MEHANIKA FLUIDA

Sloeni cevovodi 1.zadatak. Iz dva velika otvorena rezervoara sa istim nivoima H=10 m istie voda kroz cevi I i II istih prenika i duina: d=100mm, l=15m i magistralni cevovod duine 2L=100m, prenika D=150mm. Zanemariti lokalne gubitke, tr=0,03 (za sve cevi).

a) Odrediti protoke kroz cevi I i II i magistralni cevovod. b) Koliki je jedinini rad i korisna snaga pumpe P koju treba ugraditi u cevovod I da

bi protoci u cevi I i II bili isti.

Reenje: a) Bernulijeve jednaiena za nivoe vode u rezervoarima i izlazni presek magistralnog cevovoda su:

2 2 2 2a a 1

tr tr trp p vl L v L v vgH

d 2 D 2 D 2 2

+ = + + + +

... (1)

2 2 2a a 2

tr trp p vl L v vgH

d 2 D 2 2+ = + + +

... (2)

Iz jednaine kontinuiteta imamo: 2 2

1d Dv v4 4 = 2 21v d v D= ... (3)

2 2 2

1 2d d Dv v v4 4 4 + = ( ) 2 21 2v v d vD+ = ... (4)

2 2 21 2

2

1 2

l L lOd (2) oduzmemo (1) i dobijamo: v v v d D d

diz (3) dobijamo: v v D

+ = =

4

2 2 21 1 2

l L d lv v vd D D d

+ =

4

2 1 1d l L dv v 1, 2vl d D D = + =

.

Iz (4) se dobija: ( )2 2 21 1 1vD v 1,2v d 2,2v d= + = 2

1dv 2, 2vD

=

.

Dakle,

2

1

2

2 1

1 Dv v2, 2 d

1,2 Dv 1, 2v v 2, 2 d

=

= =

(2) 2 42 2

tr trvl 1, 2 D L vgH 1

d 2 2, 2 d D 2 = + +

,

tj.

2 4

tr tr

2gHv 3,32 m/sl 1, 2 D L 1d 2,2 d D

= = + +

.

Ostale brzine su: 2

1

2

2 1

1 Dv v 3, 4 m / s2, 2 d

1, 2 Dv v =1,2v =4,08 m/s 2, 2 d

= =

=

Traeni protoci su: 2

1 1

2

2 2

2

dQ v 26,7 l/s4

dQ v 32,1 l/s4

DQ v 58,8 l/s4

= =

= =

= =

b) Sada je prikljuena pumpa P. Uslov zadatka je:

1 2Q Q= 2 2

1 2d dv v4 4 = 1 2v v= .

Bernulijeva jednaina za nivoe vode u levom rezervoaru i izlazni presek magistralnog cevovoda:

2 2 2 21

P tr tr trvl L v L v vgH Y

d 2 D 2 D 2 2

+ = + + +

2 2 2 21

P tr tr trvl L v L v vY gH

d 2 D 2 D 2 2= + + + + ... (1)

Bernulijeva jednaina za nivoe vode u desnom rezervoaru i izlazni presek magistralnog cevovoda:

2 2 22

tr trvl L v vgH

d 2 D 2 2= + + ... (2)

Jednaine kontinuiteta su: 2 2

1d Dv v4 4 = 2 21v d v D= ... (3)

2 2 2

1 1d d Dv v v4 4 4 + = 2 21vD 2v d= ... (4)

Iz (4) 2

11 Dv v2 d

=

(2): 4 2 2

tr trvl 1 D L vgH 1

d 4 d 2 D 2 = + +

4 4

tr tr

2gH 2 9,81 10v1 l D L 1 15 150 501 0,03 0,03 14 d d D 4 0,1 100 0,15

= =

+ + + +

v 3,43 m/s= .

2

11 Dv v 3,86 m/s2 d = =

; iz (3) 2

1dv vD

=

v 1,715 m/s =

Dakle, 1 2v v 3,86 m/s= =

Protok kroz pumpu je: 2

1 1dQ v 30,3 l/s4

= =

Jedinini rad pumpe je (v, v1, v u (1)): PY 14,8 J/kg=

Korisna snaga pumpe je: P 1 PP Q Y 448 W= =

2. zadatak. Voda tee iz gornjeg rezervoara u donji, kao to je prikazano na slici. Poznati su sledei podaci: l1=l2=l3=l4=80m, d1=d2=d4=80mm, d3=160mm, H=20m, tr1=tr2=tr4=0,025, tr3=0,02. Koeficijent otpora ventila je =20, a drugi koeficijenti otpora se zanemaruju. Odrediti protok ako je ventil a) otvoren i b) zatvoren.

Reenje: a) Kada je ventil otvoren imamo iz Bernulijeve jednaine napisane za preseke 1 i 2 a za jednu i drugu cev:

223 32 2

tr2 tr32 3

v ll vd 2g 2g d

= +

... (1)

Jednaina kontinuiteta je:

1 2 3Q Q Q= + ... (2)

Bernulijeva jednaina za nivoe vode u rezervoarima a kroz gornju cev je: 2 2 2

1 1 2 2 4 4tr1 tr2 tr4

1 2 4

l v l v l vHd 2g d 2g d 2g

= + + ... (3)

Kako je d1= d2= d4 v1= v4, pa jednaina (3) postaje: 2 2

1 1 2 2tr1 tr2

1 2

l v l vH 2d 2g d 2g

= + ... (3*)

( ) ( )

22 2

2 2 2 22

23 3

3 3 3 23

d 4QQ v v4 d

1 i 3d 4QQ v v 4 d

= =

= =

22

3 32 2tr2 tr32 2

2 2 3 3

l 4Ql 4Qd d d d

= +

3 2Q 3,65Q=

2 2

1 1 2 2tr1 tr22 2

1 1 2 2

l 4Q l 4Q1 1H 2d 2g d d 2g d

= +

2 2 41 22Q Q 4 10+ =

1 2 3Q Q Q= +

Iz poslednjih jednaina dobija se da je: 1Q 13,95 l/s= .

b) Kada se ventil potpuno zatvori, bie: 2 2 2

1 1 2 2 4 4tr1 tr2 tr4

1 2 4

l v l v l vHd 2g d 2g d 2g

= + +

I, s obzirom na specifinost podataka, bie: 22

1 1 1 1tr1 tr1 2

1 1 1

l v l 4Q1H 3 3d 2g d 2g d

= =

2tr1 1 15 21

24 l QHgd

=

1Q 11,5 l/s=

Napomena: mogle su da se sraunaju brzine pa onda protoci. 3. zadatak Pumpa P transportuje jednake koliine nafte ( =900 kg/m3) u rezervoare 2 i 3 iz rezervoara 1. Odrediti snagu pumpe i protoke kroz sve grqne cevovoda ako su poznati sledei podaci: H=8m, pm=0,2 bar, pv=0,1 bar, L1=50 m, L2=100 m, D=150mm, d=100mm, v=5, tr=0,03 (za sve cevi), v3=30, k=0,5, p=0,8.

Reenje: Iz uslova jednakosti protoka u rezervoarima 2 i 3 imamo (cevi su istog prenika):

2 3Q Q= 2 3v v=

Bernulijeva jednaina za nivoe tenosti 1 i nivoe 2 i 3: 2 2

a a m 1 1 2 2P tr v u tr v k

p p p L v L vY 2 1D 2 d 2

+ + = + + + + + + +

22a a v 3 31 1

P tr v u tr v3p p p L vL vgH Y 2 1

d 2 D 2 + + = + + + + + +

Iz ove dve jednacine se dobija: 22

v 3 3m 2 2tr v k tr v3

p L vp L vgH 1 1d 2 d 2

+ + + + + = + + + ... (1)

Kako je 2 3v v= , iz (1) se dobija: 2

m v 3 2 2tr v3 tr v k

p p L L vgH 1 1d d 2

+ + = + +

m v

2 33 2

tr v3 tr v k

p p2 gHv v 2,7 m/sL L

d d

+ + = = =

+

Brzina v1 odreuje se iz jednaine kontinuiteta:

1 2 3Q Q Q= +

2 2 2 2

1 2 3 2D d d dv = v + v 2v

4 4 4 4

= 2 21 2v D = 2v d 2

1 2dv = 2v 2,4 m/sD

=

.

Onda su protoci kroz pojedine grane: 2 2

3 31 1 2 3 2

D dQ v 0,0424 m /s; Q Q v 0,0212 m /s;4 4

= = = = =

Jedinini rad pumpe moe se dobiti iz polaznih jednaina:

PY 191,7 J/kg= .

Potrebna snaga pumpe iznosi:

1 PP

P

Q YP 9,14 kW= =

.

4. Zadatak. Za pumpno postrojenje prikazano na slici treba odrediti jedinini rad i snagu pumpe P, kao i protoke vode u svim deonicama. Lokalne otpore zanemariti. Poznate su sledee veliine: d1=50mm, d2=60mm, d3=80mm, d4=40mm, d=100mm, Q3=5 l/s, H=30m, l=20m, pm=0,6 bar, pv=0,3 bar, =1000 kg/m3. Lokalni otpori se zanemaruju.

Reenje:

Zadatkom je dat protok Q3, pa je: 23

3 3dQ v4

= 33 23

4Qv 1 m/sd

= =

.

Sada napiemo Bernulijevu jednainu za nivoe 1-3, 1-4 i 2-3 u rezervoarima:

( )22 2

a v a 3 31 1P tr tr tr

1 3

p p p l vl v v2lY g H hd 2 d 2 d 2

+ = + + + + +

(1)

2 2 2a v a m 1 1 4 4

P tr tr tr1 4

p p p p l v v l v2lY gHd 2 d 2 d 2

++ = + + + +

(2)

( )22 2

a v a 3 32 2P tr tr tr

2 3

p p p l vl v v2lY g H hd 2 d 2 d 2

+ = + + + + +

(3)

Pored ovih Bernulijevih jednaina napiimo i jednaine kontinuiteta (za mesta ravanja):

1 2Q Q Q+ = 2 2 21 2

1 2d d dv + v = v4 4 4 2 2 21 1 2 2v d + v d = vd (4)

3 4Q Q Q+ = 2 2 23 4

3 4d d dv + v = v4 4 4 2 2 23 3 4 4v d + v d = vd (5)

Iz (1) i (2) 22

3 3m 4 4tr tr

4 3

l vp l v ghd 2 d 2

+ = +

(6)

to ustvari pretstavlja jednakost ukupnih energija na mestu ravanja deonica (l3,d3) i (l4,d4). Iz jednaine (6) je:

23 34 m

4 trtr 4 3

l v2d pv gh 1,9 m/sl d 2

= + = .

Poto sada znamo v3 i v4 iz jednaine (5) je: 2 2

3 43 4

d dv =v +v 0,94 m/sd d

=

.

Iz jednaine (1) i (3) imamo: 2 2

1 1 2 2tr tr

1 2

l v l vd 2 d 2

= (7)

to ustvari pretstavlja jednakost gubitaka energije u deonicama (l1,d1) i (l2,d2).

Iz (7) 2

1 22 1

2 1

l dv =vl d

(4)

2 2 21 21 1 1 2

2 1

l dv d + v d = vdl d

12 22

1 2 1 21 2 2

1 2 2 1

d d d l dv = v v 1,56 m/sd d d d l d

= + = +

Onda je: 1 22 12 1

l dv v = 1,53 m/sl d

= .

Protoci su: 2

2 21 2

1 1 2 2

2 23 4

3 3 4 4

dQ v 7,37 l/s; 4d dQ v 3,06 l/s; Q v 4,31 l/s;4 4

d dQ v 5 l/s; Q v 2,37 l/s;4 4

= =

= = = =

= = = =

Jedinini rad pumpe moe da se odredi iz bilo koje od jednaina (1), (2), (3) i iznosi: PY 557,2 J/kg= .

Snaga pumpe je: PPP

QYP 5,13 kW= =

5. zadatak. Pumpa snage 3,5 kW i stepena korisnosti =0,7 crpe vodu iz rezervoara A i B i potiskuje u rezervoar C. Odrediti:

a) bisinu H1, ako je protok kroz pumpu 25 l/s vode; b) protok vode kroz pumpu ako je ventil V2 zatvoren a pumpa ostvaruje isti jedinini

rad kao i u sluaju pod a). Ostali podaci su: H=3m, l=45m, l1=35m, l2=20m, D=150mm, d=100mm, v=5, v2=7, k=0,2, tr=0,025.

Reenje: Jedinini rad pumpe je:

PPY 98,1 J/kgQ

= =

.

Iz izraza za protok imamo: 2dQ v4

= 24Qv 1,41 m/sd