ISISS ISISS “ETTORE MAJORANA”“ETTORE MAJORANA”

S. MARIA A VICOS. MARIA A VICO(CE)(CE)

a.s.2014/2015a.s.2014/2015Pro.ssa Angela PellegrinoPro.ssa Angela Pellegrino

Il numero d’oro Il numero d’oro

Un po’ di storiaUn po’ di storiaSin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni frattali, esiste una proporzione

divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una divina (o sezione aurea) che è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura  alla dimensione armonica delle cose. Dalla geometria all'architettura, dalla pittura  alla musica, fino alla natura del creato possiamo osservare  come tale rappresentazione musica, fino alla natura del creato possiamo osservare  come tale rappresentazione corrisponda ad un rapporto che è stato definito numero pari a 1,618 corrisponda ad un rapporto che è stato definito numero pari a 1,618 

La piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto La piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto base/altezza corrisponde a 1,58  molto vicino a 1,6.base/altezza corrisponde a 1,58  molto vicino a 1,6.

Nei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di Nei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen, stanno tra  loro nel rapporto di 1,6.Sarsen, stanno tra  loro nel rapporto di 1,6.

La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la La pianta del Partenone di Atene è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo.

Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Nelle arti del passato, in molte opere di Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea (Bernardino Luini, Sandro Botticelli, si ricorreva spesso alla sezione aurea ( lala divina divina proportione), proportione), considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze.scienze.

Dalla sezione aurea al numero aureoDalla sezione aurea al numero aureo

Il numero aureo Il numero aureo è un numero irrazionale compreso fra 1 e 2. Vediamo come sia legato alla sezione è un numero irrazionale compreso fra 1 e 2. Vediamo come sia legato alla sezione aurea di un segmento.aurea di un segmento.

Dato un segmento AB se ne esegue la sezione aurea ('il taglio dorato') individuando un suo punto Dato un segmento AB se ne esegue la sezione aurea ('il taglio dorato') individuando un suo punto interno S tale che il quadrato di lato AS sia equivalente al rettangolo di lati AB e SB.interno S tale che il quadrato di lato AS sia equivalente al rettangolo di lati AB e SB.In modo del tutto equivalente si può dire che il segmento AS deve essere medio proporzionale tra In modo del tutto equivalente si può dire che il segmento AS deve essere medio proporzionale tra AB e SB.AB e SB.

A S BA S B

AB: AS = AS: SBAB: AS = AS: SBDette λ la misura del segmento AB e σ la misura del segmento AS si ha:Dette λ la misura del segmento AB e σ la misura del segmento AS si ha:λ : σ = σ : (λ - σ )λ : σ = σ : (λ - σ )Risolvendo la proporzione rispetto a σ si ottieneRisolvendo la proporzione rispetto a σ si ottieneσ σ 2 2 = λ = λ 2 2 - λ σ - λ σDa cui σ Da cui σ 2 2 + λ σ- λ + λ σ- λ 2 2 = 0 che risolta rispetto a = 0 che risolta rispetto a σ ha per risultato cioè: σ = σ ha per risultato cioè: σ = √5 -1√5 -1 λ non considerando la radice λ non considerando la radice

negativanegativa 2 2 Il segmento AS è detto Il segmento AS è detto parte aureaparte aurea del segmento AB mentre il rapporto del segmento AB mentre il rapporto AB AB è detto numero aureo è detto numero aureo ASASe si indica con e si indica con = = λ λ = = λ λ = = √5 +1 √5 +1 ≈ 1,61803398874989484≈ 1,61803398874989484 σ σ √5 -1√5 -1 λ 2 λ 2 22

PhiPhiuno strano numerouno strano numero

Il numero aureo è uno dei pochissimi numeri conosciuti il cui reciproco e Il numero aureo è uno dei pochissimi numeri conosciuti il cui reciproco e quadrato mantengono le medesime cifre decimali:quadrato mantengono le medesime cifre decimali:

Quindi Quindi 22 = = + + 1 e 1 e -1-1 = = - -11

Il numeroIl numero aureoaureoI primi utilizzatori di questo rapporto furono sicura I primi utilizzatori di questo rapporto furono sicura

mente i Greci. mente i Greci.   In un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametro In un'anfora greca (IV-III secolo a.C.) il diametro

maggiore sta al diametro del collo come 1:0,618; maggiore sta al diametro del collo come 1:0,618; il listello all'altezza dei manici divide l'altezza il listello all'altezza dei manici divide l'altezza totale in una proporzione aurea, che si riduce totale in una proporzione aurea, che si riduce anche nel rapporto tra la fascia decorata a figure anche nel rapporto tra la fascia decorata a figure e la parte superiore del vaso. e la parte superiore del vaso. Anche nell'architettura la sezione aurea è stata Anche nell'architettura la sezione aurea è stata applicata sin dai tempi più antichi. Il rapporto tra applicata sin dai tempi più antichi. Il rapporto tra lunghezza e larghezza nei templi greci era di lunghezza e larghezza nei templi greci era di preferenza 1:0,618 e il timpano era costruito preferenza 1:0,618 e il timpano era costruito come un triangolo isoscele avente un angolo al come un triangolo isoscele avente un angolo al vertice di 108vertice di 108°.°.

I Pitagorici e il pentagono I Pitagorici e il pentagono aureoaureo

La La sezione aureasezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio regolare inscritto in una circonferenza di raggio r r è la sezione aurea del raggio e è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 puntestella a 5 punte che i che i Pitagorici chiamarono Pitagorici chiamarono pentagramma pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ed e considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni à congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni à un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea , da cui è nata . Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea , da cui è nata . Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aureaaurea

All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°. Ogni lato due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli

36°, 36°, 108°. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua 36°, 36°, 108°. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due

segmenti che stanno nel rapporto aureo.segmenti che stanno nel rapporto aureo.

Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato Il matematico pisano Leonardo Fibonacci fu ricordato soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai soprattutto per via della sua sequenza divenuta ormai celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale celeberrima. L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri all’anno 1202. Essa si compone di una serie di numeri (0,1,1,2,3,5,8,13,21…).(0,1,1,2,3,5,8,13,21…).Tra i numeri di questa successione esiste una relazione per Tra i numeri di questa successione esiste una relazione per cui ogni termine successivo è uguale alla somma dei due cui ogni termine successivo è uguale alla somma dei due immediatamente precedenti. Più importante dal nostro immediatamente precedenti. Più importante dal nostro punto di vista è però il fatto che il rapporto tra due termini punto di vista è però il fatto che il rapporto tra due termini successivi si avvicini molto rapidamente a 0,61, la parte successivi si avvicini molto rapidamente a 0,61, la parte decimale del numero aureo:decimale del numero aureo:1:2=0,500 8:13=0,615 1:2=0,500 8:13=0,615 2:3=0,667 13:21=0,6192:3=0,667 13:21=0,6193:5=0,600 21:34=0,6183:5=0,600 21:34=0,6185:8=0,625 34:55=0,6185:8=0,625 34:55=0,618

In natura diversi tipi di conchiglie (ad In natura diversi tipi di conchiglie (ad esempio quella del Nautilus) hanno una esempio quella del Nautilus) hanno una forma a spirale fatta secondo i numeri di forma a spirale fatta secondo i numeri di Fibonacci. Fibonacci.

numero aureo e corpo numero aureo e corpo umanoumano

In natura il rapporto aureo è riscontrabile in molte dimensioni In natura il rapporto aureo è riscontrabile in molte dimensioni del corpo umano. Se moltiplichiamo per 1,618 la distanza del corpo umano. Se moltiplichiamo per 1,618 la distanza che in una persona adulta e proporzionata, va dai piedi che in una persona adulta e proporzionata, va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la distanza dal all'ombelico, otteniamo la sua statura. Così la distanza dal gomito alla mano (con le dita tese), moltiplicata per 1,618, gomito alla mano (con le dita tese), moltiplicata per 1,618, dà la lunghezza totale del braccio. La distanza che va dal dà la lunghezza totale del braccio. La distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata per il numero d'oro, dà la ginocchio all'anca, moltiplicata per il numero d'oro, dà la lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche nella lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare sono aurei, così il volto umano è tutto scomponibile in una sono aurei, così il volto umano è tutto scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.  griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.  

                                                            

" " Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo Nessuno capiva meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano. Leonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte umano. Leonardo disseppelliva i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è della struttura ossea umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito  di elementi che stanno tra di loro in rapporto di letteralmente costituito  di elementi che stanno tra di loro in rapporto di phi."phi."

  Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa. Tutti l'avevano guardato con aria dubbiosa. "Non mi credete?""Non mi credete?" li aveva li aveva sfidati Langdon , sfidati Langdon , " la prossima volta che fate la doccia, portatevi un " la prossima volta che fate la doccia, portatevi un metro."metro."

  Un paio di giocatori di football avevano riso di lui.Un paio di giocatori di football avevano riso di lui. " Non soltanto voi " Non soltanto voi scimmioni insicuri" scimmioni insicuri" aveva continuato Langdonaveva continuato Langdon. "Tutti , maschi e . "Tutti , maschi e femmine. Fate la prova. Misurate la  vostra altezza poi dividetela per la femmine. Fate la prova. Misurate la  vostra altezza poi dividetela per la distanza da terra del vostro ombelico. Indovinate che numero si ottiene."distanza da terra del vostro ombelico. Indovinate che numero si ottiene."

    "non phi!" aveva detto uno degli "scimmioni".  "Proprio phi, invece" - "non phi!" aveva detto uno degli "scimmioni".  "Proprio phi, invece" - aveva risposto Langdon. " uno virgola seicentodiciotto. Volete un altro aveva risposto Langdon. " uno virgola seicentodiciotto. Volete un altro esempio? Misurate la  distanza dalla spalla alla punta delle dita e esempio? Misurate la  distanza dalla spalla alla punta delle dita e dividetela per la  distanza dal gomito alla punta delle dita. Di nuovo phi. dividetela per la  distanza dal gomito alla punta delle dita. Di nuovo phi. Altro  esempio? Dal fianco al pavimento diviso per la distanza dal Altro  esempio? Dal fianco al pavimento diviso per la distanza dal ginocchio al pavimento. di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le ginocchio al pavimento. di nuovo phi. Le articolazioni delle dita, le sezioni della colonna vertebrale, Ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è sezioni della colonna vertebrale, Ancora phi. Amici miei ciascuno di voi è il tributo ambulante alla proporzione divina."   (...) il tributo ambulante alla proporzione divina."   (...) 

Tratto da “Il codice da Vinci di Dan BrownTratto da “Il codice da Vinci di Dan Brown

L’uomo di VitruvioL’uomo di Vitruvio

L'uso della S.A. nelle opere del compositore francese Debussy L'uso della S.A. nelle opere del compositore francese Debussy è stato indagato a fondo, Vale la pena però soffermarsi sul è stato indagato a fondo, Vale la pena però soffermarsi sul famoso preludio pianistico, perché, fra le altre cose, è uno famoso preludio pianistico, perché, fra le altre cose, è uno splendido esempio di numerologia applicata alle splendido esempio di numerologia applicata alle «proporzioni auree».«proporzioni auree».

Il brano Il brano La Cathédrale EngloutieLa Cathédrale Engloutie consta di 89 misure consta di 89 misure organizzate su una segnatura di tempo dall'aspetto organizzate su una segnatura di tempo dall'aspetto sottilmente ambiguo: 6/4 = 3/2. L'interpretazione sottilmente ambiguo: 6/4 = 3/2. L'interpretazione dell'autore (conservata su rullo di pianola) risulta in dell'autore (conservata su rullo di pianola) risulta in contrasto con le indicazioni dell'edizione a stampa (Durand contrasto con le indicazioni dell'edizione a stampa (Durand 1910), Debussy suona infatti le 68 btt. “identificabili” con la 1910), Debussy suona infatti le 68 btt. “identificabili” con la segnatura 3/2 (btt. 7÷12 e 22÷83) al doppio del tempo segnatura 3/2 (btt. 7÷12 e 22÷83) al doppio del tempo iniziale, da cui: 89-68=21; 68:2=34; 34+21=55. Inutile ogni iniziale, da cui: 89-68=21; 68:2=34; 34+21=55. Inutile ogni commento, purché si rammentino i termini commento, purché si rammentino i termini (8.13.21.34.55.89) della serie di Fibonacci. (8.13.21.34.55.89) della serie di Fibonacci.

Debussy è affascinato dalla S.A. e dai suoi aspetti esoterici; Debussy è affascinato dalla S.A. e dai suoi aspetti esoterici; tanto da utilizzarla molto frequentemente nelle sue tanto da utilizzarla molto frequentemente nelle sue composizioni; e senza perdere l'occasione per “giocare” composizioni; e senza perdere l'occasione per “giocare” con i numeri o lanciare messaggi criptici: come la copertina con i numeri o lanciare messaggi criptici: come la copertina della partitura de della partitura de La MerLa Mer (Durand 1905) (Durand 1905)

MusicaMusica,, artearte,, naturanatura,, tutto tutto porta al numero aureo Phi porta al numero aureo Phi A noi non resta che godere A noi non resta che godere di questa armonia che ci di questa armonia che ci porta ancora una volta nel porta ancora una volta nel mondo magico della mondo magico della MatematicaMatematica