HTWD, Fakultat Informatik/Mathematik Arbeitsblatt 7Prof. Dr. M. Voigt Lineare Algebra

Matrizen und Range

1. Matrizenoperationen:

(a) Addition

A,B ∈ K(m,n) ⇒ C = A+B ∈ K(m,n) mit cij := aij + bij

(b) Multiplikation mit einem Skalar

A ∈ K(m,n) ⇒ B = α ·A ∈ K(m,n) mit bij := α · aij(c) Transponieren

A ∈ K(m,n) ⇒ B = AT ∈ K(n,m) mit bij := aji

(d) Matrizenmultiplikation

A ∈ K(m,n), B ∈ K(n,p) ⇒ C = A ·B ∈ K(m,p) mit cij := (ai1, . . . , ain)︸ ︷︷ ︸i-ter Zeilenvektor

·

b1j:bnj

︸ ︷︷ ︸

j−ter Spaltenvektor

=n∑

k=1

aikbkj

(e) Invertieren

Die Matrix A ∈ K(n,n) heißt invertierbar , wenn es eine Matrix B ∈ K(n,n) gibt, so dass AB = BA = E.

3. Rechenregeln fur Matrizenoperationen:

(M1) A+B = B +A

(M2) (A+B) + C = A+ (B + C) = A+B + C

(M3) A+O = A

(M4) • (α+ β)A = αA+ βA

• α(A+B) = αA+ αB

• α(βA) = (αβ)A

• 1 ·A = A, 0 ·A = O

(M5) (AT )T = A

(M6) (A+B)T = AT +BT

(M7) (α ·A)T = α ·AT

(M8) Im Allg. gilt AB 6= BA.

(M9) (AB)C = A(BC) = ABC

(M10) α(AB) = (αA)B = A(αB)

(M11) EA = A, BE = B

(M12) A(B + C) = AB +AC

(B + C)A = BA+ CA

(M13) (AB)T = BTAT

(M14) (A−1)−1 = A

(M15) (AB)−1 = B−1A−1

(M16) (AT )−1 = (A−1)T =: A−T

3. Rechenregeln fur den Rang:

(R1) bei zwei gleichen bzw. linear abhangigen Zeilenkann eine gestrichen werden, ebenso kann manNullzeilen streichen

(R2) Zeilentausch verandert den Rang nicht

rg

:a:a:

= rg

:a:

��a...

rg

:a:b:

= rg

:b:a:

(R3) Erweitern oder Kurzen einer Zeile mit α 6= 0

andert den Rang nicht(R4) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer

anderen Zeile andert den Rang nicht

rg

:αa:

= rg

:a:

rg

:a:b:

= rg

:a:

b+ αa:

(R5) Die Regeln (R1) – (R4) gelten analog auch fur die Spalten der Matrix, da rg(AT ) = rg(A).

(R6) Ist S eine Stufenmatrix, so gilt rg(S) = Anzahl der Stufen in der Stufenmatrix.