Matemáticas II 2º BACHILLERATO

CONTROL DE GEOMETRÍA 1

1) Considera el plano 07zyx2 =+−+≡π y la recta ⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ+=

λ+=λ+=

≡

31z1y1x

r

a) Halla la ecuación del plano perpendicular a π y que contenga a la recta r. b) ¿Hay algún plano paralelo a π que contenga a la recta r? En caso afirmativo

determina su ecuación. (2 puntos)

2) Sea la recta r de ecuación ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=+=

t4zt21y

tax y la recta s de ecuación

3z2y

21x

=+=−

a) Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan. b) Halla el punto de corte. (2 puntos)

3) Considera los puntos ),,( 201A − y ),,( 132B −

a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. b) Calcula el área del triángulo ABC, donde C es un punto de la recta z1yx =−=−

¿depende el resultado de la elección concreta del punto C? (2 puntos) 4) Dados los vectores ( ) ( )a62wy311v ,,,, −−

rr

a) Halla el valor del parámetro a para que sean perpendiculares. b) Halla el valor del parámetro a para que sean paralelos. c) Halla el área del triángulo determinado por los dos vectores para a = 0.(1,5 p)

5) Considera el punto ),,( 023P y la recta de ecuaciones ⎩⎨⎧

=++

=−−+≡

01z2x03zyx

r

a) Halla la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. b) Determina las coordenadas del punto Q, simétrico del P respecto de la recta r.

(2,5 puntos)

Matemáticas II 2º BACHILLERATO

SOLUCIONES

1) 07zyx2 =+−+≡π a) Plano perpendicular a π y que contenga a r Si contiene a r ),,(),,( 311d111P

r→ , su vector de dirección, lo es también del plano

buscado y el punto pertenece al mismo Si es perpendicular a π , su vector normal ),,( 112n −

r, es vector director del plano

buscado, entonces:

02zy7x401z13

1y111x21

=++−≡π→=

−−

−−

≡π ''

b) Para ver si es posible, vemos primero la posición de π y r, ya que para que exista ese plano, r y π tendrían que ser paralelos:

⇒−=λ⇒=+λ+−λ++λ+ 900731112 )()()( paralelos luego, el plano pedido, tiene el mismo vector normal que π 0dzyx2 =+−+→ , para hallar d, sabemos que el plano pasa por 2d0d112111P −=⇒=+−+→),,( Plano: 02zyx2 =−−+

2) a) r y s se cortan, posición relativa: ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=λ+=λ+

−=λ−→

⎪⎭

⎪⎬

⎫

λ=−λ+−=−

λ+=+

43t3t2

a12t

3t42t2121ta

→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

431312

a121A

311221

A ' vemos que 2Ar01221

=⇒≠−

)(

y tiene que ser también ⇒= 2Ar )'( ⇒=−−

0431312

a121 2a010a5 =⇒=+−

b) Para 2a = 1553t224t2

3t212t

=λ⇒=λ⇒⎭⎬⎫

=λ+=λ+−

→⎭⎬⎫

=λ+−=λ−

→

Punto de corte , para ),,( 313P1 −→=λ 3) ),,( 201A − y ),,( 132B −

a) →−=−−−= ),,(),,(),,( 333201132AB

( ) ⇒−−=−== ),,(),,(,, 201ccc111AB31AC 321 ( )110201111C −=−+−= ,,),,(),,(

( ) ⇒−−=−== ),,(),,(,, 201ddd222AB32AD 321 ( )021201222D ,,),,(),,( −=−+−=

b) ),,( 333AB −= y el vector de dirección de la recta: ),,( 111d −r

luego la recta dada es paralela al segmento AB, por lo que el área no depende del punto (la altura del triángulo y la base serían siempre las mismas, hallamos el área por el producto vectorial, cogiendo como punto C ),,( 010→

Matemáticas II 2º BACHILLERATO

=−−== ),,(),,( 211x33321ACxAB

21A

..au1821

1133

1233

2133

21 222

=−−

+−−

+=

4) a)Para que sean perpendiculares el producto escalar debe ser 0.

( ) ( )38a0a380a362a62311 =→=+−→=+−−=−⋅− ,,,,

b) Para que sean paralelos los vectores deben ser proporcionales:

IMPOSIBLE

61b

21b

ta3t61t21

a62t311 →

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−−=

→−=− ),,(),,(

c) Hacemos el p. vectorial: ( )46186211

0231

0631

wxv ,,,, −−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

−−

=rr

3764618wxv 222 =+−+−=→ )()(rr

22t u94u

2376A ==⇒

5) ),,( 023P ⎩⎨⎧

=++

=−−+≡

01z2x03zyx

r ponemos r en paramétricas:

λ+=λ++λ+=→λ−−=→λ= 34213y21xz⎪⎩

⎪⎨

⎧

λ=

λ+=λ−−=

≡→

z34y21x

r ),,( 041A −

a) Punto ),,( 023P , ),,( 132d −r

, ( )024APe ,,−==r

07z4y2x0z126x28y4z40z01

2y233x42

=−−+⇒=−−+−+→=−−−−

≡π

b) Hallamos primero la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r: 0kzy3x2132dn =+++−≡π→−== '),,(

rr, pero sabemos que pasa por P, es decir

que 0zy3x20k0k02332 =++−⇒=⇒=++⋅+⋅− Hallamos la intersección de la recta dada con este plano (punto M) y este M es el punto medio del segmento PQ: ⇒=λ+λ++λ−−− 0343212 )()( 101414 −=λ→=+λ

Luego ),,()),(),(( 1111134121M −=−−+−−− ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++=

20z

22y

23x ,,

⇒−==−=→→ 2z0y1xzyxQ ;;),,( el simétrico es ),,( 201Q −−