METODE CLAPEYRON

of 15/15
Penyelesaian : 1 Free Body a. Bentang A - B q1 = 3 Q1 = x q1 x L = x 3 x 6 = 9 KN 7q L 3 (EI1) 7 * 3 * 6 3 (2EI) EI EI 8q L 3 (EI1) 8 * 3 * 6 3 (2EI) EI 0.5 0.5 KN/m α A = α A = 360 360 4536 720 = 63 10 = Menentukan Sudut Belahan Karena Muatan (Metode Clapeyron) di Setiap Tumpuan(α) 5184 = 360 720 α B1 = 360 α B1 = = 7.2 EI P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m 6 4 3 2 2 2 EI 2EI 2EI P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m EI 2EI 2EI MA MB1 MB2 MC1 MC2 a A a B1 a B2 a C1 a C2 a D A B C D 6 4 3 2 2 2 6 2EI MA MB1 a A a B1 A B Q1=9 kN 2 4
  • date post

    02-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    921
  • download

    8

Embed Size (px)

Transcript of METODE CLAPEYRON

  • Penyelesaian :

    1

    Free Body

    a. Bentang A - B

    q1 = 3

    Q1 = x q1 x L

    = x 3 x 6

    = 9 KN

    7 q L 3

    (EI1)

    7 * 3 * 6 3

    (2EI) EI EI

    8 q L 3

    (EI1)

    8 * 3 * 6 3

    (2EI) EI

    0.5

    0.5

    KN/m

    A =

    A =

    360

    360

    4536

    720=

    63

    10=

    Menentukan Sudut Belahan Karena Muatan (Metode Clapeyron) di Setiap Tumpuan()

    5184=

    360 720

    B1 =360

    B1 = =7.2

    EI

    P1=7 kN

    q1=3kN/m

    q2 = 4 kN/m

    6 4 3 2 2 2

    EI2EI 2EI

    P1=7 kN

    q1=3kN/m

    q2 = 4 kN/m

    EI2EI 2EI

    MAMB1

    MB2 MC1 MC2

    a A aB1 aB2 a C1 a C2 aD

    AB C D

    6 4 3 2 2 2

    6

    2EI

    MAMB1

    a A aB1

    AB

    27.27

    27.27

    Q1=9 kN

    24

  • b. Bentang B - C

    P = 7

    a = 4 m

    b = 3 m

    L = 7 m

    P b (L - b)

    6

    7 3 ( 7 - 3 )

    6 EI 7

    42 EI

    20

    EI

    P a (L - a)

    6

    7 4 ( 7 - 4 )

    6 EI 7

    42 EI

    22

    EI

    C. Bentang C - D

    q2 = 4 a1 = 2 m

    L = 6 m a2 = 4 m

    Q2 = x q1 x Lb b1 = 4 m

    = x 4 x 2 b2 = 2 m

    = KN

    Karena a1 = b2 dan a2 = b1

    Maka :

    1 1 4 b1

    6 (EI3L) 2 4 b2- ]

    q

    8

    C2 = x [ L

    C1 =

    KN/m

    C2 = D

    =

    C1 =924

    B2 =

    C1 =

    (EI2L)

    B2 =

    B2 =840

    KN

    B2 =

    (EI1L)

    C1

    P1=7 kN

    4 3

    EI

    MB2 MC1

    aB2 a C1

    B C

    2 2

    2EI

    MC2

    a C2 aD

    C D

    2

  • 1 2 2 1 4

    6 (2EI) 6 2 4

    1 2 2 1 4

    2 4

    72 EI

    EI

    3 EI

    2

    a. Sudut Belahan di Titik A

    MA L1 MB L1

    3 (EI1) 6 (EI1)

    MA 6 MB 6

    3 (2EI) 6 (2EI)

    6 MA 6 MB

    6 EI 12 EI

    z

    L h

    dimana:

    = Sudut belahan karena muatan

    z = Zetting (penurunan)

    L = Panjang Bentang

    = Sudut belahan karena momen

    = Sudut belahan karena gaya

    h =

    Sehingga:

    6 MA 6 MB

    EI 6 EI 12 EI

    60 MA 30 MB

    EI 60 EI 60 EI

    MA + 30 MB = Pers. 1378

    Karena tidak ada zetting (penurunan) di semua tumpuan, maka

    persamaan yang digunkan yaitu:

    =

    63

    10= +

    378= +

    60 378 = 60 + 30MA MB

    + = +

    60

    624

    D

    )

    72

    C2 =

    224 - 68

    C2 =

    (

    A = +

    = +

    ]}

    4

    C2 = x4

    - [ 6 2 - 2

    4 - 4 ] C2 = x {[ 6

    Menentukan Besar Sudut Belahan di Setiap Titik Akibat Momen ()

    =26

    = +

    q1=3kN/m

    2EI

    MAMB1

    A B1

    AB

    27.27

    27.27

    Q1=9 kN

    6

    24

  • b. Sudut Belahan di Titik B

    MB L1 MA L1

    3 (EI1) 6 (EI1)

    MB 6 MA 6

    3 (2EI) 6 (2EI)

    6 MB 6 MA

    6 EI 12 EI

    MB L2 MC L2

    3 (EI2) 6 (EI2)

    MB 7 MC 7

    3 (EI) 6 (EI)

    7 MB 7 MC

    3 EI 6 EI

    20 6 MB 6 MA 7 MB 7 MC

    EI 6 EI 12 EI 3 EI 6 EI

    12 MB 6 MA 28 MB 14 MC

    12 EI 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI

    + = 6 MA + 12 MB + 28 MB + 14 MC

    6 MA + 40 MB + 14 MC = Pers. 2

    c. Sudut Belahan di Titik C

    MC L2 MB L2

    3 (EI2) 6 (EI2)

    MC 7 MB 7

    3 (EI) 6 (EI)

    7 MC 7 MB

    3 EI 6 EI

    +

    + = + +

    86.4 240

    326.4

    +86.4 240

    + B1 B2 B1 + B2=

    B2 = +

    = +

    = +

    =

    B1 = +

    = +

    = +

    = +

    7.2

    EI

    +

    + = + +

    C1 = +

    P1=7 kN

    EI

    MB2 MC1

    B2 C1

    B C

    4 3

    2EI

    MC2

    C2D

    C D

    2 2 2

  • MC L3 MD L3

    3 (EI3) 6 (EI3)

    MC 6 MD 6

    3 (2EI) 6 (2EI)

    6 MC MD = 0 Karena dudukan rol

    6 EI

    22 7 MC 7 MB 6 MC

    EI 3 EI 3 EI 6 EI 6 EI

    14 MC 7 MB 6 MC

    6 EI 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI

    + = 14 MC + 7 MB + 6 MC + 0

    7 MB + 20 MC = Pers. 3

    d. Elimunasi persamaan 1 dan persamaan 2

    MA + 30 MB = x 1

    6 MA + 40 MB + 14 MC = x 10

    MA + MB =

    MA + MB + 140 MC = -

    MB MC =

    MB + MC = Pers. 4

    MB = - MC Pers. 4

    e. Elimunasi persamaan 2 dan persamaan 3

    MA + 40 MB + 14 MC = x 20

    7 MB + 20 MC = x 14

    MA + MB + MC =

    MB + MC = -

    MA MB =

    MA + MB = Pers. 5

    MB = - MA Pers. 5

    ( - MA )=MB

    702 3952 120

    3952 120

    702

    702 3952

    120 702 3952

    6

    280

    280

    120

    -370 -2886

    370 140 2886

    184

    326

    98 2576

    120 800 6528

    370 2886 140

    -140

    60 378

    326.4

    60 378

    326460

    30

    400

    132 52

    184

    260

    + 0

    C2 C1 + C2 = C1 +

    + +

    132

    +52

    = + +

    +

    = +

    = + 0

    + = +

    C2 =

  • Subtitusi persamaan 5 ke persamaan 1

    MA + 30 MB =

    MA + MB =

    ( - MA )

    MA + - MA =

    MA = -

    MA =

    MA = kNm

    Subtitusi MA ke persamaan 1

    MA + 30 MB =

    + 30 MB =

    + 30 MB =

    30 MB =

    MB = kNm

    Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 3

    MB + 20 MC =

    MB + MC =

    ( - MB )

    MB + - MB =

    MB = -

    MB =

    MB = kNm

    Subtitusi MB ke persamaan 3

    MB + 20 MC =

    + 20 MC =

    + 20 MC =

    20 MC =

    MC = kNm

    Sehingga diperoleh :

    MA = kNm

    MB = kNm

    MC = kNm

    MD = 0 Tumpuan rol

    7 184

    7 4.9782 184

    34.847 184

    149

    7.45763

    9.2

    9.2

    0.35 20.61 2.64 9.2

    0.35 MB + (2886 370

    ) =140

    228.65 378

    149

    4.97819

    -2.29 9.2

    -2.29 -11.4

    4.978

    20.61

    3.8109

    4.9782

    7.458

    Karena Semua MOMEN bernilai positif maka asumsi awal arah

    momen benar

    7 184

    0.35

    1.829 12.6 5.630

    1.829 6.970

    3.811

    60 378

    60 3.8109 378

    = 12.6( )

    2 5.630 0.171 12.6

    2 MA +3952 120

    702

    60 378

    2 12.6

  • 3Free Body

    a. Bentang A - B

    q1 = 3

    Q1 = x q1 x L

    = x 3 x 6

    = 9 KN

    MB = 0

    RA 6 - Q1 2 = 0

    RA 6 - 9 2 = 0

    6 RA - = 0

    6 RA = 18

    RA = 3 kN'

    MA = 0

    - RB1 6 + Q1 4 = 0

    RB1 6 - 9 4 = 0

    6 RB1 - = 0

    6 RB1 = 36.0

    RB1 = 6 kN'

    b. Bentang B - C

    P = 7 kN'

    L = 7 m

    MC = 0

    RB2 7 - P 3 = 0

    RB2 7 - 7 3 = 0

    7 RB2 - = 0

    7 RB2 = 21

    RB2 = 3 kN'

    21

    KN/m

    0.5

    0.5

    Menghitung Reaksi Perletakan

    18

    36

    P1=7 kN

    q1=3kN/m

    q2 = 4 kN/m

    EI2EI 2EI

    MAMB1

    MB2 MC1 MC2

    a A aB1 aB2 a C1 a C2 aD

    AB C D

    6 4 3 2 2 2

    q1=3kN/m

    2EI

    MAMB1

    a A aB1

    AB

    27.27

    27.27

    Q1=9 kN

    RARB1

    6

    24

    P1=7 kN

    EI

    MB2 MC1

    aB2 a C1

    B CRB2 RC1

    4 3

  • MB = 0

    - RC1 7 + P 4 = 0

    RC1 7 - 7 4 = 0

    7 RC1 - = 0

    7 RC1 = 28

    RC1 = 4 kN'

    c. Bentang C - D

    q2 = 4 Q2 = q1 x Lb

    L = 6 m = 4 x 2 = KN

    MD = 0

    RC2 6 - Q2 3 = 0

    RC2 6 - 8 3 = 0

    6 RC2 - = 0

    6 RC2 = 24

    RC2 = 4 kN'

    MC = 0

    - RD 6 + Q2 3 = 0

    RD 6 - 8 3 = 0

    6 RD - = 0

    6 RD = 24

    RD = 4 kN'

    - MB

    -

    = kN'

    - MA -

    - -

    = kN' + kN'

    = kN'

    - -

    - -

    = kN' + kN'

    = kN'

    + (

    L1(

    = 6 + (4.978 3.8109

    )6

    ) (

    28

    RB1

    ( RC1MC

    +MA

    L1

    +

    +3.811

    6(

    24

    24

    ) + ( RC2

    )4.97819

    +4.978 7.458

    )7

    RB2 +MB

    )L2

    MC

    3

    +MC MD

    )L2 L3

    4 +7.458 4.97819

    ) + 4 +7.458 0.0

    )7 6

    ( (

    +

    KN/m

    8

    MB=

    9.597

    =

    RC

    8.840

    =

    =

    2.805

    RA RA

    3

    RB = +MB

    6.195 2.646

    4.354 5.243

    q2 = 4 kN/m

    2EI

    MC2

    a C2 aD

    C DRC2 RD

    2 2 2

  • - MC

    -

    = kN'

    Dari hasil perhitungan reaksi perletakan maka diperoleh nilai lintang disetiap titik tumpuan yaitu:

    SFA =

    SFB1 =

    SFB2 =

    SFC1 =

    SFC2 =

    SFD =

    RD = RD +MD

    L3

    = 4 + (0.0 7.45763

    )6

    2.757

    2.805

    -6.195

    2.6458

    -4.354

    5.2429

    -2.757

    P1=7 kN

    q1=3kN/m

    q2 = 4 kN/m

    EI2EI 2EI

    MAMB1

    MB2 MC1 MC2

    a A aB1 aB2 a C1 a C2 aD

    AB C D

    2.085 kN

    RB RC RD8.84 kN

    9.60 kN2.76 kN

    RA

    3.811 kN m4.98 kN m

    4.98 kN m 7.46 kN m

    7.46 kN m

    6 4 3 2 2 2

    P1=7 kN

    q1=3kN/m

    q2 = 4 kN/m

    EI2EI 2EI

    MA

    MB1

    MB2

    MC1 MC2

    AB C D

    3 kN

    RB2 RC2 RD

    6 kN 4 kN 4 kN

    RA3.811 kN m

    4.98 kN m

    4.98 kN m

    7.46 kN m

    7.46 kN m

    RB1 RC1

    3 kN 4 kN

    3.811/6 kN/m

    3.811/6 kN/m

    4.98/7 kN/m

    4.98/7 kN/m

    7.46/6 kN/m

    7.46/6 kN/m

    M

    7.46 kN m

    C2

    7.46 kN m

    MA 3.811 kN m MB2 4.98 kN m

    MB14.98 kN m

    4.98/6 kN/m

    7.46/7 kN/m4.98/6 kN/m

    MC1

    7.46 kN m

    7.46/7 kN/m

    6 4 3 2 2 2

  • 4a. Bentang A - B

    Free Body Untuk Keseluruhan

    qx : q1 = x : L1 m

    qx : 3 = x : 6 m

    6 qx = 3 x

    3 x

    qx = x

    Qx = . qx . x -

    = . x . x

    =

    Mx = ( RA . x ) - ( Qx . x )

    Mx = ( . x ) - ( x . x )

    Mx = x - x

    Untuk memperoleh Lintang dari beban segi tiga maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas

    SFx = - x

    Catatan: jarak dimulai dari bagian segitiga yang luasnya terkecil 0 m x 6m

    MA = kN m

    SFA = RA = kN'

    Mmax = Jika SFx = 0 Dari Persamaan SFx = - x

    0 = - x

    x =

    x = -

    x = m

    Mmax Berada pada Jarak m dari titik A

    Sehingga jika disubtitusi ke persamaan

    Mx = ( RA . x ) - ( Qx . x )

    Mmax = ( . x ) - ( x . x )

    = x - x

    = ( . ) - ( . ( 3 ))

    Mmax = kN m

    2 3 4Jarak (m)

    3.000

    0.083

    Persamaan Momen pada Beban Merata Setiap Bentangan

    0.25 x

    =qx6

    0.5

    0.5

    1/3

    1/33.0 0.25

    3

    3.000

    3.000

    3.000

    3

    5 6

    0.00 2.917 5.33333 6.75

    1/3

    3 0.25 1/3

    Mx (kN/m)

    SFx (kN)

    3.46

    6.667 4.5833

    0.250

    0.250

    0.250

    12

    3.464

    0.00

    3.000 2.75 2 0.75 -1 -3.25 -6

    SFx =DMx

    dx 0.250

    0 1

    3.463 3.46

    6.928

    0.083

    0.00

    3.0

    0.083

    q1=3kN/m

    2EI

    AB

    Q1=9 kN

    6

    24

  • MB1 = (RA . L1) - ( Q1 . ( . L1))

    = ( . 6 ) - ( 9 . ( . 6 ))

    = kN m

    SFB1 = - RB1 = kN'

    b. Bentang B - C

    Free Body

    P = 7

    L = 7 m

    MB2 = - (RC1 . L2) + (P1 . 4 )

    = ( . 7 ) + ( 7 . 4 )

    = kN m

    MC1 = (RB2 . L2) - (P1 . 3 )

    = ( . 7 ) - ( 7 . 3 )

    = kN m

    Mmax = RB2 . 4

    = . 4

    = kN m

    SFB2 = RB2 = kN'

    SFC1 = - RC1 = kN'

    c. Bentang C - D

    q2 = 4 kN/m

    Qx = . q2 . x 2

    Qx = . 4 . x 2

    Qx = 2 x 2

    Mx = (RC2 . ( 2 + x )) - Qx

    Mx = ( 4 . ( 2 + x )) - 2 x 2

    Mx = + 4 x - 2 x 2

    Untuk memperoleh Lintang dari beban segi empat maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas

    SFx = 4 - 4 x

    0 m x 2m

    Catatan: jarak dimulai dari bagian terdekat dari C

    KN

    1/3

    3 1/3

    0.00

    -6.0

    1/2

    8

    SFx =DMx

    dx

    3.0

    12

    4.0

    3.0

    0

    3.0

    -4.0

    0

    1/2

    Jarak (m) 0 1 2

    Mx (kN/m) 8.00 10.00 8.00

    SFx (kN) 4.000 0.000 -4.000

    P1=7 kN

    EI

    B C

    4 3

    q2 = 4 kN/m

    2EI

    C DQx = 8kN

    2 2 2

  • Mmax = Jika SFx = 0 Dari Persamaan SFx = - x

    0 = - x

    x =

    x =

    x = m dari titik awal beban

    Mmax Berada pada Jarak m dari titik C

    Sehingga jika disubtitusi ke persamaan

    Mx = (RC2 . ( 2 + x )) - Qx

    Mmax = ( 4 . ( 2 + 1 )) - 2 . 1 2

    Mmax = kN m

    SFC2 = RC2 = kN'

    SFD = - RD = kN'

    5

    4.0 4.0

    4.0 4.0

    4.000 4.000

    1

    1.000

    3.00

    10.0

    4.0

    4.0

    Menentukan Momen Maksimum Secara Keseluruhan

    A B C D

    3.811 kN m

    4.978 kN m

    7.458 kN m

    0 kN m

    BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)

    A B C D

    3.811 kN m

    4.978 kN m

    7.458 kN m

    0 kN m

    346

    6.928 kN m

    12 kN m

    10 kN m

    300

    BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD) FREE BODY

  • a. Bentang A - B

    + y + y

    +

    + y + + y =

    y = -

    y =

    y = kN m

    Mmax = Mmax Free body - y

    = -

    = kN m

    b. Bentang B - C

    + y + y

    +

    + y + + y =

    y = -

    y =

    y = kN m

    3.8109

    2)( x 3.464 )( + ( (

    4.978) x 2.536 )

    2

    = ( (3.8109

    ) x 6.000 )2

    4.978

    26.4 6.9282 25.25 5.072 105.47

    12 105.47 51.65

    12 53.818

    4.4848

    6.928 4.485

    2.443

    ( (4.9782

    ) x )2 2

    = ( (4.9782 7.458

    ) x 7.0 )2

    4.0 ) + ( (7.458

    ) x 3.0

    39.83 8 44.75 6 174.1

    14 174.1 84.57

    14 89.53

    6.395

    A B

    3.811 kN m

    4.978 kN m

    y

    6

    3.464

    B C

    4.978 kN m

    7.458 kN m

    y

    4

    7

    3

  • Mmax = Mmax Free body - y

    = -

    = kN m

    c. Bentang C - D

    6 y =

    y = kN m

    Mmax = Mmax Free body - y

    = -

    = kN m

    22.373

    3.7288

    10.0 3.729

    6.271

    12.0 6.395

    5.605

    6

    7.458=

    3

    yC D

    7.458 kN m

    0 kN m

    y

    6 3

    6

  • 600 400 300 200 200 200

    AB C D

    A B C D

    q1=3kN/m

    P1=7 kN

    q2 = 4 kN/m

    2.805 kN

    -6.195 kN

    2.646 kN

    -4.354 kN

    5.243 kN

    -2.757 kN

    A B C D

    -3.811 kN m

    -4.978 kN m

    -7.458 kN m

    0 kN m

    2.443 kN m

    5.605 kN m

    6.271 kN m

    346

    300SHEARING FORCE DIAGRAM (SFD)

    BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)

    - --

    + ++

    +++

    ---