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DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung Die komplexe Logarithmus-Funktion Abbildung: Riemannsche Fläche - Bild der Exponential-Funktion DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung D IE KOMPLEXE E XPONENTIALFUNKTION Die e-Funktion ist im Komplexen 2 π i-periodisch und deshalb nicht injektiv, denn für C z = x + iy, x, y ∈ R und k ∈ Z ist e z+2 k π i = e x (cos(y + 2 k π)+ i sin(y + 2 k π)) = e x (cos y + i sin y)= e z . Schränkt man die e-Funktion allerdings auf den Streifen S := R × [0, 2 π) ein, dann ist diese Funktion bijektiv und man kann eine Umkehrfunktion Ln : C \{0}→ S definieren.
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DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
Die komplexe Logarithmus-Funktion
Abbildung: Riemannsche Fläche - Bild der Exponential-Funktion
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION
Die e-Funktion ist im Komplexen 2π i-periodisch und deshalbnicht injektiv, denn für C 3 z = x + iy, x, y ∈ R und k ∈ Z ist
ez+2 kπ i = ex (cos(y + 2 k π) + i sin(y + 2 k π))
= ex (cos y + i sin y) = ez.
Schränkt man die e-Funktion allerdings auf den StreifenS := R× [0, 2π) ein, dann ist diese Funktion bijektiv und mankann eine Umkehrfunktion
Ln : C \ {0} 7→ S
definieren.
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION
Wir suchen dazu zu gegebenem 0 6= w ∈ C die Lösungen derGleichung
ex ei y = ex+i y = ez = w = |w| ei arg(w), arg(w) ∈ [0, 2π) in S.
Bildet man den Betrag, so folgt zunächst
ex = |w|, also x = ln |w| und y = arg(w) + 2 k π, k ∈ Z.
Dabei ist nur für k = 0 das y ∈ [0, 2π) und x ∈ R ist ebenfallseindeutig bestimmt, d. h. die komplexe Logarithmusfunktionist durch ihren Hauptzweig
z = Ln w = ln |w|+ i arg(w)
eindeutig definiert.
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
KONSEQUENZEN FÜR DIE PARTIALBRUCHZERLEGUNG
Ableitungen und Stammfunktionen zu komplexen Funktionenwerden erst in der Vorlesung Funktionentheorie definiert. Wirbenutzen daraus das dort gewonnene Resultat
ddz
Ln (z− z0) =1
z− z0, z, z0 ∈ C.,
d. h. Ln (z− z0) ist eine Stammfunktion zu 1z−z0
.Der Beweis erfolgt ähnlich wie im Reellen. Die Ableitung derExponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst(Unendliche Reihe). Der Rest folgt aus der Formel für dieAbleitung der Umkehrfunktion.
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
FORMEL FÜR DIE PARTIALBRUCHZERLEGUNG
Für reelles z = x, z0 = x0 + iy0 ∈ C erhält man nun zunächst(für x− z0 im ersten Quadranten)∫
dxx− z0
= ln |x− z0|+ i arg(x− z0)
= ln√
(x− x0)2 + y20 + i arccot
x− x0
−y0
= ln√
(x− x0)2 + y20 + i
(π
2− arctan
x− x0
−y0
)
= ln√
(x− x0)2 + y20 + i arctan
x− x0
y0.
Hierbei ist iπ/2 eine komplexe Integrationskonstante, die manauch weglassen kann. Weitere verschiedeneIntegrationskonstanten erhält man, wenn man in den anderenQuadranten arg(x− z0) durch arctan-Terme ausdrückt.
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BESTÄTIGUNG DER FORMELJetzt, da wir die Herkunft der Formel kennen, können wir dieseals vom Himmel gefallen betrachten und deren Richtigkeitdurch Ableiten im Reellen nachweisen:
ddx
(ln√
(x− x0)2 + y20 ± i arctan
x− x0
y0
)
=1√
(x− x0)2 + y20
· 1
2√
(x− x0)2 + y20
· 2(x− x0)
±i1
1 +(
x−x0y0
)2 ·1y0
=x− x0
|x− z0|2± i
y0
|x− z0|2=
x− (x0 ∓ i y0)
(x− z0)(x− z0)
=
{1
x−z0für +
1x−z0
für −
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POLYNOME MIT REELLEN KOEFFIZIENTEN
Konjugiert komplexe Nullstellen
Satz
1. Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten ist mit jeder echtkomplexen Nullstelle z0 auch die konjugiert komplexe Zahl z0Nullstelle.
2. Bei der Partialbruchzerlegung einer echt gebrochen rationalenFunktion gehören zu konjugiert komplexen Nullstellenkonjugiert komplexe Koeffizienten, d. h. mit jedem Term A
(x−z0)n
tritt auch der Term A(x−z0)n auf.
Beweis: Übungsaufgabe (Man konjugiere dieProduktzerlegung bzw. die Partialbruchzerlegung.)
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
RÜCKKEHR INS REELLE — EINFACHE NULLSTELLENMit A = a + i b und z0 = x0 + i y0 ist∫ (
Ax− z0
+A
x− z0
)dx = (a + i b)
(ln |x− z0|+ i arctan
x− x0
y0
)
+ (a− i b)
(ln |x− z0| − i arctan
x− x0
y0
)
= 2 a ln√
(x− x0)2 + y20 − 2 b arctan
x− x0
y0
= a ln(
(x− x0)2 + y20
)− 2 b arctan
x− x0
y0
Beispiel:Für A = z0 = 1 + i, also a = b = x0 = y0 = 1, ist
∫2x− 2
x2 − 2x + 2dx = ln(x2 − 2x + 2)− 2 arctan(x− 1).
DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION DIE KOMPLEXE LOGARITHMUSFUNKTION Konsequenzen für die Partialbruchzerlegung
RÜCKKEHR INS REELLE — MEHRFACHE
NULLSTELLENMit A = a + i b und z0 = x0 + i y0 und 1 < k ∈ N ist∫ (
A(x− z0)k +
A(x− z0)k
)dx =
11− k
(A
(x− z0)k−1 +A
(x− z0)k−1
)
=1
1− kA (x− z0)k−1 + A (x− z0)k−1
|x− z0|2(k−1)
=1
1− k2 Re
(A (x− z0)k−1)
|x− z0|2(k−1)
Beispiel:Für A = z0 = 1 + i, also a = b = x0 = y0 = 1, und k = 2 ist
∫2x2
(x2 − 2x + 2)2 dx =2x− 4
x2 − 2x + 2
