Medicion de La Desigualdad

Xavi R

amos:

Xavi R

amos: E

conomía de la P

obreza y la Desigualdad

Econom

ía de la Pobreza y la D

esigualdad 1

Medición de la Desigualdad

Economía de la Pobreza y la Desigualdad Economía de la Pobreza y la Desigualdad

Xavi RamosXavi Ramos

Xavi R

amos:

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 2

Índice

RankingsRankings Medidas de desigualdadMedidas de desigualdad DescomposiciónDescomposición

RankingsRankings

Xavi R

amos:

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 3

Dominancia de Lorenz Normalizamos dominancia de segundo orden por Normalizamos dominancia de segundo orden por μ Expresa la proporción de renta correspondiente a la Expresa la proporción de renta correspondiente a la proporción poblacional proporción poblacional qq de la distribución de la distribución FF como: como:

L(F;q) := C(F;q) / (F) Obtenemos Obtenemos dominancia de Lorenzdominancia de Lorenz o ranking de o ranking de proporcionesproporciones

Para dada, G domina en términos de Lorenz a F

W(G) > W(F) para toda WW2

Atkinson (1970) demuestra que:Atkinson (1970) demuestra que:

G domina en términos de G domina en términos de Lorenz a Lorenz a FFsignificasignifica: : para todo para todo qq,, L L((GG;;qq) ) LL((FF;;qq), ), para algún para algún qq,, L L((GG;;qq) > ) > LL((FF;;qq) )

Xavi R

amos:

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conomía de la P


Econom


esigualdad 4

Define Define xx[[ii]] como el como el ii-ésimo elemento del vector -ésimo elemento del vector

de rentas de rentas ((xx11,,xx22,…,,…,xxnn))

Entonces podemos definir: Entonces podemos definir: Desfile de PenDesfile de Pen

Renta acumuladaRenta acumulada

CLGCLG

CLCL

Para distribuciones discretas …

Xavi R

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conomía de la P


Econom


esigualdad 5

La Curva de Lorenz

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pro

porc

ión

de

ren

ta

proporción de población

L(G;.)

L(F;.)

L(.; q)

q

Curva de Lorenz para F

Curva de Lorenz para F

EjemploEjemploq=F(μ)

Xavi R

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conomía de la P


Econom


esigualdad 6

Renta original+ transf. monetarias

Renta bruta- impuestos directos

Renta disponible- impuestos indirectos

Renta después imp.+ transf. en especie

Renta final

Aplicación de la dominancia al sistema de impuestos y transferencias, UK

Cómo estan ordenadas estas 5 distribuciones?

Xavi R

amos:

Xavi R

amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Proporción de población

Pro

po

rció

n d

e r

en

tai

Renta original

Renta bruta

Renta disponible

Renta despues impuestos

Renta final

(Linia Igualdad)

Curvas de Lorenz. Impacto de Impuestos y Transferencias. UK 2000/1

Xavi R

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 8

Conclusiones de nuestro ejemplo

Las conclusiones son las que seguramente ya intuíamos …Las conclusiones son las que seguramente ya intuíamos … En la mayoría de países:En la mayoría de países:

Impuestos directos son progresivosImpuestos directos son progresivos Así como las transferencias (sobretodo monetarias)Así como las transferencias (sobretodo monetarias) Pero los impuestos indirectos son regresivos!Pero los impuestos indirectos son regresivos!

Por eso la dominancia de Lorenz no es sorprendente.Por eso la dominancia de Lorenz no es sorprendente. Pero que sucede si lo analizamos a lo largo del tiempo?Pero que sucede si lo analizamos a lo largo del tiempo?

Xavi R

amos:

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


Pro

po

rció

n d

e r

en

ta

1993

2000-1

(Linia Igualdad)

“Renta final” – Lorenz

Xavi R

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conomía de la P


Econom


esigualdad 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0


Pro

po

rció

n d

e r

en

ta

1993

2000-1

(Linia Igualdad)

“Renta original” – Lorenz

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Las curvas de Lorenz se cruzan

¿Es 1993 más igual?

¿ó lo es 2000-1?

Xavi R

amos:

Xavi R

amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 11

En resumen … La dominancia de segundo orden (CLG) equivale La dominancia de segundo orden (CLG) equivale

a ordenar según renta acumulada.a ordenar según renta acumulada. La dominancia de Lorenz equivale a ordenar por La dominancia de Lorenz equivale a ordenar por

proporciones de renta. proporciones de renta. Caso especial de la dominancia de LG Caso especial de la dominancia de LG

normalizada por la media.normalizada por la media. Sin embargo …cuando las curvas de Lorenz se Sin embargo …cuando las curvas de Lorenz se

cruzan no es posible obtener una ordenación no cruzan no es posible obtener una ordenación no ambigua en términos de desigualdad …ambigua en términos de desigualdad …

… … a menos que impongamos nuevas a menos que impongamos nuevas restricciones sobre SWF.restricciones sobre SWF.

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conomía de la P


Econom


esigualdad 12

Cuando las CGLorenz se cruzan Considera la siguiente función:

W3 W2: u(•)’ > 0; u(•)’’ < 0; u(•)’’’ > 0 Es decir, creciente, cóncava y… … Que cumpla el Que cumpla el Principio de las Transferencias DecrecientesPrincipio de las Transferencias Decrecientes::

Una pequeña transferencia de un individuo con renta x a otro Una pequeña transferencia de un individuo con renta x a otro con renta (x-con renta (x-ΔΔ)), importa más cuanto menor es x., importa más cuanto menor es x.

Una transferencia de un individuo con renta 500 a otro con renta 100 Una transferencia de un individuo con renta 500 a otro con renta 100 incrementará más el bienestar que la misma transferencia de un individuo con incrementará más el bienestar que la misma transferencia de un individuo con renta 900 a otro con renta 500.renta 900 a otro con renta 500.

Lo que implica que la transferencia más valorada es la que se produce entre un Lo que implica que la transferencia más valorada es la que se produce entre un pobre y un muy pobre (lo compartes?)pobre y un muy pobre (lo compartes?)

Si las CLG para F y G se cruzan una sola vez, entonces: (Dardanoni & Lambert, 1988)

W(F)>W(G) para todo W W3

(i) G cruza a F desde abajo(ii) μ(F) = μ(G)(iii) σ²(F) σ²(G)

Alternativamente, podemos utilizar índices de desigualdad que proporcionan Alternativamente, podemos utilizar índices de desigualdad que proporcionan ordenaciones completas.ordenaciones completas.

Xavi R

amos:

Xavi R

amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 13

Índice

RankingsRankings Medidas de desigualdad - IntuiciónMedidas de desigualdad - Intuición DescomposiciónDescomposición

Medidas de desigualdad - IntuiciónMedidas de desigualdad - Intuición

Xavi R

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 14

Medidas de desigualdad

Qué es un índice de desigualdad?Qué es un índice de desigualdad? Una función que va del conjunto de Una función que va del conjunto de

distribuciones… distribuciones… ……a la recta de los números reales.a la recta de los números reales. Por tanto, proporciona una ordenación Por tanto, proporciona una ordenación

completa.completa. Formas alternativas de plantear indices:Formas alternativas de plantear indices:

IntuiciónIntuición Bienestar socialBienestar social Enfoque axiomáticoEnfoque axiomático

Empecemos por la intuiciónEmpecemos por la intuición

Xavi R

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conomía de la P


Econom


esigualdad 15

Indices de desigualdad Intuitivos

La primera que viene a la mente es una medida de La primera que viene a la mente es una medida de dispersión … la varianzadispersión … la varianza

Pbma: depende de la renta media Pbma: depende de la renta media Podemos utilizar el coeficiente de variaciónPodemos utilizar el coeficiente de variación

No cumple el Ppio. Transferencias DecrecientesNo cumple el Ppio. Transferencias Decrecientes

Xavi R

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pro

por

ción

de

ren

ta

proporción de población

Coeficiente de GiniCoeficiente de Gini

El índice de desigualdad más popular?Las comparaciones en términos de Lorenz pueden resultar inconcluyentes

Pero podemos utilizar Lorenz para definir un índice

G = A/(A+B) = 2A = 2(0.5-B) = 1-2B

A

B

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Econom


esigualdad 17

Diferencia normalizada entre todos los pares de rentas:Diferencia normalizada entre todos los pares de rentas: Forma contínua:Forma contínua:

Forma discreta:Forma discreta:

El coeficiente de Gini

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conomía de la P


Econom


esigualdad 18

Expresando el Gini como una media ponderada Expresando el Gini como una media ponderada obtenemos una interpretación interesanteobtenemos una interpretación interesante

Las ponderaciones Las ponderaciones son muy especiales son muy especiales Dependen de la posición en la distribuciónDependen de la posición en la distribución Cambian cuando se incorporan o salen otros miembros Cambian cuando se incorporan o salen otros miembros

de la distribuciónde la distribución

Más coeficiente de Gini

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Econom


esigualdad 19

Enfoque Intuitivo: dificultades

Esencialmente arbitrarioEsencialmente arbitrario No implica que el CV o el Gini sean índices malosNo implica que el CV o el Gini sean índices malos Pero, cuáles son sus fundamentos?Pero, cuáles son sus fundamentos?

El índice de Gini tiene además algunos problemas El índice de Gini tiene además algunos problemas ‘estructurales’‘estructurales’ No se puede descomponer aditivamenteNo se puede descomponer aditivamente

Cuál es la relación con el bienestar social?Cuál es la relación con el bienestar social? Examina la relación entre desigualdad y bienestar Examina la relación entre desigualdad y bienestar

directamente: aproximaciones normativasdirectamente: aproximaciones normativas

Xavi R

amos:

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Econom


esigualdad 20

Índice

RankingsRankings Medidas de desigualdad – Bienestar socialMedidas de desigualdad – Bienestar social DescomposiciónDescomposición

Medidas de desigualdad – Bienestar socialMedidas de desigualdad – Bienestar social

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conomía de la P


Econom


esigualdad 21

SWF y desigualdad: Atkinson

Atkinson (1970) utiliza una Atkinson (1970) utiliza una W W2 donde donde uu es iso-elàstica: es iso-elàstica:

xx1 – – 1 u(xx) = ————, 1 –

La propiedad de elasticidad constante implica que la reducción La propiedad de elasticidad constante implica que la reducción proporcional de la ponderación en bienestar [proporcional de la ponderación en bienestar [u’u’((xx)], causada por un )], causada por un incremento proporcional de la renta, es constante para cualquier nivel de incremento proporcional de la renta, es constante para cualquier nivel de renta.renta. i.e. un incremento de la renta del 1% reduce la ponderación en un i.e. un incremento de la renta del 1% reduce la ponderación en un

% de su valor anterior.% de su valor anterior. Cuanto mayor sea Cuanto mayor sea , mayor será la reducción proporcional en la , mayor será la reducción proporcional en la

ponderación para un mismo incremento de renta.ponderación para un mismo incremento de renta. Por tanto, ePor tanto, el parámetro l parámetro se puede interpretar como la aversión a la se puede interpretar como la aversión a la

desigualdad.desigualdad.

• El cambio en bienestar de un incremento en la renta de todos los individuos es:

ΔW = u’(x1)Δx1 + u’(x2)Δx2 +…+ u’(xn)Δxn • Por tanto, podemos interpretar las u’(xi) como ponderaciones, que recogen la

importancia que damos a los incrementos de renta.

• Notar que u’(xi) depende del nivel de renta x, y de ε (la curvatura).

• El cambio en bienestar de un incremento en la renta de todos los individuos es:

ΔW = u’(x1)Δx1 + u’(x2)Δx2 +…+ u’(xn)Δxn • Por tanto, podemos interpretar las u’(xi) como ponderaciones, que recogen la

importancia que damos a los incrementos de renta.

• Notar que u’(xi) depende del nivel de renta x, y de ε (la curvatura).

W(F) = ∫ u(x)dF(x) W(F) = ∫ u(x)dF(x)

Elasticidad de u’(x) = -xu’’(x) / u’(x) = ε Elasticidad de u’(x) = -xu’’(x) / u’(x) = ε

Xavi R

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conomía de la P


Econom


esigualdad 22

Relación entre utilidad y renta (relativa)

1 2 3 4 5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

U

x /

... y cuanto mayor es ε, más cóncava es la relación

La escala de U es arbitraria: añadir o multiplicar por una constante los valores de U no altera sus caracterísitcas como índice de bienestar. Lo que importa es la curvatura! …

La escala de U es arbitraria: añadir o multiplicar por una constante los valores de U no altera sus caracterísitcas como índice de bienestar. Lo que importa es la curvatura! …

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amos:

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esigualdad 23

Relación entre el peso [u’(x)] y la renta

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

U'

x /

Para = 0, el peso es constante

Para 2, el peso disminuye rápidamentee.g. 5 [U’(0.45 )= 5·U’( )]

Para = 5, U’(2 ) 0

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amos:

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Econom


esigualdad 24

Renta Equivalente Igualmente Distribuida Si U(x) es cóncava E[U(x)] < U[E(x)] = U()

Podemos obtener el mismo nivel de

utilidad, E[U(x)], con una renta per capita menor, , si está igualmente distribuida.

U(x)

E(x)=x1 x2

U()=U[E(x)]

U(x1)

U(x2)

U = E[U(x)]

U(x)

x

es la REID (EDEI)

Podemos prescindir de ( - ) y obtener el mismo bienestar.

( - ) mide el coste de la desigualdad.

La curvatura de U(x) indica la disposición de la sociedad a tolerar la ‘pérdida de eficiencia’ para conseguir más igualdad.

Xavi R

amos:

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Econom


esigualdad 25

Renta Equivalente Igualmente Distribuida (2)

O xi

xj

otra forma de verlo Dada una distribución …todas estas tienen la misma media Dadas unas curvas de indiferencia social

•E

(F) (F)

•F

La distribución igualitaria E tiene el mismo bienestar que F. Por tanto, es la REID

( - ) es el coste de la desigualdad.

La curvatura de las curvas de indiferencia indica la disposición de la sociedad a tolerar la ‘pérdida de eficiencia’ para conseguir más igualdad.

Xavi R

amos:

Xavi R

amos: E

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Econom


esigualdad 26

Dada una WDada una W WW22 con con uu iso-elàstica, se puede expresar como iso-elàstica, se puede expresar como

(F) (F) - (F)I

A(F) = 1 – —— = ———————

(F) (F)

Índice de Atkinson

Atkinson (1970) propone una medida de desigualdad en Atkinson (1970) propone una medida de desigualdad en términos del coste de ésta:términos del coste de ésta:

W(F) = ∫ u(x)dF(x) W(F) = ∫ u(x)dF(x)

x 1 - – 1 u(x) = ———— , 0

1 –

x 1 - – 1 u(x) = ———— , 0

1 –

Xavi R

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Econom


esigualdad 27

Índice de Atkinson (2) Está acotado entre (0, 1)Está acotado entre (0, 1)

0 IA(F) 1

Interpretación muy intuitiva:Interpretación muy intuitiva: I

A(F) = 0.2 significa que podemos 0.2 significa que podemos

prescindir del 20% de la renta total y prescindir del 20% de la renta total y obtener el mismo nivel de bienestar si obtener el mismo nivel de bienestar si distribuimos igualitariamente el 80% distribuimos igualitariamente el 80% restante.restante.

Xavi R

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esigualdad 28

Índice

RankingsRankings Medidas de desigualdad – AxiomasMedidas de desigualdad – Axiomas DescomposiciónDescomposición

Medidas de desigualdad – AxiomasMedidas de desigualdad – Axiomas

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amos: E

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Econom


esigualdad 29

Enfoque Axiomático Ya hemos visto algunos de los axiomas Ya hemos visto algunos de los axiomas

estándar (para el caso del bienestar)estándar (para el caso del bienestar) AnonimidadAnonimidad Principio de poblaciónPrincipio de población Principio de transferenciasPrincipio de transferencias Invarianza de escala/translaciónInvarianza de escala/translación

Sin embargo, vale la pena reconsiderar la Sin embargo, vale la pena reconsiderar la propiedad de descomponibilidad, ya que:propiedad de descomponibilidad, ya que: Nos permitirá relacionar la desigualdad de toda Nos permitirá relacionar la desigualdad de toda

la población con la de los subgrupos.la población con la de los subgrupos. Nos conducirá a una família de índices: FEGNos conducirá a una família de índices: FEG

Xavi R

amos:

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 30

Índice

RankingsRankings Medidas de desigualdad – AxiomasMedidas de desigualdad – Axiomas DescomposiciónDescomposición DescomposiciónDescomposición

Xavi R

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 31

Descomposición: objetivo

Poder cuantificar qué parte de la Poder cuantificar qué parte de la desigualdad total se puede atribuir a un desigualdad total se puede atribuir a un subgrupo poblacionalsubgrupo poblacional Definido en términos de edad, sexo, Definido en términos de edad, sexo,

educación, etc.educación, etc. … … o del cruce de más de un atributo.o del cruce de más de un atributo.

Los subgrupos tienen que ser exhaustivos y Los subgrupos tienen que ser exhaustivos y disjuntos, i.e. particionesdisjuntos, i.e. particiones

Ejemplo de una partición

Ejemplo de una partición

Xavi R

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amos: E

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Econom


esigualdad 32

Una partición

Proporción poblacional

Desigualdad subgrupo

Proporción de renta

j

sj

Ij

(ii)

(i)

(iii)

(iv)

• La poblaciónLa población• Atributo 1Atributo 1

• Un subgrupoUn subgrupo• Atributo 2Atributo 2

(1)(2)

(3) (4)(5) (6)

Xavi R

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Econom


esigualdad 33

restricción ponderacionesrestricción ponderaciones

función de pesosfunción de pesos

Descomposición aditiva

descomposición aditivadescomposición aditiva

La desigualdad total es mayor que la suma de las desigualdades en los subgrupos, ya que la heterogeneidad de los grupos es una fuente de dispersión

La desigualdad total es mayor que la suma de las desigualdades en los subgrupos, ya que la heterogeneidad de los grupos es una fuente de dispersión

Xavi R

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Econom


esigualdad 34

Dos tipos de particiones

En base a los atributos relevantesEn base a los atributos relevantes Los grupos se solaparán en rentaLos grupos se solaparán en renta

Particiones que no se solapen en rentaParticiones que no se solapen en renta Particiona sólo en base a la rentaParticiona sólo en base a la renta

La distinción entre las dos es crucialLa distinción entre las dos es crucial Algunos índices populares sólo se podrán descomponer Algunos índices populares sólo se podrán descomponer

para el segundo tipo para el segundo tipo

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Econom


esigualdad 35

Ilustración de las dos particiones

x*

N1 N2

0

x**N1

grupos de renta no solapados

grupos de renta solapados

x

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conomía de la P


Econom


esigualdad 36

Una familia de índices decomponibles La única família de índices que satisface la propiedad de La única família de índices que satisface la propiedad de

descomponibilidad aditiva (e invarianza de escala) es la descomponibilidad aditiva (e invarianza de escala) es la Familia de Entropía GeneralizadaFamilia de Entropía Generalizada

El parámetro El parámetro es un indicador de la sensibilidad de cada es un indicador de la sensibilidad de cada miembro de la familia.miembro de la familia. grande y positivo: índice sensible a la cola altagrande y positivo: índice sensible a la cola alta negativo : índice sensible a la cola bajanegativo : índice sensible a la cola baja

Xavi R

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Econom


esigualdad 37

Familia de Entropía Generalizada

La FEG incluye dos indices de Henri Theil:La FEG incluye dos indices de Henri Theil: = 1: = 1: [ [ xx / / ((FF)] log ()] log (xx / / ((FF)) d)) dFF((xx) [Theil]) [Theil] = 0: = 0: – – log ( log (xx / / ((FF)) d)) dFF((xx) [MLD]) [MLD]

La FEG está relacionada con la Familia de AtkinsonLa FEG está relacionada con la Familia de Atkinson Para Para < 1 es ordinalmente equivalente a la familia de < 1 es ordinalmente equivalente a la familia de

Atkinson, conAtkinson, con = 1 = 1 – – ..

Para Para = 2 es ordinalmente equivalente a la varianza = 2 es ordinalmente equivalente a la varianza (normalizada).(normalizada).

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Econom


esigualdad 38

Familia de Entropía Generalizada

Las ponderaciones Las ponderaciones jj sólo suman 1 cuando sólo suman 1 cuando = 0 o 1 (MLD y = 0 o 1 (MLD y

Theil)Theil)

La ponderacion de la desigualdad de cada partición La ponderacion de la desigualdad de cada partición jj, ,

j j = = jj11−−ssjj

= 0 = 0 j j = = jj (pesos poblacionales)

= 1 = 1 j j = = ssjj (proporción de renta)

Xavi R

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amos: E

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Econom


esigualdad 39

Descomposición del MLD

N

iixN

I10 log

1)(

x

kkjk

j

jBW IxInwIII 1,...,1, 11

0010 x

j

N

i

N

ii

j

j

k

j

j

NxNN

N j

log1

log1

111

j

k

j

j

i

jN

ij

N

i N

N

xNNj

loglog11

111

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 40

Descomposición de Atkinson (1)

Recordar: Recordar: AA miden la proporción de la renta que se miden la proporción de la renta que se

puede ahorrar al pasar de la distribución original a una puede ahorrar al pasar de la distribución original a una

con igualdad total, manteniendo el bienestar social.con igualdad total, manteniendo el bienestar social.

C

N

NC

N

N

N

NA

1

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conomía de la P


Econom


esigualdad 41

Descomposición de Atkinson (2) Dado un vector de rentas Dado un vector de rentas xx = ( = (xx11, ..., , ..., xxkk) y la partición ) y la partición NN = ( = (NN11, ..., , ..., NNkk), ),

considera 3 vectores con el mismo nivel de bienestar social:considera 3 vectores con el mismo nivel de bienestar social:

(a)(a) xx = ( = (xx11, ..., , ..., xxkk),), distribución originaldistribución original(b)(b) ((11 11nn11, ...,, ..., kk 1 1nknk)) sin disparidades dentro de los grupossin disparidades dentro de los grupos

(c)(c) (( 11nn)) igualdad totaligualdad total

La desigualdad La desigualdad intraintra grupos se mide como la proporción de renta grupos se mide como la proporción de renta ahorrada al pasar de (a) a (b):ahorrada al pasar de (a) a (b):

La desigualdad La desigualdad interinter grupos se mide como la proporción de renta grupos se mide como la proporción de renta ahorrada al pasar de (b) a (c).ahorrada al pasar de (b) a (c).

n

nA

k

j

jj

W

11

k

j

jj

Bn

nA

1

1

Xavi R

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 42


Para los índices de Atkinson, la interpretación del Para los índices de Atkinson, la interpretación del componente componente interinter grupos es muy distinta: grupos es muy distinta: FEGFEG: desigualdad que resultaría si todos los individuos : desigualdad que resultaría si todos los individuos

tuvieran la tuvieran la renta media renta media de su grupo.de su grupo. AtkinsonAtkinson: desigualdad que resultaría si todos los : desigualdad que resultaría si todos los

individuos tuvieran la individuos tuvieran la renta equivalente igualmente renta equivalente igualmente distribuidadistribuida de su grupo.de su grupo.

Finalmente, la descomposición del índice de Finalmente, la descomposición del índice de Atkinson no es Atkinson no es aditivaaditiva, por lo que pierde atractivo empírico:, por lo que pierde atractivo empírico:

AA = = AAWW + + AABB + + AAWW··AABB

Xavi R

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amos: E

conomía de la P


Econom


esigualdad 43


IlustraciónIlustración para diferenciar las 2 descomposiciones para diferenciar las 2 descomposiciones

Población con Población con 2 hombres con rentas (10, 10) y 2 hombres con rentas (10, 10) y 2 mujeres con rentas (18, 2).2 mujeres con rentas (18, 2).

Con FEG, Con FEG, IIBB = 0, ya que = 0, ya que hh = = mm = 10 = 10 Sin embargo, hombres y mujeres no reciben el mismo Sin embargo, hombres y mujeres no reciben el mismo

trato. trato. La mitad de las mujeres reciben menos renta que los La mitad de las mujeres reciben menos renta que los

hombreshombres Ex-ante es más atractivo recibir la renta de un hombre, Ex-ante es más atractivo recibir la renta de un hombre,

ya que la de una mujer conlleva un riesgo mayor.ya que la de una mujer conlleva un riesgo mayor.

La descomposición de La descomposición de AA permite recoger estas permite recoger estas diferencias, ya que diferencias, ya que ≠≠ ( ( >0), >0), AABB > 0. > 0.

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amos:

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amos: E

conomía de la P


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esigualdad 44

Gini no se descompone aditivamente

¿A qué es debido?¿A qué es debido? Recuerda que el coeficiente de Gini Recuerda que el coeficiente de Gini

depende de las posiciones:depende de las posiciones:

Sólo se descompondrá en dos términos Sólo se descompondrá en dos términos cuando las particiones no se solapen en cuando las particiones no se solapen en términos de rentatérminos de renta

VeámosloVeámoslo

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amos:

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esigualdad 45

x*

N1 N2

0

x**N1

x'x

Caso 2: el efecto sobre el Gini es proporcional a [i-j]: difiere entre el subgrupo y la población

x'x

Caso 1: el efecto sobre el Gini es proporcional a [i-j]: es la misma en el subgrupo y en la población

x

El Gini y la descomponibilidad Grupos de renta que se solapan

Considera una transferencia: Caso1

Considera una transferencia: Caso 2

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esigualdad 46

Descomposición por fuentes (1) ObjetivoObjetivo: cuantificar qué parte de la desigualdad total se puede : cuantificar qué parte de la desigualdad total se puede

atribuir a la desigualdad en cada uno de los diferentes tipos de atribuir a la desigualdad en cada uno de los diferentes tipos de renta según su procedencia.renta según su procedencia.

IntuiciónIntuición: existe una correlación entre las distribuciones de los : existe una correlación entre las distribuciones de los factores de renta, que habrá que decidir como se asigna a la factores de renta, que habrá que decidir como se asigna a la contribución de cada uno de los factores a la desigualdad total.contribución de cada uno de los factores a la desigualdad total.

La literatura utiliza la ‘La literatura utiliza la ‘descomposición natural de la varianzadescomposición natural de la varianza’ ’ de un índice, que mide la contribución de cada fuente como la de un índice, que mide la contribución de cada fuente como la dispersión de cada fuente más la mitad de los efectos de dispersión de cada fuente más la mitad de los efectos de interacción en los que interviene.interacción en los que interviene.

Por ejemplo, la contribución absoluta de la fuente Por ejemplo, la contribución absoluta de la fuente ff, , SSff, según , según el el CVCV22 o o II22 es es

SSff = cov( = cov(xxff, , xx)/)/ 22

Mientras que la contribución relativa, Mientras que la contribución relativa, ssff, es, es

ssff = = SSff / /II22 = cov( = cov(xxff, , xx)/)/22

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esigualdad 47

Descomposición por fuentes (2) Shorrocks (1982) demuestra que Shorrocks (1982) demuestra que sólosólo las contribuciones relativas las contribuciones relativas

correspondientes a la ‘descomposición natural de la varianza’ satisfacen correspondientes a la ‘descomposición natural de la varianza’ satisfacen 6 axiomas.6 axiomas.

Además, demuestra que esta regla es independiente del índice de Además, demuestra que esta regla es independiente del índice de desigualdad empleado. Todas proporcionan las mismas contribuciones desigualdad empleado. Todas proporcionan las mismas contribuciones relativas.relativas.

Los 6 axiomas son:Los 6 axiomas son: el índice de desigualdad es el índice de desigualdad es continuocontinuo y y simétricosimétrico las fuentes de renta son las fuentes de renta son continuascontinuas y y simétricassimétricas las contribuciones las contribuciones no dependen del nivel de agregación no dependen del nivel de agregación (la (la

contribución de las transferencias monetarias es la misma que los contribución de las transferencias monetarias es la misma que los componentes de dichas transferencias)componentes de dichas transferencias)

la suma de todas las contribuciones la suma de todas las contribuciones suma la desigualdad totalsuma la desigualdad total la contribución de una fuente es la contribución de una fuente es cero cero si todos los individuos si todos los individuos reciben reciben

la misma renta la misma renta de esa fuente.de esa fuente. con sólo dos fuentes de renta, dónde una es permutación de la otra, con sólo dos fuentes de renta, dónde una es permutación de la otra,

las contribuciones deben ser iguales.las contribuciones deben ser iguales.

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esigualdad 48

Descomposición por fuentes (3)

Cómo definir una contribución absolutaCómo definir una contribución absoluta??

(a) (a) SSaaff = = II((xxff). La contribución de cada fuente coincide con ). La contribución de cada fuente coincide con su su

desigualdaddesigualdad..(b) (b) SSbb

ff = = II((xx) -) - I I((x - xx - xff). La contribución de cada factor coincide ). La contribución de cada factor coincide con la variación en los niveles de desigualdad cuando con la variación en los niveles de desigualdad cuando suprimimos esa fuente de rentasuprimimos esa fuente de renta..

(c) (c) SSccff = = II((xxff + + - - ff). La contribución de cada fuente coincide ). La contribución de cada fuente coincide

con la desigualdad que observamos cuando ésta es la con la desigualdad que observamos cuando ésta es la única única fuente de renta que genera desigualdadfuente de renta que genera desigualdad. Esto es, cuando las . Esto es, cuando las demás fuentes de renta se distribuyen uniformemente, demás fuentes de renta se distribuyen uniformemente, asignando a cada hogar la media global de dicha fuente.asignando a cada hogar la media global de dicha fuente.

(d) (d) SSddff = = II((xx) - ) - II((x - xx - xff + + ff). ). La contribución de cada fuente La contribución de cada fuente

coincide con la variación de la desigualdad cuando coincide con la variación de la desigualdad cuando eliminamos la dispersión en esa fuente de rentaeliminamos la dispersión en esa fuente de renta. Eso es, . Eso es, cuando la fuente se distribuye uniformemente entre los cuando la fuente se distribuye uniformemente entre los individuos.individuos.

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esigualdad 49

Descomposición por fuentes (4) Estas 4 contribuciones no proporcionan el mismo resultado. Estas 4 contribuciones no proporcionan el mismo resultado. Tomamos el índice Tomamos el índice II22 y las dos últimas para ejemplificarlo: y las dos últimas para ejemplificarlo:

2

2

2 f

ffcf IS

xμμx

2

2

22

,cov2

fff

ffdf IIS

xxxxμxxx

La interpretación (La interpretación (cc) produce una contribución que ignora las ) produce una contribución que ignora las interacciones, mientras que la (interacciones, mientras que la (dd) asigna todas las interacciones de la ) asigna todas las interacciones de la fuente a su contribución.fuente a su contribución.

La descomposición propuesta en Shorrocks (1982) responde a la La descomposición propuesta en Shorrocks (1982) responde a la media de estas dos contribuciones.media de estas dos contribuciones.

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amos:

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esigualdad 50

Seleccionar un índice de desigualdad

Queremos un índice intuitivo?Queremos un índice intuitivo? Entonces, sobre qué fundamentamos dicha intuición?Entonces, sobre qué fundamentamos dicha intuición?

Necesitamos que sea descomponible?Necesitamos que sea descomponible? En caso afirmativo, escogeremos entre algunos pocosEn caso afirmativo, escogeremos entre algunos pocos

Queremos una interpretación en términos de bienestar?Queremos una interpretación en términos de bienestar? Qué propiedades queremos que cumpla?Qué propiedades queremos que cumpla?

Importan estas decisiones?Importan estas decisiones? Ejemplo 1: Desigualdad Absoluta/Relativa para el mundoEjemplo 1: Desigualdad Absoluta/Relativa para el mundo Ejemplo 2: tendencia para USEjemplo 2: tendencia para US

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esigualdad 51Atkinson y Brandolini. (2004)

Indices Absolutos vs Relativos

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esigualdad 52

Desigualdad en US

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

19

65

19

70

19

75

19

80

19

85

19

90

19

95

20

00

20

05

GiniGE0GE1A.25A.50A.75

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esigualdad 53

Sensibilidad de un índice de desigualdad

Cómo medir la sensibilidad a los cambios Cómo medir la sensibilidad a los cambios distributivos en las colas de la distribución?distributivos en las colas de la distribución? Calcular la función de influencia (IF): reacción Calcular la función de influencia (IF): reacción

del índice ante incorporacíones infinitesimales del índice ante incorporacíones infinitesimales de renta (en las colas)de renta (en las colas)

Define una distribución mixtaDefine una distribución mixta

GG = (1- = (1- ) ) F F + + H H

La IF se puede calcular como:La IF se puede calcular como:

IF = IF = II((GG )/ )/ | | = 0 = 0

distribución de interésdistribución de interés

distribución ‘perturbación’: asigna una massa de 1 en un nivel arbitrariamente alto o bajo de renta, z.

distribución ‘perturbación’: asigna una massa de 1 en un nivel arbitrariamente alto o bajo de renta, z.

0 < < 10 < < 1

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esigualdad 54

IF de los índices de desigualdad ¿Cómo se comportan los índices?¿Cómo se comportan los índices?

Indices de EG(Indices de EG(>1) son muy sensibles a cambios >1) son muy sensibles a cambios en la cola altaen la cola alta

Indices de EG(Indices de EG(<0) y A(<0) y A(>1>1) son muy sensibles a ) son muy sensibles a cambios en la cola bajacambios en la cola baja

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esigualdad 55

IF de los índices de EG

RIF=IF[I(F)]/I(F)RIF=IF[I(F)]/I(F)

(=2) RIF crece rápido para valores altos de z

(=2) RIF crece rápido para valores altos de z

(=-2) RIF crece rápido para valores bajos de z

(=-2) RIF crece rápido para valores bajos de z

Gini crece más rápido para valores intermedios de z

Gini crece más rápido para valores intermedios de z

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amos:

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esigualdad 56

IF de los índices de Atkinson

RIF=IF[I(F)]/I(F)RIF=IF[I(F)]/I(F)

(=0.05) RIF crece rápido para valores altos de z

(=0.05) RIF crece rápido para valores altos de z

(=2) RIF crece rápido para valores bajos de z(=2) RIF crece rápido para valores bajos de z

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esigualdad 57

Distribución contaminadaDistribución contaminada

Efecto de valores extremos IF difícil de interpretar.IF difícil de interpretar. Multiplicamos (dividimos) la renta más alta (baja) por 10 y Multiplicamos (dividimos) la renta más alta (baja) por 10 y

evaluamos su impacto con:evaluamos su impacto con:

RC = [RC = [II((FF) - ) - II((FF*)]/*)]/II((FF))

El efecto sobre I(F) es mayor cuanto mayor es

El efecto sobre I(F) es mayor cuanto mayor es

El efecto sobre I(F) es mayor cuanto menor es

El efecto sobre I(F) es mayor cuanto menor es

El Gini es poco sensible a cambos en cualquiera de las

colas

El Gini es poco sensible a cambos en cualquiera de las

colas

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