ΤΡΑΠΕΖΑ Α ΜΕΡΟΣ Docx

ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΤΟΠΟΣ: www. mathematica.gr

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

1. GI_A_ALG_2_474

Θεωρούμε την ακολουθία των θετικών περιττών αριθμών:

1. Να αιτιολογήσετε γιατί η είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

όρο της. (Μονάδες 15)

2. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθμών είναι ίσο με

το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

1. .Ο νιοστός όρος της αριθμητικής προόδου δίνεται από τον τύπο:

.

Άρα, .

2. Η αριθμητική πρόοδος έχει όρους του θετικούς περιττούς αριθμούς, το

άθροισμα των πρώτων όρων της είναι:

2. GI_A_ALG_2_477

Δίνεται η συνάρτηση , με

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης . (Μονάδες 7)

2. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης . (Μονάδες 9)

3. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με τους άξονες και

(Μονάδες 9)ΛΥΣΗ

1. Πρέπει . Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι

2. Το τριώνυμο έχει ρίζες τις και , αφού:

και άρα .

Οπότε, .

Επομένως, για .

3. Για να τέμνει η γραφική παράσταση της τον άξονα πρέπει , δηλαδή

. Άρα στο σημείο .

Για να τέμνει η γραφική παράσταση της τον άξονα πρέπει , δηλαδή

. Άρα στο σημείο .

3. GI_A_ALG_2_478

Δίνεται η εξίσωση: , με παράμετρο .

1. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό , ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες πραγματικές. (Μονάδες 12)

2. Να λύσετε την ανίσωση: , όπου και είναι αντίστοιχα το άθροισμα

και το γινόμενο των ριζών της .(Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Για να έχει η πραγματικές λύσεις πρέπει .

Άρα, .

Το τριώνυμο έχει ρίζες τις και . (Εντός των ριζών ετερόσημο

του )

Γιατί:

και

Επομένως, .

2. Από τους τύπους έχουμε: και .

Επομένως, . Όμως

, οπότε .

4. GI_A_ALG_2_480

Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει καθίσματα

περισσότερα από την προηγούμενη. Η 7η σειρά έχει καθίσματα και το πλήθος των

καθισμάτων του σταδίου είναι .

1. Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. (Μονάδες 12)

2. Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Το πλήθος καθισμάτων της κάθε σειράς διαφέρει από το πλήθος των καθισμάτων της προηγούμενης κατά τον σταθερό αριθμό . Άρα είναι αριθμητική πρόοδος με

διαφορά και πρώτο όρο το πλήθος καθισμάτων της πρώτης σειράς.

2. Η 7η σειρά έχει καθίσματα, άρα στον τύπο για έχουμε:

Το άθροισμα των καθισμάτων των σειρών είναι άρα στον τύπο

για έχουμε:

Τότε:

Ο αριθμός των καθισμάτων στις δέκα σειρές είναι:

5. GI_A_ALG_2_481

Δίνεται η εξίσωση , με παράμετρο .

1. Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

2. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε

(Μονάδες 8)

3. Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του

ισχύει: . (Μονάδες 9)ΛΥΣΗ

1. Είναι

2. Επειδή για κάθε είναι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς.

3. Από τους τύπους έχουμε: .Οπότε,

.

6. GI_A_ALG_2_483

1. Να λύσετε την εξίσωση . (Μονάδες 12)

2. Αν με είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την

εξίσωση . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1.

2. Από το (α) ερώτημα , άρα και .

Η εξίσωση γίνεται και έχει διακρίνουσα:

και ρίζες .

7. GI_A_ALG_2_484

1. Να λύσετε τις ανισώσεις και (Μονάδες 16)2. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α). (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

1. Έχουμε,

Για να λύσουμε την , λύνουμε την αντίστοιχη εξίσωση και φτιάχνουμε πίνακα προσήμου.

Η διακρίνουσα είναι και οι ρίζες είναι .

x −∞ -1/2 1 +∞

2 x2−x−1 + - +

Από τον πίνακα προσήμου βρίσκουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι:

2. Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι τα .

8. GI_A_ALG_2_485

Δίνεται η εξίσωση , με παράμετρο .

1.Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

. (Μονάδες 8)

2.Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8)

3.Για ποια τιμή του η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

1.Έχουμε,

2.Για να έχει η εξίσωση ακριβώς μία λύση πρέπει και αρκεί:

Για την μοναδική λύση, έχουμε: .

3.Για να είναι η εξίσωση ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών πρέπει

και αρκεί:

9. GI_A_ALG_2_486

Αν , τότε:

1.Να αποδείξετε ότι: . (Μονάδες 13)

77

2.Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

1. Είναι

Άρα:

2. Είναι άρα και από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι ,

επομένως .

Από την υπόθεση ισχύει και τα μέλη της ανισότητας είναι θετικά, άρα .

Συνεπώς: .

10. GI_A_ALG_2_487

1. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς ισχύει:

. (Μονάδες 12)

2. Να βρείτε τους αριθμούς ώστε: . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς έχουμε:

2. Είναι,

11. GI_A_ALG_2_488

Δίνεται η συνάρτηση , με

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της . (Μονάδες 5)

2. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο . (Μονάδες 10)

3. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: . (Μονάδες 10)ΛΥΣΗ

1. Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού το κλάσμα πρέπει και αρκεί:

.

Επομένως το σύνολο ορισμού της συνάρτησης είναι το .

2. Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα ,

οπότε έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις

Είναι και

Άρα .

3. Για κάθε ισχύει:

12. GI_A_ALG_2_489

1. Να λύσετε την ανίσωση . (Μονάδες 8)

2. Να λύσετε την ανίσωση . (Μονάδες 8)3. Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των

πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων. (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

1. Έχουμε, .

2. Είναι, .3. Η παράσταση των λύσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών έχει ως

φαίνεται παρακάτω:

Όπως φαίνεται από τον άξονα το σύνολο των κοινών λύσεων είναι το διάστημα .

13. GI_A_ALG_2_490

Δίνεται το τριώνυμο .

1. Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10)

2. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: (Μονάδες 5)

3. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί και είναι λύσεις της ανίσωσης: (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

1. Έχουμε , οπότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες

πραγματικές ρίζες, τις .

Είναι και .

2. .

3. Είναι άρα

Έχουμε ότι: .

Είναι , άρα .

Οπότε οι αριθμοί και ανήκουν στο διάστημα των λύσεων που βρήκαμε στο

(β) και συνεπώς είναι λύσεις της ανίσωσης .

14. GI_A_ALG_2_491

Δίνονται οι ανισώσεις: και

1. Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)2. Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

1. Για την πρώτη ανίσωση έχουμε ,

ενώ για τη δεύτερη

.

2. Oι κοινές τους λύσεις είναι ή .

15. GI_A_ALG_2_492

Δίνεται η συνάρτηση .

1. Να υπολογίσετε το άθροισμα . (Μονάδες 10)

2. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της με τους άξονες. (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

1.

2. Για να βρούμε το κοινό σημείο της γραφικής της παράστασης της με τον άξονα

θέτουμε όπου και παίρνουμε:

Επομένως το κοινό σημείο είναι το

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της με τον άξονα

θέτουμε όπου δηλαδή: ,

αφού και οι ρίζες είναι:

,

Επομένως τα κοινά σημεία είναι τα και .

16. GI_A_ALG_2_493

1. Να λύσετε την εξίσωση . (Μονάδες 10)2. Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α)

ερωτήματος. (Μονάδες 15)ΛΥΣΗ

1. Έχουμε, .2. Για να βρούμε μια δευτεροβάθμια εξίσωση ενώ ξέρουμε τις ρίζες της,

χρησιμοποιούμε τον τύπο όπου

και

Άρα .

17. GI_A_ALG_2_495

Σε γεωμετρική πρόοδο με θετικό λόγο , ισχύει: και

1. Να βρείτε το λόγο της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13)

2. Να αποδείξετε ότι ο -οστός όρος της προόδου είναι: . (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1. Είναι,

2.

Άρα

18. GI_A_ALG_2_496

Δίνεται η εξίσωση με παράμετρο .

1. Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

2. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε . (Μονάδες 8)

3. Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του

ισχύει: . (Μονάδες 9)ΛΥΣΗ

1.

2. Βλέπουμε ότι

Επομένως η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε .

3. Από τους τύπους παίρνουμε:

και

Επομένως

19. GI_A_ALG_2_497Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόματά τους.

1. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος.2. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων

Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης .Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή.Γ: Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο Δημήτρης.ΛΥΣΗ

1. Θα βρούμε το δειγματικό χώρο με πίνακα διπλής εισόδου : Α Γ

Δ Κ Μ

Ε ΕΔ ΕΚ ΕΜ

Ζ ΖΔ ΖΚ ΖΜ

Επομένως: και

2. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:

Κ: διαγωνίστηκε ο Κώστας, με και

Μ: διαγωνίστηκε ο Μιχάλης, με και

Δ: διαγωνίστηκε ο Δημήτρης, με και

Β : διαγωνίστηκε η Ζωή, με και Τότε:

με , και

με Άρα:

,

και

20. GI_A_ALG_2_498

1. Να λύσετε την εξίσωση: . (Μονάδες 9)

2. Nα λύσετε την ανίσωση: . (Μονάδες 9)3. Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της

ανίσωσης του (β) ερωτήματος. (Μονάδες 7)ΛΥΣΗ

1. Είναι:

2. Το τριώνυμο έχει , επομένως η

ανίσωση αληθεύει αν

3. Παρατηρούμε ότι και δηλαδή και οι δυο λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος

21. GI_A_ALG_2_499

Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 30% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% των μαθητών συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα:

Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και

Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου»,

1. να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα:

i.

ii.

iii.

iv. (Μονάδες 12)2. να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων

i. ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου

ii. ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1.i. Ο μαθητής να συμμετέχει στην θεατρική ομάδα ή την ποδοσφαιρική ομάδα.

ii. Ο μαθητής να συμμετέχει στην θεατρική ομάδα και στην ποδοσφαιρική ομάδα.iii. Ο μαθητής να συμμετέχει στην ποδοσφαιρική ομάδα αλλά όχι στην θεατρική ομάδα.iv. Ο μαθητής να μην συμμετέχει στην θεατρική ομάδα.

2. Από την υπόθεση της άσκησης γνωρίζουμε ότι:

.

i. Αναζητούμε ην πιθανότητα του ενδεχομένου .

Είναι

ii. Αναζητούμε την πιθανότητα του ενδεχομένου

Είναι

22. GI_A_ALG_2_503

1. Να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 9)

2. Να λύσετε την ανίσωση: . (Μονάδες 9)3. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του

άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με τη μορφή διαστήματος. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

1. Η ανίσωση ορίζεται στο .


3. Παριστάνουμε τα διαστήματα των προηγούμενων ερωτημάτων στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

και στη συνέχεια γράφουμε τις κοινές λύσεις με τη μορφή διαστήματος, δηλαδή προκύπτει

.

23. GI_A_ALG_2_504

1. Αν , να αποδειχθεί ότι: . (Μονάδες 15)

2. Αν , να αποδειχθεί ότι: . (Μονάδες 10)ΛΥΣΗ

1. , το οποίο ισχύει για

κάθε πάντα .

2. Αν τότε , συνεπώς:

που ισχύει λόγω του πρώτου ερωτήματος.

24. GI_A_ALG_2_505

1. Να λύσετε την εξίσωση: . (Μονάδες 9)

2. Να λύσετε την ανίσωση: . (Μονάδες 9)3. Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του (β)

ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)ΛΥΣΗ

1. Η εξίσωση ορίζεται στο .


3. Είναι προφανές ότι:

Επειδή ,η λύση της εξίσωσης του ερωτήματος α) δεν περιέχεται στο σύνολο των λύσεων της ανίσωσης του ερωτήματος β).

Τελικά, μόνο η λύση είναι και λύση της ανίσωσης του (β) ερωτήματος..

25. GI_A_ALG_2_506

Αν και , να βρείτε μεταξύ ποιών ορίων βρίσκεται η τιμή καθεμιάς

από τις παρακάτω παραστάσεις:

1. (Μονάδες 5)

2. (Μονάδες 10)

3. (Μονάδες 10)ΛΥΣΗ

1.

2.

3.

26. GI_A_ALG_2_507

Δίνεται η εξίσωση: , με παράμετρο

1. Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το , να γράψετε τρεις εξισώσεις. (Μονάδες 6)

2. Να προσδιορίσετε τις τιμές του , ώστε η να έχει μία και μοναδική λύση. (Μονάδες 9)

3. Να βρείτε την τιμή του , ώστε η μοναδική λύση της να ισούται με (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

1. Διαδοχικά για έχουμε:

2. Η έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν,

3. Η μοναδική λύση της (1), ισούται με 4, αν και μόνο αν,

και

27. GI_A_ALG_2_508

1. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων .

(Μονάδες 12)2. Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να

χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με γενικό όρο , πρώτο όρο και διαφορά

. Το άθροισμα βρίσκεται από τον τύπο:

.

2. Έστω ότι πρέπει να πάρουμε το πλήθος πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους.

Ο είναι λύση της εξίσωσης

Η ορίζεται στο Έχουμε:

28. GI_A_ALG_2_509

1. Αν , να αποδειχθεί ότι: . (Μονάδες 15)

2. Πότε ισχύει η ισότητα στην ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)ΛΥΣΗ

1. Για

το παραπάνω ισχύει πάντα.

2. Η ισότητα στην ισχύει αν και μόνο αν:

29. GI_A_ALG_2_510

Δίνεται η συνάρτηση , με:

1. Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε μορφή διαστήματος. (Μονάδες 8)

2. Να υπολογίσετε τις τιμές και .(Μονάδες 8)

3. Να λύσετε την εξίσωση . (Μονάδες 9)ΛΥΣΗ

1. Το πεδίο ορισμού ισούται με την ένωση των διαστημάτων που ορίζουν οι κλάδοι της

συνάρτησης, έτσι έχουμε: . Άρα .2. Με κατάλληλη επιλογή κάθε κλάδου:

3.

30. GI_A_ALG_2_936

Δίνεται η παράσταση:

1. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

2. Να αποδείξετε ότι η παράσταση είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του . (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

1. Η παράσταση ορίζεται αν και μόνο αν:

,

άρα ορίζεται για εκείνα τα τα οποία βρίσκονται στο διάστημα .

2. Για έχουμε:

31. GI_A_ALG_2_938

1. Να δείξετε ότι: . (Μονάδες 12)

2. Να συγκρίνετε τους αριθμούς και . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Έχουμε: το οποίο ισχύει.2. Από το πρώτο ερώτημα έχουμε:

ενώ , άρα

32. GI_A_ALG_2_944

Δίνεται η παράσταση: .

1. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του σε μορφή διαστήματος. (Μονάδες 13)

2. Για , να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1. Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει:

και

ή ισοδύναμα, για

και .

Άρα, για .

2. Για , έχουμε και τότε:

33. GI_A_ALG_2_947

Δίνεται η παράσταση: .


2. Αν , να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει

και

ή ισοδύναμα

για .

2. Αν , τότε

Τότε:

34. GI_A_ALG_2_950



2. Αν , να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1. Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει

και

ή ισοδύναμα

και

Άρα, .


Οπότε:

35. GI_A_ALG_2_952


1. Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του υπό μορφή διαστήματος. (Μονάδες 13)

2. Για , να αποδείξετε ότι (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1. Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει .

Έχουμε λοιπόν:


Οπότε:

36. GI_A_ALG_2_955

Δίνονται οι αριθμοί: και .

1. Να δείξετε ότι: . (Μονάδες 13)

2. Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς: . (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

1. Έχουμε:

και

Άρα,

2. Από το ερώτημα α) έχουμε Άρα,

Επίσης, .

Οπότε,

37. GI_A_ALG_2_991

Αν ο πραγματικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση:

1. να δείξετε ότι . (Μονάδες 12)

2. να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: είναι αριθμός ανεξάρτητος του . (Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

1. Έχουμε, ,

δηλαδή .

2. Από το πρώτο ερώτημα έχουμε . Οπότε:

Συνεπώς , δηλαδή ο είναι σταθερός και ανεξάρτητος του .

38. GI_A_ALG_2_996

Δίνεται η παράσταση: , με πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους

ισχύει: και .

Να αποδείξετε ότι:

1. . (Μονάδες 12)

2. . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Είναι, Οπότε:

2. Έχουμε,

39. GI_A_ALG_2_999

1. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο . (Μονάδες 12)

2. Δίνεται η συνάρτηση .

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. (Μονάδες 5)

ii. Nα αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: . (Μονάδες 8)ΛΥΣΗ

1. Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι . Άρα, το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις:

Οπότε, .

2.

i. Η συνάρτηση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία ισχύει:

Ισοδύναμα, λόγω και του πρώτου ερωτήματος, για και .

Άρα .

ii. Για κάθε , έχουμε .

40. GI_A_ALG_2_1003

Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. Δίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ

K: η μπάλα που επιλέγουμε είναι KOKKINH

Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ

1. Χρησιμοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόμενα:

i. Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη,ii. Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη. (Μονάδες 13)2. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του

ερωτήματος (α). (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1.

i. : Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη

ii. : Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη

2. και

.

41. GI_A_ALG_2_1005

Δίνονται οι παραστάσεις και όπου ο είναι πραγματικός αριθμός.

1. Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις πρέπει:

και . (Μονάδες 12)

2. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1. Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία .

Η παράσταση ορίζεται για εκείνα τα για τα οποία

και .

Άρα, για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις και πρέπει:

και

2. Για και έχουμε:

Είναι . Άρα, .

Επομένως η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις

Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης (1) είναι οι και αφού είναι , άρα

δεκτή λύση είναι η .

42. GI_A_ALG_2_1007

1. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: . (Μονάδες 15)

2. Να λύσετε την εξίσωση: . (Μονάδες 10)ΛΥΣΗ

1. Είναι

Είναι . Άρα .

Επομένως η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις .


η οποία από το ερώτημα (α) έχει ρίζες τις από όπου δεχόμαστε μόνο την

, αφού θεωρήσαμε .

43. GI_A_ALG_2_1009

Δίνεται η παράσταση: , όπου ο είναι πραγματικός αριθμός.

1. Να αποδείξετε ότι

i. για κάθε

ii. για κάθε . (Μονάδες 12)

2. Αν για τον x ισχύει ότι να αποδείξετε ότι: . (Μονάδες 13)ΛΥΣΗ

1.

i. Για κάθε . Επομένως οπότε η

παράσταση γίνεται:

ii. Για κάθε . Επομένως

οπότε η παράσταση γίνεται:

2. Για κάθε . Επομένως και άρα είναι

.

44. GI_A_ALG_2_1015

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με όρους .

1. Να αποδείξετε ότι και , όπου είναι η διαφορά της προόδου και ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 10)

2. Να αποδείξετε ότι ο όρος της προόδου είναι ίσος με

και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με . (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

1. Είναι

2. Είναι

Για να βρούμε ποιος όρος της αριθμητικής προόδου ισούται με αρκεί να βρούμε το

ώστε .

Έχουμε . Άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο .

45. GI_A_ALG_2_1024

Δίνεται η συνάρτηση , όπου πραγματικοί αριθμοί.

1. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία

, να βρείτε τις τιμές των . (Μονάδες 13)

2. Αν και , να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης με τους άξονες και . (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1. Αφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία

, οι συντεταγμένες τους θα την επαληθεύουν, δηλαδή:

(1) και (2)

Από (1) και (2) προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε:

Για η (1) δίνει

2. Για και ο τύπος της συνάρτησης γίνεται:

Για τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα

λύνουμε την εξίσωση . Συνεπώς το ζητούμενο σημείο

είναι το .

Για τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα

βάζουμε στην . Έτσι έχουμε και το ζητούμενο

σημείο είναι το .

46. GI_A_ALG_2_1032

1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε οι αριθμοί: , με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. (Μονάδες 13)

2. Να βρείτε το λόγο της παραπάνω γεωμετρικής προόδου, όταν:

i.

ii. . (Μονάδες 12)ΛΥΣΗ

1. Αφού οι αριθμοί: , με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει:

2.

i. Για έχουμε τους όρους οπότε έχουμε λόγο .

ii. Για έχουμε τους όρους οπότε έχουμε λόγο .

ΤΡΑΠΕΖΑ Α ΜΕΡΟΣ Docx

Documents

Transcript of ΤΡΑΠΕΖΑ Α ΜΕΡΟΣ Docx