matematika res
11
Ponavljanje Gama funkcija Γ(n ) = ∞ 0 x n −1 e −x dx , n > 0 Op ´ cenito, i za negativne n n ! = (n +m )! (n +m )(n +m −1)···(n +1) Integralna reprezentacija C e −z z ν dz = (e 2πi ν − 1)ν ! (Matemati ˇ cke metode fizike II) 10. predavanje 1 / 11
-
Upload
bojan-bogdanovic -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
description
racun reziduuma i zaobilazenje kontura
Transcript of matematika res
-
Ponavljanje
Gama funkcija
(n) =
0
xn1exdx , n > 0
Opcenito, i za negativne n
n! = (n+m)!(n+m)(n+m1)(n+1)
Integralna reprezentacijaC ezzdz = (e2pii 1)!
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 1 / 11
-
Ponavljanje
Beta funkcija
B(m,n) =
10
xm1(1 x)n1dx
B(m,n) = 2
pi/20
cos2m1 sin2n1 d
B(m,n) =
0
yn1dy(1 + y)n+m
B(m,n) =(m)(n)(m + n)
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 2 / 11
-
Specijalne funkcije
Legendreove funkcije
(1 x2)y 2xy + `(`+ 1)y = 0 ()Frobenius: y(x) =
n=0 anx
n
an+2 =[n(n + 1) `(`+ 1)]
(n + 1)(n + 2)an
Opce rjeenjey(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
y1(x) i y2(x) - Legendreove funkcije
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 3 / 11
-
Specijalne funkcije
Legendreovi polinomi
` = 0,1,2, . . .
a`+2 =[`(`+ 1) `(`+ 1)]
(`+ 1)(`+ 2)a` = 0
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 4 / 11
-
Specijalne funkcije
Legendreove funkcije druge vrste
Q`(x) = `y2(x) ili Q`(x) = `y1(x)
` =(1)`/22`[(`/2)!]2
`! za ` parno,
` =(1)(`+1)/22`1{[(`1)/2]!}2
`! za ` neparno.
Opce rjeenje Legendreove jednacine za cjelobrojno ` je
y(x) = c1P`(x) + c2Q`(x)
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 5 / 11
-
Specijalne funkcije
Osobine Legendreovih polinoma
Rodriguesova formula
P` =1
2``!d `
dx`(x2 1)`.
I` = 11
P`(x)P`(x)dx =2
2`+ 1 11
P`(x)Pk (x)dx = 0 za k 6= `
Funkcija generatrisa
G(x , t) = (1 2xt + t2)1/2 =n=0
Pn(x)tn
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 6 / 11
-
Specijalne funkcije
Rekurentne relacije Legendreovih polinoma
P n+1 = xPn + (n + 1)Pn
P n1 = nPn + xP n
(1 x2)P n = n(Pn1 xPn)
(2n + 1)Pn = P n+1 P n1
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 7 / 11
-
Specijalne funkcije
Pridrueni Legendreovi polinomi
(1 x2)y 2xy +[`(`+ 1) m
2
1 x2]y = 0
y(x) = (1 x2) |m|2 d |m|udx |m| , gdje u(x) zadovoljava jednacinu ().
Pm` (x) = (1 x2)m/2dmP`dxm
, Qm` (x) = (1 x2)m/2dmQ`dxm
.
Pm` (x) = (1)m(`m)!(`+ m)!
Pm` (x)
Pm` (x) =1
2``!(1 x2)m/2 d
`+m
dx`+m(x2 1)`
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 8 / 11
-
Specijalne funkcije
Pridrueni Legendreovi polinomi
Ortogonalnost 11
Pm` (x)Pmk (x)dx = 0 za k 6= `
I`m = 11
Pm` (x)Pm` (x)dx =
22`+ 1
(`+ m)!(`m)!
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 9 / 11
-
Specijalne funkcije
Pridrueni Legendreovi polinomi 11
Pm` (x)Pk` (x)(1 x2)1dx = 0 za |m| 6= |k | 1
1Pm` (x)P
m` (x)(1 x2)1dx =
(`+ m)!m(`m)!
PotpunostSvaka funkcija koja zadovoljava Dirichletove uvjete na intervalux (1,1) se moe izraziti kao beskonacna suma Legendreovihpolinoma
f (x) =`=0
a`P`(x)
ili kao beskonacna suma pridruenih Legendreovih polinoma
f (x) =k=0
am+kPmm+k (x)
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 10 / 11
-
Specijalne funkcije
Sferne funkcije
Laplaceova jednacina u sfernim koordinatama 4u = 2u = 0.
()() = Pm` (cos )(C cosm+ D sinm)
` i m su cijeli brojevi takvi da ` m `. Sferni harmonici
Ym` (, ) = (1)m[
2`+ 14pi
(`m)!(`+ m)!
]1/2Pm` (cos )e
im
(Matematicke metode fizike II) 10. predavanje 11 / 11
PonavljanjeSpecijalne funkcije
