« Napredna kvantna mehanika » Ivo Batistić -...
Click here to load reader
Transcript of « Napredna kvantna mehanika » Ivo Batistić -...
Vremenski neovisne Greenove funkcije« Napredna kvantna mehanika »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMF
Sveučilište u Zagrebu
predavanja 2011
Pregled predavanja
Uvod
Primjeri
Definicija
Greenova funkcije se može definirati kao riješenje nehomogene
parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDJ):
[
ν − H(~r)]
G (~r ,~r ′, ν) = δ(~r −~r ′)
gdje je ν općenito neki kompleksni broj, a
H(~r) = npr.(
−ı~a · ~∇)
ili ~∇2 ili(
~∇2 − V (~r))
ili . . .
hermitski diferencijalni operator.
Riješenje se traži u određenom prostornom Ω te ono morazadovoljavati rubne uvjete za ~r i ~r ′ na rubovima područja.
Potpuni skup vlastitih funkcija
Hermitičnost diferencijalnog operatora pretpostavlja da imapotpuni skup vlastitih funkcija koje zadovoljavaju jednadžbu:
H(~r) ϕn(~r) = en ϕn(~r)
koje su
ortonormirane:∫
Ωd~r ϕ⋆
n(~r)ϕm(~r) = δnm
Integracija ide preko područja u kojem se traži rješenje PDJ.
i zadovoljavaju relaciju kompletnosti:
∑
n
ϕ⋆n(~r)ϕn(~r
′) = δ(~r −~r ′)
Nabrajanje vlastitih funkcija
Indeks n označava jedan ili više indeksa koji označavajuvlastite funkcije.
Indeksi n mogu biti diskretni ili kontinuirani ili diskretni ikontinuirani (oboje).
Sumacija po indeksima u slučaju kontinuiranog spektrapredstavlja integraciju.
Napomena:
Kontinuirani spektar se pojavljuje kada je područje Ω beskonačno.Integraciju po indeksima treba napraviti tako da se integral dobijekao granični slučaj sumacije za konačno područje koje ekspandira ubeskonačnost.
Apstraktni vektorski prostor
Uvodi se pojam apstraktnog vektorskog prostora u kojem bazu činevlastite funkcije diferencijalnog hermitskog operatora.Koristimo slijedeće (Diracove) oznake:
ϕn(~r) = 〈~r |ϕn〉
ϕ⋆n(~r) = 〈ϕn|~r〉
δ(~r −~r ′) H(~r) = 〈~r |H|~r ′〉
G (~r ,~r ′, ν) = 〈~r |G (ν)|~r ′〉
δ(~r −~r ′) = 〈~r |~r ′〉
1 =
∫
d~r |~r〉〈~r | =∑
n
|ϕn〉〈ϕn|
Greenova funkcija je operator koji ima matrični prikaz u vektorskojbazi koja se koristi.
Apstraktni vektorski prostor
U apstraktnom vektorskom prostoru naša PDJ glasi:
(ν − H) G = 1
Vlastite funkcije su prostorna reprezentacija vlastitih vektora:
H|ϕn〉 = en |ϕn〉
i oni zadovoljavaju relaciju ortogonalnosti:
〈ϕn|ϕm〉 = δnm
U tom zamišljenom vektorskom prostoru Greenova funkcija je:
G (ν) =1
ν − H= (ν − H)−1
Greenova funkcija u apstraktnom vektorskom prostoru
Tada vrijedi da je:
G (ν) =1
ν − H=
1
ν − H1 =
1
ν − H
(
∑
n
|ϕn〉〈ϕn|)
=∑
n
1
ν − H|ϕn〉〈ϕn| =
∑
n
1
ν − en|ϕn〉〈ϕn|
=∑
n
|ϕn〉1
ν − en〈ϕn|
odnosno matrično prikazano:
G (~r ,~r ′, ν) = 〈~r |G (ν)|~r ′〉 =∑
n
ϕn(~r)1
ν − enϕ⋆
n(~r′)
Napomena: U slučaju kontinuiranog spektra sumacija predstavljaintegraciju!
Svojstva Greenove funkcije
G (ν) je analitička funkcija u kompleksnoj ν ravnini,
osim u polovima koji predstavljaju spektar (vlastite vrijednosti)hermitskog operatora.
Polovi su na realnoj osi (hermitičnost operatora)
G (ν) je hermitski operator za realni ν.
G (~r ,~r , ν) je realno za realni ν (dijagonalni elementi).
Iz izraza za Greenovu funkciju (GF) izlazi da vrijedi:
G ⋆(~r ,~r ′, ν) = G (~r ′,~r , ν⋆)
Svojstva Greenove funkcije - kontinuirani spektar
U slučaju kontinuiranog spektra:
na realnoj osi kompleksne ν ravnine nalazi se rez u područjuspektra vlastitih vrijednosti.
Definiramo ove granične funkcije:
G±(~r ,~r ′, ω) = limη→+0
G (~r ,~r ′, ω ± ıη)
koje postoje ali se razlikuju.
Vrijedi da je:
G−(~r ,~r ′, ω) = [G+(~r ′,~r , ω)]⋆
Svojstva Greenove funkcije
Razlika između G+ i G− je:
G (~r ,~r ′, ω) = G+(~r ,~r ′, ω)− G−(~r ,~r ′, ω)
= −2πı∑
n
δ(ω − en) ϕ⋆n(~r
′)ϕn(~r)
gdje smo rabili:
limy→+0
1
x ± ıy= P
1
x∓ ıπδ(x)
Dijagonalni element razlike je proporcionalan lokalnoj
spektralnoj gustoći:
(~r , ω) =∑
n
δ(ω − en) |ϕn(~r)|2
odnosno gustoći stanja:
g(ω) =
∫
Ωd~r (~r , ω) =
∑
n
δ(ω − en)
Svojstva Greenove funkcije
Poznavajući spektralnu gustoću:
(~r ,~r ′, ω) =∑
n
δ(ω − en) ϕ⋆n(~r
′)ϕn(~r)
može se rekonstruirati Greenova funkcija:
G (~r ,~r ′, ν) =ı
2π
∫ +∞
−∞dω
(~r ,~r ′, ω)ν − ω
Laplaceova jednadžba (d=3)
U ovom primjeru će se razmotriti Greenova funkcija za Laplaceovujednadžbu.Pretpostavljamo da je:
H(~r) = −∆.
Područje koje se promatra je cjelokupni prostor te se kao rješenjaproblema vlastitih vrijednosti pojavljuju ravni valovi:
〈~r |~k〉 = 1√V
eı~r ·~k
koji imaju kao vlastite vrijednost:
en = ~k2
pozitivne realne brojeve (uključujući i nulu).
Laplaceova jednadžba (d=3)
Jednadžba koju zadovoljava Greenova funkcija je:
(ν +∆) G (~r ,~r ′, ν) = δ(~r −~r ′)
Iz prethodno izvedenog, znamo da je rješenje:
G (~r ,~r ′, ν) =
∫
d3k
(2π)3eı(~r−~r
′)·~k
ν − ~k2
= · · · = 1
ı4π2
1
R
∫ +∞
−∞dk
k eıkR
ν − k2= · · · =
= − 1
4π
eı√
zR
R(za Im(z) > 0)
gdje je:R = |~r −~r ′| udaljenost između točaka
Laplaceova jednadžba (d=3)
Također:
G±(ω) = − 1
4π
e±ı√ωR
R(za
√ω i ω > 0)
odnosno:
G (ω) = − 1
4π
e−√
|ω|R
R(za
√
|ω| > 0 i ω < 0)
Naravno ako je ω=0 dobiva se dobro poznati rezultat:
G (~r ,~r ′) = − 1
4π
1
|~r −~r ′|
iz elektrostatike.