Los Hypernaturales

Dado que ω,ℤ y ℚ son subconjuntos infinitos de ℝ entonces cuando pasamos a loshyperreales cada uno tiene elementos no estandard. Veremos algunas de suspropiedades, empezando por ω por supuesto.

Usando transferencia tenemos que:

Proposición 1 a ω∗ es un monoide con + y semigrupo con ⋅b 0 es el menor de todos los hypernaturales

c Para todo n ∈ ω∗ no hay m ∈ ω∗ tal que n < m < n + 1

d Si n ∈ ω∗ y n ≠ 0 entonces n − 1 ∈ ω∗

Usando b y c obtenemos que todos los naturales no estandard son ilimitados, puescualquiera debe ser mayor que todos los naturales estandar. Es facil ver que alponerle asteriskito a omegita ha perdido todo lo bueno que era:

Proposición 2 ω∗ ∉ COBO

Tenemos que ω∗ − ω es no vacio pero por d no tiene minimo

Proposición 3 Sea a > 0, entonces Gala ∩ ω∗ ≠ ∅

Por transferencia sabemos que a ∈ ω∗ y tambien que 0 ≤ a − a < 1 por lo quea ∈ Gala

...A que no se esperaban esto!!! como hay hypernaturales en todas las galaxias queestan adelante de Milkyway tenemos que:

Corolario 1 |ω∗ | = |ℤ∗ | = |ℚ∗ | = 2ℵ0

Así hay tantos hyperreales como hypernaturales!!!!! además tambien tenemosque:

Corolario 2 Sea N ∈ ω∗ − ω entonces |0, 1, 2, 3, . . . , N| = 2ℵ0

Entre Milkyway y el Sneaker de N hay 2ℵ0 galaxias, y cada una tiene un natural,por lo que tenemos lo que queriamos probar

Tomemos N ∈ ω∗ − ω entonces GalN ∩ ω∗ = N − 2, N − 1, N, N + 1, N + 2, . . . por lo que GalN ∩ ω∗ ≅ ℤ. Así concluimos que:

Proposición 4 ω∗ ≅ ω ∘ G | G es una galaxia de numeros positivos ×ℤ

Por lo que ω∗ empieza como ω y luego son muchas copias de ℤ ordenadasdensamente.

Sabemos que ℝ es un campo arquimediano, sin embargo ℝ∗ no lo es. Pero comola formulita ∀x∃n ∈ ωx < n es cierta en ℝ entonces tambien lo es en ℝ∗ locual quiere decir que todo hyperreal es más chiquito que un hypernatural. Aesto a veces se le llama "principio hyperarquimideano".

Es gracioso que podemos demostrar el principio arquimideano a partir delas propiedades de los hypernaturales:

Proposición 5 La existencia de un natural no estandard implica el principi o

arquimideano

Sea r ∈ ℝ tenemos que ver que hay un natural mayor que el. TomemosN un natural no estandard. Sea αx = x ∈ ω ∧ r < x como N es ilimitado tenemosque N cumple α, pero por transferencia universal hay un real que cumple laformula.