..

:

1).( )

...

.

2)

...

..

3)

...

...

: , ( ). . .

Johannes Kepler

.

Erwin Panofsky

. ,

.

,

. , ,

,

.

,

. ;

, ...

, .

,

. ,

, Cantor. ,

.

.

.

. ,

.

.

.

.

,

.

. ,

.

. .

.

. .

,

.

, ,

,

.

.

.

. ,

.

, .

, ...

. ,

.

,

.

, , 2007

ii

, 2007

iii

v

. 1 . 7 8 I 9 II 16 V 22 V 26 V 27 VI, VIII, IX 34 X 35 X, XII 40 XII 41 . 69 1. 69 2. 73 3. -1 5 75 4.

XIII 76

. 79 .

83 1.

83

2. 85 3.

87

4. 90

. 93 .

94 . 103 . 113 . 135 . 154

IV A. 157

158

iv

. 159

1. Triangulatur Quadratur 159 2. 166 3. 172 4. 174 . 178 . 180

V . 181 . 182 . 189 . 19 204 . O 20 212 . 231

VI . 233 . 235 . 243 . 255 . 19 258 . 267 . 269 . Erwin Panofsky, H

273

.

Blent Atalay, MATH AND THE MONA LISA, The Art and Science of Leonardo Da Vinci

317

359

v

,

.

,

.

-

-.

.

,

.

.

,

.

.

.

,

.

.

.

,

- .

1.

1 .

vi

,

,

,

,

modulus () .

, ,

. .

.

,

. ,

,

, ,

,

,

.

,

(

, ).

,

.

.

,

,

, ,

,

.

vii

,

,

,

,

(Kunstwollen)

,

.

. ,

,

.

Kunstwollen

, .

.

,

.

.

, ,

Le Corbusier.

,

.

,

.

.

.

.

1

.

.

C.

,

C

,

: = :

, AB ACAC CB

= (. .1)

.1

. ,

VI (300 ..).

VI ( VI-30),

.

,

.

, VI

2

V II

, . -11

,

:

,

.

.2

.2

ACDE AC

,AB CB .

,

AC AC AB CB=i i . AB ACAC CB

=

: :AB AC AC CB= (

).

( -11 VI-

30) ; ,

, VI

V

II.

3

() .

:

;

IV

-11 VI, 3

.

IV

.

.3

,

. ,

,

VI.

.3a

0 0 036 72 72

4

.

IV-11,

IV-10. 72

( .3b) DCB

, 0 0 036 72 72 .

ABD DCB :

AB DBDB BC

= . ,

DB DC AC= = . , AD ACAC BC

= ,

AB

C .

IV-12 IV-16

VI- XIII.

,

XIII-8

.

,

,

.

11

( .2). , II

.

-6 , ,

-11.

5

.4 AB C

D . IV

V CB BD ,

I, II, III.

I, II, V. II

III, ,

V ,

, IV.

II-11,

: ( AD

DB) + ( CB) = (

CD).

.4

, ,

. -6

,

.

II , -11 ,

, . ,

6

,

, ,

.

.

1 x ( .5) 11 1x

x=

2 1 0x x = .

1 52+ 1,618.

.5

.

.

- -11, V-10, V-11 XII-8-

,

,

. ,

.

-13 ,13

.

.

7

,

.

.

,

.

,

.

Euclid-eiberg

Euclid-eath.

.

,

.

.

.

.

, ,

Euclid Frajese.

Euclid-Peyrard, Euclid-Heiberg, Euclid-Heath,

Neuenschwander [1972,1973], Mueller [1981],

.

8

.

,

.

,32.

.

.

: IV- 10, XIII- 8, 9, 10, 11, 18 ...

,42 ( ).

.

: - 44, 45

,43 ().

() ABCD AC ,

.

-

.

.6

: -44, -4, 5, 6, 7, 8, VI-27, 28, 29, X, XIII-1, 2,

3,4, 5.

9

: -43

,

I II, 2,

II.

,44 ( ).

( )

.

: -45, VI-25, X, XIII.

: 5 .

,45 ( ).

.

: -14, VI-25, X (27 )

,47 ( ).

BC AB AC,

,

.

: -9,10,14, -36, -18 ...

II.

,

.

. Van Der Waerden,

.

10

27-33 46 I.

.

2.

,

,43 (

).

: -5,6, V-27,28,29, -1,2,3,4...

,1.

D E

BC. I, II, III

() BC BG.

.7

.

,2.

. C

I II ( .8).

11

.8

: XIII-10 I-47.

: -1.

,4.

a b+ , .

ab .

a b+

a ( 22ab b+ ) .

.9

: 2 ,43.

: -12, , , XIII, 2

12

,5 ( ).

AB ,

AD DB C AB.

, CB,

CD AD DH.

.10

: I = II + III C .

I-43 II = IV().

: II-14, III-35, X-17, 41 59.

,6 ( ).

AB C .

BD AB.

CD CB

AD DM.

13

.11

: II-11, III-36, X-28, 1,2.

,9.

AB C . D

AB C.

AD DB ,

AC CD .

.12

.

,10.

AB C . BD

AB.

AD DB,

AC CD.

14

.13

.

,11 ( -

- ).

AB , AH

HB AB

AB BH.

:

.14a, .14b.

.14a

: ( .14b).

ABDC E AC.

F EC FE EB=

AFGH . E AC

AF AC, II-6 :

15

( ) ( ) ( ) ( ),R CF FA S AE S EF S BE+ = = 2. (I-47),

( ) ( ) ( )S BE S AE S AB= + ( )S AE :

( ) ( ).R CF FA S AB= .

.14b

,

I + II = II + III III=R(AH,HK) S(AH)

= R(BD,HB) = R(AB,HB). H

.

: -47, -6.

: V-10.

II,14 ( ).

.

: I-45, -47.

: X (5 )

2 R . S . .

16

III.

.

III,20.

C . BOC

BAC , A

. 2BOC BAC=

: III-27, VI-33

.15

III-20,26,27,28,29

17

III,26.

BC EF .

BOC EOF . BC EF .

BAC EDF .

: III-27,28, IV-11, XIII-10

: ,

. IV-11

XIII-10

.

III-26

.

.

III,27 .

.

: III-29, IV-11, VI-33

III,28.

CB EF

CB EF .

: XIII,8

III,29.

CB EF

CB , EF .

: IV-11, XIII-10

III,32.

BC BF B.

D B C

CBF , BDC FBC

.

18

.16

: 090ABF = . , BAD BCD 180

.

, .

: IV-10

III,35 ( ).

AC BC E,

( , ) ( , )R AE EC R DE EB= .

: .17

F AC .

II-5 ( , )R AE EC .

FE FC

(I-47). BD

( , )R DE EB FE FB . FE

FB FC , .

19

.17

.

III,36.

D DB

DA DA C,

( , ) ( )R DA DC S DB= .

.18

( 2)

20

.19

( )

: :

1: AC ( .18).

2: AC ( .19).

, ,

. F AC II-6

( , )R AD DC . ,

.

1:

II-6, ( , ) ( ) ( )R AD DC S FC S FD+ = .

( )S FD FB

FC ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )R AD DC S FB S FD S FB S BD+ = = + .

( )S FB , ( , ) ( )R AD DC S BD= .

2:

II-6, ( , ) ( ) ( )R AD DC S FC S FD+ = . EF

EFD EFC .

21

( )S EF

(I-47), R(AC,DC)+S(EC)=S(ED) .

EB EC

EDB

R(AD,DC)+S(EB)=S(DB)+S(EB) .

S(EB) , R(AD,DC)=S(BD) .

: III-37

III,37 ( III-36).

D F DA

C. B

( ) ( ),R AD DC S DB=

DB B.

.20

:

DE , III-36 ,

S(DE)=R(AD,DC)=S(DB) DE=DB . FE=BF DF

22

, DEF DFB .

DFB DB .

: IV-10

IV.

.

IV,2.

.

IV,6.

.

IV,10.

, 72 72 36 .

:

.21 AB

A AB .

II-11, C

( , ) ( )R AB BC S CA= . D

BAD AB AD= ABD BDA=

BD AC= . ,

ACD . A, C, B

D

( , ) ( )R AB BC S BD= . III-37 BD

. ,

III-32, BOC DAC= .

23

.21

CDA ,

BCD :

BCD DAC CDA BDC CDA BDA DBA CBD= + = + = = = .

BCD DC BD= .

BD CA= DC CA= CDA

CDA DAC= .

:

2 2BDA DBA BCD CDA DAC DAC DAB= = = + = = .

: IV-11,12,16, XIII-16.

24

IV,11.

.

.22

:

IV-10, ACD , 0 0 072 72 36 . ACD CDA CE

DB . ACD

CAD ,

, , ,ACE ECD BDA BDC CAD . ,

,

III-26,27, 29.

: IV-12,16, -16.

IV,12.

.

: I-47

.

25

:

IV-11 .

IV,13.

.

.

: ,

IV-11. 36 54 90

.

.23

IV,14.

.

: -8, 18.

: ,

IV-11.

26

IV,15.

.

IV,16.

- .

:

1/3 = 5/15 .

1/5 = 3/15

.

2/15

1/15 .

:

IV-11

.

V.

,

. -(

).

, , , .

(

2, 3, ). V XII.

.

Mueller [1981, .3] Fowler [1979,

1982c, 1985].

27

4 ( -).

a b n

bna > . , ,

.

: V4

V.

5 3( ).

,

,

( )

( )

,

, .

V,14.

a cb d= a ( )

c, b ( )

d.

: V, XII, XIII,2, 5, 8, 9,16, 17

VI.

.

V,

.

3 : ba : dc : : (1) , m n, nbma < nbmc < (2) , m n, nbma = ndmc = (3) , m n, nbma > ndmc >

28

.

VI-28, 29, 30 .

V.

O 3.

.

VI,1.

() ,

( )

.

: XIII-1, 2

VI,3.

ABC AD BAC . BD BADC AC

= .

AD ,

.

.24

29

: .

.

VI,8.

,

.

.

VI,16.

, , ,A B C D ( )A CB D= ( , ) ( , )R A D R B C=

. A D , B C

.

: VI-17, X .

VI,17.

, ,A B C ( A BB C= )

( , ) ( )R A C S B= . A C

B .

: XIII-1,2,3,4,5,6,10,13 ...

VI,25.

.

: VI,28, 29.

30

:

,

I-44 ( ,

I-44 ).

,

I-45, I-42,44

VI-25.

VI, 27.

AB C .

CBED . KBHF (III) .

. ACDL

- CBED -

AKFG .

(

ACDL AKFG AB

CBED KBHF ).

.25

: -43 ()

: VI-28.

31

VI,28 ( ).

. AB ,

D C. AB

ABRT

- ASQT C

- SBRQ (II) D.

C. : E

AB EBFG

D.

EBFG C. (

AB

ASQT C

II D).

.26

: -43 (), V-25, 27, ...

: (14 )

32

V,29 ( ).

.

, D C.

AB

APOR C

- BPOQ (II) D.

AB - APOR -

C

II D.

.27

: VI-30.

VI,30 ().

AB .

33

.28

:

VI-29 C ABHC

D . AC (

AB ) CFDK

C ( ABHC ) -

AEDR D, .

ACFE ABHC

CFDK AEDK EFHB= .

FE AEED EB

= FE AB= ED AE=

BA AEAE EB

= . , BA AE

AE EB .

: XIII-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18

34

VI,33.

.29, BC BGC BACEHF EDFEF

= =

.29

: XIII-8, 9, 10

: -27

. -8

.

VII, VIII, IX.

. .

. VII

.

VI,1.

.

35

VI,2 ( ).

1

.

VII.

.

.

.

- .

.

-

4-5.

()

() .

, , C, ...

D

D .

() .

4rhetos , 5 alogos , . 3.

36

1.

.

.

2.

A, B, C,

S(A), S(B), S(C), .

.

3.

F .

A A

F S(A) S(F). A

....

:

1. -9 S(A)

S(F) A F.

, A

S(A)

S(F) A .

2. , 3 , ,

. A

F, A

S(A) S(F).

3. -

- . -

. ,

-

37

.

4.

F S(F)

. A S(F)

. A

S(F) . A

B S(B)= A,

B .

X,1.

A B A

B. A C

A. C

D C,

.

B.

: X-2 XII.

X,2.

A B A

B. B A

C. C B

D.

.

.

A B .

38

:

E A B

C. , E B

C D. , E

.

E .

: X,3.

,3 ( ).

()

.

:

.

-2.

F .

F . ,

F.

:

VII, 2.

.

,5, 6, 7, 8.

() .

.

: .

39

,9.

, .

,21 ( ).

AB BC

.

( ),R AB BC D

( ) ( ),S D R AB BC= D .

:

. (X-36) (X-73).

X,23.

.

.

X,24.

: : AB

AD, AD .

-23

-24

(

, )

(-21)

. 24

.

, .

40

,73 ( ).

AB . BC

AB .

AC .

: (28 ), XIII-6,11,17.

: ,6

.

,76 ( ).

AB . BC

: BC

AB , ( )S AB BC+ , ( ),R AB BC 6.

AC , BC AB ,

.

: , XIII-11,16[b].

: -11

.

XI, XII

XI , ,

. XII,

, V,

.

6 X 23, 24.

41

.

, ,

, , .

.

.

X, VII.

( )

.

.

-1.

1(2

S + 1) 5 ( )2

S = .

:

.30

42

C AC . BA

D 12

AD AB= . ( ) 5 ( )S CD S AD= .

.

3, VI, :

(a) ( , ) ( )II R AB CB S AC I= = = . 2 2AK AB AD AH= = =

( , 43)IV V I=

(b) 2 ( ,1)III IV VI IV V= = + . (a) (b) :

(c) ( )S AB II III I IV V= + = + + . (c)

2AB AD=

(d) ( ) 4 ( ) S AB S AD = = .

, ( )S AD (d),

( ) ( ) 5 ( )S CD S AD S AD = + = .

: I-43 () VI-1,17

: XIII-6 ,11

,2.

AB , AD , AC 2CD AC= .

( ) 5 ( )S AB S AC= . CB

CD .

:

.

5 ( ) ( ) ( ) ( )S AC S AB I II III S AC S AC = = + + + = + .

S(AC) :

43

.31

(a) 4 ( )S AC I II III = = + + . 2DC AC=

( ) 4 ( )S CD S AC= (a)

(b) 4 ( ) ( )I II III S AC S CD IV V + + = = = = + . ,

2KC CD AC CH= = = II III= I-43

(c) 2II III II V+ = = VI-1

(c) (b) ( ) ( , )S CB I IV R CD BD = .

, VI-17, CD CBCB BD

= , -

DC CB, V-14 CB

BD CB

.

: I-43 (), V-14, VI-17 ,

.

.

44

XIII,2 .

: 2AC DC CB .

: II-4.

: XIII-2.

,3.

1(2

S + 1) 5 (2

S =

) .

:

.32

AB C

AC . D AC.

( ) 5 ( )S BD S DC= .

. 2AC DC= :

(a) ( ) 4 ( )S AC S DC= .

C, VI-17

(b) ( , ) ( , ) ( )II III IV R BE CB R AB CB S AC+ + = = . ,

(a) (b) :

45

(c) 4 ( )II III IV S DC+ + = . AD DC= III IV= .

, I-43 I=III I=IV.

II III+

(c) :

(d) 4 ( ) I II III S DC = + + = . ( )S DC

(d) : ( ) ( ) 5 ( )S BD S DC S DC = + =

: I-43 (), VI-1,17.

: XIII-16.

XIII, 4.

[S( )+ S ( ) ] = 3 S( )

:

.33

AB, C

, AC .

( ) ( ) 3 ( )S AB S BC S AC+ = .

. 3 VI

VI-17 :

46

(a) ( ) ( ) ( ),ABKH R AB BC S AC= = . I-43,

I=II. S(CB)

( ) ( ) ( )ABKH I S CB II S CB= + = + . :

(b) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 S CB I S CB II S CB + = + + + = ( )S AC (b)

(a) (b), :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3S AB S CB S AC S CB S AC S AC + + + = + =

: I-43 (), VI-17.

: XIII-17.

XIII,5.

AB C,

AC . BA D

DA AC. DB

A, AB .

:

.34

.

3, VI VI-17

47

( ) ( ),I II R AB BC S AC+ = = . II I II III+ = + ( ) ( )S DA S AC=

( )S DA III II= + . , ABKH ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

,

.

R BD DA DBKL S DA

III II S AB

= = + =

+ + =

, VI-17 DB BABA AD

= . , V-14 EA

.

: V-14 VI-17.

: XIII-17.

: I +II = III + II. I-43

(), Euclid-Frajese.

XIII,6.

7

8.

: VI-17, X, XIII-2.

: XIII,17[b].

:

.

Taisbak [1982,49] Mueller [1981, 297]. Heiberg [Euclid-Heiberg,

262]

Heath [Euclid- Heath, III, 451] ,

. Frajese Maccion [Euclid, 996]

.

7 3, . 8 73, .

48

XIII,8.

.

.35

:

.

ABE ABC . , BAC ABE=

2AHE BAH= (I-32).

, III-28

. 2EC ED DC BC= + = . , VI-33

2EAC BAC= 2 2HAE EAC BAC BAH AHE= = = = .

AHE HE= EA = AB,

HE .

ABE ABH .

ABE BEA BAH= = . EB ABBA BH

=

BA EH= , BE EHEH HB

= .

49

BE EH, V-14 HE

HB , HE

, .

: I-32, III-28, IV-14, VI-33

: -11, -17[], .

XIII,9.

, CD, BC

. BD

BC CD

C

CD .

:

.36

. BC

, 5ACB BC= 4AC BC= VI-33

4 CEB AEC = .

BEC , 2AEC ECB= I-

50

32. ,

, EC CD= CED EDC=

2ECB EDC= .

[ ]4 2 2 2 4CEB AEC ECB EDC EDC = = = =

BEC CEB EDC = .

BEC BED EBD

. , BEC

EDC ,

.

BD EBEB CB

= EB DC= , BD DCDC CB

= .

BD DC, V-14

DC CB

: I-32, V-14, VI-33,

: XIII-16,18.

XIII,10.

,

, . , S(a5) = S(a6) + S(a10)

,

,

.

:

, ,BA BF AK ,

.

, : FH AB, K

, FL AK, M ,

N FL AB. CG

AK .

51

.37

.38

52

:

2

2

2

2 2

AK KM

CB BK

AB BK

CG CD AB BK

=

=

=

= = =

, 2CG BK AK KM= = = . 2GB BM= VI-33

2GFB BFM= .

AFB .

I-5 FAB ABF= . , I-,32

2BFG FAB= . , 2 2BFM BFG FAB = =

BFM FAB= .

,ABF BFN

ABF . VI-17

:

( ) ( , )S BF R AB BN= , (1)

,KNA KBA . ,

(III-29)

KBN LAN LKN= = LAN

. VI-17 :

( )( ) ,S AK R AB AN= , (2)

(1) (2) AB

( ),R AB BN ( ),R AB AN AN BN

AB . -2 ,

( ) ( ) ( ), ,R AB BN R AB AN S AB+ = .

, (1) (2) S(A) + S(F) = S(A).

:-32, -2, -26,29, VI-17,33,.

: ,16, 18.

53

,11.

9

.

10.

: -1,8, ...

: ,16[b].

:

, ,6. Taisbak [1982,

63] Mueller [1981, 262].

,12.

( ) ( )3 3S a S r= ,

.

,13.

.

,13' ().

ABD AB DC

, :

(a) ( )( )

S AB ABS BD BC

= , ( )( )

S S

= , VI-8

(b) ( )( )

S AD ABS DC AC

= , XIII-13

9 3, 10 76,

54

.39

:

(b)

XIII-13. Heath

[Euclid Heath, III, 471] .

(a)

XIII-

15 XIII,18. ( XIII-15

XIII,18

XIII-18.

( )( )

S S

= .

(a)

(b) ( .40) .

AB ABGE .

(

VI-1) ( )( )

( )( )

( )( )

, ,, , ,

R AB AE R AB AB S ABABBC R BC AE R BC AB R BC AB

= = = . ,

VI-8, AB BDBD BC

= VI-17

( ) ( ),R BC AB S BD= .

55

.40

XIII,14.

.

XIII,15.

,

, ( ) ( )63S D S e= .

,16.

.

: IV-11, XIII-,3, 9, 10,

: XIII,18.

( ,16)

AB . BD (

,

). :

(i) I 34, 4AC CB= ( ) ( )5S AB S BD=

56

(ii) ,

6 10AB a a= + , a6 a10

. 4AC CB= , DB

. ( AD

).

.41

:

,

X (

, , 27).

( .42a)

Z

X QRSTU W.

.

.

. X

LMNOP ( .42b)

V.

36 , Q E

LMNOP , PE (

.42b) .

57

.42a

.42b

(a5)

(a10)

(a6).

58

.

.

1) WV

. 6WV a= ( .42b, f).

2) ZW

. 10ZW a= ( b,f).

(ii) , 6 102AB ZX a a= = + ,

(1) (2) ( .42c).

3) H 6a

.

( )i ( ,

).

.42c

59

. ,

.

.42d .42e

(1) (2),

UQP ,

. PEQ

( d) : ( ) ( ) ( )S QE S PE S QP+ = .

QE =a6 PE = a10 -10

( ) ( ) ( )5S QE S PE S a+ = . , 5QP a= QP

QU .

QZU ( .42a) .

QWZ ( .42e) ,

6QW a= 10ZW a=

QP , 5QZ a QU= = . XIII-10

XIII-16 XIII-18 XIII-10

.42d,

e.

60

.42f

,

ZX .

,ZVE XEV ( f). 6VW a= 10WZ a=

XIII-9 VZ W

VW VE= WZ VX= ZV VEVE VX

= VE

ZX .

XEZ . ,

XZ E, E

.

(3) AB

BD

. AB

.

61

ZX

ZX .

a6

VW . ,

, ,

ZX AB

a6 ZX AB= .

, C 4AC CB= . ,

5AB BC= , XIII-13-I, ( ) ( )5S AB S BD= .

, ZX ( .42f)

XIII-9 XIII-3 ( ) ( ) ( )' ' 5 'S ZA S ZW WA S WA= + =

A VW . 2 ', 2 'XZ ZA WV WA= = 6VW a=

(1) ( ) ( ) ( )5 5S XZ S WV S BD= = XZ AB= .

-10 -3

9XIII

.

,16-.

, 11

12 .

: XIII,11.

: XIII,18.

XIII -17.

.

: XIII- 4, 5, 15 ...

.

11 3, 12 76,

62

.

: -17, -8.

: -18.

: -17

,

,

Roger Herz-Fischler, .

.43

63

.44

(

,

Bombelli).

UV .

II UV

III V U V.

V,

. III V

.

64

.45

, , ,BC EF BE FC I, II, III, IV

, BA , .

8XIII .

15XIII

.

B E

.

U.

R NO

. UV NO BC =

, R NP

. U

UR.

65

.46

RU = RP , ,

. , , R

NP

UR RP= , BU = UV,

.

:

XIII-4, : ( ) ( ) ( )3S PN S NR S RP+ =

( ) ( ) ( )3S BN S NR S RU+ = .

BN NR ( ) ( )3S BR S RU= .

BU,

BR UR : ( ) ( ) ( ) ( )4S BU S BR S RU S RU= + =

2 2BU RU RP UV= = = .

U -

-4 -5

: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3S UZ S ZX S XU S NS S SP S NP= + = + = .

66

, -15 UZ

. 4XIII

17XIII 4XIII

17XIII 17XIII

.

.

-17.

.

: -6.

,18.

.

. .

:

(1)

()

()

.

(2)

.

(3) .

:

.

67

(,18).

.47

: C AB, 2AD DB= GA AB= GC

H, K CK CL= . E, F, M C,

D, L. N FB , NB

.

: AF: , BE: , BF: , MB: ,

BN: .

68

:

, LB ML ,

a10 a6,

. , -10,

= a5.

, ,

.

LB =a10 ML = a6 :

2GA AC= 2HK KC=

( ) ( )4S AK S KC= ). HC CB ,

( ) ( ) ( ) ( )5 5S CB S CH S CK S CL= = = .

2AB CB= 2KL CL= ( ) ( )5S AB S KL= .

(i) XIII-16

6KL a= . ,

6 102AB a a= + 10AK BL a= = ( K L

W V .42f). ,

62HK KC KL a= = = L K

C, 6ML HK a= = .

.48

69

:

-15 (

), -13-i

( ) ( )3S AB S BF= -15

BF .

:

-17 ,

.

, BN .

(1)

-16 -17.

(2) ,

-13-i

-9 .

.

,

.

1.

To ,

36 72 -72 V-10,

(V-11), 36

-49.

70

.49

, V-10,

, ,

BD

. ,

V-16,

.

Sachs [2004].

. V-10, IV-11

.

.

Hadamard [1945, 49]

. Hadamard

.

71

V-10, ,9

.

,

V-

16 .

(V-16).

V-10 -9

36 72 72- 72 .

V,10, 36 ( BAD )

-9 36 ( BEC )

.

V-10 -9

:

(1) V-10

-36

-5 .

(2) V-10

-32 -36

-5

.

(3) V-10

-9

-9 -9.

72

36 72 72

, V-13.

V-13,

,

. 0 0 036 54 90 .

0 0 036 72 72 ,

.

.

072 .

0 0 036 72 72 .

V-10 V-11.

( ) .

V,10:

. V-15

V-15

.

V-10

,

,

.

73

2.

, V-

10 . V-10

:

(1) -32 ( BDC )

( DAC ).

(2) -37 (BD)

.

-32

III

. -32

(V-2). ,

,

,

. , -

32 .

, -37 -36

. -36 -37

V-10 - .

-6 -5

-6 ( .50).

.

a priori

. , -5

-6 .

74

II-5 II-6

.50

V,

V-10 -11.

, ,

.

.

, -6

,11 -36 37

,

V-10. -5

-14 -35

-36 -37

-36.

75

, V-10.

V-10

.

V

V. ,

(i)

.

,

.

.

, ,

V-10

,36 37 AC

, ,

.

3. -1 5.

,1-5

(

-2 Helberg [Euclid-

Helberg, IV, 223] ). ,

( -11) ,

V-17

V, 3. -5

,

[Euclid-Heath, III, 449]

76

V. ,1-5

13.

,

.

: V,

3 -11 V-17,

. -43

.

V-14 -2 -5

, V-1 -

1 -2 -10 ( ) -1. ,

( -2

-1).

, 1-5,

.

-4, 5, 6, 7 8

. ,

V,27, 28 29

.

4. XIII

, -8

-1,5

XIII.

, XIII

( .51 .52):

13 o Euclid-Heath

77

1. -16, 17 (

) ,3, 9 10 -4

5 .

2. ,17

-1 6. (

) -16

-8 11 (,

) -11 ,1

,6 (2).

XIII

1

1.51

XIII-3,9,10

XIII-16

XIII-4,5

XIII-17

78

2 3

1.52

XIII-1

XIII-6 .

XIII-8 .

XIII-11 . .

XIII-17() .

XIII-16() .

79

.

,

.

, ,

:a b . ,

. ,

patterns o Gregory

Bateson, . ab

,

,

.

, , ,

, ,

, : a

b c d a:b : : c:d.

,

.

Robert Lawlor [1982],

, ,

,

- , ,

. , a:b : : c:d

.

80

2:4 : : 3:6.

.

,

,

. ,

:

a:b : : b:c. ,

b. ,

.

,

. (b)

(a c).

,

,

.

.

patterns

.

pattern

patterns

.

patterns ,

, .

.

81

, -

, Sri Aurobindo

:

, ,

, . ,

,

.

,

.

, -

;

,

.

.

a:b : : b: (a+b). (a+b)

.

21

, ( ),

.

(

(a+b)) 1 ).

(a+b)

1 ( : a:b : : b: 1).

.

.

82

,

.

.

.

.

, BC,

ABBC

XY

, X Y

.

.1

, , .

AB, BC, DE EF

X, Y, Z W

AB DEBC EF

= X ZY W

= .

.2

83

. - 1. -

.

, (

)

. ,

.

, ,

.

. .

, (

) .

( .3).

.3

( .4).

84

.4

, ()

, () ,

.

.

14.

14 . , .

85

15. ,

,

. ,

,

.

.

2.

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.

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, .

.

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( ,

). .

.

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, :

16.

.

( ) (.. 1,2,3 2 3,3 4

).

(. 2, 3 ).

1, ( 1)= ( )4 2= .

,

15 . . , , ( . , ., 1961) 16 J. Hambidge (Dynamic Symmetry, . ). .

86

- ,

.

.

,

,

, , .

:

(1)

.. 3,3 5,5 .

(2)

,

,

.

.

(3)

,

.

,

,

, ,

.

(.. ),

(.. ), ,

,

.

Modulor Le Corbusier. O

87

, ,

.

.

,

,

. -

.

, .

.

.

D.E.

Berlyne [1969] H.J. Eysenck [1968].

3.

.

. 1 5 1,618033988752+

=

=1,618. ,

,

. ,

.

, :

(a) . :

+= . ,

88

Pacioli Proportio divina Da Vinci Sectio

Aurea, .

(b)

+= ,

1

+= .

= , :

1+

= 2 1 = + 2 1 0 =

:

11 5

2 += 2

1 52

=

.

1 5 1.61803398875..2

+= = = .

Barr Schooling,

Sir T. Cook:

.

:

2

3 2

4 3 2

1 2

1

.............................

.............................

= +

= +

= +

= +

: 23

1 0,618

1,6182,6184,236

..........................

..........................

=

=

=

=

89

(c) Fibonacci , :

Fibonacci: 0,1, (0+1)+1, (1+1)=2, (2+1)=3, , 0, 1, 1, 2,

3, 5, 8, 13, 21.

: 2 3 41, , , 2 31, 2.... = + = + 21, , 1, ,.... + +

Fibonacci : 5 8 13, , ,...3 5 8

= = =

(d) Pascal

Pascal Newton

( ) + , 1lim( )e

= + .

(e)

3,14... = ( 1 0ie + = )

(f) :

2

4 1,273..........

1, 272........

0,617.......

1 0,618........

=

=

=

=

.

(g) :

( )2

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= = r, R

, .

90

( )ii

:

1,272.....z yx x

= = = , x,y (

91

,

,

.

2 ,

. ,

2

. ,

.

2 .

, ,

.

31 :

21 : :

21 :

1 : :

1 : 1 : : 1 : : : : 2 : : 2 : 3 ...

2

1 : 2 : : 2 : 2 ...

. 2

,

. 3

, ,

, .

(1/ 2, 1/ 3), .

92

,

-

. .

( 2, 3), ,

(1/ 2, 1/ 3), .

2

.

2

, .

, ,

( 2 )

, ,

,

,

().

.

93

.

,

,

,

,

.

.

.

, , , .

, ,

.

:

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,

, ,

;.

94

. .

.

.

( )

.

, ,

.

,

,

,

,

,

.

,

, : 17.

,

, , , .

,

. , ,

,

. ,

, (,

17 ,

95

),

.

.

( temperaturae ,

, )

.

,

,

.

( ,

)

.

().

Reliefhaftigkeit

Hildenbrand. ,

,

, ,

aspectus () .

18.

18 , , . , , . ,

96

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, -

,

:

.

(

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,

.

.

(

,

, )19,

( .1).

,

,

:

, , : , , - contrapposto. .., , , . 19 , , , , .

97

,

.1

98

(

)

20 ( .2) .

,

, ,

,

Neues

.2

,

, , .

,

, ,

, .

(

),

.

20 Amtliche Berichte aus den kniglichen Kunstsammlungen, XXXIX, 1917, col. Io5 ff. (Borchardt).

99

, ,

:

18 22 , ,

3 3 ,

5 21.

.

22,

.

23.

(mise au carreau).

-

,

.

21 , , . , ( os frontale , ) , . H. Schfer, Von gyptischer Kunst, , 1919, II, 236, 105, C.C.Edgar, relatifs la philologieegyptienne, XXVII, 137 ff idem, Catalogue Gnral des Antiquits Egyptiennes du Muse du Caire, XXV, Sculptors Studies and Unfinished Works, , 1906. 22 . Pelizaeus Hildesheim 23 Edgar, Catalogue, 53. , A.Erman, Amtliche Berichte aus den Kniglichen Kunstammlungen, XXX, 1908, 197.

100

,

:

, , ,

( .3).

24

1

24 Travaux Relatfs la philologie et archologie gyptiennes, XXVII, 905, 144

101

, ,

,

.

.

, ,

, (

) 10

,

4 5 25. ,

, ,

26.

Kunstwollen,

,

.

,

. ,

,

. ,

, K.

25 E.Mackay, Journal of Egyptian Archaeology, IV, 1917, Pl. XVII. , , Mackay Edgar. 26 , , , , .

102

.

. ,

. ,

. ,

, , .

.

, ,

, ,

:

,

, ,

(

), ,

27. ,

,

.

,

,

, .

27 : - , . mise au carreau, , , .

103

.

.

.

,

.

,

,

, ,

28.

,

, , , .

,

.

28 , , , (J. Overbeck, Die antiken Schriftquellen zur Geschichte der bildenden Kunst bei den Griechen, , 1868, No. 772). , , , 235/236: . , , , . , . , H.N.Fowler, ( Loeb), II, 335: . , , , , . , ;.

104

, ,

,

,

.

,

29.

,

,

, ,

30.

, , Placita Hippocratis et Platonis

: ,

[],

,

, , ,

31

, ,

,

, .

,

:

, ,

, 29 (Journal of Hellenic Studies, IV, 1883, 335) , : 1 = 7 = 2,07 ., 0,296 . , . 30 , , , , , . Kalkmann (Die Proportionen des Gesichts in der grieschischen Kunst [Berliner Winckelmannsprogramm, No. 53], 1893, 43) , , . Foat ( Journal of Hellenic Studies, XXXV, 1914 225) . 31 , Placita Hippocratis et Platonis, V, 3

105

: .

,

, ,

,

(

). ,

,

, .

,

32

.

, ,

( .3) 2, 3, 7, 8, 9, 15

.

.

. , , ,

, ,

. , ,

,

, , , 32 [ 1 11/3 ( Iversen, 8)]. , , , . , , . 3 ( , , Travaux, Edgar, 145), , 3 , .

106

,

,

, :

,

, . ,

,

.

.

,

, ,

Albrecht Drer

( III.4).

,

.

- ,

, ,

modulus ().

,

, (x=y/4 x=1, y=4)

Vergleichlichkeit Eins gegen dem

Andern (Drer) .

, ,

,

(

),

107

33

34.

,

.

,

.

.

homo bene figuratus.

:

35,

, -, .

33 Kalkmann (, 9) . , , . : ) ( )=1/10 ( ), ) ( ) = 1/10, ) ( ) = 1/8,

) = 1/6, ) = , ) = 1/6 ) = , ) = , (, , ), , , . , . [ , F. Saxl, 8.] () () () (), 1/20 1/40 . , () (). , , .. , . 34 Kalkmann, 36-37 35 E. Diels, Archologischer Anzeiger , 1889, No.I, 10

108

Albrecht Drer, D. Vier Bcher von menschicher

Proportion, , 1528.

.4

,

,

109

.

,

36.

, , , ,

, 36 : proportion (), symmetria () eurhythmia (). , . ( Kalkmann, 9, , 38, ), , , . , , 2, venusta species commodusque aspectus (, ). ( Kalkmann) , . , .. , . . . , . , ( , 2) ex ipsius operis membris conveniens consensus ex partibusque separatis ad universae figurae speciem ratae partis responsus ( , ) : . , , ( , 1) ratae partis membrorum in omni opere totiusque commodulatio ( , , rata pars (, ) ), Drer : (rata pars, ) (IV, 3) , 5:8, 189 30. , , , proportio symmetria efficitur, proportio, , (universaeque proportionis ad symmetriam comparatio). , proportio, , , , . , proportio, symmetria, , , , . , commodulatio, , , commodulatio, ( ) (, , ). , Kalkmann, 9, 2: Proportio , rata pars. Symmetria : , proportio. , A.Jolles, Vitruvs Aesthetik (Freiburg, 1906) 22.

110

, .

.

,

: (, 6

..) , ,

,

,

. , ,

. ,

, ,

( ),

,

, ( )

37. ,

, 38 21

39. ,

,

.

,

,

, 37 44:13, ( ) : , , , .. 38 , , ( ), , (, ). 39 , . , , , ( ) . , , - , . , , , : .

111

.

,

,

.

. 5,

4,

,

.

,

40.

, , ,

,

41 -

, ,

.

, ,

(

,

40 Jolles, , . - , ( , ) , , Jolles -, , , . 41 Wahrmund (1869). Kalkmann ( 38, ) , .

112

). , ,

: .

, ,

, ,

,

,

. , ,

, , ,

", ,

,

, ,

. , ,

42.

,

,

,

,

, irrationale43

44.

42 , Kalkmann, temperaturae . 43 44 Leone Battista Alberti, , ,

(Leone Battista Albertis kleinere

kunsttheoretische Schriften, H. Janitschek, [Quellenschriften fr Kunstgeschichte, XI], ,

1877, 199),

.

.

113

.

(, ,

),

, (flchenhaft).

, ,

(verflchigt).

,

.

de facto ( ) .

de facto

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,

, ,

(, -

).

,

.

, , ,

45.

,

, ,

. , ,

, 45

114

, .

, ,

,

,

.

. ,

. ,

,

,

, ,

.

,

.

,

,

. ,

,

. ,

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. ,

,

.

, ,

. ,

,

. , ,

: .

115

,

,

( .5),

. -

.

, , ( : viso faccia,

testa)46,

. ,

, 1

, 3 , 2

, 1/3 (= ) , 1/3

, 1/3 47

46 . , , , , , , . , , , , , Averlino Filarete 15 ( Antonio Averlino Filaretes Traktat ber die Baukunst, W. Von Oettingen, (Quellenschriften fr Kunstgeschihte, , ), 1890, 54. 47 Das Handbuch der Malerei vom Berge Athos, Godehard Sshfer, 1885, 82. Julius v. Schlossers Commentarii Ghiberti (Lorenzo Ghibertis Denkwrdigkeiten, , 1912, , 35), ( Schlosser) , , , Gennini, . , Gennini, , 1/3 , , ( = 1/3), . , . , . 12

116

( ) 1 1/3

, ,

,

1.

Gennino Gennini,

13 ,

.

,

(3 )

, ,

1/3 ,

8 2/3 visi.

13 . , , 9 ( , 10), 1/27 ( , 1/40) 1/9 ( , 1/6). , Gennini , , , Gennini. , , , , . , , (Schfer, 251) , , Drer, .71 [, o L. H. Heydenreich, Der Apokalypsenzyklus im Athosgebeit und seine Beziehungen zur deutschen Bibelillustration, Zeitschrift fr Kunstegschihte, VIII, 1939, Apocalypse Drer Holbein (Wolff) 1523.]

117

. Hamburg, , 13

.5

118

, 9

,

, 17

18 48 , Pomponius

Gauricus, ,

Ghilberti Filarete.

,

.

(Philander) Varro49

9 1/3

teste

.

50

(,

),

Treatise Gennini

. ,

,

48 Schlosser . , , , Mario Equicola, Giorgio Vasari, Raffaele Borghini Daniel Barbaro. (La pratica della prospettiva, , 1569, 179) , , 9 seste 1/3 testa (., ), police (). , 1 , 1 . , 9 1/3 teste - 8 teste . 49 Schlosser, 35. . , - Ghiberti: Ghiberti , 2 , 2 1/6 , 1/3 . 50 Kalkmann, 11

119

51.

52,

,

,

, ,

.

, ,

, 53 .

, ,

.

,

. ,

,

. , ,

.

,

51 F. Dieterici, Die Propdeutik der Araber, , 1865, 135. , , , , 4/5 . 52 Helmut Ritter, . , , , , . 53 M. Simon, Geschichte der Mathematik im Altertum in Verbindug mit antike Kulturgeschichte, , 1909, 348, 357.

120

.

,

.

,

.

, ,

.

, ,

, ,

modulus, , ,

,

,

54. , ,

: Adolphe Didron,

,

19

. ,

, (=

1/3 ) . ,

,

(

54 , ( 3). , , : - . , .

121

),

,

, , , .

,

geometrico more. , ,

,

, ,

. 1

. 2

( )

: 3

,

( .6).

,

,

,

-

,

,

. ,

Kunstwollen,

55.

55 , .

122

-

.6

,

.6,

(

.7)

. 56, 57 ( .8),

58 59, 60

56 .. Die romanische Wandmalerei in den Rheinlanden P. Clemen, , 1916. 57 , .. P. Buberl, Die romanischen Wandmalereien im Kloster Nonnberg, Kunsgeschichtliches Jahrbuch der K. K. Zentral-Kommission, III, 1909, 25, 61 63. , H. Tietze, Die Denkmale des Stiftes Nonnberg in Salzburg (Oesterreichische Kunsttopographie, VIII), , 1911. Buberl - . 58 , .. Album de Villard de Honnecourt, Bibliothque Nationale, XXXII ( ). 59 .. Pietro Cavallini Trastevere, Le Galerie nazionali dItalia, , 1902 V. 60 . .. Naumburg.

123

61,

62.

-

,

63.

, Ibidem, fol.59

.7

61 .. Altchristliche und byzantinische Kunst, O. Wulff, -Neubabelsberg, 1914,II, 602, . 62 A. Haseloff, Eine thringisch-schsische Malershcule des 13. Jahrhunderts, , 1897. 63 ( ) : 1:2:3, 1:1 :2 . , , . Nonnberg ( 41, 109 5), , . - ( ) Bamberg.

124

,

64.

,

.

,

,

.

, ,

,

,

,

( III.9, III.10)65. ,

,

,

: , (1 )

, , ,

,

2 (

) 3 .

64 .. Rucellai Santa Maria Novella Giotto. 65 ( ).

125

. ()

Salzburg, Nonnbeg, 12

.8

126

Nomisia (). Anagni, 12

.9

127

Meo da Siena, Madonna.

, S. M. Maggiore. 14

.10

, ,

, , ,

,

. , ,

2 ,

( C)

128

66.

C ( 2 ),

,

, ,

.

, ,

C (, ,

J, D K

)67.

, ,

: ,

1 . , ,

,

(),

, ( )

.

,

. ,

2 , BL

2 .

,

, ,

66 St Mary (Clemen, XVII): , 67 , D ( AD) , , . ( AD) , , , . , .

129

.

.

Villard de Honnecourt confrres ()

art de pourtraicture mthode expditive du dessin

,

.

, -

. .

.

,

,

, loci () . ,

( .11)

: ( )

1/3 AH BG68.

68 , , Villard, B. Haendcke, Drers Selbstbildnisse und konstruierte Figuren, Monatshefte fr Kunstwissenschaft, V, 1912, 185 ( 188), .

130

, Villard de Honnecourt.

, .

.11

,

, G , J

,

(C, D, E F)

69.

( )

,

69 pourtraicture Villard .

131

, , ,

70.

, - ,

, ( .12)71.

( 8

16

, 1

)72,

(

), ,

.

, ,

,

, (

):

Rheims ( .15)

Villard 73

70 , , , J. Meder, Die Handzeichnung, , 1919, 254, . K. Frey, Die Handzeichnungen Michelagniolos Buonarroti, , 1909-11, . 290. pourtraicture Villard de Honnecourt 16 ( , , ) Villar , , 13 . [ Panofsky, Codex Huygens ( 8), 119, 97-9] 71 , , , , Villard, XLII. 72 , , , . , 26 Drer, ( V. Mortet, La mesure de la figure humaine et le canon des proportions daprs les dessins de Villard de Honnecourt, dAlbert Drer et de Lonard de Vinci, Mlanges offerts M. Emile Chatelain, , 1910, 367) . 73 .

132

.

Villard de Honnecourt , . ,

.

.12

Villard de Honnecourt,

,

133

, , ,

( .13).

, Villard de

Honnecourt. , .

.13

,

, ,

,

JB.

,

134

, ,

, ,

(JX),

.

pour

lgirement ouvrier

, ,

,

.

Villard de Honnecourt. . .

.14

135

(). Reims, Cathedral. Ca. 1235.

15

.

, ,

: 74.

,

14 15 ,

,

75.

, ,

, , 74 . , , , , (.. 4). 75 , , .

136

,

.

.

, ,

(, , ),

14 .

Hildegard Bingen

76. ,

,

.

, 77

78.

.

artes liberals ( ),

(,

,

),

76 Pater Ildefons Herwwgen, Ein mittelalterlicher Kanon des menschlichen Krpers, Repertorium fr Kunstwissenschaft, XXXII, 1909, 445, St Trond (G. Weise Zeitschrift fr Geschichte der Architektur, IV, 1910-11, 126). . 77 , Villard manire pour lgirement ouvrier. - ( ). 78 . ( ) .

137

.

. , ,

,

,

79.

, -

,

,

.

79 Juliis von Schlosser , Ghiberti, , , Optica Alhazen. , , Ghiberti, Alhazen, . Alhazen , , , en passant ( ). , - , , ( , , , , .) , , . Ghiberti, , . Alhazen , , , , . . , . (, [Atius, Stoicorum veterum Fragmenta, J. ab Armin, , , II, 299]: , , .). , Optica ( , , ) , , Ibn Chaldn (Khaldoun), Prolegomena, ( Notices et Extraits de la Bibliothque Impriale, , 1862-5, -), , 413: . [, , ] .

138

.

, (

,

80),

.

81,

(

,

)82,

,

, ,

80 , , (Schlosser, 33), . , , , ( ), ( 16 83, 95 127). Ghiberti , . Cesare Cesariano, M. Vitruvio Pollione, De Architettura Libri Decem, , 1521, XLIX , 3 , 1/30 , , . 81 Pomponius Gauricus, De Sculptura (H. Brockhaus, , 1886, 130). 1525, Francisci Giorgii Veneti de harmonia mundi totius cantica tria. ( Francesco Giorgi S. Francesco della Vigna ) , Ghiberti . , , , (300:50:30) , : : = 9:8 (tonus) : = 4:3 (diatessaron) ( ): = 2:1 (diapason),.

82 Luca Pacioli, La divina proportione, C. Winterberg, (Quellenschriften fr Kunstgeschichte, ), , 1889, 130. : Mario Equicola, Libro di natura damore.

139

83. -

,

.

,

,

.

, , ,

.

( ,

) , ,

Gennini.

84, ,

,

85.

,

86 ,

, 87

, ,

.

83 Giovanni Paolo Lomazzo, Trattato dellarte della pintura, , 1584 ( , 1844), IV, 3, , 31. 84 Ghiberti, , , , Luca Pacioli. 85 Pomponius Gauricus , , , . 86Luca Pacioli, 135-6 87 Cesare Cesariano, op. cit., fol. XLVIII

140

-Varronic

, per se, ,

,

,

, 88,

89,

, 90. , ,

, .

, , ,

, ,

,

Gennini91.

Lomazzo, Trattato della Pintura

,

Lomazzo, 1584,

(.9)

D Drer,

(.10) Drer,

(.11) Drer,

(.8) Drer, ...

,

-

88 Lomazzo, IV, 3. Drer. 89 Filarete, Francesco Giorgi, I, 229, . 90 , Federigo Zuccari (Schlosser, Die Kunstliteratur, , 1924, 345) 91 , .. Filarete , , .

141

: Leon Battista Alberti,

, , , Leonardo da Vinci,

92.

.

,

. , ,

.

:

,

,

,

93.

,

,

,

,

.

Alberti Leonardo, ,

,

92 Bramante , , . 93 Alberti, 201. Leonardo (Leonardo da Vinci, das Buch von der Malerei, H. Ludwig, [Quellenschriften fr Kunstgeschichte, XV-XVII, 1881, 109 137) (, , 602)

142

,

,

. , ,

: Alberti

Leonardo,

.

94, Alberti

, .

1/6

,

Exempeda. pedes (),

unceolae (), minuta ( )95

( .12).

.

. teste visi

96.

( unica et infinita

94 , .. Dagobert Frey, Bramantestudien, I, , 1915, 84 95 Alberti, 178, Exempeda ( ). , , , -. 96 Alberti, , . , testa , Thode 532 ( Braun 116). , , , atti e gesti.

143

diligentia Drer

).

(, ,

canna)

,

:

.

Alberti

, , .

, , Alberti

97.

Leonardo, ,

.

- ,

,

98,

, ,

-

99.

(, , )

.

97 Alberti, 198 98 (Richter, The Literary Works of Leonardo Da Vinci, , 1883, . 307, ). Lomazzo Drer. 99 Leonardo , Gennini/Gauricus . [ Leonardo, E. Panofsky, The Codex Huygens and Leonardo da Vincis Art Theory ( Warburg, XIII), , 1940, 51].

144

Leonardo da Vinci.

Exempeda L.B. Alberti.

Codex Vallardi.

.16

, ,

. ,

145

100,

, ,

101.

,

: da x a y simile a lo spatio che infra v e z (

xy vz). , ,

:

,

.

,

102.

.

: ,

. 100 L. Olschki, Geschichte der neusprachlichen wissenschaftlichen Literatur, I. , 1919, 369. 101 Panofsky, Drers Kunsttheorie, , 1915, 105. Pomponius Gauricus, , Affricano Colombo, (Natura e inclinatione delle sette Pianeti) ( ). Leonardo . 102 Trattato della pittura, 267. Alberti ( 203) , .

146

:

.

,

,

.

, ,

.

, , ,

103.

, , ,

,

,

-,

,

,

.

,

, -

,

, .

103 , , , .

147

:

.

, ,

. , ,

( )

104.

.

,

.

(

, ) ,

,

: Albrecht Drer.

, ,

(

) , pourtraicture Villard de

104 (, , ) . Leonardo (Richter, XXXI, Trattato, 130), Drer , , (Underweysung der Messung,1525, K.10). Drer, , , Barbaro, 123.

148

Honnecourt, , ,

( .17)105.

Albrecht Drer. (drawing L.38). Berlin,

Kupferstichkabinett. Ca. 1500.

III.17

105 Mortet Drer , Villard de Honnecourt. H. Wlfflin ( Monatshefte fr Kunstwissenschaft, VIII, 1915, 254) Mortet Drer . . Edmund Schilling , Sebastian. L.190 , L.74/75 ( .17).

149

Leonardo Alberti, ,

,

,

106. , Drer

( .4)

, Exempeda Alberti (

, 1/600,

)107 . , ,

, .

,

,

, .

,

,

108. ,

106 Dann die Bilder dchten so gestrackt, wie sie vorn beschrieben sind, nichts zu brauchen. Panofsky, Drers Kunsttheorie, 81, 89 111. 107 Drer Exempeda Alberti , De Statua, , Drer. Drer Harmonia mundi totius Francesco Giorgi Alberti, : Attendendum est ad mensuras, quibus nonnulli microcosmographi metiuntur ipsum humanum corpus. Dividunt enim id per sex pedes.et mensuram unius ex iis pedibus hexipedam [!] vocant. Et hanc partiuntur in gradus decem, unde ex sex hexipedis gradus sexaginta resultant, gradum vero quemlibet in decemminuta. . exempeda [!]. [gradus, Alberti unceolae], , [minuta, Alberti]. , , 300 600 minuta, . Francesco Giorgio, 1525, , (Panofsky, Drers Kunsttheorie, 119) Drer Exempeda 1523 1528. [ Agrippa Nettesheim , Exempeda De occulta philosophia ( 1531), , 27, 1509.] 108 Albrecht Drer, Vier Bcher von menschlicher Proportion, , 1528, .

150

( .18)109.

Albrecht Drer, .

Vier Bcher von menschicher Proportion, , 1528.

.18

Drer ,

( , ,

110

)

111. , ,

Pierro della Francesca,

109 Ibidem, 110 Ibidem , IV 111 Albrecht Drer, Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt, , 1525.

151

,

112,

,

1920,

1500 ( .17).

, Drer .

,

,

( .19)113.

Vier Bcher von menschicher Proportion Drer

. , ,

. Drer , ,

:

.

112 Drer, Vier Bcher, IV, . , Lomazzo, Foppa, Holbein, Altdorfer, Luca Cambiaso, Erhard Schn. Drer, ( Meder, 622), (Kunstchronik, , XXVI, 1915, 514) Meder ( 564, 267) . 113 , , , Erhard Schn, ( .20) ( Fr.W.Ghillany, Index rarissimorum aliquot librorum, quos habet bibliotheca publica Noribergensis, 1846, 15). , Trattato Leonardo, 173.

152

Albrecht Drer. .

Schsische.

.19

, -

,

. ,

,

(Trmlein), ,

.

153

Erhard Schn, ().

, .

.20

Drer

,

,

,

opus maius, Lautensack114, Beham115,

Schn116, van der Heyden117, Bergmller118 ,

, Schadow119

114 H. Lautensack, Des Circkels und Richtscheyts, auch der Perspectiva und Proportion der Menschen und Rosse Kurtze doch grndliche Underweisung, , 1564. 115 H.S. Beham, Dies Bchlein zeyget anein Mass oder Proporcion des Ross, , 1528 , Kunst und Lere Bchlein, 1546 ( ), , 219-221. 116 . Schn, Underweysung der Proportion und Stellung der Possen, , 1542 ( , L. Baer, , , 1920). 117 J. van der Heyden, Reissbchlein, , 1634 118 J.G. Bergmller, Anthropometria oder Statur des Menschen, Augsburg, 1723. 119 G. Schadow, Polyclet oder von den Massen der Menschen, , 1834 (11 , , 1909).

154

Zeising120. , ,

, ,

,

121.

.

,

, .

.

. ,

.

, , 15 ,

.

,

,

.

120 A. Zeising, Neue Lebre von den Proportionen des Krpers, , 1854 , Aesthetische Forschungen, , 1855. 121 Drer: (Vier Bcher, ) DArcy W. Thompson, On Growth and Form, 1917.

155

17

19

,

, ,

122. -

- 16

-

,

, ,

, , ,

123.

, ,

,

,

. ,

122 (15 16 ), Drer . 123 81, 125. , , - . Vincenzo Danti, , ( ) , Delle perfette proportioni, , ( J. von Schlosser, Die Kunstliteratur, 343,359,396). Carel van Mander ( Schlosser), [ Panofsky, Idea (Studien der Bibliothek Warburg, V), , 1924, 41, , , 1952, 57]. Rembrandt, , , : , , , . , (C. Hofstede de Groot, Die Handzeichnungen Rembrandts, Haarlem, 1906, No. 631) ,

156

,

Leonardo Drer:

J.H.Meyer,

,

,

, ,

.124

124 , Meyer 13 1791 ( Weimar, V, 9, 248).

157

IV

.1.

,

,

;

.

:

;

, ;

50 ,

.

,

,

. ,

,

, ,

,

.

158

.2.

100 ,

50

.

( )

, .

:

, ,

.

, .

:

,

,

,

;

.

. ,

, ,

, ,

, ()

,

, .

159

,

1 15.

, :

,

;

.

1. Triangulatur und Quadratur

, ,

.

Triangulatur

Quadratur125

.

Baisseree, Viollet, le Due de Vogue

Semper

.

Triangulatur

G.Dehio 1894 1895

. ,

125 , .

160

(, )

.( IV.1)

IV.1

.

A.Drach

, Triangulatur.

161

IV.2

,

.

.

,

45 ( IV.2).

Quadratur

/4

. , ,

. ,

.

, Kart Witzel

, 45 (:/4)

36 (:/5). L.Spitzepjeil

Triangulatur

.

162

J. Haase ,

.

Hauftmann

.

( IV.3).

IV.3

0,3329.

.

I. Knouth ,

Quadratur.

Muler,

( IV.4).

163

IV.4

Th.Ficher

.

Triangulatur Quadratur,

(

IV.5, IV.6).

IV.5

164

IV.6

,

.

Max Raphael

.

, 2 + 1 2

+ 3 , 2 5 .

,

. ,

.

,

.

165

IV.7

IV.7 .

30 75

.

,

. ,

()

,

. ,

.

, . ,

30 75 ,

36 72.

.

,

,

.

(

) , ;

166

2.

,

.

. P.O.Wolf 1912

.

(

IV.8).

,

.

IV.8

, 1915 Ernst Mssel

.

.

,

.

,

167

.

[1926])

[1931]

:

(a)

.

(b)

.

4, 5, 6, 7, 8 10 ,

, , , ,

.

(c)

(Viollet le Due, Dehio, Drach.v.Witzel)

(Triersch)

.

(d) -

.

5

, , ,

5

,

.

(e)

.

168

,

.

(f)

()

()

.

(g) ,

,

, .

, .

(h) ,

, ,

(

, ).

(i)

.

.

.

(j) .

.

,

.

169

.

IV.9

,

.

( IV.9).

, , .,

.

.

.

.

170

.

Mssel.

IV.10, IV.11, IV.12.

IV.10

171

IV.11

IV.12

172

Mssel

.

,

, ,

:

, .

, ,

,

.

3.

August Thiersch , ,

.

.

.

: :

, : = :

.

.

.

,

IV.13.

173

IV.13

, .

IV.14.

IV.14

174

.

4.

,

Thiersch Jay Hambidge.

:

Thiersch

.

Hambidge

1924

. .

.

,

.

Hambidge, ,

Leonardo da Vinci,

().

.

( IV.15).

IV.15

175

,

, ,

:

.

4 : , , ,

. ,

.

, . F

CD AE . GH

GR : GH 1:2 * 0,618 ,

.

.

. S T

.

16,

. S

, V5 1 : V5 .

CB = 12

WX , AD = 14

WY, .

IV.16

176

, IV.17,

.

Hambidge :

,

.

. .

,

, .

, Hambidge

.

177

IV.17

178

.

. .

W.Watkiss Lloyd

, :

' ' 5,

1:5, 2:7, 3:8, 4:9 1:2, 2:3, 3:4, 4:5

,

,

:

.

Max Theuer ,

.

1/5 .

B : L = N (2u+1)

B : L = N 2(u+1)

, 3:8 , 2:5 5:11 .

.

.

,

.

- -

.

: ( IV.18)

179

IV.18

B : L =5 : 11

58 0,5225 12 0,52252

58 0,5225 12 0,52252

58 0,5225 12 0,52252

. 19 0,5225 20 0,5225

. 212 0,52253 10 0,5225

Theuer

. , .

2

, .

.

Thiersch, .

Thiersch

.

180

.

,

.

,

, .

,

.

:

;

; .

181

V

.

, ,

,

[Wittkower, 1971].

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