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HTWD, Fakult¨ at Informatik/Mathematik Arbeitsblatt 7 Prof. Dr. M. Voigt Lineare Algebra Matrizen und R¨ ange 1. Matrizenoperationen: (a) Addition A, B ∈ K (m,n) ⇒ C = A + B ∈ K (m,n) mit c ij := a ij + b ij (b) Multiplikation mit einem Skalar A ∈ K (m,n) ⇒ B = α · A ∈ K (m,n) mit b ij := α · a ij (c) Transponieren A ∈ K (m,n) ⇒ B = A T ∈ K (n,m) mit b ij := a ji (d) Matrizenmultiplikation A ∈ K (m,n) ,B ∈ K (n,p) ⇒ C = A · B ∈ K (m,p) mit c ij := (a i1 ,...,a in ) | {z } i-ter Zeilenvektor · b 1j : b nj | {z } j-ter Spaltenvektor = n ∑ k=1 a ik b kj (e) Invertieren Die Matrix A ∈ K (n,n) heißt invertierbar , wenn es eine Matrix B ∈ K (n,n) gibt, so dass AB = BA = E. 3. Rechenregeln f¨ ur Matrizenoperationen: (M1) A + B = B + A (M2) (A + B)+ C = A +(B + C)= A + B + C (M3) A + O = A (M4) • (α + β)A = αA + βA • α(A + B)= αA + αB • α(βA)=(αβ)A • 1 · A = A, 0 · A = O (M5) (A T ) T = A (M6) (A + B) T = A T + B T (M7) (α · A) T = α · A T (M8) Im Allg. gilt AB 6= BA. (M9) (AB)C = A(BC )= ABC (M10) α(AB)=(αA)B = A(αB) (M11) EA = A, BE = B (M12) A(B + C)= AB + AC (B + C)A = BA + CA (M13) (AB) T = B T A T (M14) (A -1 ) -1 = A (M15) (AB) -1 = B -1 A -1 (M16) (A T ) -1 =(A -1 ) T =: A -T 3. Rechenregeln f¨ ur den Rang: (R1) bei zwei gleichen bzw. linear abh¨ angigen Zeilen kann eine gestrichen werden, ebenso kann man Nullzeilen streichen (R2) Zeilentausch ver¨ andert den Rang nicht rg : a : a : = rg : a : ✟ ✟ a . . . rg : a : b : = rg : b : a : (R3) Erweitern oder K¨ urzen einer Zeile mit α 6=0 ¨ andert den Rang nicht (R4) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile ¨ andert den Rang nicht rg : αa : = rg : a : rg : a : b : = rg : a : b + αa : (R5) Die Regeln (R1) – (R4) gelten analog auch f¨ ur die Spalten der Matrix, da rg(A T )= rg(A). (R6) Ist S eine Stufenmatrix, so gilt rg(S) = Anzahl der Stufen in der Stufenmatrix.
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HTWD, Fakultat Informatik/Mathematik Arbeitsblatt 7Prof. Dr. M. Voigt Lineare Algebra
Matrizen und Range
1. Matrizenoperationen:
(a) Addition
A,B ∈ K(m,n) ⇒ C = A+B ∈ K(m,n) mit cij := aij + bij
(b) Multiplikation mit einem Skalar
A ∈ K(m,n) ⇒ B = α ·A ∈ K(m,n) mit bij := α · aij(c) Transponieren
A ∈ K(m,n) ⇒ B = AT ∈ K(n,m) mit bij := aji
(d) Matrizenmultiplikation
A ∈ K(m,n), B ∈ K(n,p) ⇒ C = A ·B ∈ K(m,p) mit cij := (ai1, . . . , ain)︸ ︷︷ ︸i-ter Zeilenvektor
·
b1j:bnj
︸ ︷︷ ︸
j−ter Spaltenvektor
=n∑
k=1
aikbkj
(e) Invertieren
Die Matrix A ∈ K(n,n) heißt invertierbar , wenn es eine Matrix B ∈ K(n,n) gibt, so dass AB = BA = E.
3. Rechenregeln fur Matrizenoperationen:
(M1) A+B = B +A
(M2) (A+B) + C = A+ (B + C) = A+B + C
(M3) A+O = A
(M4) • (α+ β)A = αA+ βA
• α(A+B) = αA+ αB
• α(βA) = (αβ)A
• 1 ·A = A, 0 ·A = O
(M5) (AT )T = A
(M6) (A+B)T = AT +BT
(M7) (α ·A)T = α ·AT
(M8) Im Allg. gilt AB 6= BA.
(M9) (AB)C = A(BC) = ABC
(M10) α(AB) = (αA)B = A(αB)
(M11) EA = A, BE = B
(M12) A(B + C) = AB +AC
(B + C)A = BA+ CA
(M13) (AB)T = BTAT
(M14) (A−1)−1 = A
(M15) (AB)−1 = B−1A−1
(M16) (AT )−1 = (A−1)T =: A−T
3. Rechenregeln fur den Rang:
(R1) bei zwei gleichen bzw. linear abhangigen Zeilenkann eine gestrichen werden, ebenso kann manNullzeilen streichen
(R2) Zeilentausch verandert den Rang nicht
rg
:a:a:
= rg
:a:
��a...
rg
:a:b:
= rg
:b:a:
(R3) Erweitern oder Kurzen einer Zeile mit α 6= 0
andert den Rang nicht(R4) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer
anderen Zeile andert den Rang nicht
rg
:αa:
= rg
:a:
rg
:a:b:
= rg
:a:
b+ αa:
(R5) Die Regeln (R1) – (R4) gelten analog auch fur die Spalten der Matrix, da rg(AT ) = rg(A).
(R6) Ist S eine Stufenmatrix, so gilt rg(S) = Anzahl der Stufen in der Stufenmatrix.
