Lycée Bilingue de Kribi Année Scolaire 2012 - 2013Département de Mathématiques Classe de Première C

Devoir surveilléEpreuve de Mathématiques

Durée : 2 heuresEXERCICE 1 (5,5 points)

1. a) Démontrer que, pour tout x ∈]0;π

2[ ; tanx =

1− cos 2xsin 2x

1,5 pt

b) En déduire les valeurs exactes de tanπ

8et tan

π

12. 1 pt

2. ABC est un triangle non rectangle.a) Démontrer que tan(A + B) = − tanC. 1 pt

b) Démontrer que tan(A + B) =tanA + tanB

1− tanA · tanB1 pt

c) Déduire de tout ce qui précède que : tanA + tanB + tanC = tan A · tanB · tanC 1 ptEXERCICE 2 (1,5 point)Sur un cercle trigonométrique C, on considère les points A et B tels que :

Mes(−→OI,

−→OA) =

7π

8et Mes(

−→OI,

−−→OB) = −3π

5Déterminer la mesure principale des angles suivants :

(−→OA,

−→OJ) ; (

−→OJ,

−−→OB) ; (

−−→OB,

−→OA) 1,5 pt

EXERCICE 3 :(3 points)1. Placer dans un repère les points A(1, 2), B(-3, 4) et C(-2, 5). 1 ptSoit G le barycentre des points pondérés (A, 3), (B, 2) et (C, -4).2. Quelles sont les coordonnées de G ? Placer G. 1 pt3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? (Justifier) 1 pt

http://arthurjorge.unblog.fr Décembre 2012 Page 1/4

CORRECTIONEXERCICE 1

1. a) Démontrons que pour tout x ∈]0;π

2[ ; tanx =

1− cos 2x

sin 2x

1− cos 2x

sin 2x=

cos2 x + sin2 x− (cos2 x− sin2 x)2 cos x sinx

=cos2 x + sin2 x− cos2 x + sin2 x

2 cos x sinx

=2 sin2 x

2 cos x sinx

=����2 sinx sinx

����2 sinx cos x

=sinx

cos x= tanx

b) Déduisons les valeurs exactes de tanπ

8et tan

π

12

tanπ

8=

1− cos 2(π

8)

sin 2(π

8)

=1− cos

π

4sin

π

4

=1−

√2

2√2

2

=

2−√

2�2√2

�2

=2−

√2√

2

=2−

√2√

2×√

2√2

= �2√

2− �2�2

=√

2− 1

http://arthurjorge.unblog.fr Décembre 2012 Page 2/4

tanπ

12=

1− cos 2(π

12)

sin 2(π

12)

=1− cos

π

6sin

π

6

=1−

√3

212

=

2−√

3�21�2

=2−

√3

1= 2−

√3

2. ABC est un triangle non rectangle.a) Démontrons que tan(A + B) = − tanC.

ABC étant un triangle on a la relation suivante : A+B+C=π d’où A+B=π-C. Ainsi,

tan(A + B) = tan(π − C)

=sin(π − C)cos(π − C)

=sinC

− cos C

= − sinC

cos C= − tanC

b) Démontrons que tan(A + B) =tanA + tanB

1− tanA · tanB

tanA + tanB

1− tanA · tanB=

sin Acos A + sin B

cos B

1− sin Acos A ·

sin Bcos B

=sin A cos B+sin B cos A

(((((cos A cos B

cos A cos B−sin A sin B(((((cos A cos B

=sinA cos B + sinB cos A

cos A cos B − sinA sinB

=sin(A + B)cos(A + B)

= tan(A + B)

c) Déduisons que : tanA + tanB + tanC = tanA · tanB · tanC

2.a) et 2.b) nous montrent quetanA + tanB

1− tanA · tanB= − tanC. Ainsi on a :

tanA + tanB

1− tanA · tanB= − tanC ⇐⇒ tanA + tanB = − tanC(1− tanA · tanB)

⇐⇒ tanA + tanB = − tanC + tanA · tanB · tanC)⇐⇒ tanA + tanB + tanC = tan A · tanB · tanC

http://arthurjorge.unblog.fr Décembre 2012 Page 3/4

EXERCICE 2

Mes(−→OI,

−→OA) =

7π

8et Mes(

−→OI,

−−→OB) = −3π

5

(−→OA,

−→OJ) = (

−→OA,

−→OI) + (

−→OI,

−→OJ)

= − (−→OI,

−→OA) + (

−→OI,

−→OJ)

donc Mes(−→OA,

−→OJ) = −Mes

(−→OI,

−→OA) + Mes

(−→OI,

−→OJ)

Ainsi, Mes(−→OA,

−→OJ) = −7π

8+

π

2= −3π

8

(−→OJ,

−−→OB) = (

−→OJ,

−→OI) + (

−→OI,

−−→OB)

= − (−→OI,

−→OJ) + (

−→OI,

−−→OB)

donc Mes(−→OJ,

−−→OB) = −Mes

(−→OI,

−→OJ) + Mes

(−→OI,

−−→OB)

Ainsi, Mes(−→OJ,

−−→OB) = −π

2− 3π

5= −11π

10

(−−→OB,

−→OA) = (

−−→OB,

−→OI) + (

−→OI,

−→OA)

= − (−→OI,

−−→OB) + (

−→OI,

−→OA)

donc Mes(−−→OB,

−→OA) = −Mes

(−→OI,

−−→OB) + Mes

(−→OI,

−→OA)

Ainsi, Mes(−−→OB,

−→OA) = −3π

5+

7π

8=

11π

40

EXERCICE 32. Trouvons les coordonées de G.

xG =3× 1 + 2× (−3)− 4× (−2)

3 + 2− 4=

51

= 5

yG =3× 2 + 2× 4− 4× 5

3 + 2− 4= −6

1= −6

Ainsi on a G(5 ;-6)3. On constate à travers la figureque le point O n’appartient pas à la droite (BG). Justifions-le.Pour cela, nous devons montrer que les points B,O et G ne sont pas alignés.−−→OB(−3; 4) et

−−→OG(5;−6)

det(−−→OB,

−−→OG)=-3×(-6)-4×5=18-20=-2.

Donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires et par conséquent les points B,O et G ne sont pas alignés.

http://arthurjorge.unblog.fr Décembre 2012 Page 4/4