1 Numero´ s...

Exercıcios de Calculo p. Informatica, 2006-07 1

1 Numeros Reais.

Ex 1-1 Nas alıneas seguintes use os termos inteiro, racional, irracional, para clas-sificar o numero dado:

a) 177

b) −6

c) 2.(13) = 2.1313 · · · d)√

2− 3e) 81/3 f) π − 2

g) 0, 125 h) 9−√

9i) 0.(9) = 0.999 · · · j) 13 2

7

Ex 1-2 Se x = 0.333 · · · entao 10 x−x = 3.333 · · · − 0.333 · · · = 3. Logo 9 x = 3⇔ 3 x = 1 ⇔ x = 1/3. Usando o mesmo tipo de argumento represente osseguintes numeros racionais como fraccoes de inteiros:

a) 0.3939 · · · = 0.(39) b) 0.255255 · · · = 0.(255)

c) 9.7171 · · · = 9.(71) d) 4.66087087 · · · = 4.66(087)

Ex 1-3 Nos exercıcios seguintes substitua o sımbolo ∗ por <,> ou = de modo aobter afirmacoes correctas:

a) 34∗ 0.7 b) 0.33 ∗ 1

3

c)√

2 ∗ 1.414 d) 4 ∗√

16

e) −27∗ −0.285714 f) π ∗ 22

7

Ex 1-4 Em cada uma das alıneas seguintes encontre uma desigualdade da forma|x− c| < δ cuja solucao seja o intervalo aberto dado:

a) ]− 2, 2[ b) ]− 3, 3[c) ]0, 4[ d) ]− 3, 7[e) ]− 4, 0[ f) ]− 7, 3[

Ex 1-5 Determine todos os valores de x ∈ R tais que:


(a) |x− 4| ≤ 2

(b) |x + 1| > 3

2 Funcoes reais de variavel real.

Ex 2-1 Diga quais das seguintes aplicacoes sao: injectivas, sobrejectivas ou bijec-tivas:

(a) f : {a, b, c} → {1, 2, 3} tal que f(a) = 1, f(b) = 3 e f(c) = 1.

(b) f : {a, b, c, d} → {1, 2, 3} tal que f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 1 e f(d) = 3.

(c) f : {a, b, c} → {1, 2, 3, 4} tal que f(a) = 1, f(b) = 3 e f(c) = 4.

(d) f : N → N tal que f(x) = x + 1.

(e) f : R → R tal que f(x) = x2.

(f) f : [0, +∞[→ R tal que f(x) = x2.

(g) f : [0, +∞[→ [0, +∞[ tal que f(x) = x2.

Ex 2-2 Sejam c e f duas variaveis representando a mesma temperatura medidarespectivamente em graus Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relacao entrec e f e linear. O ponto de congelamento da agua e de c = 0oC ou f = 32oF. Atemperatura de ebulicao e de c = 100oC ou f = 212oF .

(a) Determine a formula de conversao da temperatura em graus Fahrenheit para atemperatura em graus Celsius.

(b) Existe alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheitsejam iguais? Determine-a em caso afirmativo.

(c) A relacao entre a temperatura absoluta k, medida em graus Kelvin (K), e atemperatura c, em graus Celsius (C), e linear. Sabendo que k = 273oK quandoc = 0oC e k = 373oK quando c = 100oC determine k em funcao de f .


Ex 2-3 Determine se cada curva e o grafico de uma funcao y = f(x). Em casoafirmativo,

a) indique o domınio e imagem (contra-domınio) da funcao f ,

b) determine se f e injectiva.

a)1 2

x

- 1

1

y

b)1 3

x

- 3

- 1

1

y

c)1 3

x

- 3

- 1

y

d)1 3

x

- 3

- 1

y

e)1 3

x

3

1

y

f)- 4 1 3 4

x

4

- 1

1

y


Ex 2-4 Determine f(x) sabendo que para todo x ∈ R:

(a) f(x + 3) = x2 − 2x + 5,

(b) f(x− 5) = 2x2 − 5x + 2.

Ex 2-5 Esboce o grafico das seguintes funcoes, indicando o seu domınio e con-tradomınio.

(a) y = 4x− 5 (b) y = 2x

(c) y = log2(x) (d) y = log2(x) + 6

(e) y = sin(x) (f) y = sin(2x)

(g) y = sin(ex) (h) y = tan(x)

Ex 2-6 Determine, analiticamente, se as seguintes funcoes sao injectivas:

(a) f :]0, +∞[→ R, f(x) = ln x .

(b) f :]0, +∞[→ R, f(x) = sin x .

(c) f :]−∞, +∞[→ R, f(x) = x2 .

(d) f :]0, +∞[→ R, f(x) = x2 .

Ex 2-7 Em cada uma das alıneas seguintes encontre uma expressao para a funcaodescrita, indicando o seu domınio.

(a) A area de um triangulo equilatero como funcao do comprimento do lado.

(b) A area do rectangulo indicado na figura como uma funcao da coordenada x doponto P .


(c) A area da superfıcie de um cubo em funcao do seu volume.

Ex 2-8 Seja f :]0, +∞[→ R a funcao que a x faz corresponder a abcissa do pontode interseccao do eixo dos xx com a tangente a parabola y = x2, no ponto (x, x2).Determine f(x) explicitamente.

Ex 2-9 Encontre uma formula possıvel para cada uma das funcoes representadaspelos graficos seguintes.

a)

-2 -1 1 2

1

3

b)

-2 -1 1 2

4

16

32

c) 1 2

1

2

d)-4 -3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

e)

-1 1 2 3

3

5

f) -2 2

-2

2

Ex 2-10 Usando a funcao logaritmo natural, resolva as seguintes equacoes:

a) 2 = (1.02)t b) 120 = 10t c) 40 = 100 e−t

d) 6t = 4× 2t e) 5 et = 10 f) 5× 2−t = 10× 3t


Ex 2-11 As funcoes seguintes representam a evolucao de diferentes populacoes debacterias, ao longo do tempo medido em horas, desde um certo instante inicial t = 0.

a) P1(t) = 10 (1.08)t b) P2(t) = 5 (1.17)t

c) P3(t) = 25 (0.79)t d) P4(t) = 10 (0.88)t

(a) Qual das populacoes tem a maior taxa de crescimento relativo?

(b) Qual das populacoes e maior no instante inicial t = 0?

(c) Qual das populacoes tem a maior taxa de crescimento absoluto no instanteinicial t = 0?

(d) Existem populacoes decrescendo de tamanho? Se sim, quais?

Ex 2-12 Os graficos seguintes representam as populacoes do exercıcio anterior.

Estabeleca a correspondencia entre os graficos A, B, C e D, e as funcoes P1(t),P2(t), P3(t) e P4(t).

3 Composicao de funcoes.

Ex 3-1 Caracterize as funcoes compostas f ◦ g , g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g , sendo:

a) f(x) = 2x2 − x e g(x) = 3x + 2b) f(x) =

√x− 1 e g(x) = x2

c) f(x) =1

x− 1e g(x) =

x− 1

x + 1


Ex 3-2 Use a tabela em baixo para avaliar cada uma das expressoes seguintes:

a) f(g(1)) b) g(f(1)) c) f(f(1))d) g(g(1)) e) (g ◦ f)(3) f) (f ◦ g)(6)

x 1 2 3 4 5 6f(x) 3 1 4 2 2 5g(x) 6 3 2 1 2 3

Ex 3-3 Use os graficos de f e g, esbocados na figura em baixo, para avaliar cadauma das expressoes seguintes, ou explicar porque nao esta definida:

a) f(g(1)) b) g(f(0)) c) (f ◦ g)(0)d) (g ◦ f)(5) e) (g ◦ g)(−3) f) (f ◦ f)(4)

51- 3 21 3 4x

- 4

- 2

4

1

y

g

f

Ex 3-4 Sabendo que f(x) =√

x, g(x) = x + 5 e h(x) = ex determine f ◦ g ◦ h.

Ex 3-5 Sendo f(x) = ex, g(x) = cos(x) e h(x) =√

x, qual das seguintes

expressoes:f ◦ g

h, f ◦ g

h,

g ◦ f

hou

g

h◦ f , repesenta a funcao

u(x) =ecos(x)

√x

?

Ex 3-6 Determine g tal que f ◦ g = F , sabendo que:


(a) f(x) = x +1

x, F (x) = a2x2 +

1

a2x2

(b) f(x) = x3, F (x) =(1− 1

x4

)2

Ex 3-7 Determine f tal que f ◦ g = F , sabendo que:

(a) g(x) =1 + x2

1 + x4, F (x) =

1 + x4

1 + x2

(b) g(x) = 3x , F (x) = 2 sin(3x)

Ex 3-8 Para cada um dos seguintes pares de funcoes f e g indique o domınio decada uma, verificando, analiticamente, que sao inversas uma da outra.

(a) f(x) = 3x− 1 e g(x) = x+13

(b) f(x) = x3 e g(x) = x1/3

(c) f(x) = 1x+1

e g(x) = 1−xx

Ex 3-9 Veja, analiticamente, se as funcoes f(x) = x2 e g(x) =√

x, ambasdefinidas para x ≥ 0 sao funcoes inversas uma da outra.

Ex 3-10 As seguintes funcoes f admitem inversas. Para cada uma, determine odomınio de f , a funcao inversa g = f−1 e o domınio da inversa.

(a) f(x) = 4x− 7 com domınio Df = [0, +∞[.

(b) g(x) = 1 + x3 com domınio Dg = [0, +∞[.

Ex 3-11 Considere a funcao f(x) = sin x, definida no intervalo x ∈ [0, 2 π]. Esboceo grafico de cada uma das funcoes seguintes e indique o respectivo domınio:

a) |f(x)| b) f(−x)c) −f(−x) d) f(x) + 1e) f(x + 1) f) f(2x)g) 2 f(x)


Resolva o mesmo problema para as funcoes g(x) = x2 definida em R e parah(x) = 1

xno intervalo x ∈]0, +∞[.

Ex 3-12 Esboce os graficos das seguintes funcoes:

(a) y = x2 + 5 (b) y = x2 − 5 (c) y = (x + 5)2

(d) y = (x− 5)2 (e) y = −x2 (f) y = 12x2

Ex 3-13 Transformando o grafico de f(x) = x4, esboce o grafico da funcao g : R →R, g(x) = f(x− 2) + 1.

Ex 3-14 Suponha dado o grafico y = f(x). Escreva uma equacao para o graficoque se obtem de y = f(x) pela transformacao descrita em cada alınea:

a) translacao vertical 2 unidades para cima.

b) translacao vertical 2 unidades para baixo.

c) translacao horizontal 2 unidades para a esquerda.

d) translacao horizontal 2 unidades para a direita.

e) reflexao em torno do eixo dos xx.

f) reflexao em torno do eixo dos yy.

g) expansao vertical por um factor 2.

h) contraccao vertical por um factor 2.

i) expansao horizontal por um factor 2.

j) contraccao horizontal por um factor 2.

Ex 3-15 Estenda os graficos das funcoes f e g ao intervalo [−4, 0], sabendo que:

a) tanto f como g sao funcoes pares,

b) as funcoes f e g sao ımpares.


51 21 3 4x

- 4

4

- 1

1

y

f

g

Ex 3-16 Determine se sao pares, ımpares, ou nem pares nem ımpares as funcoesseguintes:

a) f(x) = 2 x5 − 3 x2 + 2 b) f(x) = 2 x3 − x7

c) f(x) = cos(x2) d) f(x) = 1 + sin x

4 Limites

Ex 4-1 Estude os seguintes limites

(a) limx→3

x2 − 6x + 9

x− 3(b) lim

x→2

x2 − 3x + 2

x− 2

(c) limx→1

x2 − 1

x− 1(d) lim

x→1

x3 − 1

x− 1

(e) limx→1

x2 + 1

x2 − 1(f) lim

x→1

√x2 + 1−

√2

x− 1

Ex 4-2 Discuta os seguintes limites em funcao do parametro a.


(a) limx→0+

xa (b) limx→+∞

xa

(c) limx→+∞

ax (d) limx→−∞

ax

Ex 4-3 Suponha que existe o limite L = limx→a g(x), e que |f(x)− b| ≤ g(x) paratodo o x numa vizinhanca de a. Que valor deve ter o limite L para poder concluir aexistencia do limite lim

x→af(x)?

Ex 4-4 Suponha que |f(x) − b| ≤ C |x − a|α para todo o x numa vizinhancade a. Que valor deve ter o parametro α para poder concluir a existencia do limitelimx→a

f(x)?

Ex 4-5 Em cada uma das alıneas abaixo, supondo que f(x) satisfaz a desigualdadeindicada para todo x numa vizinhanca de 1, veja se pode concluir a existencia doseguinte limite: L = limx→1 f(x), e nesse caso identifique-o.

(a) |f(x)− 2| ≤∣∣∣∣x− 1

x + 1

∣∣∣∣ (b) |f(x) + 2| ≤ 2√|x− 1|

(c) f(x) + 2 ≥ x + 1√|x− 1|

(d) |f(x) + 2| ≤∣∣∣∣x + 1

x− 1

∣∣∣∣Ex 4-6 Usando a definicao mostre que:

(a) limx→5

7 = 7 (b) limx→10

3x + 5 = 35

(c) limx→− 3

2

1− 4 x = 7 (d) limx→1

x2 + 3 = 4

(e) limx→3−

√3− x = 0

Ex 4-7 Estude os seguintes limites:

(a) limx→a

|x|x

, a ∈ {−2, 0}


(b) limx→a

x4 − 1

x3 − 1, a ∈ R

(c) limx→0 f(x), onde f(x) =

{sin x2 se x < 0log(1 + x) se x > 0

(d) limx→+∞√

x(√

x + 2−√

x)

(e) limx→√

2 f(x), onde f(x) =

{3 se x e inteiro1 caso contrario

Ex 4-8 Calcule os seguintes limites:

(a) limx→0

sin kx

x(b) lim

x→0

sin√

x

x

(c) limx→0

x2

1− cos(2x)(d) lim

x→+∞

√x + 1−

√x

(e) limx→1

√x2 + 1−

√2

x− 1(f) lim

x→+∞

log(2x + 1)

log x

(g) limx→+∞

(√

x2 + 1− (|x| − 2)1/3) (h) limx→0

sin 5x

sin 3x

Ex 4-9 De exemplos de sucessoes (un) e (vn) tais que un → +∞, vn → −∞ e

(a) limn→∞ un + vn = 0

(b) limn→∞ un + vn = 10

(c) limn→∞ un + vn = +∞

(d) limn→∞ un + vn = −∞

(e) limn→∞ un + vn nao existe.

Ex 4-10 De exemplos de sucessoes (un) e (vn) tais que un → 0, vn → +∞ e


(a) limn→∞ un vn = a, com a ∈ R− {0}

(b) limn→∞ un vn = 0

(c) limn→∞ un vn = +∞

(d) limn→∞ un vn = −∞

(e) limn→∞ un vn nao existe.

Ex 4-11 Usando o teorema das sucessoes enquadradas, calcule o limite das seguintessucessoes:

(a) limn→+∞

cos n

n(b) lim

n→+∞(4n + 6n)

1n

(c)1

n2+

1

(n + 1)2+ · · ·+ 1

(2n)2(d) (a/n)n, a ∈ R

(e)n√

n4 + 1+ · · ·+ n√

n4 + n(f) n!/nn

Ex 4-12 Calcule os seguintes limites

a) limn→∞(√

n + 1−√

n) b) limn→∞3n + 4n

5n + 7n+1

c) limn→∞(√

n2 + n−√

n2 + 1) d) limn→∞32n + 4n

5n + 7n+1

e) limn→∞ n−√

2n + 1√

n + 3 f) limn→∞(1 + 3

n+1

)n

g) limn→∞(1− 2

n+1

)n+2h) limn→∞

(1− 1

n

)3n

i) limn→∞(1 + 4

n2

)nj) limn→∞

(1− 1

n2

)n

k) limn→∞ n sin (nπ) l) limn→∞ n sin 1n

m) limn→∞sin n

nn) limn→∞ nn


o) limn→∞ (n3 + n)1/n p) limn→∞

√n cos n

n + 1

q) limn→∞ 3−n sin (n4 + n2 + 3n + 2) r) limn→∞ (3n + 7n)1/n

s) limn→∞2n− 3

3n + 5− 51/nt) limn→∞

n + 4

41/n + 3n

Ex 4-13 Cada sucessao (an), em que an e definido por uma das seguintes expressoes,converge para 0.

a) an =1

n!b) an =

1

n2c) an =

1

nn

d) an =1

2ne) an =

1

log n

(a) Para cada uma destas sucessoes encontre o mais pequeno inteiro N , tal que|an − 0| < 0.001 para toda a ordem n ≥ N .

(b) Qual das sucessoes acima indicadas converge mais rapidamente para zero?

(c) Compare-as assintoticamente. Identifique os pares de sucessoes acima, em quea primeira seja um infinitesimo relativo da segunda.

Ex 4-14 Recordemos que, dadas sucessoes de numeros reais (xn) e (yn),

xn = o(yn) ⇔ limn→∞

xn

yn

= 0 e xn ∼ yn ⇔ limn→∞

xn

yn

= 1 .

Para cada uma das sucessoes xn = en n−3, xn = n2 + n3 e xn = n2 log n, escolhaa alternativa correcta:

(A) xn ∼ n3

(B) xn = o(n3)

(C) n3 = o(xn)

(D) nehuma das anteriores.


Ex 4-15 Indique, justificando, se sao verdadeiras ou falsas as seguintes afirmacoes:

(a) Se (xn) e (yn) sao sucessoes divergentes, entao a sucessao (xn +yn) e divergente.

(b) Se (xn) e (yn + xn) sao sucessoes convergentes, entao a sucessao (yn) e conver-gente.

Ex 4-16 Considere a sucessao (an) definida por a1 = 0.3, a2 = 0.33 , a3 = 0.333,a4 = 0.3333, etc.

(a) Determine o mais pequeno inteiro N tal que∣∣an − 1

3

∣∣ < 0.01 para toda a ordemn ≥ N .

(b) Determine o mais pequeno inteiro N tal que∣∣an − 1

3

∣∣ < 0.001 para toda aordem n ≥ N .

(c) Dado ε > 0 determine p(ε) tal que∣∣an − 1

3

∣∣ < ε para toda a ordem n ≥ p(ε).

5 Continuidade.

Ex 5-1 Determine os pontos de continuidade e descontinuidade das funcoes, ondeI(x) representa a parte inteira de x.

(a) f(x) = x3 − 1

x2− 1, x ∈ R \ {0}

(b) f(x) = xI(x), x ∈ R

(c) f(x) =

x2 + x− 6

x− 2se x 6= 2

1 se x = 2

(d) f(x) =

{(x + 1) 2−( 1

|x|+1x) x 6= 0

0 x = 0


(e) f(x) =x(x + 1)(x + 2)√

(x− 1)(x− 2)

Ex 5-2 Veja se cada um dos pontos −a, 0 e a e um ponto de: continuidade aesquerda, continuidade a direita, descontinuidade removıvel, descontinuidade de 1a

especie (i.e. com limites laterais finitos e diferentes), ou descontinuidade de 2a especie(i.e.nem removıvel, nem de 1a especie) da funcao f representada na figura seguinte:

x

y

- a a0

f

Ex 5-3 Considere as seguintes funcoes reais de variavel real:

(a) f(x) =2−

√x− 3

x2 − 49

(b) g(x) =

√1 + sin x−

√1− sin x

x

(c) h(x) =

√x2 + 5x + 4

x2 + 4x + 3

(a) Indique, em termos de intervalos, o domınio de cada uma das funcoes.

(b) Verifique se as funcoes f, g e h se podem prolongar por continuidade a todo R.

(c) Verifique se a funcao h(x) se pode prolongar por continuidade ao ponto x = −1.


Ex 5-4 Mostre que as seguintes equacoes tem solucoes nos intervalos indicados:

(a) x = cos x, x ∈ [0, π/2].

(b) x = − log x, x ∈]0, 1].

(c) 2 + x = ex, x ∈ R.

(d) x = f(x), x ∈ [a, b] onde f : [a, b] → [a, b] e uma funcao contınua com valoresno intervalo [a, b] .

Ex 5-5 Seja f :R →R uma funcao contınua tabelada em 5 pontos.

x 0 1 2 3 4f(x) 1.2 2.9 0.2 1.2 3.3

(a) Em quais dos seguintes intervalos [0, 1], [1, 2], [2, 3] e [3, 4] pode garantir que aequacao 1.9 = f(x) tem pelo menos uma raiz?

(b) Para cada um dos outros intervalos desenhe o grafico de uma funcao contınua,com os valores acima tabelados, onde essa equacao nao tenha solucoes.

Ex 5-6 Seja f :R →R definida por

f(x) =

{x se x ≤ 1x + 1 se x > 1

(a) Encontre f−1 e esboce o seu grafico.

(b) Mostre que f e f−1 sao estritamente crescentes.

(c) As funcoes f e f−1 sao contınuas em todos os pontos?

Ex 5-7 Em cada uma das alıneas seguintes esboce o grafico de uma funcao fdefinida em [0, 1] e satisfazendo (se possıvel) as condicoes dadas:

(a) f contınua em [0, 1] com valor mınimo 0 e valor maximo 1.

(b) f contınua em [0, 1[ com valor mınimo 0 e sem valor maximo.


(c) f contınua em ]0, 1[ assume os valores 0 e 1 mas nao assume o valor 12.

(d) f contınua em [0, 1] assume os valores −1 e 1 mas nao assume o valor 0.

(e) f contınua em [0, 1] com valor mınimo 1 e valor maximo 1.

(f) f contınua em [0, 1], nao constante, nao assume valores inteiros.

(g) f contınua em [0, 1] nao assume valores racionais.

(h) f contınua em [0, 1] assume um valor maximo, um valor mınimo e todos osvalores intermedios.

(i) f contınua em [0, 1] assume apenas dois valores distintos.

(j) f contınua em ]0, 1[ assume apenas tres valores distintos.

(k) f nao contınua em ]0, 1[ tem por imagem um intervalo aberto e limitado.

(l) f nao contınua em ]0, 1[ tem por imagem um intervalo fechado e limitado.

(m) f contınua em ]0, 1[ tem por imagem um intervalo ilimitado.

(n) f contınua em [0, 1] tem por imagem um intervalo ilimitado.

(o) f nao contınua em [0, 1] tem por imagem o intervalo [0, +∞[.

(p) f contınua em [0, 1[ tem por imagem um intervalo fechado e limitado.

6 Inducao.

Ex 6-1 Prove, recorrendo ao metodo de inducao matematica, que:

(a) 1 + 2 + ... + n =n(n + 1)

2, para todo n ∈ N.

(b) 1 + 22 + ... + n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6, para todo o n ∈ N.


(c) 2n−1 ≤ n! , para todo o n ∈ N.

Ex 6-2 Calcule os seguintes limites:

(a) limn→∞

1 + 2 + ... + n

n2

(b) limn→∞

12 + 22 + ... + n2

(n + 1)(n + 2)

Ex 6-3 Considere a sucessao {u1 =

√2

un+1 =√

2 + un

(a) Calcule os tres primeiros termos da sucessao.

(b) Prove por inducao que

(1)√

2 ≤ un ≤ 2, para todo o n ∈ N.

(2) (un) e crescente.

(c) Prove que (un) e convergente e determine o limite.

Ex 6-4

(a) Prove que a sucessao un = 1n

+ 1n+1

+ · · ·+ 12n

e monotona e convergente.

(b) Prove que o limite L = lim un, satisfaz 12≤ L ≤ 1.

Ex 6-5 Considere a equacao recursiva,

xn = xn−1 + a n , para todo o n ≥ 1 .

Encontre uma expressao algebrica para xn em funcao de x0, a e n.

Ex 6-6 Seja (an) uma sucessao definida por

a1 = 3 e an+1 = −1

4an se n ≥ 1 .


(a) Prove, por inducao que an = 3(−1

4

)n−1, para todo n ≥ 1.

(b) Calcule limn→∞ an.

(c) Calcule limn→∞ a1 + . . . + an.

Ex 6-7 Seja (xn) uma sucessao definida recursivamente por

x0 = 1/9 e xn = 3 xn−1 se n ≥ 1 .

(a) Encontre uma expressao explıcita para xn.

(b) Calcule limn→∞ xn.

Ex 6-8 Considere a sucessao (an) cujos primeiros quatro termos vem indicados natabela seguinte.

n = 0 1 2 3an = −5 −2 1 2

Seja (xn) uma outra sucessao satisfazendo a seguinte equacao recursiva

xn+1 = xn + an .

Sabendo que x4 = −6, determine x0.

Ex 6-9 Considere a sucessao (an) cujos primeiros cinco termos vem indicados noseguinte grafico de barras verticais.

1 2 3 4 5

-2

-1

1

2


Seja (xn) uma outra sucessao satisfazendo a seguinte equacao recursiva

xn+1 = xn + an .

Sabendo que x6 = 3, determine x1.

Ex 6-10 Considere as sucessoes {an} definidas recursivamente por

(a) a1 = 1 an+1 =√

1 + an (n ≥ 1)

(b) a1 = 0 an+1 =3an + 1

an + 3(n ≥ 1)

(c) a1 = 1 an+1 =√

3 + an (n ≥ 1)

Mostre que cada uma das sucessoes {an} converge e determine o seu limite.

1 Numero´ s...

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