"ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

of 7 /7

Embed Size (px)

description

«ΜΕ» ή «Μαθηματική Ελπίδα» – μόνο για το μαθηματικό… Ένα περιοδικό, μία ιδέα. Το πρώτο τεύχος με την ύλη στα μαθήματα του χειμερινού εξαμήνου 2010-11 επανακυκλοφορεί! Το πρώτο τεύχος με κάποιες διορθώσεις τις τελευταίας στιγμής από τους καθηγητές και την ύλη σε 5 ακόμα μαθήματα!

Transcript of "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

Page 1: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)
Page 2: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

2

Page 3: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

3

1.Ρίνακεσ 2.Συςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων 3.Διανυςματικοί χϊροι 4.Γραμμικζσ απεικονίςεισ 5.Γραμμικζσ απεικονίςεισ και πίνακεσ

1. Ρραγματικοί αρικμοί. Φυςικοί αρικμοί: Αρχι του ελαχίςτου, αρχι τθσ επαγωγισ. θτοί αρικμοί, φπαρξθ αρριτων, αξίωμα πλθρότθτασ. Φπαρξθ τετραγωνικισ ρίηασ και ακεραίου μζρουσ, πυκνότθτα των ρθτϊν και των αρριτων ςτουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, προςζγγιςθ πραγματικϊν αρικμϊν από ρθτοφσ, κλαςικζσ ανιςότθτεσ. 2. Ακολουκίεσ πραγματικϊν αρικμϊν. Συγκλίνουςεσ ακολουκίεσ, μονότονεσ ακολουκίεσ, κιβωτιςμόσ διαςτθμάτων, ακολουκίεσ που ορίηονται αναδρομικά. 3. Συναρτιςεισ. Βαςικοί οριςμοί. Αλγεβρικζσ ςυναρτιςεισ, Τριγωνομετρικόσ κφκλοσ. Οριςμοί των τριγωνομετρικϊν ςυναρτιςεων, βαςικζσ ιδιότθτεσ. Εκκετικι ςυνάρτθςθ. 4. Συνζχεια και όριο ςυναρτιςεων. Συνζχεια. Αρχι τθσ μεταφοράσ. Συνζχεια βαςικϊν ςυναρτιςεων. Συνζχεια και τοπικι ςυμπεριφορά. Θεϊρθμα ενδιαμζςων τιμϊν. Φπαρξθ μζγιςτθσ και ελάχιςτθσ τιμισ για ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ οριςμζνεσ ςε κλειςτά διαςτιματα. Μονότονεσ ςυναρτιςεισ. Αςυνζχειεσ μονότονθσ ςυνάρτθςθσ. Συνεχείσ και 1-1 ςυναρτιςεισ. Αντίςτροφθ ςυνεχοφσ και 1-1 ςυνάρτθςθσ. Αντίςτροφεσ τριγωνομετρικζσ ςυναρτιςεισ. Λογαρικμικι ςυνάρτθςθ. Πρια ςυναρτιςεων: Σθμεία ςυςςϊρευςθσ, μεμονωμζνα ςθμεία ςυνόλων. Συνζχεια ςυνάρτθςθσ ςε μεμονωμζνο ςθμείο. Η ζννοια του ορίου ςυνάρτθςθσ. Μοναδικότθτα. Αρχι τθσ μεταφοράσ. Αλγεβρικζσ ιδιότθτεσ, όριο ςφνκεςθσ. Ρλευρικά όρια. 5. Ραράγωγοσ. Οριςμόσ τθσ παραγϊγου. Κανόνεσ παραγϊγιςθσ. Ραράγωγοι βαςικϊν ςυναρτιςεων. Θεϊρθμα μζςθσ τιμισ. Κριτιρια μονοτονίασ ςυνάρτθςθσ. Κριτιρια τοπικϊν ακροτάτων. Γενικευμζνο κεϊρθμα μζςθσ τιμισ. Κανόνεσ de l'Hospital.

Η διδακτζα/εξεταςτζα φλθ ςτθν Ρλθροφορικι Ι για το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2010-2011 καλφπτεται *ΡΛΗΩΣ* από τισ ςθμειϊςεισ των παραδόςεων τθσ κεωρίασ. *ΣΥΜΡΛΗΩΜΑΤΙΚΑ* και *ΜΟΝΟ* για περιςςότερθ εμβάκυνςθ ςε κάποια ηθτιματα μπορείτε να ανατρζξετε ςτθν αντίςτοιχθ φλθ από τα βιβλία: SAVITCH ΚΕΦ. 1: 1.1, 1.3 ΚΕΦ. 2: 2.1 ζωσ και 2.4

ΚΕΦ. 3: 3.1 ζωσ και 3.4 ΚΕΦ. 5: 5.2, 5.3 ΚΕΦ. 6: 6.1 ζωσ και 6.5 ΚΕΦ. 11: 11.1, 11.2 ROBERTS ΚΕΦ. 1: όλο ΚΕΦ. 2: 2.1 ζωσ και 2.4 ΚΕΦ. 3 ζωσ και ΚΕΦ. 5 ΚΕΦ. 11: 11.1 ζωσ και 11.6 ΚΕΦ. 12: 12.1, 12.2 ΚΕΦ. 14: 14.1

1. Υπακολουκίεσ και βαςικζσ ακολουκίεσ. Οριςμόσ και παραδείγματα. Θεϊρθμα Bolzano-Weierstrass. Σθμεία ςυςςϊρευςθσ ακολουκίασ, ανϊτερο και κατϊτερο όριο. Ακολουκίεσ Cauchy. 2. Σειρζσ πραγματικϊν αρικμϊν. Σφγκλιςθ ςειράσ. Κριτιρια ςφγκλιςθσ ςειρϊν. Εναλλάςςουςεσ ςειρζσ. Κριτιριο Dirichlet. Δυναμοςειρζσ. 3. Ομοιόμορφθ ςυνζχεια. Φπαρξθ μζγιςτθσ και ελάχιςτθσ τιμισ για ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ οριςμζνεσ ςε κλειςτά διαςτιματα (δεφτερθ απόδειξθ). Ομοιόμορφθ ςυνζχεια: οριςμόσ, χαρακτθριςμόσ με χριςθ ακολουκιϊν. Ομοιόμορφθ ςυνζχεια ςυνεχϊν ςυναρτιςεων ςε κλειςτά διαςτιματα. 4. Ολοκλιρωμα Riemann. Οριςμόσ του ολοκλθρϊματοσ Riemann για φραγμζνεσ ςυναρτιςεισ. Κριτιριο Riemann, ολοκλθρωςιμότθτα ςυνεχϊν και μονότονων ςυναρτιςεων, παραδείγματα. Ιδιότθτεσ του ολοκλθρϊματοσ. Θεϊρθμα μζςθσ τιμισ του Ολοκλθρωτικοφ Λογιςμοφ. Θεμελιϊδεσ κεϊρθμα του Απειροςτικοφ Λογιςμοφ. Κανόνεσ ολοκλιρωςθσ (κατά μζρθ, με αντικατάςταςθ). Τεχνικζσ ολοκλιρωςθσ. Γενικευμζνα ολοκλθρϊματα. Εφαρμογζσ. 5. Θεϊρθμα Taylor και δυναμοςειρζσ. Θεϊρθμα Taylor. Μορφζσ υπολοίπου ςτο κεϊρθμα Taylor. Αναπτφγματα Taylor βαςικϊν ςυναρτιςεων. Αναπτφγματα ςυναρτιςεων ςε δυναμοςειρζσ. (2 εβδομάδεσ). 6. Συμπλθρϊματα. (α) Κυρτζσ ςυναρτιςεισ, ανιςότθτα του Jensen και εφαρμογζσ. (β) Οριςμοί των βαςικϊν υπερβατικϊν ςυναρτιςεων.

Aπό το βιβλίο «Ειςαγωγι ςτισ Στοχαςτικζσ Ανελίξεισ» Κεφάλαιο 1. & 1, 2. Κεφάλαιο 2. Πλο το κεφάλαιο εκτόσ τον διδιάςτατο και

τριδιάςτατο τυχαίο περίπατο, κακϊσ και τισ αποδείξεισ των οριακϊν κεωρθμάτων. Επίςθσ

Page 4: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

4

εξαιροφνται οι οριακζσ πικανότθτεσ για τισ περιοδικζσ αλυςίδεσ. Από τισ πικανότθτεσ απορρόφθςθσ ζχετε το Θ. 9.1 ςελ. 125 και το Γενικό Ραράδειγμα ςελ. 133. Κεφάλαιο 3. & 2 (εκτόσ από τθ ςφνκετθ και μθ ομογενι Poisson), & 3, & 4 ζωσ τθν ςελ. 178.

Από τισ ςθμειϊςεισ του βιβλίου. 1.1, 1.2, 1.3 2.1, 2.2, 2.3 (όχι όμωσ ςτθν ςχζςθ ελαςςόνων) 3.1, 3.2 4.1, 4.2 5.1, 5.2 (όχι όμωσ το Λιμμα 5.2 και το κεϊρθμα 5.5) 6.1, 6.2 7.1, 7.3, 7.4, 7.6 (όχι τισ αποδείξεισ), 7.7 8.1, 8.2, 8.3 Η παραπάνω φλθ είναι το τί πρζπει να κατανοιςετε ςτο πλαίςιο τθσ προετοιμαςία ςασ για ςτισ εξετάςεισ. Αυτό δεν ςασ εγγυάται ςε καμμιά περίπτωςθ ότι κα περάςετε το μάκθμα. Είναι ςθμαντικό να λφςετε (ι να καταλάβετε τισ λφςεισ) όλων των αςκιςεων που ζγιναν ι κα γίνουν ςτο μάκθμα. Μθν ξεχνάτε ότι θ εξζταςθ κα γίνει με ανοιχτά βιβλία και ςθμειϊςεισ (αλλά με κλειςτά κινθτά και υπολογιςτζσ).

Κεφάλαια: 2, 3, 4, 5, 6

Φλθ του Μακιματοσ Ειςαγωγι. Η ζννοια του Αφθρθμζνου Τφπου Δεδομζνων (ΑΔΤ). Ρίνακεσ, Εγγραφζσ, Σφνολα, Συμβολοςειρζσ (Strings). Στοίβεσ, Ουρζσ, Λίςτεσ, Δζνδρα (δυαδικά δζνδρα αναηιτθςθσ). Γραφιματα.

Η φλθ του μακιματοσ είναι τα εξισ δφο βιβλία: 1. A.C. CROMBIE, από τον ΑΥΓΟΥΣΤΙΝΟ ςτον ΓΑΛΙΛΑΙΟ, ΤΟΜ. Α, εκτόσ των ςελ. 148-168. 2. H. BUTTERFIELD, Η ΚΑΤΑΓΩΓΗ ΤΗΣ ΣΥΓΧΟΝΗΣ ΕΡΙΣΤΗΜΗΣ, εκτοσ των κεφαλαίων Θ, Ι, ΙΒ.

Η ΥΛΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΕΞΗΣ: 1. Ε. ΣΡΑΝΔΑΓΟΥ, ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΑΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ 2. ΟΙ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΓΓΑΦΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Η εξεταςτζα φλθ είναι θ διδαχκείςα. Ενδεικτικά αναφζρονται οι αντίςτοιχεσ παράγραφοι από τισ ςθμειϊςεισ του μακιματοσ: Κεφάλαιο 1: Μετρικοί χϊροι. Κεφάλαιο 2: Σφγκλιςθ ακολουκιϊν και ςυνζχεια ςυναρτιςεων (από τθν παράγραφο 2.1.2 εξαιρείται το παράδειγμα 4: κφβοσ του Hilbert) Κεφάλαιο 3: Τοπολογία μετρικϊν χϊρων (εξαιροφνται: από τθν παράγραφο 3.5 το Θεϊρθμα 3.5.7 και το Ρόριςμα 3.5.8) Κεφάλαιο 4: Συναρτιςεισ μεταξφ μετρικϊν χϊρων (εξαιροφνται το Θεϊρθμα 4.3.11 και θ Ραράγραφοσ 4.4.2: διαμερίςεισ τθσ μονάδασ) Κεφάλαιο 5: Ρλθρότθτα (εξαιροφνται: θ απόδειξθ τθσ φπαρξθσ ςυνεχοφσ πουκενά παραγωγίςιμθσ ςυνάρτθςθσ ςτθν Ραράγραφο 5.3.2 και από τθν Ραράγραφο 5.4 θ δεφτερθ απόδειξθ τθσ φπαρξθσ πλιρωςθσ και θ απόδειξθ τθσ μοναδικότθτασ τθσ πλιρωςθσ μετρικοφ χϊρου) Κεφάλαιο 6: Συμπάγεια (εξαιροφνται οι 6.2.5, 6.2.6, 6.2.7 και 6.2.8 - κάποια όμωσ επιχειριματα που χρθςιμοποιοφνται μποροφν να απομονωκοφν ωσ αςκιςεισ - εξαιρείται και θ παράγραφοσ 6.5 για το ςφνολο του Cantor) Κεφάλαιο 7: Ακολουκίεσ και ςειρζσ ςυναρτιςεων. Κεφάλαιο 8: Συνεχείσ ςυναρτιςεισ ςε ςυμπαγείσ μετρικοφσ χϊρουσ (δεν κα ηθτθκεί θ απόδειξθ του Θεωριματοσ 8.2.8, δεν εξαιροφνται όμωσ απλζσ αςκιςεισ και εφαρμογζσ του Θεωριματοσ Weierstrass)

Η φλθ του μακιματοσ είναι οτιδιποτε διδάχκθκε ςτθν τάξθ. Σε γενικζσ γραμμζσ αντιςτοιχεί ςτισ επόμενεσ παραγράφουσ του βιβλίου. Κεφ. 2: Διατάξεισ και ςυνδυαςμοί: Ραρ. 1, 2, 3, 4 Κεφ. 3: Ραραγοντικοί, διωνυμικοί και πολυωνυμικοί ςυντελεςτζσ. Ραρ. 1, 2, 3 Κεφ. 4: Η αρχι εγκλειςμοφ και αποκλειςμοφ. Ραρ. 1,2 Κεφ. 6: Γεννιτριεσ ςυναρτιςεισ. Ραρ. 3

Από το βιβλίο HOEL PORT STONE Κεφάλαιο 1: Πλο Κεφάλαιο 2: Μζχρι και τθν ςελίδα 47. Κεφάλαιο 3: Εκτόσ παραγράφων 3.4.1, 3.5

Κεφάλαιο 4: Πλο Κεφάλαιο 5: Εκτόσ παραγράφου 5.4

Page 5: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

5

Κεφάλαιο 6: Εκτόσ παραγράφων 6.2.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.7. Κεφάλαιο 7: Εκτόσ παραγράφου 7.4 Κεφάλαιο 8: Εκτόσ παραγράφου 8.3. Η παράγραφοσ 8.4 χωρίσ αποδείξεισ. Από το βιβλιο «Θεωρία Ρικανοτιτων και Εφαρμογζσ», Χ.Α. Χαραλαμπίδθ, Εκδόςεισ Συμμετρία, 2009 Κεφ. 1: Ραράγραφοι 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 (χωρίσ απόδειξθ Θεωρ. 1.8). Κεφ. 2: Ραράγραφοι 2.1 (εκτόσ από Θεϊρ. 2.4 και Ραραδ. 2.8 και 2.9), 2.2, 2.3 (χωρίσ αποδείξεισ). Κεφ. 3: Ραράγραφοι 3.1, 3.2 (χωρίσ απόδειξθ Θεϊρ. 3.4), 3.3, 3.4 (μόνο εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων, Οριςμοφσ και Ραραδείγματα). Κεφ. 4: Ραράγραφοι 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 (μόνον Λιμμα 4.1 και Οριςμοί 4.3, 4.4), 4.6. Κεφ. 5: Ραράγραφοι 5.1, 5.2, 5.3 (εκτόσ από Ρόριςμα 5.1, Θεϊρ. 5.3, Ραρατιρ. 5.2), 5.4, 5.5.1 (μόνο τφποι (5.36), (5.40)), 5.6 (εκτόσ από Θεϊρ. 5.16 και Ρόριςμα 5.7). Κεφ. 6: Ραράγραφοι 6.1, 6.2 (εκτόσ από Ρόριςμα 6.1 και Ρόριςμα 6.2), 6.3 (όχι Ρόριςμα 6.3 και χωρίσ απόδειξθ το Θεωρ. 6.7 και το Ρόριςμα 6.4). Κεφ. 7: Ραράγραφοι 7.1, 7.2 (μόνον Οριςμόσ 7.3 και Θεϊρ. 7.1 και 7.2 χωρίσ αποδείξεισ), 7.3 (μόνον Οριςμόσ 7.4 και ςχζςεισ (7.13), (7.14) χωρίσ αποδείξεισ), 7.4 (μόνον Οριςμόσ 7.5 και ςχζςεισ (7.20), (7.21) χωρίσ αποδείξεισ), 7.5 (μόνον Οριςμοί 7.6, 7.7 και Ραραδείγματα, χωρίσ το Ραράδειγμα 7.14), 7.6 (μόνον Οριςμόσ 7.8 και Θεωριματα 7.4, 7.6, χωρίσ απόδειξθ), 7.7. Κεφ. 9: Μόνον Οριςμοί, εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων και παραδείγματα από τισ παραγράφουσ 9.1, 9.2, 9.3, 9.4. Κεφ. 11: Μόνον Οριςμοί, εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων και παραδείγματα από τισ παρα- γράφουσ 11.1, 11.2.1, 11.2.3 (όχι Ραραδείγμ. 11.6, 11.7, 11.8), 11.3.1, 11.3.3 (όχι Ραράδ. 11.14), 11.4.1 (όχι Ραράδ. 11.16), 11.4.4. Κεφ. 12: Μόνον Οριςμοί, εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων και παραδείγματα από τισ παρα- γράφουσ 12.1, 12.2, 12.3, 12.5.

Φλθ απο το βιβλίο του κ. Κοφτρα. Απο τον πρϊτο τόμο. 1: όλο 2: όλο εκτόσ 2.5 3: ωσ ςελ 165 4: όλο 5: 5.1, 5.2 ωσ ςελ 277, 5.4 6, 7: όλα Από τον δεφτερο τόμο. 1, 2: όλα 3: όλο εκτόσ 3.5 4: μόνο θ 4.2 5: 5.1-5.3 6: μόνο θ 6.3 7: 7.1-7.5 8: όλο

Από βιβλίο κακθγθτι: ςελίδεσ 1-27, 73-113

Κεφάλαια: 1.2-1.4, 1.6, 2.1-2.6, 4.1-4.7 (αυτό το είδα από τον οδθγό ςπουδϊν αλλά το ψάχνω αν ιςχφει ακόμθ γιατί ζχεισ γράψει ότι είναι από το 2008)

Πτι υπάρχει ςτθν eclass του μακιματοσ (http://eclass.uoa.gr/courses/PPP263/) ςτον φάκελο "ζγγραφα"! Από το βιβλίο Μάκθςθ και Διδαςκαλία ςελίδεσ 75-118, 171-297, 394-400, 427-481, 498-530

Κεφάλαιο 1: Σφνολα Κεφάλαιο 2: Σχζςεισ Κεφάλαιο 3: Συναρτιςεισ Κεφάλαιο 4: Μακθματικι Λογικι Κεφάλαιο 8: Το άπειρο και ακόμα Ρροταςιακόσ Λογιςμόσ και Μιγαδικοί Αρικμοί

Κεφαλαίο 1, 2, 3, εκτόσ 3.8, 4, 5, εκτόσ 5.5, 6, εκτόσ 6.4, 7

Page 6: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

6

Page 7: "ME"-Μαθηματική Ελπίδα-Τεύχος Ι (δεύτερη έκδοση)

7