Obrada signala 1

2017-2018

26.09.2017.

Opšte napomene

• Predavači– Prof. Dragana Šumarac Pavlović,

dsumarac@etf.bg.ac.rs, soba 17

– Doc. Jelena Ćertić, certic@etf.bg.ac.rs, soba 68

• Asistent– Miloš Bjelić, bjelic@etf.bg.ac.rs, soba 17

• Sajt– http://telekomunikacije.etf.rs/lab54/os1/

• Oglasna tabla je pored sobe 68.

Opšte napomene

• Predavanja i vežbe:

– utorak 17:00 – 19:00, sala 57

– sreda 16:00 – 18:00, sala 310

• Laboratorijske vežbe, ukupno 4, sala 69

• Domaći zadaci

Formiranje ocene

• Laboratorijske vežbe, 20% (radi se test na kraju svake vežbe koji nosi 5 %) – nema “praga”

• Kolokvijum iz MATLAB-a, 20% (samostalno se radi jedan zadatak, organizuje se u decembru) – nema praga

• Ispit, 60%, (4 zadatka, po 2 iz svakog dela gradiva) - potrebno je “položiti” bar jedan zadatak iz svakog dela gradiva

“Bonus” poeni

• Na časovima predavanja i vežbi se povremeno daju zadaci kojima se mogu osvojiti “bonus” poeni, ukupno 10 u toku semestra

• Na lab. vežbama se daju zadaci kojima se mogu osvojiti “bonus” poeni, ukupno 4 u toku semestra

• U prvom ispitnom roku postoje “bonus” poeni na samom ispitu

Zašto učimo digitalnu obradu signala na modulu za telekomunikacije?

• Modeli koje ćemo u toku ovog kursa imati u vidu:

• Digitalna obrada kontinulanih signala

• Digitalni telekomunikacioni predajnik

• Digitalni telekomunikacioni prijemnik

Signali1

• Kontinualni

– Kontinualna funkcija vremena, vrednosti pripadajuneograničenom skupu - x(t)=cos(ω0t)

Signali2

• Digitalni (telekom terminologija)

– Kontinualna funkcija vremena, vrednosti pripadajukonačnom skupu – M-arni signal – x(t)=Un, (n-1)T≤t<nT.

Signali3

• Diskretni (DSP terminologija)

– Definisani samo za diskretne vrednosti nezavisne promenljive vremena (amplituda diskretnog signala može biti kontinualna ili diskretna)

Signali4

• Digitalni (DSP terminologija)

– Diskretan signal (kvantizacija amplituda diskretnog signala) - y=round(x*4)/4

Osnovni pojmovi (za osnovni kurs izdigitalne obrade signala)

Kontinualni signali

• Signal je neprekidna funkcija vremena, x(t)

• Kružna frekvencija Ω (rad/s)

Diskretni signali

• Signal je definisan samo za diskretne vrednosti nezavisne promenljive vremena, x(nΔT), ili x(n)

• Ako je signal kvantizovan i po amplitudi, naziva se digitalni signal

• Kružna frekvencija ω (rad) ili (rad/odbirak) (normalizovana kružna frekvencija)

Odabiranje

• Proces kojim se od kontinualnog signala dobija niz odbiraka koji predstavljaju diskretan signal (posmatramo prostoperiodičan signal da bismo videli šta se dešava sa frekvencijom)

s

d

c

ddc

fT

TnTnTnx

ttx

nxTnxtx

coscos

cos

Ω je kružna frekvencija

kontinualnog signala-∞ ≤ Ω ≤ ∞

Odabiranje

• Teorema o odabiranju

2 2

s

s

ff

Tf

ω je kružna frekvencija diskretnog signala

(normalizovana frekvencija)- π ≤ ω ≤ π

Ω je kružna frekvencija

kontinualnog signala-∞ ≤ Ω ≤ ∞

Odabiranje

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-1

-0.5

0

0.5

1

t

f1=100,f

s1=1000

f2=200,f

s2=2000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

n

Različiti kontinualni signali

Jednaki diskretnisignali

Odabiranje

Različiti kontinualni signali

Jednaki diskretnisignali

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1

-0.5

0

0.5

1

t

f1=100,f

s1=1000

f2=900,f

s2=1000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

n

Diskretni signali

• Diskretni signali mogu biti konačne ili beskonačne dužine

• Matrična forma (vektor-kolona), za signale konačne dužine

21, NnNnx

T10 NN xxx x

Elementarni signali

• Jedinični impuls

• Jedinični odskočni niz

• Kosinusni i sinusni nizovi

• Kompleksni ekponencijalni niz

Jedinični impuls

0,0

0,1

n

nn

0

0

0,0

,1

nn

nnnn

Pomeren jedinični impuls(zakašnjen za n0)

Jedinični impuls

• Jedinični impuls ima osobinu selektivnosti pa se, pomoću pomerenog jediničnog impulsa može predstaviti bilo koji niz u formi:

k

knkxnx

Jedinični odskočni niz

0

0,0

0,1

k

n

k

knnu

knu

n

nnu

Jedinični odskočni niz je predstavljen preko jediničnog impulsa

Kosinusni i sinusni signali

• Diskretni kosinusni i sinusni signali ne moraju biti periodični

• Periodičnost sa periodom N

• Uslov periodičnosti kosinusnog signala

Nnxnx

N

kNnNnn

2coscoscos 00000

Kosinusni i sinusni signali

• Mi, uobičajeno, „baratamo“ sa signalima/nizovima konačne dužine

• Niz konačne dužine, formalno gledano, sigurno nije periodičan

• Za niz konačne dužine N, smatraćemo da je „dobar model“ periodičnog niza ako se njegovim periodičnim produžavanjem dobija „lep niz“, odnosno nema diskontinuiteta

Kosinusni i sinusni signali

i i ix n x n N

Kosinusni i sinusni signali

• Primer neperiodičnog niza

0 0

6cos ,

10n

Kosinusni i sinusni signali

• Primer neperiodičnog niza

0 0

6cos ,

10n

Kompleksni eksponencijani niz

njnenx nj sincos

Za kompleksan eksponencijalni niz važe isti kriterijumi periodičnosti kao i za sinusne i kosinusne nizove.

Kompleksni eksponencijani niz

njnenx nj sincos

Diskretni sistemi

• Predstavlja postupka preslikavanja jedan diskretna signal u drugi, ulazno izlazna relacija označava se kao:

nxny

x[n] y[n]

Diskretni sistemi - osobine

• Linearnost

• Vremenska invarijantnost

• Stabilnost

• Kauzalnost

Linearnost

nyanyanxanxa

nxny

nxny

22112211

22

11

Vremenska invarijantnost

00 nnynnx

nynx

Stabilnost

Sistem je stabilan ako i samo ako ograničen ulazni niz daje na izlazu ograničen izlazni niz.

vrednostpozitivna nackona

svako za,

A

nAnxOgraničen ulazni niz

vrednostpozitivna nackona

svako za,

B

nBnyOgraničen izlazni niz

Kauzalnost

Sistem je kauzalan ako signal na izlazu za n=n0 zavisi samo od onih vrednosti ulaznog signala za koje je n≤n0.

3

111

nxnxnxny

3

212

nxnxnxny

Nekauzalan sistem

Kauzalan sistem

Linearni vremenski invarijantni sistemi LTI

• Važna osobina linearnih, vremenski invarijantnih sistema je da se izlazni niz može izraziti kao konvolucija između ulaznog niza i impulsnog odziva sistema.

• Impulsni odziv sistema je odziv sistema na pobudu jediničnim impulsom.

nnh

Linearni vremenski invarijantni sistemi LTI

• Važna osobina linearnih, vremenski invarijantnih sistema je da se izlazni niz može izraziti kao konvolucijaizmeđu ulaznog niza i impulsnog odziva sistema.

nnh

nxny

k

knkxnx

knhkn

knhkxknkx

k

knhkxny

k

knhkxnxny

nhnxny

TI

L

L

Konvolucija

Konvolucija

kk

knxkhknhkxnxny

0 2

1

n

h[n](a)

0 3

1

n

x[n](b)

0

1

n

h[k]x[0-k](c)

0

1

n

h[k]x[2-k](e)

0

1

n

h[k]x[4-k] (g)

0

1

n

h[k] x[5-k](i)

0

1

n

y[n](d)

0 2

1

n

y[n](f)

0 4

1

n

y[n](h)

0 5

1

n

y[n](j)

0211202

01101

000

hxhxhxy

hxhxy

hxy

¶

Konvolucija

kk

knxkhknhkxnxny 0 2

1

n

h[n](a)

0 3

1

n

x[n](b)

0

1

n

h[k]x[0-k](c)

0

1

n

h[k]x[2-k](e)

0

1

n

h[k]x[4-k] (g)

0

1

n

h[k] x[5-k](i)

0

1

n

y[n](d)

0 2

1

n

y[n](f)

0 4

1

n

y[n](h)

0 5

1

n

y[n](j)

13224

0312213

hxhxy

hxhxhxy

235 hxy

Stabilnost i kauzalnost linearnih vremenski invarijantnih sistema

k

khS

Potreban i dovoljanuslov stabilnosti

vremenskiinvarijantnog sistemaimpulsnog odziva h[n]

0za0 nnh

Uslov kauzalnostivremenski

invarijantnog sistemaimpulsnog odziva h[n]

Sistem sa konačnim impulsnim odzivom (FIR)

• Finite impulse response

• Dužina impulsnog odziva je konačna

2

1

K

Kk

knxkhny

Sistem sa beskonačnim impulsnim odzivom (IIR)

• Infinite impulse response

• Dužina impulsnog odziva je beskonačna

k

knxkhny

Linearne diferencne jednačine sakonstantnim koeficijentima

• Od posebnog značaja su LTI sistemi kod kojih se relacije između ulaznog i izlaznog signala mogu predstaviti preko linearne diferencne jednačine

N

k

M

k

kk knxaknyb0 0

M

k

N

k

kk knybknxany0 1

Predstavljanje diskretnih sistemapomoću blok dijagrama

• U diferencnim jednačinama figuršu: množenje, sabiranje i kašnjenje

• Kašnjenje od N odbiraka može da se zamisli kao redna (kaskadna) veza N blokova sa jediničnim kašnjenjenjem

Tx[n] y[n]=x[n-1]

x3[n]

x1[n]x2[n]

x4[n]x5[n]

y[n]=Sxi[n]i

a

x[n] y[n]=ax[n]

a

a

Primer

• y[n]=2x[n]-x[n-1]-y[n-4]

x[n]

Tx[n-1]

Ty[n-4]

y[n]

-1

-1

T T T

2