2

3

1.Πίνακεσ 2.υςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων 3.Διανυςματικοί χϊροι 4.Γραμμικζσ απεικονίςεισ 5.Γραμμικζσ απεικονίςεισ και πίνακεσ

1. Πραγματικοί αρικμοί. Φυςικοί αρικμοί: Αρχι του ελαχίςτου, αρχι τθσ επαγωγισ. Ρθτοί αρικμοί, φπαρξθ αρριτων, αξίωμα πλθρότθτασ. Υπαρξθ τετραγωνικισ ρίηασ και ακεραίου μζρουσ, πυκνότθτα των ρθτϊν και των αρριτων ςτουσ πραγματικοφσ αρικμοφσ, προςζγγιςθ πραγματικϊν αρικμϊν από ρθτοφσ, κλαςικζσ ανιςότθτεσ. 2. Ακολουκίεσ πραγματικϊν αρικμϊν. υγκλίνουςεσ ακολουκίεσ, μονότονεσ ακολουκίεσ, κιβωτιςμόσ διαςτθμάτων, ακολουκίεσ που ορίηονται αναδρομικά. 3. υναρτιςεισ. Βαςικοί οριςμοί. Αλγεβρικζσ ςυναρτιςεισ, Σριγωνομετρικόσ κφκλοσ. Οριςμοί των τριγωνομετρικϊν ςυναρτιςεων, βαςικζσ ιδιότθτεσ. Εκκετικι ςυνάρτθςθ. 4. υνζχεια και όριο ςυναρτιςεων. υνζχεια. Αρχι τθσ μεταφοράσ. υνζχεια βαςικϊν ςυναρτιςεων. υνζχεια και τοπικι ςυμπεριφορά. Θεϊρθμα ενδιαμζςων τιμϊν. Υπαρξθ μζγιςτθσ και ελάχιςτθσ τιμισ για ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ οριςμζνεσ ςε κλειςτά διαςτιματα. Μονότονεσ ςυναρτιςεισ. Αςυνζχειεσ μονότονθσ ςυνάρτθςθσ. υνεχείσ και 1-1 ςυναρτιςεισ. Αντίςτροφθ ςυνεχοφσ και 1-1 ςυνάρτθςθσ. Αντίςτροφεσ τριγωνομετρικζσ ςυναρτιςεισ. Λογαρικμικι ςυνάρτθςθ. Όρια ςυναρτιςεων: θμεία ςυςςϊρευςθσ, μεμονωμζνα ςθμεία ςυνόλων. υνζχεια ςυνάρτθςθσ ςε μεμονωμζνο ςθμείο. Η ζννοια του ορίου ςυνάρτθςθσ. Μοναδικότθτα. Αρχι τθσ μεταφοράσ. Αλγεβρικζσ ιδιότθτεσ, όριο ςφνκεςθσ. Πλευρικά όρια. 5. Παράγωγοσ. Οριςμόσ τθσ παραγϊγου. Κανόνεσ παραγϊγιςθσ. Παράγωγοι βαςικϊν ςυναρτιςεων. Θεϊρθμα μζςθσ τιμισ. Κριτιρια μονοτονίασ ςυνάρτθςθσ. Κριτιρια τοπικϊν ακροτάτων. Γενικευμζνο κεϊρθμα μζςθσ τιμισ. Κανόνεσ de l'Hospital.

Η διδακτζα/εξεταςτζα φλθ ςτθν Πλθροφορικι Ι για το ακαδθμαϊκό ζτοσ 2010-2011 καλφπτεται *ΠΛΗΡΩ* από τισ ςθμειϊςεισ των παραδόςεων τθσ κεωρίασ. *ΤΜΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΑ* και *ΜΟΝΟ* για περιςςότερθ εμβάκυνςθ ςε κάποια ηθτιματα μπορείτε να ανατρζξετε ςτθν αντίςτοιχθ φλθ από τα βιβλία: SAVITCH ΚΕΦ. 1: 1.1, 1.3 ΚΕΦ. 2: 2.1 ζωσ και 2.4 ΚΕΦ. 3: 3.1 ζωσ και 3.4 ΚΕΦ. 5: 5.2, 5.3 ΚΕΦ. 6: 6.1 ζωσ και 6.5 ΚΕΦ. 11: 11.1, 11.2 ROBERTS ΚΕΦ. 1: όλο ΚΕΦ. 2: 2.1 ζωσ και 2.4 ΚΕΦ. 3 ζωσ και ΚΕΦ. 5 ΚΕΦ. 11: 11.1 ζωσ και 11.6 ΚΕΦ. 12: 12.1, 12.2 ΚΕΦ. 14: 14.1

1. Τπακολουκίεσ και βαςικζσ ακολουκίεσ. Οριςμόσ και παραδείγματα. Θεϊρθμα Bolzano-Weierstrass. θμεία ςυςςϊρευςθσ ακολουκίασ, ανϊτερο και κατϊτερο όριο. Ακολουκίεσ Cauchy. 2. ειρζσ πραγματικϊν αρικμϊν. φγκλιςθ ςειράσ. Κριτιρια ςφγκλιςθσ ςειρϊν. Εναλλάςςουςεσ ςειρζσ. Κριτιριο Dirichlet. Δυναμοςειρζσ. 3. Ομοιόμορφθ ςυνζχεια. Υπαρξθ μζγιςτθσ και ελάχιςτθσ τιμισ για ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ οριςμζνεσ ςε κλειςτά διαςτιματα (δεφτερθ απόδειξθ). Ομοιόμορφθ ςυνζχεια: οριςμόσ, χαρακτθριςμόσ με χριςθ ακολουκιϊν. Ομοιόμορφθ ςυνζχεια ςυνεχϊν ςυναρτιςεων ςε κλειςτά διαςτιματα. 4. Ολοκλιρωμα Riemann. Οριςμόσ του ολοκλθρϊματοσ Riemann για φραγμζνεσ ςυναρτιςεισ. Κριτιριο Riemann, ολοκλθρωςιμότθτα ςυνεχϊν και μονότονων ςυναρτιςεων, παραδείγματα. Ιδιότθτεσ του ολοκλθρϊματοσ.

Θεϊρθμα μζςθσ τιμισ του Ολοκλθρωτικοφ Λογιςμοφ. Θεμελιϊδεσ κεϊρθμα του

4

Απειροςτικοφ Λογιςμοφ. Κανόνεσ ολοκλιρωςθσ (κατά μζρθ, με αντικατάςταςθ). Σεχνικζσ ολοκλιρωςθσ. Γενικευμζνα ολοκλθρϊματα. Εφαρμογζσ. 5. Θεϊρθμα Taylor και δυναμοςειρζσ. Θεϊρθμα Taylor. Μορφζσ υπολοίπου ςτο κεϊρθμα Taylor. Αναπτφγματα Taylor βαςικϊν ςυναρτιςεων. Αναπτφγματα ςυναρτιςεων ςε δυναμοςειρζσ. (2 εβδομάδεσ). 6. υμπλθρϊματα. (α) Κυρτζσ ςυναρτιςεισ, ανιςότθτα του Jensen και εφαρμογζσ. (β) Οριςμοί των βαςικϊν υπερβατικϊν ςυναρτιςεων.

Aπό το βιβλίο «Ειςαγωγι ςτισ τοχαςτικζσ Ανελίξεισ» Κεφάλαιο 1. & 1, 2. Κεφάλαιο 2. Όλο το κεφάλαιο εκτόσ τον διδιάςτατο και τριδιάςτατο τυχαίο περίπατο, κακϊσ και τισ αποδείξεισ των οριακϊν κεωρθμάτων. Επίςθσ εξαιροφνται οι οριακζσ πικανότθτεσ για τισ περιοδικζσ αλυςίδεσ. Από τισ πικανότθτεσ απορρόφθςθσ ζχετε το Θ. 9.1 ςελ. 125 και το Γενικό Παράδειγμα ςελ. 133. Κεφάλαιο 3. & 2 (εκτόσ από τθ ςφνκετθ και μθ ομογενι Poisson), & 3, & 4 ζωσ τθν ςελ. 178.

Από τισ ςθμειϊςεισ του βιβλίου. 1.1, 1.2, 1.3 2.1, 2.2, 2.3 (όχι όμωσ ςτθν ςχζςθ ελαςςόνων) 3.1, 3.2 4.1, 4.2 5.1, 5.2 (όχι όμωσ το Λιμμα 5.2 και το κεϊρθμα 5.5) 6.1, 6.2 7.1, 7.3, 7.4, 7.6 (όχι τισ αποδείξεισ), 7.7 8.1, 8.2, 8.3 Η παραπάνω φλθ είναι το τί πρζπει να κατανοιςετε ςτο πλαίςιο τθσ προετοιμαςία ςασ για ςτισ εξετάςεισ. Αυτό δεν ςασ εγγυάται ςε καμμιά περίπτωςθ ότι κα περάςετε το μάκθμα. Είναι ςθμαντικό να λφςετε (ι να καταλάβετε τισ λφςεισ) όλων των αςκιςεων που ζγιναν ι κα γίνουν ςτο μάκθμα. Μθν ξεχνάτε ότι θ εξζταςθ κα γίνει με ανοιχτά βιβλία και ςθμειϊςεισ (αλλά με κλειςτά κινθτά και υπολογιςτζσ).

Υλθ του Μακιματοσ Ειςαγωγι. Η ζννοια του Αφθρθμζνου Σφπου Δεδομζνων (ΑΔΣ). Πίνακεσ, Εγγραφζσ, φνολα, υμβολοςειρζσ (Strings). τοίβεσ, Ουρζσ, Λίςτεσ, Δζνδρα (δυαδικά δζνδρα αναηιτθςθσ). Γραφιματα.

Η φλθ του μακιματοσ είναι τα εξισ δφο βιβλία: 1. A.C. CROMBIE, από τον ΑΤΓΟΤΣΙΝΟ ςτον ΓΑΛΙΛΑΙΟ, ΣΟΜ. Α, εκτόσ των ςελ. 148-148. 2. H. BUTTERFIELD, Η ΚΑΣΑΓΩΓΗ ΣΗ ΤΓΧΡΟΝΗ ΕΠΙΣΗΜΗ, εκτοσ των κεφαλαίων Θ, Ι, ΙΒ.

1. τοιχεία από τθ κεωρία ςυνόλων (αρικμιςιμα και υπεραρικμιςιμα ςφνολα, αρικμθςιμότθτα του ςυνόλου των ρθτϊν και υπεραρικμθςιμότθτα του ςυνόλου των πραγματικϊν αρικμϊν). 2. Μετρικοί χϊροι (οριςμοί, βαςικζσ ιδιότθτεσ και παραδείγματα, τοπολογικζσ ζννοιεσ, ιςοδφναμεσ μετρικζσ, φραγμζνα και ολικά φραγμζνα ςφνολα). 3. υνζχεια ςυναρτιςεων ςε μετρικοφσ χϊρουσ: ςθμειακι (τοπικι) ςυνζχεια και (ολικι) ςυνζχεια, ιδιότθτεσ ςυνεχϊν ςυναρτιςεων. Ιςομετρίεσ, ςυναρτιςεισ Lipschitz, ομοιόμορφθ ςυνζχεια. 4. Πλθρότθτα: πλιρθσ μετρικόσ χϊροσ (οριςμόσ, βαςικζσ ιδιότθτεσ, παραδείγματα). Θεωριματα ςτακεροφ ςθμείου (και εφαρμογζσ ςτισ διαφορικζσ εξιςϊςεισ). Θεωριματα Cantor και Baire και εφαρμογζσ. 5. υμπάγεια: οριςμόσ (με ανοικτζσ καλφψεισ), και βαςικζσ ιδιότθτεσ. υνζχεια ςυναρτιςεων και ςυμπάγεια. Χαρακτθριςμοί τθσ ςυμπάγειασ με τθ βοικεια τθσ ιδιότθτασ Bolzano-Weierstrass και τθσ ζννοιασ του ολικοφ φραγμζνου. Πεπεραςμζνο (καρτεςιανό) γινόμενο ςυμπαγϊν μετρικϊν χϊρων. 6. Διαχωριςιμότθτα. 7. φνολο Cantor. 8. Ακολουκίεσ και ςειρζσ ςυναρτιςεων: απλι και ομοιόμορφθ ςφγκλιςθ (οριςμοί, βαςικζσ ιδιότθτεσ και παραδείγματα). Κριτιριο Weierstrass (για τθν ομοιόμορφθ ςφγκλιςθ ςειρϊν ςυναρτιςεων).

Ομοιόμορφθ ςφγκλιςθ και ςυνζχεια, ολοκλιρωςθ και διαφόριςθ.

5

9. υνεχείσ πραγματικζσ ςυναρτιςεισ ςε ςυμπαγείσ μετρικοφσ χϊρουσ: Θεϊρθμα προςζγγιςθσ του Weierstrass. Η δομι του μετρικοφ χϊρου C(X), όπου ςυμπαγισ μετρικόσ χϊροσ. υμπάγεια και ιςοςυνζχεια ςτον C(X). Θεϊρθμα Ascoli-Arzela και κεϊρθμα Peano.

Η φλθ του μακιματοσ είναι οτιδιποτε διδάχκθκε ςτθν τάξθ. ε γενικζσ γραμμζσ αντιςτοιχεί ςτισ επόμενεσ παραγράφουσ του βιβλίου. Κεφ. 2: Διατάξεισ και ςυνδυαςμοί: Παρ. 1, 2, 3, 4 Κεφ. 3: Παραγοντικοί, διωνυμικοί και πολυωνυμικοί ςυντελεςτζσ. Παρ. 1, 2, 3 Κεφ. 4: Η αρχι εγκλειςμοφ και αποκλειςμοφ. Παρ. 1,2 Κεφ. 6: Γεννιτριεσ ςυναρτιςεισ. Παρ. 3

Από το βιβλίο HOEL PORT STONE Κεφάλαιο 1: Όλο Κεφάλαιο 2: Μζχρι και τθν ςελίδα 47. Κεφάλαιο 3: Εκτόσ παραγράφων 3.4.1, 3.5 Κεφάλαιο 4: Όλο Κεφάλαιο 5: Εκτόσ παραγράφου 5.4 Κεφάλαιο 6: Εκτόσ παραγράφων 6.2.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.7. Κεφάλαιο 7: Εκτόσ παραγράφου 7.4 Κεφάλαιο 8: Εκτόσ παραγράφου 8.3. Η παράγραφοσ 8.4 χωρίσ αποδείξεισ. Από το βιβλιο «Θεωρία Πικανοτιτων και Εφαρμογζσ», Χ.Α. Χαραλαμπίδθ, Εκδόςεισ υμμετρία, 2009 Κεφ. 1: Παράγραφοι 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 (χωρίσ απόδειξθ Θεωρ. 1.8). Κεφ. 2: Παράγραφοι 2.1 (εκτόσ από Θεϊρ. 2.4 και Παραδ. 2.8 και 2.9), 2.2, 2.3 (χωρίσ αποδείξεισ). Κεφ. 3: Παράγραφοι 3.1, 3.2 (χωρίσ απόδειξθ Θεϊρ. 3.4), 3.3, 3.4 (μόνο εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων, Οριςμοφσ και Παραδείγματα). Κεφ. 4: Παράγραφοι 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 (μόνον Λιμμα 4.1 και Οριςμοί 4.3, 4.4), 4.6. Κεφ. 5: Παράγραφοι 5.1, 5.2, 5.3 (εκτόσ από Πόριςμα 5.1, Θεϊρ. 5.3, Παρατιρ. 5.2), 5.4,

5.5.1 (μόνο τφποι (5.36), (5.40)), 5.6 (εκτόσ από Θεϊρ. 5.16 και Πόριςμα 5.7). Κεφ. 6: Παράγραφοι 6.1, 6.2 (εκτόσ από Πόριςμα 6.1 και Πόριςμα 6.2), 6.3 (όχι Πόριςμα 6.3 και χωρίσ απόδειξθ το Θεωρ. 6.7 και το Πόριςμα 6.4). Κεφ. 7: Παράγραφοι 7.1, 7.2 (μόνον Οριςμόσ 7.3 και Θεϊρ. 7.1 και 7.2 χωρίσ αποδείξεισ), 7.3 (μόνον Οριςμόσ 7.4 και ςχζςεισ (7.13), (7.14) χωρίσ αποδείξεισ), 7.4 (μόνον Οριςμόσ 7.5 και ςχζςεισ (7.20), (7.21) χωρίσ αποδείξεισ), 7.5 (μόνον Οριςμοί 7.6, 7.7 και Παραδείγματα, χωρίσ το Παράδειγμα 7.14), 7.6 (μόνον Οριςμόσ 7.8 και Θεωριματα 7.4, 7.6, χωρίσ απόδειξθ), 7.7. Κεφ. 9: Μόνον Οριςμοί, εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων και παραδείγματα από τισ παραγράφουσ 9.1, 9.2, 9.3, 9.4. Κεφ. 11: Μόνον Οριςμοί, εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων και παραδείγματα από τισ παρα- γράφουσ 11.1, 11.2.1, 11.2.3 (όχι Παραδείγμ. 11.6, 11.7, 11.8), 11.3.1, 11.3.3 (όχι Παράδ. 11.14), 11.4.1 (όχι Παράδ. 11.16), 11.4.4. Κεφ. 12: Μόνον Οριςμοί, εκφωνιςεισ Θεωρθμάτων και παραδείγματα από τισ παρα- γράφουσ 12.1, 12.2, 12.3, 12.5. Υλθ απο το βιβλίο του κ. Κοφτρα. Απο τον πρϊτο τόμο. 1: όλο 2: όλο εκτόσ 2.5 3: ωσ ςελ 165 4: όλο 5: 5.1, 5.2 ωσ ςελ 277, 5.4 6, 7: όλα Από τον δεφτερο τόμο. 1, 2: όλα 3: όλο εκτόσ 3.5 4: μόνο θ 4.2 5: 5.1-5.3 6: μόνο θ 6.3 7: 7.1-7.5 8: όλο

6

7