Sekante - Tangente

P(x0/f(x0)

Q(x0+Δx/f(x0+ Δx))

Sekan

te

Tangente

Δx

Δy

Δx

Δx

P

QQ wandert gegen PSekante wird zur Tangente

Δx

Δy

P

QSteigungsdreieck

Δx

Δy

P

Q

Steigungsdreieck

Δx

ΔyP

Q

Steigungsdreieck

Δx geht gegen Null!!!

0

0

x

y???

x

yk

eigungSekantenst

Tangentensteigung

Δx

Δy

Δx

Δy

P

Δx

Δy

P(x0/f(x0))

Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx))

Sekan

te

Tangente

f(x 0

+ Δ

x)

f(x 0

)

Δx

x

yk

eigungSekantenst

x

xfxxfk

)()( 00

x0

P(x0/f(x0))

Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx))

Sekan

te

Tangente

f(x 0

+ Δ

x)

f(x 0

)Δx

eigungSekantenst

x

xfxxfk

)()( 00

x0

dx

dy

x

xfxxf

)()( 00

0xlimk

teigungTangentens

Einführung der Differentialrechnungvon G.W. Leibniz

• Trick: Δx ist nicht gleich Null

• Δx geht gegen Null!!!• So wird vermieden, dass der Nenner des

Bruches Δy/Δx Null wird.

• Berechnung der Tangentensteigung

G.W. Leibniz1646 - 1716

Einführung der Differentialrechnungvon Isaac Newton

• Entwickelt die Differentialrechnung ausgehend vom Problem der Momentangeschwindigkeit

• Gleichförmige Bewegung:

v = s/t = konstant

• Ungleichförmige Bewegung:

Durchschnittliche Geschwindigkeit

I. Newton1643 - 1727

enzZeitdiffer

nzWegdiffere

t

sv

„Differenzenquotient“

Anstieg der Tangente = Momentangeschwindigkeit

Zeit t

Weg

s

Δt

Δs

Anstieg der Sekante:Durchschnittsgeschwindigkeit

enzZeitdiffer

nzWegdiffere

t

sv

t

sv

t

lim

0

Anstieg der Tangente=Momentangeschwindigkeit:

Definition der Momentangeschwindigkeit

)(')(')()(

limlim 00

00tfts

dt

ds

t

tfttf

t

sv

tt

Die Funktion f: R→R, s=f(t) beschreibt die Abhängigkeit des Weges von der Zeit t.Der folgende Grenzwert ergibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0:

t0 t0+Δt

f(t0)

f(t0+Δt)

Zeit t

Weg

s

Δt

Δs

0← Δt

t

sv

t

lim

0

Kurvendiskussion

• Spezielle Punkte der Kurve sind

• Nullstellen: y = 0

Schnittpunkte mit der x-Achse

• Extremstellen: Lokale Maxima und Minima

• Wendepunkte

Lokales Maximum

Monoton steigend Monoton fallend

Tangentensteigungpositiv

Tangentensteigungnegativ

Tangentensteigung Null

Tangentensteigung nimmt ab

y‘=0

y‘‘<0

Lokales Minimum

Tangentensteigung Null

TangentensteigungNegativMonoton fallend

TangentensteigungPositivMonoton steigend

Tangentensteigung nimmt zu

y‘=0

y‘‘>0

Wendepunkt

Tangentensteigungnimmt ab

Tangentensteigung nimmt zu

y‘‘<0 y‘‘>0

Rechtskurve Linkskurve

y‘‘=0

Positive KrümmungNegative Krümmung

Weil sich im Bereich von W die Krümmung (y‘‘) ändert, ist y‘‘‘≠ 0