με κέντρα τα Κ και Λ.

•Έστω οι κύκλοι (Κι, R1) και (Κ2, R2) με R1 > R2 Τότε υπάρχουν οι ακόλουθες δυνατές

περιπτώσεις:

• Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία.

d>R1+R2 d<R1-R2 d=0 (οµόκεντροι κύκλοι)

Εφαπτόμενοι κύκλοι.

Στην περίπτωση αυτή οι κύκλοι έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το οποίο λέγεται σημείο επαφής.

d>R1-R2 (εφάπτονται εξωτερικά ) d>R1+R2(εφάπτονται εσωτερικά)



Στην περίπτωση που οι δύο κύκλοι εφάπτονται, η ευθεία που είναι κάθετη στη διάκεντρο στο

κοινό σημείο τους είναι κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.

• ΤΕΜΝΟΜΕΝΟΙ ΚΥΚΛΟΙ.

Οι κύκλοι τότε έχουν δύο κοινά σημεία. Το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα κοινά τους σημεία

λέγεται κοινή χορδή.

θεώρημα

Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της

κοινής χορδής τους.

Πράγματι στο παραπάνω σχήμα είναι Κ1 Α = Κ1 Β και

Κ2Α=Κ2Β, επομένως η Κ1Κ2, δηλαδή η διάκεντρος, είναι

μεσοκάθετος της κοινής χορδής ΑΒ.

Κοινή εφαπτομένη

•Μια ευθεία που εφάπτεται σε δύο κύκλους λέγεται κοινή εφαπτομένη

των κύκλων.

Μια κοινή εφαπτομένη δύο κύκλων λέγεται εξωτερική όταν οι κύκλοι

είναι προς το ίδιο μέρος της και εσωτερική όταν οι κύκλοι είναι

εκατέρωθεν αυτής.

Στο διπλανό σχήμα η ε είναι εξωτερική και η ει

εσωτερική κοινή εφαπτομένη.

Γενικά, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

α) Οι κύκλοι βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου.

Τότε έχουν δύο κοινές εξωτερικές και δύο κοινές εσωτερικές

εφαπτόμενες. Οι τελευταίες τέμνονται σε σημείο της διακέντρου (ή της

προέκτασης της όταν οι κύκλοι είναι άνισοι), η οποία και διχοτομεί τη

γωνία τους.

β) Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Τότε έχουν πάλι δύο κοινές

εξωτερικές εφαπτόμενες και μία κοινή εσωτερική, που είναι κάθετη στη διάκεντρο.

γ) Οι κύκλοι τέμνονται. Τότε έχουν δύο κοινές εξωτερικές εφαπτόμενες και καμία κοινή

εσωτερική εφαπτομένη.



δ) Οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά. Τότε έχουν μόνο μία κοινή εξωτερική

εφαπτομένη, που είναι κάθετη στη διάκεντρο τους.

ε) Ο ένας κύκλος βρίσκεται εσωτερικά του άλλου. Τότε δεν υπάρχει καμία

κοινή εφαπτομένη.




1)Έστω δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο το σημείο Ο. Αν φέρουμε τις χορδές ΑΒ, ΓΔ και ΖΕ του

μεγάλου κύκλου έτσι, ώστε να εφάπτονται στον μικρό κύκλο, να αποδείξετε ότι οι χορδές αυτές

είναι μεταξύ τους ίσες.

2) Στο διπλανό (σχήμα να αποδείξετε ότι ΜΑ =Μ Γ.

3) Έστω δύο κύκλοι (Ο1, ρ1) και (Ο2,ρ2) και ε κοινή εσωτερική εφαπτομένη τους, που τέμνει τη

διάκεντρο Ο1Ο2 στο σημείο Λ. Αν απο το Α φέρουμε την εφαπτομένη ζ του κύκλου (Ο1, ρ1), να

αποδείξετε ότι η ευθεία ζ είναι εφαπτομένη και του κύκλου (Ο2, ρ2)·

4)Στο διπλανό σχήμα οι κύκλοι (K1) και (K2) είναι ομόκεντροι με ακτίνες 3 και 1

αντίστοιχα. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου

5)Οι κύκλοι του διπλανού σχήματος εφάπτονται εσωτερικό στο σημείο

Γ. Τα τμήματα που σημειώνονται στο σχήμα είναι εφαπτόμενα των δύο

κύκλων. Αν ΑΒ =ΕΗ. να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΕΖ.

6) Δύο κύκλοι (Κ, R) και (Λ. ρ) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α. Φέρνουμε την κοινή

εξωτερική εφαπτομένη ΒΓ. Αν η εφαπτομένη των κύκλων στο Α τέμνει τη ΒΓ στο Μ, να


α) τα σημεία Α, Β. Γ βρίσκονται πάνω σι; κύκλο ο οποίος εφάπτεται της δια κέντρου ΚΛ,

β) ΒΓ < 2ΚΛ.

7)Δύο κύκλοι (Κ, ρ) και (Λ, R) με ρ < R εφάπτονται εξωτερικά στο Μ. Από το Κ φέρνουμε τα

εφαπτόμενα τμήματα ΚΑ και KB του κύκλου (Λ, R), τα οποία τέμνουν τον κύκλο (Κ, ρ) στα

σημεία Π και Σ αντίστοιχα, α) Να αποδείξετε ότι ΠΑ = ΣΒ.



β) Έστω ότι η προέκταση της διακέντρου τέμνει τον κύκλο (Λ, R) στο Ν. Αν η εφαπτομένη του

κύκλου (Λ, R) στο Ν τέμνει τις ΚΑ και KB στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

i) το τρίγωνο ΚΓΔ είναι ισοσκελές,

ii) ΠΓ = ΣΔ, iii) ΓΑ = ΝΔ.

γ) Να αποδείξετε ότι ΠΑ < R και ΓΑ > R.

8)θεωρήστε δύο κύκλους (Ο, ρ) και (Κ, ρ) με ΟΚ=ρ. Να αποδείξετε ότι τα μόνα σημεία του

επιπέδου, από τα οποία άγονται ίσα εφαπτόμενα ευθύγραμμα τμήματα προς τους δύο κύκλους,

είναι αυτά που βρίσκονται στην προέκταση της κοινής χορδής των κύκλων.

9)Μια ευθεία ε είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη δύο κύκλων (Ο, ρ) και (Κ, R). Έστω Μ το κοινό

σημείο της ε με τη διάκεντρο ΟΚ. Από το Μ φέρουμε την εφαπτομένη δ του κύκλου (Ο, ρ). Να

αποδείξετε ότι η ευθεία δ είναι εφαπτομένη και του κύκλου (Κ, R).

10) Αν ΑΒ και ΓΔ είναι τα κοινά εξωτερικά εφαπτόμενα ευθύγραμμα τμήματα δύο κύκλων (Ο, ρ)

και (Κ, ρ), να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ είναι η

μεσοκάθετη της διακέντρου των κύκλων.



ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Οι σχετικές θέσεις που μπορούν να έχουν δύο ευθείες του επιπέδου είναι:

α) να ταυτίζονται,

β) να τέμνονται,

γ) να μην τέμνονται, δηλαδή να είναι παράλληλες.

Αν δύο ευθείες 1ε και 2ε του επιπέδου τέμνονται από μια τρίτη ευθεία ε, τότε για τις οκτώ

γωνίες που σχηματίζονται έχουμε τις παρακάτω ονομασίες:

α) Οι γωνίες ɵ ɵ , ,γ δ ζ και ɵκ που βρίσκονται μεταξύ των

ευθειών 1ε και 2ε λέγονται εντός.

β) Οι γωνίες ɵ, ,α β η και ɵθ λέγονται εκτός.

γ) Οι γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε

λέγονται επί τα αυτά μέρη.

δ) Οι γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της τέμνουσας ε

λέγονται εναλλάξ.

Για τα διάφορα ζεύγη των παραπάνω γωνιών έχουμε τις

εξής ονομασίες:

α) Οι γωνίες ɵγ και ɵκ λέγονται εντός εναλλάξ.

β) Οι γωνίες ɵκ και ɵδ λέγονται εντός και επί τα αυτά μέρη.

γ) Οι γωνίες ɵκ και α λέγονται εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη κ.λπ.

Πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες;

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτουν τα εξής πορίσματα:

Δύο ευθείες λέγονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο

και δεν τέμνονται.

Αν οι ευθείες ε και η είναι παράλληλες, τότε τις συμβολίζουμε με ε//η.

θεώρημα

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες,

τότε είναι παράλληλες



Δηλαδή:

Έστω ότι οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται από την

ευθεία ε.

• Αν είναι α ζ= (ή ɵ ɵθ γ= ), τότε 1ε // 2ε (θεώρημα)

• Αν είναι ɵ ɵδ ε= ή ( ɵ η β= ), τότε 1ε // 2ε (Πόρισμα 1)

• Αν είναι ɵ ɵ 0180θ δ+ = , τότε 1ε // 2ε (Πόρισμα 2 )

• Αν είναι 1ε ⊥ ε και 2ε ⊥ ε , τότε 1ε // 2ε ( Πόρισμα 2 )

Το αίτημα της παραλληλίας λέει ότι:

Από ένα σημείο που βρίσκεται εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε μία μόνο παράλληλη

προς την ευθεία.

Ιδιότητες Παραλλήλων ευθειών

Οι παράλληλες ευθείες έχουν τις εξής ιδιότητες: Αν 1ε // 2ε και οι 1ε και 2ε τέμνονται από την ε,

τότε ισχύουν τα εξής:

α) Οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες, δηλαδή ɵα θ= ή ɵ ɵδ η=

β) Οι εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι ίσες, δηλαδή

ɵ ɵδ ε= ή ɵ ɵθ γ=

γ) Οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή

ɵ ɵ 0180θ δ+ = .

Πόρισμα 1

α) Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν τις εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη

γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες.

β) Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από μια τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες

παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες.

Πόρισμα 2 :Δύο ευθείες κάθετες σε μια τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

ε1

ε2

ε

ε1

ε2

ε



Αν είναι 1ε // ε και ε // 2ε , τότε 1ε // 2ε .

Αν είναι 1ε // 2ε και η ευθεία ε τέμνει την 1ε , τότε θα τέμνει

και την 2ε .

Αν επιπλέον ε⊥ 1ε , τότε και ε⊥ 2ε .

Η παραπάνω πρόταση μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι

δύο ευθείες δεν είναι παράλληλες.

Δηλαδή, αν 01 1 180Α +Β < , τότε οι ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται.

Πρόταση Αν δύο ευθείες 1ε και 2ε τέμνονται από την ευθεία ε και οι εντός και επί τα αυτά μέρη

γωνίες που σχηματίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο των 180°, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το

μέρος εκείνο της τέμνουσας όπου βρίσκονται οι γωνίες.



Συμφωνά με όσα είπαμε για να αποδείξουμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες, αρκεί να αποδείξουμε ότι

είναι:

α) κατακόρυφην γωνίες,

β) συμπληρωματικές ή παραπληρωματικές γωνίες άλλων ίσων γωνιών,

γ) διαφορές (υπόλοιπα) ίσων γωνιών ή μισές γωνίες ίσων γωνιών,

δ) επίκεντρες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα,

ε) αντίστοιχες γωνίες ίσων τριγώνων,

στ) γωνίες ισοσκελούς τριγώνου προσκείμενες στη βάση του

ζ) εντός εναλλάξ γωνίες παράλληλων ευθειών,

η) εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παράλληλων ευθειών

θ)έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους παράλληλες καθώς να είναι και οι δυο οξείες η και οι δυο

αμβλείες

ι)έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους κάθετες καθώς να είναι και οι δυο οξείες η και οι δυο

αμβλείες

Θεώρημα 1 :Αν οι πλευρές μιας γωνίας είναι αντίστοιχα παράλληλες με τις πλευρές μιας άλλης

γωνίας, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Θεώρημα 2 :Αν οι πλευρές μιας γωνίας είναι αντίστοιχα κάθετες με τις πλευρές μιας άλλης

γωνίας, τότε οι γωνίες αυτές είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

(Αν και οι δυο γωνιές είναι οξείες είναι ίσες αν είναι και οι δυο αμβλείες είναι επίσης ίσες σε κάθε

άλλη περίπτωση είναι παραπληρωματικές )

'

'

y y

x x

∆ ⊥ Γ

∆ ⊥ Γ

'

'

y y

x x

∆ ⊥ Γ

∆ ⊥ Γ

'//

'

Bx Ax

By Ay⊥

'//

'

Bx Ax

By Ay⊥



ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΟΙ ΚΥΚΛΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Οι μεσοκαθετοι των πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το

ίδιο σημείο (συντρέχουν).Το σημείο αυτό λέγεται περίκεντρο του

τριγώνου αυτού και είναι το κέντρο του περιγραμμένου κύκλου.

Οι διχοτόμοι των γωνιών κάθε τριγώνου διέρχονται από

το ίδιο σημείο .Το σημείο αυτό λέγεται εγκεντρο του

τριγώνου και είναι κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

Οι διχοτόμοι δυο εξωτερικών γωνιών και της τρίτης εσωτερικής γωνίας διέρχονται από το ίδιο

σημειο.Το σημείο αυτό λέγεται παράκεντρο .

Υπάρχουν τρία παράκεντρα τα οποία είναι κέντρα των

παραγραμμένων κύκλων .Οι κύκλοι αυτοί εφάπτονται στην

μια πλευρά και στις προεκτάσεις των δυο άλλων κύκλων

.Τα παράκεντρα και οι παραγραμμένοι κύκλοι ενός

τριγώνου φαίνονται το διπλανό σχήμα.



ΆΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Δήλ για το τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :

ɵ 0180A B+ +Γ = η ɵA B+ +Γ = 2 ορθές

Από το θεώρημα αυτό άμεσα προκύπτουν:

.

δηλαδή για το διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει:

ɵ ɵφ χ= ΑΒ = Α+Γ

δηλαδή ɵ0180 > Α+Γ

Η (1) πρακτικά μας λέει ότι οι πλευρές του τριγώνου τέμνονται.

πόρισμα 3 : Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες θα έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες

πόρισμα 4 : Κάθε γωνία ισοπλεύρου τριγώνου είναι 60ο

ΆΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΡΤΟΥ Ν-ΓΩΝΟΥ Για τις εσωτερικές γωνιές ενός κυρτού ν-γωνου ισχύει το εξής :

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού ν-γωνου είναι ίσο με 2ν -4 ορθές

για παράδειγμα αν ν=6 , τότε έχουμε ένα κυρτό εξάγων ,άρα το άθροισμα των εσωτερικών

γωνιών του είναι ίσο με

2.6-4= 8 ορθές η 720ο

Θεώρημα :Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με δυο

ορθές γωνίες .

Πόρισμα 1: Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο

απέναντι εσωτερικών γωνιών του .

Πόρισμα 2

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ το άθροισμα δυο οποιωνδήποτε γωνιών του είναι μικρότερο από δυο

ορθές γωνίες



Για τις εξωτερικές γωνίες ενός κυρτού ν-γωνου ισχύει :

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού ν-γωνου είναι ίσο με

4 ορθές η 360ο

Χρήσιμες παρατηρήσεις –εφαρμογές

Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ɵΓ

ενός τριγώνου σχηματίζουν γωνία ίση

με

0902

Α+

Δηλ Ιɵ =

0902

Α+

Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ɵ εξΓ

ενός τριγώνου σχηματίζουν γωνία

ίση με

2

Α.

Δηλ

2β

ΑΙ =

Οι διχοτόμοι των γωνιών

εξΒ και ɵ εξΓ ενός τριγώνου σχηματίζουν γωνία ίση με

0902

Α− .

Δηλ

0902α

ΑΙ = −

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ γραφούμε ɵ 0180Α+Β+Γ = (1)

η σχέση αυτή μας δίνει ɵ

0902 2 2

Α Β Γ+ + = (2)

Επομένως ɵ ɵ ɵ

0 0 090 (3), 90 90 (4)2 2 2 2 2 2 2

Α Β Γ Α Β Γ Β+Γ+ = − = − − = −

Οι σχέσεις (1) ,(2) (3) (4) τις χρησιμοποιούμε στα περισσότερα θέματα τα οποία αναφέρονται

στο άθροισμα γωνιών τριγώνου. Πιο ειδικά τις σχέσεις (2) και (4) τις χρησιμοποιούμε σε

ασκήσεις οπού στο σχήμα τους παρουσιάζονται διχοτόμοι γωνιών τριγώνου.

Για τις εξωτερικές γωνίες εφαρμόζουμε το βασικό θεώρημα .Έτσι έχουμε : ɵ

εξΑ = Β+Γ , ɵεξΒ = Α+Γ , ɵ

εξΓ = Α+Β

Αν αντί για τρίγωνο έχουμε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ , τότε ισχύουν οι σχέσεις :

ɵ ɵ

0 0360 , 180 (5)2 2 2 2

Α Β Γ ∆Α+Β+Γ + ∆ = + + + =

Από την (5) προκύπτουν οι σχέσεις :

ɵ ɵ

0 0180 , 1802 2 2 2 2

Α Β Γ+ ∆ Α Γ + ∆ +Β+ = − = −

Για τις οξείες γωνίες ɵ,Β Γ ορθογωνίου τριγώνου ισχύουν

οι σχέσεις :

ɵ0 090 180+Β+Γ = η ɵ ɵ ɵ 0 0 090 , 90 , 90Β+Γ = Β = −Γ Γ = −Β .



ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Λύση

Φέρνουμε την ευθεία ΓΖ //ΔΕ. Επειδή ΖΓ//ΔΕ , ΓΖ//ΑΒ

έχουμε ότι ɵ δ α= η ∆ = ∆ΓΖ (ως εντός εναλλάξ) (1)

όμοια ɵβ γ= η Β = ΖΓΒ (2)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) :

∆ +Β = ΖΓΒ+ ∆ΓΖ ⇔ ∆+Β = ∆ΓΒ .

Λύση

Οι γωνιές ɵ,β η είναι παραπληρωματικές ( διότι ɵ ɵ ɵ, 180οβ ε ε η= + = ) ίσες . Άρα

ɵ 0 0 0 0

0 0

180 5 20 2 20 180

7 180 25

β η χ χ

χ χ

+ = ⇔ + + − =

⇔ = ⇔ =

Οπότε 0 0 05 25 20 145β = ⋅ + = και ɵ 0 02 25 20 35οη = ⋅ − = .

Συμφωνά με το σχήμα

ɵ ɵ ɵ 0145β δ ε θ= = = = , ɵ ɵ 35οη ζ γ α= = = = .

1)Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ//ΔΕ.

Να αποδειχθεί ότι ∆ΓΒ = ∆ +Β

2)Αν για δυο ευθείες 1ε και 2ε με 1ε // 2ε οπού

05 20xβ = + , ɵ 02 20xη = − να υπολογιστούν

όλες οι γωνιές που σημειώνονται στο σχήμα



Λύση

Φέρουμε ΕΖ//ΓΔ και προεκτείνουμε την ΔΓ , όπως φαίνεται στο σχήμα .Έτσι έχουμε:

060ΕΓΗ = και 060x =

Άρα 0 0 0110 60 50y = − = .Επειδή οι γωνίες y και A είναι

εντός εκτός και επι ταύτα μέρη των ευθειών ΑΒ και ΕΖ

τεμνομενων από την ΑΕ και 0 0 0130 50 180A y+ = + =

συμπεραίνουμε ότι ΕΖ//ΑΒ.

Επειδή ΓΔ//ΕΖ και ΑΒ//ΕΖ θα είναι και ΑΒ//ΓΔ.

Λύση

Για να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ισοσκελές , αρκεί να αποδείξουμε ότι

1 1Γ = ∆ .Παρατηρούμε ότι ισχύει

1 2Ο = Ο γιατί η ΟΕ είναι διχοτόμος .Επειδή όμως ΓΔ//ΟΕ ,

έχουμε 1 1Γ = Ο (ως εντός εκτός και επί ταύτα μέρη γωνιές )

και 1 2∆ = Ο (ως εντός εναλλάξ)

Άρα από την σχέση (1) προκύπτει ότι 1 1Γ = ∆ δηλαδή ότι το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ισοσκελές .

3)Στο παρακάτω σχήμα δίνονται

οι γωνίες 0130Α = , ɵ 0120Γ = και ɵ 0120Ε =

Να αποδειχθεί ότι ΑΒ//ΓΔ

4)Στο παρακάτω σχήμα η ΟΕ είναι διχοτόμος

της γωνίας OBΑ και το σημείο Γ είναι

τυχαίο σημείο στην προέκταση της πλευράς ΟΑ.

Αν ΓΔ//ΟΕ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΟΔ

είναι ισοσκελές



Λύση

Από την παραλληλία των ΒΔ και ΑΓ προκύπτει ότι ω∆ = ∆ΑΓ = = ΒΑ∆ .Άρα το τρίγωνο ΒΑΔ

είναι ισοσκελές , οπότε:

ΒΔ=ΒΑ (1)

Όμοια , από την παραλληλία των ΒΕ και ΑΓ συμπεραίνουμε ότι ɵ Ε = ΕΑΖ = ΕΑΒ .Το τρίγωνο

ΒΑΕ είναι λοιπόν ισοσκελές , οπότε ισχύει

ΒΕ=ΒΑ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε τελικά ότι ΒΔ=ΒΕ .

Λύση

5) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και μια ευθεία ε ,

η οποία διέρχεται από το Β και είναι

παράλληλη προς την ΑΓ .Η διχοτόμος

της γωνίας Α τέμνει την ε στο σημείο Δ ,

ενώ η διχοτόμος της εξωτερικής

γωνιας Α τέμνει την ε στο σημείο Ε.

Να αποδειχθεί ότι ΒΔ=ΒΕ.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι

Α =180ο –140ο = 40ο , Β =60ο και

ɵΓ =180ο – 40ο – 60ο =80ο .

Φέρνουμε τις διχοτόμους ΒΔ και ΓΕ του τρίγωνου

ΑΒΓ , όποτε είναι :

1Β =

2

B=30ο και ɵ1Γ =

ɵ

2

Γ=40ο .

Δ

Στο τρίγωνο ΟΒΓ είναι ΒΟΓ =180ο – Β1- Γ1=180ο –30ο –40ο =110ο .

6)Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Αεξ. = 140° και Β=60°. Να υπολογίσετε τη γωνία των

διχοτόμων των γωνιών Β και Γ του τριγώνου αυτού.



7)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο φέρουμε την διχοτόμο ΑΕ της γωνίας Α στη συνεχεία από

το σημείο Β φέρουμε παράλληλη προς την ΑΕ η οποία τέμνει την προέκταση της ΓΑ στο

Δ .Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΑΔ είναι ισοσκελές .

Λύση

Επειδή η ΑΕ είναι διχοτόμος της γωνίας Α προκύπτει :

1 2Α = Α (1)

Από την παραλληλία των ΑΕ,ΔΒ(ΑΕ//ΔΒ) ισχύει

1 1Α = Β (2)(ως εντός εναλλάξ)

2Α = ∆ (3)(ως εντός εκτός και επι ταυτα μέρη )

Από τις σχέσεις (1) ,(2) , (3) προκύπτει: 1∆ = Β

άρα το τρίγωνο ΒΑΔ είναι ισοσκελές .

8)Έστω ΑΒΓ ένα ισόπλευρο τρίγωνο ,από την κορυφή του Α φέρουμε την κάθετη ΑΔ προς

την ΑΓ τέτοια ώστε ΑΔ=ΒΓ.Να δείξετε ότι η ΒΔ διχοτομεί την γωνία η οποία σχηματίζεται

από την ΑΒ και από το υψος ΒΒ’ του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

Πρέπει να δείξουμε ότι η ΒΔ διχοτομεί την γωνία ΑΒΒ’.

Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές (ΑΔ=ΑΒ)

άρα 1∆ = Β (1)

Οι ΑΔ και ΒΒ’ είναι κάθετες στην ιδία ευθεία

(τον φορέα της ΑΓ) άρα μεταξύ τους

παράλληλες δήλα ΑΔ//ΒΒ’ .Προκύπτει :

2∆ = Β (2)(ως εντός εναλλάξ).

Από (1) και (2) 1 2Β = Β άρα ΒΔ διχοτομεί την

γωνία ΑΒΒ’.



Λύση

Λύση:

α) Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γωνου είναι (ν-2)·180° και έτσι θα έχουμε

(ν-2)·180° = 1080° ή ν-2 =180

1080 ή ν-2 = 6 ή ν=8.

Άρα στο κυρτό οκτάγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι 1080°.

β) Επειδή οι 9 ορθές γωνίες είναι 9-90° = 810°, θα έχουμε

(ν-2)· 180° = 8 10° ή ν-2 = 180

810 ή ν-2 = 4,5 ή ν=6,5 .

Άρα δεν υπάρχει κυρτό πολύγωνο στο οποίο το άθροισμα των γωνιών του να είναι 9 ορθές.

παρατήρηση : Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού ν-γόνου είναι άρτιο πλήθος ορθών

γωνιών, γιατί

(ν-2)·180° = (ν-2)·2 ορθές και ο αριθμός 2(ν-2) είναι άρτιος.

Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ

είναι: ɵ 0180A B+ +Γ = , A =100ο και ɵB = Γ

όποτε

1000+2 B =180ο ή 2 B =80ο ή B =40ο

Άρα και ɵΓ =40ο .

Το τριγωνο ΑΒΜ είναι ισοσκελές ,γιατί

ΑΜ=ΒΜ .Επομένως 1Μ =ΒΑΜ .

Στο τρίγωνο αυτό είναι

B +1Μ +ΒΑΜ =180ο ή 40ο +21Μ =180ο ή

21Μ =140ο ή 1Μ =70ο .

Ομοίως , στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΓΝ

(ΑΓ=ΑΝ=ΓΝ) βρίσκουμε 1Ν =70ο .

Στο τρίγωνο ΑΒΝ έχουμε

B =40ο , 2Ν =180ο –Ν1=180ο –70ο =110ο

και ΒΑΝ =180ο –40ο –110ο =30ο .

9)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνα ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Α = 100°. Στη βάση ΒΓ παίρνουμε τα σημεία Μ

και Ν τέτοια, ώστε να είναι ΒΜ=ΓΝ=ΑΒ. Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΑΜΝ και

ΑΒΝ.

10)α) Σε ποιο κυρτό πολύγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι 1080°;

β) Υπάρχει κυρτό πολύγωνο στο οποίο το άθροισμα των γωνιών του είναι 9 ορθές γωνίες;



Λύση

α)Φέρνουμε τις διχοτόμους Αχ και By δύο εντός εκτός και

επί τα αυτά γωνιών.

Οι γωνίες αυτές είναι ίσες, δηλαδή 2 ω =2 ɵφ και επομένως

ω = ɵφ .

Οι ημιευθείες Αχ και By, τεμνόμενες από την ΑΒ,

σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα

αυτά γωνίες ω και ɵφ ίσες. Άρα είναι Ax//By.

β)Δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι παρα-

πληρωματικές. Επομένως έχουμε 2 ω +2 ɵφ = 180° , δηλαδή

ω + ɵφ = 90° .Στο τρίγωνο ΟΑΒ οι δύο γωνίες του

έχουνάθροισμα 90° και επομένως ΑΟΒ = 90°. Άρα οι

διχοτόμοι ΑΟ και ΒΟ είναι κάθετες.

Λύση

α)Στο τριγωνο ΑΒΔ η γωνία ΑΔΓ είναι εξωτερικη και

ισχύει:

ΑΔΓ=Β + ω

Επίσης στο τριγωνο ΑΔΓ η γωνία ΑΔΒ είναι εξωτερικη και

ισχύει ΑΔΒ=Γ+ω

Άρα ΑΔΓ-ΑΔΒ=(Β+ω)-(Γ+ω)=Β-Γ

β)Επειδη Β=Γ+ω , είναι Β-Γ=18 και επομένως

ΑΔΓ- ΑΔΒ=18ο (1)

Είναι όμως και ΑΔΓ+ΑΔΒ=180 (2). Προσθετουμε κατά μελη (1) και (2) και έχουμε:2ΑΔΓ=198ο ,

δηλαδή ΑΔΓ=99ο .Η (2) τωρα διναι 99ο +ΑΔΒ=180ο ή ΑΔΒ=180ο –99ο =81ο .

11)α)Μια ευθεία ε τέμνει δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο

εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών είναι παράλληλες.

β)Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη ευθεία, να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο

εντός και επί τα αυτά γωνιών είναι κάθετες.

12)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Β>Γ φέρουμε την διχοτόμο ΑΔ.

Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔΓ-ΑΔΒ=Β-Γ .

β)Αν Β=Γ+18ο ,να υπολογίσετε τις γωνίες ΑΔΓ και ΑΔΒ.



Λύση

Το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ισοσκελές (το ΕΜ είναι και υψος και διάμεσος) άρα 1Β = ∆ (1)

όμως ɵΒ = Γ (2)(το ΑΒΓ ισοσκελές ).Από (1) , (2) προκύπτει ότι ɵ1∆ = Γ (3)

Από την ισότητα ɵ1∆ = Γ (εντός εκτός και επί ταύτα )

συμπεραίνουμε ότι ΕΔ//ΑΓ.

Όμοια προκύπτει ότι ΖΔ//ΕΒ

Άρα οι γωνιές ,Ε∆Ζ Α έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και

είναι και οι δυο οξείες κατά συνεπεία είναι ίσες .

Λύση

Οι οξείες γωνιές Β και 1Α = ΓΑ∆ έχουν

τις πλευρές τους κάθετες μια προς μια, γιατί

ΒΑ ⊥ ΑΓ και ΒΓ⊥ ΑΔ . Άρα είναι 1Β = Α .

Το ίδιο συμβαίνει και με τις οξείες γωνιές

ɵΓ και 2Α , γιατί ΓΑ ⊥ ΑΒ και ΓΒ ⊥ ΑΔ.

13)Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ , στην βάση του ΒΓ θεωρούμε τυχαίο σημείο Δ και στην

συνεχεία από τα μέσα Μ και Ν των τμημάτων ΒΔ και ΔΓ αντίστοιχα φέρνουμε κάθετες στην

ΒΓ οι οποίες τέμνουν τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ.

Να δείξετε ότι Ε∆Ζ = Α .

14)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο )φέρουμε το ύψος ΑΔ.Να αποδείξουμε ότι

Β = ΓΑ∆ και ɵ Γ = ΒΑ∆ .



Λύση

i) το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ισοσκελές , διότι ισχύει ΒΔ=ΒΕ.

Αρα:

ɵ φΕ = Β∆Ε =

φΒ∆Ε =Μ∆Γ = , ως κατακορυφην και 2φΑΒΓ = , ως

εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΕ.

Όμως ɵ2Β = Γ και επειδή 2φΒ = , θα είναι

ɵ ɵφΓ = .Επομένως το τρίγωνο ΜΔΓ είναι ισοσκελές .

ii) Είδαμε στο ερώτημα (i) ότι ΜΔ =ΜΓ .οι γωνιές

Α∆Μ και ∆ΑΜ είναι συμπληρωματικές των γωνιών

Μ∆Γ και ɵΓ , οι οποίες είναι ίσες .Άρα

Α∆Μ = ∆ΑΜ .Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι

ισοσκελές , δηλαδή ΜΔ=ΜΑ .Από τις σχέσεις

ΜΔ=ΜΓ και ΜΔ=ΜΑ παίρνουμε ότι ΜΓ=ΜΑ, δηλαδή

το Μ είναι μέσο της ΑΓ.

15)Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ɵ2Β = Γ .Φέρνουμε το υψος ΑΔ και στην προέκταση της ΑΒ προς

το Β παίρνουμε τμήμα ΒΕ=ΒΔ.Η ευθεία ΕΔ τέμνει την ΑΓ στο Μ.

Να αποδειχθεί ότι :

i)To τρίγωνο ΜΔΓ είναι ισοσκελές .

ii) το Μ είναι μέσο του ΑΓ.



Ερωτήσεις Κατανόησης

1)Γιατί κάθε ευθεία παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζει με τους φορείς

των άλλων δυο πλευρών του τρίγωνο ισογώνιο με το ΑΒΓ.

2)Υπάρχει πεντάγωνο με τέσσερεις οξείες γωνίες ;

3)Σε ποια περίπτωση η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας Α ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι παράλληλη

προς την πλευρά ΒΓ;

4)Αν στο παρακάτω σχήμα η ευθεία ΔΑΕ είναι τέτοια ώστε ɵ ɵ ɵ,x y= Β = Γ να δικαιολογήσετε γιατί

ΔΑΕ//ΒΓ.

5)Αν είναι 1ε // 2ε στο παρακάτω σχήμα να βρείτε το χ .

6)Μπορεί να υπάρξει τρίγωνο ΑΒΓ όταν είναι:

α) ɵ2 3A B= = Γ

β) ɵA B= +Γ

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας .

7)Αν στο διπλανό σχήμα ΒΔ και ΓΕ είναι τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ , τότε :

α)Να δικαιολογήσετε γιατί ɵ ɵx y= .

β)Να εκφράσετε την γωνία BHΓ με την βοήθεια της γωνίας Α .



8)Στο παρακάτω τρίγωνο οπού ΑΒ=ΑΔ=ΔΓ να βρεθεί η γωνία ɵx .

9) Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί η γωνία ɵy .

10) Στα παρακάτω σχήματα να υπολογιστούν οι γωνίες που σημειώνονται

11)Να βρεθεί η γωνία φ, αν ε//η



12)Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε και ζ είναι παράλληλες .

Να βρεθεί η γωνία χ.

13)Στο παρακάτω σχήμα να δείξετε ότι

χ+y+ω+φ+ρ+ζ=360ο

14)Να βρεθεί το άθροισμα των γωνιών ενός :

α)πενταγώνου β)εξαγωνου γ) δεκαγωνου


1) Δυο παράλληλες ευθείες 1ε και 1ε τέμνονται από μια τρίτη ευθεία στα σημεία Α και Β. Να

αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δυο εντός εναλλάξ γωνιών στα Α και Β είναι παράλληλες .

2)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ=ΑΓ) και η διάμεσος ΑΜ.Η παράλληλη από το Γ προς

την ΑΜ τέμνει την ευθεία ΒΑ στο Δ.

Να δείξετε ότι ΑΓ=ΑΔ

3)Από τρία σημεία Α,Β και Γ μιας ευθείας ε φέρουμε τις παράλληλες ημιευθειες Αχ,Βy και Γz

προς το ίδιο μέρος της ε .Αν Μ είναι ένα σημείο της Γz να δείξετε ότι yχΑΜΒ = ΜΑ −ΜΒ

4) Να υπολογίσετε τις γωνίες ορθογωνίου τριγώνου αν είναι γνωστό ότι δυο γωνίες του

διαφέρουν κατά 20ο .



5)Στο παρακάτω σχήμα οι ΒΙ και ΓΙ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ .Αν είναι ΙΔ//ΑΒ και

ΙΕ //ΑΓ να δείξετε ότι:

ΙΔ+ΔΕ+ΕΙ=ΒΓ

6)Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΒ//ΓΔ να δείξετε ότι

χ+y-ω=180ο

8) Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο σημείο Ι. Μια ευθεία που

διέρχεται από το Ι και είναι παράλληλη προς την ΒΓ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ

και Ε αντίστοιχα να δείξετε ότι

ΔΕ=ΔΒ+ΕΓ

9) Στο παρακάτω σχήμα η χορδή ΑΒ είναι παράλληλη προς την ακτίνα ΟΔ .Να αποδείξετε ότι

A∆ = ∆Γ

10)Αν σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ//ΓΔ να δείξετε ότι

ɵ Α−Β = Γ −∆ .



11)Στο παρακάτω σχήμα 1ε // 2ε να δείξετε ότι χ+y= 90 ο

12)Στο παρακάτω σχήμα η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β του τριγώνου ΑΒΓ και η ΓΔ η

διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας της ɵΓ .

Αν είναι ΔΕΖ//ΒΓ ,ΒΖ=8 και ΕΓ=6 , να υπολογίσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΖΕ.

13)Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και από το Α φέρνουμε παράλληλη ευθεία ε προς την πλευρά ΒΓ.Η

ε τέμνει τις ευθείες των διχοτομών ΒΔ και ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ στα σημεία Η και Ζ αντίστοιχα

.Να δείξετε ότι :

α)Το ΑΒΗ τρίγωνο είναι ισοσκελές

β) ΗΖ=ΑΒ+ΑΓ

14) Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90ο

α) Αν είναι χ=30ο και Β=60ο , να υπολογίσετε τις γωνίες Γ,y,α και β.

β)Αν α=β , Γ=30ο και Β=2y να υπολογίσετε τα α,β,χ,y και Β.

γ)Αν χ=y και Β=45ο να υπολογίσετε τις γωνίες α,β,χ,y και Γ.

Ε



15) Στα παρακάτω σχήματα να εκφράσετε την γωνία χ με την βοήθεια των γωνιών α,β,γ.

16) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι 2Α = Β και ɵ2Α = Γ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές .

17) Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με 090Α = και Η είναι το σημείο τομής του υψος του ΑΔ και της

διχοτόμου του ΒΕ , τότε :

α)Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΗ είναι ισοσκελές

β)Να βρείτε ποιο είναι το είδος του τριγώνου ΑΕΗ αν

ɵ 030Γ =

18)Στο παρακάτω σχήμα η ΑΟΒ είναι διάμετρος του κύκλου με κέντρο Ο και 2ΒΟ∆ = Α να

δείξετε ότι

α) 2ΒΟΓ = Α

β) ΓΒ = Β∆

19)Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ=ΑΓ). Οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ɵΓ τέμνονται στο Ο

να δείξετε ότι ɵεξΒΟΓ = Γ .

20)Αν στο παρακάτω σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος και η ΓΔ

χορδή τέτοια ώστε χ=y τότε

α)Να εκφράσετε την γωνία ΓΟ∆ με την βοήθεια της γωνίας i)

Δ ii) y

β)Να δείξετε ότι ΓΔ//ΑΒ.



21)Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ɵΑ = Γ .Αν η διχοτόμος της γωνίας ∆ τέμνει τις ΑΒ , ΒΓ

στα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα να δείξετε ότι το τρίγωνο ΒΜΝ είναι ισοσκελές .

22)Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και 020Α = , αν Δ είναι σημείο της ΑΓ τέτοιο ώστε

060∆ΒΓ = να δείξετε ότι ΑΔ=ΒΔ.

23)Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ɵ3Β = Γ , στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε

ΑΒ=ΑΔ.

α)Να υπολογίσετε με την βοήθεια της γωνίας ɵΓ την γωνία Α∆Β

β)να δείξετε ότι ΒΔ=ΔΓ.

24)Στο παρακάτω σχήμα οι ΑΒ και ΑΓ και ΔΕ είναι εφαπτόμενες του κύκλου με κέντρο Ο .Αν

030ΒΑΓ = να δείξετε ότι 075∆ΟΕ = .

25) Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ , αν η μεγαλύτερη γωνία είναι μικρότερη του αθροίσματος των δυο

άλλων γωνιών τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο .

26)Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος το Ο είναι τυχαίο σημείο του εσωτερικού του να

δείξετε ότι

ΒΟΓ−ΒΑΓ = ΟΒΑ−ΟΓΑ



27)Στο παρακάτω σχήμα του τριγώνου ΑΒΓ είναι ισόπλευρο και 3

xΑΓ

Α∆ = ΒΕ = = .

Να δείξετε ότι ∆Ε ⊥ ΒΓ .

28)Στο διπλανό σχήμα ισχύει ότι :

090Α = Β = ,ΑΜ=ΒΔ και ΑΓ=ΜΒ .

Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΓΜΔ είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές στο Μ.

29)Δυο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Δυο χορδές αυτών ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα είναι κάθετες .

Να δείξετε ότι ΚΒ//ΑΓ.

30)Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 090Α = φέρω το υψος ΑΔ , την διχοτόμο ΒΕ και την

διχοτόμο ΑΖ του τριγώνου ΔΑΓ .Να δείξετε ότι ΑΖ ⊥ ΒΕ .

31)Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Φέρνουμε την ημιευθεια x AΑ ⊥ Γ , η οποία

βρίσκεται στο ημιεπιπεδο της ΑΓ που δεν ανήκει στο σημείο Β.

Στην Αx παίρνουμε τμήμα ΑΔ=ΑΓ να δείξετε ότι 045∆ΒΓ =



32)Προεκτείνουμε την υποτείνουσα ΓΒ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ( 090Α = ) κατά τμήμα

ΒΔ=ΒΑ.Η διχοτόμος της γωνίας ɵΓ τέμνει την ΑΔ στο Ε.Ο κύκλος (γ) με κέντρο το Α και ακτίνα

ΑΕ τέμνει ξανά την ΕΓ στο Ζ.

Να δείξετε ότι:

α)Η ΕΖ χωρίζει τον κύκλο (γ) σε δυο τόξα από τα οποία το ένα να

είναι τριπλάσιο του αλλού .

(Ε.Μ.Ε 2000)

33)Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο σημείο Ο .Αν ΑΒ=ΟΔ,

ΑΔ=ΟΓ και ΒΑΓ = Β∆Α να δείξετε ότι ΑΒ//ΓΔ.

34)Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 2,3,4 να βρεθούν οι

γωνίες του τριγώνου .

35)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ , σημείο Δ στην βάση ΒΓ και σημείο Ε στην πλευρά

ΑΓ τέτοιο ώστε 2ΒΑ∆ = Γ∆Ε .

Να δείξετε ότι ΑΔ=ΑΕ.

36) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 60οΑ = και οι διχοτόμοι του ΒΔ και ΓΕ.

Να δείξετε ότι:

α) Β∆Γ = ΓΕΑ

β)ΒΕ+ΓΔ=ΒΓ



37) Οι διχοτόμοι των γωνιών Γ και Δ ενός τετράπλευρου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ε.

Να δείξετε ότι ɵ

2

Α+ΒΕ =



ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ

Δηλαδή το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο μόνο όταν έχει

ΑΒ//ΔΓ και ΑΔ//ΒΓ

Tα στοιχεία ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, εκτός

από τις πλευρές και τις γωνίες του, είναι:

• οι διαγώνιοι του ΑΓ και ΒΔ,

• το κέντρο του, δηλαδή το σημείο τομής Ο των

διαφωνιών του,

• τα ύψη του, δηλαδή οι αποστάσεις μιας

κορυφής από τις απέναντι πλευρές του, για

παράδειγμα τα ΑΕ και ΑΖ,

• οι βάσεις του, δηλαδή οι πλευρές εκείνες του παραλληλογράμμου που αντιστοιχούν στα ύψη

του, για παράδειγμα για το ύψος ΑΕ του παραλληλογράμμου ως βάση θεωρείται η πλευρά ΔΓ

στην οποία αυτό αντιστοιχεί, ενώ για το ΑΖ η ΒΓ.

Κάθε παραλληλόγραμμο έχει τις παρακάτω ιδιότητες

Ισχύουν ακόμη τα παρακάτω:

Πόρισμα 1

Το σημείο τομής των διαγώνιων ενός παραλληλογράμμου

είναι κέντρο συμμετρίας του (γι' αυτό και καλείται κέντρο του

παραλληλογράμμου).

Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται

παραλληλόγραμμο.

•Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, δηλαδή ΑΒ = ΔΓ και ΑΔ = ΒΓ

•Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες, δηλαδή Α = Γ και Β = Δ

•Οι διαγώνιοι του διχοτομούνται, δηλαδή και ΑΟ=ΟΓ και ΔΟ= ΟΒ



Πόρισμα 2

Tα παράλληλα τμήματα τα οποία έχουν τα άκρα τους σε

δύο παράλληλες ευθείες είναι ίσα.

Δηλαδή, αν 1 2//ε ε και ΑΒ//ΔΓ//ΕΖ, τότε

ΑΒ = ΔΓ = ΕΖ

Κριτήρια για τα παραλληλόγραμμα

Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο όταν ισχύει ένα από τα παρακάτω:

• Αν ΑΒ = ΔΓ και ΑΔ = ΒΓ, δηλαδή αν οι απέναντι πλευρές είναι ανά δύο ίσες.

• Αν Α = Γ και Δ = Β, δηλαδή αν οι απέναντι γωνίες είναι

ανά δύο ίσες.

• Αν ΑΒ = ΔΓ και ΑΒ//ΔΓ ή ΑΔ = ΒΓ και ΑΔ//ΒΓ, δηλαδή αν

δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες.

• Αν ΑΟ=ΟΓ και ΔΟ=ΟΒ , δηλαδή αν οι διαγώνιοι του

διχοτομούνται

Παραδείγματα

Λύση Οι γωνίες Α και Β είναι παραπληρωματικές, γιατί είναι

εντός και επί τα αυτά γωνίες των παραλλήλων ΑΑ και ΒΓ,

που τέμνονται από την ΑΒ. Επειδή Α<90°, είναι Β>90°.

Στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΑ είναι ΑΒ = ΑΒ, ΒΓ = ΑΑ και Β>Α

(δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες).

Άρα είναι και ΑΓ > ΒΑ.

1)Αν σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α<90°, να αποδείξετε ότι ΑΓ>ΒΔ.



Λύση:

Οι διαδοχικές γωνίες Α και Β ενός

παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι παραπληρωματικές.

Αν ΑΚ και ΒΚ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Β

τότε έχουμε:

0

01 1

18090

2 2 2 2

Α Β Α+ΒΑ +Β = + = = =

και επομένως ΑΚΒ=90°.

Άρα ΑΚ.⊥ ΒΚ.

.

Απάντηση

α) Για τις γωνίες του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ ισχύει ότι:

ɵΑ = Γ και Β = ∆

Άρα είναι

ɵ Γ = Α = 120°

Προκειμένου να υπολογίσουμε τη γωνία ∆ , άρα και τη Β , παρατηρούμε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΔΓ

είναι παράλληλες και έχουν τέμνουσα τη ΔΑ, επομένως οι γωνίες Α και ∆ είναι εντός και επί τα

αυτά μέρη, συνεπώς θα ισχύει

0180Α+∆ = ή 0180∆ = −Α ή ∆ = 180° - 120° = 60° =Β

β) Έχουμε:

2)Nα αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών παραλληλογράμμου είναι

κάθετες.

3)Να υπολογίσετε τις γωνίες των επομένων παραλληλογράμμων



Β = ∆ = ω

Όμως, όπως προκύπτει από το σχήμα, είναι

3ω + ω = 180° ή 4ω = 180° ή ω = 45°

οπότε:

Β = ∆ =45°

Επειδή τώρα είναι ɵΒ+Γ = 180°, παίρνουμε ότι ɵΓ = 180° - 45° = 135°, άρα

ɵΑ = Γ =135°.

Λύση:

Το τετράπλευρο ΑΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει τις

απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Η περίμετρος του ΑΕΔΖ είναι

2 2 2( )ΑΖ+ ∆Ζ + ∆Ε+ ΑΕ = ΑΖ+ ∆Ζ = ΑΖ+ ∆Ζ .

Επειδή Β=Γ και Γ=ΖΔΒ (εντός εκτός και επί

.τα αυτά), προκύπτει ότι Β=ΖΔΒ και επομένως ΔΖ ΒΖ.

Άρα η περίμετρος του ΑΕΔΖ γράφεται

2(ΑΖ+ΒΖ) = 2ΑΒ και είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη από τη

θέση του Δ πάνω στη ΒΓ.

Λύση:

Επειδή οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ διχοτομούνται, συμπεραίνουμε ότι το τμήμα ΕΖ διχοτομεί την

ΑΓ. Για να δείξουμε λοιπόν ότι και η ΑΓ διχοτομεί το

τμήμα ΕΖ, αρκεί το τετράπλευρο ΑΕΓΖ να είναι


Παρατηρούμε ότι οι πλευρές του ΑΕ και ΓΖ είναι

παράλληλες, γιατί και οι δύο είναι κάθετες στη διαγώνιο

ΒΔ.

4) Από τυχαίο σημείο Δ της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες

προς τις ΑΒ και ΑΓ, που τέμνουν τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα στα σημεία Ε και Ζ. Nα

αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΔΖ είναι παραλληλόγραμμο με σταθερή περίμετρο

5) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Ε, Ζ οι προβολές των κορυφών Α, Γ

αντίστοιχα πάνω στη διαγώνιο ΒΔ, Nα αποδείξετε ότι η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί το

ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ.

4) Από τυχαίο σημείο Δ της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλες



Tα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΖΓ είναι ίσα, γιατί

ΑΔ = ΒΓ και 1 1∆ = Β

(ως εντός εναλλάξ).

Επομένως ΑΕ = ΓΖ. Το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι απέναντι πλευρές

του ΑΕ και ΓΖ είναι παράλληλες και ίσες.

Λύση

Επειδή τα τμήματα ΑΕ και ΓΖ είναι ίσα και παράλληλα, συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο

ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ΕΖ και ΑΓ

του ΑΕΓΖ διχοτομούνται, δηλαδή έχουν το ίδιο μέσο Ο.

Αλλά το μέσο Ο της διαγώνιου ΑΓ του πα-

ραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι μέσο και της διαγώνιου ΒΔ.

Αρα λοιπόν οι ευθείες ΑΓ, ΒΔ και ΕΖ διέρχονται από το

ίδιο σημείο Ο.

Λύση:

Ίο τετράπλευρο ΑΒΓΜ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι

διαγώνιοι του ΑΓ και ΒΜ διχοτομούνται. Επομένως ΑΜ//ΒΓ και

ΑΜ=ΒΓ.

Ομοίως, το τετράπλευρο ΑΓΒΝ είναι παραλληλόγραμμο (Ε κοινό

μέσο των διαγώνιων ΑΒ και ΓΝ) και επομένως ΑΝ//ΒΓ και ΑΝ=ΒΓ.

Έτσι έχουμε ΑΜ=ΑΝ=ΒΓ και ΑΜ//ΒΓ//ΑΝ.

Άρα τα σημεία Α, Μ, Ν είναι συνευθειακά και το Α είναι μέσο του τμήματος ΜΝ.

6)Στις πλευρές ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε δυο σημεία Ε και Ζ

αντίστοιχα τέτοια ώστε να είναι ΑΕ=ΓΖ. Nα αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΓ, ΒΔ και ΕΖ διέρχονται

από το ίδιο σημείο.

7)Προεκτείνουμε τις διαμέσους ΒΔ και ΓΕ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα κατά τμήματα ΔΜ=ΒΔ

και ΕΝ=ΓΕ. Nα αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Μ, Ν είναι συνευθειακά και το Α είναι μέσο του

ΜΝ.



Λύση:

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

ɵ ɵ 0180ω φ+Γ + =

. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΒΓΕ η Β είναι εξωτερική

γωνία και επομένως Β=2ω, δηλαδή

2ω

Β= .

Ομοίως διαπιστώνουμε ότι είναι ɵ

2φ

∆= και έτσι έχουμε:

ɵ ɵ

ɵ ɵ ( )2 2

ω φΒ ∆

+Γ + = + +Γ = Β+Γ Β = ∆

Οι γωνίες Β και ɵΓ ως εντός εκτός και επι ταυτα , είναι παραπληρωματικές και άρα

ɵ ɵ ɵ 0180ω φ+Γ + = Β+Γ =

Λύση:

α) Tα τρίγωνα ΑΘΕ και ΓΗΖ είναι ίσα, γιατί έχουν

i) ΕΘ=ΕΖ, ως απέναντι πλευρές του παραλλη-

λογράμμου ΕΖΗΘ.

ii)

1 1Ε = Η οξείες γωνίες με πλευρές παράλληλες

iii)

1 1Θ = Ζ για τον ίδιο λόγο.

Από την ισότητα των τριγώνων αυτών συμπεραίνουμε

ότι ΑΕ=ΓΗ και ΑΘ= ΓΖ.

8)Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατά τμήματα

ΒΕ=ΒΓ και ΔΖ=ΔΓ αντίστοιχα. Nα αποδείξετε ότι τα σημεία Ε, Γ, Ζ είναι συνευθειακά.

9)Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ παίρνουμε αντίστοιχα τα

σημεία Ε, Ζ, Η και Θ έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΕΖΗΘ να είναι παραλληλόγραμμο. Nα


α) ΑΕ = ΓΗ και ΑΘ = ΓΖ.

β) Tα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ έχουν το ίδιο κέντρο.



β) Επειδή τα τμήματα ΑΕ και ΓΗ είναι ίσα και παράλληλα, το τετράπλευρο ΑΕΓΗ είναι πα-

ραλληλόγραμμο και το κέντρο Ο αυτού είναι το κοινό

μέσο των διαγωνίων του ΑΓ και ΕΗ. Tο μέσο Ο της ΑΓ

είναι το κέντρο του ΑΒΓΔ, ενώ το μέσο Ο της ΕΗ είναι το

κέντρο του ΕΖΗΘ.

Αρα λοιπόν τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ έχουν

το ίδιο κέντρο.

Λύση

Από την ισότητα ΑΒ=2ΒΓ και επειόή το Μ είναι μέσο της ΓΛ, προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΔΜ και

ΒΓΜ είναι ισοσκελή.

Στα τρίγωνα αυτά έχουμε

02 180ω = −∆ και ɵ ɵ02 180φ = −Γ

δηλαδή

0902

ω∆

= − και ɵ

ɵ090

2φ

Γ= −

Επομένως

ɵ ɵ ɵ 0

0 0 0 0180180 ( ) 180 ( ) 180 90

2 2 2 2ω φ

∆ Γ ∆ +Γ+ = − + = − = − = .

Αρα 090ΑΜΒ =

Σημείωση: Αν ένα τετράπλευρο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές πάνω στις πλευρές τετράπλευρου

ΑΒΓΔ, τότε λέμε ότι το ΕΖΗΘ είναι εγγεγραμμένο στο ΑΒΓΔ. Έτσι, αποδείξαμε παραπάνω

ότι:

Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι εγγεγραμμένο σ' ένα άλλο παραλληλόγραμμο, τότε τα

κέντρα τους συμπίπτουν

10)Αν σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ=2·ΒΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΓΔ, να

αποδείξετε ότι ΑΜΒ = 90°.



1η περίπτωση:

Tα Γ, Δ βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της ΑΒ.

Οι ευθείες 1ε και 2ε είναι παράλληλες, αφού είναι κάθετες στην ΑΒ.

Επειδή ΑΓ//= ΒΔ, το ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο και άρα ΓΔ//ΑΒ.

2η περίπτωση:

Tα Γ, Δ βρίσκονται εκατέρωθεν της ΑΒ. Επειδή ΑΓ//=ΒΔ, το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι

παραλληλόγραμμο. Αρα, οι διαγώνιοι αυτού ΑΒ και ΓΔ διχοτομούνται, η ΓΔ διέρχεται από το

μέσο Ο της ΑΒ, που είναι το κέντρο του κύκλου .

Λυση

α)Φέρουμε τις διχοτόμους Δχ και Βψ των εξωτερικών

γωνιών ∆ και Β παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Η προέκταση της

ΔΓ τέμνει τη Βψ στο σημείο Ε.

Ισχύουν οι ισότητες:

1 1Β = ∆ (ως μισά ίσων γωνιών)

και

1 2Β = Β και

2 1Β = Ε (εντός εναλλάξ).

11 )Φέρουμε τις εφαπτόμενες 1ε και 2ε ενός κυκλου διαμέτρου ΑΒ στα σημεία Α και Β.

Πάνω στις 1ε και 2ε παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Γ και Δ, ώστε να είναι ΑΓ=ΒΔ. Nα

αποδείξετε ότι η ΓΔ είναι παράλληλη προς την ΑΒ ή διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

12)Σε κάθε παραλληλόγραμμο να αποδείξετε ότι:

α) Οι διχοτόμοι δύο απέναντι εξωτερικών γωνιών του είναι παράλληλες.

β) Οι διχοτόμοι δυο διαδοχικών εξωτερικών γωνιών του είναι κάθετες.



Άρα,

2 1∆ = Ε και, επομένως, Δχ//Βψ.

β)Επειδή

00

1 1

18090

2 2 2εξ εξΑ Β

Α +Β = + = =

είναι ΑΟ ⊥ ΒΟ .

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ

1)Nα υπολογίσετε τις γωνίες ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, όταν είναι:

α) 060Α = α) ɵ4Β = Γ

2)Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΑΔ φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Α, που τέμνει

τη ΔΓ στο Ε.

α) Nα αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

β) Nα υπολογίσετε το άθροισμα ΒΓ + ΓΕ.

3)Από σημείο Μ εκτός κύκλου κέντρου Ο φέρουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και MB αυτού. Η

διάμετρος του κύκλου, που είναι κάθετη στην ΟΜ, τέμνει τις ευθείες ΜΑ και MB στα σημεία Γ

και Δ αντίστοιχα. Η ευθεία ΑΟ τέμνει το κύκλο στο σημείο Ε. Nα αποδείξετε ότι η ευθεία ΔΕ

είναι εφαπτομένη του κύκλου.

4)Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τις προβολές Ε και Ζ των κορυφών Α και Γ αντίστοιχα

πάνω στη διαγώνιο ΒΔ. Nα αποδείξετε ότι η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ.

5)Αν προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατά ευθύγραμμα

τμήματα ΒΕ = ΒΓ και ΔΖ=ΔΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία Γ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.

6)Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατά ευθύγραμμα

τμήματα

ΒΕ=ΑΒ, ΓΖ = ΒΓ, ΔΗ = ΓΔ, ΑΘ=ΑΔ αντίστοιχα.



Nα αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο .

ΑΒ<ΔΕ+ΔΖ<ΑΓ.

7) Δίνονται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΑΒΕΖ .Να αποδείξετε ότι το ΔΕΓΖ είναι επίσης


ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ- ΡΟΜΒΟΣ- ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει όλες τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων και επιπλέον

οι διαγώνιοι του είναι ίσες.

Δηλαδή ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο, αν και μόνο αν ισχύει ΑΓ - ΒΔ.

Κριτήρια για τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αρκεί

να αποδείξουμε ένα από τα παρακάτω:

• Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μία ορθή γωνία.

• Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του είναι

ίσες.

• Έχει τρεις γωνίες ορθές.

• Όλες οι γωνίες του είναι ίσες

Ο ρόμβος, εκτός από τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων, έχει

και τις παρακάτω ιδιότητες, οι οποίες αναφέρονται στις

διαγώνιους του.

Οι διαγώνιοι του ρόμβου:

• τέμνονται κάθετα,

• είναι διχοτόμοι των γωνιών του,

• είναι άξονες συμμετρίας του.

Κριτήρια για το ρόμβο

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι ρόμβος, αρκεί να

αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα παρακάτω:

• Έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

• Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες.

• Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.

• Είναι παραλληλόγραμμο και μια διαγώνιος του είναι διχοτόμος μιας γωνίας του.

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ονομάζουμε κάθε παραλληλόγραμμο που έχει τουλάχιστον

μία γωνία ορθή, οπότε θα έχει όλες τις γωνίες ορθές.

Ρόμβο ονομάζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.



Το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογώνιου παραλληλογράμμου και του ρόμβου

Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αρκεί vα

αποδείξουμε ότι είναι ορθογώνιο και ρόμβος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Απόδειξη:

Έστω όχι σ' ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισα ύψη ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. Tα ορθογώνια τρίγωνα

ΑΕΔ και ΑΒΖ είναι ίσα

(ΑΕ = ΑΖ και Β = ∆ ) Επομένως, ισχύει ΑΒ = ΑΔ, που σημαίνει ότι το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος.

Αντιστρόφως, αν το ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΕ∆ και ΑΒΖ είναι ίσα (ΑΒ =

Α∆ και Β = ∆ ) και, εποµένως, ΑΕ=ΑΖ.

Απόδειξη:

Από ένα σημείο Δ της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε τις

κάθετες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ, που τις τέμνουν στα σημεία Ε και Ζ


Αν το Δ συμπίπτει με το Β, τότε το ΔΕ είναι μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα

και το ΔΖ ισούται με το ύψος ΒΗ. Θα πρέπει, επομένως, να αποδείξουμε ότι

για οποιαδήποτε θέση του Δ ισχύει ΔΕ + ΔΖ = ΒΗ.

Αν φέρουμε και τη ΔΘ⊥ ΒΗ, τότε στο ορθογώνιο ΔΘΗΖ είναι ΔΖ = ΘΗ.

Επίσης, από την ισότητα των ορθογώνιων τριγώνων ΒΕΔ και ΒΘΔ (ΒΔ = ΒΔ,

Τετράγωνο ονομάζουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο είναι και ρόμβος.

1) Ένα παραλληλόγραμμο με ίσα ύψη είναι ρόμβος και αντιστρόφως.

2)Το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις

ίσες πλευρές του είναι σταθερό.



ɵ Β = Γ = Θ∆Β , έχουμε

ΔΕ = ΒΘ.

Άρα, ΔΕ + ΔΖ = ΒΘ + ΘΗ = ΒΗ = σταθερό.

Λυση

Tα τρίγωνα ΕΑΘ, ΕΒΖ, ΖΓΗ και ΗΔθ είναι ίσα, αφού έχουν δύο

πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία 150°.

Επομένως, ισχύει

ΕΖ=ΖΗ=ΗΘ=ΘΕ (1).

Επίσης, ισχύει

1 1Ε = Θ και ɵ 01 1 30Ε +Θ = , οπότε

ɵ 01 15Ε = .

Ομοίως, ɵ0

2 15Ε = και άρα ΘΕΖ = 90° (2).

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ

είναι τετράγωνο.

Λύση

α) Οι διχοτόμοι ΑΔ και ΑΕ της Α είναι κάθετες.

Επομένως το τετράπλευρο ΑΔΒΕ έχει τρεις ορθές γωνίες

και γι' αυτό είναι ορθογώνιο.

β) Η διαγώνιος ΔΕ του ορθογωνίου ΑΔΒΕ διέρχεται από το

μέσο Ζ της διαγωνίου ΑΒ. Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου

είναι ίσες και επομένως

ισχύει ΖΑ=ΖΔ. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΖΑΔ ισχύει

1 1Α = ∆ και επειδή

1 2Α = Α , έχουμε

1 2∆ = Α .

Αρα, είναι ΔΕ//ΑΓ.

4)Έστω Δ και Ε οι προβολές της κορυφής Β ενός τριγώνου ΑΒΓ στις διχοτόμους

της γωνίας Α .Να αποδείξετε ότι :

α) Το τετράπλευρο με κορυφές Α,Δ,Β,Ε είναι ορθογώνιο.

β)Η ευθεία ΔΕ διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΑΒ και είναι παράλληλη προς

την πλευρά ΑΓ.

3)Έξω από ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ,ΒΓΖ,ΓΔΗ,

και ΔΑΘ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.



Λύση

Από την ισότητα των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΕ προκύπτει ότι ΔΕ=ΓΕ και άρα το τρίγωνο ΓΔΕ είναι

ισοσκελές. Επειδή ɵ 1 1Ε = ∆ και ɵ 0

1 1 150Ε + ∆ = , είναι

ɵ 01 1 75Ε = ∆ = .

Άρα 0

2 15∆ = .

Ομοίως ɵ0

2 15Γ = και επομένως 0150

∧

∆ΕΓ = .

Λυση

Το τετράπλευρο ΟΑΖΔ είναι ορθογώνιο, επειδή έχει τρεις ορθές γωνίες.

Επίσης, τα εφαπτόμενα ευθύγραμμα τμήματα ΖΑ και ΖΔ είναι ίσα.

Γι' αυτό το ΟΑΖΔ είναι τετράγωνο.

Εύκολα πλέον τώρα διαπιστώνουμε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τε-

τράγωνο.

6)Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες ενός κύκλου στα άκρα δυο καθέτων διαμετρών του

σχηματίζουν τετράγωνο.

5)Αν μέσα σε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάσουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ , να

αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνιές του



Λύση

Επειδή ΑΕ = ΑΖ = ΓΘ = ΓΗ = ρ, είναι και

ΒΕ=ΔΖ = ΒΘ = ΔΗ.

Tα τρίγωνα ΑΕΖ και ΓΗθ είναι ίσα,

οπότε ισχύει ΕΖ = ΘΗ.

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΕΖ η διχοτόμος

ΑΚ της Α είναι και ύψος.

Επομένως ΕΖ//ΒΔ. Ομοίως ΘΗ//ΒΔ και

έτσι έχουμε ΕΖ//=ΘΗ, που σημαίνει ότι το

ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.

Ομοίως αποδεικνύουμε ότι ΕΘ//ΑΓ, οπότε

ΕΘ⊥ ΕΖ.

Άρα, το ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο

Λυση

Απο την ισότητα των τριγωνων ΑΒΖ και ΑΔΕ συμπεραίνουμε

ότι ΑΖ=ΔΕ.

Επίσης ιοχύει 1

∧ ∧

∆ = ΒΑΖ και επομένως

01 1 1 90

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

∆ +Β = Α +ΒΑΖ = Α = , πον σημαίνει ότι

το τρίγωνο ΑΚΔ είναι ορθογώνιο. Αρα ΑΖ⊥ ΔΕ.

7)Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ.Με κέντρα τα Α,Γ και ακτίνα 2

ρΑΓ

≤ γραφούμε δυο κύκλους

από τους οποίους ο πρώτος τέμνει τις ΑΒ και ΑΔ στα Ε και Ζ αντίστοιχα , ενώ ο δεύτερος

τέμνει τις ΒΓ και ΓΔ στα Θ και Η αντίστοιχα .Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ

είναι ορθογώνιο.

8)Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ παίρνουμε δυο σημεία Ε και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα

τέτοια ώστε ΑΕ=ΒΖ .Να αποδείξετε ότι ΑΖ=ΔΕ και ΑΖ⊥ ΔΕ




1)Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος

είναι ρόμβος .Αν α=(3x-2) μοίρες και β=(2χ+7) μοίρες ,

να υπολογίσετε το χ.

2)Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ .Έστω Ε και Ζ σημεία της διαγώνιου ΒΔ , ώστε ΒΔ =ΔΖ.

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι ρόμβος .

3)Δυο ευθείες τέμνονται στο σημείο Ο .Επι των ευθειών αυτών παίρνουμε εκατέρωθεν του Ο

τα μήκη ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=ΟΔ .Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο.

4)Προεκτείνουμε την διαγώνιο ΑΓ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ κατά τμήμα ΓΕ=ΑΒ.Να υπολογίσετε

τις γωνιές του τριγώνου ΒΓΕ.

5)Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ .Από τυχαίο σημείο Κ της μιας διαγώνιου ΑΓ του τετραγώνου

φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΚΒ,ΚΔ.Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΚΔ και ΑΚΒ είναι

ίσα.

6)Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ=ΑΔ και ΓΒ=ΓΔ. Να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιες είναι

κάθετες δηλαδη ΑΓ ⊥ Β∆ .

7)Στο διπλανό τετράγωνο ΑΒΓΔ παίρνουμε τμήματα ΑΕ=ΑΖ=ΓΘ=ΓΗ.

Να αποδείξετε ότι το ΕΖΘΗ είναι

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

8)Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός παραλληλογράμμου τεμνομενες ανά δυο

σχηματίζουν ορθογώνιο.

9)Να αποδείξετε ότι κάθε κορυφή ρόμβου ισαπέχει από τις απέναντι πλευρές .

10)Σε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Α=45ο . Η μεσοκάθετος της πλευράς ΑΒ τέμνει τις

ευθείες ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι το ΕΑΖΒ είναι τετράγωνο.

11)θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ , το υψος του ΑΔ και τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και

ΑΓ αντίστοιχα. Προεκτείνουμε την ΔΝ κατά τμήμα ΝΚ=ΝΔ και την ΔΜ κατά τμήμα ΜΛ=ΜΔ

α) Να αποδείξετε ότι ΑΔΓΚ είναι ορθογώνιο

β)Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ,Α και Λ είναι συνευθειακα

γ) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΔ.

12)Θεωρούμε ένα εσωτερικό σημείο Ο ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ .Ας είναι

Ε,Ζ,Η,Θ τα συμμετρικά του Ο ως προς τις πλευρές του ορθογωνίου. Να αποδείξετε ότι οι

κορυφές του ΑΒΓΔ είναι τα μέσα των πλευρών του τετράπλευρου ΕΖΗΘ.



13 )Κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ στην συνεχεία εντός του κατασκευάζουμε τρίγωνο

ισόπλευρο ΑΒΕ εντός του τετραγώνου.

Να υπολογίσετε την γωνία ΔΓΕ(σε μοιρες)

14)Στο παρακάτω γεωμετρικό σχήμα ,ένα έντομο ξεκινά από το σημείο Α με κατεύθυνση το

σημείο Β. Την ίδια χρονική στιγμή ένα άλλο έντομο ξεκινά από το σημείο C και κινείται προς

το σημείο D.

Αν και τα δυο έντομα κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα, ποιο θα τερματίσει πρώτο;



ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ

Ετσι, αν στο διπλανό σχήμα Μ και Ν είναι

τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα,

ισχύει ΜΝ// ΒΓ και 2

ΒΓΜΝ =

Ισχύει και η αντιστροφή πρόταση:

Έτσι, αν στο διπλανό σχήμα το Μ είναι μέσο της ΑΒ και ε||ΒΓ,

τότε το Ν

θα είναι μέσο της ΑΓ.

Θεώρημα

To ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο

προς την τρίτη πλευρά και ισούται με το μισό της.

Θεώρημα

Αν μια ευθεία διέρχεται από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου και είναι παράλληλη προς

κάποια πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς.

Θεώρημα

Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μια τέμνουσα ευθεία ίσα ευθύγραμμα τμήματα, τότε

θα ορίζουν και σε κάθε άλλη τέμνουσα ευθεία ίσα ευθύγραμμα τμήματα



Για να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε 3 ίσα ευθύγραμμα τμήματα, εργαζόμαστε ως

εξης :

Φέρνουμε μια τυχαία ημιευθεία Αχ.

Πάνω σε αυτήν παίρνουμε τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ = ΔΕ =

ΕΖ.

Ενώνουμε το σημείο Ζ με το Β και στη συνέχεια από τα σημεία Δ

και Ε φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τη ΖΒ, που τέμνουν

το ΑΒ στα σημεία Κ και Λ.

Τότε (από το παραπάνω θεώρημα) θα έχουμε ότι

ΑΚ = ΚΛ =ΑΒ

Μεσοπαραλληλος δυο ευθειών

Έστω δύο παράλληλες ευθείες 1ε και 2ε · Ο γεωμετρικός

τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν από τις 1ε και

2ε ·είναι μια ευθεία ε παράλληλη προς τις 1ε και 2ε , η οποία

ονομάζεται μεσοπαράλληλος των 1ε και 2ε .

Η μεσοπαραλληλος διέρχεται από τα μέσα όλων των

τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις δυο παράλληλες

Έτσι, με βάση το διπλανό σχήμα, το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο.

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει ακόμα και αν το τετράπλευρο δεν είναι κυρτό

(βλέπε σχήμα)

Θεώρημα

To τετράπλευρο που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών ενός τετράπλευρου (κυρτού ή

μη κυρτού) είναι παραλληλόγραμμο.



Σχόλιο :Στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθόκεντρο συμπίπτει με την

κορυφή της ορθής γωνίας του τριγώνου, ενώ σε ένα αμβλυγώνιο

τρίγωνο το ορθόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου.

Ισχύει και το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος. Δηλαδή:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και AM, BN και ΓΡ οι διάμεσοι του.

Τότε οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ, το

οποίο λέγεται βαρύκεντρο ή κέντρο βάρους του τριγώνου.

Ισχύει η σχέση:

ΑΘ = 2ΘΜ ή ΑΘ = 2

3 AM

Θεώρημα

Οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, του οποίον η

απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 2

3του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου

Θεώρημα

Tα τρία ύψη ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, BE και ΓΖ τα ύψη του. Τότε τα τρία ύψη διέρχονται από το

ίδιο σημείο Η, το οποίο λέγεται ορθοκεντρο του τριγώνου.

Θεώρημα

Η διάμεσος ενός ορθογώνιου τριγώνου που καταλήγει στην υποτείνουσα είναι ίση με το

μισό της υποτείνουσας.



Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ισχύει ότι:

Πόρισμα :Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η μία του οξεία γωνία ισούται με 30°, τότε η

απέναντι από αυτήν πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

(Δηλαδή, αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 90° και Γ = 30°, τότε ΑΜ= 1

2 ΒΓ)

Χρήσιμες παρατηρήσεις

• Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α = 90° και η AM είναι η διάμεσος, τότε τα

τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ είναι ισοσκελή.

•Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει :

2α

αµ = αν και μονό αν

090Α =

2α

αµ < αν και μονό αν

090Α >

2α

αµ > αν και μονό αν

090Α <

Δηλαδή, αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Α = 90° και AM

είναι η διάμεσος που καταλήγει στην υποτείνουσα, τότε ισχύει

ότι

ΑΜ= 1

2 ΒΓ

Αντίστροφα αν ΑΜ= 1

2 ΒΓ τότε Α=90ο .

Θεώρημα

Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί,

τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.



Παραδείγματα

Λυση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΓ η διάμεσος ΔΜ αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ.

Επομένως, ισχύει 2

ΒΓ∆Μ = Ομοίως, στο ορθογώνιο

τρίγωνο ΒΕΓ ισχύει 2

ΒΓΕΜ = και άρα ΔΜ = ΕΜ.

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90°) . φέρουμε το ύψος ΑΔ και τη διάμεσο AM.

Ισχύει: 0 0190 90 2ω = −Μ = − Β

Αφού η 1Μ είναι εξωτερική γωνία του ισοσκελούς τριγώνου AMB.

Επομένως, ɵ 0(90 )ω = −Β −Β = Γ −Β

1)Σε τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τα ύψη ΒΛ και ΓΕ. Nα αποδείξετε ότι ίσα σημεία Δ και

Ε απέχουν εξίσου από το μέσο της πλευράς ΒΓ.

2) Δα αποδείξετε ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία του υψος και της διαμέσου, που

άγονται από την κορυφή της ορθής γωνίας, ισούται με τη διαφορά των οξειών γωνιών

του τριγώνου.



Λυση

α) Σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή , ισχύει ΘΗ//=ΕΖ//= 2

ΑΓκαι

Εθ//ΗΖ//=2

Β∆

Επειδή όμως ΑΓ = ΒΔ, το παραλληλόγραμμο ΕΖΗΘ έχει ίσες

πλευρές και, άρα, είναι ρόμβος.

β) Επειδή ΑΓ⊥ ΒΔ, ισχύει ΕΖ⊥ ΕΘ και επομένως το

παραλληλόγραμμο ΕΖΗΘ είναι ορθογώνιο.

Λυση

Έστω ότι το ΑΒΓΔ έχει ίσες και κάθετες διαγώνιους.

Επειδή ΕΖ// =2

ΑΓ και ΕΘ// =

2

Β∆

ισχύει ΕΖ = ΕΘ και ΕΖ1ΕΘ.

Άρα, το παραλληλόγραμμο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

Αντιστρόφως, έστω ότι το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

Επειδή ΕΖ// =2

ΑΓ , ΕΘ// =

2

Β∆ ,ΕΖ=ΕΘ και ΕΖ⊥ ΕΘ

3) Nα αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου,

ενώ τα μέσα των πλευρών ρόμβου είναι κορυφές ορθογωνίου.

4) Nα αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών κυρτού τετράπλευρου ΑΒΓΔ είναι κορυφές

τετραγώνου, αν και μόνο αν το ΑΒΓΔ έχει ίσες και κάθετες διαγώνιες.



προκύπτει ότι ΑΓ = ΒΔ και ΑΓ⊥ ΒΔ.

Λύση

Στο τρίγωνο ΔΒΓ , το ΕΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΔΒ και ΔΓ .

Άρα

ΕΖ //ΒΓ και ΕΖ=2

ΒΓ (1)

Για τον ίδιο λόγω από το τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει ότι

ΜΝ //ΒΓ και ΜΝ=2

ΒΓ (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) δίνουν ότι ΕΖ //ΜΝ και ΕΖ =ΜΝ.

Άρα το το ΜΝΖΕ είναι παραλληλόγραμμο .

Λύση

Στο τρίγωνο ΑΗΓ τα σημεία Ζ και Μ είναι μέσα των πλευρών ΑΗ

και ΑΓ.

Έτσι ΖΜ//ΗΓ.

Όμως ΓΗ⊥ ΑΒ , οπότε ΓΕ⊥ ΜΝ, διότι το ΜΝ είναι

παραλληλόγραμμο προς την ΑΒ.

Επειδή λοιπόν ΖΜ//ΕΓ και ΕΓ ⊥ ΜΝ,

θα είναι και ΜΖ⊥ ΜΝ.

5)Στο εσωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τυχαίο σημείο Δ .Αν Ε,Ζ είναι τα

μέσα των ΔΒ,ΔΓ και Μ , Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , να αποδειχθεί

ότι τα σημεία Μ,Ν,Ζ και Ε είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

6)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , τα ύψη του ΑΔ , ΓΕ που τέμνονται στο Η και τα μέσα

Ζ,Μ,Ν των ΑΗ ,ΑΓ,ΒΓ αντιστοιχα.Να αποδειχθεί ότι ΜΖ⊥ ΜΝ.

7) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , το μέσο Μ του ΒΓ και το σημείο τομής Ε των ΑΜ και

ΒΔ. Να αποδειχθεί ότι:

i)AE=2EM

ii) ΔΕ=2ΕΒ

iii)η ευθεία ΓΕ διέρχεται από το μέσο της ΑΒ.



Λύση

i) Φέρνουμε την διαγώνιο ΑΓ .Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι ΑΜ και ΒΟ είναι διάμεσοι , οπότε το Ε είναι

το βαρυκεντρο του τριγώνου . Άρα AE=2EM.

ii) Είναι

ΔΕ=ΔΟ+ΟΕ=ΒΟ+ΟΕ=(ΒΕ+ΟΕ)+ΟΕ=

=ΒΕ+2ΟΕ=ΒΕ+ΒΕ=2ΒΕ

διότι ΒΕ=2ΟΕ.

iii) Επειδή το Ε είναι βαρυκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ ,

η ευθεία ΓΕ είναι ο φορέας της τρίτης διαμέσου .

Άρα η ΓΕ διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΑΒ

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ η διάμεσος ΔΕ αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΑΒ.

Επομένως ισχύει

ΔΕ=2

ΑΒ=ΑΕ και 1 1

Λ Λ

∆ = Α .

Ομοίως 2 2

Λ Λ

∆ = Α και επομένως

01 2 1 2 90

Λ Λ Λ Λ Λ

Ε∆Ζ = ∆ + ∆ = Α + Α =

Το τρίγωνο ΕΔΖ είναι και ισοσκελές , όταν ΔΕ=ΔΖ, δηλαδή

ΑΒ=ΑΓ.

7)Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το υψος ΑΔ προς την υποτείνουσα. Αν Ε και Ζ

είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΖ

είναι ορθογώνιο.

Ποτέ το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές;



Λύση

Αν Ζ είναι το μέσο του ΕΓ, αρκεί να αποδειχθεί ότι ΑΕ=ΕΖ.

Στο τρίγωνο ΒΕΓ τα σημεία Μ και Ζ είναι τα μέσα των

πλευρών του ΒΓ και ΓΕ.

Επομένως , ΜΖ//ΒΕ.

Στο τρίγωνο ΑΜΖ ισχύει ΜΖ//ΔΕ και το Δ είναι το μέσο της

ΑΜ .Άρα , το Ε είναι το μέσο του ΑΖ ,

δηλαδή ΑΕ=ΕΖ.

Χρήσιμες παρατηρήσεις για τη λύση των ασκήσεων

Αν σε ένα σχήμα υπάρχει το μέσο Μ ενός τμήματος, τότε:

• Ενώνουμε το Μ με κάποιο άλλα μέσο Ν, ώστε το ΜΝ να ενώνει τα μέσα πλευρών τριγώνου.

• Από το Μ φέρνουμε παράλληλη προς κάποια πλευρά τριγώνου, οπότε η παράλληλη αυτή να

περάσει από το μέσο της τρίτης πλευράς.

• Ενώνουμε το μέσο Μ με την κορυφή ορθών γωνιών και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της

διαμέσου ορθογώνιου τριγώνου.

•θεωρούμε το συμμετρικό ενός βασικού σημείου του σχήματος ως προς το Μ. Σχηματίζεται τότε

παραλληλόγραμμο και έτσι μεταφέρονται γωνίες και τμήματα σε νέες θέσεις, οπότε

δημιουργούνται ίσα τρίγωνα.

•Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο δίνεται γωνία 30° ή 15°, τότε είναι χρήσιμο να θεωρούμε τη διάμεσο

προς την υποτείνουσα.

8)Αν Δ είναι μέσο της διαμέσου ΑΜ τριγώνου ΑΒΓ και Ε το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΓ ,

να αποδείξετε ότι 1

2ΑΕ = ΓΕ



Λύση

Οι ευθείες ΕΗ και ΖΘ τέμνονται στο σημείο Κ .Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΚΗΘ

είναι ορθογώνιο αρκεί για αυτό να ισχύει:

090ω φΛ Λ

+ =

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗΒ το ευθύγραμμο τμήμα ΗΕ

είναι η διάμεσος προς την υποτείνουσα ΑΒ. Επομένως ,

ΗΕ=ΕΒ και 1ωΛ Λ

= Β .Ομοίως ,

στο τρίγωνο ΒΓΘ ισχύει

ΘΖ=ΒΖ και 2φΛ Λ

= Β .Άρα 0

1 2 90ω φΛ Λ Λ Λ

+ = Β +Β =

8)Αν είναι Ε και Ζ αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΒΓ ορθογωνίου ΑΒΓΔ .Αν Η

και Θ είναι αντίστοιχα οι προβολές των κορυφών Α και Γ πάνω στην διαγώνιο ΒΔ , να

αποδείξετε ότι οι ευθείες ΕΗ και ΖΘ είναι κάθετες .

9) Στο επόμενο σχήμα τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΓΕΖΗ είναι ορθογώνια.

Να δείξετε ότι ΑΖ// (ε)



Λυση

Τα σημεία τομής των ΓΑ και ΓΖ με την (ε) είναι μέσα των τμημάτων αυτών , διότι οι διαγώνιοι

του ορθογωνίου διχοτομούνται .

Έτσι η (ε) , ως διερχομένη από τα μέσα

πλευρών ΓΑ και ΓΖ του τριγώνου ΓΑΖ

είναι παράλληλη προς την πλευρά ΑΖ.

Ερωτήσεις κατανόησης

1. Με τι ισούνται οι γωνίες που σχηματίζουν οι διαγώνιες ενός τετραγώνου με τις

πλευρές του;

2. Υπάρχει τετράπλευρο που είναι συγχρόνως ορθογώνιο και ρόμβος;

3. Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος;

4. Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ

αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ .Αν είναι ΚΛ=2χ+80ο και ΒΓ=8χ+4 , να υπολογίσετε τα

ΚΛ και ΒΓ.

5. Ποιο παραλληλόγραμμο έχει ίσες διαγώνιους; Τι συμβαίνει σ' ένα ρόμβο με ίσες

διαγώνιους;

6. Σε ποια παραλληλόγραμμα οι διαγώνιες είναι και διχοτόμοι των γωνιών του;

7. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 90° και Β = 35°. Αν ΑΜ

διάμεσος του ΑΒΓ τότε η γωνία ΑΜΒ ισούται με:

α) 55° β) 70° γ) 110°

δ) 100° ε) 125°

8.. Αν η μικρότερη διαγώνιος ρόμβου τον χωρίζει σε δύο ισόπλευρα τρίγωνα, να

υπολογίσετε τις γωνίες του ρόμβου.



9. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με 090Α = , τα Δ και Ε είναι τα μέσα

των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα και ΒΖΗΓ είναι ορθογώνιο.

Δίνονται 060ΑΒΓ = , ΒΓ=2 και 3

2ΑΕ = .Να υπολογίσετε τα

παρακάτω τμήματα

10. Υπάρχει ρόμβος με όλες τις γωνίες του ίσες;

11. Ποια παραλληλόγραμμα έχουν άξονες συμμετρίας;

ΔΕ

ΒΔ

ΖΔ

ΕΗ

ΖΒ




1) Αν στο διπλανό σχήμα ΒΜ και ΓΝ είναι τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ και Δ είναι το μέσο της

πλευράς ΒΓ , να αποδείξετε ότι:

α) ΜΔ=ΝΔ

β) 01 1 180Μ +Ν = −Α

2)Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε :

α) την τιμή του χ β) την γωνία φ

3)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 090Α = ) , το υψος ΑΔ , το μέσο Ε της ΑΒ και το μέσο Ζ της

ΑΓ. Να αποδείξετε ότι :

α)ΔΕ⊥ ΔΖ

β)Αν ΔΕ=ΔΖ , τότε το ΑΒΓ είναι ισοσκελές .

4)Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 090Α = ) του διπλανού σχήματος είναι

015Β = και τα ΑΜ και ΑΔ είναι διάμεσος και υψος αντίστοιχα του τριγώνου

.

α)Να υπολογίσετε την γωνία ΑΜ∆ .

β) Να αποδείξετε ότι :

i) 1

2Α∆ = ΑΜ ii)

1

4Α∆ = ΒΓ



5)Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένα ημικύκλιο κέντρου Ο και

ένα τυχαίο σημείο Μ αυτού.

Να αποδείξετε ότι ΜΑ⊥ ΜΒ .

6)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το υψος ΑΔ προς την υποτείνουσα. Να αποδείξετε ότι

2ΒΓ ≥ Α∆

7)Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η ΑΜ είναι διάμεσος , το Δ είναι μέσο της ΑΜ και

η προέκταση της ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο Ε. Έστω ότι η παράλληλη από το Μ προς την ΒΕ

τέμνει την ΑΓ στο Ζ.

α) Να δικαιολογήσετε γιατί :

i) το σημείο Ε είναι μέσο του ΑΖ

ii) το σημείο Ζ είναι μέσο του ΕΓ.

β) Να αποδείξετε ότι ΕΓ=2ΑΕ

γ)Εφαρμόζοντας την ιδιότητα των μέσων στα τρίγωνα

ΑΜΖ και ΒΕΓ , να αποδείξετε ότι

1

4∆Ε = ΒΕ

8)Μέσα στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού

σχήματος με 090Α = υπάρχει το τετράγωνο ΔΕΖΗ όπως φαίνεται

στο σχήμα .

Αν ΒΓ=6 , να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου.

9)Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , το μέσο Π της ΑΒ και το σημείο τομής Ε των ΒΔ και ΓΠ

.Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΕ διχοτομεί το τμήμα ΒΓ.



10)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με 090Α = και 030Β = .Αν ΑΔ είναι το υψος προς την

υποτείνουσα , να αποδείξετε ότι ΔΒ= 3ΔΓ.

11)Τα ύψη ΒΔ και ΓΕ ενός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ τέμνονται στο σημείο Η . Αν Ν είναι το

μέσο του ΑΗ και Μ είναι το μέσο του ΒΓ , να αποδείξετε ότι η ΜΝ είναι μεσοκαθετος του ΔΕ. 12)Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ , το μέσο Ε της ΑΒ και το μέσο Ζ της ΓΔ.Αν τα ΔΕ,ΒΖ

τέμνουν την ΑΓ στα Η,Θ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :

i) EH//ΒΘ και ΘΖ//ΗΔ

ii) AH=ΗΘ=ΘΓ.

13)Στο παρακάτω ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι Ε και Ζ τα μέσα των

ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα. Αν ΑΚ⊥ ΔΒ και ΓΛ ⊥ ΔΒ ,

να αποδείξετε ότι :

α) 1 1Λ = Β β)ΖΛΗ⊥ ΚΕ

14)Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 090Α = ) και το υψος ΑΔ. Να αποδείξετε ότι

i) αν 015Β = , τότε ΒΓ=4ΑΔ

ii)αν 1

4Α∆ = ΒΓ , τότε ɵ 075Γ =

15)Το παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με 0120Α = , η ΜΔ είναι μεσοκαθετη της ΑΒ και

ΑΕ // ΜΔ.

α)να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΕΓ

β)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι

ισόπλευρο .

γ)Μα αποδείξετε ότι ΒΓ= 3ΒΔ.



16)Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ.

Αν η ΑΓ τέμνει την ΒΕ στο σημείο Ζ , να αποδειχθεί ότι η ΔΖ περνάει από το μέσο της ΒΓ

( Διαγωνισμός Θαλής 2002)

17)Στο διπλανό σχήμα η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α και η ΓΕ είναι διάμεσος .Αν ΑΔ=ΓΕ

και 060ΑΣΕ = , να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο

ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

18)Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΔ>ΑΒ , ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Α , ΒΖ⊥ ΑΔ και Μ μέσο

της ΒΓ.Αν Η είναι το σημείο τομής της ΒΖ με την ΑΓ , να

αποδείξετε ότι :

α) το τρίγωνο ΑΒΗ είναι ισοσκελές

β)ΗΓ=ΑΓ- ΑΒ γ) 2

ΑΓ −ΑΒΗΓ = δ)

090

2

ΑΒΖΜ = +



ΣΥΝΟΨΗ

ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

Παραλληλόγραμμο Παραλληλόγραμ

μο είναι το

τετράπλευρο που

έχει τις απέναντι

πλευρές του

παράλληλες.

• Οι απέναντι πλευρές

του και οι απέναντι

γωνίες του είναι ίσες.

• Οι διαγώνιές του

διχοτομούνται.

• Το σημείο τομής των

διαγωνίων είναι κέντρο

συμμετρίας.

• Οι διχοτόμοι δύο

διαδοχικών γωνιών του

είναι κάθετες, ενώ οι

διχοτόμοι δύο απέναντι

γωνιών του είναι


Ένα τετράπλευρο είναι

παραλληλόγραμμο αν:

• οι απέναντι πλευρές του

είναι ίσες.

• οι απέναντι γωνίες του


• δύο απέναντι πλευρές

του είναι ίσες και


• οι διαγώνιές του


Ορθογώνιο Ορθογώνιο είναι

το

παραλληλόγραμ

μο που έχει μία

ορθή γωνία.

• Όλες του οι γωνίες

είναι ορθές.



• Οι απέναντι πλευρές

του είναι ίσες.

Ένα παραλληλόγραμμο

είναι ορθογώνιο αν οι

διαγώνιές του είναι ίσες.

Ρόμβος Ρόμβος είναι το


μο που έχει δύο

διαδοχικές

πλευρές ίσες.

• Όλες οι πλευρές του


• Οι απέναντι γωνίες

του είναι ίσες.


είναι κάθετες,

διχοτομούνται και

διχοτομούν τις γωνίες

του.


είναι ρόμβος αν:

• Οι διαγώνιές του είναι

κάθετες.

• Μία διαγώνιός του

διχοτομεί μία γωνία του.

• Έχει ίσα ύψη (και

αντίστροφα).

Τετράγωνο Τετράγωνο είναι

το


μο που είναι

ορθογώνιο και

ρόμβος.

• Οι πλευρές του είναι

ίσες και οι γωνίες του

ορθές.


είναι ίσες, κάθετες

διχοτομούνται και

διχοτομούν τι γωνίες

του.


είναι τετράγωνο αν έχει δύο

ιδιότητες που η μία το

κάνει ορθογώνιο και η

άλλη ρόμβο.



ΤΡΑΠΕΖΙΟ

Τα στοιχεια του τραπεζίου είναι:

Οι δυο βάσεις του ΑΒ και ΔΓ που είναι οι

παράλληλες πλευρές του .

Το υψος του , δηλαδή η απόσταση των δυο

βάσεων.

Η διάμεσος του , δηλαδή το ευθύγραμμο τμήμα

που ενώνει τα μέσα των δυο μη παραλλήλων

πλευρών του

Ιδιότητες Τραπεζίων

Θεώρημα

Σε κάθε τραπέζιο η διάμεσος είναι παράλληλη στις βάσεις του και

ίση με το ημιαθροισμα των βάσεων.

Δηλαδή , αν το τραπέζιο ΑΒΓΔ η ΚΛ είναι διάμεσος , τότε είναι

ΚΛ//ΑΒ , ΚΛ//ΔΓ και ΚΛ=(ΑΒ+ΔΓ)/22

ΑΒ+ ∆ΓΚΛ =

Πόρισμα

Η διάμεσος κάθε τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των

διαγώνιων του και το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα

των διαγώνιων κάθε τραπεζίου είναι παράλληλο στις βάσεις

του και ισούται με την ημιδιαφορα τους .

Δηλαδή αν Μ και Ν είναι τα μέσα των διαγώνιων ΑΓ και ΒΔ

αντίστοιχα , τότε είναι

ΜΝ//ΑΒ ,ΜΝ//ΔΓ και 2

∆Γ −ΑΒΜΝ =

Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο το οποίο έχει μονό τις δυο πλευρές του παράλληλες .



Ένα ισοσκελές τραπέζιο έχει τις εξής ιδιότητες :

α)Οι γωνιές που προσκεινται σε μια βάση είναι ίσες .

β) Οι διαγώνιες του είναι ίσες .

Δηλαδή στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΔ=ΒΓ ισχύουν:

Α+Β και Δ=Γ

ΑΓ=ΒΔ

Για τις προηγούμενες ιδιότητες ισχύουν και τα

αντίστροφα .Δηλαδή σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ:

Αν ισχύει Α=Β η Γ=Δ , τότε το τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι

ισοσκελές

Αν οι διαγώνιοι είναι ίσες , δηλαδή αν ΑΓ =ΒΔ , τότε το τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές

Ορισμός

Το τραπέζιο που έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές

τραπέζιο .

Χρήσιμες παρατηρήσεις

Στα τραπέζια τα βοηθητικά στοιχειά, εκτός της διαμέσου , που μπορούμε να χαράξουμε ,

χωρίς να αναφέρονται στην άσκηση είναι η εξής :

Οι αποστάσεις των κορυφών από τις δυο βάσεις (δημιουργούνται ορθογώνια τρίγωνα)

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια

κορυφή της βάσης με το μέσο της μιας

μη παράλληλης πλευράς και στην

συνέχεια να το προεκτείνουμε ώσπου

να συναντήσει την άλλη βάση .

(δημιουργούνται δυο ίσα τρίγωνα .)

Η παράλληλη από την μια κορυφή της βάσης προς την μια μη παράλληλη πλευρά

(δημιουργώντας παραλληλόγραμμο )



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ -ΤΡΑΠΕΖΙΑ

Λύση

Έστω Κ και Λ τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα .

Έστω ΔΜ=3ΜΑ και ΓΝ=3ΝΒ , τα Μ και Ν είναι μέσα των ΑΚ

και ΒΛ αντίστοιχα . Το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι επίσης

τραπέζιο , διότι η διάμεσος ΚΛ του τραπεζίου ΑΒΓΔ είναι

παράλληλη στις βάσεις .Έχουμε λοιπόν:

7 1511

2 27 11

92 2

ΑΒ+Γ∆ +ΚΛ = = =

ΑΒ+ΚΛ +ΜΝ = = =

Στο τραπέζιο ΑΒΛΚ η ΜΝ είναι διάμεσος .

Λύση

Επειδή το Ε είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ΒΔ θα ισχύουν :

ΔΕ=ΔΑ=ΒΓ

ΣΑ=ΣΕ , οπού Σ είναι το σημείο τομής των ΑΕ και ΒΔ.

φέρνουμε και την διαγώνιο ΑΓ που τέμνει την ΒΔ στο Ο .

Επειδή ΣΑ =ΣΕ και ΟΑ =ΟΓ , οπού από το τρίγωνο ΑΕΓ

προκύπτει ότι ΣΟ//ΕΓ. Άρα είναι και ΒΔ//ΕΓ. Το ΒΓΕΔ είναι

επομένως τραπέζιο και επειδή ΕΔ =ΓΒ, αυτό είναι ισοσκελές .

1)Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ , ΑΒ =7 και ΓΔ=15.Αν Ε και Ζ είναι σημεία των

πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα , ώστε ΔΜ =3ΜΑ και ΓΝ=3ΝΒ, να υπολογιστεί το

τμήμα ΜΝ.

2)Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το συμμετρικό του Ε του Α ως προς την

διαγώνιο ΒΔ. Να αποδειχθεί ότι το ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο



Λύση

α)Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ έχουν :

ΑΔ=ΒΓ (πλευρές ισοσκελούς τριγώνου) ɵ

1 1∆ = Γ , γιατί 1∆ = Α και ɵ1Β = Γ (ως εντός

εναλλάξ) και Β = Α (ως παρά την βάση γωνίες

ισοσκελούς τριγώνου.) ɵ 090Ε = Ζ = οπότε και ΕΑ∆ = ΓΒΖ . άρα τα τρίγωνα

είναι ίσα (Γ-Π-Γ)

β)Από την ισότητα των τριγώνων ΑΔΕ και ΒΓΖ

προκύπτει ότι ΕΔ=ΓΖ.

Έχουμε;

2 2

ορθογωνιοΑΒΓ∆

ΕΖ = Ε∆ + ∆Γ+ΓΖ ⇔ ΑΒ = Ε∆ + ∆Γ +ΓΖ ⇔

ΑΒ = Ε∆ + ∆Γ ⇔ Ε∆ = ΑΒ−∆Γ

Άρα 2

ΑΒ−Γ∆Ε∆ = ΓΖ =

Λύση

Έστω Ε,Ζ,Η τα μέσα των πλευρών ΒΓ,ΓΑ,ΑΒ αντίστοιχα και ΑΔ υψος του τριγώνου.

Επειδή τα Η ,Ζ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα, προκύπτει ότι ΗΖ//ΒΓ και για αυτό

το τετράπλευρο ΔΕΖΗ είναι τραπέζιο.

Επίσης είναι :

ΕΖ//ΑΒ και 2

ΑΒΕΖ =

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΒ η ΔΗ είναι

διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

και επομένως

2

ΑΒ∆Η = = ΕΖ

Άρα το τραπέζιο ΔΕΖΗ είναι ισοσκελές .

3)Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος , οπού ΑΒ>ΔΓ , τα ΑΕ και ΒΖ

είναι τα ύψη του .Να αποδείξετε ότι ;

α)Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ είναι ίσα .

β)ΕΔ=ΓΖ=2

ΑΒ−Γ∆

4 )Σε κάθε σκαληνό και μη ορθογώνιο τρίγωνο να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών

του και το ίχνος ενός υψος είναι κορυφές ισοσκελούς τραπεζιού.



Λύση

Για την διάμεσο ΕΖ του τραπεζίου έχουμε:

2 3

2 2 2

ΑΒ+Γ∆ ΑΒ+ ΑΒΕΖ = = = ΑΒ

Για το τμήμα ΚΛ με άκρα τα μέσα των διαγώνιων

έχουμε:

2 1

2 2 2

Γ∆ −ΑΒ ΑΒ−ΑΒΚΛ = = = ΑΒ

Στο τρίγωνο ΔΑΒ τα Ε,Κ είναι μέσα των πλευρών ΑΔ, ΒΔ

και επομένως

Επίσης στο τρίγωνο ΓΑΒ είναι

1

2ΛΖ = ΑΒ

Άρα λοιπόν αποδείξαμε ότι

1

2ΕΚ = ΚΛ = ΛΖ = ΑΒ

Λύση

Φέρνουμε την διάμεσο ΕΗ του τραπεζίου .

Τότε έχουμε ότι

2

ΑΒ+Γ∆ΕΗ =

Όμως από την υπόθεση είναι ΑΒ+ΔΓ=ΑΔ , άρα 2

Α∆ΕΗ =

Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι στο τρίγωνο ΑΕΔ η

διάμεσος ΕΗ είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία καταλήγει .

Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο στο σημείο Ε.

5)Σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΓΔ=2ΑΒ να αποδείξετε οι διαγώνιοι χωρίζουν

την διάμεσο σε τρία ίσα τμήματα.

6)Στο διπλανό τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ=ΔΓ+ΑΒ.Αν Ε είναι το μέσο της

πλευράς ΒΓ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ορθογώνιο στο σημείο Ε.

1

2ΕΚ = ΑΒ



Λυση

Οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ των Παραλληλογράμμων τέμνονται στο Ο.

Έστω ΟΜ⊥ ε.

Το Ο είναι μέσο της ΒΔ και επειδή ΟΜ//ΒΗ(ως κάθετες στην ε) , το Μ είναι μέσο της διαγώνιου

του ΑΓ και ΟΜ//ΑΕ.(ως κάθετες στην ε).

Επομένως ισχύει 2

ΒΗΟΜ = (1)

Στο τραπέζιο ΑΕΓΖ το Ο είναι μέσο

της διαγώνιου του ΑΓ και ΟΜ//ΑΕ

(ως κάθετες στην ε)

Άρα το Μ είναι και μέσο της ΕΖ.Με

αλλά λόγια το ΟΜ ενώνει τα μέσα

των διαγώνιων του ΑΕΓΖ, οπότε

ισχύει:

2

ΑΕ−ΓΖΟΜ = (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε:

2 2

ΑΕ−ΓΖ ΒΗ= ⇔ ΑΕ−ΓΖ = ΒΗ ⇔ ΑΕ = ΓΖ+ΒΗ .

Λύση

Επειδή η ΕΜ είναι διάμεσος στο τρίγωνο ΒΕΓ , αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι το μισό της

πλευράς στην οποία καταλήγει .

Παρατηρούμε ότι:

ΒΜ=ΜΓ

Έχουμε ακόμη ότι 1 1Ε = Β (ΒΕ διχοτόμος) άρα

1 2Ε = Β , δηλαδή το τρίγωνο ΒΕΜ είναι

ισοσκελές με

ΕΜ=ΜΒ

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι:

2

ΒΓΕΜ = δηλαδή 090ΒΕΓ =

7)Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ>ΒΓ .Έστω ε μια ευθεία που διέρχεται από

το Δ και τέμνει την πλευρά ΒΓ.Αν ΑΕ,ΓΖ,ΒΗ⊥ ε , να αποδειχθεί ότι ΑΕ=ΓΖ+ΒΗ.

8)Η διχοτόμος της γωνίας Β του διπλανού τραπεζίου ΑΒΓΔ τέμνει την διάμεσο του ΜΝ

στο σημείο Ε.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ορθογώνιο με 090ΒΕΓ = .



Λύση

Η διχοτόμος της γωνίας Δ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε.Φερνουμε την ΓΕ και θα αποδείξουμε ότι

είναι διχοτόμος της γωνίας Γ.

Επειδή 1 2∆ = ∆ και ɵ

1 2Ε = ∆ (εντός εναλλάξ),

προκύπτει ότι ɵ1 1∆ = Ε και επομένως ΑΔ=ΑΕ.

Είναι όμως ΑΒ=ΑΔ+ΒΓ , ΑΒ=ΑΕ+ΕΒ και ΑΔ=ΑΕ.

Άρα ΒΓ=ΕΒ , που σημαίνει ότι ɵ ɵ2 2Ε = Γ ,ακόμη είναι

ɵ ɵ2 1Ε = Γ και για αυτό ɵ ɵ1 2Γ = Γ .

Αποδείχτηκε λοιπόν ότι η ΓΕ είναι διχοτόμος της

γωνιας Γ.

Λύση

α)Βλέπουμε ότι στο τραπέζιο ΔΕΒΑ η ΗΖ είναι διάμεσος , οπότε ισχύει:

1( )

2ΗΖ = ∆Ε+ ΑΒ (1) και ΗΖ//ΔΕ (2)

Όμως από την υπόθεση έχουμε ότι:

1

2∆Ε = ∆Γ και

3

2ΑΒ = ∆Γ

άρα από την σχέση (1) γράφεται :

1 1 3 1 4( ) ( )

2 2 2 2 2ΗΖ = ∆Γ + ∆Γ = ∆Γ δηλαδή ΗΖ=ΔΓ (3)

Από τις σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΔΓΖΗ είναι παραλληλόγραμμο.

9)Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ είναι ΑΒ=ΑΔ+ΒΓ.Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των

γωνιών Γ και Δ τέμνονται σε σημείο της ΑΒ.

10)Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος είναι3

2ΑΒ = ∆Γ και τα σημεία Ε,Ζ και Η

είναι μέσα των ΔΓ, ΕΒ και ΑΔ αντίστοιχα .


α)το ΔΓΖΗ είναι παραλληλόγραμμο.

β)ΘΒ=ΑΒ -ΔΓ , οπού Θ το σημείο τομής

των ΓΖ και ΑΒ.



β)Επειδή το ΔΓΖΗ είναι παραλληλόγραμμο , έχουμε:

ΓΖ//ΔΗ η ΓΘ//ΑΔ

Επίσης έχουμε :

ΑΒ//ΔΓ η ΑΘ//ΔΓ

Δηλαδή το τετράπλευρο ΔΓΘΑ είναι παραλληλόγραμμο , οπότε ΔΓ=ΑΘ .

Επομένως

ΑΒ=ΑΘ+ΘΒ η ΑΒ=ΔΓ+ΘΒ άρα ΘΒ=ΑΒ-ΔΓ.

Λύση

Ο κύκλος διαμέτρου ΑΔ έχει κέντρο το μέσο Ο της ΑΔ και ακτίνα

2ρ

Α∆= .Για να δείξουμε ότι ο κύκλος αυτός εφάπτεται της ΒΓ , αρκεί η

απόσταση του Ο από την ΒΓ να είναι ίση με ρ.

Φέρνουμε λοιπόν την ΟΕ ⊥ ΒΓ , η οποία είναι διάμεσος του τραπεζίου

(αφού είναι παράλληλη στις βάσεις του διέρχεται από το μέσο Ο της

ΑΔ).

Είναι 2 2

ρΑΒ+Γ∆ Α∆

ΟΕ = = = .

11)Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ɵ 090Β = Γ = και ΑΔ=ΑΒ+ΓΔ

Να αποδείξετε ότι ο κύκλος διαμέτρου ΑΔ εφάπτεται της πλευράς ΒΓ



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ (ΤΡΑΠΕΖΙΟ )

1)Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι

Α = Δ = 90° και Γ = 60°.

Αν ΓΔ = 10x και ΒΓ = 8x, η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου ισούται

με:

α) 3x β) 4x γ) 5x

δ) 6x ε) 8x

2)Στο παρακάτω τραπέζιο είναι ΑΒ=6χ και ΓΔ=10χ.

Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τραπεζίου είναι ίση με

24χ.

3)Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ // ΓΔ και ΑΒ = ΑΔ. Δείξτε ότι η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ.

4)Να αποδείξετε ότι :

α) τα μέσα των πλευρών ενός τραπεζίου είναι κορυφές παραλληλογράμμου

β)τα μέσα των πλευρών ενός ισοσκελούς τραπεζίου είναι κορυφές ρόμβου.

γ)σε ισοσκελές τραπέζιο τα μέσα των παραλλήλων πλευρών και τα μέσα των διαγώνιων του

είναι κορυφές ρόμβου.

5)Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι

τραπέζιο .Να υπολογίσετε:

α) το τμήμα ΜΝ

β) το τμήμα ΚΛ = y

γ)τα τμήματα x και ω .



6)Θεωρούμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΔΑ=ΑΒ=ΒΓ. Να υπολογίσετε τις γωνίες του

τραπεζίου, όταν είναι ΔΒ=ΔΓ.

7)Οι μη παράλληλες πλευρές ΑΔ και ΒΓ ενός τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέμνονται στο σημείο Κ.

Αν ΕΖ είναι η διάμεσος του τραπεζίου, Η είναι το μέσο του ΚΑ και Θ είναι το μέσο του ΚΒ , να

αποδείξετε ότι τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ είναι κορυφές τραπεζίου.

8) Τα μέτρα των διαδοχικών γωνιών ενός τετράπλευρου είναι: 4x, 3x, 2x, x.

α) Να υπολογιστούν οι γωνίες του τετράπλευρου.

β) Να προσδιοριστεί το είδος του τετράπλευρου.

9)Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά μήκους 20 cm . να βρείτε το μήκος του τμήματος που

ενώνει τα μέσα Κ και Λ δυο υψών τους .

10)Ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ ) είναι ισοσκελές .Αν Ε και Η είναι τα μέσα των ΑΒ , ΓΔ και Ζ,Θ

είναι τα μέσα των ΑΓ,ΒΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι ρόμβος .

11)Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ε στην προέκταση της πλευράς ΑΒ, προς το Β ,

ώστε ΒΕ=3ΑΒ.Αν Κ και Λ είναι αντίστοιχα τα μέσα των ΔΕ και ΒΓ, να αποδείξετε ότι το ΚΛΔΓ είναι


12)Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) , μια διάμετρος ΑΒ , ένα σημείο του Μ , η εφαπτομένη ε του κύκλου στο Μ

και οι προβολές Γ και Δ των σημείων Α και Β αντίστοιχα, πάνω στην ε .Να αποδείξατε ότι

ΟΓ=ΟΔ.

13)Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, μια διάμετρος του ΑΟΒ και μια χορδή ΓΔ .Αν ΑΕ ,ΒΖ⊥ ΓΔ, να

αποδείξετε ότι ΓΕ=ΔΖ.

14)Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) ισχύει ΒΓ=ΑΒ+ΓΔ.Αν Μ είναι το μέσο του ΑΔ , να αποδείξετε

ότι :

α) το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ορθογώνιο..

β) τα ευθυγραμμα τμήματα ΓΜ και ΒΜ διχοτομούν τις γωνιές ɵ ,Γ Β



15)Στο διπλανό σχήμα είναι ΒΔ,ΓΕ⊥ ε και το Μ είναι

μέσο του ΒΓ

Να αποδείξετε ότι ΜΔ=ΜΕ.

16)Δίνεται ημικύκλιο ΑΟΒ , τα τμήματα ΟΓ=ΟΔ πάνω στη ΑΒ και οι παράλληλες ευθείες ΓΕ και

ΔΖ που τέμνουν το ημικύκλιο στα Ε και Ζ

όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

Να αποδείξετε ότι ɵ 090Ε = Ζ =

17)Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ και ΑΒ < ΓΔ. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Μ της

ΓΔ και το ενώνουμε με τα μέσα Ε και Ζ των ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως. Στις προεκτάσεις των ΜΖ

και ΜΕ παίρνουμε αντιστοίχως ευθύγραμμα τμήματα ΖΗ = ΖΜ και ΕΘ = ΕΜ. Να αποδείξετε ότι

τα σημεία Θ, Α, Β, Η είναι συνευθειακά.

18)Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και Κ.Λ τα μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα.Να αποδείξετε ότι

το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές αν και μόνο αν το ΚΛ είναι μεσοκαθετος των βάσεων του τραπεζίου.

19)Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ.Οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Δ τέμνονται στο Ε και οι

διχοτόμοι των Γ και Β τέμνονται στο Ζ. Να δείξετε ότι ΕΖ//ΑΒ.

20)Σε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι :

090Α = ∆ = και ΒΓ=2ΑΒ

Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ , να αποδείξετε ότι 3∆ΜΒ = Μ∆Γ



21)Δίνεται σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ , οι διχοτόμοι του ΒΔ,ΓΕ και το μέσο Σ του τμήματος ΔΕ.

Αν ΣΖ⊥ ΒΓ, ΣΗ⊥ ΑΒ και ΣΘ⊥ ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΣΖ=ΣΗ+ΣΘ.

22)Στο παρακάτω σχήμα είναι ΑΔ ⊥ ΒΓ, το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΓ, 060ΒΜΕ = και ΕΜ=ΔΓ.


α)ΕΒ=ΔΓ

β) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο .

23)Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ɵ 2Α+Γ = Β .Το υψος ΑΔ και η διχοτόμος ΒΕ τέμνονται στο σημείο Ζ.

Να αποδείξετε ότι

α)ΖΑ=ΖΒ β)2ΑΔ=3ΒΖ



Ορισμός :Μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη σε κύκλο,

όταν η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου

και οι πλευρές τους τέμνουν τον κύκλο.(σχ .1 )

Σχέση εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο

ίδιο τόξο.(σχ.2 )

Δηλ ισχύει:

ɵ1

2ω φ=

Άμεσα προκύπτουν οι εξής ιδιότητες:

i) Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

(σχ. 3)

ii) Δυο εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου ή ίσων κύκλων είναι ίσες, ανά και μόνο αν

βαίνουν σε ίσα τόξα ή στο ίδιο τόξο.

(σχ .4)

ɵω φ= ⇔ΒΓ=ΕΖ



ΤΟΞΟ ΠΟΥ ΔΕΧΕΤΑΙ ΓΩΝΙΑ Φ

Αν σε κύκλο θεωρήσουμε εγγεγραμμένη γωνία BAΓ= φ ,

τότε λέμε ότι το τόξο ΒΑΓ δέχεται την εγγεγραμμένη γωνία φ.

Λέμε επίσης ότι «η χορδή ΒΓ φαίνεται από το σημείο Α υπό γωνία φ.»

(σχ 5)

Ιδιότητες

i) Δυο εγγεγραμμένες γωνίες , που καθεμία βαίνει

στο τόξο που δέχεται άλλη, είναι παραπληρωματικές .

(σχ. 6)

ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου ,

από τα οποία ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ φαίνεται υπό ορθή γωνία,

είναι ο κύκλος διαμέτρου ΑΒ (εκτός από τα Α και Β).

Γενικά , ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,

από τα οποία ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ φαίνεται υπό γωνία φ ,

είναι τα τόξα χορδής ΑΒ (χωρίς τα Α, Β) που δέχονται την γωνία φ.

(σχ. 7)



Γωνία χορδής και εφαπτόμενης

Σε σημείο Α ενός κύκλου (Ο,ρ)

φέρουμε την εφαπτόμενη χψ του κύκλου

και μια χορδή του ΑΒ.

Καθεμία από τις γωνίες ΒΑχ και ΒΑψ

λέγεται γωνία χορδής και εφαπτόμενης.

Το τόξο ΑΒ που περιέχεται στην γωνία ΒΑχ

λέγεται αντίστοιχο τόξο της γωνίας αυτής.

Θεώρημα: Μια γωνία χορδής και εφαπτόμενης είναι ίση με κάθε εγγεγραμμένη γωνία που έχει

το ίδιο με αυτήν αντίστοιχο τόξο.

Δηλαδη

χΑΓΒ = ΒΑ

Τόξα μεταξύ παράλληλων χορδών

Τα τόξα ενός κύκλου , που περιέχονται στην ταινία

δυο παράλληλων χορδών του και τα άκρα των χορδών αυτών,

είναι ίσα και αντιστρόφως.

Δηλαδή έχω:

ΑΒ//ΓΔ⇔⇔⇔⇔ ΑΓ=ΒΔ



ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Συμφωνά με τα παραπάνω αν οι πλευρές μιας γωνίας τέμνουν ένα κύκλο τότε η σχέση

που συνδέει το μέτρο της γωνίας και το μέτρο του τόξου η των τόξων στα οποια βαίνει η

γωνία, μπορεί να βρεθεί αν διακρίνουμε με τις εξής περιπτώσεις :

α) Αν η γωνία είναι επικεντρη και 0µΑΒ = , τότε ɵ 0φ µΑΟΒ = = (σχήμα 1)

β)Αν η γωνία είναι εγγεγραμμένη και 0µΑΒ = , τότε ɵ 01

2φ µΑΜΒ = = (σχημα2)

γ)Αν η κορυφή της γωνίας βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου τότε

ɵ 0 01( )

2φ µ λ= + (σχήμα 3)

δ)Αν η κορυφή της γωνίας βρίσκεται εκτός κύκλου ,τότε

ɵ 0 01( )

2φ µ λ= − (σχήμα 4)

ε)Αν η μια πλευρά της γωνίας εφάπτεται του κύκλου , τότε

ɵ ɵ 01 1( ) ( )

2 2οφ φ µ λ= Α∆Β−ΑΓ ⇔ = −

Επειδή 1 1

2 2οχ µΒΑ = Α∆Β = και

1

2ολΓΒΑ = στο τρίγωνο ΜΑΒ ισχύει ότι

ɵ1 1

2 2ο οχ µ λ φΒΑ = ΜΒΑ+ΑΜΒ ⇔ = + δηλαδή ɵ 01

( )2

οφ µ λ= − (σχημα 5)

στ)Αν οι πλευρές τής γωνίας εφάπτονται στον κύκλο τότε

ɵ ɵ 01 1( ) ( )

2 2οφ φ µ λ= Α∆Β−ΑΒ ⇔ = − (σχήμα 6)



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ

Λύση

Για να είναι δυο χορδές του ιδίου η ίσων κύκλων ίσες , αρκεί να

έχουν ίσα αποστήματα .Φέρνουμε ΟΝ⊥ ΒΓ .Επειδή 030ΑΒΓ = ,

θα είναι 2 2

ρΟΒΟΝ = = = ΟΜ .

Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι χορδές ΒΓ και ΔΕ αντιστοιχούν στα

ίσα αποστήματα ΟΝ και ΟΜ.

Άρα ισχύει ΒΓ=ΔΕ.

Λύση

Η εγγεγραμμένη γωνία 02 40∆ = βαίνει στο ΑΓ που είναι τόξο 50ο και επομένως

0

02

5025

2∆ = = .

Επίσης είναι 01 25Β = αφού βαίνει στο ΑΓ .

Η εγγεγραμμένη γωνία 1∆ βαίνει στο ίδιο τόξο ΒΓ με την

040ΒΑΓ = .

οπότε 01 40∆ = .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΓ είναι ɵ 0 01 90 40 50οΓ = − = και επίσης

είναι ɵ2 1 50οΒ = Γ = , ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο

Α∆ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΓ είναι ɵ 02 190 90 25 65ο ο οΓ = − Β = − = .

Ακόμα είναι ɵ 01 2 65Α = Γ = αφού βαίνουν στο ίδιο τόξο Β∆ .

Άρα λοιπόν οι γωνίες του τετράπλευρου ΑΓΒΔ είναι:

1)Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) μια διάμετρος ΑΒ και μια χορδή ΒΓ που σχηματίζει γωνία 30ο

με την ΒΑ. Στο μέσο Μ του ΟΒ φέρνουμε την χορδή ΔΕ ⊥ ΑΒ. Να αποδειχθεί ότι

ΒΓ=ΔΕ.

2)Σε κύκλο (Ο,ρ) να σχεδιάσετε δυο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ τέτοιες ώστε να είναι

050ΑΓ = και 040ΒΑΓ = . Να υπολογίσετε τις γωνιές του τετράπλευρου ΑΓΒΔ.



ɵ ɵ ɵ

0 01

0 01 2

0 01 2

0 01 2

40 40 65 105

50 65 115

25 50 75

40 25 65

ο ο

ο

ο

ο

Α = + Α = + =

Γ = Γ + Γ = + =

Β = Β + Β = + =

∆ = ∆ + ∆ = + =

Λύση

Φέρνουμε την ΒΓ που τέμνει την ΑΟ στο Μ.

Το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΓ,

οπότε από το τρίγωνο ΓΒΔ παίρνουμε ότι ΜΟ//ΒΔ .

Έτσι ΑΟ//ΒΔ

Λυση

Για να υπολογίσουμε την γωνία χ παρατηρούμε ότι η χ είναι εξωτερική γωνία του

ισοσκελούς τριγώνου ΓΟΔ οπότε ισχύει:

0 0 035 35 70χ = + =

Η γωνία ɵy ανήκει στο τρίγωνο ΑΓΔ , το οποίο έχει γωνίες 035∆ = και 0 0 090 35 125ΑΓ∆ = + =

3)Έστω ΑΒ και ΑΓ τα εφαπτόμενα τμήματα προς ένα κύκλο με κέντρο Ο και Δ το

αντιδιαμετρικο του Γ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ//ΑΟ.

4)Στο διπλανό σχήμα η ευθεία ΑΓ είναι

εφαπτομένη του κύκλου και η τέμνουσα ΑΔ

διέρχεται από το κέντρο Ο του κύκλου.

Να υπολογίσετε τις γωνίες ɵ , ,yχ ω

που σημειώνονται στο σχήμα.



Για την γωνία ω παρατηρούμε ότι είναι γωνία ορθογωνίου τριγώνου ΒΕΓ , στο οποίο είναι

90οΒΓΕ = και 35οΒΕΓ = Ζ∆Γ = (ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο).

Άρα 0 0 0 0180 90 35 55ω = − − = .

Λυση

Επειδή ΑΒ=ΑΕ , θα είναι

yφΑΒΕ = ΑΕΒ = + (1)

οπού φ = ΑΒΓ και y = ΓΒΕ .

Επίσης ισχύει φ∆ = ΓΒΕ = , διότι η ∆ είναι

εγγεγραμμένη και η ΓΒΑ σχηματίζεται υπό χορδή και

εφαπτομένη .

Στο τρίγωνο ΒΕΔ η γωνία ΒΕΑ είναι εξωτερική οπότε

ισχύει

(1)

x y x y xφ φ φΒΕΑ = + ⇔ + = + ⇔ =

Άρα η ΒΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΒ∆ .

5)Από ένα εξωτερικό σημείο Α ενός κύκλου φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ και

μια τέμνουσα ΑΓΔ. Στην ΑΔ παίρνουμε τμήμα ΑΕ=ΑΒ. Να αποδειχθεί ότι η ΒΕ

διχοτομεί την γωνία ΓΒ∆ .

Λυση



1)Να υπολογίσετε τις γωνίες του τρίγωνου ΜΑΒ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις ,

όπου οι ευθείες ΜΑ και ΜΒ είναι εφαπτόμενες του κύκλου.

2)Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα η ευθεία ε είναι εφαπτόμενη του κύκλου

στο σημείο Α. Να υπολογίσετε την γωνία ω που σχηματίζει η ε με την χορδή ΑΒ.


3)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,ρ) , το υψος του ΑΔ και η διάμετρος

ΑΟΗ. Να αποδείξετε ότι ΒΑ∆ = ΓΑΗ .

4)Δυο χορδές ΑΔ και ΒΓ ενός κύκλου είναι κάθετες στην χορδή του ΑΒ.Να αποδείξετε ότι :

α)ΓΔ//ΑΒ β) ɵ 90οΓ = ∆ =

5)Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ=ΑΓ και η ΑΓ εφάπτεται στον κύκλο .

Να αποδείξετε ότι 2ΑΒ = Α∆ .



6)Να υπολογίσετε στα διπλανά σχήματα

τις γωνίες που σημειώνονται με μικρά

γράμματα.

7)Σε κύκλο (Ο,ρ) να χαράξετε μια διάμετρο

ΑΒ και να σχεδιάσετε την χορδή ΑΓ για

την οποία είναι ΒΑΓ=300 .Η εφαπτόμενη

του κύκλου στο Γ τέμνει την ευθεία ΑΒ στο

σημείο Δ.

α)Να υπολογίσετε την γωνία ΓΟΔ.

β)Να δικαιολογήσετε ότι το τρίγωνο ΑΓΔ

είναι ισοσκελές .

8)Μια εφαπτόμενη κύκλου σε σημείο Μ

είναι παράλληλη προς μια χορδή ΑΒ του

κύκλου αν και μόνο αν το Μ είναι μέσο

του τόξου ΑΒ.

9)Σε κύκλο (Ο,ρ )να σχεδιάσετε δυο

κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ τέτοιες ώστε

να είναι ΑΓ=500 και ΒΑΓ= 40ο .Να

υπολογίσετε τις γωνίες του τετράγωνου

ΑΓΒΔ.

10)Δυο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α, Β

και Γ,Δ είναι τα αντιδιαμετρικα σημεία του

Α στους δυο κύκλους .Να αποδείξετε ότι η

ευθεία ΓΔ διέρχεται από το σημείο Β.

11)Δυο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο

σημείο Α .Από το Α φέρουμε δυο ευθείες

που τέμνουν τον ένα κύκλο στα Β , Γ και

τον άλλο στα Δ,Ε.

Να αποδείξετε ότι ΒΓ//ΔΕ.

12)Να υπολογίσετε τις ακτίνες του

περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου

κύκλου ορθογωνίου τρίγωνου ως

συνάρτηση των πλευρών του.

13).Σε τρίγωνο , που είναι εγγεγραμμένο

σε κύκλο ( Ο,ρ) φέρουμε το ύψος ΑΔ και

την διάμετρο ΒΕ του κύκλου ( Ο,ρ).Να

αποδείξετε ότι ΑΔ//ΓΕ.

14)Οι κορυφές του τρίγωνου ΑΒΓ είναι

σημεία κύκλου (Ο,ρ) και Δ το

αντιδιαμετρικο σημείο του Α στον κύκλο.

Να αποδείξετε ότι το ύψος του τρίγωνου

ΑΒΓ από την κορυφή Γ είναι παράλληλο

προς την χορδή ΒΔ.



15)Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,ρ).Αν φέρουμε τις χορδές ΒΔ//ΑΓ και

ΓΕ//ΑΒ,να αποδείξετε ότι η χορδή ΔΕ είναι παράλληλη προς την εφαπτόμενη του κύκλου

στο σημείο Α.

16)Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φέρουμε το ύψος ΑΔ, την διχοτόμο ΑΕ και την διάμετρο ΑΜ

του περιγεγραμμένου κύκλου του τρίγωνου. Να αποδείξετε ότι ∆ΑΕ = ΕΑΜ .

17)Με βάση το διπλανό σχήμα όπου Κ

είναι το κέντρο του κύκλου και xy

εφαπτομένη του απαντήστε στα

παρακάτω:

Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

α) Η γωνία ΒΓΕ ισούται με:

Α. ΒΑΚ Β. ΚΑΕ Γ. ΕΑx

Δ. yAB Ε. 2

BKE

β) Η γωνία ΒΑΕ έχει παραπληρωματική την:

Α. ΕΔΓ Β. ΕΚΑ Γ. ΕΔΑ Δ. ΕΔΒ Ε. ΕΚΒ

γ) Η γωνία ΒΔΕ ισούται με:

Α. xΑΕ Β. ΕΑΚ Γ. ΚΑΒ Δ. ΒΑy Ε. ΒΓΕ

δ) Από τις παρακάτω σχέσεις, που αναφέρονται σε γωνίες του σχήματος, σωστή είναι η

σχέση:

Α. ΒΓΔ = ΒΔΕ Β. xΑΕ = ΑΚΕ Γ. ΒΓΕ + ΒΑΕ = 360°

Δ. ΑΕΔ + ΒΓΔ = 180° Ε. xΑΕ = ΑΒΕ

ε)Αντιστοιχίστε κάθε γωνία της στήλης Α με την ίση της που βρίσκεται στη στήλη Β.

στήλη Α στήλη Β

ΒΓΕ

ΕΑx

ΒΑy

ΑΔΕ

2

∆ΕΚ

ΕΚΑ

ΒΔΕ

ΑΓΒ



Αν οι κορυφές ενός τετράπλευρου είναι σημεία κύκλου,

τότε λέμε ότι το τετράπλευρο αυτό είναι εγγεγραμμένο σε

κύκλο και ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος

κύκλος του τετράπλευρου.

Ένα τετράπλευρο που δεν είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο,

αλλά μπορεί να γίνει, λέγεται εγγράψιμο σε κύκλο ή απλά

εγγράψιμο.

Ένα τετράπλευρο είναι εγγραψιμο σε κύκλο , αν και μόνο

αν ισχύει ένα από τα παρακάτω:

α)Οι μεσοκάθετες των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο

σημείο.(σχημα 3)

β)Το άθροισμα δυο απέναντι γωνιών του είναι 180ο .

γ)Μια γωνία του είναι ίση με την απέναντι εξωτερική γωνία

του.(σχημα 4 )

δ)Μια πλευρά του φαίνεται από τις άλλες δυο κορυφές υπό

ίσες γωνίες . (σχημα 2)

Παρατήρηση 1 :Υπάρχει κάποια διάφορα μεταξύ των

λέξεων εγγεγραμμένο και εγγράψιμο πολύγωνο. Με την

πρώτη εννοούμε μια υπαρκτή κατάσταση(ένα πολύγωνο

του οποίου οι κορυφές είναι σημεία κύκλου) και με την

δεύτερη εννοούμε ένα πολύγωνο για το οποίο μπορεί να

υπάρξει κύκλος που να διέρχεται από τις κορυφές του , να

γίνει δηλαδή εγγεγραμμένο.

σχήµα 2

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ - ΕΓΓΡΑΨΙΜΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ

σχήμα 3

σχήμα 4

σχήµα 1



Παρατήρηση 2

Σε ένα τετράπλευρο του οποίου οι πλευρές

εφάπτονται στον ίδιο κύκλο λέγεται

περιγεγραμμενο στον κύκλο αυτό ,

ενώ ο κύκλος λέγεται περιγεγραμμενος

Σε κάθε περιγεγραμμενο τετράπλευρο ισχύουν

οι εξής ιδιότητες :

α)Οι διχοτόμοι των γωνιών του διέρχονται

από τι ίδιο σημείο , που είναι το κέντρο του

εγγεγραμμένου κύκλου.

β)Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα , δηλαδή

ΑΒ+ΓΔ=ΑΔ+ΒΓ

Αν ένα τετράπλευρο μπορεί να περιγράφει σε κύκλο, τότε λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο.

Για να είναι ένα τετράπλευρο περιγράψιμο , αρκεί να ισχύει μια από τις ακόλουθες προτάσεις :

α)Οι διχοτόμοι των γωνιών του να διέρχονται από το ίδιο σημείο

β)Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του να είναι ίσα.



ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ-ΕΓΓΡΑΨΙΜΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΤΡΑ

Λύση

Λύση

α) Το τετράπλευρο ΒΔΗΖ είναι εγγραψιμο διότι 0180ΒΖΗ +Β∆Η = .

Το τετράπλευρο ΓΔΗΕ (ΒΕ ⊥ ΑΓ και Α∆ ⊥ ΒΓ ) είναι εγγραψιμα διότι 0180Η∆Γ +ΗΕΓ = .

Το τετράπλευρο ΑΖΗΕ είναι εγγραψιμο διότι 0180ΑΖΗ + ΑΕΗ = .

Τα προηγούμενα τρία τετράπλευρα είναι εγγραψιμα συμφωνά με το γνωστό κριτήριο.

Το τετράπλευρο ΒΖΕΓ είναι εγγραψιμο διότι η ΒΓ φαίνεται από της κορυφές Ζ και Ε υπο ίσες (

ορθές γωνίες )

Το τετράπλευρο ΑΕΔΒ είναι εγγραψιμο διότι η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τις κορυφές Ε και Δ

υπό ίσες γωνίες .

Το τετράπλευρο ΑΓΔΖ είναι εγγραψιμο διότι η ΑΓ φαίνεται από της κορυφές Ζ και Δ υπο ίσες

γωνίες

Τα τρία τελευταία τετράπλευρα είναι εγγραψιμα συμφωνά με το γνωστό κριτήριο.

β)Αρκεί να δείξουμε ότι 1 2∆ = ∆ διότι για τις άλλες γωνίες εργαζόμαστε ανάλογα.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΒΖΗΔ έχουμε 1 1Β = ∆ (1)

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΔΗΕΓ έχουμε ότι ɵ2 1∆ = Γ (2)

Από το εγγραψιμο τετράπλευρο ΒΖΕΓ έχουμε ότι ɵ1 1Β = Γ (3)

Από τις σχέσεις (1) ,(2) (3) προκύπτει ότι 2 1∆ = ∆ δηλαδή το υψος ΑΔ είναι διχοτόμος της

γωνίας

Ζ∆Ε του τριγώνου ΔΕΖ.

1)Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος

τα τμήματα ΑΔ,ΒΕ και ΓΖ είναι ύψη του

και το Η είναι το ορθοκεντρο του.

α)Να δικαιολογήσετε γιατί τα τετράπλευρα

ΒΔΗΖ,ΓΔΗΕ ,ΑΖΗΕ ,ΒΖΕΓ,ΑΕΔΒ και

είναι εγγραψιμα σε κύκλο.

β) Να αποδείξετε ότι τα ύψη ΑΔ,ΒΕ και ΓΖ

είναι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου ΖΔΕ .



Λύση

Για να είναι ΓΕ//ΔΖ αρκεί να αποδείξουμε ότι:

ɵ 0180Γ + ∆ =

Φέρνουμε την ΑΒ.Το τετράπλευρο ΑΒΕΓ είναι

εγγεγραμμένο , οπότε η γωνία ɵΓ ισούται με την απέναντι

εξωτερική γωνία ΑΒΖ .Είναι δηλαδή :

χ=ω (1)

Όμοια από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΔΖΒ είναι

∆ = ΑΒΕ δηλαδή:

y = φ (2)

Οι σχέσεις (1) και (2) με πρόσθεση κατά μέλη δίνουν :

x+y=ω+φ=180ο

αφού: 0180φ ω+ = ΕΒΑ+ ΑΒΖ = ΕΒΖ =

2) Δυο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β .

Δυο ευθείες που διέρχονται από τα Α και Β

τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Γ και Ε

και τον άλλο στα σημεία Δ και Ζ.

Να αποδειχθεί ότι ΓΕ//ΔΖ

Παρατήρηση

Τα παρακάτω σχήματα τα σημεία Α,Γ ,Δ και Β είναι ομοκυκλικα , δηλαδή τα τετράπλευρα ΑΓΔΒ

και ΑΓΒΔ είναι αντιστοίχως εγγραψιμα διότι: 090ΑΓΒ = Α∆Β = και 0 0 090 90 180ΑΓΒ+ Α∆Β = + = αντίστοιχα . Τα διπλανά σχήματα συναντωνται πολύ συχνά σε ασκήσεις .



Επειδή λοιπόν χ+y=180ο , θα είναι ΓΕ//ΔΖ.

Λύση

Για να είναι ΕΖ//ΒΓ, αρκεί να αποδείξουμε ότι χ=ω .

Επειδή 090ΑΕ∆ = ΑΖ∆ = , το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι εγγραψιμο

.Επομένως ΑΖΕ = Α∆Ε δηλαδή χ =y (1)

Όμως Α∆Γ = ΑΒΓ , ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στο τόξο

ΑΓ .Είναι δηλαδή

y =ω (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι χ = ω.

Άρα ΕΖ//ΒΓ.

Λύση

Το κέντρο Ο του εγγεγραμμένου κύκλου του τετράπλευρου είναι το σημείο τομής των

διχοτομών των γωνιών του .

Στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε

0 01 1180 180

2 2

Α ΒΑΟΒ = −Α −Β = − −

Όμοια στο τρίγωνο ΟΓΔ έχουμε

ɵ

0 01 1180 180

2 2

Α ΒΓΟ∆ = −Γ −∆ = − −

Επομένως

ɵ

0 0 0 0360 ( ) 360 180 1802 2 2 2

Α Β Γ ∆ΑΟΒ+ΓΟ∆ = − + + + = − =

3)Έστω ΑΒ και ΓΔ δυο τεμνομενες χορδές ενός κύκλου .Αν ΑΕ⊥ ΓΔ και ΔΖ ⊥ ΑΒ ,

να αποδειχθεί ότι ΕΖ//ΒΓ .

4)Αν ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι περιγεγραμμενο σε κύκλο κέντρου Ο να αποδείξετε

ότι 0180ΑΟΒ+ΓΟ∆ =



ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΓΓΡΑΨΙΜΑ

1)Να δείξετε ότι ένα παραλληλόγραμμο είναι εγγραψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν είναι

ορθογώνιο.

2) Στο διπλανο σχημα :

α)να εξετασετε αν το ΑΒΓΔ είναι εγγραψιμο σε κυκλο

β) να υπολογισετε τις γωνιες φ και ω.

3) Να αποδείξετε ότι ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν είναι εγγραψιμο σε κύκλο.

4) Να αποδείξετε ότι δυο χορδές κύκλου , που δεν είναι διάμετροι , δεν μπορούν να


4)Το διπλανό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγεγραμμένο

σε κύκλο με διάμετρο την ΑΓ.

Να αποδείξετε ότι το ΕΔΒΖ είναι εγγραψιμο.

5) Δυο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β.Δυο ευθείες που διέρχονται από τα Α και Β, τέμνουν

τον ένα κύκλο στα σημεία Γ και Δ και τον άλλο στα Ε και Ζ. Να αποδείξετε ότι ΓΔ//ΕΖ.

Σε ποια περίπτωση ισχύει ΓΔ=ΕΖ.

6)Στο διπλανο σχήμα οι κύκλοι με κέντρα τα Κ και Λ

εφάπτονται στο σημείο Δ της πλευράς ΒΓ

του τριγώνου ΑΒΓ και τέμνουν τις πλευρές

του ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα.

Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο Δ.

Να αποδείξετε ότι το ΑΕΔΖ είναι εγγρσψιμο τετράπλευρο



7 ) Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΑΔ και ΒΕ,να αποδείξετε ότι η ΔΕ είναι παράλληλη προς

την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου του τρίγωνου ΑΒΓ στο σημείο Γ.

8)Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών κυρτού τετράπλευρου, τεμνόμενες ανά δυο

σχηματίζουν εγγραψιμο τετράπλευρο.

9)Τα ύψη ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ ενός μη ορθογωνίου τρίγωνου ΑΒΓ είναι διχοτόμοι των γωνιών του

τρίγωνου ΔΕΖ.

10)Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Ι , ενώ οι διχοτόμοι

των εξωτερικών γωνιών Β και Γ τέμνονται στο σημείο Κ.Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο

ΒΙΚΓ είναι εγγραψιμο σε κύκλο και να βρείτε το κέντρο του κύκλου αυτού.

11) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες ενός κύκλου στα άκρα δυο κάθετων χορδών του

σχηματίζουν εγγραψιμο σε κύκλο τετράπλευρο.

12)Να αποδείξετε ότι σε ένα τρίγωνο τα μέσα των πλευρών του και το ίχνος ενός υψος του είναι

κορυφές εγγραψιμο τετράπλευρου.

13)Να αποδείξετε ότι τα συμμετρικά κάθε σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τρίγωνου

ως προς τις πλευρές του είναι συνευθειακα σημεία.( ευθεία του steiner).

14)Σε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ θεωρούμε τους κύκλους που εφάπτονται μιας πλευράς και των

προεκτάσεων των δυο άλλων προσκείμενων πλευρών του.Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των

κύκλων αυτών είναι κορυφές εγγραψιμο τετράπλευρου.

15)Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και έχει Α - Γ = 80°. Η γωνία Α ισούται

σε μοίρες με:

Α. 90° Β. 100° Γ. 110° Δ. 120° Ε. 130°

16) Στο διπλανό σχήμα τα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι

ύψη του τριγώνου ΑΒΓ. Γράφουμε και την

ΔΕ. Το πλήθος των εμφανιζομένων στο

σχήμα εγγράψιμων τετραπλεύρων είναι:

Α. 3 Β. 4 Γ. 5 Δ. 6 Ε. 7



17)Δίνεται πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ που έχει ΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΕ και Β = Γ = Δ. Να αποδείξετε ότι

το πεντάγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

18) Στο διπλανό σχήμα είναι τόξο ΑΔ =

80° και

τόξο ΓΔ = 50°. Η γωνία ΑΔx ισούται με:

Α. 80° Β. 90° Γ. 105°

Δ. 115° Ε. 130°

19)Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο και η Α γωνία του είναι τετραπλάσια της Γ. Η

γωνία Α ισούται με:

Α. 36° Β. 45° Γ. 72° Δ. 90° Ε. 144°



ΓΕΝΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Α. Για να αποδείξουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα, αρκεί να αποδείξουμε ένα

από τα επόμενα.

1. Είναι άθροισμα ή διαφορά ίσων τμημάτων.

2. Είναι αντίστοιχες πλευρές δύο ίσων τριγώνων.

3. Είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου.

4. Είναι διαγώνιοι ορθογωνίου.

5. Είναι δύο ευθύγραμμα τμήματα που περιέχονται μεταξύ παράλληλων ευθειών.

6. Είναι πλευρές ισοσκελούς τριγώνου.

7. Είναι χορδές ίσων τόξων.

8. Είναι εφαπτόμενες κύκλου που φέρνουμε από σημείο εκτός αυτού.

9. Είναι χορδές κύκλου (ή ίσων κύκλων) που απέχουν από το κέντρο ίσες αποστάσεις.

10. Είναι συμμετρικά ως προς κέντρο ή άξονα συμμετρίας.

Β. Για να αποδείξουμε ότι δύο γωνίες είναι ίσες, αρκεί να αποδείξουμε ένα από τα

παρακάτω.

1. Είναι κατακορυφήν γωνίες.

2. Είναι άθροισμα ή διαφορά ίσων γωνιών.

3. Είναι συμπληρωματικές ή παραπληρωματικές ίσων γωνιών.

4. Είναι αντίστοιχες γωνιών δύο ίσων τριγώνων ή όμοιων τριγώνων.

5. Είναι οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου.

6. Είναι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται από δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται

από μία τρίτη ευθεία.

7. Είναι οξείες ή αμβλείες, που έχουν τις πλευρές ανά μία κάθετες.

8. Είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο ίδιο τόξο.

9. Η μία είναι εγγεγραμμένη και η άλλη σχηματίζεται υπό χορδής και εφαπτομένης και βαίνουν

στο ίδιο τόξο.

10. Είναι γωνίες σε εγγράψιμο τρίγωνο.

Γ. Για να αποδείξουμε ότι δύο ευθείες είναι κάθετες, αρκεί να αποδείξουμε ένα από τα

επόμενα.

1. Είναι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών.

2. Είναι η τρίτη γωνία τριγώνου που οι άλλες δύο είναι συμπληρωματικές.

3. Η μία είναι ευθεία που συνδέει τα συμμετρικά σημείων ως προς άλλη ευθεία.

4. Είναι διαγώνιοι ρόμβου ή τετραγώνου.

5. Η μία είναι βάση ισοσκελούς τριγώνου και η άλλη είναι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής

(μεσοκάθετος ή διάμεσος).

6. Η μία είναι εφαπτομένη και η άλλη ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής.

7. Η μία είναι πλευρά τριγώνου και η άλλη διέρχεται από το ορθόκεντρο του τριγώνου.

8. Η μία είναι χορδή και η άλλη είναι διάμετρος που διέρχεται από το μέσο της χορδής.

9. Η μία είναι η ευθεία που συνδέει τα σημεία επαφής δύο εφαπτόμενων, που φέρνουμε από

σημείο εκτός κύκλου, και η άλλη συνδέει το σημείο με το κέντρο του κύκλου.

10. Η μία είναι μεσοκάθετος σε ευθύγραμμο τμήμα που βρίσκεται πάνω στην άλλη.



Δ. Για να αποδείξουμε ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, αρκεί να αποδείξουμε ένα από τα

παρακάτω.

1. Έχει δύο πλευρές ή δύο γωνίες ίσες.

2. α) Η διχοτόμος μιας γωνίας του είναι και διάμεσος του.

β) Η διχοτόμος μιας γωνίας του είναι και μεσοκάθετος της απέναντι πλευράς.

γ) Ένα ύψος του είναι και διάμεσος.

δ) Ένα ύψος του είναι μεσοκάθετος.

ε) Μία διάμεσος του είναι και διχοτόμος (ή μεσοκάθετος).

3. Έχει άξονα συμμετρίας.

Ε. Για να αποδείξουμε ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο, αρκεί να αποδείξουμε ένα από τα

παρακάτω.

1. Έχει μια γωνία ορθή.

2. Δύο γωνίες είναι συμπληρωματικές.

3. Η διάμεσος που φέρνουμε από μία κορυφή, προς την απέναντι πλευρά, είναι ίση

με το μισό της πλευράς.

Στ. Για να αποδείξουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες, αρκεί να αποδείξουμε ένα από τα

παρακάτω.

1. Είναι παράλληλες προς την ίδια ευθεία ή ότι είναι κάθετες προς την ίδια ευθεία.

2. Σχηματίζουν με μία τέμνουσα: α) δύο γωνίες εντός εναλλάξ ίσες, β) δύο εντός και επί τα αυτά

γωνίες παραπληρωματικές.

3. Η μία είναι ευθεία που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου και η άλλη είναι η άλλη

πλευρά του τριγώνου.

4. Ορίζουν πάνω σε δύο τεμνόμενες ευθείες τμήματα ανάλογα.

Ζ. Για να αποδείξουμε ότι μία ημιευθεία είναι διχοτόμος γωνίας, αρκεί να αποδείξουμε ένα

από τα παρακάτω.

1. Η ημιευθεία σχηματίζει δύο ίσες γωνίες με τις πλευρές της γωνίας.

2. Ένα σημείο της ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.

3. Συνδέει την κορυφή της γωνίας ενός τριγώνου με το σημείο τομής των διχοτόμων των άλλων

δύο γωνιών.

4. Χωρίζει την απέναντι πλευρά σε μέρη ανάλογα των πλευρών που την περιέχουν.

Η. Για να αποδείξουμε ότι τα σημεία Α, Β και Γ βρίσκονται στην ίδια ευθεία, αρκεί να

αποδείξουμε ένα από τα επόμενα.

1. Η γωνία που ορίζουν αυτά (ΑΒΓ ή ΒΑΓ ή ΑΓΒ) έχει μέτρο 180°.

2. Είναι ΑΒ//ΑΓ (ή ΑΒ//ΒΓ κ.ο.κ.) ή ότι οι ΑΒ και ΑΓ (ΑΒ και ΒΓ κ.O.K.) είναι κάθετες στην ίδια

ευθεία. 3. Αν τα σημεία Β και Γ είναι προς το ίδιο μέρος του Α και φέρνουμε μια τυχαία

ημιευθεία Αχ, οι γωνίες Β Αχ και Γ Αχ είναι ίσες.



θ. Για να αποδείξουμε ότι ένα τετράπλευρο είναι:

α) παραλληλόγραμμο, β) ορθογώνιο, γ) ρόμβος και δ) τετράγωνο, εφαρμόζουμε ότι αναφέρονται

στα αντίστοιχα κριτήρια. (Δες ενότητα Δ.)

Ι. Για να αποδείξουμε ότι δύο κύκλοι:

α) τέμνονται, αρκεί να αποδείξουμε ότι η διάκεντρος είναι μεγαλύτερη από το

άθροισμα και μικρότερη της διαφοράς των ακτινών τους,

β) εφάπτονται, αρκεί να αποδείξουμε ότι:

1. η διάκεντρος τους είναι ίση με το άθροισμα των ακτινών τους,

2. έχουν ένα κοινό σημείο το οποίο βρίσκεται στη διάκεντρό τους.

Κ. α) Για να αποδείξουμε ότι δύο ευθείες τέμνονται, αρκεί να αποδείξουμε ένα από τα

παρακάτω.

1. Όταν τμηθούν από μία τρίτη ευθεία, το άθροισμα των εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών

είναι μικρότερο των 180°.

2. Αποτελούν δύο από τα ύψη (ή τις διχοτόμους ή τις διάμεσους) ενός τριγώνου.

β) Για να αποδείξουμε ότι τρεις ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο, αρκεί να αποδείξουμε

ένα από τα παρακάτω.

1. Οι τρεις ευθείες είναι ύψη ή διχοτόμοι ή διάμεσοι ή μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου.

2. Αποτελούν ανά δύο διαγώνιους παραλληλογράμμου (ή ορθογωνίου) τα οποία έχουν κοινή

διαγώνιο τη μία από αυτές.

Λ. Για να αποδείξουμε ότι μία ευθεία εφάπτεται σε έναν κύκλο, αρκεί να αποδείξουμε ένα

από τα παρακάτω.

1. Σχηματίζει με μία χορδή γωνία, η οποία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου, το

οποίο αντιστοιχεί στη χορδή.

2. Είναι κάθετη στο άκρο μιας ακτίνας.



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ο.Ε.Δ.Β Θωμαιδης , Ξενος, Πουλος

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ο.Ε.Δ.Β Αργυροπουλος , Βλαμος κ.α,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Πετρου. Γ. Τογκα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Στεργιου ,Νακης

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ο.Ε.Δ.Β Αλιμπινισης ,Ανδρεαδακης

Περιοδικο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Α,Β

EXCURSIONS IN MATHEMATICS C.Stanley Ogilvy

THE MOSCOW PUZZLES Boris A. Kordemski

QUANTUM

THE PENGUIN BOOK OF CURIOUS AND INTERESTING PUZZLES

David Wells

C._G._Gibson ELEMENTARY_EUCLIDEAN_GEOMETRY

AN_UNDERGRADUATE_INTRODUCTION

Bottema-TOPICS IN ELEMENTARY GEOMETRY

GEOMETRY - Cliffs Quick Review - E. Kohn (2001)

MATHEMATICAL.CIRCLES.REVISITED_H.Eves

MATHEMATICAL ADVENTURES FOR STUDENTS AND AMATEURS David Hayes

PROBLEMS IN PLANE AND SOLID GEOMETRY [V. Prasolov]

SOLVING PROBLEMS IN GEOMETRY GUSEV

W.W.RouseBall MATHEMATICAL_RECREATIONS_AND_ESSAYS

Πληθώρα ασκήσεων καθώς και ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεια υπάρχουν στις ηλεκτρονικές

διευθύνσεις:

http://www.mathematica.gr/forum/viewforum.php?f=20

http:// www.math.olstate.edu/h sc/

http:// www.problems.math.umr.edu/index.htm

http:// www.faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/

Γεωμετρια Α λυκειου σημειώσεις

Education

Transcript of Γεωμετρια Α λυκειου σημειώσεις