Μαθηματική Μοντελοποίηση

65
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ

Transcript of Μαθηματική Μοντελοποίηση

Page 1: Μαθηματική Μοντελοποίηση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ

Page 2: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Ορισμός

Μαθηματικό μοντέλο είναι η περιγραφή ενός συστήματος ή μιας διαδικασίας χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες και σύμβολα. Η διαδικασία ανάπτυξης ενός μαθηματικού μοντέλου ονομάζεται μαθηματική μοντελοποίηση.

Page 3: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Χρήση

Τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται στη φυσική, τη βιολογία, τη σεισμολογία, τη μετεωρολογία, την επιστήμη υπολογιστών (τεχνητή νοημοσύνη) αλλά έχουν και μεγάλο πλήθος εφαρμογών στην οικονομία, τη ψυχολογία, την κοινωνιολογία και τις πολιτικές επιστήμες.

Page 4: Μαθηματική Μοντελοποίηση

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ

Page 5: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Συνάρτηση

Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

Page 6: Μαθηματική Μοντελοποίηση

α1

α2

α3

α4

β1

β2

β3

β4

Είναι συνάρτηση;

Page 7: Μαθηματική Μοντελοποίηση

α1

α2

α3

α4

β1

β2

β3

β4

Είναι συνάρτηση;

Page 8: Μαθηματική Μοντελοποίηση

α1

α2

α3

α4

β1

β2

β3

β4

Είναι συνάρτηση;

Page 9: Μαθηματική Μοντελοποίηση

α1

α2

α3

α4

β1

β2

β3

β4

Είναι συνάρτηση;

Page 10: Μαθηματική Μοντελοποίηση

α1

α2

α3

α4

β1

β2

β3

β4

Είναι συνάρτηση;

Page 11: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Γραφική παράσταση

Page 12: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Page 13: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Συμμετρίες

Page 14: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Page 15: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)Μ1

Page 16: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)Μ1 (-α, β)

Page 17: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Μ2

Page 18: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Μ2 (α,-β)

Page 19: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Μ3

Page 20: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Μ3 (-α,-β)

Page 21: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Μ’

Page 22: Μαθηματική Μοντελοποίηση

x’ x

y

y’

O

Μ (α, β)

Μ’(β, α)

Page 23: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Βασικές Συναρτήσεις

Page 24: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = x

Page 25: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = x2

Page 26: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = 1/x

Page 27: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = ημx

Page 28: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Μετατοπίσεις

Page 29: Μαθηματική Μοντελοποίηση

προς τα πάνω

Η γραφική παράσταση της f, με f (x) = φ (x) + c, όπου c > 0

προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς

τα πάνω.

Page 30: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = x2 f (x) = x2 +1

Page 31: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = 1/x f (x) = (1/x) +1

Page 32: Μαθηματική Μοντελοποίηση

προς τα κάτω

Η γραφική παράσταση της f, με f (x) = φ (x) - c, όπου c > 0

προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς

τα κάτω .

Page 33: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = x2 f (x) = x2 -1

Page 34: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = 1/x f (x) = (1/x) -1

Page 35: Μαθηματική Μοντελοποίηση

προς τα δεξιά

Η γραφική παράσταση της f, με f (x) = φ (x - c) , όπου c > 0

προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς

τα δεξιά .

Page 36: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = x2 f (x) = (x-1)2

Page 37: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = 1/x f (x) = 1/(x-1)

Page 38: Μαθηματική Μοντελοποίηση

προς τα αριστερά

Η γραφική παράσταση της f, με f (x) = φ (x + c) , όπου c > 0

προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς

τα αριστερά .

Page 39: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = x2 f (x) = (x +1)2

Page 40: Μαθηματική Μοντελοποίηση

f (x) = 1/x f (x) = 1/(x+1)

Page 41: Μαθηματική Μοντελοποίηση

ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ

Page 42: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Το πρόβλημα:

Όλοι ξέρουμε πως το χειμώνα οι μέρες είναι μικρότερες από ότι το καλοκαίρι. Μάλιστα, όσο απομακρυνόμαστε από τον Ισημερινό προς το Βορρά ή προς το Νότο, η διάρκεια της μέρας μεταβάλλεται πολύ.

Page 43: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Θα προσπαθήσουμε να πραγματοποιήσουμε μια μαθηματική περιγραφή αυτού του φυσικού φαινομένου, δηλαδή να κατασκευάσουμε μια αλγεβρική σχέση που να παρουσιάζει πως μεταβάλλεται η διάρκεια της μέρας με την πάροδο του χρόνου.

Page 44: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Η διάρκεια της ημέρας (δηλαδή το χρονικό διάστημα ανάμεσα στην Ανατολή και τη Δύση του ηλίου) εξαρτάται από τον τόπο στον οποίο μένετε και από την εποχή του έτους.

Από ένα δικτυακό τόπο βρίσκουμε τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε: την ώρα της Ανατολής και την ώρα της Δύσης για την πόλη της Αθήνας.

Page 45: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 46: Μαθηματική Μοντελοποίηση

Function Probe

Ξενάγηση στο Function Probe με ταυτόχρονη εφαρμογή του προβλήματος της διάρκειας της μέρας

Page 47: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 48: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 49: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 50: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 51: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 52: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 53: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 54: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 55: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 56: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 57: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 58: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 59: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 60: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 61: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 62: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 63: Μαθηματική Μοντελοποίηση
Page 64: Μαθηματική Μοντελοποίηση

ΤΕΛΟΣ

Σας ευχαριστούμε για τη συμμετοχή!

Page 65: Μαθηματική Μοντελοποίηση