ΔΙΔΑΚΤΙΚO BOHΘHMA ΓΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ

TEI ΠΕΙΡΑΙΑΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 0Κεφάλαιο 0:: Φασματική Ανάλυση Περιοδικών Φασματική Ανάλυση Περιοδικών

ΣημάτωνΣημάτων Κεφάλαιο 1Κεφάλαιο 1:: Ο Mετασχηματισμός Ο Mετασχηματισμός FourierFourier Κεφάλαιο 2Κεφάλαιο 2: : ΔΔιαμόρφωση Πλάτουςιαμόρφωση Πλάτους Κεφάλαιο 3Κεφάλαιο 3: Διπλοπλευρική και μονοπλευρική : Διπλοπλευρική και μονοπλευρική διαμόρφωσηδιαμόρφωση Κεφάλαιο 4Κεφάλαιο 4:: Διαμόρφωση ΣυχνότηταςΔιαμόρφωση Συχνότητας Κεφάλαιο 5Κεφάλαιο 5:: Ψηφιακή ΔιαμόρφωσηΨηφιακή Διαμόρφωση

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Ενότητα 1: Περιοδικά σήματα, τριγωνομετρικές Ενότητα 1: Περιοδικά σήματα, τριγωνομετρικές σειρές περιοδικών σημάτωνσειρές περιοδικών σημάτων

Ενότητα 2: Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών Ενότητα 2: Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτωνσημάτων

Ενότητα 3: ΦίλτραΕνότητα 3: Φίλτρα Ενότητα 4: Ο Μετασχηματισμός Ενότητα 4: Ο Μετασχηματισμός FourierFourier Ενότητα 5: Μερικά σήματα και οΕνότητα 5: Μερικά σήματα και οιι μετασχηματισμ μετασχηματισμοίοί

Fourier Fourier αυτώναυτών Ενότητα 6: Θεμελιώδης Ιδιότητα των Ενότητα 6: Θεμελιώδης Ιδιότητα των

ΤηλεπικοινωνιώνΤηλεπικοινωνιών

Ενότητα 7: Ορισμός και χαρακτηριστικά σήματος ΑΜ, Ενότητα 7: Ορισμός και χαρακτηριστικά σήματος ΑΜ, φάσματα σήματος ΑΜφάσματα σήματος ΑΜ

Ενότητα 8: Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές ΑΜΕνότητα 8: Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές ΑΜ Ενότητα 9: Διπλοπλευρική διαμόρφωση Ενότητα 9: Διπλοπλευρική διαμόρφωση (DSB)(DSB) Ενότητα 10: Μονοπλευρική διαμόρφωση Ενότητα 10: Μονοπλευρική διαμόρφωση (SSB)(SSB) Ενότητα 11: Εισαγωγή στη διαμόρφωση συχνότητας Ενότητα 11: Εισαγωγή στη διαμόρφωση συχνότητας

(FM)(FM), φάσματα σήματος , φάσματα σήματος FMFM Ενότητα 12: Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση Ενότητα 12: Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FMFM Ενότητα 13: Βρόχος κλειδώματος φάσης Ενότητα 13: Βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL)(PLL) Ενότητα 14: Ψηφιακή Διαμόρφωση (Ορισμοί, Ισχύς, Ενότητα 14: Ψηφιακή Διαμόρφωση (Ορισμοί, Ισχύς,

Φάσματα)Φάσματα) Ενότητα 15: Δέκτες σημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης Ενότητα 15: Δέκτες σημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης

Κεφάλαιο 0: Κεφάλαιο 0: Φασματική Ανάλυση Φασματική Ανάλυση Περιοδικών ΣημάτωνΠεριοδικών Σημάτων

0.1 0.1 Περιοδικά σήματαΠεριοδικά σήματα 0.2 0.2

Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτωνΤριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτων 0.3 0.3 Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτωνΦάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτων

0.4 0.4 ΦίλτραΦίλτρα

0.1 Περιοδικά Σήματα0.1 Περιοδικά Σήματα

Σήμα=Φυσικό μέγεθος που Σήμα=Φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο μεταβάλλεται με το χρόνο tt

Τρόποι παράστασης σήματος: Τρόποι παράστασης σήματος: α) Mαθηματική έκφραση στο α) Mαθηματική έκφραση στο πεδίο του χρόνου t (π.πεδίο του χρόνου t (π. χ. χ. x(t)=5συν100t) x(t)=5συν100t) β) Γραφική παράσταση στο β) Γραφική παράσταση στο πεδίο του χρόνου t πεδίο του χρόνου t (παλμογράφος) (παλμογράφος) γ) Γραφική παράσταση στο γ) Γραφική παράσταση στο πεδίο της συχνότητας f πεδίο της συχνότητας f (φάσματα πλάτους και φάσης)(φάσματα πλάτους και φάσης)

Σήμα Σήμα x(t)x(t) είναι είναι περιοδικόπεριοδικό με με περίοδο Τπερίοδο Τ00>0 αν >0 αν x(t+x(t+ΤΤ00)=x(t) για )=x(t) για κάθε κάθε tt

Σήμα x(t) είναι Σήμα x(t) είναι άρτιοάρτιο αν x(-t)= αν x(-t)= x(t) x(t) για κάθε για κάθε t Σήμα t Σήμα x(t) είναι x(t) είναι περιττόπεριττό αν x(-t)=- αν x(-t)=-x(t) x(t) για κάθε για κάθε tt

Μαθηματική έκφραση Μαθηματική έκφραση ηημιτονικμιτονικού ού σήμασήματοςτος: : xx((tt)=)=AAσυν(2πσυν(2πff00tt+θ), +θ), A=πλάτος (θετικές τιμές), A=πλάτος (θετικές τιμές), θ=φάση (τιμές από -π μέχρι θ=φάση (τιμές από -π μέχρι π), π), ff00=συχνότητα=συχνότητα ((θετικές θετικές τιμές)τιμές)

ΦΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΦΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΗΜΙΤΟΝΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ xx((tt)=)=AAσυν(2πσυν(2πff00tt+θ)+θ)

Φάσμα πλάτουςΦάσμα πλάτους ((Για πιο αυστηρή παράσταση Για πιο αυστηρή παράσταση

χρησιμοποιείται συνάρτηση δ στη χρησιμοποιείται συνάρτηση δ στη συχνότητα συχνότητα ff00))

Φάσμα φάσηςΦάσμα φάσης

0

A

ff0

Πλάτος

0

Φάση

f0 f

θ

ΦΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΦΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

xx((tt)=)=AA11συν(2πσυν(2πff11tt+θ+θ11)+Α)+Α22συν(2πσυν(2πff22tt+θ+θ22)) A 1

A 2

f1 f

Πλάτος

0 f2

Φάσμα πλάτουςΦάσμα πλάτους

Φάσμα φάσης (Φάσμα φάσης (μεμε θθ11>0 >0 και θκαι θ22<0)<0)

θ2

Φάση

0 f2f1

θ1

f

ΔΙΑΦΟΡΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΗΜΙΤΟΝΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑΔΙΑΦΟΡΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΗΜΙΤΟΝΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ

Σήμα AΣήμα Aσυν(2πσυν(2πff00tt+θ): Μέση τιμή = 0. Μέση ισχύς (μέση +θ): Μέση τιμή = 0. Μέση ισχύς (μέση τετραγωνική τιμή) = Ατετραγωνική τιμή) = Α22/2/2

Με Α>0 έχουμε:Με Α>0 έχουμε:Σήμα Σήμα AAσυν2πσυν2πff00t: πλάτοςt: πλάτος Α, φάση 0 Α, φάση 0Σήμα -Σήμα -AAσυν2πσυν2πff00t=At=Aσυν(2πσυν(2πff00t+π): πλάτοςt+π): πλάτος Α, φάση π Α, φάση π Σήμα Σήμα AAημ2πημ2πff00t=At=Aσυν(2πσυν(2πff00t-π/2): πλάτοςt-π/2): πλάτος Α, φάση -π/2 Α, φάση -π/2Σήμα -Σήμα -AAημ2πημ2πff00t=At=Aσυν(2πσυν(2πff00t+π/2): πλάτοςt+π/2): πλάτος Α, φάση π/2 Α, φάση π/2Το σήμα Το σήμα AAημ2πημ2πff00t είναι περιττό σήμα και το At είναι περιττό σήμα και το Aσυν2πσυν2πff00t t

είναι άρτιο σήμα είναι άρτιο σήμα Τώρα κάντε μια Τώρα κάντε μια Επανάληψη από την ΤριγωνομετρίαΕπανάληψη από την Τριγωνομετρία

0.2 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier 0.2 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier περιοδικών σημάτωνπεριοδικών σημάτων

Κάθε περιοδικό σήμα Κάθε περιοδικό σήμα xx((tt), με περίοδο Τ), με περίοδο Τ00, μπορεί να αναπτυχθεί σε , μπορεί να αναπτυχθεί σε

τριγωνομετρική σειρά άπειρων ημιτονικών σημάτων με μη μηδενικές τριγωνομετρική σειρά άπειρων ημιτονικών σημάτων με μη μηδενικές

γωνίες φάσης: x(t)=cγωνίες φάσης: x(t)=c00συνθσυνθ00++cc11συν(2πσυν(2πff00tt+θ+θ11)+)+cc22συν(2π2συν(2π2ff00tt+θ+θ22)+…)+…

++ccnnσυν(2πσυν(2πnfnf00tt+θ+θnn)+… )+…

με με ccnn0, για 0, για nn=0,1,2,…, -π<θ=0,1,2,…, -π<θnnπ, για π, για nn=1,2,3,… και θ=1,2,3,… και θ00=0 ή π.=0 ή π.

Συχνότητα Συχνότητα ff00=1/=1/TT00: : θεμελιώδης συχνότηταθεμελιώδης συχνότητα

Συχνότητα Συχνότητα nfnf00: : nn-στή αρμονική-στή αρμονική

Άλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράςΆλλη μορφή της τριγωνομετρικής σειράς

xx((tt)=α)=α00+α+α11συν2πσυν2πff00tt+α+α22συν2π2συν2π2ff00tt+…+…+α+αnnσυν2πσυν2πnfnf00tt+… +…

+β+β11ημ2πημ2πff00tt+β+β22ημ2π2ημ2π2ff00tt+…+β+…+βnnημ2πημ2πnfnf00tt++……

όπου όπου ααnn==ccnnσυνθσυνθnn και και ββnn=-=-ccnnημθημθnn

TTύποιύποι υπολογισμούυπολογισμού των συντελεστών των συντελεστών ααnn και β και βnn::

0

0

2

00

2

1 ( )x t dt

0

0

2

00

2

2 ( ) 2n x t nf tdt

0

0

2

00

2

2 ( ) 2n x t nf tdt

Ως διάστημα ολοκλήρωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί Ως διάστημα ολοκλήρωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί

οποιοδήποτε χρονικό διάστημα (δ, δ+Τοποιοδήποτε χρονικό διάστημα (δ, δ+Τ00), μήκους Τ), μήκους Τ00, με δ αυτό , με δ αυτό

που μας εξυπηρετεί κάθε φορά στον υπολογισμό των που μας εξυπηρετεί κάθε φορά στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτωνολοκληρωμάτων

Τα άρτια περιοδικά σήματα έχουν Τα άρτια περιοδικά σήματα έχουν ββnn=0 και τα περιττά α=0 και τα περιττά αnn=0=0

Εύρεση του Εύρεση του ccnn από τα α από τα αnn και βκαι βnn: : ccnn=(α=(αnn22+β+βnn

22))1/21/2

Εύρεση της Εύρεση της θθnn από τα ααπό τα αnn και βκαι βnn:: Βρίσκουμε την Βρίσκουμε την τοξεφ(-τοξεφ(-ββnn/α/αnn)) και σ’ αυτήν προσθέτουμε ή αφαιρούμε και σ’ αυτήν προσθέτουμε ή αφαιρούμε ππ ή ή τίποτατίποτα για να την πάμε στο για να την πάμε στο κατάλληλο τεταρτημόριο κατάλληλο τεταρτημόριο (εκεί όπου έχουμε διαπιστώσει ότι βρίσκεται), (εκεί όπου έχουμε διαπιστώσει ότι βρίσκεται), ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία:ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία:

Το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η θΤο τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η θn n εξαρτάται από τα εξαρτάται από τα πρόσημα των πρόσημα των συνθσυνθnn και και ημθημθnn, ήτοι των , ήτοι των ααnn και και -β-βnn::

Αν αΑν αnn>0 και -β>0 και -βnn>0, η γωνία θ>0, η γωνία θnn βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο (τότε βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο (τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(-βδεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(-βnn/α/αnn) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή)) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή)

Αν αΑν αnn<0 και -β<0 και -βnn>0, η γωνία θ>0, η γωνία θnn βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο (τότε βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο (τότε προσθέτουμε π στην τοξεφ(-βπροσθέτουμε π στην τοξεφ(-βnn/α/αnn) για να πάει αυτή στο δεύτερο ) για να πάει αυτή στο δεύτερο τεταρτημόριο από το τέταρτο στο οποίο βρίσκεται)τεταρτημόριο από το τέταρτο στο οποίο βρίσκεται)

Αν αΑν αnn<0 και -β<0 και -βnn<0, η γωνία θ<0, η γωνία θnn βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο (τότε βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο (τότε αφαιρούμε π από την τοξεφ(-βαφαιρούμε π από την τοξεφ(-βnn/α/αnn) για να πάει αυτή στο τρίτο ) για να πάει αυτή στο τρίτο τεταρτημόριο από το πρώτο στο οποίο βρίσκεται) τεταρτημόριο από το πρώτο στο οποίο βρίσκεται)

Αν αΑν αnn>0 και -β>0 και -βnn<0, η γωνία θ<0, η γωνία θnn βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο (τότε βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτημόριο (τότε δεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(-βδεν προσθέτουμε τίποτα στην τοξεφ(-βnn/α/αnn) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή)) γιατί εκεί βρίσκεται κι αυτή)

0.3 Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών 0.3 Φάσματα περιοδικών και μη περιοδικών σημάτωνσημάτων

Ένα περιοδικό σήμα συχνότητας Ένα περιοδικό σήμα συχνότητας ff00 έχει φάσματα πλάτους και φάσης έχει φάσματα πλάτους και φάσης γραμμικάγραμμικά (συγκεντρωμένα στις συχνότητες 0, (συγκεντρωμένα στις συχνότητες 0, ff00, 2f, 2f00, …, nf, …, nf00, …), …)

Ένα μη περιοδικό σήμα έχει φάσματα πλάτους και φάσης Ένα μη περιοδικό σήμα έχει φάσματα πλάτους και φάσης συνεχήσυνεχή (κατανεμημένα σε μια ζώνη συχνοτήτων ή σ’ όλον τον άξονα (κατανεμημένα σε μια ζώνη συχνοτήτων ή σ’ όλον τον άξονα των των συχνοτήτων συχνοτήτων f)f)

0.3.1 Φάσματα περιοδικού σήματος συχνότητας 0.3.1 Φάσματα περιοδικού σήματος συχνότητας ff00

ff0 2f 0 nf 03f 0

c1

c2

c0 c3

0

cn

πλάτος

Τα Τα ccnn (πλάτη) και (πλάτη) και θθn n (φάσεις) (φάσεις) είναι αυτά που είναι αυτά που περιλαμβάνονται στο περιλαμβάνονται στο ανάπτυγμα του περιοδικού ανάπτυγμα του περιοδικού σήματος σε τριγωνομετρική σήματος σε τριγωνομετρική σειρά σειρά FourierFourier

Το Το ccnn τείνει στο 0 καθώς το τείνει στο 0 καθώς το nn τείνει στο άπειροτείνει στο άπειροΦάσμα πλάτους

Φάσμα φάσης

f0 2f0 3f0 nf00 f

θ0

θ1

θ2

θ3θn

· · · · · ·

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: Φάσματα : Φάσματα τετραγωνικούτετραγωνικού σήματος σήματος περιόδου Τπεριόδου Τ00

3T 0 /4T0/20

p(t)

T0 5T 0 /4T0/4

1

t-T 0 /4-T 0 /2-3T 0 /4-T 0-5T 0 /4

Το σήμα Το σήμα p(t)p(t) είναι άρτιο είναι άρτιο οπότε βοπότε βnn=0. Από τον =0. Από τον τύπο υπολογισμού του ατύπο υπολογισμού του αn n προκύπτει ότι προκύπτει ότι αα22=α=α44=α=α66=α=α88=…=0 και=…=0 και

αα00=1/2, α=1/2, α11=2/π,=2/π,

αα33=-2/(3π), α=-2/(3π), α55=2/(5π), α=2/(5π), α77=-=-2/(7π), α2/(7π), α99=2/(9π), =2/(9π), αα1111=-2/(11π), …=-2/(11π), …

Για αΓια αnn >0 είναι φάση=0 και >0 είναι φάση=0 και για αγια αnn<0 είναι φάση=π.<0 είναι φάση=π.

Κάντε τους υπολογισμούς Κάντε τους υπολογισμούς και επαληθεύστε τα και επαληθεύστε τα παραπάνω. παραπάνω.

Το τετραγωνικό σήμα

0 3f 0 7f 05f 0f0 f

2/3π

2/π

2/5π2/7π

1/2

f

π

f0 3f 0 5f 0 7f 0

π

0

Φάσμα φάσης

Φάσμα πλάτους

Φάσματα άλλων περιοδικών σημάτωνΦάσματα άλλων περιοδικών σημάτων

Προσπαθήστε να υπολογίσετε τα αναπτύγμτατα σε Προσπαθήστε να υπολογίσετε τα αναπτύγμτατα σε τριγωνομετρική σειρά τριγωνομετρική σειρά Fourier Fourier κι απ’ αυτά να σχεδιάσετε τα κι απ’ αυτά να σχεδιάσετε τα φάσματα πλάτους και φάσης των εξής περιοδικών σημάτων:φάσματα πλάτους και φάσης των εξής περιοδικών σημάτων:

α) α) ΟρθογωνικούΟρθογωνικού που έχει περίοδο Τ που έχει περίοδο Τ00 και διάρκεια ψηλής τιμής και διάρκεια ψηλής τιμής του παλμού τ (με τ<Ττου παλμού τ (με τ<Τ00/2). Σχεδιάστε το ως άρτιο σήμα./2). Σχεδιάστε το ως άρτιο σήμα.

β) β) ΠριονωτούΠριονωτού που έχει περίοδο Τ που έχει περίοδο Τ00..

0.3.2 Φάσματα μη περιοδικού σήματος 0.3.2 Φάσματα μη περιοδικού σήματος x(t)x(t)

Είναι συνεχείς συναρτήσεις της συχνότητας Είναι συνεχείς συναρτήσεις της συχνότητας f.f. Tο Tο φάσμα πλάτουςφάσμα πλάτους παριστάνεται με παριστάνεται με XX((ff)). Είναι μη . Είναι μη

αρνητική συνάρτηση της συχνότητας αρνητική συνάρτηση της συχνότητας f.f. Το Το φάσμα φάσηςφάσμα φάσης παριστάνεται με παριστάνεται με ArgArg{{XX((ff)}. Είναι πάντα)}. Είναι πάντα -π<-π<ArgArg{{XX((ff)})}π.π. Το Το XX((ff)=)=XX((ff))eejArgjArg{{XX((ff)})} είναι ο είναι ο μετασχηματισμός μετασχηματισμός FourierFourier

του σήματος του σήματος xx((tt) που θα γνωρίσουμε στο Κεφάλαιο 1 (όπου ) που θα γνωρίσουμε στο Κεφάλαιο 1 (όπου γίνεται χρήση και αρνητικών συχνοτήτων). γίνεται χρήση και αρνητικών συχνοτήτων).

Ενδεικτικά φάσματα μη περιοδικού σήματοςΕνδεικτικά φάσματα μη περιοδικού σήματος

f0

|X(f)|

Το Το XX((ff)) παρέχει την παρέχει την πυκνότητα του πυκνότητα του φασματικού περιεχομένου φασματικού περιεχομένου του του x(t) x(t) ως προς τη ως προς τη συχνότητα. Ακριβέστερα, συχνότητα. Ακριβέστερα, το το XX((ff))22 είναι η είναι η πυκνότηταπυκνότητα ενέργειας ενέργειας του σήματος του σήματος xx((tt) ως προς ) ως προς τη συχνότητα τη συχνότητα ff (ενέργεια (ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας)ανά μονάδα συχνότητας)..

f

Arg{X(f)}

0

π

Ενδεικτικό φάσμα πλάτους

Ενδεικτικό φάσμα φάσης

ΦίλτραΦίλτρα

Είναι διατάξεις που έχουν σκοπό να επιδράσουν κατά Είναι διατάξεις που έχουν σκοπό να επιδράσουν κατά επιθυμητό τρόπο στα φάσματα (κυρίως στο φάσμα πλάτους) επιθυμητό τρόπο στα φάσματα (κυρίως στο φάσμα πλάτους) του σήματος που οδηγούμε στην είσοδό τους. του σήματος που οδηγούμε στην είσοδό τους. Συνήθης στόχοςΣυνήθης στόχος: : Να περάσει άθικτο το μέρος του φάσματος που βρίσκεται σε Να περάσει άθικτο το μέρος του φάσματος που βρίσκεται σε μια ζώνη συχνοτήτων, τη μια ζώνη συχνοτήτων, τη ζώνη διέλευσηςζώνη διέλευσης του φίλτρου, και του φίλτρου, και να μηδενιστεί το μέρος του φάσματος που βρίσκεται στις να μηδενιστεί το μέρος του φάσματος που βρίσκεται στις υπόλοιπες συχνότητες, τη υπόλοιπες συχνότητες, τη ζώνη αποκοπήςζώνη αποκοπής του φίλτρου.του φίλτρου.

Χαρακτηριστικά ενός φίλτρουΧαρακτηριστικά ενός φίλτρου

Ένα φίλτρο χαρακτηρίζεται από:Ένα φίλτρο χαρακτηρίζεται από:Την Την απόκριση πλάτουςαπόκριση πλάτους Η(Η(ff)) και την και την απόκριση φάσηςαπόκριση φάσης

ArgArg{{HH((ff)} αυτού. )} αυτού. AAπ’ αυτές τις δύο αποκρίσεις συντίθεται η π’ αυτές τις δύο αποκρίσεις συντίθεται η συνάρτηση μεταφοράςσυνάρτηση μεταφοράς του φίλτρου του φίλτρου HH((ff)=)=HH((ff))eejArgjArg{{HH((ff)})}. .

Η συνάρτηση μεταφοράς ενός φίλτρου είναι ο Η συνάρτηση μεταφοράς ενός φίλτρου είναι ο μετασχηματισμός μετασχηματισμός FourierFourier της της κρουστικής απόκρισηςκρουστικής απόκρισης hh((tt) ) αυτού, ήτοι του σήματος εξόδου του φίλτρου όταν είσοδος αυτού, ήτοι του σήματος εξόδου του φίλτρου όταν είσοδος είναι το σήμα δείναι το σήμα δ(t)(t). .

Οι αποκρίσεις πλάτους και φάσης ενός φίλτρου το Οι αποκρίσεις πλάτους και φάσης ενός φίλτρου το χαρακτηρίζουν και είναι ανεξάρτητες από τα σήματα χαρακτηρίζουν και είναι ανεξάρτητες από τα σήματα εισόδου και εξόδου αυτού. εισόδου και εξόδου αυτού.

Σχέση μετασχηματισμών Σχέση μετασχηματισμών FourierFourier των σημάτων εισόδου των σημάτων εισόδου xx((tt) και εξόδου ) και εξόδου yy((tt) ενός φίλτρου:) ενός φίλτρου:

Y(f)=H(f)X(f)Y(f)=H(f)X(f)Παίρνοντας μέτρα προκύπτει: Παίρνοντας μέτρα προκύπτει: Y(f)Y(f)==H(f)H(f)X(f)X(f). .

Επομένως,Επομένως, Φάσμα πλάτους σήματος εξόδου = Φάσμα πλάτους σήματος εξόδου = Απόκριση πλάτους του Απόκριση πλάτους του

φίλτρουφίλτρου Φάσμα πλάτους σήματος εισόδου Φάσμα πλάτους σήματος εισόδου

Παίρνοντας ορίσματα προκύπτει:Παίρνοντας ορίσματα προκύπτει: ArgArg{{YY((ff)}=)}=ArgArg{{HH((ff)}+)}+ArgArg{{XX((ff)})}. Επομένως, . Επομένως, Φάσμα φάσης σήματος εξόδου = Απόκριση φάσης του φίλτρου Φάσμα φάσης σήματος εξόδου = Απόκριση φάσης του φίλτρου

+ Φάσμα φάσης σήματος εισόδου+ Φάσμα φάσης σήματος εισόδου

Ιδανικά φίλτραΙδανικά φίλτρα

Στη ζώνη διέλευσης έχουν Στη ζώνη διέλευσης έχουν Η(Η(ff))=1 και στη ζώνη αποκοπής έχουν =1 και στη ζώνη αποκοπής έχουν Η(Η(ff))=0=0

Η μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και Η μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και αντίστροφα γίνεται απότομα (εκεί η απόκριση πλάτους αντίστροφα γίνεται απότομα (εκεί η απόκριση πλάτους είναι «κατακόρυφη»)είναι «κατακόρυφη»)

Για την υλοποίησή τους απαιτούνται κυκλώματα άπειρης Για την υλοποίησή τους απαιτούνται κυκλώματα άπειρης τάξης (άπειρου μεγέθους) τάξης (άπειρου μεγέθους)

Παραδείγματα ιδανικών φίλτρωνΠαραδείγματα ιδανικών φίλτρων

0f

1

fc

|H(f)|

0

|H(f)|

1

ffc

0

|H(f)|

1

f1 f2 f

1

|H(f)|

f1 ff20

Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο

Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο

Παράδειγμα φιλτραρίσματος από ιδανικό φίλτρο Παράδειγμα φιλτραρίσματος από ιδανικό φίλτρο (ζωνοπερατό φίλτρο με ζώνη διέλευσης (ζωνοπερατό φίλτρο με ζώνη διέλευσης ((ff11, , ff22))))

0f2f1 ff3

A

|X(f)|

|H(f)|

ff1 f2

0

|Y(f)|

Φάσμα πλάτους σήματος εισόδου

Φάσμα πλάτους σήματος εξόδου

Μη ιδανικά φίλτραΜη ιδανικά φίλτρα

Στη ζώνη διέλευσης έχουν Στη ζώνη διέλευσης έχουν περίπουπερίπου Η(Η(ff))=1 και στη ζώνη =1 και στη ζώνη αποκοπής έχουναποκοπής έχουν περίπουπερίπου Η(Η(ff))=0.=0.

Η μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και Η μετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής και αντίστροφα γίνεται σταδιακά (μέσα στη μεταβατική ζώνη).αντίστροφα γίνεται σταδιακά (μέσα στη μεταβατική ζώνη).

Για την υλοποίησή τους απαιτούνται μικρά κυκλώματα (για Για την υλοποίησή τους απαιτούνται μικρά κυκλώματα (για χονδρική προσέγγιση των αποκρίσεων πλάτους των χονδρική προσέγγιση των αποκρίσεων πλάτους των ιδανικών φίλτρων) ή μεγαλύτερα κυκλώματα (για καλύτερη ιδανικών φίλτρων) ή μεγαλύτερα κυκλώματα (για καλύτερη προσέγγιση).προσέγγιση).

Απόκριση πλάτους βαθυπερατού φίλτρου της Απόκριση πλάτους βαθυπερατού φίλτρου της πράξηςπράξης

1

0f1 f2 f

|H(f)|

Ζώνηδιέλευσης

Μεταβατικήζώνη

Ζώνηαποκοπής

Φιλτράρισμα ημιτονικού σήματοςΦιλτράρισμα ημιτονικού σήματος

Σήμα εισόδου του φίλτρου: Σήμα εισόδου του φίλτρου: Ασυν(2πΑσυν(2πff00tt+θ)+θ)Στην έξοδο θα πάρουμε ημιτονικό σήμα συχνότητας Στην έξοδο θα πάρουμε ημιτονικό σήμα συχνότητας ff00, που θα έχει , που θα έχει

πλάτος Απλάτος ΑHH((ff00)) και φάση θ+Α και φάση θ+Αrgrg{{HH((ff00)}, δηλ. θα πάρουμε το )}, δηλ. θα πάρουμε το σήμα σήμα AAHH((ff00))συν(2πσυν(2πff00tt+θ++θ+ArgArg{{HH((ff00)}))})

Για σήμα εισόδου περιοδικό, το παραπάνω ισχύει για Για σήμα εισόδου περιοδικό, το παραπάνω ισχύει για κάθε όροκάθε όρο του του αναπτύγματος του σήματος σε τριγωνομετρική σειρά αναπτύγματος του σήματος σε τριγωνομετρική σειρά FourierFourier

Κεφάλαιο 1: O Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 1: O Μετασχηματισμός FourierFourier

1.1 1.1 Ορισμός και ιδιότητες του μετασχηματισμού Ορισμός και ιδιότητες του μετασχηματισμού FourierFourier

1.2 1.2 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί FourierFourier αυτώναυτών

1.1.1 1.1.1 ΟρισμόςΟρισμός του μετασχηματισμού του μετασχηματισμού Fourier Fourier σήματοςσήματος

2( ) { ( )} ( ) j ftX f F x t x t e dt

Σήμα x(t)Μετασχηματισμός Fourier αυτού X(f):

Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του X(f):1 2( ) { ( )} ( ) j ftx t F X f X f e df

Ο X(f) είναι μιγαδική συνάρτηση της συχνότητας f.Η συχνότητα f παίρνει τιμές από - μέχρι +.

Η γραφική παράσταση του |Χ(Η γραφική παράσταση του |Χ(ff)| είναι το )| είναι το φάσμα πλάτουςφάσμα πλάτους του του σήματος σήματος x(t)x(t)

H γραφική παράσταση του H γραφική παράσταση του ArgArg[[XX((ff)] είναι το )] είναι το φάσμα φάσηςφάσμα φάσης του του σήματος σήματος x(t)x(t)

1.1.2 1.1.2 ΙδιότητεςΙδιότητες του μετασχηματισμού του μετασχηματισμού FourierFourier 1) 1) XX(-(-ff)=)=XX**((ff) (συζυγής του ) (συζυγής του X(f)). Συνέπεια: X(f)). Συνέπεια: Αφού |Χ(-Αφού |Χ(-

ff)|=|Χ()|=|Χ(ff))**|=|Χ(|=|Χ(ff)| και )| και ArgArg[[XX(-(-ff)]=)]=ArgArg[[XX((ff))**]=-]=-ArgArg[[XX((ff)], τ)], τo o φάσμα πλάτουςφάσμα πλάτους |Χ(|Χ(ff)| είναι )| είναι άρτιαάρτια συνάρτηση της συνάρτηση της συχνότητας συχνότητας f και τf και το ο φάσμα φάσηςφάσμα φάσης ArgArg[[XX((ff)] είναι )] είναι περιττήπεριττή συνάρτηση της συχνότητας συνάρτηση της συχνότητας f.f. Αυτό ισχύει για Αυτό ισχύει για πραγματικάπραγματικά σήματα σήματα x(t).x(t).

2) 2) F{F{axax11((tt)+)+bxbx22((tt)}=)}=aXaX11((ff)+)+bXbX22((ff) (γραμμικότητα) ) (γραμμικότητα) 3) 3) F{F{xx((tt-τ)}=-τ)}=XX((ff))ee--jj2π2πffττ

4) 4) F{F{eej2πσj2πσttxx((tt)}=)}=XX((ff-σ) -σ) 5) 5) F{dx(t)/dt}=jF{dx(t)/dt}=j2π2πfX(f)fX(f)

77) F{) F{xx((atat)}=)}=XX((ff//aa)/)/aa

6) { ( ) } ( ) /( 2 )F x t dt X f j f

9) F{x(t)F{x(t)y(t)}=X(f)Y(f),y(t)}=X(f)Y(f), όπουόπου

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t y t x t y d x y t d

είναι η είναι η συνέλιξησυνέλιξη των σημάτων των σημάτων x(t) και y(t)x(t) και y(t) στο πεδίο του χρόνου στο πεδίο του χρόνου tt

10) F{x(t)y(t)}=X(f)F{x(t)y(t)}=X(f)Y(f),Y(f), όπου όπου

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X f Y f X f s Y s ds X s Y f s ds

είναι η είναι η συνέλιξη συνέλιξη των των X(f)X(f) και και Y(f) Y(f) στο πεδίο της συχνότηταςστο πεδίο της συχνότητας

88) F) F-1-1{Χ({Χ(aaff)}=)}=xx((tt//aa)/)/aa

11) 11) FF{{XX((tt)}=)}=xx(-(-ff). Δηλ. αν στη μαθηματική έκφραση της ). Δηλ. αν στη μαθηματική έκφραση της συνάρτησης συνάρτησης XX((ff) βάλουμε όπου ) βάλουμε όπου ff το το tt, προκύπτει η , προκύπτει η (μιγαδική εν γένει) συνάρτηση του χρόνου (μιγαδική εν γένει) συνάρτηση του χρόνου XX((tt), της οποίας ), της οποίας μετασχηματισμός μετασχηματισμός FourierFourier είναι εκείνη η συνάρτηση της είναι εκείνη η συνάρτηση της συχνότητας που προκύπτει από τη μαθηματική έκφραση συχνότητας που προκύπτει από τη μαθηματική έκφραση του σήματος του σήματος xx((tt) στο πεδίο του χρόνου αν σ΄ αυτή βάλουμε ) στο πεδίο του χρόνου αν σ΄ αυτή βάλουμε όπου όπου tt το – το –ff..

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: Το σήμα : Το σήμα u(t) (u(t) (βηματική συνάρτηση) έχει βηματική συνάρτηση) έχει μετασχηματισμό μετασχηματισμό Fourier 1/(jFourier 1/(j2π2πf). f). Επομένως, το σήμα Επομένως, το σήμα 1/(1/(jj2π2πt) t) έχει μετασχηματισμό έχει μετασχηματισμό Fourier u(-f)Fourier u(-f),, που είναι μια που είναι μια βηματική συνάρτηση που παίρνει τιμή 1 για αρνητικά βηματική συνάρτηση που παίρνει τιμή 1 για αρνητικά ff και και τιμή 0 για θετικά τιμή 0 για θετικά f. f.

Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό Παρατηρήσεις στο μετασχηματισμό FourierFourier

Η Ιδιότητα 2 με Η Ιδιότητα 2 με b=0 b=0 δίνει δίνει F{F{axax((tt)}=)}=aXaX((ff). Αν ). Αν a>0a>0 είναι είναι Arg(a)=0 Arg(a)=0 και και αν αν a<0a<0 είναι είναι Arg(a)=Arg(a)=π.π. Αφού Αφού είναι είναι Arg{aX(f)}=Arg(a)+Arg{X(f)}, Arg{aX(f)}=Arg(a)+Arg{X(f)}, με με θετικό θετικό a a το φάσμα το φάσμα φάσηςφάσης του του x(t)x(t) δεν αλλάζει και με αρνητικό δεν αλλάζει και με αρνητικό aa προστίθεται π σ’ αυτό. Και στις δύο περιπτώσεις το φάσμαπροστίθεται π σ’ αυτό. Και στις δύο περιπτώσεις το φάσμα πλάτουςπλάτους πολλαπλασιάζεται επί πολλαπλασιάζεται επίaa..

Η Ιδιότητα 7 με Η Ιδιότητα 7 με a=-1a=-1 δίνει δίνει

Ήτοι, αναστροφή της φοράς του άξονα των Ήτοι, αναστροφή της φοράς του άξονα των t (παρουσία του - t (παρουσία του -

μπροστά από το t) δίνει τομπροστά από το t) δίνει τονν συζυγή μετασχηματισμό Fourier. συζυγή μετασχηματισμό Fourier.

F{F{xx((-t-t)}=)}=XX(-(-ff)=)=XX**((ff).).

Η γραφική παράσταση του Η γραφική παράσταση του x(at)x(at), με , με a>1,a>1, προκύπτει από τη γραφική προκύπτει από τη γραφική παράσταση του παράσταση του x(t)x(t) με με συστολήσυστολή της κατά τον άξονα των της κατά τον άξονα των tt με παράγοντα με παράγοντα a. a. H γραφική παράσταση του x(t/a)H γραφική παράσταση του x(t/a) προκύπτει από τη γραφική παράσταση προκύπτει από τη γραφική παράσταση του του x(t)x(t) με με διαστολήδιαστολή της κατά τον άξονα των της κατά τον άξονα των tt με παράγοντα με παράγοντα a.a.

Από την Ιδιότητα 7 προκύπτει ότι Από την Ιδιότητα 7 προκύπτει ότι συστολήσυστολή του σήματος του σήματος x(t) x(t) κατά τον άξονα κατά τον άξονα των των tt με παράγοντα με παράγοντα aa συνεπάγεται συνεπάγεται διαστολήδιαστολή του κατά τον άξονα των του κατά τον άξονα των ff με με παράγοντα παράγοντα aa (και διαίρεση του φάσματος πλάτους δια (και διαίρεση του φάσματος πλάτους δια a). Ομοίως, a). Ομοίως, διαστολήδιαστολή στο πεδίο του t στο πεδίο του t με παράγοντα με παράγοντα a a συνεπάγεται συνεπάγεται συστολήσυστολή στο πεδίο στο πεδίο των των f μεf με παράγοντα παράγοντα a (και πολλαπλασιασμό του φάσματος πλάτους επί a).a (και πολλαπλασιασμό του φάσματος πλάτους επί a).

To To σήμα x(t-τ) προκύπτει από το σήμα σήμα x(t-τ) προκύπτει από το σήμα x(t)x(t) με με χρονικήχρονική καθυστέρησηκαθυστέρηση κατά τ. Η γραφική παράσταση μετατοπίζεται δεξιά κατά τ. Η γραφική παράσταση μετατοπίζεται δεξιά κατά τ. Αφούκατά τ. ΑφούXX((ff))ee--jj2π2πffττ = =X(f)X(f) και και ArgArg{{XX((ff))ee--jj2π2πffττ}=Α}=Αrgrg{Χ({Χ(ff)}-2π)}-2πffτ, από τ, από την Ιδιότητα 3 προκύπτει ότι η επιβολή καθυστέρησης τ δεν την Ιδιότητα 3 προκύπτει ότι η επιβολή καθυστέρησης τ δεν επηρεάζει το φάσμα πλάτους του σήματος, ενώ προσθέτει στο επηρεάζει το φάσμα πλάτους του σήματος, ενώ προσθέτει στο φάσμα φάσης αυτού τον γραμμικό ως προς τη συχνότητα φάσμα φάσης αυτού τον γραμμικό ως προς τη συχνότητα ff όρο - όρο -2π2πffτ.τ.

Η Ιδιότητα 4 λέει ότι ο πολλαπλασιασμός του Η Ιδιότητα 4 λέει ότι ο πολλαπλασιασμός του xx((tt) επί τη ) επί τη συνάρτηση συνάρτηση eejj2πσ2πσtt (μιγαδικό ημίτονο συχνότητας σ) συνεπάγεται (μιγαδικό ημίτονο συχνότητας σ) συνεπάγεται μετατόπιση του μετασχηματισμού μετατόπιση του μετασχηματισμού FourierFourier Χ(f) αυτού δεξιά κατά τη Χ(f) αυτού δεξιά κατά τη συχνότητα σ.συχνότητα σ.

Η Η χονδρική μορφήχονδρική μορφή ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου καθορίζεται ενός σήματος στο πεδίο του χρόνου καθορίζεται από το φασματικό περιεχόμενo του από το φασματικό περιεχόμενo του σήματος σήματος στις στις χαμηλέςχαμηλές συχνότητες. συχνότητες. Το φασματικό περιεχόμενο του σήματος στις Το φασματικό περιεχόμενο του σήματος στις ψηλέςψηλές συχνότητες συχνότητες συμβάλλει στο σχηματισμό των συμβάλλει στο σχηματισμό των λεπτομερειώνλεπτομερειών (αιχμές, ακμές κ.λπ.) (αιχμές, ακμές κ.λπ.) στο πεδίο του χρόνου. Συνέπεια αυτών:στο πεδίο του χρόνου. Συνέπεια αυτών:

Αν ψαλιδίσουμε τις «ουρές» του φάσματος του σήματος (δηλ. αν Αν ψαλιδίσουμε τις «ουρές» του φάσματος του σήματος (δηλ. αν περικόψουμε το φάσμα του από μια συχνότητα και πάνω) η εικόνα του περικόψουμε το φάσμα του από μια συχνότητα και πάνω) η εικόνα του σήματος στο πεδίο του χρόνου στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά σήματος στο πεδίο του χρόνου στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και κυματώσεις. Αντίθετα, αν κρατήσουμε μόνο το ψηλών συχνοτήτων και κυματώσεις. Αντίθετα, αν κρατήσουμε μόνο το ψηλών συχνοτήτων μέρος του φάσματος, το σήμα στο πεδίο του χρόνου καθίσταται μη μέρος του φάσματος, το σήμα στο πεδίο του χρόνου καθίσταται μη αναγνωρίσιμο.αναγνωρίσιμο.

Αν ψαλιδίσουμε τις Αν ψαλιδίσουμε τις ««ουρέςουρές»» του σήματος στο πεδίο του χρόνου, του σήματος στο πεδίο του χρόνου, το το φάσμα πλάτους του στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και φάσμα πλάτους του στρογγυλεύεται και, συνήθως, αποκτά και

κυματώσεις.κυματώσεις.

1.2 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί 1.2 Μερικά σήματα και οι μετασχηματισμοί FourierFourier αυτών αυτών

1) Κρουστική συνάρτηση δ(1) Κρουστική συνάρτηση δ(tt): ): F{F{δ(δ(t)}=1t)}=1

Από την Ιδιότητα 11 προκύπτει: Από την Ιδιότητα 11 προκύπτει: F{1}=F{1}=δ(-δ(-ff)=δ()=δ(f).f).

2) 2) Bηματική συνάρτηση Bηματική συνάρτηση uu((tt): U(f)=): U(f)=F{u(t)}=1/(j2F{u(t)}=1/(j2ππf)f), (αφού είναι , (αφού είναι δδ(t)=du(t)/dt(t)=du(t)/dt, έστω και όχι πολύ αυστηρά από μαθηματικής άποψης , έστω και όχι πολύ αυστηρά από μαθηματικής άποψης

αφού η συνάρτηση αφού η συνάρτηση u(t)u(t) ως ασυνεχής είναι μη παραγωγίσιμη ως ασυνεχής είναι μη παραγωγίσιμη).).

0 t

δ(t)

0 f

1

F{δ(t)}

3) Ορθογωνικός παλμός 3) Ορθογωνικός παλμός p(t)p(t) διάρκειας τ. Αποδείξτε ότι: διάρκειας τ. Αποδείξτε ότι: P(f)=P(f)=F{p(t)}=F{p(t)}=τημ(πτημ(πffτ)/(πτ)/(πffτ)=ττ)=τsinc(fsinc(fτ)τ), , όπου όπου sinc(x)=sinc(x)=ημ(πημ(πx)/(x)/(ππx)x) Ο Ο P(f)P(f) είναι είναι πραγματικήπραγματική και και άρτια άρτια συνάρτηση της συνάρτηση της ff..

0 f

|U(f)|

0

-π/2

π/2

f

Arg{U(f)}

Φάσμα πλάτουςΦάσμα πλάτους

Φάσμα ΦάσηςΦάσμα Φάσης

Ορθογωνικός παλμός και ο μετασχηματισμός Ορθογωνικός παλμός και ο μετασχηματισμός Fourier Fourier αυτούαυτού, , όπου όπου ffττ=1/τ=1/τ

0 τ/2 t-τ/2

1

p(t)

0 t

ε(t)

e -αt

Σχεδιάστε εσείς το φάσμα πλάτους και τοΣχεδιάστε εσείς το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσμα φάσης του ορθογωνικού παλμού.φάσης του ορθογωνικού παλμού.

4)4) Εκθετικός παλμός: ε Εκθετικός παλμός: ε(t)=e(t)=e--ααttu(t) u(t) με αμε α>0. >0. Αποδείξτε ότι Αποδείξτε ότι F{F{ee--ααttu(t)}=1/(u(t)}=1/(αα+j+j2π2πf). Επομένωςf). Επομένως, ο , ο εκθετικός παλμός και τα φάσματά του έχουν ως εξήςεκθετικός παλμός και τα φάσματά του έχουν ως εξής::

0

1/α

|Ε(f)|

fα/2π-α/2π

0.707/ α

Ο εκθετικός παλμός Το φάσμα πλάτους τουεκθετικού παλμού

α/2π

0

π/2

-π/2

π/4

-π/4

Arg{E(f)}

f-α/2π

Το φάσμα φάσης του εκθετικού παλμού

A) F{A) F{x(t)x(t)συν2πσυν2πffcct}=t}=[X(f-f[X(f-fcc)+X(f+f)+X(f+fcc)]/2. Αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός σήματος )]/2. Αυτό σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός σήματος επί συν2πεπί συν2πffcctt μετατοπίζει τα φάσματα του σήματος (τώρα γίνεται χρήση θετικών μετατοπίζει τα φάσματα του σήματος (τώρα γίνεται χρήση θετικών καικαι αρνητικών συχνοτήτων) δεξιά κατά αρνητικών συχνοτήτων) δεξιά κατά ffc c και επίσης αριστερά κατά και επίσης αριστερά κατά ffc c και διαιρεί τα και διαιρεί τα φάσματα πλάτους δια 2. Τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα φάσματα πλάτους δια 2. Τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα ffcc έχουν την άνω και έχουν την άνω και την κάτω πλευρική ζώνη τους. Το ίδιο και τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα -την κάτω πλευρική ζώνη τους. Το ίδιο και τα φάσματα γύρω από τη συχνότητα -ffcc..

Μερικές ακόμα ιδιότητες – ζεύγη Μερικές ακόμα ιδιότητες – ζεύγη μετασχηματισμών μετασχηματισμών FourierFourier

Β) Αφού Β) Αφού F(F(ΑΑ)=)=ΑδΑδ(f), η πρ(f), η προηγούμενηοηγούμενη ιδιότητα δίνει F(Α ιδιότητα δίνει F(Ασυν2πσυν2πffcct)=t)= [Αδ [Αδ(f-f(f-fcc))+Α+Αδδ(f+f(f+fcc)]/2. Άρα, το φάσμα του σήματος Α)]/2. Άρα, το φάσμα του σήματος Ασυν2πσυν2πffcct αποτελείται από μια t αποτελείται από μια κρουστική συνάρτησηκρουστική συνάρτηση στη θετική συχνότητα f στη θετική συχνότητα fcc και μια στην αρνητική συχνότητα και μια στην αρνητική συχνότητα --ffcc. Εμείς, λιγότερο αυστηρά, θα χρησιμοποιούμε ένα . Εμείς, λιγότερο αυστηρά, θα χρησιμοποιούμε ένα ευθύγραμμο τμήμαευθύγραμμο τμήμα ύψους ύψους Α στη συχνότητα Α στη συχνότητα ffcc (αγνοώντας τις αρνητικές συχνότητες). (αγνοώντας τις αρνητικές συχνότητες).

Γ) Με Γ) Με p(t) p(t) τον ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ, ο τον ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ, ο p(t)p(t)συν2πσυν2πffcct είναι ημιτονικός t είναι ημιτονικός παλμός συχνότητας fπαλμός συχνότητας fcc και και διάρκειας τ. Αυτός έχει μετασχηματισμό διάρκειας τ. Αυτός έχει μετασχηματισμό FourierFourier

[P(f-f[P(f-fcc)+P(f+f)+P(f+fcc)]/2={τ)]/2={τsinc[(f-fsinc[(f-fcc))ττ]+]+ττsinc[(f+fsinc[(f+fcc))τ]}/2τ]}/2 Δηλ. έχει φάσμα μια συνάρτηση Δηλ. έχει φάσμα μια συνάρτηση sinc sinc γύρω από τη συχνότητα γύρω από τη συχνότητα ffc c και μία γύρω και μία γύρω

από την -από την -ffcc (που την αγνοούμε (που την αγνοούμε αφού αγνοούμε τις αρνητικές συχνότητεςαφού αγνοούμε τις αρνητικές συχνότητες).).

Κεφάλαιο 2: Διαμόρφωση πλάτους Κεφάλαιο 2: Διαμόρφωση πλάτους ((Amplitude Modulation - AM)Amplitude Modulation - AM)

2.1 2.1 Θεμελιώδης Ιδιότητα των ΤηλεπικοινωνιώνΘεμελιώδης Ιδιότητα των Τηλεπικοινωνιών

2.2 2.2 Ορισμός και χαρακτηριστικά σήματος AMΟρισμός και χαρακτηριστικά σήματος AM

2.3 2.3 Φάσματα σήματος AMΦάσματα σήματος AM

2.4 2.4 Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές ΑΜΔιαμορφωτές και αποδιαμορφωτές ΑΜ

2.1 Θεμελιώδης Ιδιότητα των 2.1 Θεμελιώδης Ιδιότητα των ΤηλεπικοινωνιώνΤηλεπικοινωνιών

Από τώρα και στο εξής θα ασχολούμαστε μόνο με Από τώρα και στο εξής θα ασχολούμαστε μόνο με θετικές θετικές συχνότητεςσυχνότητες και τα φάσματα των σημάτων θα τα σχεδιάζουμε και τα φάσματα των σημάτων θα τα σχεδιάζουμε μονο σ’ αυτές, εκτός αν λέμε κάτι διαφορετικό.μονο σ’ αυτές, εκτός αν λέμε κάτι διαφορετικό.

Αν Αν y(t)=Ax(t)y(t)=Ax(t)συν2πσυν2πffcct, με Α>0, το t, με Α>0, το φάσμα πλάτουςφάσμα πλάτους του του y(t)y(t) αποτελείται από την αποτελείται από την άνωάνω πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με μετατόπισημετατόπιση του φάσματος πλάτους του σήματος του φάσματος πλάτους του σήματος xx((tt) δεξιά κατά ) δεξιά κατά ffcc, και την , και την κάτωκάτω πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με κατοπτρισμόκατοπτρισμό (συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα) της άνω (συμμετρία ως προς κατακόρυφο άξονα) της άνω πλευρικής ζώνης ως προς τη συχνότητα πλευρικής ζώνης ως προς τη συχνότητα ffcc. .

Το Το φάσμα φάσηςφάσμα φάσης του του yy((tt) αποτελείται κι αυτό από την ) αποτελείται κι αυτό από την άνω άνω πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με μετατόπισημετατόπιση του φάσματος του φάσματος φάσης του σήματος φάσης του σήματος xx((tt) δεξιά κατά ) δεξιά κατά ffcc, και την , και την κάτωκάτω πλευρική πλευρική ζώνη, που λαμβάνεται με ζώνη, που λαμβάνεται με συμμετρίασυμμετρία της άνω πλευρικής ζώνης της άνω πλευρικής ζώνης ως προς ως προς κέντροκέντρο τη συχνότητα τη συχνότητα ffcc. .

Τα φάσματα πλάτους πολλαπλασιάζονται όλα επί Α/2, ενώ τα Τα φάσματα πλάτους πολλαπλασιάζονται όλα επί Α/2, ενώ τα φάσματα φάσης όχι.φάσματα φάσης όχι.

Όσα μέρη του Όσα μέρη του φάσματος πλάτουςφάσματος πλάτους με τις μετακινήσεις τους πέσουν με τις μετακινήσεις τους πέσουν σε σε αρνητικέςαρνητικές συχνότητες, αντικαθίστανται (ισοδυναμούν) με τα συχνότητες, αντικαθίστανται (ισοδυναμούν) με τα κατοπτρικάκατοπτρικά τους ως προς τη συχνότητα 0. Όσα μέρη του τους ως προς τη συχνότητα 0. Όσα μέρη του φάσματος φάσηςφάσματος φάσης με τις μετακινήσεις τους πέσουν σε με τις μετακινήσεις τους πέσουν σε αρνητικέςαρνητικές συχνότητες, αντικαθίστανται (ισοδυναμούν) με τα συχνότητες, αντικαθίστανται (ισοδυναμούν) με τα συμμετρικάσυμμετρικά τους ως προς κέντρο συμμετρίας τη συχνότητα 0.τους ως προς κέντρο συμμετρίας τη συχνότητα 0.

0 fx f

Γ

f0

Δ

fx

Παραδείγματα σημάτων x(t) και y(t)=Ax(t)συν2πfct

Φάσμα πλάτους σήματος x(t) Φάσμα φάσης σήματος x(t)

fc-fx fc fc+f x f

ΑΓ/2ΑΓ/2

fc+f x

fc-fx

Δ

-Δ

ffc

Φάσμα πλάτους σήματος y(t) Φάσμα φάσης σήματος y(t)

Παράδειγμα Α

ffc fc+f x

Γ

ffc+f xfc

ΔΠαράδειγμα Β

0 fx-f x

ΑΓ/2

fc 2f c

ΑΓ/2

2f c+f x

0 fx

-f x

Δ

fc 2f c

Δ

2f c+f x

-Δ

Φάσμα πλάτους σήματος x(t) Φάσμα φάσης σήματος x(t)

Φάσμα πλάτους σήματος y(t)

Φάσμα φάσης σήματος y(t)

Αν το φάσμα του σήματος Αν το φάσμα του σήματος x(t)x(t) είναι γραμμικό (δηλ. αν το σήμα είναι γραμμικό (δηλ. αν το σήμα x(t)x(t) είναι ημιτονικό ή άθροισμα ημιτόνων ή γενικά περιοδικό είναι ημιτονικό ή άθροισμα ημιτόνων ή γενικά περιοδικό σήμα), οι δύο πλευρικές ζώνες, τόσο του φάσματος πλάτους σήμα), οι δύο πλευρικές ζώνες, τόσο του φάσματος πλάτους όσο και του φάσματος φάσης, είναι γραμμικά φάσματα.όσο και του φάσματος φάσης, είναι γραμμικά φάσματα.

2.2 Ορισμός και χαρακτηριστικά σήματος AM

Σήμα μηνύματος: Σήμα μηνύματος: x(t) Φέρον σήμα: x(t) Φέρον σήμα: cc((tt)=)=AAccσυν2πσυν2πffcctt Σήμα ΑΜ: Σήμα ΑΜ:

Το ΑΤο Α((tt)=)=AAcc++kx(t) ονομάζεται kx(t) ονομάζεται στιγμιαίο πλάτοςστιγμιαίο πλάτος του σήματος ΑΜτου σήματος ΑΜ. . Αφού τοΑφού το σσυν2πυν2πffcct παίρνει τιμές από +1 μέχρι -1, η γραφική t παίρνει τιμές από +1 μέχρι -1, η γραφική παράσταση του xπαράσταση του xAMAM(t) είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη(t) είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη που “παίζει” που “παίζει” ανάμεσα στην καμπύλη Α(ανάμεσα στην καμπύλη Α(t), που ονομάζεταιt), που ονομάζεται θετική ή άνω θετική ή άνω περιβάλλουσαπεριβάλλουσα, και την καμπύλη -Α, και την καμπύλη -Α(t), που(t), που ονομάζεταιονομάζεται αρνητική ή αρνητική ή κάτω περιβάλλουσακάτω περιβάλλουσα. Οι περιβάλλουσες είναι . Οι περιβάλλουσες είναι νοητέςνοητές καμπύλες. καμπύλες.

( ) [ ( )] 2AM c cx t A kx t f t

Σήμα μηνύματος x(t)

Παράδειγμα

Το στιγμιαίο πλάτος Α(t)

Tο σήμα ΑΜ

xAM(t)xAM(t)

max ( ) min ( )max ( ) min ( )

A t A tmA t A t

Υπερδιαμόρφωση σήματος ΑΜ

Δείκτης διαμόρφωσηςΔείκτης διαμόρφωσης

όπου maxΑ(t)όπου maxΑ(t) είναι η μέγιστη τιμή και minA(t) η ελάχιστηείναι η μέγιστη τιμή και minA(t) η ελάχιστη τιμή του τιμή του στιγμιαίου πλάτους στιγμιαίου πλάτους Α(t). Α(t). Όταν είναι minA(t)>0 έχουμε Όταν είναι minA(t)>0 έχουμε m<1. Οι περιβάλλουσες δεν τέμνουν m<1. Οι περιβάλλουσες δεν τέμνουν τον άξονα των t και δεν εμπλέκονται μεταξύ τους.τον άξονα των t και δεν εμπλέκονται μεταξύ τους. Δεν έχουμε Δεν έχουμε υπερδιαμόρφωση. Τέτοιο είναι το σήμα ΑΜ της προηγούμενης υπερδιαμόρφωση. Τέτοιο είναι το σήμα ΑΜ της προηγούμενης σελίδας. σελίδας. Όταν είναι minA(t)<0 έχουμε Όταν είναι minA(t)<0 έχουμε m>1. Οι περιβάλλουσεςm>1. Οι περιβάλλουσες τέμνουν τον τέμνουν τον άξονα των t (φυσικά, στα ίδια σημεία) καιάξονα των t (φυσικά, στα ίδια σημεία) και εμπλέκονται μεταξύ τους. εμπλέκονται μεταξύ τους. Έχουμε Έχουμε υπερδιαμόρφωσηυπερδιαμόρφωση.. Όταν είναι minA(t)=0 έχουμε Όταν είναι minA(t)=0 έχουμε m=1 και οι περιβάλλουσες m=1 και οι περιβάλλουσες εφάπτονται με τον άξονα των tεφάπτονται με τον άξονα των t και μεταξύ τους και μεταξύ τους. Είμαστε στο όριο . Είμαστε στο όριο μεταξύ υπερδιαμόρφωσης και μημεταξύ υπερδιαμόρφωσης και μη υπερδιαμόρφωσης υπερδιαμόρφωσης..

Υπερδιαμορφωμένο σήμα ΑΜ

2.3 2.3 ΦάσματαΦάσματα σήματος AM σήματος AM

Έχουμε:Έχουμε:

xxAMAM((tt)=[)=[AAcc++kxkx((tt)]συν2π)]συν2πffcct=At=Accσυν2πfσυν2πfcct + kx(t)συν2πft + kx(t)συν2πfcct t

Ο πρώτος όρος είναι το Ο πρώτος όρος είναι το σκέτο φέρονσκέτο φέρον, που έχει για φάσμα , που έχει για φάσμα πλάτους μια γραμμή ύψους Απλάτους μια γραμμή ύψους Αcc στη συχνότητα f στη συχνότητα fcc. Η φάση του . Η φάση του είναι μηδενική. Το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης του είναι μηδενική. Το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης του δεύτερου όρου αποτελούνται από τις γνωστές μας άνω και δεύτερου όρου αποτελούνται από τις γνωστές μας άνω και κάτω πλευρικές ζώνες που γνωρίσαμε στη κάτω πλευρικές ζώνες που γνωρίσαμε στη Θεμελιώδη Ιδιότητα Θεμελιώδη Ιδιότητα

των Τηλεπικοινωνιώντων Τηλεπικοινωνιών..

0 fx f

Γ

f0

Δ

fx

A c

fc-f x

kΓ/2

fc+f x f

kΓ/2

fc fc+f x

fc-fx

Δ

-Δ

ffc

Παράδειγμα

Φάσμα πλάτους σήματος x(t) Φασμα φάσης σήματος x(t)

Φάσμα πλάτους σήματος ΑΜ Φάσμα φάσης σήματος ΑΜ

Εύρος ζώνηςΕύρος ζώνης σήματος ΑΜ: σήματος ΑΜ: Β=2Β=2ffxx

Για σήμα ημιτονικό μηνύματος Για σήμα ημιτονικό μηνύματος x(t)=x(t)=xx00συν(2πσυν(2πff00t+t+φ),φ), το φάσμα το φάσμα πλάτους του σήματος ΑΜ αποτελείται από πλάτους του σήματος ΑΜ αποτελείται από τρεις φασματικές τρεις φασματικές γραμμέςγραμμές: Μια στη συχνότητα : Μια στη συχνότητα ffcc με ύψος με ύψος AAcc (το σκέτο φέρον), μια (το σκέτο φέρον), μια στη συχνότητα στη συχνότητα ffcc++ff00 με ύψος με ύψος kxkx00/2 (άνω πλευρικός όρος) και μια /2 (άνω πλευρικός όρος) και μια στη συχνότητα στη συχνότητα ffcc--ff00 με ύψος πάλι με ύψος πάλι kxkx00/2 (κάτω πλευρικός όρος). /2 (κάτω πλευρικός όρος). ToTo φάσμα φάσης του σήματος ΑΜ αποτελείται από μια γραμμή στη φάσμα φάσης του σήματος ΑΜ αποτελείται από μια γραμμή στη συχνότητα συχνότητα ffcc++ff00 με ύψος φ και μια στη συχνότητα με ύψος φ και μια στη συχνότητα ffcc--ff00 με ύψος -φ. με ύψος -φ. Ανάλογα είναι τα φάσματα πλάτους και φάσης για σήματα Ανάλογα είναι τα φάσματα πλάτους και φάσης για σήματα μηνύματος που αποτελούνται από δύο ή περισσότερους μηνύματος που αποτελούνται από δύο ή περισσότερους ημιτονικούς όρους.ημιτονικούς όρους.

2.4 2.4 ΔιαμορφωτέςΔιαμορφωτές και και αποδιαμορφωτέςαποδιαμορφωτές σήματος ΑΜ σήματος ΑΜ

Α) Διαμορφωτής ΑΜΑ) Διαμορφωτής ΑΜ

+Μη γραμμικό

στοιχείο BPF

~

x(t)

( 0, f x )( f c-f x, f c+f x )

Ζωνοπερατόφίλτροv2(t)v1(t)

A ccos2πf ct

σήμα AM

v2(t)=a 1v1(t)+a 2v12(t)

Διαμορφωτής ΑΜ με Διαμορφωτής ΑΜ με πολυωνυμικήπολυωνυμική μη γραμμικότητα μη γραμμικότητα

Προσπαθήστε να Προσπαθήστε να αποδείξετεαποδείξετε ότι το σήμα εξόδου είναι σήμα ΑΜ. ότι το σήμα εξόδου είναι σήμα ΑΜ. Απλώς σας λέμε ότι το φάσμα του σήματος Απλώς σας λέμε ότι το φάσμα του σήματος xx22(t) (t) εκτείνεται από εκτείνεται από τη συχνότητα 0 μέχρι τη 2τη συχνότητα 0 μέχρι τη 2ffxx. . Υπάρχουν κι άλλοι διαμορφωτές Υπάρχουν κι άλλοι διαμορφωτές ΑΜ.ΑΜ.

z(t)xAM (t) RC

Σήμα ΑΜ

Β) Αποδιαμορφωτές ΑΜ

Β1) Ο φωρατής περιβάλλουσας

Το κύκλωμα του φωρατή περιβάλλουσαςΤο κύκλωμα του φωρατή περιβάλλουσας

Η Η λειτουργίαλειτουργία του φωρατή περιβάλλουσας δίνει τις παρακάτω του φωρατή περιβάλλουσας δίνει τις παρακάτω κυματομορφές τάσης:κυματομορφές τάσης:

Η τάση (κόκκινο χρώμα) στα άκρα του πυκνωτή του Η τάση (κόκκινο χρώμα) στα άκρα του πυκνωτή του φωρατή περιβάλλουσαςφωρατή περιβάλλουσας για σήμα ΑΜ με ημιτονικό σήμα για σήμα ΑΜ με ημιτονικό σήμα μηνύματος (μπλε χρώμα)μηνύματος (μπλε χρώμα)

Η τάση στα άκρα του πυκνωτή του φωρατή περιβάλλουσας Η τάση στα άκρα του πυκνωτή του φωρατή περιβάλλουσας με μικρή σταθερά χρόνου (βαθειές οδοντώσεις)με μικρή σταθερά χρόνου (βαθειές οδοντώσεις)

Η τάση στα άκρα του πυκνωτή του φωρατή περιβάλλουσας με Η τάση στα άκρα του πυκνωτή του φωρατή περιβάλλουσας με μεγάλη σταθερά χρόνου (ρηχές οδοντώσεις αλλά μη μεγάλη σταθερά χρόνου (ρηχές οδοντώσεις αλλά μη παρακολούθηση της περιβάλλουσας) παρακολούθηση της περιβάλλουσας)

Αν οδηγήσουμε στην είσοδο του φωρατή περιβάλλουσας ένα Αν οδηγήσουμε στην είσοδο του φωρατή περιβάλλουσας ένα υπερδιαμορφωμένουπερδιαμορφωμένο σήμα ΑΜ, θα λάβουμε στην έξοδό του το σήμα ΑΜ, θα λάβουμε στην έξοδό του το σήμα μηνύματος με σήμα μηνύματος με τοπικές ανορθώσειςτοπικές ανορθώσεις. . Κατά τα χρονικά Κατά τα χρονικά διαστήματα διαστήματα που η άνω περιβάλλουσα περνά κάτω από τον που η άνω περιβάλλουσα περνά κάτω από τον άξονα των άξονα των tt στην έξοδο παίρνουμε ανορθωμένο το σήμα στην έξοδο παίρνουμε ανορθωμένο το σήμα μηνύματος, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.μηνύματος, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Διάταξηανάκτησηςφέροντος

X LPF

Βαθυπερατόφίλτρο

( 0, f x )

Στενό ζωνοπερατό φίλτρο

γύρω από τη συχνότητα f cή PLL

A' cA c/2+A' ckx(t)/2xAM (t) = [A c+kx(t)]συν2πf ct

A' cσυν2πf ct(τοπικό φέρον)

z(t)

Β2) Ο σύγχρονος αποδιαμορφωτής

Κάντε Κάντε ανάλυσηανάλυση στο πεδίο του χρ στο πεδίο του χρόόνου και αποδείξτε ότι στην έξοδο το νου και αποδείξτε ότι στην έξοδο το σήμα είναι αυτό που αναγράφεται. Ο συνεχής όρος σήμα είναι αυτό που αναγράφεται. Ο συνεχής όρος (1/2)(1/2)AAcc’’AAcc κόβεται με κόβεται με τη χρήση τη χρήση μεγάλου πυκνωτή σειράςμεγάλου πυκνωτή σειράς..

Κεφάλαιο 3: Διπλοπλευρική και Κεφάλαιο 3: Διπλοπλευρική και μονοπλευρική διαμόρφωσημονοπλευρική διαμόρφωση

3.1 3.1 Διπλοπλευρική διαμόρφωση Διπλοπλευρική διαμόρφωση (Double Sideband - DSB)(Double Sideband - DSB)3.2 3.2 Μονοπλευρική διαμόρφωση (Single Sideband - SSB)Μονοπλευρική διαμόρφωση (Single Sideband - SSB)

3.1 Διπλοπλευρική διαμόρφωση 3.1 Διπλοπλευρική διαμόρφωση (DSB)(DSB)

3.1.1 Εισαγωγή3.1.1 Εισαγωγή To γινόμενο του φέροντος σήματος ATo γινόμενο του φέροντος σήματος Accσυν2πfσυν2πfcct επί το σήμα t επί το σήμα

μηνύματος δίνει το μηνύματος δίνει το DSB DSB σήμα:σήμα:

xxDSBDSB((tt)=)=AAccx(t)x(t)σσυν2πfυν2πfcctt

Προκύπτει από το ΑΜ σήμα xΠροκύπτει από το ΑΜ σήμα xAMAM((tt)=)=AAccσυν2πfσυν2πfcct+kx(t)συν2πft+kx(t)συν2πfcct αν t αν καταργήσουμε καταργήσουμε ((συμπιέσουμε) το σκέτο φέρον συμπιέσουμε) το σκέτο φέρον AAccσυν2πfσυν2πfcctt, το , το οποίοοποίο δεν μεταφέρει πληροφορία μηνύματος. δεν μεταφέρει πληροφορία μηνύματος.

Αφού το σΑφού το συν2πυν2πffcct παίρνει τιμές από +1 μέχρι -1, η γραφικήt παίρνει τιμές από +1 μέχρι -1, η γραφική παράσταση του παράσταση του xxDSBDSB(t) είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη που “παίζει” ανάμεσα στην καμπύλη (t) είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη που “παίζει” ανάμεσα στην καμπύλη AAccx(t) x(t) και την καμπύλη -και την καμπύλη -AAccx(t). x(t).

Για το παραπάνω σήμα μηνύματος Για το παραπάνω σήμα μηνύματος x(t) η γραφική παράσταση τουx(t) η γραφική παράσταση του σήματος DSBσήματος DSB είναι: είναι:

Τώρα περιβάλλουσες είναι οι γραφικές παραστάσεις των Τώρα περιβάλλουσες είναι οι γραφικές παραστάσεις των AAccx(t) x(t) και -και -AAccx(t). x(t). Επειδή αυτές εμπλέκονται μεταξύ τους, ο Επειδή αυτές εμπλέκονται μεταξύ τους, ο φωρατής περιβάλλουσαςφωρατής περιβάλλουσας είναι είναι ακατάλληλοςακατάλληλος για την αποδιαμόρφωση σήματος DSB. Δίνει στην έξοδό του για την αποδιαμόρφωση σήματος DSB. Δίνει στην έξοδό του το σήμα μηνύματος το σήμα μηνύματος ανορθωμένοανορθωμένο.. Επίσης, τις χρονικές στιγμές που το Επίσης, τις χρονικές στιγμές που το x(t)x(t) τέμνει τον άξονα των τέμνει τον άξονα των tt, το πρόσημο του , το πρόσημο του x(t)x(t) που πολλαπλασιάζει το φέρον που πολλαπλασιάζει το φέρον σήμα σήμα AAccσυσυν2πfν2πfcctt αλλάζει, οπότε συμβαίνει αλλάζει, οπότε συμβαίνει άλμα φάσηςάλμα φάσης του φέροντος κατά του φέροντος κατά π.π.

Άλμα φάσηςΆλμα φάσης

ΦάσματαΦάσματα του σήματος του σήματος DSBDSB Τόσο το φάσμα πλάτους όσο και το φάσμα φάσης του σήματος Τόσο το φάσμα πλάτους όσο και το φάσμα φάσης του σήματος DSB DSB

βρίσκονται γύρω από τη φέρουσα συχνότητα βρίσκονται γύρω από τη φέρουσα συχνότητα ffcc και αποτελούνται από και αποτελούνται από δύο πλευρικές ζώνεςδύο πλευρικές ζώνες το καθένα, όπως ακριβώς είδαμε στη Θεμελιώδη το καθένα, όπως ακριβώς είδαμε στη Θεμελιώδη Ιδιότητα των Τηλεπικοινωνιών. Απ’ αυτό βγαίνει και το όνομα της Ιδιότητα των Τηλεπικοινωνιών. Απ’ αυτό βγαίνει και το όνομα της διαμόρφωσης.διαμόρφωσης.

Υπενθυμίζουμε ότι στο φάσμα πλάτους η κάτω πλευρική ζώνη είναι Υπενθυμίζουμε ότι στο φάσμα πλάτους η κάτω πλευρική ζώνη είναι κατοπτρική της άνω ως προς τη συχνότητα fκατοπτρική της άνω ως προς τη συχνότητα fcc και στο φάσμα φάσης και στο φάσμα φάσης συμμετρική της άνω ως προς κέντρο τη συχνότητα συμμετρική της άνω ως προς κέντρο τη συχνότητα ffcc. .

Προφανώς, τΠροφανώς, το ο εύρος ζώνηςεύρος ζώνης του σήματος του σήματος DSBDSB είναι είναι

B=2B=2ffxx..

3.1.2 Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές 3.1.2 Διαμορφωτές και αποδιαμορφωτές DSBDSB

ΔιαμορφωτέςΔιαμορφωτές Σήμερα, ο πολλαπλασιασμός του φέροντος σήματος AΣήμερα, ο πολλαπλασιασμός του φέροντος σήματος Accσυν2πfσυν2πfcct επί το t επί το

σήμα μηνύματος σήμα μηνύματος x(t)x(t) γίνεται εύκολα με τη χρήση γίνεται εύκολα με τη χρήση έτοιμων έτοιμων chipschips.. Παλιότερα, αυτό γινόταν με πολλαπλασιασμό του x(t)Παλιότερα, αυτό γινόταν με πολλαπλασιασμό του x(t) επί ένα επί ένα περιοδικό περιοδικό

σήμασήμα συχνότητας συχνότητας ffcc (με τη βοήθεια κάποιας ηλεκτρονικής διάταξης) και (με τη βοήθεια κάποιας ηλεκτρονικής διάταξης) και φιλτράρισμα του γινομένου με ζωνοπερατό φίλτρο φιλτράρισμα του γινομένου με ζωνοπερατό φίλτρο που έχειπου έχει ζώνη ζώνη διέλευσης γύρω από την fδιέλευσης γύρω από την fcc. . Στη διάταξη της επόμενης σελίδας, ο Στη διάταξη της επόμενης σελίδας, ο ηλεκτρονικός διακόπτης ανοιγοκλείνει με συχνότητα fηλεκτρονικός διακόπτης ανοιγοκλείνει με συχνότητα fcc. Οδηγεί στην έξοδό . Οδηγεί στην έξοδό του το σήμα του το σήμα x(t), όταν το φέρον έχει θετική τιμή, και x(t), όταν το φέρον έχει θετική τιμή, και το το σήμα 0, όταν το σήμα 0, όταν το φέρον έχει αρνητική τιμή. Επομένως φέρον έχει αρνητική τιμή. Επομένως είναι είναι y(t)=p(t)x(t), y(t)=p(t)x(t), όπου όπου p(t) p(t) τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας τετραγωνική κυματομορφή συχνότητας ffcc..

~

x(t)

(0, f x)BPF

xDSB (t)

ΗλεκτρονικόςΔιακόπτης Δ

Α cσυν2πf ct

Ζωνοπερατόφίλτρο

(fc-f x, f c+f x)

y(t)

Η κυματομορφή Η κυματομορφή p(t) p(t) αναπτύσσεται κατά αναπτύσσεται κατά Fourier Fourier σε άθροισμα σε άθροισμα ημιτονικών ημιτονικών σημάτων που έχουν συχνότητες ακέραια πολλαπλάσια της φέρουσας σημάτων που έχουν συχνότητες ακέραια πολλαπλάσια της φέρουσας συχνότητας συχνότητας ffcc. Έτσι, το σήμα y(t). Έτσι, το σήμα y(t) είναι άθροισμα σημάτων είναι άθροισμα σημάτων DSBDSB που που έχουν φέρουσες τις παραπάνω συχνότητες. Απ’ το φίλτρο έχουν φέρουσες τις παραπάνω συχνότητες. Απ’ το φίλτρο BPFBPF περνάει περνάει μόνο το μόνο το σήμα DSBσήμα DSB που έχει που έχει φέρουσα συχνότητα φέρουσα συχνότητα ffcc και που είναι το και που είναι το επιθυμητό σήμα επιθυμητό σήμα DSBDSB..

ΑποδιαμορφωτέςΑποδιαμορφωτές Είδαμε ότι ο Είδαμε ότι ο φωρατής περιβάλλουσας είναι ακατάλληλοςφωρατής περιβάλλουσας είναι ακατάλληλος για την για την

αποδιαμόρφωση σήματος αποδιαμόρφωση σήματος DSB γιατί δίνει το σήμα μηνύματος DSB γιατί δίνει το σήμα μηνύματος ανορθωμένο. ανορθωμένο.

Ο Ο σύγχρονος αποδιαμορφωτής είναι κατάλληλοςσύγχρονος αποδιαμορφωτής είναι κατάλληλος για την για την αποδιαμόρφωση σήματος DSB. H ανάλυση που το αποδεικνύει αποδιαμόρφωση σήματος DSB. H ανάλυση που το αποδεικνύει είναι ανάλογη αυτής που έγινε στην αποδιαμόρφωση σήματος ΑΜ. είναι ανάλογη αυτής που έγινε στην αποδιαμόρφωση σήματος ΑΜ. Η διαφορά βρίσκεται στηΗ διαφορά βρίσκεται στην υλοποίηση τηςν υλοποίηση της διάταξη διάταξηςς ανάκτησης ανάκτησης φέροντος.φέροντος.

3.1.3 Μίξη3.1.3 Μίξη

Μίξη οΜίξη ονομάζεται η νομάζεται η μετακίνησημετακίνηση του φάσματος ενός σήματος του φάσματος ενός σήματος DSBDSB από τη φέρουσα συχνότητά του από τη φέρουσα συχνότητά του ff11 σε μια σε μια νέανέα φέρουσα φέρουσα συχνότητα συχνότητα ff22. Αυτή. Αυτή πραγματοποιείται με πολλ πραγματοποιείται με πολλααπλασιασμό επί πλασιασμό επί ένα ημιτονικό σήμα. Η διάταξη που το επιτυγχάνει φαίνεται στην ένα ημιτονικό σήμα. Η διάταξη που το επιτυγχάνει φαίνεται στην επόμενη σελίδα.επόμενη σελίδα.

Είτε με μαθηματική ανάλυση στο πεδίο του χρόνου είτε με Είτε με μαθηματική ανάλυση στο πεδίο του χρόνου είτε με εφαρμογή της Θεμελιώδους Ιδιότητας των Τηλεπικοινωνιών, εφαρμογή της Θεμελιώδους Ιδιότητας των Τηλεπικοινωνιών, αποδείξτε τη σωστή λειτουργίααποδείξτε τη σωστή λειτουργία της διάταξης της διάταξης..

Αποδείξτε επίσης ότι η διάταξη λειτουργεί σωστά και με χρήση Αποδείξτε επίσης ότι η διάταξη λειτουργεί σωστά και με χρήση της fτης f11--ff22 (ή της (ή της ff22--ff11) αντί της ) αντί της ff11++ff22..

X BPF( f 2-fx, f2+f x )

Ζώνη ( f 2-f x, f 2+f x )

Ζωνοπερατόφίλτρο

z(t)

2συν2π(f 1+f 2)t

Ζώνη ( f 1-fx, f1+f x )

Σήμα DSB

y(t) = A cx(t)συν2πf 1t

Σήμα DSB

r(t) = A cx(t)συν2πf 2t

~

Διάταξη μίξης

3.2 Μονοπλευρική διαμόρφωση 3.2 Μονοπλευρική διαμόρφωση (SSB)(SSB)

3.2.1 Εισαγωγή3.2.1 Εισαγωγή Λόγω κατοπτρισμού ή συμμετρίας της άνω με την κάτω πλευρική Λόγω κατοπτρισμού ή συμμετρίας της άνω με την κάτω πλευρική

ζώνη του φάσματος ζώνη του φάσματος πλάτους ή φάσης πλάτους ή φάσης ενός σήματος ενός σήματος DSB, η DSB, η γνώση της μιας ζώνης συνεπάγεται γνώση της μιας ζώνης συνεπάγεται και και τη γνώση της άλλης. τη γνώση της άλλης. Έτσι, αρκεί να στείλουμε Έτσι, αρκεί να στείλουμε από τον πομπό στον δέκτη από τον πομπό στον δέκτη μόνο την μόνο την άνω ή μόνο την κάτω πλευρική ζώνη. Στέλνοντας μόνο τη μία άνω ή μόνο την κάτω πλευρική ζώνη. Στέλνοντας μόνο τη μία από τις δύο ζώνες έχουμε από τις δύο ζώνες έχουμε μονοπλευρική διαμόρφωσημονοπλευρική διαμόρφωση..

Με τη διαμόρφωση SSBΜε τη διαμόρφωση SSB διπλασιάζεταιδιπλασιάζεται ο αριθμός των χρηστών ο αριθμός των χρηστών που χωράνε σε μια ζώνη συχνοτήτων σε σχέση με τη που χωράνε σε μια ζώνη συχνοτήτων σε σχέση με τη διαμόρφωση διαμόρφωση DSBDSB..

Εκπεμπόμενη ζώνη = άνω Εκπεμπόμενη ζώνη = άνω διαμόρφωση άνω πλευρικής ζώνης διαμόρφωση άνω πλευρικής ζώνης ((UpperUpper SSBSSB – – USSBUSSB))

Εκπεμπόμενη ζώνη = κάτω Εκπεμπόμενη ζώνη = κάτω διαμόρφωση κάτω πλευρικής ζώνης διαμόρφωση κάτω πλευρικής ζώνης ((LowerLower SSBSSB – – LLSSBSSB))

Στην εικόνα του σήματος Στην εικόνα του σήματος SSBSSB στο πεδίο του χρόνου δεν φαίνεται στο πεδίο του χρόνου δεν φαίνεται εμπεριεχόμενη η εικόνα του σήματος μηνύματος, όπως συμβαίνει εμπεριεχόμενη η εικόνα του σήματος μηνύματος, όπως συμβαίνει στα σήματα ΑΜ και στα σήματα ΑΜ και DSB.DSB.

Για να κόβεται πλήρως η μια ζώνη του φάσματος Για να κόβεται πλήρως η μια ζώνη του φάσματος του του σσήήματος DSB ματος DSB και να μένει άθικτη η άλλη (ώστε να πάρουμε σήμα SSB) και να μένει άθικτη η άλλη (ώστε να πάρουμε σήμα SSB) χρησιμοποιείται ζωνοπερατό φίλτρο με χρησιμοποιείται ζωνοπερατό φίλτρο με απότομηαπότομη μετάβαση της μετάβαση της απόκρισης πλάτους απόκρισης πλάτους από το 0 στο 1 από το 0 στο 1 στη συχνότητα στη συχνότητα ffcc ( (πράγμα που πράγμα που είναι είναι πολύ δύσκολο).πολύ δύσκολο).

X

BPF

BPF

x(t)

A cσυν2πf ct

( f c-f x, f c )

( f c, f c+f x )

ΣήμαUSSB

xUSSB (t)

ΣήμαLSSB

xLSSB (t)

xDSB (t)

( f c-f x, f c+f x )

~

( 0, f x )

Χρησιμοποιώντας φίλτρο Χρησιμοποιώντας φίλτρο που παρουσιάζειπου παρουσιάζει σταδιακή μετάβασησταδιακή μετάβαση της απόκρισης πλάτους από το 0 στο 1 και συμμετρία αυτής ως της απόκρισης πλάτους από το 0 στο 1 και συμμετρία αυτής ως προς το σημείο (0,προς το σημείο (0, 0.5) κάνουμε 0.5) κάνουμε μονοπλευρική διαμόρφωση με μονοπλευρική διαμόρφωση με κατάλοιποκατάλοιπο (vestigial sideband - VSB)(vestigial sideband - VSB). Αυτή. Αυτή χρησιμοποιείται χρησιμοποιείται στηστη διαμόρφωση του τηλεοπτικούδιαμόρφωση του τηλεοπτικού σήματος.σήματος.

3.2.2 3.2.2 ΑποδιαμόρφωσηΑποδιαμόρφωση σήματος σήματος SSBSSB

Αφού η περιβάλλουσα του σήματος Αφού η περιβάλλουσα του σήματος SSB SSB δεν έχει καμιά δεν έχει καμιά ομοιότητα με το σήμα μηνύματος, ο ομοιότητα με το σήμα μηνύματος, ο φωρατής περιβάλλουσας φωρατής περιβάλλουσας είναι ακατάλληλοςείναι ακατάλληλος..

Θεωρήστε ότι στην είσοδο του Θεωρήστε ότι στην είσοδο του σύγχρονου αποδιαμορφωτήσύγχρονου αποδιαμορφωτή που που γνωρίσαμε στην αποδιαμόρφωση σήματος ΑΜ βάζουμε το γνωρίσαμε στην αποδιαμόρφωση σήματος ΑΜ βάζουμε το σήμα LSSB.σήμα LSSB. Το φάσματα του σήματος μηνύματος Το φάσματα του σήματος μηνύματος x(t)x(t), του , του σήματος σήματος LSSBLSSB και του σήματος και του σήματος z(t)=z(t)=σήμα σήμα LSSBLSSB τοπικό τοπικό

φέρον φαίνονται στην επόμενη σελίδα.φέρον φαίνονται στην επόμενη σελίδα.

0 fx f 0 fx f

ffcfc-f x

ffcfc-f x

fx f0 fc 2f c2f c-f x 0 fx ffc

2f c2f c-f x

Φάσμα πλάτους του σήματος x(t) Φάσμα φάσης του σήματος x(t)

Φάσμα πλάτους του σήματος LSSB Φάσμα φάσης του σήματος LSSB

Φάσμα πλάτους του σήματος z(t) Φάσμα φάσης του σήματος z(t)

Περνώντας το σήμα Περνώντας το σήμα z(t) z(t) από το βαθυπερατό φίλτρο από το βαθυπερατό φίλτρο LPF, LPF, προφανώς λαμβάνουμε σήμα με φάσματα πλάτους και φάσης προφανώς λαμβάνουμε σήμα με φάσματα πλάτους και φάσης αυτά του σήματος x(t)αυτά του σήματος x(t),, δδηλ. ηλ. λλαμβάνουμε το σήμα x(t). αμβάνουμε το σήμα x(t). Επομένως, έγινε αποδιαμόρφωση του σήματος LSSB!Επομένως, έγινε αποδιαμόρφωση του σήματος LSSB!

Κάντε παρόμοια ανάλυση, με χρήση της Θεμελιώδους Κάντε παρόμοια ανάλυση, με χρήση της Θεμελιώδους ΙΙδιότητας διότητας

των Τηλεπικοινωνιών, και αποδείξτε ότι ο σύγχρονος των Τηλεπικοινωνιών, και αποδείξτε ότι ο σύγχρονος αποδιαμορφωτής αποδιαμορφώνει σωστά και το σήμα USSB. αποδιαμορφωτής αποδιαμορφώνει σωστά και το σήμα USSB.

Κεφάλαιο 4: Διαμόρφωση συχνότητας Κεφάλαιο 4: Διαμόρφωση συχνότητας (Frequency Modulation - FM)(Frequency Modulation - FM)

4.1 4.1 Εισαγωγή στη διαμόρφωση Εισαγωγή στη διαμόρφωση FMFM4.2 4.2 Φάσματα σήματος Φάσματα σήματος FMFM4.3 4.3 Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FMΔιαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM4.4 4.4 Διάφορα θέματα στη διαμόρφωση FMΔιάφορα θέματα στη διαμόρφωση FM4.5 4.5 Βρόχος κλειδώματος φάσης Βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL)(PLL)

( ) 2 2 ( )ct f t k x t dt

Γενική μορφή αδιαμόρφωτου και διαμορφωμένου Γενική μορφή αδιαμόρφωτου και διαμορφωμένου κατά γωνία κατά γωνία σήματος: σήματος: AAccσυνθ(συνθ(t)t). .

Στιγμιαία συχνότηταΣτιγμιαία συχνότητα αυτού: αυτού: f=(1/2π)dθ(t)/dt (1) (1)Για Για αδιαμόρφωτοαδιαμόρφωτο φέρον είναι φέρον είναι θ(θ(tt)=2π)=2πffcctt και f= και f=ffcc..Για Για σήμα σήμα FMFM είναι είναι . Από την (1) προκύπτει ότι . Από την (1) προκύπτει ότι

4.1 Εισαγωγή στη διαμόρφωση FM

οπότε η μαθηματική έκφραση του σήματος οπότε η μαθηματική έκφραση του σήματος FMFM είναι είναι::

( ) [2 2 ( ) ]FM c cx t A f t k x t dt (2)Αν πάρουμεΑν πάρουμε ( ) 2 2 ( )ct f t kx t

φφάσηςάσης ( (phase modulation - phase modulation - PMPM)). Η μαθηματική . Η μαθηματική έκφραση σήματος διαμορφωμένου κατά φάση είναι:έκφραση σήματος διαμορφωμένου κατά φάση είναι:

έχουμε έχουμε διαμόρφωσηδιαμόρφωση

( )cf f kx t

( ) [2 2 ( )]PM c cx t A f t kx t (3)

Από τις (1) και (3) Από τις (1) και (3) προκύπτει ότιπροκύπτει ότι η στιγμιαία συχνότητα του σήματος η στιγμιαία συχνότητα του σήματος PM είναι:PM είναι:

( ) /cf f kdx t dt

Τα παραπάνω δείχνουν τη σχέση μεταξύ διαμορφώσεων Τα παραπάνω δείχνουν τη σχέση μεταξύ διαμορφώσεων FM FM και ΡΜ που και ΡΜ που φαίνεται και στα επόμενα διαγράμματα:φαίνεται και στα επόμενα διαγράμματα:

Παραγώγιση ΔιαμορφωτήςFM

x(t) x(t) xPM (t)

Oλοκλήρωση ΔιαμορφωτήςPM

x(t) x(t)dt xFM (t)

Κατά κανόνα, το σήμα μηνύματος Κατά κανόνα, το σήμα μηνύματος x(t)x(t) μεταβάλλεται μεταβάλλεται μεταξύ μεταξύ maxmaxx(t)x(t) και - και -maxmaxx(t)x(t), οπότε η , οπότε η στιγμιαία στιγμιαία συχνότητασυχνότητα του σήματος του σήματος FMFM μεταβάλλεται μεταξύ μεταβάλλεται μεταξύ ffcc+Δf+Δfmaxmax και και ffcc-Δf-Δfmaxmax, όπου , όπου ΔfΔfmaxmax==kkmaxmaxx(t)x(t). .

Η Η γραφική παράστασηγραφική παράσταση του σήματος του σήματος FMFM «παίζει» μεταξύ «παίζει» μεταξύ των ευθειών των ευθειών AAccκαι -και -AAcc. Όταν το . Όταν το x(t) παίρνει μεγάλες x(t) παίρνει μεγάλες τιμές, η παράσταση του σήματος FMτιμές, η παράσταση του σήματος FM εμφανίζει εμφανίζει πυκνώματαπυκνώματα και, όταν παίρνει μικρές τιμές, εμφανίζει και, όταν παίρνει μικρές τιμές, εμφανίζει αραιώματααραιώματα..

Ακολουθεί παράδειγμα: Ακολουθεί παράδειγμα:

Παράδειγμα εικόνας σήματος FM στο πεδίο του χρόνου

Εικόνα σήματος Εικόνα σήματος FMFM στο πεδίο του χρόνου (παλμογράφο) στο πεδίο του χρόνου (παλμογράφο)

0( ) (2 2 )FM c cx t A f t f t

4.2 Φάσματα σήματος FM

Α) Σήμα μηνύματος Α) Σήμα μηνύματος ημιτονικόημιτονικό: : xx((tt)=)=xx00συν2πσυν2πff00tt

Έχουμε Έχουμε maxmaxx(t)x(t)=x=x00, οπότε Δ, οπότε Δffmaxmax==kxkx00..

Ορίζουμε ως Ορίζουμε ως δείκτη διαμόρφωσηςδείκτη διαμόρφωσης το πηλίκο β= το πηλίκο β=ΔΔffmaxmax//ff00==kxkx00//ff00. Από τον . Από τον

τύπο (2) προκύπτει εύκολα ότι:τύπο (2) προκύπτει εύκολα ότι:

Αποδεικνύεται ότι το παραπάνω σήμα γράφεται και ωςΑποδεικνύεται ότι το παραπάνω σήμα γράφεται και ως

0( ) ( ) [2 ( ) ]n

FM c n cn

x t A J f nf t

που δείχνει ότι ένα σήμα που δείχνει ότι ένα σήμα FMFM με με ημιτονικό ημιτονικό σήμα μηνύματος αποτελείται σήμα μηνύματος αποτελείται από από άπειρους άπειρους ημιτονικούς όρους εκατέρωθεν της συχνότητας ημιτονικούς όρους εκατέρωθεν της συχνότητας ffcc που που

απέχουν μεταξύ τους κατά βήμα απέχουν μεταξύ τους κατά βήμα ff00..

Ο συντελεστές Ο συντελεστές JJnn(β) ονομάζονται συναρτήσεις (β) ονομάζονται συναρτήσεις BesselBessel πρώτου είδους πρώτου είδους

και τάξης και τάξης nn. Οι τιμές τους δίνονται από πίνακες. . Οι τιμές τους δίνονται από πίνακες.

Ισχύουν: α) Ισχύουν: α) JJ-n-n(β)=(β)=JJnn(β) αν (β) αν nn=άρτιος και =άρτιος και JJ-n-n(β)=-(β)=-JJnn(β) αν (β) αν nn=περιττός. β) =περιττός. β)

Οι Οι JJnn(β) είναι πολύ μικροί (αμελητέοι) για (β) είναι πολύ μικροί (αμελητέοι) για n>β+1. Έτσι, το φάσμα του n>β+1. Έτσι, το φάσμα του

σήματος FMσήματος FM είναι είναι γραμμικόγραμμικό και βρίσκεται μεταξύ των συχνοτήτων και βρίσκεται μεταξύ των συχνοτήτων ffcc--

(β+1)(β+1)ff0 0 και και ffcc+(β+1)+(β+1)ff0 0 . Αν ο β δεν είναι ακέραιος χρησιμοποιούμε το . Αν ο β δεν είναι ακέραιος χρησιμοποιούμε το

ακέραιο μέροςακέραιο μέρος του. Επομένως, το του. Επομένως, το εύρος ζώνηςεύρος ζώνης του σήματος του σήματος FM FM με με ημιτονικόημιτονικό σήμα μηνύματος είναι ίσο με σήμα μηνύματος είναι ίσο με

Β=2(β+1)Β=2(β+1)ff00=2(Δ=2(Δffmaxmax++ff00)) (κανόνας του (κανόνας του Carson)Carson)

Στην επόμενη σελίδα βλέπουμε τα φάσματα του σήματος Στην επόμενη σελίδα βλέπουμε τα φάσματα του σήματος FMFM με β=5. με β=5.

fcfc-f0fc-2f 0fc-3f 0fc-4f 0fc-5f 0fc-6f 0 fc+f 0 fc+2f 0 fc+3f 0 fc+4f 0 fc+5f 0 fc+6f 0 f

0.3910.328

0.2610.365

0.1310.047

0.178

0.328

0.047

0.3650.391

0.261

0.131

fcfc-f0fc-2f 0fc-3f 0fc-4f 0fc-5f 0fc-6f 0 fc+f 0 fc+2f 0 fc+3f 0 fc+4f 0 fc+5f 0 fc+6f 0 f

π πππ

0000 0 0 0 0 0

Το φάσμα πλάτους του σήματος Το φάσμα πλάτους του σήματος xxFMFM(t) με β=5 (ημιτονικό σήμα μηνύματος)(t) με β=5 (ημιτονικό σήμα μηνύματος)

Το φάσμα φάσης του σήματος Το φάσμα φάσης του σήματος xxFMFM(t) με β=5 (ημιτονικό σήμα μηνύματος)(t) με β=5 (ημιτονικό σήμα μηνύματος)

Το σήμα Το σήμα FMFM έχει εύρος ζώνης 12 έχει εύρος ζώνης 12ff00. Το φάσμα του είναι γραμμικό και βρίσκεται μεταξύ . Το φάσμα του είναι γραμμικό και βρίσκεται μεταξύ ffcc-6-6ff0 0

και και ffcc+6+6ff00. Οι πίνακες δίνουν . Οι πίνακες δίνουν JJ00(5)=-0.178, (5)=-0.178, JJ11(5)=-0.328, (5)=-0.328, JJ22(5)=0.047, (5)=0.047, JJ33(5)=0.365, (5)=0.365, JJ44(5)=0.391, (5)=0.391, JJ55(5)=0.261 και (5)=0.261 και JJ66(β)=0.131. Επομένως, (β)=0.131. Επομένως, JJ-1-1(5)=0.328, (5)=0.328, JJ-2-2(5)=0.047, (5)=0.047, JJ-3-3(5)=-(5)=-0.365, 0.365, JJ-4-4(5)=0.391, (5)=0.391, JJ-5-5(5)=-0.261 και (5)=-0.261 και JJ-6-6(β)=0.131. (β)=0.131.

Έχοντας βρει τις παραπάνω τιμές, σχεδιάζουμε εύκολα τα φάσματα πλάτους και φάσης της Έχοντας βρει τις παραπάνω τιμές, σχεδιάζουμε εύκολα τα φάσματα πλάτους και φάσης της προηγούμενης σελίδας με Απροηγούμενης σελίδας με Αcc=1. Αν είναι Α=1. Αν είναι Αcc1 όλοι οι όροι του φάσματος πλάτους είναι 1 όλοι οι όροι του φάσματος πλάτους είναι πολλαπλασιασμένοι επί Απολλαπλασιασμένοι επί Αcc. Οι όροι του φάσματος φάσης μένουν αμετάβλητοι. . Οι όροι του φάσματος φάσης μένουν αμετάβλητοι.

Β) Σήμα μηνύματος Β) Σήμα μηνύματος περιοδικό αλλά μπεριοδικό αλλά μη ημιτονικόη ημιτονικό Το σήμα Το σήμα FMFM αναπτύσσεται σε άθροισμα άπειρων ημιτονικών όρων ως εξής: αναπτύσσεται σε άθροισμα άπειρων ημιτονικών όρων ως εξής:

0( ) [2 ( ) ]FM c n c nn

x t A s f nf t

Τα πλάτη Τα πλάτη ssnn και οι φάσεις φκαι οι φάσεις φnn εξαρτώνται από το σήμα μηνύματος. Τα φάσματα πλάτους και εξαρτώνται από το σήμα μηνύματος. Τα φάσματα πλάτους και

φάσης του σήματος φάσης του σήματος FM FM είναιείναι πάλι γραμμικά, συγκεντρωμένα στις συχνότητες πάλι γραμμικά, συγκεντρωμένα στις συχνότητες ffcc, , ffcc±±ff00, , ffcc±2±2ff00, , … Όμως, το φάσμα πλάτους δεν είναι συμμετρικό ως προς τη συχνότητα … Όμως, το φάσμα πλάτους δεν είναι συμμετρικό ως προς τη συχνότητα ffcc, διότι δεν ισχύει , διότι δεν ισχύει η σχέση η σχέση ||ss––nn|=||=|ssnn||. Τ. Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος α φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος FMFM βρίσκονται βρίσκονται γύρω από τη γύρω από τη φέρουσαφέρουσα συχνότητα f συχνότητα fcc και το και το εύρος ζώνηςεύρος ζώνης του σήματος του σήματος FMFM είναι: είναι:

Β=2(ΔfΒ=2(Δfmaxmax+f+fxx))=2(D+1)f=2(D+1)fxx (κανόνας του (κανόνας του Carson)Carson)

όπου όπου ffx x είναι εκείνη η αρμονική του σήματος μηνύματος πάνω απ’ την οποία θεωρούμε ότι είναι εκείνη η αρμονική του σήματος μηνύματος πάνω απ’ την οποία θεωρούμε ότι αυτό έχει αμελητέο φασματικό περιεχόμενο. Δαυτό έχει αμελητέο φασματικό περιεχόμενο. Δffmaxmax είναι η μέγιστη απόκλιση της στιγμιαίας είναι η μέγιστη απόκλιση της στιγμιαίας συχνότητας από τη φέρουσασυχνότητας από τη φέρουσα και και D είναι ο D είναι ο λόγος απόκλισηςλόγος απόκλισης που ορίζεται ως που ορίζεται ως D=D=ΔΔffmaxmax/f/fxx. Τα . Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος FM βρίσκFM βρίσκονονται στη ζώνη συχνοτήτων από ται στη ζώνη συχνοτήτων από ffcc-B/2 -B/2 μέχρι fμέχρι fcc+B/2+B/2..

ΓΓ) Σήμα μηνύματος ) Σήμα μηνύματος μη μη περιοδικόπεριοδικό

Τώρα η μαθηματική ανάλυση είναι πολύ δύσκολη. Τα φάσματα πλάτους Τώρα η μαθηματική ανάλυση είναι πολύ δύσκολη. Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος και φάσης του σήματος FMFM δεν έχουν καμιά «οπτική» ομοιότητα με τα δεν έχουν καμιά «οπτική» ομοιότητα με τα φάσματα του σήματος φάσματα του σήματος μηνύματος. Το σίγουρο είναι ότι αυτά βρίσκονται μηνύματος. Το σίγουρο είναι ότι αυτά βρίσκονται γύρω από τη φέρουσαγύρω από τη φέρουσα συχνότητα f συχνότητα fcc και το και το εύρος ζώνηςεύρος ζώνης του σήματος του σήματος FMFM είναι: είναι:

Β=2(ΔfΒ=2(Δfmaxmax+f+fxx))=2(D+1)f=2(D+1)fxx (κανόνας του (κανόνας του Carson)Carson)

όπου όπου ffx x είναι η μέγιστη συχνότητα του φάσματος του σήματος είναι η μέγιστη συχνότητα του φάσματος του σήματος μηνύματος μηνύματος x(t) x(t) και και D είναι ο D είναι ο λόγος απόκλισηςλόγος απόκλισης που ορίζεται ως που ορίζεται ως D=D=ΔΔffmaxmax/f/fxx. Με σήμα μηνύματος μη περιοδικό, τα φάσματα του σήματος . Με σήμα μηνύματος μη περιοδικό, τα φάσματα του σήματος FM FM είναιείναι συνεχή συνεχή και όχι γραμμικά. Το φάσμα του σήματος και όχι γραμμικά. Το φάσμα του σήματος FM βρίσκεται FM βρίσκεται στη ζώνη συχνοτήτων από στη ζώνη συχνοτήτων από ffcc-B/2 μέχρι f-B/2 μέχρι fcc+B/2+B/2..

4.3 4.3 Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FMΔιαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM

Α) Α) Παραγωγή Παραγωγή σήματος FMσήματος FM

Διαμορφωτής Διαμορφωτής FMFM είναι ένας ταλαντωτής που δίνει στην έξοδό του ημιτονικό είναι ένας ταλαντωτής που δίνει στην έξοδό του ημιτονικό σήμα, του οποίου η συχνότητα μεταβάλλεται με το σήμα μηνύματος. Επειδή σήμα, του οποίου η συχνότητα μεταβάλλεται με το σήμα μηνύματος. Επειδή το σήμα μηνύματος είναι σήμα τάσης, ο διαμορφωτής το σήμα μηνύματος είναι σήμα τάσης, ο διαμορφωτής FM FM ονομάζεται ονομάζεται ταλαντωτής ελεγχόμενος από τάσηταλαντωτής ελεγχόμενος από τάση (Voltage Controlled Oscillator - (Voltage Controlled Oscillator - VCOVCO). Η ). Η λειτουργίαλειτουργία ενός VCO ενός VCO βασίζεται στην αρχή ενός συντονιζόμενου βασίζεται στην αρχή ενός συντονιζόμενου κυκλώματοςκυκλώματος,, του οποίου η συχνότητα συντονισμού του οποίου η συχνότητα συντονισμού ffσσ=1/[2π=1/[2π(LC)(LC)1/21/2] ελέγχεται ] ελέγχεται από το σήμα μηνύματοςαπό το σήμα μηνύματος x(t)x(t). Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ως πυκνωτή . Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ως πυκνωτή CC έναν έναν varicapvaricap (πυκνωτή μεταβαλλόμενης χωρητικότητας). Στους ακροδέκτες (πυκνωτή μεταβαλλόμενης χωρητικότητας). Στους ακροδέκτες αυτού οδηγείται και το σήμα αυτού οδηγείται και το σήμα x(t)x(t) και η χωρητικότητά του μεταβάλλεται ως και η χωρητικότητά του μεταβάλλεται ως C=CC=C00--κx(t).κx(t).

Β) Β) ΑποδιαμόρφωσηΑποδιαμόρφωση σήματος FM σήματος FM Από την έκφραση της στιγμιαίας συχνότητας του σήματος FM Από την έκφραση της στιγμιαίας συχνότητας του σήματος FM

f(t)=ff(t)=fcc+kx(t) +kx(t) προκύπτει ότι προκύπτει ότι x(t)=[f(t)-fx(t)=[f(t)-fcc]/k.]/k. Έτσι, αν ένα κύκλωμα Έτσι, αν ένα κύκλωμα δέχεται στην είσοδό του σήμα δέχεται στην είσοδό του σήμα FMFM και δίνει στην έξοδό του σήμα και δίνει στην έξοδό του σήμα τάσης ανάλογο της διαφοράς της στιγμιαίας συχνότητας τάσης ανάλογο της διαφοράς της στιγμιαίας συχνότητας ff==f(t)f(t) του του σήματος εισόδου από τη σταθερή συχνότητα σήματος εισόδου από τη σταθερή συχνότητα ffcc, , αυτό το κύκλωμα αυτό το κύκλωμα κάνει κάνει αποδιαμόρφωσηαποδιαμόρφωση συχνότητας. Ονομάζεται και συχνότητας. Ονομάζεται και διευκρινιστής συχνότηταςδιευκρινιστής συχνότητας (frequency discriminator) κι έχει σχέση (frequency discriminator) κι έχει σχέση εισόδου-εξόδου εισόδου-εξόδου αυτήν που δίνεται στο σχήμα της επόμενης αυτήν που δίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας. σελίδας. Για την υλοποίηση ενός διευκρινιστή συχνότητας Για την υλοποίηση ενός διευκρινιστή συχνότητας χρησιμοποιείται χρησιμοποιείται πάλι συντονιζόμενο κύκλωμαπάλι συντονιζόμενο κύκλωμα. Εκμεταλλευόμαστε . Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι η αριστερή “πλαγιά” της καμπύλης συντονισμού του το γεγονός ότι η αριστερή “πλαγιά” της καμπύλης συντονισμού του προσεγγίζει τη σχέση εισόδου-εξόδου του διευκρινιστή συχνότητας. προσεγγίζει τη σχέση εισόδου-εξόδου του διευκρινιστή συχνότητας.

Σχέση εισόδου-εξόδου ενός διευκρινιστή συχνότηταςΣχέση εισόδου-εξόδου ενός διευκρινιστή συχνότητας

f0 fc

έξοδοςx(t)

(σήμα τάσης)

(συχνότητα σήματοςεισόδου)

4.4 4.4 Διάφορα θέματα στη διαμόρφωση FMΔιάφορα θέματα στη διαμόρφωση FM

Α) Προέμφαση - ΑποέμφασηΑ) Προέμφαση - Αποέμφαση Αποδεικνύεται ότι η επίδραση του Αποδεικνύεται ότι η επίδραση του θορύβουθορύβου σ’ ένα σύστημα σ’ ένα σύστημα FMFM είναι είναι

μεγαλύτερη στις μεγαλύτερη στις μεγάλεςμεγάλες συχνότητες του σήματος μηνύματος. Για να συχνότητες του σήματος μηνύματος. Για να εξισορροπήσουμε τα πράγματα, πριν κάνουμε διαμόρφωση περνάμε το εξισορροπήσουμε τα πράγματα, πριν κάνουμε διαμόρφωση περνάμε το σήμα μηνύματος από φίλτρο που σήμα μηνύματος από φίλτρο που ενισχύει τις ψηλέςενισχύει τις ψηλές συχνότητές του σε συχνότητές του σε σχέση με τις χαμηλές, για να «αντιμετωπίσουν» τη δυσμενή επίδραση σχέση με τις χαμηλές, για να «αντιμετωπίσουν» τη δυσμενή επίδραση του θορύβου σ’ αυτές. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται του θορύβου σ’ αυτές. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται προέμφασηπροέμφαση. .

Μετά τη διαμόρφωση και την αποδιαμόρφωση FM κάνουμε Μετά τη διαμόρφωση και την αποδιαμόρφωση FM κάνουμε αποέμφασηαποέμφαση, , δηλ. περνάμε το αποδιαμορφωμένο σήμα από φίλτρο που δηλ. περνάμε το αποδιαμορφωμένο σήμα από φίλτρο που ενισχύει τις ενισχύει τις χαμηλές συχνότητεςχαμηλές συχνότητες σε σχέση με τις ψηλές. Οι αποκρίσεις πλάτους των σε σχέση με τις ψηλές. Οι αποκρίσεις πλάτους των

φίλτρων προέμφασης και αποέμφασης είναιφίλτρων προέμφασης και αποέμφασης είναι αντίστροφες μεταξύ τους.αντίστροφες μεταξύ τους.

Β) Ανταλλαγή εύρους ζώνης με ισχύΒ) Ανταλλαγή εύρους ζώνης με ισχύ Αποδεικνύεται, όχι πολύ δύσκολα, ότι, γΑποδεικνύεται, όχι πολύ δύσκολα, ότι, για δοσμένο σήμα x(t), ια δοσμένο σήμα x(t),

μεγαλύτερο μεγαλύτερο εύρος ζώνηςεύρος ζώνης σήματος FM αντιστοιχεί και σε σήματος FM αντιστοιχεί και σε μεγαλύτερη μεγαλύτερη ισχύ εξόδουισχύ εξόδου στο δέκτη. Δηλ. για να πετύχουμε πιο στο δέκτη. Δηλ. για να πετύχουμε πιο ισχυρό σήμα στην έξοδο του δέκτη πρέπει να “πληρώσουμε” ισχυρό σήμα στην έξοδο του δέκτη πρέπει να “πληρώσουμε” διαθέτοντας μεγαλύτερο εύρος ζώνης για το σήμα FM.διαθέτοντας μεγαλύτερο εύρος ζώνης για το σήμα FM.

Γ) Καταπολέμηση του θορύβουΓ) Καταπολέμηση του θορύβου Ένα σήμα Ένα σήμα FMFM έχει σταθερό πλάτος και συχνότητα μεταβαλλόμενη έχει σταθερό πλάτος και συχνότητα μεταβαλλόμενη

σύμφωνα με το σήμα μηνύματος. Η πληροφορία μηνύματος είναι σύμφωνα με το σήμα μηνύματος. Η πληροφορία μηνύματος είναι «ενσωματωμένη» στις «ενσωματωμένη» στις θέσεις μηδενισμούθέσεις μηδενισμού του (θέσεις που η του (θέσεις που η γραφική του παράσταση κόβει τον άξονα των χρόνων), δηλ. στα γραφική του παράσταση κόβει τον άξονα των χρόνων), δηλ. στα πυκνώματα/αραιώματα. Αν στο σήμα πυκνώματα/αραιώματα. Αν στο σήμα FMFM προστεθεί θόρυβος, το προστεθεί θόρυβος, το πλάτος του παύει να είναι σταθερό, αλλά τα σημεία μηδενισμού του πλάτος του παύει να είναι σταθερό, αλλά τα σημεία μηδενισμού του επηρεάζονται ελάχιστα. Περνάμε τεπηρεάζονται ελάχιστα. Περνάμε το ο εενθόρυβονθόρυβο σήμα σήμα FM από έναν FM από έναν περιοριστήπεριοριστή (limiter) (limiter) που κόβει τους παλμούς του σχεδόν «σύρριζα» που κόβει τους παλμούς του σχεδόν «σύρριζα» (περνάει μόνο τα τμήματα της γραφικής παράστασης που (περνάει μόνο τα τμήματα της γραφικής παράστασης που βρίσκονται μεταξύ -Α και +Α, με Α πολύ μικρότερο από το πλάτος βρίσκονται μεταξύ -Α και +Α, με Α πολύ μικρότερο από το πλάτος του σήματος του σήματος FMFM). Έχουν κοπεί ). Έχουν κοπεί οι μεταβολές τιμών του σήματος οι μεταβολές τιμών του σήματος FM FM που οφείλονται στο θόρυβο, αλλά διατηρούνται οι θέσεις που οφείλονται στο θόρυβο, αλλά διατηρούνται οι θέσεις μηδενισμού του. Με ενίσχυση του σήματος εξόδου του περιοριστή μηδενισμού του. Με ενίσχυση του σήματος εξόδου του περιοριστή παίρνουμε σήμα παίρνουμε σήμα FMFM με σχεδόν με σχεδόν ορθογωνικό φέρονορθογωνικό φέρον. Περνάμε αυτό. Περνάμε αυτό

το σήμα το σήμα FM FM από ζωνοπερατόαπό ζωνοπερατό φίλτρο ΒPF που έχει ζώνη διέλευσης φίλτρο ΒPF που έχει ζώνη διέλευσης γύρω από τη φέρουσα συχνότητα γύρω από τη φέρουσα συχνότητα ffcc. Αφού ένα ορθογωνικό σήμα . Αφού ένα ορθογωνικό σήμα συχνότητας συχνότητας ffcc μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ημιτονικών σημάτων μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ημιτονικών σημάτων που έχουν συχνότητες που έχουν συχνότητες ffcc και τα πολλαπλάσια και τα πολλαπλάσια αυτής, το σήμα αυτής, το σήμα FMFM με με ορθογωνικό φέρον αποτελείται από σήματα ορθογωνικό φέρον αποτελείται από σήματα FMFM με ημιτονικά με ημιτονικά φέροντα σήματα συχνοτήτων φέροντα σήματα συχνοτήτων ffc c και τα πολλαπλάσια αυτής. Από και τα πολλαπλάσια αυτής. Από φίλτρο φίλτρο BPFBPF περνάει μόνο το σήμα περνάει μόνο το σήμα FMFM που έχει ημιτονικό φέρον που έχει ημιτονικό φέρον συχνότητας συχνότητας ffcc. Οι παραμορφώσεις από τον προσθετικό θόρυβο . Οι παραμορφώσεις από τον προσθετικό θόρυβο έχουν φύγει.έχουν φύγει.

X LPF

VCO

(Aποδιαμορφωμένοσήμα FM)

ν(t)

Συγκριτής φάσης

Βαθυπερατόφίλτροy(t)z(t)

z(t)=A νσυν[2πf ct+φ 2(t)]

y(t)=A cημ[2πf ct+φ 1(t)]

(Σήμα FM)

4.5 Βρόχος κλειδώματος φάσης PLL (Phase Lock Loop)

Στόχος του Στόχος του PLLPLL είναι η είναι η στιγμιαία συχνότηταστιγμιαία συχνότητα του σήματος του σήματος z(t)z(t) που παράγει να που παράγει να ακολουθεί και να προσπαθεί να ακολουθεί και να προσπαθεί να «πιάσει»«πιάσει» τη στιγμιαία συχνότητα του τη στιγμιαία συχνότητα του σήματος εισόδου σήματος εισόδου y(t). y(t).

Η δομή του PLL Η δομή του PLL

Με απλή Με απλή ΤριγωνομετρίαΤριγωνομετρία βρίσκουμε ότι, με φ βρίσκουμε ότι, με φ11((tt) κοντά στη φ) κοντά στη φ22((t), η t), η έξοδος από το έξοδος από το βαθυπερατό βαθυπερατό φίλτρο είναι ανάλογη της φφίλτρο είναι ανάλογη της φ11((tt)-φ)-φ22((t) t) (συγκριτής φάσης). Αν η φάση (συγκριτής φάσης). Αν η φάση φφ22((tt)) ακολουθεί τη φ ακολουθεί τη φ11((tt) τότε ) τότε και η και η στιγμιαία συχνότητα του στιγμιαία συχνότητα του z(t) ακολουθεί τη στιγμιαία συχνότητα του z(t) ακολουθεί τη στιγμιαία συχνότητα του y(t)y(t). Όταν είναι . Όταν είναι φφ11((tt)>φ)>φ22((t) το VCOt) το VCO έχει έχει θετικήθετική είσοδο και είσοδο και αυξάνειαυξάνει την την παραγόμενη συχνότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η φπαραγόμενη συχνότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η φ22((t)t) να να αυξάνει με ρυθμό τέτοιο ώστε να μικραίνει τη διαφορά αυξάνει με ρυθμό τέτοιο ώστε να μικραίνει τη διαφορά φφ11((tt)-φ)-φ22((t). t). Αντίθετα, όταν Αντίθετα, όταν είναι είναι φφ11((tt)<φ)<φ22((t) το VCOt) το VCO έχει έχει αρνητικήαρνητική είσοδο και είσοδο και μειώνειμειώνει την παραγόμενη συχνότητα με αποτέλεσμα η φ την παραγόμενη συχνότητα με αποτέλεσμα η φ22((t)t) να να επιβραδύνει, ώστε πάλι να μικραίνει τη διαφορά επιβραδύνει, ώστε πάλι να μικραίνει τη διαφορά φφ11((tt)-φ)-φ22((t). Έτσι, το t). Έτσι, το VCOVCO «κλειδώνει» σε φάση και συχνότητα με το σήμα εισόδου. «κλειδώνει» σε φάση και συχνότητα με το σήμα εισόδου.

Η Η μαθηματική ανάλυσημαθηματική ανάλυση αποδεικνύει ότι αποδεικνύει ότι,, αν το σήμα y(t) αν το σήμα y(t) είναι σήμα είναι σήμα FMFM, το σήμα , το σήμα v(t)v(t) είναι ανάλογο του σήματος είναι ανάλογο του σήματος μηνύματος, δηλ. το μηνύματος, δηλ. το PLLPLL κάνει κάνει αποδιαμόρφωση αποδιαμόρφωση FMFM..

Αν αρχικά η στιγμιαία συχνότητα Αν αρχικά η στιγμιαία συχνότητα ff2 2 του σήματος του σήματος z(t)z(t) βρίσκεται έξω βρίσκεται έξω από ένα διάστημα (από ένα διάστημα (ff11-f-fσσ, , ff11+f+fσσ) το ) το PLLPLL δεν μπορεί να κλειδώσειδεν μπορεί να κλειδώσει. Αν η . Αν η συχνότητα συχνότητα ff2 2 βρίσκεται μέσα στο παραπάνω διάστημα το βρίσκεται μέσα στο παραπάνω διάστημα το PLLPLL κλειδώνει.κλειδώνει.

Αν το Αν το VCOVCO έχει κλειδώσει και η έχει κλειδώσει και η ff2 2 δεν βγει από ένα άλλο διάστημα (δεν βγει από ένα άλλο διάστημα (ff11--ffLL, , ff11+f+fLL) το ) το PLLPLL μένει κλειδωμένομένει κλειδωμένο στο σήμα εισόδου. Αν βγει από το στο σήμα εισόδου. Αν βγει από το διάστημα αυτό, το κλείδωμα χάνεται και το διάστημα αυτό, το κλείδωμα χάνεται και το VCO VCO ταλαντώνεται ταλαντώνεται ελεύθεραελεύθερα με συχνότητα με συχνότητα ffcc. Είναι f. Είναι fLL>f>fσσ. .

Το διάστημα (Το διάστημα (ff11-f-fσσ, , ff11+f+fσσ) ονομάζεται διάστημα ) ονομάζεται διάστημα σύλληψηςσύλληψης και το και το

διάστημα (διάστημα (ff11-f-fLL, , ff11+f+fLL) ονομάζεται διάστημα ) ονομάζεται διάστημα κλειδώματοςκλειδώματος..

Κεφάλαιο 5: Κεφάλαιο 5: Ψηφιακή Ψηφιακή ΔιαμόρφωσηΔιαμόρφωση

5.1 5.1 ΟρισμοίΟρισμοί 5.2 5.2 Ισχύς - ΦάσματαΙσχύς - Φάσματα 5.3 5.3 Δέκτες σημάτων ψηφιακής διαμόρφωσηςΔέκτες σημάτων ψηφιακής διαμόρφωσης

5.1 Ορισμοί5.1 Ορισμοί

ΣτΣτην ψηφιακή διαμόρφωση στην ψηφιακή διαμόρφωση στέλνουμε bits έλνουμε bits από τον πομπό στον δέκτη από τον πομπό στον δέκτη με τη χρήση του υψίσυχνου φέροντος σήματος με τη χρήση του υψίσυχνου φέροντος σήματος AAccημ2πfημ2πfcctt. Κάθε . Κάθε bit bit διαρκεί Τδιαρκεί Τbb. Ο . Ο ρυθμός μετάδοσηςρυθμός μετάδοσης bits bits (bit rate) είναι r(bit rate) είναι rbb=1/T=1/Tbb και μετράται και μετράται σε σε kbit/sec kbit/sec ή ή Mbit/sec. Τρόποι ψηφιακής διαμόρφωσης:Mbit/sec. Τρόποι ψηφιακής διαμόρφωσης:

1) Ψηφιακή Διαμόρφωση Πλάτους (1) Ψηφιακή Διαμόρφωση Πλάτους (ASKASK - Amplitude Shift - Amplitude Shift Keying)Keying)

2) Ψηφιακή Διαμόρφωση Φάσης (2) Ψηφιακή Διαμόρφωση Φάσης (PSKPSK - Phase Shift Keying) - Phase Shift Keying)

3) 3) Ψηφιακή Διαμόρφωση Συχνότητας Ψηφιακή Διαμόρφωση Συχνότητας ((FSKFSK - Frequency Shift Keying) - Frequency Shift Keying)

κ. α. κ. α.

ASKASK: Για : Για bitbit=1 στέλνουμε επί χρόνο Τ=1 στέλνουμε επί χρόνο Τbb το σήμα το σήμα AAccημ2πfημ2πfcctt και για και για bit=0 bit=0 στέλνουμε επί χρόνο Τστέλνουμε επί χρόνο Τbb το σήμα το σήμα 00. .

Η πληροφορία για την τιμή του Η πληροφορία για την τιμή του bit bit που στέλνουμε βρίσκεται στην που στέλνουμε βρίσκεται στην τιμή του τιμή του πλάτουςπλάτους του φέροντος σήματος. Για του φέροντος σήματος. Για bit=1 bit=1 αυτό είναι Ααυτό είναι Αcc και για και για bit=0bit=0 αυτό είναι 0. αυτό είναι 0.

PSKPSK: Για : Για bitbit=1 στέλνουμε επί χρόνο Τ=1 στέλνουμε επί χρόνο Τbb το σήμα το σήμα AAccημ2πfημ2πfcctt και για και για bit=0 bit=0 στέλνουμε επί χρόνο Τστέλνουμε επί χρόνο Τbb το σήμα το σήμα AAccημ(2πfημ(2πfcct+t+π)=π)= --AAccημ2πfημ2πfcctt . .

Η πληροφορία για την τιμή του Η πληροφορία για την τιμή του bit bit που στέλνουμε βρίσκεται στην που στέλνουμε βρίσκεται στην τιμή της τιμή της φάσηςφάσης του φέροντος σήματος. Για του φέροντος σήματος. Για bit=1 bit=1 αυτή είναι 0 και αυτή είναι 0 και για για bit=0bit=0 αυτή είναι π. αυτή είναι π.

FSKFSK: Για : Για bitbit=1 στέλνουμε επί χρόνο Τ=1 στέλνουμε επί χρόνο Τbb το σήμα το σήμα AAccημ2π(fημ2π(fcc+f+fdd)t)t και και για για bit=0 bit=0 στέλνουμε επί χρόνο Τστέλνουμε επί χρόνο Τbb το σήμα το σήμα AAccημ2π(fημ2π(fcc-f-fdd)t)t. H . H ffdd

ονομάζεται ονομάζεται συχνότητα απόκλισηςσυχνότητα απόκλισης..

Στην Στην FSK FSK η πληροφορία για την τιμή του η πληροφορία για την τιμή του bit bit που στέλνουμε βρίσκεται που στέλνουμε βρίσκεται στην τιμή της στην τιμή της συχνότηταςσυχνότητας του αποστελλόμενου σήματος. Για του αποστελλόμενου σήματος. Για bit=1 bit=1 αυτή είναι αυτή είναι ff11==ffcc+f+fdd (ψηλή) και για (ψηλή) και για bit=0bit=0 αυτή είναι αυτή είναι ff22==ffcc-f-fdd (χαμηλή). (χαμηλή).

Χαρακτηριστικό της εικόνας του σήματος Χαρακτηριστικό της εικόνας του σήματος ASKASK είναι είναι ηη παρουσία ή η παρουσία ή η απουσία του φέροντοςαπουσία του φέροντος και της εικόνας του σήματος και της εικόνας του σήματος PSKPSK είναι τα είναι τα άλματα φάσηςάλματα φάσης που συμβαίνουν τις χρονικές στιγμές που αλλάζουν που συμβαίνουν τις χρονικές στιγμές που αλλάζουν τιμή τα τιμή τα bits bits που στέλνονται. Τέλος, χαρακτηριστικό του σήματος που στέλνονται. Τέλος, χαρακτηριστικό του σήματος FSKFSK είναι η εικόνα είναι η εικόνα πυκνωμάτωνπυκνωμάτων (για (για bit=1) bit=1) και και αραιωμάτων αραιωμάτων (για bit(για bit=0).=0).

Για να μην εμφανίζονται άλματα τιμής (ασυνέχειες) στο διαμορφωμένο Για να μην εμφανίζονται άλματα τιμής (ασυνέχειες) στο διαμορφωμένο σήμα πρέπει για τα σήματα ASKσήμα πρέπει για τα σήματα ASK και και PSKPSK το το TTbb να είναι να είναι ακέραιο ακέραιο πολλαπλάσιοπολλαπλάσιο της περιόδου της περιόδου ΤΤcc=1/f=1/fcc του φέροντος σήματος και για το του φέροντος σήματος και για το σήμα σήμα FSKFSK το το TTbb να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ΤΤ11=1/f=1/f11 και της και της ΤΤ22=1/f=1/f22..

Στην επόμενη διαφάνεια φαίνονται στο πεδίο του χρόνου τα σήματα Στην επόμενη διαφάνεια φαίνονται στο πεδίο του χρόνου τα σήματα ASK, PSKASK, PSK και και FSKFSK για την ακολουθία για την ακολουθία bits 10110.bits 10110.

Παράδειγμα σήματος ASKΠαράδειγμα σήματος ASK

Παράδειγμα σήματος ΡSKΠαράδειγμα σήματος ΡSK

Άλμα φάσηςΆλμα φάσης

Άλμα φάσηςΆλμα φάσης

Παράδειγμα σήματος FSKΠαράδειγμα σήματος FSK

5.2 Ισχύς - Φάσματα5.2 Ισχύς - Φάσματα

Αφού τα σήματα Αφού τα σήματα PSKPSK και και FSKFSK έχουν σταθερό πλάτος Α= έχουν σταθερό πλάτος Α=AAcc, η , η μέση μέση ισχύςισχύς τους είναι ίση με τους είναι ίση με ΑΑ22/2/2. Αν το μέσο ποσοστό των 0 σε μια διαδοχή . Αν το μέσο ποσοστό των 0 σε μια διαδοχή bitsbits που στέλνεται με διαμόρφωση που στέλνεται με διαμόρφωση ASKASK είναι είναι P%, η P%, η μέση ισχύςμέση ισχύς του του σήματος σήματος ASKASK είναι ίση με είναι ίση με (1-Ρ/100)(1-Ρ/100)ΑΑ22/2/2..

Το “μέσο” φάσμα ισχύος των σημάτων Το “μέσο” φάσμα ισχύος των σημάτων PSKPSK είναι συνεχές και είναι συνεχές και κατανεμημένο κυρίως στη ζώνη συχνοτήτων από κατανεμημένο κυρίως στη ζώνη συχνοτήτων από ffcc--rrbb μέχριμέχρι ffcc+r+rbb. . Υπάρχει κι ένα μικρό μέρος έξω απ’ αυτό το διάστημα. Για τΥπάρχει κι ένα μικρό μέρος έξω απ’ αυτό το διάστημα. Για ταα σήμα σήματατα ASKASK ισχύουν τα ίδια, με τη διαφορά ότι αυτό έχει κι ένα ισχύουν τα ίδια, με τη διαφορά ότι αυτό έχει κι ένα σκέτο ημιτονικό σκέτο ημιτονικό όροόρο στη συχνότητα στη συχνότητα ffcc. Έτσι, το . Έτσι, το μέσο εύροςμέσο εύρος ζώνηςζώνης των σημάτων PSK και των σημάτων PSK και ASK είναι ίσο με ASK είναι ίσο με 22rrbb. .

Το “μέσο” φάσμα ισχύος του σήματος Το “μέσο” φάσμα ισχύος του σήματος FSKFSK αποτελείται από δύο αποτελείται από δύο ηημιτονικούςμιτονικούς όρους στις συχνότητες όρους στις συχνότητες ff11==ffcc+f+fdd και και ff22==ffcc-f-fdd κι από ένα κι από ένα κατανεμημένοκατανεμημένο μέρος. Αν είναι μέρος. Αν είναι ffdd<<<<rrbb, το κατανεμημένο μέρος βρίσκεται , το κατανεμημένο μέρος βρίσκεται στη ζώνη (στη ζώνη (ffcc--rrbb, , ffcc+r+rbb) και το εύρος ζώνης του είναι ίσο με 2r) και το εύρος ζώνης του είναι ίσο με 2rbb. Στις άλλες . Στις άλλες περιπτώσεις το κατανεμημένο μέρος του φάσματος βρίσκεται κι έξω περιπτώσεις το κατανεμημένο μέρος του φάσματος βρίσκεται κι έξω από τη ζώνη (από τη ζώνη (ffcc--rrbb, , ffcc+r+rbb), οπότε το εύρoς ζώνης είναι μεγαλύτερο από ), οπότε το εύρoς ζώνης είναι μεγαλύτερο από 2r2rbb..

Λέγοντας Λέγοντας “μέσο” “μέσο” φάσμα εννοούμε το φάσμα που προκύπτει από το φάσμα εννοούμε το φάσμα που προκύπτει από το ““μέσο όρομέσο όρο”” των φασμάτων για όλες τις πιθανές ακολουθίες των φασμάτων για όλες τις πιθανές ακολουθίες bits bits μηνύματος.μηνύματος.

5.3 Δέκτες σημάτων ψηφιακής 5.3 Δέκτες σημάτων ψηφιακής διαμόρφωσηςδιαμόρφωσης

Ένας Ένας δέκτηςδέκτης σήματος ψηφακής διαμόρφωσης έχει στόχο από το σήματος ψηφακής διαμόρφωσης έχει στόχο από το

λαμβανόμενο σήμα να αποφασίζει κάθε Τλαμβανόμενο σήμα να αποφασίζει κάθε Τbb secsec αν στο αντίστοιχο αν στο αντίστοιχο

διάστημα έλαβε διάστημα έλαβε bit 1 ή 0.bit 1 ή 0.

5.3.1 Σύγχρονοι ή σύμφωνοι δέκτες5.3.1 Σύγχρονοι ή σύμφωνοι δέκτες Σ’ αυτούς ο δέκτης ανακτά και χρησιμοποιεί Σ’ αυτούς ο δέκτης ανακτά και χρησιμοποιεί τοπικό φέροντοπικό φέρον. Τα σήματα . Τα σήματα

ASKASK και και PSKPSK μπορούν να γραφούν ως μπορούν να γραφούν ως AAccp(t)p(t)ηημ2πfμ2πfcct, όπου η t, όπου η p(t)p(t) παίρνει τιμή 1 για παίρνει τιμή 1 για bit=1 και τιμή 0 (για το σήμα ASK) bit=1 και τιμή 0 (για το σήμα ASK) ή -1 (για το σήμα ή -1 (για το σήμα PSK) για bit=0PSK) για bit=0. Έτσι, και τα δύο είναι σήματα . Έτσι, και τα δύο είναι σήματα DSBDSB με σήμα με σήμα μηνύματος ορθογωνική κυματομορφή που παίρνει τιμές 1 και 0, για μηνύματος ορθογωνική κυματομορφή που παίρνει τιμές 1 και 0, για το σήμα το σήμα ASK, ASK, ή 1 και -1, για το σήμα ή 1 και -1, για το σήμα PSK. Επομένως, ο PSK. Επομένως, ο σύγχρονος σύγχρονος αποδιαμορφωτήςαποδιαμορφωτής, που ανακτά και χρησιμοποιεί τοπικό φέρον, δίνει , που ανακτά και χρησιμοποιεί τοπικό φέρον, δίνει στην έξοδο προσεγγιστικά την παλμοσειρά p(t).στην έξοδο προσεγγιστικά την παλμοσειρά p(t).

Με Με δειγματοληψίαδειγματοληψία της της εξόδου του σύγχρονου αποδιαμορφωτή εξόδου του σύγχρονου αποδιαμορφωτή κάθε κάθε ΤΤbb και σύγκριση των δειγμάτων με και σύγκριση των δειγμάτων με κατώφλι Ηκατώφλι Η, ο δέκτης , ο δέκτης αποφασίζει αν έλαβε αποφασίζει αν έλαβε bit 1 ή 0. Αν η ψηλή τιμή του σήματος bit 1 ή 0. Αν η ψηλή τιμή του σήματος εξόδου του σύγχρονου εξόδου του σύγχρονου αποδιαμορφωτή είναι Α, για τον δέκτη αποδιαμορφωτή είναι Α, για τον δέκτη σήματοςσήματος ASK ASK το κατώφλι το κατώφλι είναι Η=Α/2 και για τοείναι Η=Α/2 και για τονν δέκτη δέκτη σήματος σήματος PSKPSK είναι Η=0.είναι Η=0.

Επειδή η έξοδος του σύγχρονου αποδιαμορφωτή μπορεί για Επειδή η έξοδος του σύγχρονου αποδιαμορφωτή μπορεί για διάφορους λόγους (π. χ. θόρυβο) να πάρει στιγμιαία διάφορους λόγους (π. χ. θόρυβο) να πάρει στιγμιαία και και τιμή που τιμή που να απέχει πολύ από το 0 ή το Α, ο δέκτης να απέχει πολύ από το 0 ή το Α, ο δέκτης ολοκληρώνειολοκληρώνει πρώτα πρώτα επί διάστημα επί διάστημα ΤΤbb το σήμα εξόδου του αποδιαμορφωτή το σήμα εξόδου του αποδιαμορφωτή κι ύστερα κι ύστερα κάνει δειγματοληψία και σύγκριση με κατώφλι. Τώρα, το κατώφλι κάνει δειγματοληψία και σύγκριση με κατώφλι. Τώρα, το κατώφλι για τον δέκτη σήματος για τον δέκτη σήματος ASKASK είναι Α είναι ΑΤΤbb/2/2 και για το και για τονν δέκτη σήματος δέκτη σήματος PSK είναι πάλι 0. PSK είναι πάλι 0.

ΣύγχρονοςΑποδιαμορφωτής

Oλοκλήρωσηαπό 0 μέχρι Τ b

ΚατώφλιΗ

V

Δειγματοληψία

κάθε Τ b Σύγκριση

Σήμα ASK

Aπόφαση:b=1 αν V>Hb=0 αν V<H

ή σήμα PSK

Χρήση του σύγχρονου αποδιαμορφωτή για την υλοποίηση Χρήση του σύγχρονου αποδιαμορφωτή για την υλοποίηση σύμφωνου δέκτη ASK και δέκτη PSKσύμφωνου δέκτη ASK και δέκτη PSK

Εύκολα διαπιστώνεται ότι η λειτουργία του βαθυπερατού φίλτρου που Εύκολα διαπιστώνεται ότι η λειτουργία του βαθυπερατού φίλτρου που υπάρχει μέσα στο σύγχρονο αποδιαμορφωτή “απορροφάται” από τη υπάρχει μέσα στο σύγχρονο αποδιαμορφωτή “απορροφάται” από τη λειτουργία του ολοκληρωτή που ακολουθεί. Έτσι, ο παραπάνω δέκτης λειτουργία του ολοκληρωτή που ακολουθεί. Έτσι, ο παραπάνω δέκτης μπορεί να αντικατασταθεί από το ίδιο κύκλωμα αλλά μπορεί να αντικατασταθεί από το ίδιο κύκλωμα αλλά μόνο με μόνο με πολλαπλασιαστήπολλαπλασιαστή (επί το ανακτώμενο τοπικό φέρον) στη θέση του (επί το ανακτώμενο τοπικό φέρον) στη θέση του σύγχρονου αποδιαμορφωτή.σύγχρονου αποδιαμορφωτή.

5.3.2 Ασύγχρονοι ή ασύμφωνοι δέκτες5.3.2 Ασύγχρονοι ή ασύμφωνοι δέκτες Εδώ Εδώ δεν δεν ανακτάται αντίγραφο του φέροντος από το λαμβανόμενο ανακτάται αντίγραφο του φέροντος από το λαμβανόμενο

σήμα. σήμα.

Α) Ασύμφωνος δέκτης σήματος Α) Ασύμφωνος δέκτης σήματος ASKASK Οδηγώντας το σήμα ASKΟδηγώντας το σήμα ASK σε σε φωρατή περιβάλλουσαςφωρατή περιβάλλουσας παίρνουμε παίρνουμε

σήμα εξόδου που έχει ψηλή τιμή αν στέλνεται bit 1σήμα εξόδου που έχει ψηλή τιμή αν στέλνεται bit 1 και χαμηλή και χαμηλή τιμή αν στέλνεται τιμή αν στέλνεται bit 0. Φυσικά, στο σήμα εξόδου υπάρχουν και οι bit 0. Φυσικά, στο σήμα εξόδου υπάρχουν και οι γνωστές μας “οδοντώσεις”. Με γνωστές μας “οδοντώσεις”. Με ολοκλήρωσηολοκλήρωση του σήματος εξόδου του σήματος εξόδου επί χρόνο επί χρόνο ΤΤbb, δειγματοληψία στο τέλος του διαστήματος , δειγματοληψία στο τέλος του διαστήματος ολοκλήρωσης και σύγκριση με κατώφλι, λαμβάνεται η σωστή ολοκλήρωσης και σύγκριση με κατώφλι, λαμβάνεται η σωστή απόφαση σχετικά με την τιμή του bitαπόφαση σχετικά με την τιμή του bit που έχει σταλεί που έχει σταλεί..

Ο ίδιος δέκτης Ο ίδιος δέκτης δεν μπορείδεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για σήμα να χρησιμοποιηθεί για σήμα PSKPSK,, γιατί γιατί ο φωρατής περιβάλλουσας θα δίνει έξοδο με ψηλή τιμή,ο φωρατής περιβάλλουσας θα δίνει έξοδο με ψηλή τιμή, τόσο για τόσο για bit bit 1 όσο και για b1 όσο και για bit 0. it 0.

BPF 1fc+f d

BPF 2fc-f d

ΚατώφλιΗ=0

Aπόφαση:b=0 αν V<0b=1 αν V>0

V

Δειγματοληψία

κάθε T b

-

+R 1

R 2

ΣήμαFSK

Φωρατήςπεριβάλλουσας

Φωρατήςπεριβάλλουσας

Β) Ασύμφωνος δέκτης σήματος Β) Ασύμφωνος δέκτης σήματος FSKFSK

Ας παρακαλουθήσουμε τη λειτουργία της παρακάτω διάταξης αν στην Ας παρακαλουθήσουμε τη λειτουργία της παρακάτω διάταξης αν στην

είσοδό της οδηγήσουμε σήμα είσοδό της οδηγήσουμε σήμα FSKFSK..

Το φίλτρο BPFΤο φίλτρο BPF1 1 είναι σχεδιασμένο για να περνάει μια στενή ζώνη είναι σχεδιασμένο για να περνάει μια στενή ζώνη συχνοτήτων γύρω από τη συχνότητα συχνοτήτων γύρω από τη συχνότητα ff11==ffcc+f+fdd και το φίλτρο και το φίλτρο BPFBPF2 2

μια στενή ζώνη συχνοτήτων γύρω από τη συχνότητα μια στενή ζώνη συχνοτήτων γύρω από τη συχνότητα ff22==ffcc-f-fdd..

Όταν στέλνεται Όταν στέλνεται bitbit 1, το σήμα 1, το σήμα FSKFSK περνάει περνάει από το φίλτρο από το φίλτρο BPFBPF1 1 και και κόβεταικόβεται από το φίλτρο από το φίλτρο BPFBPF22. Ο πάνω φωρατής περιβάλλουσας . Ο πάνω φωρατής περιβάλλουσας δίνει στην έξοδό του ψηλή τιμή Α και ο κάτω χαμηλή. Έτσι, δίνει στην έξοδό του ψηλή τιμή Α και ο κάτω χαμηλή. Έτσι, V=RV=R11--RR22=A-0=A. Όταν στέλνεται =A-0=A. Όταν στέλνεται bit 0, bit 0, το σήμα το σήμα FSKFSK περνάειπερνάει από το από το φίλτρο φίλτρο BPFBPF2 2 και και κόβεταικόβεται από το φίλτρο από το φίλτρο BPFBPF11. Ο πάνω φωρατής . Ο πάνω φωρατής περιβάλλουσας δίνει χαμηλή τιμή και ο κάτω ψηλή τιμή Α. Έτσι, περιβάλλουσας δίνει χαμηλή τιμή και ο κάτω ψηλή τιμή Α. Έτσι, V=RV=R11-R-R22=0-A=-A. Η σύγκριση με το κατώφλι Η=0 οδηγεί στη =0-A=-A. Η σύγκριση με το κατώφλι Η=0 οδηγεί στη σωστή απόφαση σχετικά με την τιμή του σωστή απόφαση σχετικά με την τιμή του bitbit που λαμβάνεται. που λαμβάνεται.

Ο δέκτης μπορεί να βελτιωθεί αν η έξοδος Ο δέκτης μπορεί να βελτιωθεί αν η έξοδος RR11-R-R2 2 ολοκληρώνεται ολοκληρώνεται επί διάστημα Tεπί διάστημα Tbb πριν υποστεί δειγματοληψία και σύγκριση με πριν υποστεί δειγματοληψία και σύγκριση με κατώφλι.κατώφλι.

Υπάρχουν κι άλλοι ασύγχρονοι δέκτες Υπάρχουν κι άλλοι ασύγχρονοι δέκτες FSKFSK που, όμως, δεν που, όμως, δεν παρουσιάζουμε εδώ για λόγους οικονομίας χώρου. παρουσιάζουμε εδώ για λόγους οικονομίας χώρου.

1 1k k k k kd b d b d

Γ) Ασύμφωνος δέκτης σήματος Γ) Ασύμφωνος δέκτης σήματος ΡSKΡSK (Διαφορικό PSK - (Διαφορικό PSK - Differential PSK ήτοι Differential PSK ήτοι DPSKDPSK)) Αντί το φέρον σήμα να διαμορφωθεί σε φάση από την Αντί το φέρον σήμα να διαμορφωθεί σε φάση από την ακολουθία bits ακολουθία bits bbkk που θέλουμε να στείλουμε, κάνουμε σ’ αυτό που θέλουμε να στείλουμε, κάνουμε σ’ αυτό διαμόρφωση διαμόρφωση PSKPSK με μια άλλη ακολουθία με μια άλλη ακολουθία bits dbits dkk, , που λαμβάνεται που λαμβάνεται από την bαπό την bk k ως εξήςως εξής:

H λογική πράξη H λογική πράξη xxy (ΧΝΟy (ΧΝΟR) R) δίνει αποτέλεσμα 1 αν είναι δίνει αποτέλεσμα 1 αν είναι x=yx=y και αποτέλεσμα 0 αν είναι xκαι αποτέλεσμα 0 αν είναι xy. Η τιμή τουy. Η τιμή του αρχικού αρχικού bitbit της της ακολουθίας ακολουθίας ddkk είναι είναι αδιάφορηαδιάφορη. . ΠαράδειγμαΠαράδειγμα: Για : Για bb11=0, =0, bb22=1 και =1 και bb33=0, με d=0, με d00=0 =0 έχουμε: έχουμε:

dd11=0=00=10=1, d, d22=1=11=1 1=1 και dκαι d33=0=01=0.1=0.

H H διάταξη του πομπού διάταξη του πομπού DPSKDPSK ακολουθεί: ακολουθεί:

X

Καθυστέρησηκατά Τ b

ΔιαμορφωτήςPSK

{b k} {d k}

{d k-1 }

z(t)= Aσυν2πf ct αν d k=1

και -Aσυν2πf ct αν d k=0

(Σήμα DSPK)

Ο πομπός (διαμορφωτής) σήματος Ο πομπός (διαμορφωτής) σήματος DPSKDPSK

Ο Ο δέκτηςδέκτης λαμβάνει το σήμα λαμβάνει το σήμα z(t)z(t) κι απ’ αυτό εκτιμά την ακολουθία b κι απ’ αυτό εκτιμά την ακολουθία bkk. . ΑποδεικνύεταιΑποδεικνύεται στα Ψηφιακά Συστήματα ότι στα Ψηφιακά Συστήματα ότι

1.k k kb d d

Απ’ αυτό προκύπτει ότι, αΑπ’ αυτό προκύπτει ότι, αν η παρούσα και η αμέσως προηγούμενη ν η παρούσα και η αμέσως προηγούμενη τιμή της τιμή της λαμβανόμενης λαμβανόμενης ακολουθίας ακολουθίας ddk k είναι ίσεςείναι ίσες,, η η παρούσα παρούσα τιμή τιμή τηςτης αποσταλείσας αποσταλείσας ακολουθίαακολουθίας bς bkk είναι ίση με 1, διαφορετικά είναι ίση με 0. είναι ίση με 1, διαφορετικά είναι ίση με 0.

BPFfc

X

Γραμμήκαθυστέρησης

κατά Τ b

Ολοκληρωτήςή

LPF

ΚατώφλιΗ=0

VP

Aπόφαση:b=1 αν V>0b=0 αν V<0

Δειγματοληψία

κάθε Τ b

Σήμα z(t)+

θόρυβος

(για περιορισμότου θορύβου)

Ας δούμε πώς ο παρακάτω δέκτης διαπιστώνει αν είναι Ας δούμε πώς ο παρακάτω δέκτης διαπιστώνει αν είναι ddkk==ddk-1 k-1 ή αν είναι ή αν είναι ddkkddk-1k-1. .

Το σήμα Το σήμα z(t)z(t) και η καθυστερημένη κατά Τ και η καθυστερημένη κατά Τbb κυματομορφήκυματομορφή του είναι του είναι ημιτονικές και μάλιστα είναι ημιτονικές και μάλιστα είναι είτε ίδιεςείτε ίδιες (αν είναι (αν είναι ddk-1k-1==ddkk) ) είτε αντίθετεςείτε αντίθετες (αν είναι (αν είναι ddkkddk-1k-1). Το γινόμενό τους Ρ θα είναι ). Το γινόμενό τους Ρ θα είναι ίσο, αντίστοιχα, με ίσο, αντίστοιχα, με (A(Accηημ2πfμ2πfcct)t)2 2 είτε είτε ίσο με ίσο με -(A-(Accηημ2πfμ2πfcct)t)22. .

Η Η ολοκλήρωσηολοκλήρωση αυτών επί χρονικό διάστημα αυτών επί χρονικό διάστημα Τ Τbb δίνει δίνει αποτέλεσμα Aαποτέλεσμα Acc

22ΤΤbb/2 ή -A/2 ή -Acc22ΤΤbb/2. Έτσι, η /2. Έτσι, η σύγκρισησύγκριση με το κατώφλι με το κατώφλι

Η=0 οδηγεί στη σωστή απόφαση Η=0 οδηγεί στη σωστή απόφαση αν είναι αν είναι ddkk==ddk-1k-1 ή αν είναι ή αν είναι ddkkddk-1k-1, , δδηλ. ηλ. ααν λήφθηκε ν λήφθηκε bit bbit bkk=1 ή =1 ή bit bbit bkk=0. =0.

Κεφάλαιο Κεφάλαιο 66: : Δειγματοληψία, Δειγματοληψία, κβαντοποίηση και κωδικοποίησηκβαντοποίηση και κωδικοποίηση

6.16.1 ΟρισμοίΟρισμοί

66..22 ΙΙδανική δειγματοληψίαδανική δειγματοληψία

66.3 .3 Μη ιδανική δειγματοληψία – Δειγματοληψία και Μη ιδανική δειγματοληψία – Δειγματοληψία και

συγκράτησησυγκράτηση

6.1 6.1 ΟρισμοίΟρισμοί Σήμα μηνύματος Σήμα μηνύματος xx((tt)) με μέγιστη συχνότητα την με μέγιστη συχνότητα την ffxx, , περίοδος δειγματοληψίαςπερίοδος δειγματοληψίας

TTss, , συχνότητα δειγματοληψίαςσυχνότητα δειγματοληψίας ffss=1/=1/TTss..

Λαμβάνουμε τα δείγματα του Λαμβάνουμε τα δείγματα του x(t)x(t) τις χρονικές στιγμές τις χρονικές στιγμές kTkTss, με τον ακέραιο , με τον ακέραιο kk να παίρνει τιμές από –να παίρνει τιμές από – μέχρι + μέχρι +, και τα στέλνουμε με κάποιον τρόπο στον , και τα στέλνουμε με κάποιον τρόπο στον προορισμό. προορισμό.

Χρονική απόσταση μεταξύ διαδοχικών δειγμάτων σταθερή και ίση με Χρονική απόσταση μεταξύ διαδοχικών δειγμάτων σταθερή και ίση με TTss. Γι . Γι αυτό η πιο πάνω δειγματοληψία ονομάζεται αυτό η πιο πάνω δειγματοληψία ονομάζεται ομοιόμορφηομοιόμορφη δειγματοληψία.δειγματοληψία.

Έχουν αναπτυχθεί και συστήματα μη ομοιόμορφης δειγματοληψίας, στα Έχουν αναπτυχθεί και συστήματα μη ομοιόμορφης δειγματοληψίας, στα οποία η χρονική απόσταση μεταξύ των διαδοχικών δειγμάτων δεν είναι οποία η χρονική απόσταση μεταξύ των διαδοχικών δειγμάτων δεν είναι σταθερή. σταθερή.

Ο δέκτης μπορεί, υπό προϋποθέσεις, μόνο από τα δείγματα τις χρονικές Ο δέκτης μπορεί, υπό προϋποθέσεις, μόνο από τα δείγματα τις χρονικές στιγμές στιγμές kTkTss να αναπαραγάγει στην εντέλεια το πλήρες σήμα να αναπαραγάγει στην εντέλεια το πλήρες σήμα xx((tt). Δηλ., ενώ ). Δηλ., ενώ κρατάμε και στέλνουμε μόνο τις τιμές κρατάμε και στέλνουμε μόνο τις τιμές xx((kTkTss), ), kk=0, =0, 1, 1, 2, …, και «πετάμε» 2, …, και «πετάμε» όλες τις τιμές του σήματος όλες τις τιμές του σήματος xx((tt) για ) για ttkTkTss, , oo δέκτης μπορεί να δέκτης μπορεί να αναδημιουργήσει με απόλυτη ακρίβεια το σήμα αναδημιουργήσει με απόλυτη ακρίβεια το σήμα xx((tt) για όλες τις τιμές του ) για όλες τις τιμές του tt. .

Φυσικά, η αναδημιουργία του πλήρους σήματος Φυσικά, η αναδημιουργία του πλήρους σήματος xx((tt) από τα δείγματα αυτού ) από τα δείγματα αυτού xx((kTkTss) μπορεί να γίνει και στον πομπό ή οπουδήποτε αλλού, με την ) μπορεί να γίνει και στον πομπό ή οπουδήποτε αλλού, με την παρακάτω διαδικασία: παρακάτω διαδικασία:

6.2 6.2 Ιδανική δειγματοληψίαΙδανική δειγματοληψία

Από τα δείγματα Από τα δείγματα xx((kTkTss) δημιουργούμε έναν συρμό από κρουστικές ) δημιουργούμε έναν συρμό από κρουστικές συναρτήσεις δ πολλαπλασιάζοντας καθένα από τα δείγματα επί την συναρτήσεις δ πολλαπλασιάζοντας καθένα από τα δείγματα επί την κρουστική συνάρτησηκρουστική συνάρτηση δ τη χρονική στιγμή δ τη χρονική στιγμή kTkTss του δείγματος. Έτσι, του δείγματος. Έτσι, προκύπτει το προκύπτει το σήμα ιδανικής δειγματοληψίαςσήμα ιδανικής δειγματοληψίας xxδδ((tt) που έχει την ) που έχει την ακόλουθη μαθηματική έκφραση:ακόλουθη μαθηματική έκφραση:

( ) ( ) ( )s sk

x t x kT t kT

Ένα παράδειγμα σήματος Ένα παράδειγμα σήματος x(t)x(t) και η αντίστοιχη συνάρτηση ιδανικής και η αντίστοιχη συνάρτηση ιδανικής δειγματοληψίας δειγματοληψίας xxδδ((tt) ) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:

Το φάσμα πλάτους του σήματος Το φάσμα πλάτους του σήματος xxδδ(t)(t) αποτελείται από το φάσμα αποτελείται από το φάσμα πλάτους του σήματος πλάτους του σήματος x(t)x(t) και τις άνω και κάτω πλευρικές ζώνες του και τις άνω και κάτω πλευρικές ζώνες του στις συχνότητες, στις συχνότητες, ffss, 2f, 2fss, 3f, 3fss, … , … Επίσης, το φάσμα φάσης του σήματος Επίσης, το φάσμα φάσης του σήματος xxδδ(t)(t) αποτελείται από το φάσμα φάσης του σήματος αποτελείται από το φάσμα φάσης του σήματος x(t)x(t) και τις άνω και και τις άνω και κάτω πλευρικές ζώνες του στις συχνότητες, κάτω πλευρικές ζώνες του στις συχνότητες, ffss, 2f, 2fss, 3f, 3fss, …, …

Ts 2Ts 3Ts 4Ts 3Ts 2Ts Ts 0 t

x(t)

Ts 2Ts 3Ts 4Ts 3Ts 2Ts Ts 0 t

xδ(t)

OOδηγώντας το σήμα δηγώντας το σήμα xxδδ(t) (t) σε σε ιδανικό βαθυπερατό φίλτροιδανικό βαθυπερατό φίλτρο LPF LPF με με

συχνότητα αποκοπής συχνότητα αποκοπής ffss/2/2, , ανακτούμε πλήρως το σήμα ανακτούμε πλήρως το σήμα x(t)x(t) αρκεί οι αρκεί οι

παραπάνω φασματικές ζώνες να μην υπερκαλύπτονται μεταξύ τους. Αυτό παραπάνω φασματικές ζώνες να μην υπερκαλύπτονται μεταξύ τους. Αυτό εξασφαλίζεται αν εξασφαλίζεται αν ffss--ffxx≥f≥fxx, , δηλ. ανδηλ. αν ισχύει η ισχύει η συνθήκη του συνθήκη του NyquistNyquist

ffss≥2f≥2fxx

0 fx

│X(f)│

f

A│TSxδ(f)│

3fs2fsfx fs fx fs fs+fx

LPF

AAA

f

A

0

fs/2

((αα)) (β)(β)

Τα φάσματα πλάτους (α) του σήματος μηνύματος Τα φάσματα πλάτους (α) του σήματος μηνύματος x(t)x(t) και (β) του και (β) του σήματος ιδανικής δειγματοληψίας Τσήματος ιδανικής δειγματοληψίας Τssxxδδ(t)(t)

Όσα είπαμε παραπάνω αποτελούν το Όσα είπαμε παραπάνω αποτελούν το Θεώρημα της Θεώρημα της ΔειγματοληψίαςΔειγματοληψίας, το οποίο αναδιατυπώνουμε πλέον ως εξής: Αν σε , το οποίο αναδιατυπώνουμε πλέον ως εξής: Αν σε σήμα σήμα xx((tt), που έχει φάσμα με μέγιστη συχνότητα ), που έχει φάσμα με μέγιστη συχνότητα ffxx, κάνουμε , κάνουμε

δειγματοληψία με συχνότητα δειγματοληψία με συχνότητα ffss, , μεγαλύτερη ή ίσημεγαλύτερη ή ίση από τη συχνότητα από τη συχνότητα

22ffxx, μπορούμε από τα δείγματα να ανακτήσουμε πλήρως το σήμα , μπορούμε από τα δείγματα να ανακτήσουμε πλήρως το σήμα

xx((tt). Προς τούτο πολλαπλασιάζουμε κάθε δείγμα επί την κρουστική ). Προς τούτο πολλαπλασιάζουμε κάθε δείγμα επί την κρουστική συνάρτηση που βρίσκεται στην ίδια χρονική θέση με το δείγμα και συνάρτηση που βρίσκεται στην ίδια χρονική θέση με το δείγμα και περνάμε τον προκύπτοντα συρμό κρουστικών συναρτήσεων από περνάμε τον προκύπτοντα συρμό κρουστικών συναρτήσεων από ιδανικό βαθυπερατό φίλτροιδανικό βαθυπερατό φίλτρο που έχει ζώνη διέλευσης που έχει ζώνη διέλευσης (0, (0, ffss/2)./2). Στην Στην

έξοδο του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου παίρνουμε το σήμα έξοδο του ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου παίρνουμε το σήμα xx((tt) ) πολλαπλασιασμένο επί κάποια σταθερά. πολλαπλασιασμένο επί κάποια σταθερά.

Μαθηματική έκφραση του σήματος Μαθηματική έκφραση του σήματος x(t)x(t) συναρτήσει συναρτήσει των δειγμάτων του των δειγμάτων του x(kTx(kTss), k=0, ), k=0, ±1, ±2, …±1, ±2, …::

Αφού οι συναρτήσεις Αφού οι συναρτήσεις sinc sinc έχουν μη μηδενικές τιμές για έχουν μη μηδενικές τιμές για t<0, t<0, το σύστημα ιδανικής δειγματοληψίας είναι μη το σύστημα ιδανικής δειγματοληψίας είναι μη πραγματοποιήσιμο πραγματοποιήσιμο (non causal). (non causal). Για κάθε δείγμα Για κάθε δείγμα x(kTx(kTss)) θα πρέπει το σύστημα να έχει αρχίσει, θεωρητικά πριν θα πρέπει το σύστημα να έχει αρχίσει, θεωρητικά πριν από άπειρο χρόνο, τη δημιουργία της αντίστοιχης από άπειρο χρόνο, τη δημιουργία της αντίστοιχης συνάρτησης συνάρτησης sinc sinc και, μάλιστα πολλαπλασιασμένης επί και, μάλιστα πολλαπλασιασμένης επί τον άγνωστο ακόμα συντελεστή τον άγνωστο ακόμα συντελεστή x(kTx(kTss)). .

( ) ( )sin [ ( )]s s sk

x t x kT c f t kT

6.36.3 Μη ιδανική δειγματοληψία – Δειγματοληψία και Μη ιδανική δειγματοληψία – Δειγματοληψία και συγκράτησησυγκράτηση

Αντί της κρουστικής συνάρτησης δ χρησιμοποιούμε για την αναδημιουργία Αντί της κρουστικής συνάρτησης δ χρησιμοποιούμε για την αναδημιουργία του σήματος του σήματος x(t)x(t) ορθογωνικό παλμό ορθογωνικό παλμό p(t) p(t) και από τα δείγματα και από τα δείγματα x(kTx(kTss), k=0, ), k=0, ±1, ±2, …±1, ±2, … δημιουργούμε το σήμα μη ιδανικής δειγματοληψίας δημιουργούμε το σήμα μη ιδανικής δειγματοληψίας xxpp(t)(t)::

Οι μετασχηματισμοί Οι μετασχηματισμοί Fourier Fourier του παλμού του παλμού p(t) p(t) και των σημάτων και των σημάτων xxδδ(t)(t) και και xxpp(t)(t) συνδέονται με τη σχέση Χσυνδέονται με τη σχέση Χpp(f)=P(f)X(f)=P(f)Xδδ(f). (f).

Για Για p(t)p(t) ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ είναι ορθογωνικό παλμό διάρκειας τ είναι P(f)P(f)=τ=τsincsinc((f/ff/fττ)), , όπουόπου f fττ=1/τ. =1/τ.

( ) ( ) ( )p s sk

x t x kT p t kT

τ t0

1

p(t)

(β)

Μη ιδανική δειγματοληψία. (α) Το σήμα Μη ιδανική δειγματοληψία. (α) Το σήμα xx((tt) (β) ο παλμός ) (β) ο παλμός pp((tt) και ) και (γ) ο συρμός ορθογωνικών παλμών (γ) ο συρμός ορθογωνικών παλμών xxpp((tt))

Μη ιδανική δειγματοληψία (α) Το φάσμα πλάτους σήματος Μη ιδανική δειγματοληψία (α) Το φάσμα πλάτους σήματος xx((tt) και ) και (β) το φάσμα πλάτους του σήματος μη ιδανικής δειγματοληψίας (β) το φάσμα πλάτους του σήματος μη ιδανικής δειγματοληψίας

xxpp((tt) για τ=Τ) για τ=Τss/2.6/2.6

0 t

x(t)

(α)

Ts 2Ts 3T 4Ts 3Ts 2Ts Ts τ0 t

xp(t)

(γ)

│X(f)│

f0

A

(α)

τ|sinc(f/fτ)|

0

LPF

f

│Xp(f)│

Aτ/Τs

fx fs/2 fs 2fs 3fsfτ

(β)

Μας ενδιαφέρει η παραμόρφωση των φασμάτων στη ζώνη (0, Μας ενδιαφέρει η παραμόρφωση των φασμάτων στη ζώνη (0, ffss/2) /2) που υπερκαλύπτει τη ζώνη που υπερκαλύπτει τη ζώνη (0, f(0, fxx) ) στην οποία βρίσκεται το σήμα στην οποία βρίσκεται το σήμα μηνύματος που θέλουμε να αναδημιουργήσουμε από τα δείγματά μηνύματος που θέλουμε να αναδημιουργήσουμε από τα δείγματά τουτου. . Αυτή προέρχεται από τη μεταβολή του Αυτή προέρχεται από τη μεταβολή του P(f)P(f) από τη συχνότητα 0 από τη συχνότητα 0 μέχρι τη συχνότητα μέχρι τη συχνότητα ffss/2. /2. Όσο μικρότερο είναι το τ τόσο μεγαλύτερο Όσο μικρότερο είναι το τ τόσο μεγαλύτερο είναι το είναι το ffττ, οπότε τόσο μικρότερη είναι και η μεταβολή του , οπότε τόσο μικρότερη είναι και η μεταβολή του P(f)P(f) στη στη ζώνη (0, ζώνη (0, ffss/2). /2).

Δειγματοληψία και συγκράτηση (Δειγματοληψία και συγκράτηση (sample and hold)sample and hold)

Αν λάβουμε τ=Αν λάβουμε τ=TTss, στο σήμα , στο σήμα xxpp(t)(t) η τιμή καθενός από τα δείγματα η τιμή καθενός από τα δείγματα διατηρείται μέχρι την έλευση του επόμενουδιατηρείται μέχρι την έλευση του επόμενου δείγματος. Τώρα το δείγματος. Τώρα το σήμα σήμα xxpp(t)(t) έχει την παρακάτω κλιμακωτή μορφή: έχει την παρακάτω κλιμακωτή μορφή:

Δειγματοληψία και συγκράτηση:Δειγματοληψία και συγκράτηση: (α) Σήμα (α) Σήμα xx((tt) (β) Σήμα ) (β) Σήμα δειγματοληψίας και συγκράτησης δειγματοληψίας και συγκράτησης xxSHSH((tt))

Η παραμόρφωση του φάσματος πλάτους του αναδημιουργούμενου Η παραμόρφωση του φάσματος πλάτους του αναδημιουργούμενου σήματος σήματος x(t) x(t) είναι μέγιστη. Στη συχνότητα είναι μέγιστη. Στη συχνότητα ffss/2 /2 αυτή φθάνει το 64%.αυτή φθάνει το 64%.

0 t

x(t)

(α)

3Ts 2Ts Ts Ts 2Ts 3Ts 4Ts0 t

xSH(t)

(β)

Κβαντοποίηση - ΚωδικοποίησηΚβαντοποίηση - Κωδικοποίηση

TTα δείγματα ενός σήματος α δείγματα ενός σήματος x(t)x(t) που λήφθηκαν με δειγματοληψία, για να αποσταλούν που λήφθηκαν με δειγματοληψία, για να αποσταλούν με ψηφιακό τρόπο, πρέπει να αντιστοιχιστούν σε δυαδικούς αριθμούς. Το διάστημα με ψηφιακό τρόπο, πρέπει να αντιστοιχιστούν σε δυαδικούς αριθμούς. Το διάστημα τιμών του σήματος τιμών του σήματος x(t) x(t) χωρίζεται σε χωρίζεται σε 22nn ζώνες (συνήθως ίσου εύρος), τις ζώνες ζώνες (συνήθως ίσου εύρος), τις ζώνες κβαντοποίησης. Το εύρος των ζωνών κβαντοποίησης ονομάζεται κβαντοποίησης. Το εύρος των ζωνών κβαντοποίησης ονομάζεται βήμα βήμα κβαντοποίησηςκβαντοποίησης qq. Όλα τα δείγματα που πέφτουν σε μια ζώνη κβαντοποίησης . Όλα τα δείγματα που πέφτουν σε μια ζώνη κβαντοποίησης αντιστοιχίζονται σε αντιστοιχίζονται σε μιαμια τιμή της ζώνης (συνήθως τη μεσαία τιμή της). Η αντιστοίχιση τιμή της ζώνης (συνήθως τη μεσαία τιμή της). Η αντιστοίχιση ενός δείγματος του σήματος ενός δείγματος του σήματος x(t)x(t) με τη μεσαία τιμή της ζώνης κβαντοποίησης, στην με τη μεσαία τιμή της ζώνης κβαντοποίησης, στην οποία αυτό πέφτει, συνιστά την οποία αυτό πέφτει, συνιστά την κβαντοποίησηκβαντοποίηση του δείγματος. του δείγματος.

Εύρος διαστήματος τιμών του σήματος Εύρος διαστήματος τιμών του σήματος x(t)x(t),, έστωέστω A A. Αριθμός . Αριθμός bitbit κωδικοποίησης, κωδικοποίησης, έστω έστω n.n. Πλήθος σταθμών κβαντοποίησης Πλήθος σταθμών κβαντοποίησης 22nn.. Βήμα κβαντοποίησης Βήμα κβαντοποίησης q=A/2q=A/2nn. .

Σφάλμα κβαντοποίησης = τιμή ενός δείγματος – κβαντοποιημένη τιμή του δείγματος. Σφάλμα κβαντοποίησης = τιμή ενός δείγματος – κβαντοποιημένη τιμή του δείγματος. Μέση τιμήΜέση τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης = του σφάλματος κβαντοποίησης = 00. . Μέση τετραγωνική τιμήΜέση τετραγωνική τιμή του του σφάλματος κβαντοποίησης σφάλματος κβαντοποίησης = = qq22/12/12..

Κάθε ζώνη κβαντοποίησης αντιστοιχίζεται (κωδικοποιείται) με ένα Κάθε ζώνη κβαντοποίησης αντιστοιχίζεται (κωδικοποιείται) με ένα n-bitn-bit δυαδικό δυαδικό αριθμό (προσημασμένον ή απροσήμαστον). Αυτό είναι η αριθμό (προσημασμένον ή απροσήμαστον). Αυτό είναι η κωδικοποίηση κωδικοποίηση των των κβαντοποιημένων δειγμάτων.κβαντοποιημένων δειγμάτων.

Παράδειγμα κβαντοποίησης - κωδικοποίησηςΠαράδειγμα κβαντοποίησης - κωδικοποίησης Σήμα τάσης Σήμα τάσης x(t)x(t) παίρνει τιμές στο διάστημα από –2 παίρνει τιμές στο διάστημα από –2 Volt Volt μέχρι +2 μέχρι +2 VoltVolt. .

Χρησιμοποιούνται 4 Χρησιμοποιούνται 4 bitsbits για την κωδικοποίηση των κβαντοποιημένων δειγμάτων. για την κωδικοποίηση των κβαντοποιημένων δειγμάτων. Τα δείγματα που πέφτουν στη χαμηλότερη ζώνη κβαντοποίησης κωδικοποιούνται με Τα δείγματα που πέφτουν στη χαμηλότερη ζώνη κβαντοποίησης κωδικοποιούνται με

0000 και τα δείγματα που πέφτουν στην ψηλότερη κωδικοποιούνται με 1111 (δηλ. τα 0000 και τα δείγματα που πέφτουν στην ψηλότερη κωδικοποιούνται με 1111 (δηλ. τα δείγματα κωδικοποιούνται με απροσήμαστους δυαδικούς αριθμούς). δείγματα κωδικοποιούνται με απροσήμαστους δυαδικούς αριθμούς).

Αριθμός σταθμών κβαντοποίησης=Αριθμός σταθμών κβαντοποίησης=2244=16. =16. Βήμα κβαντοποίησης Βήμα κβαντοποίησης q=q=[2–(–2)]/[2–(–2)]/2244=0,25 =0,25 VoltVolt. Μέση τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης = 0. Μέση τετραγωνική τιμή του . Μέση τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης = 0. Μέση τετραγωνική τιμή του σφάλματος κβαντοποίησης σφάλματος κβαντοποίησης qq22/12=/12=0,0052 0,0052 VoltVolt22. O. Oι στάθμες μετάβασης από ζώνη σε ι στάθμες μετάβασης από ζώνη σε ζώνη (από κάτω προς τα πάνω) είναι –1,75, –1,5, –1,25, –1, –0,75, –0,5, –0,25, 0, ζώνη (από κάτω προς τα πάνω) είναι –1,75, –1,5, –1,25, –1, –0,75, –0,5, –0,25, 0, 0,25, 0,50, 0,75, 1, 1,25, 1,5 και 1,75 0,25, 0,50, 0,75, 1, 1,25, 1,5 και 1,75 VoltVolt. .

Δείγμα που έχει τιμή –1,735 Δείγμα που έχει τιμή –1,735 VoltVolt πέφτει στη δεύτερη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, πέφτει στη δεύτερη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 0001. Δείγμα που έχει τιμή +0,0012 οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 0001. Δείγμα που έχει τιμή +0,0012 VoltVolt πέφτει στην ένατη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον πέφτει στην ένατη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 1000. Δείγμα που έχει τιμή +1,5342 δυαδικό αριθμό 1000. Δείγμα που έχει τιμή +1,5342 VoltVolt πέφτει στη δέκατη πέμπτη πέφτει στη δέκατη πέμπτη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 1110. από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 1110. Δείγμα που έχει τιμή +0,1 Δείγμα που έχει τιμή +0,1 VoltVolt πέφτει στην ένατη δεύτερη από κάτω ζώνη πέφτει στην ένατη δεύτερη από κάτω ζώνη κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 1000.κβαντοποίησης, οπότε κωδικοποιείται με τον δυαδικό αριθμό 1000.

Τα δείγματα +0,0012 Τα δείγματα +0,0012 VoltVolt και +0,1 και +0,1 VoltVolt πέφτουν στην ίδια ζώνη κβαντοποίησης, πέφτουν στην ίδια ζώνη κβαντοποίησης, επομένως κωδικοποιούνται με τον ίδιο δυαδικό αριθμό 1000.επομένως κωδικοποιούνται με τον ίδιο δυαδικό αριθμό 1000.

Ζώνες και στάθμες κβαντοποίησης και κωδικοποίηση κβαντοποιημένων δειγμάτωνΖώνες και στάθμες κβαντοποίησης και κωδικοποίηση κβαντοποιημένων δειγμάτων

..

+1,5342

+0,1+0,0012

–1,735

0000–1,75

–1,50

–1,25

–1,00

–0,75

–0,50–0,25 0,00+0,25

+0,50

+0,75

+1,00+1,25+1,50+1,75

+2,00

–2,00

0001

0010

0011

01000101

0110

01111000

10011010

1011

1100

11011110

1111

Στάθμες μετάβασης ζωνώνκβαντοποίησης

Κωδικοποίηση ζωνώνκβαντοποίησης