Apuntes de La Teoria de La Medida RF

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Apuntes de Teora de la Medida Ricardo Faro 14 de enero de 2008

Indice General1 Medida 1.1 Introduccin Histrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 1.2 lgebras de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.2.1 Algebras y lgebras. . . . . . . . . . . . . . . a 1.2.2 lgebra de Brel. . . . . . . . . . . . . . . . . a o 1.3 Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Propiedades de haz en los espacios de medida. 1.4 Extensin de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4.1 Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Teoremas de extensin de medidas . . . . . . . o 1.5 Complecin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6 Medidas de LebesgueStieltjes . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Medidas de LebesgueStieltjes en R. . . . . . . 1.6.2 Medidas de LebesgueStieltjes en Rn . . . . . . 1.6.3 Propiedades de la medida de Lebesgue. . . . . 1.6.4 Regularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 El conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6 Sobre los conjuntos Lebesgue medibles. . . . . 1.7 Medidas de Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Medidas de Hausdor en Rn . . . . . . . . . . . 1.8 Bibliograf y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . a 2 Integracin o 2.1 Introduccin histrica . . . . o o 2.2 Funciones medibles . . . . . . 2.2.1 Propiedades bsicas de a 2.2.2 Funciones simples . . . . . . las . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 4 9 13 16 18 20 20 23 28 32 32 37 43 45 47 49 51 54 56 65 65 66 66 69

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INDICE GENERAL 2.2.3 Operaciones bsicas de las funciones medibles. a 2.2.4 Existencia de Lebesgue medibles no de Borel. . Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.3.1 Propiedades bsicas de la integral. . . . . . . . a Teoremas bsicos de integracin . . . . . . . . . . . . . a o 2.4.1 Teorema de la convergencia dominada. . . . . . 2.4.2 Dependencia de un parmetro. . . . . . . . . . a 2.4.3 Otras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . Integrales de Riemann y de Lebesgue . . . . . . . . . . Bibliograf y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 74 77 79 86 89 90 94 99 103 103 105 108 109 115 115 121 123 124 128 131 135 135 136 142 146 156 159 163 163 164 169 170 173 174 178

2.3 2.4

2.5 2.6

3 Espacio de medida producto 3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 Producto nito de espacios medibles . . . . 3.3 Teorema de la medida producto . . . . . . . 3.3.1 Medidas de transicin . . . . . . . . o 3.4 El teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Teorema de Fubini para dos espacios 3.4.2 Producto de ms de dos espacios. . . a 3.5 Complecin de la medida producto . . . . . o 3.6 Aplicaciones. Convolucin . . . . . . . . . . o 3.7 Producto de innitos espacios medibles . . . 3.8 Bibliograf y comentarios . . . . . . . . . . a 4 El Teorema de RadonNikodym 4.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . o 4.2 Teorema de descomposicin de carga o 4.3 Medidas reales y medidas complejas 4.4 El Teorema de RadonNikodym . . . 4.5 Singularidad . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Bibliograf y comentarios . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Diferenciacin o 5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2 Diferenciacin de medidas . . . . . . . . . . . . . o 5.3 Derivacin e integracin . . . . . . . . . . . . . . o o 5.3.1 Funciones de variacin acotada. . . . . . . o 5.3.2 Medidas y funciones de variacin acotada. o 5.3.3 Teorema fundamental del clculo. . . . . . a 5.4 Transformaciones diferenciables . . . . . . . . . .

INDICE GENERAL 5.4.1 Transformaciones lineales. . 5.4.2 Transformaciones y medidas El teorema de cambio de variable . Clculo de la constante n . . . . . a Bibliograf y comentarios . . . . . a . . . . . . . . de Hausdor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 178 181 183 194 199 203 203 204 206 206 209 209 212 217 222 231 235 238 245 245 250 253 257 264 273 275 297

5.5 5.6 5.7

6 Espacios de funciones medibles 6.1 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 El espacio L . . . . . . . . . . 6.2 Los espacios de Banach Lp . . . . . . . 6.2.1 Desigualdades fundamentales. . 6.2.2 El espacio Lp para 0 < p < 1. . 6.2.3 Los espacios Lp . . . . . . . . . 6.2.4 Complecin de los espacios Lp . o 6.3 Espacios duales . . . . . . . . . . . . . 6.4 El espacio dual de Lp . . . . . . . . . 6.5 Tipos de convergencias . . . . . . . . . 6.6 Aplicaciones que conservan la medida 6.7 Bibliograf y comentarios . . . . . . . a

7 Medida y topolog a 7.1 Espacios Hausdor LC . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Medidas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Funciones continuas y funciones medibles 7.3 Teoremas de representacin de Riesz . . . . . . . o 7.4 Bibliograf y comentarios . . . . . . . . . . . . . a Ejercicios dif ciles Ejercicios resueltos Otros Ejercicios

iv

INDICE GENERAL

Cap tulo 1

Medida

1.1

Introduccin Histrica. o o

El concepto de medida tiene una larga historia de ms de 5000 aos, que a n surge del manejo de longitudes, reas y volmenes fundamentalmente y a u de la necesidad de su clculo. Estos tres ejemplos particulares de medidas a son los que han servido como gu para sacar a la luz el concepto que a detrs de ellos se escond a a. Las primeras demostraciones satisfactorias de teoremas relativos a reas y volmenes aparecen en el libro de Euclides (300 a.c.?) Los a u Elementos(ver VanDalenMonna, p. 78 y Boyer, p. 129). Sin embargo en este libro no hay denicin de longitud, rea volumen; o a o Euclides las considera caracter sticas que puede medir respectivamente en las guras que s dene Linea es una longitud sin anchura. (Libro I, Def.2). Supercie es lo que slo tiene longitud y anchura (Libro I, Def.5). o Slido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad (Libro XI, o Def.1). tampoco dene que es medir , es una palabra que utiliza no slo en estas o tres magnitudes, sino tambin en los nmeros; por ejemplo en el libro e u VII, las deniciones 3 y 4 dicen

1

2

Cap tulo 1. Medida

3.- Un nmero es parte de un nmero, el menor del mayor, cuando u u mide al mayor . 4.- Pero partes cuando no lo mide. por ejemplo 3 es partede 15 y 6 es partesde 15. Las longitudes las daba en comparacin con un segmento unidad, o las reas con un cuadrado unidad y los volmenes con un cubo unidad, a u de este modo dio los valores correspondientes a guras simples como pol gonos y poliedros y demostr teoremas como el de Pitgoras. Otros o a autores griegos ms que dar la medida de una gura daban resultados a del tipo: A y B tienen igual rea volumen. Por ejemplo Arqu a o medes (287212 a.c.) atribuye a Eudoxo (408355 a.c.) la demostracin de o que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma base y altura. Esto sin conocer este volumen, para el que hace falta conocer el rea del c a rculo, que descubri casi 100 aos despus el o n e propio Arqu medes demostrando que es el de un tringulo rectngulo a a con un cateto el radio y el otro la longitud de la circunferencia; suyo tambin es que el volumen de la esfera es 2/3 el volumen del cilindro e o que el rea de la esfera es la del cilindro circunscrito (ver Boyer, p.177). a Para esta ultima, que demuestra en Sobre la esfera y el cilindro (ver la bibliograf en la pg.60), utiliza los axiomas de Euclides junto con cinco a a principios de los que destacan 4.- Dos supercies que tienen los mismos l mites en un plano son desiguales cuando ambas son cncavas en la misma direccin y una de o o ellas est completamente limitada por la otra y por el plano que tiene los a mismos l mites que esta otra, o cuando una de ellas slo est parcialo a mente limitada por la otra y el resto es comn. La supercie limitada es u la menor. 5.- Dadas dos l neas, dos supercies o dos slidos desiguales, si el o exceso de una de estas guras sobre la otra se aade a s mismo un n cierto nmero de veces, se puede superar una u otra de las guras que u se comparan entre s . (este ultimo es el conocido axioma de Arqu medes). Y en la demostracin hace un uso riguroso del concepto de l o mite. Por ultimo suya es tambin la mejor acotacin de de la poca: e o e 3 + (10/71) < < 3 + (10/70). As se mantuvieron mas o menos las cosas durante 2000 aos, hasta n que en 1883 G. Cantor (18451918) di la primera denicin de medida o o m(A) de un conjunto arbitrario (acotado) A Rn . Otros autores como Stolz en 1884 y Harnack en 1885 dan deniciones equivalentes en R.

1.1. Introduccin Histrica. o o

3

Para ellas la propiedad aditiva de la medida m[A B] = m[A] + m[B], para conjuntos disjuntos A y B, se satisfac si los conjuntos estaban a completamente separados, pero no en general, pues con sus deniciones un conjunto y su adherencia median lo mismo y por tanto los racionales y los irracionales de [0, 1] median 1, lo mismo que todo [0, 1]. El primero en considerar qu conjuntos A son medibles y dar