Η Μαθηματική Αναλογία Της Χρυσής Τομής

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Διπλωματική Εργασία ΒΑΖΟΥΡΑ ΕΛΕΝΗΔιαπανεπιστημιακό - Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών "Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών"

Transcript of Η Μαθηματική Αναλογία Της Χρυσής Τομής

  • ..

    :

    1).( )

    ...

    .

    2)

    ...

    ..

    3)

    ...

    ...

  • : , ( ). . .

    Johannes Kepler

  • .

    Erwin Panofsky

    . ,

    .

    ,

    . , ,

    ,

    .

    ,

    . ;

    , ...

    , .

    ,

    . ,

    , Cantor. ,

    .

    .

    .

    . ,

    .

    .

    .

    .

  • ,

    .

    . ,

    .

    . .

    .

    . .

    ,

    .

    , ,

    ,

    .

    .

    .

    . ,

    .

    , .

    , ...

    . ,

    .

    ,

    .

  • , , 2007

  • ii

    , 2007

  • iii

    v

    . 1 . 7 8 I 9 II 16 V 22 V 26 V 27 VI, VIII, IX 34 X 35 X, XII 40 XII 41 . 69 1. 69 2. 73 3. -1 5 75 4.

    XIII 76

    . 79 .

    83 1.

    83

    2. 85 3.

    87

    4. 90

    . 93 .

    94 . 103 . 113 . 135 . 154

    IV A. 157

    158

  • iv

    . 159

    1. Triangulatur Quadratur 159 2. 166 3. 172 4. 174 . 178 . 180

    V . 181 . 182 . 189 . 19 204 . O 20 212 . 231

    VI . 233 . 235 . 243 . 255 . 19 258 . 267 . 269 . Erwin Panofsky, H

    273

    .

    Blent Atalay, MATH AND THE MONA LISA, The Art and Science of Leonardo Da Vinci

    317

    359

  • v

    ,

    .

    ,

    .

    -

    -.

    .

    ,

    .

    .

    ,

    .

    .

    .

    ,

    .

    .

    .

    ,

    - .

    1.

    1 .

  • vi

    ,

    ,

    ,

    ,

    modulus () .

    , ,

    . .

    .

    ,

    . ,

    ,

    , ,

    ,

    ,

    .

    ,

    (

    , ).

    ,

    .

    .

    ,

    ,

    , ,

    ,

    .

  • vii

    ,

    ,

    ,

    ,

    (Kunstwollen)

    ,

    .

    . ,

    ,

    .

    Kunstwollen

    , .

    .

    ,

    .

    .

    , ,

    Le Corbusier.

    ,

    .

    ,

    .

    .

    .

    .

  • 1

    .

    .

    C.

    ,

    C

    ,

    : = :

    , AB ACAC CB

    = (. .1)

    .1

    . ,

    VI (300 ..).

    VI ( VI-30),

    .

    ,

    .

    , VI

  • 2

    V II

    , . -11

    ,

    :

    ,

    .

    .2

    .2

    ACDE AC

    ,AB CB .

    ,

    AC AC AB CB=i i . AB ACAC CB

    =

    : :AB AC AC CB= (

    ).

    ( -11 VI-

    30) ; ,

    , VI

    V

    II.

  • 3

    () .

    :

    ;

    IV

    -11 VI, 3

    .

    IV

    .

    .3

    ,

    . ,

    ,

    VI.

    .3a

    0 0 036 72 72

  • 4

    .

    IV-11,

    IV-10. 72

    ( .3b) DCB

    , 0 0 036 72 72 .

    ABD DCB :

    AB DBDB BC

    = . ,

    DB DC AC= = . , AD ACAC BC

    = ,

    AB

    C .

    IV-12 IV-16

    VI- XIII.

    ,

    XIII-8

    .

    ,

    ,

    .

    11

    ( .2). , II

    .

    -6 , ,

    -11.

  • 5

    .4 AB C

    D . IV

    V CB BD ,

    I, II, III.

    I, II, V. II

    III, ,

    V ,

    , IV.

    II-11,

    : ( AD

    DB) + ( CB) = (

    CD).

    .4

    , ,

    . -6

    ,

    .

    II , -11 ,

    , . ,

  • 6

    ,

    , ,

    .

    .

    1 x ( .5) 11 1x

    x=

    2 1 0x x = .

    1 52+ 1,618.

    .5

    .

    .

    - -11, V-10, V-11 XII-8-

    ,

    ,

    . ,

    .

    -13 ,13

    .

    .

  • 7

    ,

    .

    .

    ,

    .

    ,

    .

    Euclid-eiberg

    Euclid-eath.

    .

    ,

    .

    .

    .

    .

    , ,

    Euclid Frajese.

    Euclid-Peyrard, Euclid-Heiberg, Euclid-Heath,

    Neuenschwander [1972,1973], Mueller [1981],

    .

  • 8

    .

    ,

    .

    ,32.

    .

    .

    : IV- 10, XIII- 8, 9, 10, 11, 18 ...

    ,42 ( ).

    .

    : - 44, 45

    ,43 ().

    () ABCD AC ,

    .

    -

    .

    .6

    : -44, -4, 5, 6, 7, 8, VI-27, 28, 29, X, XIII-1, 2,

    3,4, 5.

  • 9

    : -43

    ,

    I II, 2,

    II.

    ,44 ( ).

    ( )

    .

    : -45, VI-25, X, XIII.

    : 5 .

    ,45 ( ).

    .

    : -14, VI-25, X (27 )

    ,47 ( ).

    BC AB AC,

    ,

    .

    : -9,10,14, -36, -18 ...

    II.

    ,

    .

    . Van Der Waerden,

    .

  • 10

    27-33 46 I.

    .

    2.

    ,

    ,43 (

    ).

    : -5,6, V-27,28,29, -1,2,3,4...

    ,1.

    D E

    BC. I, II, III

    () BC BG.

    .7

    .

    ,2.

    . C

    I II ( .8).

  • 11

    .8

    : XIII-10 I-47.

    : -1.

    ,4.

    a b+ , .

    ab .

    a b+

    a ( 22ab b+ ) .

    .9

    : 2 ,43.

    : -12, , , XIII, 2

  • 12

    ,5 ( ).

    AB ,

    AD DB C AB.

    , CB,

    CD AD DH.

    .10

    : I = II + III C .

    I-43 II = IV().

    : II-14, III-35, X-17, 41 59.

    ,6 ( ).

    AB C .

    BD AB.

    CD CB

    AD DM.

  • 13

    .11

    : II-11, III-36, X-28, 1,2.

    ,9.

    AB C . D

    AB C.

    AD DB ,

    AC CD .

    .12

    .

    ,10.

    AB C . BD

    AB.

    AD DB,

    AC CD.

  • 14

    .13

    .

    ,11 ( -

    - ).

    AB , AH

    HB AB

    AB BH.

    :

    .14a, .14b.

    .14a

    : ( .14b).

    ABDC E AC.

    F EC FE EB=

    AFGH . E AC

    AF AC, II-6 :

  • 15

    ( ) ( ) ( ) ( ),R CF FA S AE S EF S BE+ = = 2. (I-47),

    ( ) ( ) ( )S BE S AE S AB= + ( )S AE :

    ( ) ( ).R CF FA S AB= .

    .14b

    ,

    I + II = II + III III=R(AH,HK) S(AH)

    = R(BD,HB) = R(AB,HB). H

    .

    : -47, -6.

    : V-10.

    II,14 ( ).

    .

    : I-45, -47.

    : X (5 )

    2 R . S . .

  • 16

    III.

    .

    III,20.

    C . BOC

    BAC , A

    . 2BOC BAC=

    : III-27, VI-33

    .15

    III-20,26,27,28,29

  • 17

    III,26.

    BC EF .

    BOC EOF . BC EF .

    BAC EDF .

    : III-27,28, IV-11, XIII-10

    : ,

    . IV-11

    XIII-10

    .

    III-26

    .

    .

    III,27 .

    .

    : III-29, IV-11, VI-33

    III,28.

    CB EF

    CB EF .

    : XIII,8

    III,29.

    CB EF

    CB , EF .

    : IV-11, XIII-10

    III,32.

    BC BF B.

    D B C

    CBF , BDC FBC

    .

  • 18

    .16

    : 090ABF = . , BAD BCD 180

    .

    , .

    : IV-10

    III,35 ( ).

    AC BC E,

    ( , ) ( , )R AE EC R DE EB= .

    : .17

    F AC .

    II-5 ( , )R AE EC .

    FE FC

    (I-47). BD

    ( , )R DE EB FE FB . FE

    FB FC , .

  • 19

    .17

    .

    III,36.

    D DB

    DA DA C,

    ( , ) ( )R DA DC S DB= .

    .18

    ( 2)

  • 20

    .19

    ( )

    : :

    1: AC ( .18).

    2: AC ( .19).

    , ,

    . F AC II-6

    ( , )R AD DC . ,

    .

    1:

    II-6, ( , ) ( ) ( )R AD DC S FC S FD+ = .

    ( )S FD FB

    FC ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )R AD DC S FB S FD S FB S BD+ = = + .

    ( )S FB , ( , ) ( )R AD DC S BD= .

    2:

    II-6, ( , ) ( ) ( )R AD DC S FC S FD+ = . EF

    EFD EFC .

  • 21

    ( )S EF

    (I-47), R(AC,DC)+S(EC)=S(ED) .

    EB EC

    EDB

    R(AD,DC)+S(EB)=S(DB)+S(EB) .

    S(EB) , R(AD,DC)=S(BD) .

    : III-37

    III,37 ( III-36).

    D F DA

    C. B

    ( ) ( ),R AD DC S DB=

    DB B.

    .20

    :

    DE , III-36 ,

    S(DE)=R(AD,DC)=S(DB) DE=DB . FE=BF DF

  • 22

    , DEF DFB .

    DFB DB .

    : IV-10

    IV.

    .

    IV,2.

    .

    IV,6.

    .

    IV,10.

    , 72 72 36 .

    :

    .21 AB

    A AB .

    II-11, C

    ( , ) ( )R AB BC S CA= . D

    BAD AB AD= ABD BDA=

    BD AC= . ,

    ACD . A, C, B

    D

    ( , ) ( )R AB BC S BD= . III-37 BD

    . ,

    III-32, BOC DAC= .

  • 23

    .21

    CDA ,

    BCD :

    BCD DAC CDA BDC CDA BDA DBA CBD= + = + = = = .

    BCD DC BD= .

    BD CA= DC CA= CDA

    CDA DAC= .

    :

    2 2BDA DBA BCD CDA DAC DAC DAB= = = + = = .

    : IV-11,12,16, XIII-16.

  • 24

    IV,11.

    .

    .22

    :

    IV-10, ACD , 0 0 072 72 36 . ACD CDA CE

    DB . ACD

    CAD ,

    , , ,ACE ECD BDA BDC CAD . ,

    ,

    III-26,27, 29.

    : IV-12,16, -16.

    IV,12.

    .

    : I-47

    .

  • 25

    :

    IV-11 .

    IV,13.

    .

    .

    : ,

    IV-11. 36 54 90

    .

    .23

    IV,14.

    .

    : -8, 18.

    : ,

    IV-11.

  • 26

    IV,15.

    .

    IV,16.

    - .

    :

    1/3 = 5/15 .

    1/5 = 3/15

    .

    2/15

    1/15 .

    :

    IV-11

    .

    V.

    ,

    . -(

    ).

    , , , .

    (

    2, 3, ). V XII.

    .

    Mueller [1981, .3] Fowler [1979,

    1982c, 1985].

  • 27

    4 ( -).

    a b n

    bna > . , ,

    .

    : V4

    V.

    5 3( ).

    ,

    ,

    ( )

    ( )

    ,

    , .

    V,14.

    a cb d= a ( )

    c, b ( )

    d.

    : V, XII, XIII,2, 5, 8, 9,16, 17

    VI.

    .

    V,

    .

    3 : ba : dc : : (1) , m n, nbma < nbmc < (2) , m n, nbma = ndmc = (3) , m n, nbma > ndmc >

  • 28

    .

    VI-28, 29, 30 .

    V.

    O 3.

    .

    VI,1.

    () ,

    ( )

    .

    : XIII-1, 2

    VI,3.

    ABC AD BAC . BD BADC AC

    = .

    AD ,

    .

    .24

  • 29

    : .

    .

    VI,8.

    ,

    .

    .

    VI,16.

    , , ,A B C D ( )A CB D= ( , ) ( , )R A D R B C=

    . A D , B C

    .

    : VI-17, X .

    VI,17.

    , ,A B C ( A BB C= )

    ( , ) ( )R A C S B= . A C

    B .

    : XIII-1,2,3,4,5,6,10,13 ...

    VI,25.

    .

    : VI,28, 29.

  • 30

    :

    ,

    I-44 ( ,

    I-44 ).

    ,

    I-45, I-42,44

    VI-25.

    VI, 27.

    AB C .

    CBED . KBHF (III) .

    . ACDL

    - CBED -

    AKFG .

    (

    ACDL AKFG AB

    CBED KBHF ).

    .25

    : -43 ()

    : VI-28.

  • 31

    VI,28 ( ).

    . AB ,

    D C. AB

    ABRT

    - ASQT C

    - SBRQ (II) D.

    C. : E

    AB EBFG

    D.

    EBFG C. (

    AB

    ASQT C

    II D).

    .26

    : -43 (), V-25, 27, ...

    : (14 )

  • 32

    V,29 ( ).

    .

    , D C.

    AB

    APOR C

    - BPOQ (II) D.

    AB - APOR -

    C

    II D.

    .27

    : VI-30.

    VI,30 ().

    AB .

  • 33

    .28

    :

    VI-29 C ABHC

    D . AC (

    AB ) CFDK

    C ( ABHC ) -

    AEDR D, .

    ACFE ABHC

    CFDK AEDK EFHB= .

    FE AEED EB

    = FE AB= ED AE=

    BA AEAE EB

    = . , BA AE

    AE EB .

    : XIII-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18

  • 34

    VI,33.

    .29, BC BGC BACEHF EDFEF

    = =

    .29

    : XIII-8, 9, 10

    : -27

    . -8

    .

    VII, VIII, IX.

    . .

    . VII

    .

    VI,1.

    .

  • 35

    VI,2 ( ).

    1

    .

    VII.

    .

    .

    .

    - .

    .

    -

    4-5.

    ()

    () .

    , , C, ...

    D

    D .

    () .

    4rhetos , 5 alogos , . 3.

  • 36

    1.

    .

    .

    2.

    A, B, C,

    S(A), S(B), S(C), .

    .

    3.

    F .

    A A

    F S(A) S(F). A

    ....

    :

    1. -9 S(A)

    S(F) A F.

    , A

    S(A)

    S(F) A .

    2. , 3 , ,

    . A

    F, A

    S(A) S(F).

    3. -

    - . -

    . ,

    -

  • 37

    .

    4.

    F S(F)

    . A S(F)

    . A

    S(F) . A

    B S(B)= A,

    B .

    X,1.

    A B A

    B. A C

    A. C

    D C,

    .

    B.

    : X-2 XII.

    X,2.

    A B A

    B. B A

    C. C B

    D.

    .

    .

    A B .

  • 38

    :

    E A B

    C. , E B

    C D. , E

    .

    E .

    : X,3.

    ,3 ( ).

    ()

    .

    :

    .

    -2.

    F .

    F . ,

    F.

    :

    VII, 2.

    .

    ,5, 6, 7, 8.

    () .

    .

    : .

  • 39

    ,9.

    , .

    ,21 ( ).

    AB BC

    .

    ( ),R AB BC D

    ( ) ( ),S D R AB BC= D .

    :

    . (X-36) (X-73).

    X,23.

    .

    .

    X,24.

    : : AB

    AD, AD .

    -23

    -24

    (

    , )

    (-21)

    . 24

    .

    , .

  • 40

    ,73 ( ).

    AB . BC

    AB .

    AC .

    : (28 ), XIII-6,11,17.

    : ,6

    .

    ,76 ( ).

    AB . BC

    : BC

    AB , ( )S AB BC+ , ( ),R AB BC 6.

    AC , BC AB ,

    .

    : , XIII-11,16[b].

    : -11

    .

    XI, XII

    XI , ,

    . XII,

    , V,

    .

    6 X 23, 24.

  • 41

    .

    , ,

    , , .

    .

    .

    X, VII.

    ( )

    .

    .

    -1.

    1(2

    S + 1) 5 ( )2

    S = .

    :

    .30

  • 42

    C AC . BA

    D 12

    AD AB= . ( ) 5 ( )S CD S AD= .

    .

    3, VI, :

    (a) ( , ) ( )II R AB CB S AC I= = = . 2 2AK AB AD AH= = =

    ( , 43)IV V I=

    (b) 2 ( ,1)III IV VI IV V= = + . (a) (b) :

    (c) ( )S AB II III I IV V= + = + + . (c)

    2AB AD=

    (d) ( ) 4 ( ) S AB S AD = = .

    , ( )S AD (d),

    ( ) ( ) 5 ( )S CD S AD S AD = + = .

    : I-43 () VI-1,17

    : XIII-6 ,11

    ,2.

    AB , AD , AC 2CD AC= .

    ( ) 5 ( )S AB S AC= . CB

    CD .

    :

    .

    5 ( ) ( ) ( ) ( )S AC S AB I II III S AC S AC = = + + + = + .

    S(AC) :

  • 43

    .31

    (a) 4 ( )S AC I II III = = + + . 2DC AC=

    ( ) 4 ( )S CD S AC= (a)

    (b) 4 ( ) ( )I II III S AC S CD IV V + + = = = = + . ,

    2KC CD AC CH= = = II III= I-43

    (c) 2II III II V+ = = VI-1

    (c) (b) ( ) ( , )S CB I IV R CD BD = .

    , VI-17, CD CBCB BD

    = , -

    DC CB, V-14 CB

    BD CB

    .

    : I-43 (), V-14, VI-17 ,

    .

    .

  • 44

    XIII,2 .

    : 2AC DC CB .

    : II-4.

    : XIII-2.

    ,3.

    1(2

    S + 1) 5 (2

    S =

    ) .

    :

    .32

    AB C

    AC . D AC.

    ( ) 5 ( )S BD S DC= .

    . 2AC DC= :

    (a) ( ) 4 ( )S AC S DC= .

    C, VI-17

    (b) ( , ) ( , ) ( )II III IV R BE CB R AB CB S AC+ + = = . ,

    (a) (b) :

  • 45

    (c) 4 ( )II III IV S DC+ + = . AD DC= III IV= .

    , I-43 I=III I=IV.

    II III+

    (c) :

    (d) 4 ( ) I II III S DC = + + = . ( )S DC

    (d) : ( ) ( ) 5 ( )S BD S DC S DC = + =

    : I-43 (), VI-1,17.

    : XIII-16.

    XIII, 4.

    [S( )+ S ( ) ] = 3 S( )

    :

    .33

    AB, C

    , AC .

    ( ) ( ) 3 ( )S AB S BC S AC+ = .

    . 3 VI

    VI-17 :

  • 46

    (a) ( ) ( ) ( ),ABKH R AB BC S AC= = . I-43,

    I=II. S(CB)

    ( ) ( ) ( )ABKH I S CB II S CB= + = + . :

    (b) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 S CB I S CB II S CB + = + + + = ( )S AC (b)

    (a) (b), :

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3S AB S CB S AC S CB S AC S AC + + + = + =

    : I-43 (), VI-17.

    : XIII-17.

    XIII,5.

    AB C,

    AC . BA D

    DA AC. DB

    A, AB .

    :

    .34

    .

    3, VI VI-17

  • 47

    ( ) ( ),I II R AB BC S AC+ = = . II I II III+ = + ( ) ( )S DA S AC=

    ( )S DA III II= + . , ABKH ,

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ,

    .

    R BD DA DBKL S DA

    III II S AB

    = = + =

    + + =

    , VI-17 DB BABA AD

    = . , V-14 EA

    .

    : V-14 VI-17.

    : XIII-17.

    : I +II = III + II. I-43

    (), Euclid-Frajese.

    XIII,6.

    7

    8.

    : VI-17, X, XIII-2.

    : XIII,17[b].

    :

    .

    Taisbak [1982,49] Mueller [1981, 297]. Heiberg [Euclid-Heiberg,

    262]

    Heath [Euclid- Heath, III, 451] ,

    . Frajese Maccion [Euclid, 996]

    .

    7 3, . 8 73, .

  • 48

    XIII,8.

    .

    .35

    :

    .

    ABE ABC . , BAC ABE=

    2AHE BAH= (I-32).

    , III-28

    . 2EC ED DC BC= + = . , VI-33

    2EAC BAC= 2 2HAE EAC BAC BAH AHE= = = = .

    AHE HE= EA = AB,

    HE .

    ABE ABH .

    ABE BEA BAH= = . EB ABBA BH

    =

    BA EH= , BE EHEH HB

    = .

  • 49

    BE EH, V-14 HE

    HB , HE

    , .

    : I-32, III-28, IV-14, VI-33

    : -11, -17[], .

    XIII,9.

    , CD, BC

    . BD

    BC CD

    C

    CD .

    :

    .36

    . BC

    , 5ACB BC= 4AC BC= VI-33

    4 CEB AEC = .

    BEC , 2AEC ECB= I-

  • 50

    32. ,

    , EC CD= CED EDC=

    2ECB EDC= .

    [ ]4 2 2 2 4CEB AEC ECB EDC EDC = = = =

    BEC CEB EDC = .

    BEC BED EBD

    . , BEC

    EDC ,

    .

    BD EBEB CB

    = EB DC= , BD DCDC CB

    = .

    BD DC, V-14

    DC CB

    : I-32, V-14, VI-33,

    : XIII-16,18.

    XIII,10.

    ,

    , . , S(a5) = S(a6) + S(a10)

    ,

    ,

    .

    :

    , ,BA BF AK ,

    .

    , : FH AB, K

    , FL AK, M ,

    N FL AB. CG

    AK .

  • 51

    .37

    .38

  • 52

    :

    2

    2

    2

    2 2

    AK KM

    CB BK

    AB BK

    CG CD AB BK

    =

    =

    =

    = = =

    , 2CG BK AK KM= = = . 2GB BM= VI-33

    2GFB BFM= .

    AFB .

    I-5 FAB ABF= . , I-,32

    2BFG FAB= . , 2 2BFM BFG FAB = =

    BFM FAB= .

    ,ABF BFN

    ABF . VI-17

    :

    ( ) ( , )S BF R AB BN= , (1)

    ,KNA KBA . ,

    (III-29)

    KBN LAN LKN= = LAN

    . VI-17 :

    ( )( ) ,S AK R AB AN= , (2)

    (1) (2) AB

    ( ),R AB BN ( ),R AB AN AN BN

    AB . -2 ,

    ( ) ( ) ( ), ,R AB BN R AB AN S AB+ = .

    , (1) (2) S(A) + S(F) = S(A).

    :-32, -2, -26,29, VI-17,33,.

    : ,16, 18.

  • 53

    ,11.

    9

    .

    10.

    : -1,8, ...

    : ,16[b].

    :

    , ,6. Taisbak [1982,

    63] Mueller [1981, 262].

    ,12.

    ( ) ( )3 3S a S r= ,

    .

    ,13.

    .

    ,13' ().

    ABD AB DC

    , :

    (a) ( )( )

    S AB ABS BD BC

    = , ( )( )

    S S

    = , VI-8

    (b) ( )( )

    S AD ABS DC AC

    = , XIII-13

    9 3, 10 76,

  • 54

    .39

    :

    (b)

    XIII-13. Heath

    [Euclid Heath, III, 471] .

    (a)

    XIII-

    15 XIII,18. ( XIII-15

    XIII,18

    XIII-18.

    ( )( )

    S S

    = .

    (a)

    (b) ( .40) .

    AB ABGE .

    (

    VI-1) ( )( )

    ( )( )

    ( )( )

    , ,, , ,

    R AB AE R AB AB S ABABBC R BC AE R BC AB R BC AB

    = = = . ,

    VI-8, AB BDBD BC

    = VI-17

    ( ) ( ),R BC AB S BD= .

  • 55

    .40

    XIII,14.

    .

    XIII,15.

    ,

    , ( ) ( )63S D S e= .

    ,16.

    .

    : IV-11, XIII-,3, 9, 10,

    : XIII,18.

    ( ,16)

    AB . BD (

    ,

    ). :

    (i) I 34, 4AC CB= ( ) ( )5S AB S BD=

  • 56

    (ii) ,

    6 10AB a a= + , a6 a10

    . 4AC CB= , DB

    . ( AD

    ).

    .41

    :

    ,

    X (

    , , 27).

    ( .42a)

    Z

    X QRSTU W.

    .

    .

    . X

    LMNOP ( .42b)

    V.

    36 , Q E

    LMNOP , PE (

    .42b) .

  • 57

    .42a

    .42b

    (a5)

    (a10)

    (a6).

  • 58

    .

    .

    1) WV

    . 6WV a= ( .42b, f).

    2) ZW

    . 10ZW a= ( b,f).

    (ii) , 6 102AB ZX a a= = + ,

    (1) (2) ( .42c).

    3) H 6a

    .

    ( )i ( ,

    ).

    .42c

  • 59

    . ,

    .

    .42d .42e

    (1) (2),

    UQP ,

    . PEQ

    ( d) : ( ) ( ) ( )S QE S PE S QP+ = .

    QE =a6 PE = a10 -10

    ( ) ( ) ( )5S QE S PE S a+ = . , 5QP a= QP

    QU .

    QZU ( .42a) .

    QWZ ( .42e) ,

    6QW a= 10ZW a=

    QP , 5QZ a QU= = . XIII-10

    XIII-16 XIII-18 XIII-10

    .42d,

    e.

  • 60

    .42f

    ,

    ZX .

    ,ZVE XEV ( f). 6VW a= 10WZ a=

    XIII-9 VZ W

    VW VE= WZ VX= ZV VEVE VX

    = VE

    ZX .

    XEZ . ,

    XZ E, E

    .

    (3) AB

    BD

    . AB

    .

  • 61

    ZX

    ZX .

    a6

    VW . ,

    , ,

    ZX AB

    a6 ZX AB= .

    , C 4AC CB= . ,

    5AB BC= , XIII-13-I, ( ) ( )5S AB S BD= .

    , ZX ( .42f)

    XIII-9 XIII-3 ( ) ( ) ( )' ' 5 'S ZA S ZW WA S WA= + =

    A VW . 2 ', 2 'XZ ZA WV WA= = 6VW a=

    (1) ( ) ( ) ( )5 5S XZ S WV S BD= = XZ AB= .

    -10 -3

    9XIII

    .

    ,16-.

    , 11

    12 .

    : XIII,11.

    : XIII,18.

    XIII -17.

    .

    : XIII- 4, 5, 15 ...

    .

    11 3, 12 76,

  • 62

    .

    : -17, -8.

    : -18.

    : -17

    ,

    ,

    Roger Herz-Fischler, .

    .43

  • 63

    .44

    (

    ,

    Bombelli).

    UV .

    II UV

    III V U V.

    V,

    . III V

    .

  • 64

    .45

    , , ,BC EF BE FC I, II, III, IV

    , BA , .

    8XIII .

    15XIII

    .

    B E

    .

    U.

    R NO

    . UV NO BC =

    , R NP

    . U

    UR.

  • 65

    .46

    RU = RP , ,

    . , , R

    NP

    UR RP= , BU = UV,

    .

    :

    XIII-4, : ( ) ( ) ( )3S PN S NR S RP+ =

    ( ) ( ) ( )3S BN S NR S RU+ = .

    BN NR ( ) ( )3S BR S RU= .

    BU,

    BR UR : ( ) ( ) ( ) ( )4S BU S BR S RU S RU= + =

    2 2BU RU RP UV= = = .

    U -

    -4 -5

    : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3S UZ S ZX S XU S NS S SP S NP= + = + = .

  • 66

    , -15 UZ

    . 4XIII

    17XIII 4XIII

    17XIII 17XIII

    .

    .

    -17.

    .

    : -6.

    ,18.

    .

    . .

    :

    (1)

    ()

    ()

    .

    (2)

    .

    (3) .

    :

    .

  • 67

    (,18).

    .47

    : C AB, 2AD DB= GA AB= GC

    H, K CK CL= . E, F, M C,

    D, L. N FB , NB

    .

    : AF: , BE: , BF: , MB: ,

    BN: .

  • 68

    :

    , LB ML ,

    a10 a6,

    . , -10,

    = a5.

    , ,

    .

    LB =a10 ML = a6 :

    2GA AC= 2HK KC=

    ( ) ( )4S AK S KC= ). HC CB ,

    ( ) ( ) ( ) ( )5 5S CB S CH S CK S CL= = = .

    2AB CB= 2KL CL= ( ) ( )5S AB S KL= .

    (i) XIII-16

    6KL a= . ,

    6 102AB a a= + 10AK BL a= = ( K L

    W V .42f). ,

    62HK KC KL a= = = L K

    C, 6ML HK a= = .

    .48

  • 69

    :

    -15 (

    ), -13-i

    ( ) ( )3S AB S BF= -15

    BF .

    :

    -17 ,

    .

    , BN .

    (1)

    -16 -17.

    (2) ,

    -13-i

    -9 .

    .

    ,

    .

    1.

    To ,

    36 72 -72 V-10,

    (V-11), 36

    -49.

  • 70

    .49

    , V-10,

    , ,

    BD

    . ,

    V-16,

    .

    Sachs [2004].

    . V-10, IV-11

    .

    .

    Hadamard [1945, 49]

    . Hadamard

    .

  • 71

    V-10, ,9

    .

    ,

    V-

    16 .

    (V-16).

    V-10 -9

    36 72 72- 72 .

    V,10, 36 ( BAD )

    -9 36 ( BEC )

    .

    V-10 -9

    :

    (1) V-10

    -36

    -5 .

    (2) V-10

    -32 -36

    -5

    .

    (3) V-10

    -9

    -9 -9.

  • 72

    36 72 72

    , V-13.

    V-13,

    ,

    . 0 0 036 54 90 .

    0 0 036 72 72 ,

    .

    .

    072 .

    0 0 036 72 72 .

    V-10 V-11.

    ( ) .

    V,10:

    . V-15

    V-15

    .

    V-10

    ,

    ,

    .

  • 73

    2.

    , V-

    10 . V-10

    :

    (1) -32 ( BDC )

    ( DAC ).

    (2) -37 (BD)

    .

    -32

    III

    . -32

    (V-2). ,

    ,

    ,

    . , -

    32 .

    , -37 -36

    . -36 -37

    V-10 - .

    -6 -5

    -6 ( .50).

    .

    a priori

    . , -5

    -6 .

  • 74

    II-5 II-6

    .50

    V,

    V-10 -11.

    , ,

    .

    .

    , -6

    ,11 -36 37

    ,

    V-10. -5

    -14 -35

    -36 -37

    -36.

  • 75

    , V-10.

    V-10

    .

    V

    V. ,

    (i)

    .

    ,

    .

    .

    , ,

    V-10

    ,36 37 AC

    , ,

    .

    3. -1 5.

    ,1-5

    (

    -2 Helberg [Euclid-

    Helberg, IV, 223] ). ,

    ( -11) ,

    V-17

    V, 3. -5

    ,

    [Euclid-Heath, III, 449]

  • 76

    V. ,1-5

    13.

    ,

    .

    : V,

    3 -11 V-17,

    . -43

    .

    V-14 -2 -5

    , V-1 -

    1 -2 -10 ( ) -1. ,

    ( -2

    -1).

    , 1-5,

    .

    -4, 5, 6, 7 8

    . ,

    V,27, 28 29

    .

    4. XIII

    , -8

    -1,5

    XIII.

    , XIII

    ( .51 .52):

    13 o Euclid-Heath

  • 77

    1. -16, 17 (

    ) ,3, 9 10 -4

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    Robert Lawlor [1982],

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    15 . . , , ( . , ., 1961) 16 J. Hambidge (Dynamic Symmetry, . ). .

  • 86

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    D.E.

    Berlyne [1969] H.J. Eysenck [1968].

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  • 88

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    Barr Schooling,

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  • 89

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    Fibonacci: 0,1, (0+1)+1, (1+1)=2, (2+1)=3, , 0, 1, 1, 2,

    3, 5, 8, 13, 21.

    : 2 3 41, , , 2 31, 2.... = + = + 21, , 1, ,.... + +

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    , , , 32 [ 1 11/3 ( Iversen, 8)]. , , , . , , . 3 ( , , Travaux, Edgar, 145), , 3 , .

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  • 107

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    33 Kalkmann (, 9) . , , . : ) ( )=1/10 ( ), ) ( ) = 1/10, ) ( ) = 1/8,

    ) = 1/6, ) = , ) = 1/6 ) = , ) = , (, , ), , , . , . [ , F. Saxl, 8.] () () () (), 1/20 1/40 . , () (). , , .. , . 34 Kalkmann, 36-37 35 E. Diels, Archologischer Anzeiger , 1889, No.I, 10

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    Proportion, , 1528.

    .4

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    36.

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    , 36 : proportion (), symmetria () eurhythmia (). , . ( Kalkmann, 9, , 38, ), , , . , , 2, venusta species commodusque aspectus (, ). ( Kalkmann) , . , .. , . . . , . , ( , 2) ex ipsius operis membris conveniens consensus ex partibusque separatis ad universae figurae speciem ratae partis responsus ( , ) : . , , ( , 1) ratae partis membrorum in omni opere totiusque commodulatio ( , , rata pars (, ) ), Drer : (rata pars, ) (IV, 3) , 5:8, 189 30. , , , proportio symmetria efficitur, proportio, , (universaeque proportionis ad symmetriam comparatio). , proportio, , , , . , proportio, symmetria, , , , . , commodulatio, , , commodulatio, ( ) (, , ). , Kalkmann, 9, 2: Proportio , rata pars. Symmetria : , proportio. , A.Jolles, Vitruvs Aesthetik (Freiburg, 1906) 22.

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  • 111

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    40 Jolles, , . - , ( , ) , , Jolles -, , , . 41 Wahrmund (1869). Kalkmann ( 38, ) , .

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    42 , Kalkmann, temperaturae . 43 44 Leone Battista Alberti, , ,

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    , 1/3 (= ) , 1/3

    , 1/3 47

    46 . , , , , , , . , , , , , Averlino Filarete 15 ( Antonio Averlino Filaretes Traktat ber die Baukunst, W. Von Oettingen, (Quellenschriften fr Kunstgeschihte, , ), 1890, 54. 47 Das Handbuch der Malerei vom Berge Athos, Godehard Sshfer, 1885, 82. Julius v. Schlossers Commentarii Ghiberti (Lorenzo Ghibertis Denkwrdigkeiten, , 1912, , 35), ( Schlosser) , , , Gennini, . , Gennini, , 1/3 , , ( = 1/3), . , . , . 12

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    8 2/3 visi.

    13 . , , 9 ( , 10), 1/27 ( , 1/40) 1/9 ( , 1/6). , Gennini , , , Gennini. , , , , . , , (Schfer, 251) , , Drer, .71 [, o L. H. Heydenreich, Der Apokalypsenzyklus im Athosgebeit und seine Beziehungen zur deutschen Bibelillustration, Zeitschrift fr Kunstegschihte, VIII, 1939, Apocalypse Drer Holbein (Wolff) 1523.]

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    18 48 , Pomponius

    Gauricus, ,

    Ghilberti Filarete.

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    Treatise Gennini

    . ,

    ,

    48 Schlosser . , , , Mario Equicola, Giorgio Vasari, Raffaele Borghini Daniel Barbaro. (La pratica della prospettiva, , 1569, 179) , , 9 seste 1/3 testa (., ), police (). , 1 , 1 . , 9 1/3 teste - 8 teste . 49 Schlosser, 35. . , - Ghiberti: Ghiberti , 2 , 2 1/6 , 1/3 . 50 Kalkmann, 11

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    : Adolphe Didron,

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  • 121

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    , , , .

    ,

    geometrico more. , ,

    ,

    , ,

    . 1

    . 2

    ( )

    : 3

    ,

    ( .6).

    ,

    ,

    ,

    -

    ,

    ,

    . ,

    Kunstwollen,

    55.

    55 , .

  • 122

    -

    .6

    ,

    .6,

    (

    .7)

    . 56, 57 ( .8),

    58 59, 60

    56 .. Die romanische Wandmalerei in den Rheinlanden P. Clemen, , 1916. 57 , .. P. Buberl, Die romanischen Wandmalereien im Kloster Nonnberg, Kunsgeschichtliches Jahrbuch der K. K. Zentral-Kommission, III, 1909, 25, 61 63. , H. Tietze, Die Denkmale des Stiftes Nonnberg in Salzburg (Oesterreichische Kunsttopographie, VIII), , 1911. Buberl - . 58 , .. Album de Villard de Honnecourt, Bibliothque Nationale, XXXII ( ). 59 .. Pietro Cavallini Trastevere, Le Galerie nazionali dItalia, , 1902 V. 60 . .. Naumburg.

  • 123

    61,

    62.

    -

    ,

    63.

    , Ibidem, fol.59

    .7

    61 .. Altchristliche und byzantinische Kunst, O. Wulff, -Neubabelsberg, 1914,II, 602, . 62 A. Haseloff, Eine thringisch-schsische Malershcule des 13. Jahrhunderts, , 1897. 63 ( ) : 1:2:3, 1:1 :2 . , , . Nonnberg ( 41, 109 5), , . - ( ) Bamberg.

  • 124

    ,

    64.

    ,

    .

    ,

    ,

    .

    , ,

    ,

    ,

    ,

    ( III.9, III.10)65. ,

    ,

    ,

    : , (1 )

    , , ,

    ,

    2 (

    ) 3 .

    64 .. Rucellai Santa Maria Novella Giotto. 65 ( ).

  • 125

    . ()

    Salzburg, Nonnbeg, 12

    .8

  • 126

    Nomisia (). Anagni, 12

    .9

  • 127

    Meo da Siena, Madonna.

    , S. M. Maggiore. 14

    .10

    , ,

    , , ,

    ,

    . , ,

    2 ,

    ( C)

  • 128

    66.

    C ( 2 ),

    ,

    , ,

    .

    , ,

    C (, ,

    J, D K

    )67.

    , ,

    : ,

    1 . , ,

    ,

    (),

    , ( )

    .

    ,

    . ,

    2 , BL

    2 .

    ,

    , ,

    66 St Mary (Clemen, XVII): , 67 , D ( AD) , , . ( AD) , , , . , .

  • 129

    .

    .

    Villard de Honnecourt confrres ()

    art de pourtraicture mthode expditive du dessin

    ,

    .

    , -

    . .

    .

    ,

    ,

    , loci () . ,

    ( .11)

    : ( )

    1/3 AH BG68.

    68 , , Villard, B. Haendcke, Drers Selbstbildnisse und konstruierte Figuren, Monatshefte fr Kunstwissenschaft, V, 1912, 185 ( 188), .

  • 130

    , Villard de Honnecourt.

    , .

    .11

    ,

    , G , J

    ,

    (C, D, E F)

    69.

    ( )

    ,

    69 pourtraicture Villard .

  • 131

    , , ,

    70.

    , - ,

    , ( .12)71.

    ( 8

    16

    , 1

    )72,

    (

    ), ,

    .

    , ,

    ,

    , (

    ):

    Rheims ( .15)

    Villard 73

    70 , , , J. Meder, Die Handzeichnung, , 1919, 254, . K. Frey, Die Handzeichnungen Michelagniolos Buonarroti, , 1909-11, . 290. pourtraicture Villard de Honnecourt 16 ( , , ) Villar , , 13 . [ Panofsky, Codex Huygens ( 8), 119, 97-9] 71 , , , , Villard, XLII. 72 , , , . , 26 Drer, ( V. Mortet, La mesure de la figure humaine et le canon des proportions daprs les dessins de Villard de Honnecourt, dAlbert Drer et de Lonard de Vinci, Mlanges offerts M. Emile Chatelain, , 1910, 367) . 73 .

  • 132

    .

    Villard de Honnecourt , . ,

    .

    .12

    Villard de Honnecourt,

    ,

  • 133

    , , ,

    ( .13).

    , Villard de

    Honnecourt. , .

    .13

    ,

    , ,

    ,

    JB.

    ,

  • 134

    , ,

    , ,

    (JX),

    .

    pour

    lgirement ouvrier

    , ,

    ,

    .

    Villard de Honnecourt. . .

    .14

  • 135

    (). Reims, Cathedral. Ca. 1235.

    15

    .

    , ,

    : 74.

    ,

    14 15 ,

    ,

    75.

    , ,

    , , 74 . , , , , (.. 4). 75 , , .

  • 136

    ,

    .

    .

    , ,

    (, , ),

    14 .

    Hildegard Bingen

    76. ,

    ,

    .

    , 77

    78.

    .

    artes liberals ( ),

    (,

    ,

    ),

    76 Pater Ildefons Herwwgen, Ein mittelalterlicher Kanon des menschlichen Krpers, Repertorium fr Kunstwissenschaft, XXXII, 1909, 445, St Trond (G. Weise Zeitschrift fr Geschichte der Architektur, IV, 1910-11, 126). . 77 , Villard manire pour lgirement ouvrier. - ( ). 78 . ( ) .

  • 137

    .

    . , ,

    ,

    ,

    79.

    , -

    ,

    ,

    .

    79 Juliis von Schlosser , Ghiberti, , , Optica Alhazen. , , Ghiberti, Alhazen, . Alhazen , , , en passant ( ). , - , , ( , , , , .) , , . Ghiberti, , . Alhazen , , , , . . , . (, [Atius, Stoicorum veterum Fragmenta, J. ab Armin, , , II, 299]: , , .). , Optica ( , , ) , , Ibn Chaldn (Khaldoun), Prolegomena, ( Notices et Extraits de la Bibliothque Impriale, , 1862-5, -), , 413: . [, , ] .

  • 138

    .

    , (

    ,

    80),

    .

    81,

    (

    ,

    )82,

    ,

    , ,

    80 , , (Schlosser, 33), . , , , ( ), ( 16 83, 95 127). Ghiberti , . Cesare Cesariano, M. Vitruvio Pollione, De Architettura Libri Decem, , 1521, XLIX , 3 , 1/30 , , . 81 Pomponius Gauricus, De Sculptura (H. Brockhaus, , 1886, 130). 1525, Francisci Giorgii Veneti de harmonia mundi totius cantica tria. ( Francesco Giorgi S. Francesco della Vigna ) , Ghiberti . , , , (300:50:30) , : : = 9:8 (tonus) : = 4:3 (diatessaron) ( ): = 2:1 (diapason),.

    82 Luca Pacioli, La divina proportione, C. Winterberg, (Quellenschriften fr Kunstgeschichte, ), , 1889, 130. : Mario Equicola, Libro di natura damore.

  • 139

    83. -

    ,

    .

    ,

    ,

    .

    , , ,

    .

    ( ,

    ) , ,

    Gennini.

    84, ,

    ,

    85.

    ,

    86 ,

    , 87

    , ,

    .

    83 Giovanni Paolo Lomazzo, Trattato dellarte della pintura, , 1584 ( , 1844), IV, 3, , 31. 84 Ghiberti, , , , Luca Pacioli. 85 Pomponius Gauricus , , , . 86Luca Pacioli, 135-6 87 Cesare Cesariano, op. cit., fol. XLVIII

  • 140

    -Varronic

    , per se, ,

    ,

    ,

    , 88,

    89,

    , 90. , ,

    , .

    , , ,

    , ,

    ,

    Gennini91.

    Lomazzo, Trattato della Pintura

    ,

    Lomazzo, 1584,

    (.9)

    D Drer,

    (.10) Drer,

    (.11) Drer,

    (.8) Drer, ...

    ,

    -

    88 Lomazzo, IV, 3. Drer. 89 Filarete, Francesco Giorgi, I, 229, . 90 , Federigo Zuccari (Schlosser, Die Kunstliteratur, , 1924, 345) 91 , .. Filarete , , .

  • 141

    : Leon Battista Alberti,

    , , , Leonardo da Vinci,

    92.

    .

    ,

    . , ,

    .

    :

    ,

    ,

    ,

    93.

    ,

    ,

    ,

    ,

    .

    Alberti Leonardo, ,

    ,

    92 Bramante , , . 93 Alberti, 201. Leonardo (Leonardo da Vinci, das Buch von der Malerei, H. Ludwig, [Quellenschriften fr Kunstgeschichte, XV-XVII, 1881, 109 137) (, , 602)

  • 142

    ,

    ,

    . , ,

    : Alberti

    Leonardo,

    .

    94, Alberti

    , .

    1/6

    ,

    Exempeda. pedes (),

    unceolae (), minuta ( )95

    ( .12).

    .

    . teste visi

    96.

    ( unica et infinita

    94 , .. Dagobert Frey, Bramantestudien, I, , 1915, 84 95 Alberti, 178, Exempeda ( ). , , , -. 96 Alberti, , . , testa , Thode 532 ( Braun 116). , , , atti e gesti.

  • 143

    diligentia Drer

    ).

    (, ,

    canna)

    ,

    :

    .

    Alberti

    , , .

    , , Alberti

    97.

    Leonardo, ,

    .

    - ,

    ,

    98,

    , ,

    -

    99.

    (, , )

    .

    97 Alberti, 198 98 (Richter, The Literary Works of Leonardo Da Vinci, , 1883, . 307, ). Lomazzo Drer. 99 Leonardo , Gennini/Gauricus . [ Leonardo, E. Panofsky, The Codex Huygens and Leonardo da Vincis Art Theory ( Warburg, XIII), , 1940, 51].

  • 144

    Leonardo da Vinci.

    Exempeda L.B. Alberti.

    Codex Vallardi.

    .16

    , ,

    . ,

  • 145

    100,

    , ,

    101.

    ,

    : da x a y simile a lo spatio che infra v e z (

    xy vz). , ,

    :

    ,

    .

    ,

    102.

    .

    : ,

    . 100 L. Olschki, Geschichte der neusprachlichen wissenschaftlichen Literatur, I. , 1919, 369. 101 Panofsky, Drers Kunsttheorie, , 1915, 105. Pomponius Gauricus, , Affricano Colombo, (Natura e inclinatione delle sette Pianeti) ( ). Leonardo . 102 Trattato della pittura, 267. Alberti ( 203) , .

  • 146

    :

    .

    ,

    ,

    .

    , ,

    .

    , , ,

    103.

    , , ,

    ,

    ,

    -,

    ,

    ,

    .

    ,

    , -

    ,

    , .

    103 , , , .

  • 147

    :

    .

    , ,

    . , ,

    ( )

    104.

    .

    ,

    .

    (

    , ) ,

    ,

    : Albrecht Drer.

    , ,

    (

    ) , pourtraicture Villard de

    104 (, , ) . Leonardo (Richter, XXXI, Trattato, 130), Drer , , (Underweysung der Messung,1525, K.10). Drer, , , Barbaro, 123.

  • 148

    Honnecourt, , ,

    ( .17)105.

    Albrecht Drer. (drawing L.38). Berlin,

    Kupferstichkabinett. Ca. 1500.

    III.17

    105 Mortet Drer , Villard de Honnecourt. H. Wlfflin ( Monatshefte fr Kunstwissenschaft, VIII, 1915, 254) Mortet Drer . . Edmund Schilling , Sebastian. L.190 , L.74/75 ( .17).

  • 149

    Leonardo Alberti, ,

    ,

    ,

    106. , Drer

    ( .4)

    , Exempeda Alberti (

    , 1/600,

    )107 . , ,

    , .

    ,

    ,

    , .

    ,

    ,

    108. ,

    106 Dann die Bilder dchten so gestrackt, wie sie vorn beschrieben sind, nichts zu brauchen. Panofsky, Drers Kunsttheorie, 81, 89 111. 107 Drer Exempeda Alberti , De Statua, , Drer. Drer Harmonia mundi totius Francesco Giorgi Alberti, : Attendendum est ad mensuras, quibus nonnulli microcosmographi metiuntur ipsum humanum corpus. Dividunt enim id per sex pedes.et mensuram unius ex iis pedibus hexipedam [!] vocant. Et hanc partiuntur in gradus decem, unde ex sex hexipedis gradus sexaginta resultant, gradum vero quemlibet in decemminuta. . exempeda [!]. [gradus, Alberti unceolae], , [minuta, Alberti]. , , 300 600 minuta, . Francesco Giorgio, 1525, , (Panofsky, Drers Kunsttheorie, 119) Drer Exempeda 1523 1528. [ Agrippa Nettesheim , Exempeda De occulta philosophia ( 1531), , 27, 1509.] 108 Albrecht Drer, Vier Bcher von menschlicher Proportion, , 1528, .

  • 150

    ( .18)109.

    Albrecht Drer, .

    Vier Bcher von menschicher Proportion, , 1528.

    .18

    Drer ,

    ( , ,

    110

    )

    111. , ,

    Pierro della Francesca,

    109 Ibidem, 110 Ibidem , IV 111 Albrecht Drer, Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, , 1525.

  • 151

    ,

    112,

    ,

    1920,

    1500 ( .17).

    , Drer .

    ,

    ,

    ( .19)113.

    Vier Bcher von menschicher Proportion Drer

    . , ,

    . Drer , ,

    :

    .

    112 Drer, Vier Bcher, IV, . , Lomazzo, Foppa, Holbein, Altdorfer, Luca Cambiaso, Erhard Schn. Drer, ( Meder, 622), (Kunstchronik, , XXVI, 1915, 514) Meder ( 564, 267) . 113 , , , Erhard Schn, ( .20) ( Fr.W.Ghillany, Index rarissimorum aliquot librorum, quos habet bibliotheca publica Noribergensis, 1846, 15). , Trattato Leonardo, 173.

  • 152

    Albrecht Drer. .

    Schsische.

    .19

    , -

    ,

    . ,

    ,

    (Trmlein), ,

    .

  • 153

    Erhard Schn, ().

    , .

    .20

    Drer

    ,

    ,

    ,

    opus maius, Lautensack114, Beham115,

    Schn116, van der Heyden117, Bergmller118 ,

    , Schadow119

    114 H. Lautensack, Des Circkels und Richtscheyts, auch der Perspectiva und Proportion der Menschen und Rosse Kurtze doch grndliche Underweisung, , 1564. 115 H.S. Beham, Dies Bchlein zeyget anein Mass oder Proporcion des Ross, , 1528 , Kunst und Lere Bchlein, 1546 ( ), , 219-221. 116 . Schn, Underweysung der Proportion und Stellung der Possen, , 1542 ( , L. Baer, , , 1920). 117 J. van der Heyden, Reissbchlein, , 1634 118 J.G. Bergmller, Anthropometria oder Statur des Menschen, Augsburg, 1723. 119 G. Schadow, Polyclet oder von den Massen der Menschen, , 1834 (11 , , 1909).

  • 154

    Zeising120. , ,

    , ,

    ,

    121.

    .

    ,

    , .

    .

    . ,

    .

    , , 15 ,

    .

    ,

    ,

    .

    120 A. Zeising, Neue Lebre von den Proportionen des Krpers, , 1854 , Aesthetische Forschungen, , 1855. 121 Drer: (Vier Bcher, ) DArcy W. Thompson, On Growth and Form, 1917.

  • 155

    17

    19

    ,

    , ,

    122. -

    - 16

    -

    ,

    , ,

    , , ,

    123.

    , ,

    ,

    ,

    . ,

    122 (15 16 ), Drer . 123 81, 125. , , - . Vincenzo Danti, , ( ) , Delle perfette proportioni, , ( J. von Schlosser, Die Kunstliteratur, 343,359,396). Carel van Mander ( Schlosser), [ Panofsky, Idea (Studien der Bibliothek Warburg, V), , 1924, 41, , , 1952, 57]. Rembrandt, , , : , , , . , (C. Hofstede de Groot, Die Handzeichnungen Rembrandts, Haarlem, 1906, No. 631) ,

  • 156

    ,

    Leonardo Drer:

    J.H.Meyer,

    ,

    ,

    , ,

    .124

    124 , Meyer 13 1791 ( Weimar, V, 9, 248).

  • 157

    IV

    .1.

    ,

    ,

    ;

    .

    :

    ;

    , ;

    50 ,

    .

    ,

    ,

    . ,

    ,

    , ,

    ,

    .

  • 158

    .2.

    100 ,

    50

    .

    ( )

    , .

    :

    , ,

    .

    , .

    :

    ,

    ,

    ,

    ;

    .

    . ,

    , ,

    , ,

    , ()

    ,

    , .

  • 159

    ,

    1 15.

    , :

    ,

    ;

    .

    1. Triangulatur und Quadratur

    , ,

    .

    Triangulatur

    Quadratur125

    .

    Baisseree, Viollet, le Due de Vogue

    Semper

    .

    Triangulatur

    G.Dehio 1894 1895

    . ,

    125 , .

  • 160

    (, )

    .( IV.1)

    IV.1

    .

    A.Drach

    , Triangulatur.

  • 161

    IV.2

    ,

    .

    .

    ,

    45 ( IV.2).

    Quadratur

    /4

    . , ,

    . ,

    .

    , Kart Witzel

    , 45 (:/4)

    36 (:/5). L.Spitzepjeil

    Triangulatur

    .

  • 162

    J. Haase ,

    .

    Hauftmann

    .

    ( IV.3).

    IV.3

    0,3329.

    .

    I. Knouth ,

    Quadratur.

    Muler,

    ( IV.4).

  • 163

    IV.4

    Th.Ficher

    .

    Triangulatur Quadratur,

    (

    IV.5, IV.6).

    IV.5

  • 164

    IV.6

    ,

    .

    Max Raphael

    .

    , 2 + 1 2

    + 3 , 2 5 .

    ,

    . ,

    .

    ,

    .

  • 165

    IV.7

    IV.7 .

    30 75

    .

    ,

    . ,

    ()

    ,

    . ,

    .

    , . ,

    30 75 ,

    36 72.

    .

    ,

    ,

    .

    (

    ) , ;

  • 166

    2.

    ,

    .

    . P.O.Wolf 1912

    .

    (

    IV.8).

    ,

    .

    IV.8

    , 1915 Ernst Mssel

    .

    .

    ,

    .

    ,

  • 167

    .

    [1926])

    [1931]

    :

    (a)

    .

    (b)

    .

    4, 5, 6, 7, 8 10 ,

    , , , ,

    .

    (c)

    (Viollet le Due, Dehio, Drach.v.Witzel)

    (Triersch)

    .

    (d) -

    .

    5

    , , ,

    5

    ,

    .

    (e)

    .

  • 168

    ,

    .

    (f)

    ()

    ()

    .

    (g) ,

    ,

    , .

    , .

    (h) ,

    , ,

    (

    , ).

    (i)

    .

    .

    .

    (j) .

    .

    ,

    .

  • 169

    .

    IV.9

    ,

    .

    ( IV.9).

    , , .,

    .

    .

    .

    .

  • 170

    .

    Mssel.

    IV.10, IV.11, IV.12.

    IV.10

  • 171

    IV.11

    IV.12

  • 172

    Mssel

    .

    ,

    , ,

    :

    , .

    , ,

    ,

    .

    3.

    August Thiersch , ,

    .

    .

    .

    : :

    , : = :

    .

    .

    .

    ,

    IV.13.

  • 173

    IV.13

    , .

    IV.14.

    IV.14

  • 174

    .

    4.

    ,

    Thiersch Jay Hambidge.

    :

    Thiersch

    .

    Hambidge

    1924

    . .

    .

    ,

    .

    Hambidge, ,

    Leonardo da Vinci,

    ().

    .

    ( IV.15).

    IV.15

  • 175

    ,

    , ,

    :

    .

    4 : , , ,

    . ,

    .

    , . F

    CD AE . GH

    GR : GH 1:2 * 0,618 ,

    .

    .

    . S T

    .

    16,

    . S

    , V5 1 : V5 .

    CB = 12

    WX , AD = 14

    WY, .

    IV.16

  • 176

    , IV.17,

    .

    Hambidge :

    ,

    .

    . .

    ,

    , .

    , Hambidge

    .

  • 177

    IV.17

  • 178

    .

    . .

    W.Watkiss Lloyd

    , :

    ' ' 5,

    1:5, 2:7, 3:8, 4:9 1:2, 2:3, 3:4, 4:5

    ,

    ,

    :

    .

    Max Theuer ,

    .

    1/5 .

    B : L = N (2u+1)

    B : L = N 2(u+1)

    , 3:8 , 2:5 5:11 .

    .

    .

    ,

    .

    - -

    .

    : ( IV.18)

  • 179

    IV.18

    B : L =5 : 11

    58 0,5225 12 0,52252

    58 0,5225 12 0,52252

    58 0,5225 12 0,52252

    . 19 0,5225 20 0,5225

    . 212 0,52253 10 0,5225

    Theuer

    . , .

    2

    , .

    .

    Thiersch, .

    Thiersch

    .

  • 180

    .

    ,

    .

    ,

    , .

    ,

    .

    :

    ;

    ; .

  • 181

    V

    .

    , ,

    ,

    [Wittkower, 1971].

    ,

    ,

    .

    .

    .

    1:2:3:4.

    ,

    1, 2