308 6. ODRE�ENI INTEGRAL

(g) Neka je {ξn}∞n=1 niz u (0, 1), {λn}∞n=1 niz pozitivinih brojeva, takavda red

∑∞n=1 λn konvergira i g(x) =

∑∞n=1 λnρ(x − ξn). Dokazati da

za svaku neprekidnu funkciju ψ : [0, 1]→ R va�i∫ 10

ψ dg =

∞∑n=1

λnψ(ξn).

Posled�a jednakost pokazuje da Stiltjesov integral uopxtava re-dove. X

Zadatak 51. Neka su f, g : [a, b]→ R ograniqene funkcije.(a) Neka je bar jedna od funkcija f, g neprekidna u taqki c ∈ (a, b).

Dokazati da iz egzistencije integrala∫ ca

f dg i

∫ bc

f dg

sledi egzistencija integrala∫ ba

f dg.

(b) Da li (a) va�i i ako su obe funkcije prekidne u taqki c? X

7. Zasniva�e elementarnih funkcija pomo�u integrala

U Glavi 2 smo strogo zasnovali elementarne funkcije realne promen-ive (videti Definiciju 1 na str. 102) polaze�i od svojstava realnih brojevaizuqavanih u Glavi 1. Pri tome je definicija racionalnih funkcija izvedenaiz algebarskih svojstava poa realnih brojeva (i kao takva, va�i u svakompou), dok je za definiciju eksponencijalnih i trigonometrijskih funkcija,kao i �ima inverznih, bila neophodna Aksioma supremuma, ili neki od �enihekvivalenata. U sluqaju eksponencijalne funkcije, Aksiomu supremuma smoprimenili ve� pri dokazu egzistencije korena, tj. rexava�a jednaqine xn = a(videti dokaz Teoreme 22 na str. 55), xto nam je omogu�ilo da definixemoer za r ∈ Q. Zatim smo, ponovo pomo�u Aksiome supremuma, definisali ex zasve x ∈ R, pokazali da je funkcija

f : R→ (0,+∞), f(x) = ex

bijekcija i definisali �oj inverznu, logaritamsku funkciju.U sluqaju trigonometrijskih funkcija, Aksiomu supremuma smo iskoris-

tili da definixemo, ne funkciju, nego promenivu { argument trigonometri-jskih funkcija je ugao, ili, ekvivalentno, taqka jediniqnog kruga u komplek-snoj ravni (videti Definiciju 34 na str. 75). Za korektno zasniva�e pojmaugla iskoristili smo Aksiomu supremuma i du�inu luka jediniqnog krugadefinisali kao supremum du�ina izlomenih linija. Odatle smo izvelidefinicije sinusa i kosinusa kao projekcija taqke jediniqnog kruga na ko-ordinatne ose, a zatim i definicije ostalih trigonometrijskih i inverznihtrigonometrijskih funkcija.

U Glavi 4 smo videli kako elementarne funkcije mogu da se definixu naelegantan naqin pomo�u stepenih redova (videti Definiciju 13 na str. 226i Definiciju 14 iza �e). Podsetimo se da se na ovaj naqin elementarnefunkcije realne promenive proxiruju i na kompleksni domen.

7. ZASNIVA�E ELEMENTARNIH FUNKCIJA POMO�U INTEGRALA 309

Poka�imo sada kako elementarne funkcije mogu da se definixu uz pomo�integrala. Ve� smo spomenuli da su racionalne funkcije dobro definisaneu svakom pou, pa �emo po�i od jedne od �ih { funkcije f(t) = 1/t. Pomo�u�e, mo�emo da definixemo prirodni logaritam kao

log x :=

∫ x1

1

tdt, za x > 0. (47)

Iz Osnovne teoreme integralnog raquna (str. 262) sledi da je ovako defin-isana funkcija diferencijabilna (specijalno, i neprekidna). Diferenci-ra�em po gor�oj granici integrala (47) dobijamo

d

dxlog x =

1

x> 0, (48)

odakle sledi da je logaritamska funkcija strogo rastu�a. Ve� znamo da namje poznava�e izvoda funkcija dovono da priliqno detano ispitamo �ihovasvojstva. Npr, logaritamska funkcija �e imati jedinstvenu nulu x = 1, jer jestrogo rastu�a i

log 1 =

∫ 11

1

tdt = 0.

Iz divergencije integrala∫ 10

1

tdt i

∫ +∞1

1

tdt

zakuqujemo da je

limx→0+

log x = −∞ i limx→+∞

log x = +∞. (49)

Strogu monotonost logaritamske funkcije mo�emo da iskoristimo i dadamo alternativnu definiciju broja e, kao jedinstvenog rexe�a jednaqinelog x = 1. Primetimo da ova jednaqina ima rexe�e, poxto iz (49) i neprekid-nosti sledi da logaritam uzima sve realne vrednosti, i da je ovo rexe�ejedinstveno, zbog stroge monotonosti logaritma.

Iz monotonosti i neprekidnosti logaritma sledi da je

log : (0,+∞)→ R

bijekcija, pa ima inverznu funkciju. Na taj naqin mo�emo, polaze�i odteorije odre�enog integrala, da definixemo funkciju x 7→ ex kao inverznufunkciji (47). Iz pravila za izvod inverzne funkcije dobijamo

d

dxex = ex.

U ovom pristupu zasniva�u logaritamskih i eksponencijalnih funkcija�ihova osnovna algebarska svojstva mnogo se lakxe dokazuju nego u pristupudefinisa�u pomo�u redova ili direktne primene Aksiome supremuma. Radiilustracije, doka�imo svojstvo

log (xy) = log x+ log y za sve x, y > 0.

Neka je y > 0 proizvona konstanta i

h(x) = log (xy)− (log x+ log y).

310 6. ODRE�ENI INTEGRAL

Diferencira�em dobijamo

h′(x) = y1

xy− 1x

= 0.

Poxto je h(1) = log y − (log 1 + log y) = 0, a funkcija h je definisana idiferencijabilna na intervalu, iz Lagran�eve teoreme sledi da je h ≡ 0.

Zadatak 52. Dokazati da je log (ab) = b log a za a > 0. X

Zadatak 53. Polaze�i od ove definicije broja e kao jedinstvenog rexe�ajednaqine log x = 1 dokazati da je

e = limh→0

(1 + h)1/h. (50)

Uputstvo: Iz (48) sledi da je (log)′(1) = 1. Po definiciji prvog izvoda je

(log)′(1) = limh→0

log (1 + h)− log 1h

.

Izvesti odatle (50). X

Na sliqan naqin kao eksponencijalne i logaritamske, i trigonometrijskefunkcije mo�emo da definixemo pomo�u integrala. Npr, izrazom

arctanx :=

∫ x0

1

1 + t2dt

mo�emo da definixemo funkciju arkus tangens. Diferencira�em po gor�ojgranici dobijamo

(arctanx)′ =1

1 + x2> 0,

odakle sledi da je arkus tangens strogo monotona funkcija, pa ima inverznu,xto nas dovodi do definicije tangensa. Kao xto ve� znamo, pomo�u tan-gensa mo�emo da definixemo i ostale trigonometrijske funkcije. To namomogu�ava da damo i alternativnu definiciju broja π, npr. kao najma�e poz-itivne nule sinusa (umesto definicije koju smo dali u okviru Definicije 34na str. 75).

8. Neke nejednakosti

Na sliqan naqin kao Teorema 25 na str. 85 dokazuje se slede�a teorema.

Teorema 16. (Koxi–Xvarcova nejednakost za integrale) Neka jeI ⊂ R interval i

f, g : I → Cintegrabilne (po Rimanu) funkcije, takve da je∫

I

|f(x)|2 dx < +∞,∫I

|g(x)|2 dx < +∞. (51)

Tada je ∫I

|f(x)g(x)| dx ≤(∫

I

|f(x)|2 dx)1/2(∫

I

|g(x)|2 dx)1/2

, (52)

pri qemu jednakost va�i ako i samo ako postoji λ ∈ C, takvo da jef(x) = λg(x)

za sve x ∈ I.