MATEMATIKA 2

INTEGRAL

1

FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM

FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM

( ) ( , ) d

c

F x f x y dy ,:[ , ] [ , ]

funkcija dveh spremenljivkf x y

f a b c d

1

0

xyF x xe dy1

01

yxy x

ye e

Kdaj je tako dobljena funkcija zvezna, odvedljiva, integrabilna? Kaj je njen odvod, integral?

ZVEZNOST :[ , ] [ , ]Vzemimo zvezno funkcijo f a b c d

( ) ( , ) , je zvezno odvisna od je definirana za vse d

c

f y F x f x y dy x a b

( , ) ( , ) je zvezno odvisna od za dovolj majhen iz sledi d cf x x x f x y f x y

Predpišimo natančnost ε:

( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d d d d

c c c c

F x F x f x y dy f x y dy f x y f x y dy dyd c

, , , ( ) ( , ) , zvezna na zvezna na d

c

f x y a b c d F x f x y dy a b

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

2

FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM

odvod integrala po parametru

ODVEDLJIVOST

( ) ( ) ( , ) ( , )( , )

d d

xc c

F x h F x f x h y f x ydy f t y dy

h h

( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

d d d d

x x xc c c c

f x h y f x ydy f x y dy f t y f x y dy dy

h d c

, ( ) ( , ) zvezno odvedljiva na odvedljivad

c

f x y x F x f x y dy

( ) ( , ) d

xc

F x f x y dy

, ( , ) ( , ) zvezna za dovolj majhen iz sledi x x x d cf t x f t y f x y

1 33 3

0

( ) ( 1) 1

3 3 3

y

y

x y x xx x

12

0

( ) ( ) F x x y dy 1

0

1( ) 2( )

2 F x x y dy

x

12

0

12

112

1

0

y

y

y ydy y

x x x

1

3

112

xx

x

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

3

FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM

INTEGRABILNOST

Primerjajmo funkciji

posebej: G1(b)=G2(b)

zamenjava vrstnega reda integriranja

( ) ( , ) zvezna zvezna integrabilnad

c

f F x f x y dy

1 2( ) ( , ) ( ) ( , ) in t d d t

a c c a

G t f x y dy dx G t f x y dx dy

1( ) ( , ) d

c

G t f t y dy 2 ( ) ( , ) d

c

G t f t y dy 1( ) 0G a 2 ( ) 0G a

G1=G2

( , ) ( , ) b d d b

a c c a

f x y dy dx f x y dx dy

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

4

FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM

22 1 2 3 22 2

1 0 1 1

1( )

3 2

2

63 3

5

x

x

x x xx y dy dx x x dx

1 22

0 1

( ) x y dx dy

21 132

0 01

13 2

0

) 73

25

2 3 6

3 3

3 7

3

(

x

x

y

y

x ydy y y dx

y y y

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

5

FUNKCIJE DEFINIRANE Z INTEGRALOM

Formula o zamenjavi vrstnega reda integriranja velja tudi za funkcije f(x,y), ki so nezvezne v nekaj točkah ali celo vzdolž neke gladke krivulje.

( , )0

za za

nezvezna vzdolž premice

x x yf x y

x y

y x

11 1 1 1 1 3

00 0 0 0 0 0 0

1

3( , )

32

xy x

y

xf x y dy dx x dy dx xy dx x dx

1 11 1 1 1 1 12 3

0 0 0 0 0 0

1( , )

2 2 6

1

3

2

2

x

y x y

x y y yf x y dx dy x dx dy dy dy

0 1

1

( , )f x y x

( , ) 0f x y

b

ad

c

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

6

DVOJNI INTEGRAL

DVOJNI INTEGRAL

Prostornino pod ploskvijo ocenimo s kvadri. Pravokotnik [a,b]x[c,d] razdelimo na mrežo manjših pravokotnikov. Vsota prostornin včrtanih kvadrov je manjša, vsota prostornin očrtanih kvadrov pa večja od prostornine pod ploskvijo.

y

x

z

Δxi

Δyj

mij,Mij : natančna spodnja in zgornja meja f(x,y) na pravokotniku [xi-1,xi]×[yi-1,yi]

Δxi= xi – xi-1, Δyj= yj – yj-1

1 1

( , )n m

ij i ji j

S f D m x y

spodnja integralska vsota funkcije f pri delitvi D zgornja integralska vsota funkcije f pri delitvi D

1 1

( , )n m

ij i ji j

Z f D M x y

ijmijM

[ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]

Skupno limito imenujemo funkcije

na območju in označimo z

dvojni integral

a b c d

f

a b c d f

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

7

DVOJNI INTEGRAL

spodnji integral funkcije f

( ) sup ( , )S f S f Dzgornji integral funkcije f

( ) inf ( , )Z f Z f D

Funkcija f je integrabilna, če je S( f) = Z( f).

Vedno je S( f) ≤ Z( f).

Zvezne funkcije so integrabilne.Integrabilne so tudi funkcije, pri katerih je množica točk nezveznosti majhna, npr. če so nezvezne le v nekaj točkah, ali pa vzdolž neke gladke krivulje.

y

x

z

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

8

DVOJNI INTEGRAL

Dvojni integral je enak dvakratnemu.

[ , ] [ , ]

( , ) a b c d

b d

a c

ff x y dy dx

,

( ) ,

.

Prostornina pod grafom je enaka

kjer je ploščina prereza na nivoju

b

a

z f x y

P x dx

P x x

, : ( ) ( , ) je ploščina pod grafom funkcije d

c

P x y f x y P x f x y dy

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

9

DVOJNI INTEGRAL

[1,3] [0,1]

21

x yy

31 3 1 12

2 2 20 1 0 01

12

0

1 4 2

1 1 2 1

4arctg ln(1 ln) 2

x

x

x y x ydx dy xy dy dy

y y y

y y

13 1 32

201 0 1

33 2

1 1

1arctg ln(1 )

1 2

1 ln 2ln 2

4 2 8 2ln 2

y

y

x ydy dx x y y dx

y

x xx dx

21

x yz

y

MATEMATIKA 2

INTEGRAL

10

DVOJNI INTEGRAL

Polovico valja presekamo z ravnino. Določi prostornino dobljenega telesa

2 2

u r x

u du x dx

r

h

x

y

z

r

rr

enačba ravnine: h

z xr

hz x

r

0z

2. možnost:

2 22 2

2 22 2

2

0 0

32 2 2

2

0 0

2

2

3 3

r y

r y

x r yr r

x r y

rr

h h xV x dx dy

r

dyr r

h h yr y dy r y

rh

r

2 22 2

00

02 2 2 2 2

0

22 2 2

3

r yr rx r y

xr r

r r

r r

h hV x dy dx xy dx

r r

h h hx r x dx x r x dx u du

r r rr h