MECNICA VECTORIALVELOCIDAD

Supongamos que una partcula se mueve a lo largo de una trayectoria cualquiera C (figura 1-1).Fig. 1-1

El vector de posicin del punto P en el tiempo t es r : r(t) mientras que el vector de posicin del punto Q en el tiempo t + t es r + r : r(t + t). Entonces, las velocidad (tambin llamada velocidad instantnea ) de la partcula P es:

.EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE VELOCIDAD Y ACELERACIN PROBLEMA 1-VEL-Y-ACELUna partcula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x = 3e-2t , y = 4 sen 3t , z = 5 cos 3t donde t es el tiempo.Hallar:a) Su velocidad y aceleracin en cualquier tiempo.b) La magnitudes de la velocidad y aceleracin en t = 0SOLUCIN:a) El vector de posicin r de la partcula es r = xi + yj + zk = 3xe-2t i + 4 sen 3t j + 5 cos 3t k Entonces la velocidad es

y la aceleracin es: a = dv/dt = d2r/dt2= 12xe-2t i - 36 sen3t j 45 cos 3t k b) En t = 0, v = dr/dt = -6i + 12j y a = d2r/dt2 = 12i 45k. Entonces

La magnitud de la velocidad en t=0 es

La magnitud de la aceleracin en t=0 es PROBLEMA 2-VEL-Y -ACELUna partcula que se mueve tiene una aceleracin dada porA = 2e-t i + 5 cos t j 3 sen t kSi la partcula est localizada en (1, -3, 2) en el tiempo t = 0 y se mueve con una rapidez dada por 4i 3j + 2k, hallar:a) La velocidad,b) El desplazamiento de la partcula para cualquier tiempo t > 0SOLUCIN: EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE VELOCIDAD Y ACELERACIN RELATIVA.PROBLEMA 1- VEL Y ACEL RELSi un avin vuela en direccin noroeste a 125 mi/h con un viento dirigido al oeste a 50 mi/h, ambos movimientos con respecto a la Tierra, hallar:a) Grfica, y b) analticamente qu tan rpido y en qu direccin estara viajando el avin si no hubiera viento.SOLUCIN:a) GRFICAMENTESean W = velocidad del viento V0 = velocidad del avin con viento Vb = velocidad del avin sin vientoEntonces V0 = Vb + w Tambin Vb = Va w = V0 + (-w)V0 tiene 6.5 unidades de longitud = 163 mi/h y direccin 35 al norte del oeste.b) Analticamente:Sean i y j vectores unitarios en las direcciones E y N, respectivamente.De la figura vemos queV0 = - 125 cos 45 i + 125 sen 45 j y W = 50 i Entonces Vb = Va - W = ( -125 cos 45 - 50) i + 125 sen 45 j = - 138. 39i + 88.39j

Por lo tanto, la magnitud de Vb es Y la direccin tan-1 88.39/138.39 =tan-1 0,6387 = 32 34 al norte del oeste.PROBLEMA 2- VEL Y ACEL RELDos partculas tienen vectores de posicin dados por r1 = 2t i t2 j + (3t2 4t) k y r2 = (5t2 12t +4)i + t3 j 3tk. Hallar:(a) La velocidad relativa, y(b) La aceleracin relativa de la segunda partcula con respecto a la primera en el tiempo t = 2SOLUCIN(a) Las velocidades de las partculas en t = 2 son, respectivamente:

La velocidad relativa de la partcula 2 con respecto a la partcula 1 es= v2 v1 = (8 i + 12 j 3 k) = (2 i 4 j + 8 k) = 6 i + 16 j -11 k(b) Las aceleraciones de las partculas en t = 2 son respectivmaente:

La aceleracin relativa de la partcula 2 con respecto a la partcula 1 es a2 a1 = (10 i + 12 j) (- 2 j + 6 k) = 10 i + 14 j 6 kEJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ACELERACION NORMAL Y TANGENCIALPROBLEMA 1-ACEL NORMAL Y TANGENCIALDada una curva C en el espacio con vector de posicinr = 3 cos 2t i + 3 sen 2t j + (8t 4)k(a) Hallar un vector unitario T tangente a la curva.(b) Si r es el vector de posicin de la partcula que al tiempo t se mueve sobre la curva C, verificar que en este caso v = v.SOLUCIN:(a) Un vector tangente a la curva C es:

dr/dt = -6 den 2t i + 6 cos 2t j + 8kla magnitud de este vector es

Entonces un vector tangente unitario a C es

MOVIMIENTO CIRCULARSupogamos que la partcula P se mueve sobre un crculo C de radio R. Si s es la longitud del arco medido a lo largo de C desde A hasta P y es el correspondiente ngulo subtendido en el centro O, entonces s=R. La magnitud de la velocidad tangencial y aceleracin tangencial se dan, respectivamente, por

Llamamos a = d/dt2 y = d2/dt2 la velocidad angular y aceleracin angular , respectivamente. La aceleracin normal como vimos anteriormente se da por v2/R = 2R.EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CIRCULARACELERACIN NORMAL Y TANGENCIALPROBLEMA 1- ACEL-NOR- Y TANGDada una curva C en el espacio con vector de posicin = r = 3 cos 2t i + 3 sen 2t j + (8t 4) k(a) Hallar un vector unitario T tangente a la curva(b) Si r es el vector de posicin de la partcula que al tiempo t se mueve sobre la curva C, verificar que en este caso v = vTSOLUCIN:(a) Un vector tangente a la curva C es:dr/dt = - 6 sen 2t i + 5 cos 2t j + 8 kla magnitud de este vector es(sigue en la pagina 26 de la mecnica tcnica)

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

INTEGRALES DE LINEASea r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k donde r(t) es el vector de posicin de (x,y,z), que define la curva C que une los puntos P1 y P2 correspondientes a t = t1 y a t = t2, respectivamente.

Sea A(x, y, z) = A1i + A2j + A3k una funcin vectorial de posicin (campo vectorial). La integral de la componente tangencial de A a lo largo de C de P1 hasta P2 , escrita como:

es un ejemplo de integral de lnea.Si C es una curva cerrada (la cual supondremos que es una curva simplemente cerrada, es decir una curva que no se intercepta consigo misma en ninguna parte) la integral a menudo se denota por

En general, una integral de lnea tiene un valor que depende de la curva. Para mtodos de evaluacin se presentan los siguientes ejemplos: INTEGRALES DE LINEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIAEJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIN DE INTEGRALES DE LNEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIAPROBLEMA 1- INT

Si A = (3x2 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 4xyz2 )k, evaluar desde (0,0,0) hasta (1,1,1) a lo largo de las siguientes trayectorias C:(a) X =t, y = t2, z =t3(b) Las lneas rectas desde (0,0,0) hasta (0,0,1) luego a (0,1,1) y luego a (1,1,1)(c) La lnea que une los puntos (0,0,0) y (1,1,1).

SOLUCIN:

(a) Si x = t , y = t2 , z = t2 los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1) corresponden a t=0 y t = 1, respectivamente. Entonces

PROBLEMA - 2 INT.

SOLUCIN:

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