3.4 Bentuk Normal Bifurkasi HopfMisalkan diberikan sistem dari dua persamaan diferensial yang bergantung pada satu parameter :( )( ){2 21 1 2 1 1 22 22 1 2 2 1 2x x x x x xx x x x x x + + +&& (3.6)sistem ini mempunyi titik ekuilibrium 1 20 x x untuk setiap dengan matriks Jacobian11A _ ,mempunyai nilai eigen1,2i t. Denganmenggunakan ariabel kompleks1 2z x ix +! 1 2z x ix! 22 21 2z zz x x + ariabel ini memenu"i persamaan diferensial:( ) ( ) ( ) ( )2221 2 1 2 1 2 1 2 1x x ix x ix x i ix x x i x z + + + + + + Dan sistem (3.6) ini dapat ditulis dalam bentuk kompleks men#adi:( )2z i z z z + & (3.$)Dengan memisalkan sin ! cos2 1 x x maka dengan menggunakan representasiie z ! 22 z diperole"

i ie i e z + Dengan mensubstitusi persamaan di atas ke persamaan (3.$) diperole":

( )( ) i i ii i i ie i e i ee e i e i e22 + + + + %e"ingga sistem (3.6) dapat ditulis dalam bentuk polar yakni: ( )' 12 (3.&)%istem tersebut memiliki titik ekuilibrium di titik ' untuk setiap nilai dan untuk ' > . (ersaman pertama dan persamaan ke)dua dari (3.&) merupakan persamaan yangterpisa".(ersamaan ke)dua menggambarkan rotasi dengan kecepatan konstan!sedangkan daripersamaan pertama dapat dili"at perilaku parameter yang berbeda! yaitu:(1) *ntuk ' titik ekuilibrium ' dikatakan stabil tapi tidak linear (nonlinear stable)karena solusi konergensi ke nol nya tidak lagi eksponensial yang berarti stabil tapi sangatlampat konergen ke titik ekuilibriumnya. (ada nilai parameter kritis ' ini! ekuilibriumekuialen secara topologi ke focus! se"ingga sering #uga disebut sebagai a weakly attractingfocus.(2) *ntuk ' < titik ekuilibrium stabil linear. %elain itu! ekuilibriumnya #uga dikatakan stabilfocus.*ntuk ' > titik ekuilibrium tidak stabil linear. %elain itu! titik ekuilibrium ini #uga tidakstabil focus. +itik ekuilibrium ini yang dikelilingi ' > terisolasi pada suatu orbit tertutup(limit cycle) yang tunggal dan stabil. Cycle ini merupakan suatu lingkaran yang ber#ari)#ari ) ('. %emua orbit dimulai dari dalam atau luar cycle dan mengikuti ara" rotasi cycleuntuk. t,ifurkasi ini disebut sebagai Andronof-Hopf Bifurcation.Di ba-a" ini! diagram bifurkasi untuk sistem dua) dimensi (3.6) digambarkan dalam .igure3./ berikut.,ifurkasi ini #uga dapat direpresentasikan dalam ruang)( ) ! ! y xyang munculnya keluarga) dari limit cycle berupa permukaan parabola seperti pada .igure 3.6 berikut. %elan#utnya! diberikan sistem (ersamaan differensial yang berla-anan ara" dengan sistem(3.6) yaitu:( )( ) '+ + + + + 2221 2 2 1 22221 1 2 1 1x x x x x xx x x x x x (3.0)sistem ini #uga mempunyi titik ekuilibrium 1 20 x x untuk setiap dengan matriks Jacobian11A _ ,mempunyai nilai eigen1,2i t. Denganmenggunakan ariabel kompleks1 2z x ix +!1 2z x ix !22 21 2z zz x x + . Denganmenggunakancarayangsamaseperti padasistem(3.6)! maka sistem (3.0) ini memiliki bentuk kompleks :( )2z z z i z + + %e"ingga dengan representasiie z diperole" bentuk bentuk polar sistem (3.0) yaitu:

( )'+ 12

(3.&1)%istem ini #uga mengalami bifurkasi 2ndrono)3opf pada . ' ,ertentangan dengansistem (3.6)! pada sistem (3.0) terdapat limit cycle yang tidak stabil yang meng"ilang ketika mele-ati nol dari nilai negatie kenilai positif. +itikekuilibriumdi titikasal mempunyaikestabilan yang sama untuk ' seperti pada sistem (3.6). +itik ekuilibrium ini stabil untuk' < dan tak stabil untuk ' > . 4estabilannya pada nilai parameter kritis berla-anan dengansistem (3.6)! yang berarti pada sistem ini tidak stabil pada ' . (er"atikan .igure 3.$ berikut.Dalam ruang)( ) ! ! y x diperli"atkan pada .igure 3.& berikut.Keterangan:(1) Dari duasistemdiatas! terdapat duatipebifurkasi 2ndrono)3opf. ,ifurkasi padasistem(3.6)sering disebut supercritical Hopf Bifurcation karena limit cycle ada untuk nilai positifdari parameter 5setela"5 ter#adi bifurkasi. %istem(3.0) disebutsubcritical HopfBifurcation karena limit cycle ada 6sebelum5 ter#adi bifurkasi.(2) Dalam kedua kasus ini "ilangnya kestabilan dari titik ekuilibrium pada ' ter#adi diba-a"peningkatannilai parameter. *ntukkasus pertamayakni sistem(3.6)! ekuilibriumstabildigantikan ole" limitcycleyang beramplitudo kecil. 7le" karena itu! sistem tersebut tetapberada di persekitaran ekuilibrium dan disebut sebagaia soft or noncatastrophic stabilityloss(ke"ilangan kestabilan secara perla"an). (ada kasus ke)dua! daera" atraksi titikekuilibriumterbatas padacycleyang tidak stabil! yang 6menyusut5 ketika parametermendekati nilai kritis dan kemudian "ilang. Maka! sistemini 6didorong keluar5 daripersekitaran titik ekuilibrium! dan ini dikatakan sebagaisharpor catastrophic loss ofstability(ke"ilangan kestabilan secara cepat). Jika sistemke"ilangan kestabilan secaraperla"an! itudapat 6dikontrol5denganbaik!denganmengambil suatuparameternegatielagi! maka sistem kembali stabil. %ebaliknya! #ika sistem ke"ilangan kestabilan dengan sangatcepat!dengankembalimeriset nilaiparameter negatielagi! belumtentusistem kembalistabil ke titik ekuilibrium karena bisa #adi sistem tersebut tela" #au" meninggalkan daera"attraksinya.%elan#utnya! misalkanterdapat bagian7rderyanglebi"tinggi untuksistem(3.6)danditulis dalam bentuk ector

( ) ( )821 2221212111x Oxxx xxxxx+

,_

,_

,_

,_

(3.1')dimana( )222122 1! ! x x x x x x

+ dan ( )8x O merupakan bagian smoothly . Lemma 3.2 %istem (3.1') ekuialen secara topologi lokal disekitar titik asal ke sistem (3.6).Bukti%istem (3.1') dapat ditulis dalam bentuk ( )( )2 4z i z z z O z + + &(2.1)ekuialen secara topologi lokal disekitar titik asal ke sistem (3.6) yang ditulis dalam bentuk( )2z i z z z + &(2.2)!angkah "( 2kan ditun#ukkan eksistensi dan ketunggalan cycle) . %istem (2.1) ditulis dalambentuk kordinat polar( ), :( )( )( ){2,1 , ++&&(2.3)dimana ( ) ( )4 3, O O dan bergantung dari fungsi)fungsi yang tidak diindikasikanuntukmenyer"anakannotasi. %uatuorbit dari (2.3) dimulai dari ( ) ( )0, ,0 denganmemenu"i persamaan:( )( ) ( )221,d d dtd dt dR ++ + (2.8)dimana ( )4RO . (er"atikan ba"-a transisi dari (2.3) ke (2.8) ekuialen ke parameter -aktuyangbaruyaitu1 yangmengakibatkankembali kesetenga"sumbu0 samauntuksemuaorbit yangdimulai padasumbuini dengan00 >. 4arena ( );0 0 ! dapat ditulisekspansi +aylor( )0; !( ) ( ) ( )( )42 31 0 2 0 3 0 0u u u O + + +(2./)%ubttitusikan (2./) ke (2.8) dan penyelesaianya meng"asilkan persamaan diferinsial yangbergantung pada pangkat dari 0 dengan kondisi a-al( ) ( ) ( )1 2 30 1, 0 0 0 u u u diperole" ( ) ( ) ( )21 2 31, 0,2eu e u u e (er"atikan ba"-a persamaan diatas tidak memuat ( ), R . 7le" karena itu! kembali dipetakan( )0 1 02, amempunyai bentuk ( ) ( )2 2 3 41 0 0 02 e e O O 1 + + ](2.6)untuk semua( )4RO . (emetaan (2.6) dapat dengan muda" dianalisis untuk 0 dan yangcukup kecil. +erdapat persekitaran dari titik asal yang pemetaannya "anya mempunyai sebua"titik tetap triial untuk' < dan suatu titik tetap extra!'' + untuk' > yang cukupkecil(li"at .igure 3.13).4estabilan darititik tetap #ugamuda" diperole"dari (2.6).Denganmempertimbangkantitiktetappositif yangberkorespondensi denganlimit cycledari sistem!disimpulkan ba"-a sistem (2.3) (atau (2.1) dengan suku lebi" tinggi( )8z Oyang memilikibifurkasi limit cycle dari titik asalda nada untuk' > seperti dalam sistem (2.2). 7le" karenaitu! dengan kata lain bagian order lebi" tinggi tidak mempengaru"i bifurkasi limit cycledalambeberapa persekitaran' z untuk yang cukup kecil.Langkah 2 (Mengkontruksi Homoemorfisma)Denganketetapaneksistensi danketunggalanlimit cyclesuda"cukupuntuksemuaaplikasi.9amundemikian! ker#aekstra"arusdilakukanuntukmembuktikantopologi kesetaraanfasepotret. (er"atikan .igure 3.18.+etapkansebagai bilangan kecil positif.. 4edua sistem (2.1) dan (2.2) memiliki limitcycle di beberapa persekitaran dari titik asal. 2sumsikan ba"-a reparameterisasi -aktu se"inggakembali saat 2:konstandilakukandalamsistem(2.1). (;i"at langka"sebelumnya). Juga!menerapkan skala linier dari koordinat dalam sistem (2.1) se"ingga titik dari perpotongan dansetenga" sumbu "ori7le" karena itu! pada 'a ekuilibrium '' memiliki nilai eigen( ) ( )1!2 ' ' 'a i a tdan bifurkasi 3opf ter#adi. Fkuilibriumnya stabil untuk 'a > dan tidak stabil untuk 'a