Numero aureo

5/12/2018 Numero aureo - slidepdf.com

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Φ, ElNúmero Áureo

Álvaro Méndez Civieta

1º de grado de matemáticas



INTRODUCCIÓN

El número áureo es uno de los números irracionales que más ha fascinado a las mentes

más brillantes de la historia.

Su importancia matemática destaca especialmente en geometría pero podemosencontrarlo en miles de ejemplos en la naturaleza y en obras de los artistas más famososdel mundo.

FORMAS DE EXPRESIÓN DEL NÚMERO AUREO

El número de oro es un número irracional representado con la letra griega Φ (phi):Φ=1+52≌1,618033

Hay varios caminos que se pueden seguir para hallar este número:

• Como ecuación de 2º grado:

Tengamos un segmento de longitud x dividido en 2 partes: 1 parte de longitud 1y otra de longitud x-1

1 x-1

X

Ésta será una partición aurea cuando cumpla que

x1=1x-1

xx-1=1 ; x2-x-1=0

x=1+52≌1,618Generalizando, cualquier par de números que cumplan

a+ba=abEstán en proporción aurea, de tal forma quea=1+52≌1,618



• M ediante la sucesión de Fi bonacci

Partiendo de 2 valores iniciales n0=1 y n1=1 se obtiene cada nuevo término

de la sucesión como suma de los 2 anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

Pero antes de hablar de cómo se puede hallar el numero áureo por medio de lasucesión de Fibonacci es un dato curioso saber que esta sucesión surgió comosolución a un problema planteado por el matemático y mercader LeonardoPisano Fibonacci en su libro “El líber abaci”. El problema decía lo siguiente:Si tenemos una pareja de conejos que produce cada mes una nueva pareja que a

su vez comienza a procrear a los 2 meses, y suponiendo que no muere ningún

conejo, ¿Cuántas parejas tendremos al finalizar el año?

Pues bien, como ya he dicho la solución a este problema no es otra que eltermino 12 de la sucesión, es decir 144 conejos.

Ahora explicaré como se halla el número áureo mediante esta sucesión:Si dividimos cada término entre el anterior obtendremos valores aproximadoscada vez más cercanos al número áureo:

1/1=1 21/13=1.6152/1=2 34/21=1.6193/2=1.5 55/34=1.6175/3=1.66… 89/55=1.6188/5=1.6 144/89=1.61713/8=1.625 233/144=1.618

Veamos porque ocurre esto:Sea L igual al límite del cociente de los términos de la sucesión an+1an:

L=liman+1an=liman+an-1an=lim1+an-1an=1+liman-1an==1+lim1anan-1=1+1limanan-1=1+1LL=1+1L ; L2=L+1 ;L2-L-1=0 ;L=ΦSi generalizamos esto vemos que para cualquier sucesión de expresión an+1=an+an-1El cociente entre dos términos sucesivos de la sucesión tenderá a Φ

Ahora observemos lo siguiente:Si en la expresión x2=x+1 damos a “x” el valor de “Φ” obtendremos Φ2=Φ-1



Y si vamos multiplicando de forma sucesiva en ambos lados de la igualdad por Φ tendremos:

Φ3=Φ2+Φ=Φ+1+Φ=2Φ+1Φ4=Φ3+Φ2=2Φ+1+Φ+1=3Φ+2Φ5=Φ4+Φ3=3Φ+2+2Φ+1=5Φ+3

Φ6=Φ5+Φ4=5Φ+3+3Φ+2=8Φ+5Así observamos que las potencias sucesivas del número áureo son iguales al

propio número áureo multiplicado por el término de la sucesión de Fibonaccicorrespondiente al coeficiente de la potencia más el término anterior de lasucesión. Por ejemplo:

Φ15=610Φ+377 Donde 610 es el término 15 de la sucesión y 377 es el termino 14

• Mediante raíces sucesivas del número 1Sea la expresión a=1+1+1+1+…Al calcular los valores de esta sucesión vemos que cada vez se aproximan más alnúmero áureo:

1+1=1.414 1+1+1+1=1.6119

¿Pero porque ocurre esto?

Si elevamos al cuadrado la 1º expresión obtenemos

a2=1+1+1+1+..=1+a

a2-a-1=0

Nuevamente la expresión del número áureo.

a=1+52≌1,618



GEOMETRÍA Y NÚMERO ÁUREO

EL RECTÁNGULO ÁUREOUn rectángulo se dice áureo si sus lados cumplen que el cociente del lado mayor entre elmenor tiende al número ΦEn nuestra vida cotidiana hay cientos de ejemplos de rectángulos áureos que, en lamayoría de los casos, nos pasan desapercibidos. Seguramente el mas importante deestos ejemplos es el de las tarjetas que todas las personas llevan en su cartera, ya seantarjetas de crédito, de un gimnasio, biblioteca…Estas tarjetas casi siempre tienen el mismo tamaño, que cumple la proporción aurea, o,en caso de tener un tamaño mayor o menor al del resto de tarjetas al menos ese tamaño

es “semejante” al de la mayoría, es decir, sigue cumpliendo la proporción aurea.

Para saber si dos rectángulos son semejantes basta con colocarlos de tal forma quecoincidan en un vértice y trazar la diagonal que parte de dicho vértice. Si las diagonalescoinciden, son semejantes:

d

ab=dc

c

b

a

Propiedades de rectángulos áureos

Sea un rectángulo áureo como el de la imagen de la izquierdaSi a este rectángulo le añadimos un cuadrado cuyo lado sea igual al lado mayor del

rectángulo tendremos un nuevo rectángulo áureo como el que se observa a la derecha:



EF+CFEF=EFCF=Φ ; DF+EFDF=DFEF

Esto mismo sucede, como es obvio, con cualquier rectángulo áureo al que le quitemosun cuadrado de lado igual al lado menor del rectángulo.

Al igual que lo que sucedía con los rectángulos semejantes hay un proceso rápido ysencillo para saber si un rectángulo es áureo:

1. Ponemos dos rectángulos cuyas dimensiones sean las que queramos comprobar el uno junto al otro, uno en horizontal y otro en vertical

2. Trazamos una recta desde el vértice inferior mas alejado del que está enhorizontal hasta el vértice superior mas alejado del que está en vertical:

(C) (B)Si la recta pasa por el punto (C)

Entonces el rectángulo es áureo

m

(A) M (E) (D)

Para explicar esto debemos recurrir al teorema de Tales:

Dos (o mas) segmentos producidos por la intersección de 2 (o mas) rectas paralelas con

los lados de un triangulo son proporcionales.En el triangulo ABD tenemos por tanto que el segmento CE es proporcional alBDOtra forma de expresarlo es que ADDB=AEEC y sustituyendo por M y m:M+mM=Mm=Φ

Construcción de un rectángulo áureo

Con estas propiedades la construcción de un rectángulo áureo es sencilla:Partimos de un cuadrado de lado igual al lado menor del rectángulo que queramosconstruir, marcamos el punto medio “E” del lado inferior del cuadrado.

Tal como se observa en la figura trazamos unarco de circunferencia que corta en el punto F ycompletamos el rectángulo que tendrá de ladomayor AFy de lado menor AB



Como podemos observar en la siguiente figura si a un rectángulo áureo le vamosrestando cuadrados de valor el lado menor y formando otros rectángulos áureos, lasdiagonales de todos los rectángulos áureos que formemos de esta forma estarán

contenidas en las 2 diagonales pintadas en la figura y formarán siempre un ángulo recto

ESPIRALES YRECTÁNGULOS ÁUREOS

Partiendo de un rectángulo áureo vamosrestando cuadrados para obtener nuevosrectángulos.

Ahora trazamos cuadrantes de circunferencia con radio el lado del cuadrado y centro elvértice de cada uno tal y como se observa en la figura:

De esta forma obtenemos una aproximación de la denominada espiral logarítmica quetiene unas propiedades sorprendentes:

• Es una curva equiangular, lo que quiere decir que si trazamos una recta desde su polo (punto de inicio) a cualquier otro punto, el ángulo formado por la tangentea la espiral en el punto y la recta trazada será siempre el mismoindependientemente del punto escogido.

Un ejemplo: para mantener constante el ángulo de visión con el que nosaproximamos a un objeto debemos describir una espiral logarítmica.• La recta que une el vértice con un punto de la espiral crece siguiendo una

progresión geométrica, mientras que el ángulo descrito crece según una progresión aritmética.



EL PENTAGONO Y EL NÚMERO ÁUREO

Uniendo los vértices de un pentágono regular podemos dividirlo en una serie de

triángulos:

Si ahora cogemos el triángulo EBD

Y trazamos la bisectriz de uno de los ángulos de 72º obtendremos así un nuevotriángulo isósceles.

(G)

Estos triángulos cumplirán la siguiente relación:

EBED=EDEG=Φ

Veamos que si al segmento ED le asignamos el valor 1 tendremos que ED=HD=1 yEH=EB-1.Sustituyendo en la ecuación anterior:EB1=1EB-1 ; EB2-EB=1 ; EB2-EB-1=0EB=1+52=Φ



Al triangulo anterior se le denomina triangulo áureo y, análogamente al procesoempleado en el rectángulo áureo con el podemos construir la espiral

EL NÚMERO AUREO EN EL ARTE

El número áureo comenzó a ganar importancia en el arte durante el renacimiento, épocaen la que podemos encontrar dicha proporción oculta en cientos de cuadros y esculturas.

Un ejemplo es la Mona Lisa, una de las obras mas importantes de Leonardo Da Vincique, como podemos comprobar está estructurada siguiendo rectángulos áureos cada vezmenores.

Otro ejemplo es el de la sagrada familia, de Miguel Ángel que se proporciona de

acuerdo a una estrella de 5 puntas.

También tenemos ejemplos en arquitectura, como en el caso del Partenón de Atenas



NÚMERO AUREO EN LA NATURALEZA

Pero la importancia del número áureo no es puramente matemática, geométrica yartística, encontramos la presencia de este número en miles de situaciones en lanaturaleza.

A continuación hablaré de algunos de ellos:

• En nuestro propio cuerpo encontramos varios ejemplos:Si nos ponemos en posición vertical y dividimos la distancia de la cabeza alsuelo entre la distancia de la cadera al suelo obtendremos una aproximación delnúmero áureo. Lo mismo ocurrirá si dividimos la distancia de la cadera al sueloentre la distancia de la rodilla al suelo. También si dividimos la distancia entrela primera falange a la yema del dedo entre la de la 2º falange. Así se podríacontinuar con cientos de ejemplos.

•

Cuando un halcón acecha a su presa el vuelo que describe es de acuerdo con laespiral logarítmica, al igual que ocurre con los insectos cuando se acercan a unfoco de luz

• La estructura de la concha de los moluscos describe también una espirallogarítmica, al igual que los brazos de muchas galaxias.

• Otro ejemplo es la disposición de las pepitas de un girasol o la de una piña: enambos casos se describen espirales en las que el número de pepitas aumenta deacuerdo a la sucesión de Fibonacci

Bibliografía

Para la realización de este trabajo se ha buscado información en:

• “La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza” de FernandoCorbalán

• La sección dedicada al número áureo de Wikipedia, la enciclopedia librehttp://es.wikipedia.org/wiki/Numero_aureo

http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_aureo

http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_aureo



• Diversas páginas de internet en las que hablan del número áureoentre las que destacan:

http://www.gluv.org/obras%20literarias%20y%20otros%20trabajos%20de%20interes%20masonico/EL%20NUMERO%20DE%20ORO.htm

http://www.epsilones.com/documentos/d-nautilus.html http://medianochebajoelsol.blogspot.com/2011/07/la-

proporcion-aurea.html http://albertopiedrabuena.blogspot.com/2008/06/phi-el-nmero-

de-oro.html




http://www.epsilones.com/documentos/d-nautilus.html


http://medianochebajoelsol.blogspot.com/2011/07/la-proporcion-aurea.html


http://albertopiedrabuena.blogspot.com/2008/06/phi-el-nmero-de-oro.html










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