Le spectre de Fucik des operateurs laplacien etp-laplacien

Mabel Cuesta Leon∗

Departement de Mathematique, Universite Libre de BruxellesCampus Plaine C.P. 214, B–1050 Bruxelles, Belgique

1 Introduction

Le spectre de Fucik du laplacien −∆ dans H10 (Ω), etant Ω un ouvert borne de RN , est

l’ensemble Σ des paires (λ+, λ−) ∈ R2 tels que −∆u = λ+u+ − λ−u− dans Ω

u = 0 sur ∂Ω.(1.1)

a une solution non triviale. Ici u+ = maxu, 0 et u− = (−u)+. Si 0 < λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ . . .designent les valeurs propres de −∆ dans H1

0 (Ω) alors Σ contient les points (λk, λk) pourtout k ≥ 1.Cet ensemble fut introduit par S.Fucik dans les annees 70 suite aux travauxd’Ambrosetti et Prodi sur l’existence de solutions de l’equation

(∗)

−∆ = f(u) + h dans Ω

u = 0 sur ∂Ω.

pour des non-linearites f qui ont un comportement asymetrique a l’infini, c-a-d.

a = limξ→+∞

f(ξ)

ξ6= lim

ξ→−∞

f(ξ)

ξ= b,

et qui “chevauchent” la premiere valeur propre, c-a-d. que si a < b alors

a < λ1 < b < λ2.

Ces auteurs ont montre que suivant la fonction h ∈ C(Ω), l’equation (*) peut avoir une,deux ou aucune solution. En etudiant le probleme “modele” −u

′′ = au+ − bu− + h

u(0) = u(π) = 0

∗Research supported in part by the European Community Contract ERBCHRXCT940555.

1

Fucik observa que la resolution des problemes (*) avec des non-linearites asymetriquesdepend fortement de la position de (a, b) par rapport au spectre Σ au lieu de dependredu spectre usuel. Il montra que dans le cas N = 1, Σ est compose d’une suite de courbespassant par les points (λk, λk). Plusieurs auteurs se sont ensuite penches sur l’etudedes proprietes topologiques de ce spectre ainsi comme sur les problemes de resonance etnon-resonance relatifs a celui-ci. Malgre les progres faits, beaucoup de questions restentouvertes comme par exemple la determination complete de l’ensemble Σ en dimensionN > 1 et la caracterisation variationnelle des valeurs (λ+, λ−) ∈ Σ.

Ce travail comporte trois parties. Dans 2eme Section nous etudions la premierecourbe du spectre de Fucik du point de vue variationnelle. Dans la 3eme Section nousetudions un probleme de resonance par rapport au spectre de Fucik d’une equation dudeuxieme ordre avec des conditions periodiques au bord. Dans la 4eme Section nousparlerons du spectre de Fucik du p−laplacien.

2 Sur la premiere courbe du spectre de Fucik

Nous allons decrire dans ce paragraphe une caracterisation variationnelle de la premierecourbe du spectre de Fucik du laplacien −∆ en dimension N ≥ 1 , avec des conditions deDirichlet sur le bord. Une partie du travail que nouspresentons ici a ete faite en collabo-ration avec D.DeFigueiredo, J.-P.Gossez et B.Ruf.

Soit Ω un domaine borne regulier de RN , N ≥ 1. On considere l’espace de SobolevH1

0 (Ω) muni de la norme usuelle

‖u‖ = (∫

Ω|∇u|2dx)1/2.

On notera par (·, ·) le produit scalaire dans L2(Ω) et par < ·, · > le produit scalaire dansla dualite H1

0 (Ω), H−10 (Ω).

Suivant la notation introduite dands (1.1), si λ1 < λ2 < λ3 < . . . designent les valeurspropres distinctes de −∆ dans H1

0 (Ω) il est clair que Σ definit en (1.1) contient les droitesλ1 ×R,R×λ1 ainsi que les points (λk, λk) pou k ≥ 1. Il n’existe pas une descriptiontotale de Σ comme dans le cas N = 1. D’apres les travaux de [K] et [G-K] on sait que parles points (λk, λk) passe (au moins) une courbe de points de Σ qui est contenue dans le rect-angle [λk−1, λk+1]2, k ≥ 2. (voir aussi [MAG]). En combinant ces resultats avec le resultatde Dancer [DA] sur l’isolement dans Σ des droites λ1×R et R×λ1 , il est possible d’endeduire l’existence d’une premiere courbe dans Σ passant par (λ2, λ2) s’etendant a l’infini.

Dans un travail recent De Figueiredo et Gossez caracterisent par une methode varia-tionnelle cette premiere courbe C1 du spectre. Cette courbe apparaıt comme la partie deΣ vue de (λ1, λ1). Plusieurs proprietes de C1 sont obtenues par ces auteurs comme, parexemple, la monotonie et le comportement asymptotique. Nous utiliserons ces resultatsque nous resumons dans le paragraphe 2.1.

2

La nouvelle caracterisation de C1 que nous obtenons est grosso modo la suivante.Etant fixe µ ≥ 0 tracons une droitey = x− µ parallele a la diagonale. Notons le point deC1 appartenant a cette droite par (λ+ µ, λ). L’equation (1.1) s’ecrit, pour ce point, sousla forme −∆u− µu+ = λu dans Ω

u = 0 sur ∂Ω.(2.1)

La valeur λ est donc une valeur critique de la fonctionnelle associee a (2.1)

Iµ(u) =∫

Ω|∇u|2dx− µ

∫Ωu2

+dx

restreinte a la variete M = u ∈ H10 (Ω);

∫Ω u

2dx = 1. La valeur λ peut etre alors obtenuecomme une valeur du type “mountain pass” entre un minimum global de Iµ sur M , et unminimum local. Un argument de compacite (proposition (2.5)) nous permettra d’etablirle caractere “strict” du minimum local. La proposition principale (2.6) nous donne lanouvelle caracterisation de C1.

Un resutlat analogue a celui que nous presentons ici a ete obtenue par De Figueiredoet Ruf [DF-R] pour la premiere courbe du spectre de Fucik du laplacien −u′′ en dimension1 avec des conditions periodiques au bord. Leur methode est basee sur l’invariance partranslations de la fonctionnelle associee a leur probleme. Ils utilisent alors des famillesde deformations equivariantes, a valeurs dans M , de la sphere de R×Ck avec k ≥ 1. Lacaracterisation ainsi obtenue pour la premiere courbe du spectre de Fucik (cas periodique)est de meme nature que celle que nous donnons ici.

2.1 La premiere courbe obtenue par DeFigueiredo-Gossez

Le resultat suivant, du a De Figueiredo et Gossez [DF-G] caracterise d’une maniere vari-ationnelle la premiere courbe C1 du spectre Σ de la forme suivante.Soit ϕ1 la fonction propre positive associee a λ1 ayant une norme L2 egale a 1. La car-acterisation (1.1) ci-dessous est motivee par le fait suivant. Si on multiplie (1.1) par ϕ1

et on integre par parties, on trouve

(λ+ − λ1)∫

Ωu+ϕ1dx− (λ− − λ1)

∫Ωu−ϕ1dx = 0.

D’autre part, si on multiplie (1.1) par u et on integre par parties il vient∫Ω|∇u|2dx = λ+

∫Ωu2

+dx+ λ−

∫Ωu2−dx.

Cela amene a considerer, pour r > 0, les ensembles

Nr = u ∈ H10 (Ω);

∫Ω u+ϕ1dx = r

∫Ω u−ϕ1dx

Mr = u ∈ H10 (Ω);

∫Ω(u2

+ + ru2−)dx = 1.

3

On definit maintenant

λ+(r) = λ1 + inf∫

Ω |∇u|2dx− λ1

∫Ω u

2dx; u ∈Mr ∩Nrλ−(r) = λ1 + r(λ+(r)− λ1).

(2.2)

La proposition suivante est demontree dans ([DF-G]).

Proposition (2.1). (i) Le point (λ+(r), λ−(r)) est la premiere intersection avec Σ de ladroite de pente r passant par (λ1, λ1).(ii) L’infimum en (2.2) est atteint en u ∈ Mr ∩ Nr ssi u est une solution (non triviale)normalisee del’equation (1.1).

Ici, la normalisation signifie u ∈Mr.Remarque (2.2). La proposition (2.1) est une generalisation au cas asymetrique (r 6= 1)d’un resultat classique du cas symetrique (r = 1). Dans ce cas(λ+(1), λ−(1)) = (λ2, λ2)et λ2 satisfait

λ2 = inf

∫Ω |∇u|2dx∫

Ω u2dx

u ∈ H10 (Ω) \ 0,

∫Ωuϕ1dx = 0

Citons quelques proprietes de C1 demontrees dans :

Proposition (2.3). C1 est une courbe continue, strictement decroissante et symetriquepar rapport a la diagonale.

Proposition (2.4). (i) limr→+∞

λ+(r) = λ1, (ii)limr→0

λ−(r) = λ1.

Proposition (2.5). (i) limr→0

λ+(r) = +∞, (ii) limr→+∞

λ−(r) = +∞.

Ce dernier resultat est equivalent au principe d’isolement dans Σ des droites λ1×Ret R×λ1 du a Dancer ([DA]).

2.2 Formulation variationnelle. Theoreme du col.

Ecrivons les points (λ+, λ−) ∈ Σ sous la forme (λ + µ, λ). Alors un point (µ + λ, λ) ∈ Rappartient a Σ ssi il existe une solution non triviale de l’equation −∆u− µu+ = λu dans Ω

u = 0 sur ∂Ω(2.3)

Pour µ ∈ R fixe, les points (µ+ λ, λ) fournissant une solution non triviale u ∈ H10 (Ω) de

(2.3) sont donc les points d’intersection de la droite y = x − µ avec Σ. Compte tenu dela symetrie de Σ (par rapport a la diagonale) nous allons nous restreindre dans la suiteau cas µ ≥ 0.

4

On introduit la fonctionnelle Iµ : H10 (Ω) → R definie par Iµ(u) =

∫Ω |∇u|2dx −

µ∫

Ω u2+dx µ ≥ 0 etant fixe.

Iµ est de classe C1 et sa derivee de Frechet en u ∈ H10 (Ω) est

< I ′µ(u), v >= 2∫

Ω∇u · ∇v dx− 2µ

∫Ωu+v dx.

Notons par M = u ∈ H10 (Ω);

∫Ω u

2dx = 1. Les solutions u de (2.3) sont donc lesmultiples des points critiques de la fonctionnelle Iµ restreinte a la variete M . La valeurλ apparaıt alors soit comme le multiplicateur de Lagrange provenant de la contrainte Msoit comme la valeur critique correspondante de Iµ. Cette derniere affirmation suit de(2.3) en prenant v = u ce qui donne

Iµ(u) =1

2< I ′µ(u), u >= λ

∫Ωu2dx = λ

si u ∈M . Dans ce qui suit on notera Iµ la fonctionnelle Iµ restreinte a M .

Rappelons qu’une fonctionnelle φ : H10 (Ω) → R de classe C1 satisfait la condition de

(P.S) sur M ssi quel que soient (un) une suite dans M et (λn) une suite dans R tels qu’ilexiste c > 0, εn > 0, εn ∈ R et lim

n→∞εn = 0 tels que

(PS1) |φ(un)| ≤ c ∀n ∈ N ,(PS2) | < φ′(un), v > −λn(un, v)| ≤ εn‖v‖ ∀ v ∈ H1

0 (Ω)alors (un) possede une sous-suite convergente dans H1

0 (Ω).Nous allons montrer tres briefment que la fonctionnelle Iµ satisfait les conditions du

theoreme du “col de montagne” ou, plus precisement, une version de ce theoreme pourdes fonctionnelles restreintes a la variete M . Il existe des versions plus generales de cetheoreme sur des varietes de Finsler (voir [ST]) qui peuvent s’adapter a notre cas.

Theoreme du col de montagne. Soit φ ∈ C1(H10 (Ω),R une fonctionnelle satisfaisant

la propriete de (P.S) sur M . Supposons qu’il existe u0, u1 ∈M et ε > 0 tels que(MP1) ‖u1 − uo‖ > ε(MP2) maxφ(u0), φ(u1) < infφ(u); ‖u− u0‖ = ε, u ∈MAlors la valeur

c = infh∈Λ,u∈h([−1,1])

φ(u)

ou Λ = h : [−1, 1]→M ;h est continue,h(−1) = u0 et h(1) = u1 est une valeur critiquede la fonctionnelle φ restreinte a M . De plus c > maxφ(u0), φ(u1)). Il est facile deprouver que Iµ satisfait la condition de (P.S) sur M .

2.3 Etude des minima de Iµ

Nous commencons par l’etude des minima de Iµ. On dit qu’un point u0 ∈ M est unminimum local de la fonctionnelle Iµ : M → R ssi il existe ε > 0 tel que

Iµ(u0) ≤ Iµ(u) ∀u ∈ B(ε, u0) ∩M

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ou B(ε, u0) = u ∈ H10 (Ω); ‖u− u0‖ < ε. Le minimum local u0 est strict si, en plus

Iµ(u0) 6= Iµ(u) ∀u ∈ B(ε, u0) ∩M

ou B0(ε, u0) = B(ε, u0)\u0. Les minima locaux de Iµ sont, trivialement, des pointscritiques de Iµ.

Lemme (2.6). La fonctionnelle Iµ a un minimum global en u = ϕ1 avec

Iµ(ϕ1) = λ1 − µ

De plus, ϕ1 est un minimum global strict.

Demonstration. Pour tout u ∈M nous avons, par l’inegalite de Poincare

Iµ(u) ≥ λ1

∫Ωu2dx− µ

∫Ωu2

+dx ≥ λ1 − µ.

Pour u = ϕ1 on a Iµ(ϕ1) = λ1 − µ.Donc

minu∈M

Iµ(u) = λ1 − µ.

Par ailleurs, si Iµ(u) = λ1 − µ, alors, de (2.3) on deduit∫Ω|∇u|2dx− µ

∫Ωu2

+dx = λ1

∫Ωu2dx− µ

∫Ωu2dx

ou encore ∫Ω|∇u|2dx− λ1

∫Ωu2dx+ µ(

∫Ωu2dx−

∫Ωu2

+dx) = 0.

Comme les deux termes∫

Ω|∇u|2dx− λ1

∫Ωu2dx et

∫Ωu2dx−

∫Ωu2

+dx sont positifs on

deduit de (2.4) que

∫Ω|∇u|2dx = λ1

∫Ωu2dx∫

Ωu2dx =

∫Ωu2

+dx

La premiere egalite implique que u = αϕ1 avec |α| = 1, α ∈ R (car u et ϕ appartiennenta M). De la deuxieme egalite on conclut que α = 1 et donc u = ϕ1.

Si µ > 0, Iµ possede aussi un minimum local strict comme nous le prouvons dans lelemme suivant.

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Lemme (2.7). −ϕ1 est un minimum local strict deIµ avec

Iµ(−ϕ1) = λ1.

Demonstration. Supposons, par contradiction, qu’il existe une suite (un),un ∈ M telleque

un → −ϕ1 dans H10 (Ω) (a)

un 6= −ϕ1 , (b)Iµ(un) ≤ λ1 (c).

Prouvons que un change de signe pour n ∈ N suffisamment grand. D’une part, puisqueun → −ϕ1 dans H1

0 (Ω) et −ϕ1 < 0 dans Ω alors un < 0 dans un ensemble de mesurepositive (pour n suffisamment grand). D’autre part un ne peut pas etre strictementnegative p.p.t. parce que sinon

Iµ(un) =∫

Ω|∇un|2dx

et par l’inegalite de Poincare on aurait

Iµ(un) =∫

Ω|∇un|2dx ≥ λ1

∫Ωu2ndx = λ1.

Cela, avec (c), impliqueraitIµ(un) = λ1

et par suiteun = αϕ1 avec |α| = 1

Or, si un < 0 alors un = −ϕ1 en contradiction avec (b). un change donc de signe pour nsuffisamment grand.

Prenons maintenant rn > 0 tel que, suivant les notations du paragraphe 1, on aitun ∈Mrn , c-a-d.

rn =

∫Ωun+ϕ1dx∫

Ωun−ϕ1dx

. (2.4)

De la definition (2.2) il suit que

Iµ(un) ≥ (λ+(rn)− µ)∫

Ωu2n+dx+ λ−(rn)

∫Ωu2n−dx

qui avec (c) implique

(λ+(rn)− µ− λ1)∫

Ωu2n+dx+ (λ−(rn)− λ1)

∫Ωu2n−dx ≤ 0

Nous savons (voir paragraphe 2.1) que λ−(rn) > λ1. Le deuxieme terme de l’inegaliteci-dessus est donc positif (et non nul). Puisque

∫Ω u

2n+dx > 0 il suit de ce qui precede que

λ+(rn)− µ− λ1 ≤ 0

7

c-a-d.λ+(rn) ≤ µ+ λ1.

Par ailleurs, en faisant tendre n vers +∞ dans (2.4) nous trouvons

limn→∞

rn = 0 (1)

car, par (a), limn→∞

un = −ϕ1 dans H10 (Ω). En utilisant ensuite la proposition (2.5) (partie

(i)) il resultelimn→∞

λ+(rn) = +∞

ce qui contredit (2.5).

Remarque (2.8). Les valeurs λ1 − µ et λ1 sont donc des valeurs critiques de Iµ. Lespoints du spectre de Fucik Σ correspondants sont (λ1, λ1 − µ) et (λ1 + µ, λ1), c-a-d., lesintersections de la droite y = x− µ avec les droites λ1 × R et R×λ1 du spectre.

Pour continuer notre etude sur la nature du minimum local −ϕ1, il nous faut leresultat suivant connu comme le principe d’Ekeland. Nous avons utilise ce principe dansla demonstration de la proposition (2.9). Nous nous sommes inspires ici d’un resultatanalogue pour des fonctionnelles sans contraintes demontre dans [DF].

(Principe d’Ekeland). Soit X un espace metrique complet et Φ : X → R∪+∞ uneapplication semicontinue inferieurement telle que infx∈X Φ(x) > −∞.Soit ε > 0 et u ∈ X tels que Φ(u) ≤ infX Φ + ε

2.

Alors pour tout α > 0 il existe uα ∈ X tel que(E1) Φ(uα) ≤ Φ(u)(E2) d(uα, u) ≤ α(E3) Φ(uα) < Φ(u) + ε

αd(u, uα) ∀u 6= uα.

Proposition (2.9). Soit ε > 0 tel que, pour tout u ∈ B0(−ϕ1, ε) ∩M ,

Iµ(u) > Iµ(−ϕ1).

(c.f. lemme (2.7)). Alors pour tout 0 < ε0 < εon a

infIµ(u); ‖u− (−ϕ1)‖ = ε0 > Iµ(−ϕ1).

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Nous concluons, en appliquant le theoreme du col de montagne enonce dans 2.2, quela valeur

λ = infh∈Λ,u∈h([−1,1])

Iµ(u) (2.5)

ou Λ = h : [−1, 1] → M ;h est continue, h(−1) = −ϕ1 et h(1) = ϕ1 est une valeurcritique de Iµ. De plus

λ > maxIµ(ϕ1), Iµ(−ϕ1) = λ1.

Un troisieme point critique de Iµ est alors obtenu par (2.21) ce qui nous donne un troisiemepoint (µ+ λ, λ) de Σ sur la droite y = x− µ.

Nous allons finalement montrer dans la proposition (2.10) que le point (µ + λ, λ) ci-dessus appartient a C1, la premiere courbe du spectre de Fucik, obtenue par [DF-G] etdontnous avons parle dans le paragraphe 1. Nuos utiliserons la propriete principale de C1 :etant donne (λ+ µ, λ) ∈ C1 il n’y a pasd’autres points de Σ sur le segment

y = x− µλ1 ≤ x ≤ λ

que les points (λ1, λ1) et(λ+ µ, λ).

Proposition (2.10). Soit λ donne par (2.5). Alors le point (µ + λ, λ) ∈ Σ est, apres(λ1, λ1 − µ) et (λ1 + µ, λ1) le premier point d’intersection de la droite y = x − µ avec lespectre Σ.

Demonstration. Soit (λ+, λ−) un point de Σ tel queλ+ = λ− + µ et λ− > λ1. Nousallons montrer que λ− > λ ce qui implique la conclusion de la proposition. Compte tenude la definition de λ il suffit de construire un chemin h ∈ Λ tel que

maxu∈h([−1,1])

Iµ(u) ≤ λ− (2.6)

Posons I(u) = Iµ(u)− λ−∫

Ω u2dx. Alors l’equation ci-dessus equivaut a

maxu∈h([−1,1])

I(u) ≤ 0.

Soit une solution non nulle de (1.1). Considerons le chemin h : [−1, 1]→M defini par

h(t) =tϕ1 + (1− |t|)v‖tϕ1 + (1− |t|)v‖L2

.

Verifions d’abord que h est bien defini, c-a-d. que pourtout t ∈ [−1, 1] on a

tϕ1 + (1− |t|)v 6≡ 0.

Si, par contradiction, il existait un t ∈ [−1, 1] tel que tϕ1 + (1 − |t|)v = 0, alors |t| 6= 1(carϕ1 6≡ 0). En divisant par 1− |t| on aurait

v =−t

1− |t|ϕ1

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ce qui est impossible car λ− > λ1 et donc v, solution de (1.1), n’est pas une fonctionpropre associee a λ1. Remarquons que, grace a l’homogeneite de la fonctionnelle I (parrapport a la multiplication par des constantes positives) il suffit de montrer que

maxt∈[−1,1]

I(tϕ1 + (1− |t|)v) ≤ 0.

Pour t = ±1 nous avons respectivement

I(ϕ1) = λ1 − λ+ < 0

I(−ϕ1) = λ1 − λ− < 0

et pour t = 0, I(v) = 0. Nous pouvons donc nous restreindre a |t| < 1 dans l’etude dumaximum de (2.6). Par l’homogeneite de I nous avons encore que cetet equation equivaut,par ce qui precede, a

maxt∈[−1,1]

(1− |t|)2I(t

1− |t|ϕ1 + v) ≤ 0

Posons maintenant g(β) = I(βϕ1 + v) pour β ∈ R et etudions la fonction g. Un calculelementaire donne

(a) g(0) = 0

et

1

2g′(β) =

∫Ω∇(βϕ1 + v) · ∇ϕ1dx− λ+

∫Ω

(βϕ1 + v)+ϕ1dx+ λ−

∫Ω

(βϕ1 + v)−ϕ1dx

Donc(b) g′(0) = 0.

Pour calculer la derivee seconde de g rappelons que l’application de Lp → Lq pour1 < p < q definie par u → u+ est Frechet- differentiable en tout point u ∈ Lp(Ω) tel quemes(u = 0) = 0. Dans ce cas, la derivee est egale a

ω → χu>0ω

(ref [SO]). Dans notre cas, verifions que mes(βϕ1 + v = 0) = 0 pour tout β ∈ R. Lafonction βϕ1 + v satisfait l’equation −∆(βϕ1 + v) = λ1(βϕ1 + v) + (λ+ − λ1)v+ − (λ− − λ1)v− dans Ω

u = 0 sur ∂Ω

Donc, par la theorie de la regularite des problemes elliptiques, βϕ1 + v ∈ H2(Ω). Parconsequent (voir [K-S]) ∆(βϕ1 + v) = 0 p.p. sur l’ensemble tϕ1 + v = 0 et il suit del’equation ci-dessus que

βϕ1 + v = 0 ⊂ v = 0.

10

Par ailleurs, v est une solution de l’equation (1.1) qui peuts’ecrire sous la forme −∆v = a(x)v dans Ω

v = 0 sur ∂Ω,

avec a(x) = λ+ si v(x) ≥ 0 et a(x) = λ− si v(x) < 0. a ∈ L∞(Ω) et il suit du principe decontinuation unique (voir [G-L]) que mes(v = 0) = 0 et on que mes(βϕ1 +v = 0) = 0.Nous pouvons donc calculer g′′, ce qui donne(c) 1

2g′′(β) = λ1

∫Ωϕ2

1dx− λ+

∫Ωϕ2

1χAβdx− λ−∫

Ωϕ2

1χAcβdx

ou Aβ = x ∈ Ω; (βϕ1 + v)(x) ≥ 0. Comme λ+ > λ1 et λ− > λ1 on a

g′′(β) < 0 ∀ β ∈ R .

La fonction g est donc concave. De (a) et (b) on deduit alors que

g(β) ≤ 0 ∀ β ∈ R .

et par suiteI(βϕ1 + v) ≤ 0 ∀ β ∈ R

ce qui implique (2.6).

Remarque (2.11). Les resultats que nous avons etablis peuvent s’etendre sans difficulteau cas du probleme de Newmann.

3 Solutions periodiques d’une equation du deuxieme

ordre

Nous presentons dans cette section unresultat d’existence de solutions periodiques avecdes conditions sur la non-linearite de double resonance entre deuxcourbes consecutivesquelconques du spectre de Fucik. L’equation differentielle non lineaire consideree est dela forme

−u′′(t) = f(t, u(t)). (3.1)

Dans le cas traite, la non linearite f se trouve asymptotiquement dans un rectanglecontenu entre deux courbes consecutives Ck et Ck+1 du spectre de Fucik. Ce rectangleest aussi contenu dans la region[λk−1,+∞]× [λk−1,+∞] ouλk−1 est la (k− 1)-ieme valeurpropre (c-a-d.λk = k2) de −u′′ avec des conditions 2π-periodiques. La fonction f satisfaitaussi des conditions de “double resonance” du meme type que celles introduites par Costa-Olveira ([C-O]) dans le cas du spectre usuel. Nous rappelons que le spectre de Fucik dansle cas 2π-periodique est compose des droites R×0 et0 × R et des courbes

Ck = (λ+, λ−) ∈+

R0×

+

R0;λ−1/2+ + λ

−1/2− =

2

k

11

pour k = 1, 2, . . . . Ce type de probleme a deja ete considere parCosta-Oliveira ([C-0])dans le cas symetrique. Dans le cas asymetrique on peut citer le travail de Gossez-Omari([G-O]). Ils traitent des non-linearites se trouvant asymptotiquement entre deuxcourbes quelconques. Les conditions denon-resonance qu’ils imposent sont du type “den-site”. Elle ssont equivalentes dans le cas autonome

f(t, u) = f(u) + h(t)

a celles que nous considerons ici mais ont une formerelativement compliquee dans le casgeneral. La methode utilisee dans [G-O] est celle du degre topologique deLeray-Schauder.

Ensuite, il y a les resultats de Habets-Omari-Zanolin ([H-O-Z]) valables dans le casautonome. En utilisant une technique de time-maps ces auteurs affaiblissent les conditions(3.2) et (3.3) ci-dessous en les remplacant par

lim infu→±∞

2F (u)

u2≤ Q±

lim supu→±∞

2F (u)

u2≥ q±

(en fait, un des deux couples d’inegalites est suffisant).

Plus tard, Cuesta-Gossez ([C-G]) ont demontre le Theoreme d’existence dans le cask = 0, c’est-a-dire quand f se trouve entre 0 et la premiere courbe du spectre. L’approchedans [C-G] est variationnelle mais utilise une caracterisation variationnelle de la courbeC1 differente de celle de [DF-R] que nous utiliserons ici.

Nous utiliserons dans ce paragraphe une methode variationnelle qui se base sur lesresultats recents de De Figueiredo et Ruf concernant une caracterisation variationnelledes courbes Ck. Un principe de minimax classique nous permettra de trouver les valeurscritiques de la fonctionnelle associee a notre probleme.

3.1 Enonce du resultat principal

Soit f : [0, 2π]×R→ R une fonction qui satisfait les conditions usuelles L2-Caratheodory.Soient(q+, q−) ∈ Ck et (Q+, Q−) ∈ Ck+1, k ≥ 1, deux points appartenant a deux courbesconsecutives du spectre deFucik et qui satisfont aux condtions (C1) et (C2) :

(C1)q+ ≤ Q+

q− ≤ Q−

(C2)λk−1 ≤ q+

λk−1 ≤ q−.

12

Ici λk = k2 pour k ∈ N sont les valeurs propres du probleme : −u′′ = λu; u(0) = u(2π) etu′(0) = u′(2π).

Nous introduisons les limites suivantesδ±(t) = lim inf

s→±∞

f(t, s)

s; θ±(t) = lim inf

s→±∞

2F (t, s)

s2

∆±(t) = lim sups→±∞

f(t, s)

s; Θ±(t) = lim sup

s→±∞

2F (t, s)

s2

ou F (t, s) =∫ s

0f(t, ρ)dρ. Nous supposons que les limites δ± et ∆± en (3.2) satisfont les

inegalites : q+ ≤ δ+(t) ≤ ∆+(t) ≤ Q+

q− ≤ δ−(t) ≤ ∆−(t) ≤ Q−(3.3)

avec une certaine uniformite par rapport a t. Plus precisement :

(H1). Quel que soit ε > 0 il existeaε ∈ L2(0, 2π) telle que, p.p.t.

(q+ − ε)s− aε ≤ f(t, s) ≤ (Q+ + ε)s+ aε(t) pour s ≥ 0

(q− − ε)s+ aε ≥ f(t, s) ≥ (Q− + ε)s− aε(t) pour s ≤ 0.

La condition (H1) sur δ± et ∆± implique en particulier que q+ ≤ θ+(t) ≤ Θ+(t) ≤ Q+

q− ≤ θ−(t) ≤ Θ−(t) ≤ Q−.(2)

Nous supposons que θ±, Θ± satisfont la condition (H2) :

(H2) mes(t ∈ [0, 2π]; θ+(t) > q+ et θ−(t) > q−) > 0

mes(t ∈ [0, 2π]; Θ+(t) < Q+ et Θ−(t) < Q−) > 0.

Theoreme (3.1). Supposons que f verifie (H1) et (H2) avec (q+, q−) ∈ Ck et (Q+, Q−) ∈Ck+1 satisfaisant (C1) et (C2) pour un k ≥ 1. Alors l’equation (3.1) a une solution 2π-periodique appartenant a H2,2

2π .

3.2 Cadre variationnel du probleme. Un principe de minimax

Nous allons travailler dans l’espace

H12π = u ∈ H1(0, 2π); u(0) = u(2π).

13

Ici, ‖u‖22 =

∫ 2π

0u2(t)dt. Notons par (·,·) le produit scalaire dans L2(0, 2π) et par < ·,· >

le produit scalaire dans la dualite entre H12π et son dual.

La fonctionnelle associee a l’equation (3.1) estdefinie comme suit :

φ(u) =1

2‖u′‖2

2 −∫ 2π

0F (t, u(t))dt.

D’apres l’hypothese (H1), f a une croissance lineaire. φ est donc bien definie et φ estde classe C1 surH1

2π. Nous allons trouver une valeur critique de φ en nous servant duprincipe de minimax suivant ([DF]) :Principe de minimax (3.2)Soient H un espace de Hilbert et φ : H → R une fonction-nelle de classe C1 verifiant la condition de (P.S).

Soient K un espace metrique compact et K0 ⊂ K une partie fermee non vide de K.Etant donne une application continue h0 : K0 → H considerons la famille d’applications

Γ = h : K → H continue; h = h0 sur k0.

Supposons que pour tout h ∈ Γ on ait

maxz∈K0

φ(h(z)) < maxz∈K

φ(h(z)). (3)

Alors la valeur c = infh∈Γ

maxz∈K

φ(h(z)) est une valeur critique de φ sur H.

Remarque (3.3) Dans le cas H = H12π le principe de minimax est encore valable sur la

varieteM = u ∈ H1

2π; ‖u‖2 = 1.

On considere alors des fonctions h0 et h a valeurs dans M et la condition de (P.S) doitetre interpretee au sens de la variete M . Si la valeur c est finie, alors c’est une valeurcritique de φ restreinte a M . La demonstration du theoreme (3.1) suit de la propositionetdu corollaire ci-dessous.

Proposition (3.4). Supposons que f satisfait leshypotheses (H1) et (H2) avec (q+, q−) ∈Ck et (Q+, Q−) ∈ Ck+1 verifiant les conditions (C1) et (C2) pour k ≥ 1. Soit φ la fonc-tionnelle associee et soient D+

k , Dk, D+k+1,Λ

∗k definis au paragraphe 3.4. Alors

(i) Il existe une application h∗0 ∈ Λ∗k telle que

limR→+∞

maxφ(u); u ∈ Rh∗0(Dk) = −∞.

Soit LR = H : D+k+1 → H1

2π; H continue et H/Dk = Rh∗0.Alors, pour R suffisamment grand on a

14

(ii) maxu∈Rh∗0(Dk)

φ(u) < maxu(D+

k+1)φ(u) quel que soit H ∈ LR.

Comme consequence directe du principe de minimax (3.3) du paragraphe 3.2 et de laproposition (3.4) nous avons le corollaire ci-dessous.

Corollaire (3.5). Pour R > 0 suffisamment grand, la valeur

α = LRφ

est une valeur critique de la fonctionnelle φ sur H12π.

Remarque (3.6). Le corollaire (3.5) nous assure l’existence d’une fonction u12π qui est un

point critique de φ et, par consequent, une solution faible de l’equation −u′′ = f(t, u(t))avec des conditions periodiques au bord. Par des arguments classiques de regularite, nouspouvons affirmer que u2,2

2π (0, 2π).

Remarque (3.7). La question d’etendre le theoreme (3.1) au cas d’une fonction f(t, u)“contenue” dans un rectangle quelconque, place entre deux courbes consecutives Ck et Ck+1

du spectre deFucik, reste ouverte. La restriction (C2) que nous avonsimposee sur le point(q+, q−) ∈ Ck du rectangle nous permet de construire, d’une maniere relativement simple,les applications h0 ∈ Λk du paragraphe 3.4, qui sont essentielles dans la demonstration(3.4). Des que l’existence de ces applications h0 (satisfaisant en plus (3.5)) est assuree,le theoreme (3.1) peut s’etendre avec la meme demonstration que celle que nous avonspresentee dans ce chapitre.

3.3 La condition de Palais-Smale (P.S)

Dans ce paragraphe nous supposerons que f satisfait les hypotheses (H1) et (H2) avec(q+, q−) et (Q+, Q−) deux points appartenant a deux courbes consecutives Ck et Ck+1 duspectre de Fucik pour k ≥ 1. Nous supposerons seulement ici que (q+, q−) et (Q+, Q−)satisfont la condition (C1) :

q+ ≤ Q+ et q− ≤ Q−.

Dans ce qui suit, nous identifions [0, 2π] avec S1. Pour une fonction u ∈ H12π on notera

par P des intervalles de S1 ou u est strictement positive et nulle aux extremites et par Ndes intervalles de S1 ou u est strictement negative et nulle aux extremites.

La condition de Palais-Smale est une consequence du lemme suivant et des resultatsde [DeF]. Nous ne le demostrerons pas ici.

15

Lemme (3.8). Soient (q+, q−) ∈ Ck et(Q+, Q−) ∈ Ck+1. Considerons α+, α− deuxfonctions de classe L∞ telles que q+ ≤ α+(t) ≤ Q+ p.p.t.

q− ≤ α−(t) ≤ Q− p.p.t.

Alors on a

(i) Toute solution non triviale du probleme

(P)

−u′′(t) = α+(t)u+(t)− α−(t)u−(t)

u(0) = u(2π); u′(0) = u′(2π).

possede soit

a) k intervalles P et k intervalles N de longueurs respectivesπ√q+

etπ√q−

chacun,

soit

b) k + 1 intervalles P et k + 1 intervalles N de longueurs respectivesπ√Q+

etπ√Q−

chacun.

(ii) Si, en plus, α+ et α− satisfont aux conditions

mes(t; α+(t) > q+ et α−(t) > q−) > 0

mes(t; α+(t) < Q+ et α−(t) < Q−) > 0,

alors le probleme (P) n’a que la solution triviale u ≡ 0.

3.4 Caracterisation variationnelle des courbes du spectre deFucikselon De Figueiredo et Ruf

Le probleme aux valeurs propres associe a une non-linearite asymetrique comme celle dutheoreme (3.1) est le suivant : Trouver (λ+, λ−) ∈ R2 et u ∈ C2 non triviale tels que

(F )

−u′′(t) = λ+u+(t)− λ−u−(t)

u(0) = u(2π); u′(0) = u′(2π).

Les couples (λ+, λ) fournissant une solution nontriviale constituent les points du spectrede Fucik. Soit µ ∈ R fixe. Notons par (λk(µ)+µ, λk(µ)) pour k ≥ 1 le point d’intersectionde la courbe Ck du spectre avec la droitey = x− µ. Pour ce point, l’equation (F) s’ecrit

(PV )µ

−u′′ − µu+ = λk(µ)u

u(0) = u(2π); u′(0) = u′(2π).

16

Nous nous limiterons dans la suite au cas µ ≥ 0, ce qui ne restreint pas la generalite vula symetrie du spectre deFucik par rapport a la diagonale.

Posons λ0(µ) = 0 et λ−1(µ) = 0. Les valeurs

λ−1(µ) < λ0(µ) < λ1(µ) < λ2(µ) < . . .

peuvent etre interpretees comme les valeurs propres du probleme non lineaire (PV )µ pourun µ ∈ R fixe.

La fonctionnelle associee au probleme (PV )µ est

Iµ(u) = ‖u′‖22 − µ‖u+‖2

2.

Les solutions (faibles) de (PV )µ sont les points critiques de Iµ restreinte a l’ensemble Mdefini par

M = u ∈ H12π; ‖u‖2 = 1

La valeur propre λ = λk(µ) en(PV )µ associee au point critique u ∈ M apparaıt soitcomme le multiplicateur de Lagrange provenant de la contrainte M , soit comme la valeurcritique Iµ(u).

La premiere caracterisation obtenue dans [DF-R]est liee a l’index S1 introduit parBenci ([BE]). Cette caracterisation exploite l’invariance par rapport au groupe des trans-lations defini par

Tθ(u) = u(θ + ·) u ∈ H12π, θ ∈ S1

ainsi que l’invariance de l’ensemble M par cette meme action. Plus precisement, on prendsur R×k les actions suivantes :

Sθ(α, z) = (α, eim1θz1, . . . , eimkθzk)

ou θ ∈ S1 et ou (m1, . . . ,mk) est fixe dans k\0. Sur F = A ⊂M ;A invariant et fermeon definit l’index γ0(A) comme suit :

Pour A ∈ F et S une action sur R×k posons

M0k (A, S) = h : A→ R×k\0;h continue, h Tθ = Sθ h; h1/A∩R = Id

ou h = (h1, h2) et A ∩ R = u ∈ A; u ≡ cte.

Alorsγ0(A) = infk ∈ N;∃Sθθ∈S1 tel que M0k (A, S) 6= ∅.Onposeγ0(∅) et γ0(A) =

+∞ s’il n’existe aucun k ∈ N satisfaisant la condition ci-dessus.Le resultat de [DF-R] estalors le suivant : si k ≥ 1 on a

λk(µ)= infA∈Γk

maxu

Iµ(u)

17

ou Γk = A ∈ Σ; γ0(A) ≥ k et ou Σ = A ∈ F ;A est compact.

Ces auteurs obtiennent aussi une deuxieme caracterisation qui est, dans un certainsens, duale de la premiere. Ils utilisent des familles de deformations continues d’un en-semble donne. Plus precisement, dans le cas k = 1 ils demontrent que

λ1(µ)= infA∈Λ1

maxu(D+

1 )Iµ(u)

ou D+1 = (α, βe) ∈ R×; α2 + β2 = 1 et β ≥ 0, e = (1, 0) ∈

et Λ1 = h : D+1 →M ; h est continue,h(1, 0, 0) =

1√2π

eth(−1, 0, 0) = − 1√2π.

Pour obtenir la valeur λk+1(µ) on procede par recurrence. Supposons donc que

λk(µ) = infh∈Λk

maxu∈h(D+

k)Iµ(u)

ou Λk est une certaine famille de fonctions continues definies sur D+k ⊂ R×k a valeurs

dans M , et ou

D+k = (α, z1, . . . , zk−1, βe) ∈ R×k; α2 +

k−1∑i=1

|zi|2 + β2 = 1, β ≥ 0

On commence par definir l’ensemble

Dk =⋃θ∈S1

Rθ(D+k )

ou Rθθ∈S1 est l’action surR×k definie par

Rθ(α, z1, . . . , zk) = (α, eiθz1, . . . , eiθzk)

pour tout (α, z1, . . . , zk) ∈ R×k. Ensuite, on etend les fonctions de Λk de la facon suiv-ante : etant donne h ∈ Λk soit h∗ : Dk →M definie par

h∗(Rθ(α, z1, . . . , zk) = T(α, z1, . . . , zk)

pour tout (θ, α, z1, . . . , zk) ∈ S1 × R×k. Posons Λ∗k la famille de ces applications h∗. Parl’invariance de Iµ on a encore que

λk(µ)= infh∗∈Λ∗

k

maxu∗(Dk)

Iµ(u).

Comme λk(µ) < λk+1(µ), il existe h∗0 ∈ Λ∗k telle que

maxw∈Dk

Iµ(h∗0(w)) < λk+1(µ).

18

Nous utiliserons l’application h∗0 pour definirΛk+1 comme suit. Identifions Dk au sous-

ensemble(α, z1, . . . , zk, 0); α2 +k∑i=1

|zi|2 = 1 contenu dans D+k+1. Soit

Λk+1 = h : D+k+1 →M ; h est continue eth = h∗0 sur Dk.

Il est demontre dans [DF-R] que

λk+1(µ)= infh∈Λk+1

maxu(D+

k+1)Iµ(u).

3.5 Demonstration du theoreme principal

Dans ce paragraphe il nous sera necessaired’avoir l’existence d’une application h0 ∈ Λk

telle que,d’une partmax

u∈h0(D+k

)Iµ(u) = λk(µ),

et d’autre part les fonctions u ∈ h0(D+k ) realisant lemaximum aient la propriete

mes(t : u(t) = 0) = 0.

Nous allons construire de telles applications h0 pour des points(λk(µ)+µ, λk(µ)) = (q+, q−)verifiant lacondition (C2) :

λk−1 ≤ q+ et λk−1 ≤ q−.

Nous introduisons une nouvelle notation. Posons (q+, q−) lepoint (µ + λk(µ), λk(µ)) etnotons parI(q+, q−) la fonctionnelle

I(q+, q−)(u) = ‖u′‖22 − q+‖u+‖2

2 − q−‖u−‖22.

La condition ci-dessus est equivalente a la condition

maxu∈h0(D+

k)I(q+, q−)(u) = 0

Remarquons que, d’apres l’homogeneite de I(q+, q−) ilsuffit de construire une application

H0 : D+k → H1

2π\0

satisfaisantmax

u∈H0(D+k

)I(q+, q−)(u) = 0

et“ maxu0(D+

k)I(q+, q−)(u) = I(q+, q−)(u0) = 0⇒ mes(u0 = 0) = 0”

L’application h0(u) =H0(u)

‖H0(u)‖2

satisfera donc ces deux conditions .

On a la proposition suivante :

19

Proposition (3.9). Soit (q+, q−) ∈ Ck verifiant lacondition (C2). Prenons v une solutionnon triviale du probleme

(F )

−u′′(t) = q+u+(t)− q−u−(t)

u(0) = u(2π); u′(0) = u′(2π).

et posons, pour 1 ≤ n ≤ k − 1, ϕn(t) = sin(nt), unefonction propre associee a la valeurpropre λn = n2. Ondefinit H0 : D+

k → H12π\0 par

H0(α, β1eiθ1 , . . . , βk−1e

iθk−1 , ) = α +k−1∑i=1

βiTθiϕi + γ · v

Ici θi ∈ S1, α, βi, γ ∈ R sont telsque α2 +k−1∑i=1

β2i + γ2 = 1 et γ ≥ 0. Posons h0(u) =

H0(u)

‖H0(u)‖2

.

Alorson a(a) max

w∈D+k−1

I(q+, q−)(h0(w)) < 0(b) maxw∈D+

k

I(q+, q−)(h0(w))) = 0(c) les fonctions u ∈ h0(Dk)

realisant le maximum en (b)sont telles quemes(u = 0) = 0.Remarque (3.10). La condition (a) de la proposition(3.9) nous assure

que h0 peut etre utilisee comme fonctionservant a definir Λk.La demonstration du theoreme (3.1) suit de la propositionet du corollaire ci-dessous.

Proposition (3.11). Supposons que f satisfait leshypotheses (H1) et (H2) avec (q+, q−) ∈Ck et (Q+, Q−)k+1 verifiant les conditions (C1) et (C2) pour k ≥ 1.Soit φ la fonctionnelleassociee et soient D+

k , Dk, D+k+1,Λ

∗k definis au paragraphe 3.4. Alors

(i) Il existe une application h∗0 ∈ Λ∗k telle que

limR→+∞

maxφ(u); u∗0(Dk) = −∞.

Soit LR = H : D+k+1

12π; H continue et H/Dk = Rh∗0.

Alors, pour R suffisamment grand on a(ii) max

u∗0(Dk)φ(u) < max

u(D+k+1

)φ(u) quel que soit H ∈ LR.Comme consequence directe du

principe de minimax duparagraphe 3.2 et de la proposition (3.11) nous avons le corollaireci-dessous.

Corollaire (3.12). Pour R > 0 suffisamment grand, la valeur

α = LRφ

est une valeur critique de la fonctionnelle φ surH12π.

Remarque (3.13).Le corollaire (3.12) nous assure l’existence d’une fonction u12π qui

20

est un point critique de φ et, parconsequent, une solution faible de l’equation −u′′ =f(t, u(t))avec des conditions periodiques au bord. Par des argumentsclassiques de regularite,nous pouvons affirmer que u2,2

2π (0, 2π).Nous utiliserons l’estimation suivante de F (t, s)

dans lademonstration de la proposition (3.11).Les hypotheses (H1) et (H2) impliquentl’existence de fonctionsm+,m−,M+,M− de L∞(0, 2π) telles que

q+ ≤ m+(t) ≤M+(t) ≤ Q+ p.p.t.

q− ≤ m−(t) ≤M−(t) ≤ Q− p.p.t.m+(t) > q+ et m−(t) > q− sur un ensemble commun de mesurepositive etM+(t) < Q+, M−(t) < Q− sur un ensemble commun demesure positive.

etquel que soit ε > 0 il existe b1

ε(0, 2π) telle que, p.p.t.

(m+(t)− ε)s2

2− bε(t) ≤ F (t, s) ≤ (M+(t) + ε)

s2

2+ bε(t) pours ≥ 0

(m−(t)− ε)s2

2− bε(t) ≤ F (t, s) ≤ (M−(t) + ε)

s2

2+ bε(t) pours ≤ 0

Cela peut etre verifie en utilisant le theoreme d’Egorovcomme dans [G-O].Grace aux inegalites ci-dessus nous avons l’estimationsuivante de la fonctionnelle φ. Soientξ et ψ lesfonctionnelles suivantes :

ξ(u) = ‖u′‖22 −

∫ 2π

0M+u

2+dt−

∫ 2π

0M−u

2−dt

ψ(u) = ‖u′‖22 −

∫ 2π

0m+u

2+dt−

∫ 2π

0m−u

2−dt

Alors, pour ε > 0 donne, il existe b1ε(0, 2π) telle que

ξ(u)− ε‖u‖22 − ‖bε‖1 ≤ 2φ(u) ≤ ψ(u) + ε‖u‖2

2 + ‖bε‖1

quel que soit u ∈ H12π.

Lemme (3.14). Soient ξ et ψ definies commeci-dessus avec m+,m−,M+ et M− ou(q+, q−) ∈ Ck et (Q+, Q−)k+1 satisfont les conditions (C1) et (C2).Soit h0 l’applicationcorrespondante a (q+, q−)definie dans le paragraphe 3.4. Posons h∗0 son extension aDk

definie par h∗0(Rθ(z)) = Tθh0(z).Alors(i) max

u∈h∗0(Dk)ψ(u) < 0.

(ii) Soit L = h : D+k+1 →Mcontinue; h/Dk = h∗0. Alors

Lξ(u) > 0.

Demonstration du lemme (3.14).(i) On sait que m+ ≥ q+ et m− ≥ q−. Donc

ψ(u) ≤ I(q+, q−)(u) ∀u ∈ H12π,

21

ce qui impliquemax

u∈h∗0(Dk)ψ(u) ≤ max

u∗0(Dk)I(q+, q−)(u) = 0

en vertu du choix de h0.Supposons, par l’absurde, que maxu∗0(Dk)

ψ(u) = 0. Il existe alors

v ∈ h∗0(Dk) tel queψ(v) = 0

il resulteI(q+, q−)(v) = ψ(v) = 0

d’ou on tire que ∫ 2π

0m+v

2+dt+

∫ 2π

0m−v

2−dt = q+‖v+‖2

2 + q−‖v−‖22

ou encore ∫ 2π0 (m+ − q+)v2

+dt = 0∫ 2π0 (m− − q−)v2

−dt = 0

Comme I(q+, q−)(v) = 0, v satisfait mes(t : v(t) = 0) = 0, nous pouvons doncconclure,des egalites ci-dessus, que m+ ≡ q+ p.p.t. etm− ≡ q− p.p.t., une contradiction avec leshypothesessur m+,m−.(ii) Puisque M+ ≤ Q+ et M− ≤ Q− on a que

Lξ(u) ≥ LI(Q+, Q−).

Soit h ∈ L. PosonsDk+1 =⋃θ∈S1

θD+k+1 ou Rθ∈S1est l’action definie dans le paragraphe

3.4. Sur Dk+1 nousetendons l’application h comme suit :

h∗(Rθ(z)) = Tθh(z) ∀ (θ, z)1 ×D+k+1

Il est clair que h∗ est continue et donc h∗(Dk+1) est unensemble compact de M . h∗(Dk+1)est aussi invariant partranslation d’apres la definition de h∗.Montrons que γ0(h∗(Dk+1)) ≥k + 1. Supposons, parl’absurde, qu’il existe p ∈ N , p ≤ k et uneapplication g ∈M0

p (h∗(Dk+1), S) pour une certaineaction S sur R× Ck. Alors

g h∗ : Dk+1 → R× Cp/0

est une application continue, qui laisse fixe les elements deDk+1 ∩R×Ck+1 (car h ∈ L etg0p : voir la definition de ces familles d’applications) etqui est R− S equivariante au sens

suivant :(g h∗)(Rθ(z)) = g(Tθh

∗)(z) =θ (g h∗(z)).

Or, l’existence de cette application g h∗ contredit leTheoreme de Borsuk-Ulam (versionS1 ([NI]).Nous avons donc h∗(Dk+1) ∈ Γk+1. De lacaracterisation des courbes du spectrede Fucik il resulte que

Lξ ≥ I(Q+, Q−) ≥ Γk+1I(Q+, Q−) = 0

22

Supposons maintenant, par l’absurde, queLξ(u) = 0. Pour h ∈ Lquelconque nous avons

0 ≤ maxu∈h(Dk+1)

ξ(u).

Comme M+ ≥ m+ et M− ≥ m− nous trouvons, en utilisant lapartie (i) deja montree,

maxu∈h(Dk)

ξ(u) = maxu∈h∗0(Dk)

ξ(u) ≤ maxu∈h∗0(Dk)

ψ(u) < 0

Nous avons doncmax

u∈h(Dk)ξ(u) < 0 ≤ max

u∈h(Dk+1)ξ(u)

quel que soit h ∈ L. Nous appliquons maintenant leprincipe de minimax a la fonctionnelleξ sur M , plusprecisement, nous appliquons la remarque (3.3). Lacondition de (P.S) surM peut etre verifiee par uneadaptation facile de la demonstration de [dF]. On endeduitque

0 = Lξest une valeur critique de ξ sur M . Soit donc u0 ∈M telque ξ(u0) = 0 et < ξ′(u0), v >=λ(u, v) pour toutv ∈ H1

2π et pour un certain λ ∈. En prenant v = u0 on trouveλ‖u0‖2 =<ξ′(u0), u0 >= 2ξ(u0) = 0. C’est-a-direλ = 0. La fonction u0 ∈ M est donc une solution(nontriviale) de l’equation

−u′′ = M+u+ −M−u−ce qui est absurde par le lemme (3.3).

Demonstration de la proposition (3.11).Soit h∗0 la fonction consideree dans le lemme(3.14). Posonsc = max

u∈h∗0(Dk)ψ(u) et

d = ξ ou L est la famille d’applications definie dansle lemme (3.14). Prenons 0 < ε <min−c, d dans (3.14). Ilexiste alors bε ∈ L1(0, 2π) telle que

ξ(u)− ε‖u‖22 − ‖bε‖1 ≤ 2φ(u) ≤ ψ(u) + ε‖u‖2

2 + ‖bε‖1

(i) En utilisant l’inegalite 2φ(u) ≤ ψ(u) + ε‖u‖22 + ‖bε‖1 pouru ∈ Rh∗0(Dk), R > 0, il vient

quemaxu∗0(Dk)

2φ(u) ≤ maxv∗0(Dk)

R2ψ(v) +2 +‖bε‖1 = R2(c+ ε) + ‖bε‖1

et donclim

R→+∞maxφ(u); u∗0(Dk) = −∞.

(iii) Prenons, en utilisant la partie (i) deja prouvee, unnombre R > 0 tel que

maxu∗0(Dk)

φ(u) < −1

2‖bε‖1.

Montrons que, pour ce choix de R, on a

maxu∗0(Dk)

φ(u) < maxu(D+

k+1)φ(u)

23

quel que soit H ∈ LR. Distinguons deux cas :a) O ∈ H(Dk+1). Du choix de R on a

maxu(D+

k+1)φ(u) ≥ φ(0) = 0 > −1

2‖bε‖1 > max

u∗0(Dk)φ(u)

b) O 6∈ H(Dk+1).Posons h(z) =H(z)

‖H(z)‖2

, z ∈ D+k+1.L’application h ainsi definie appar-

tient a L et parconsequentmaxv(D+

k+1)ξ(v) ≥ d = Lξ.

Il en resulte que

maxu(D+

k+1)

2φ(u) + ‖bε‖1

‖u‖22

≥ maxv(D+

k+1)(ξ(v)− ε) ≥ d− ε > 0,

donc en particulier

maxu(D+

k+1)φ(u) > −1

2‖bε‖1

ce qui donnemaxu(D+

k+1)φ(u) > max

u∈Rh∗0(Dk)φ(u).

Remarque (3.15).La question d’etendre le theoreme (3.1) au cas d’une fonctionf(t, u)“contenue” dans un rectangle quelconque, placeentre deux courbes consecutives Ck etCk+1 du spectre deFucik, reste ouverte. La restriction (C2) que nous avonsimposee surle point (q+, q−) ∈ Ck du rectangle nous permetde construire, d’une maniere relative-ment simple, lesapplications h0 ∈ Λk du paragraphe 3.4, qui sontessentielles dans lademonstration (3.11). Des que l’existencede ces applications h0 estassuree, le theoreme(3.1) peut s’etendre avec la meme demonstration que celle que nous avons presenteedanscette section.

4 E’etude duspectre de Fucik du p-laplacien endi-

mension 1 avec des conditions periodiques aubord

Cette section est consacre a l’etude duspectre de Fucik du p-laplacien endimension 1 avecdes conditions periodiques aubord.Rappelons que pour p > 1 le p-laplacien en dimension 1 estl’operateur defini par

u→ (|u′|p−2u′)′

ou u′ =du

dt. Pour p = 2 cet operateurest le laplacien usuel : u→ u′′.

Le spectre de Fucik du p-laplacien dans le cas periodiquesur l’intervalle [0, 2π] est l’ensemble

24

des paires(λ+, λ−) ∈ R2 pour lesquelles il existe unefonction u (non triviale) solution del’equation −(|u′|p−2u′)′ = λ+|u|p−2u+ − λ−|u|p−2u−

u(0) = u(2π), u′(0) = u′(2π).(4.1)

L’ensemble de (λ+, λ−) constituant ce spectre estbien connu, ([FU], [DR]) ainsi commetoutes les solutionsu 6≡ 0 de (4.1). Il est compose des droites ×0 et 0 × R et d’unesuite de courbes Ck, k ≥ 1,

Ck = (λ+, λ−) ∈ R∗+ ×R∗+;λ−1/p+ + λ

−1/p− =

π

πpk

ou πp est une constante dependante de p.Nous presentons une caracterisationvariationelle

de type minimax de ce spectre de Fucik. Pour1 < p ≤ 2 nous obtenons une caracterisationde toutes lescourbes Ck pour k ≥ 1. Pour p > 2 nos resultatss’appliquent seulement pourp suffisamment pres de p = 2. Ladifficulte qu’on a trouvee pour etendre nos resultatspourtout p > 2 est de nature technique. Nous faisons quelquescommentaires a ce sujetdans les remarques (4.9) et (4.13).Les resultats connus de nature variationnelle concernant lespectre du p-laplacien sont tousrelatifs a la premierevaleur propre (non nulle) λ1.Citons par exemple le travail d’Anane([AN1]) sur la premierevaleur propre du p-laplacien dans le cas Dirichlet en dimensionn ≥1. Cet auteur donne une caracterisation de λ1comme

λ1 = minu ∈ H10 (Ω)u 6= 0

∫Ω|∇u|pdx∫

Ω|u|pdx

.

Dans le cas periodique (dimension 1) que nous traitons ici, letravail de Veron ([VE]) peuts’appliquer et fournit lacaracterisation suivante de la premiere valeur propre non nulleλ1 :

λ1 = minu ∈ Nu 6= 0

∫ 2π

0|u′|pdt∫ 2π

0|u|pdt

ou N = u1,p(Ss);∫ 2π

0|u|p−2u dt = 0.

Ce resultat est une generalisation au cas p 6= 2 duresultat classique de Courant. Re-marquons que hormis celles pourλ1 que nous venons de rappeler, il n’existe pas decarac-terisation variationnelle des valeurs propres dup-laplacien. Nos resultats, particularisesau spectre usuel,fourniront certaines informations nouvelles dans cette direction.La caracterisation variationnelle que nous presentons ici sebase sur un principe de mini-max classique (voir section 3). Celui-ci estune adaptation de la theorie de points critiquesdeLjusternik-Schnirelmann au cas ou le genre est remplace parl’index relatif S1 de Benci

25

([BE]). Il a ete developpeet utilise recemment par [DF-R] dans le cadre des espaces de-Hilbert ou l’on dispose l’action d’un groupe topologique (commeS1). Ces auteurs obtien-nent pour p = 2 le resultat (A) denotre theoreme (4.1). Nous avons explique ce travaildans la section 2. Notre travail generalise(partiellement) au cas p 6= 2 leur resultat.Dans notre cas la formulation variationnelle de (4.2) se fait dansle cadre de l’espace deBanach H1,p(S1) des fonctions2π-periodiques (au lieu de l’espace de HilbertH1,2(S1)). Latheorie de l’index relatif et la theorie despoints critiques associee ne semblent pas avoiretedeveloppees dans le cadre des espaces de Banach. Nous l’avonsdonc presentee dansce cadre non Hilbertien dans le paragraphe3. Cette generalisation ne presente cependantaucunedifficulte importante.

4.1 Preliminaires et notations

Le p-laplacien en dimension 1 pour 1 < p <∞ d’unefonction u = u(t) est defini par

(|u′|p−2u′)′

ou u′(t) =d

dtu(t). Nous noteronsϕp(x) = |x|p−2x et le p-laplacien par(ϕp(u

′))′.

Le probleme aux valeurs propres associe au p-laplacienavec des conditions periodiques est,sur l’intervalle [0, 2π],le suivant :

Trouver λ ∈ R et u ∈ C1([0, 2π]) avecϕp(u′) ∈ C1([0, 2π]) tels que

−(ϕp(u′))′ = λϕp(u) sur [0, 2π]

et u satisfait les conditions

u(0) = u(2π); u′(0) = u′(2π).

La fonction u est alors appelee une fonction propreassociee a la valeur propre λ. L’ensembleσp([0, 2π])des valeurs propres s’appelle le spectredu p-laplacien. Il est constitue d’une suite de nom-bres reelsnon negatifs tendant vers +∞.On a plus precisement la proposition suivante.

Proposition (4.1). (i) Le spectre du p-laplacien (casperiodique) dans l’intervalle [0, 2π]est une suite de nombresreels

0 = λ0 < λ1 < λ2 < . . .

ouλn = (

πpπn)p

avecπp =2(p− 1)1/p

p· π

sin πp

.

(ii) Les fonctions propres associees a λ0 = 0sont les fonction constantes. Pour λn, n ≥1, toutesolution propre est de la forme

u(t− t0) = Aλ−1/pn sinp(λ

1/pn t)

26

pour certains t0, A ∈ R. La fonction y = sinp(s) est icila fonction definie implicitementpar

s =∫ y

0

dτ

(1− τ p

p− 1)1/p

,

pour s ∈ [0,πp2

], etendue parsymetrie sur [πp2, πp], puis parπp-periodicite sur R. (Ref

[DP-M-M]).Le spectre de Fucik du p-laplacien (cas periodique)est l’ensemble des couples (λ+, λ−) ∈ R2

pourlesquels il existe une solution non triviale du probleme −(ϕp(u′))′ = λ+ϕp(u+)− λ−ϕp(u−)

u(0) = u(2π), u′(0) = u′(2π).

(avec comme precedemment u ∈ C1([0, 2π]) etϕp(u′) ∈ C1([0, 2π])).

Ce spectre est forme des droites ×0 et 0 ×R et des courbes Ck, pour k ≥ 1,

Ck = (λ+, λ−) ∈ R∗+ ×R∗+;λ−1/p+ + λ

−1/p− =

π

πpk.

Les courbes Ck sont symetriques par rapport a la diagonaleet passent par (λk, λk).Notons

(λk(µ) +µ, λk(µ)) le seul point (λ+, λ−) de Ck sur la droite y = x−µ. Gracea la symetriede la courbe Ck on a

λk(−µ) = λk(µ) + µ.

Nous pouvons donc nous restreindre au cas µ ≥ 0 pourreenoncer certains resultatsprecedents de la faconsuivante.

Proposition (4.2). Fixons µ ≥ 0. Alors on a(i) La valeur λk(µ) est une solution duprobleme aux valeurs propres

(Pv)µ

Trouver λ ∈ R telle qu’il existe u 6≡ 0, u ∈ C1, ϕp(u

′) ∈ C1 satisfaisant −ϕp(u′)′ − µϕp(u+) = λϕp(u)

u(0) = u(2π), u′(0) = u′(2π).(ii) Posons λ−1(µ) = −µ et λ0(µ) = 0.Alors les valeurs propres de (Pv)µ forment unesuite

λ−1(µ) < λ0(µ) < λ1(µ) < λ2(µ) < . . .

tendant vers +∞. Le point(µ+ λk(µ), λk(µ)) ∈ R2 appartient a lacourbe Ck (k ≥ 1).(iii)Chaque solution (normalisee) du probleme (Pv)µ,associee a une valeur propre λ ∈ R fixe,estunique a une translation pres. (Ref. [DP-M-M])

27

4.2 Une formulation variationnelle du spectre de Fucik

Notons S1 = R/2πZ et les elements deS1 par θ. Pour 1 < p <∞ soit

H1,p(S1) = u ∈ H1,p([0, 2π]);u(0) = u(2π),

muni de la norme‖u‖ = (‖u′‖pp + ‖u‖pp)1/p

ou ‖u‖pp =∫ 2π

0|u|pdt. Notons par(·, ·) le produit scalaire

(u, v) =∫ 2π

0uv dt

dans la dualite (Lp, Lp′), p′ =

p

p− 1,et par< ·, · > le produit scalaire dans la dualite(H1,p(S1), H1,p(S1)∗).

La fonctionnelle associee au probleme (Pv)µ est

Iµ(u) = ‖u′‖pp − µ‖u+‖pp.

On notera I0 = I. Concernant la regularite des solutions faibles mentionnons unresultatdu a Otani ([OT]) :(i) Pour p > 2 les solutions faibles de (Pv)µ sont dessolutions classiques,c-a-d., u ∈ C1([0, 2π]) et ϕp ∈ C1([0, 2π]). En les points ou la derivee ne s’annulepas, lesfonctions sont de classe C∞.(ii) Pour 1 < p ≤ 2 toute solution faible est de classe C∞.Les solutions u ∈ H1,p(S1) de (PVµ) sont lespoints critiques de Iµ avec la contrainte ‖u‖p =1.λ est donc le multiplicateur de Lagrange provenant de cettecontrainte. Autrement dit,si on pose M = u ∈ H1,2(S1); ‖u‖p = 1 les solutions de ce probleme sont les pointscritiques deIµ restreinte a la variete M . En se basant dans un principe de minimax surla variete u ∈ H1,p(S1); ‖u‖2 = 1, analogue a celui que nousutilisons, De Figueiredoet Ruf montrent le theoreme (4.1) dansle cas p = 2. La demonstration qu’ils proposentde ce principe(qui concerne l’existence de points critiques sur M) utilise unlemme dedeformation pour des varietes de classe C1,1.Ce lemme s’applique en particulier a la varieteM = u ∈ H1,2(S1); ‖u‖2 = 1 qui est de classe C2. Onpeut trouver plusieurs versionsdu lemme de deformation pour desvarietes C1,1 dans, par exemple, [ST] ou [M-W]. Dansnotre cas M = u ∈ H1,p(S1); ‖u‖p = 1 est unevariete de classe C [p], [p] = partie entierede p.Cette methode de demonstration ne s’appliquerait que pourp ≥ 2, la condition deregularite C1,1 n’etant passatisfaite pour 1 < p < 2. Nous introduisons une nouvelle for-

mulationvariationnelle du probleme (Pv)µ qui nous dispensera dans lasuite de travaillersur l’ensemble M . Nous nous sommes inspiresici du travail de [AN2].On definit la fonc-tionnelle Φµ : H1,p(S1)→ par

Φµ(u) = Iµ(u)2 − ‖u‖pp.

Φµ est de classe C1 et sa derivee de Frechet estegale a

< Φ′µ(u), v >= 2Iµ(u) < I ′µ(u), v > −p(ϕp(u), v)

28

pour v ∈ H1,p(S1).

Les points critiques u 6≡ 0 de Φµdifferents de (1

4πµ2)1/pfournissent des fonctions propres

de (Pv)µ, associees ades valeurs propres λ > 0 qui sont, par [C2], egales a

λ =1

2Iµ(u)=

1

2√−d

ou Φµ(u) = d.Inversement, si u est une fonction propre de (Pv)µ associeea une valeurpropre λ 6= 0 alors la fonction

v = (2λIµ(u))−1/p · u

est un point critique de Φµ ayant comme valeur critique

d = Φµ(v) = − 1

4λ2.

Les fonctionnelles Φµ et Iµ introduites auparagraphe 4.2 restent invariantes lorsqu’on

change u par unetranslation de u,

Tθ(u) = u(θ + ·), θ ∈ S1.

En general, pour les fonctionnelles invariantes definies surdes espaces de Banach X ou l’ona l’action d’un groupetopologique compact (comme par exemple S1) il existe plusieurstheoriesde l’index liees a l’action du groupe. Cestheories permettent de trouver des points critiquesmoyennant unemethode de minimax. Nous utiliserons l’index relatif de Benci developpedand la section 3 et que s’adapte bien a notre cas.

4.3 Enonce et demonstration du resultat principal

Le resultat principal concerne les valeurs λk(µ). Ilexprime une caracterisation varia-tionnelle des λk(µ)en termes de Iµ et d’une certaine famille de sous-ensembles deM =u ∈ H1,p(S1); ‖u‖p = 1. Ces familles desous-ensembles sont definies en utilisant l’indexrelatifγ0 de la section 3. Dans notre cas X = H1,p(S1), X0 = u ∈ H1,p(S1);u ≡ cte etTθθ∈S1 est l’action detranslation. Nous identifions dans ce qui suit X0 avec R.PosonsΣ = A ⊂M ; A est compact etinvariant.

Dans une premiere etape (proposition (4.6)) nous montrons quel’application µ → bk(µ)est continue, doncl’ensemble (µ + bk(µ), bk(µ);µ ≥ 0 est une courbedans R2. Ladeuxieme etape a comme but de prouver quecette courbe est une des courbes du spectrede Fucik(proposition (4.8)). La troisieme conclut que bk(µ) = λk(µ).Tous les resultatsque nous allons enoncer seront valables pourtout 1 < p <∞ sauf indication contraire.

29

Lemma (4.5). Pour tout k ≥ 1 et pour toutµ ≥ 0 on a

−∞ < bk(µ) < +∞

Demonstration.La fonctionnelle Iµ est bornee inferieurememt sur M car

Iµ(u) = ‖u′‖pp − µ‖u+‖pp ≥ −µ

pour tout u tel que ‖u‖p = 1. Donc

bk(µ) ≥ −µ ∀ k ≥ 1, ∀µ ≥ 0

En outre, Γ 6= ∅ ∀ k ≥ 1. Donc bk(µ) < +∞.

Proposition (4.6). Pour tout k ≥ 1, l’applicationbk : R+ → R definie par : µk(µ)est continue. L’ensemble Bk = (µ + bk(µ); bk(µ));µ ≥ 0 est donc une courbe dansR2.Demonstration. Soient µ1 ≤ µ2. De la definition de Iµ il resulteque Iµ1(u) ≥ Iµ2(u)pour tout u et donc

bk(µ1) ≥ bk(µ2).

Soit maintenant δ > 0 et |µ1 − µ2| ≤ δ. Si u nous avons

Iµ2(u) + δ ≥ Iµ2−δ(u) ≥ Iµ1(u) ≥ Iµ2+δ(u) ≥ Iµ2(u)− δ

et par suitebk(µ2) + δ ≥ bk(µ1) ≥ bk(µ2)− δ.

Nous prouvons d’abord le lemme (4.7) qui concerne b1(0).

Lemme (4.7). Posons b1 = b1(0). Alors on a

b1 ≥ λ1

ou λ1 est la premiere valeur propre (non nulle) dup-laplacien (cas periodique).Demonstration.Rappelons

le resultat de Veron [VE] mentionne dansl’introduction : si on poseN = u1,p(S1);∫ 2π

0|u|p−2u dt = 0

alorsλ1 = min

u∈N∩M‖u′‖pp.

Comme b1 = Γk‖u′‖pp il suffit demontrer que λ1 ≤ maxu∈A‖u′‖pppour tout A ∈ Γ1. Prenons

donc A ∈ Γ1 et montrons quel’on a A∩N 6= ∅. Supposons, par contradiction, queA∩N =∅, i.e. ∫ 2π

0|u|p−2u dt 6= 0 ∀u ∈ A.

On definit alors l’application h : A→ \0 comme suit :

h(u) = l’unique constante c ∈ R telle que∫ 2π

0|u− c|p−2(u− c)dt = 0.

30

L’existence et l’unicite de cette constante est uneconsequence du caractere strictementdecroissant de lafonction g : R→ R definie, pour un u ∈ Afixe, par

g(u, c) = g(c) =∫ 2π

0|u− c|p−2(u− c)dt.

Remarquons quelimc→+∞

g(c) = − limc→−∞

g(c) = −∞,

et que l’application h : A→ R0 est invariante partranslation, c-a-d.

h(Tθu) = h(u) ∀ θ1, ∀u ∈ A.

Prouvons que h est continue. Soit (un) une suite dans Aconvergeant vers un element u ∈A. On sait queun → u uniformement sur [0, 2π] d’apresl’inclusion continue H1,p(S1) →C([0, 2π]).Posons h(un) = cn et h(u) = c. Nous remarquons d’abord que toutesuitepartielle (cnk) qui soit convergente esttelle que lim

k→∞cnk = c. Eneffet, si d = lim

k→∞cnk alors

∫ 2π

0|u− d|p−2(u− d)dt = lim

k→∞

∫ 2π

0|unk − cnk |p−2(unk − cnk) dt = 0

Donc d = c par l’unicite de la constante c. Il suffit donc demontrer que toute suite partiellede (cn) possede une suitepartielle convergente. Cela aura manifestement lieu si la suite(cn)est bornee. Mais cette derniere propriete suit de(4.2) (qui a lieu uniformemennt pour uborne dansC([0, 2π])).L’application h est donc continue. Comme 0 6∈ h et hest invariante on a alors h ∈M0

0 (A, Id) (avec les notations de la section 3). Donc γ0(A) = 0, ce qui est absurde carA ∈ Γ1.Nous avons A ∩N 6= ∅ pour tout A ∈ Γ1. En prenant uA ∈ A ∩N il resulte que

maxu∈A‖u′‖pp ≥ ‖u′A‖pp,

et puisque uA ∈ A ∩N , nous avons

λ1 ≤ ‖u′A‖pp.

il resulte quemaxu∈A‖u′‖pp ≥ λ1

et doncb1 = Γ1‖u′‖pp ≥ λ1.

Nous allons montrer ensuite que les valeurs (bk(µ))k sont desvaleurs propres de (Pv)µ,i.e., que la courbeBk = (µ + bk(µ); bk(µ));µ ≥ 0 appartient au spectre de Fucik pourtout k ≥ 1.Nous utiliserons ici la deuxieme formulation du probleme (Pv)µ introduite uaparagraphe 4.2. Dans le lemme suivant nous introduisons une nouvelle suite, lesdk(µ), quisont des valeurs critiques de Φµ. Cesvaleurs dk(µ)k correspondront aux valeurs bk(µ).

31

Lemme(4.8). Pour tout k ≥ 1 prenons

Λk = A ∈ H1,p(S1)\0; A est compact,invariant et γ0(A) ≥ k.

On definitdk(µ) = A ∈ Λk, u ∈ AΦµ(u).

Alors, si bk(µ) > 0, la valeur dk(µ) est une valeurcritique de Φµ.Remarque (4.9).La con-

dition bk(µ) > 0 ne conduira finalement a aucunerestriction dans le resultat final (voir laproposition (4.10)).Remarquons que, d’apres le lemme (4.7) et la continuite del’applicationµ→ bk(µ) (proposition (4.6)), ilexiste toujours un intervalle maximal [0, µ) dans lequelona

bk(µ) > 0 ∀µ ∈ [0, µ).

Nous deduirons plus tard que µ = +∞.Demonstration du lemme (4.8).Nous allons

utiliser le principe de minimax de [B-B-L-R] (adapte au cas d’un espace de Banach) avecΦµet les valeurs et dk(µ) . Verifionsdonc que Φµ satisfait les hypotheses (H1)-(H6)dans[B-B-L-R].(H1) Φµ(0) = 0.(H2) Φµ est invariante par translation.(H3) Φµ satisfait la propriete de (P.S).(verifier!!)(H4) Comme Λk 6= ∅ ∀ k ≥ 1, les valeursdk(µ) sont donc < +∞.(H5) Verifions ensuite que dk(µ) > −∞. Supposonspar l’absurde, qu’il existe une suite(An)n, An ∈ Λktelle que

limn→∞

maxu∈An

Φµ(u) = −∞.

Posons An = u

‖un‖p;un. Il est facile de verifier que An ∈ Γk.De la definition de bk(µ) il

suit que

bk(µ) ≤ maxu∈An

Iµ(u) = maxun

Iµ(u)

‖u‖pp∀n ∈ .

Il existe donc un ∈ An tel que

bk(µ) ≤ Iµ(un)

‖un‖ppc-a-d.

bk(µ)‖un‖pp ≤ Iµ(un) ∀n ∈ N.

Utilisons maintenant l’hypothese bk(µ) > 0. Il suit

b2k(µ) · ‖un‖2p

p ≤ Iµ(un)2

et doncΦµ(un) ≥ b2

k(µ) · ‖un‖2pp − ‖up‖p.

32

Il resulte quelimn→∞

b2k(µ) · ‖un‖2p

p − ‖up‖p = −∞

ce qui est absurde.(H6) dk(µ) < 0. Considerons Ek l’espaceengendre par les fonctions sin(jt), cos(jt) pour1 ≤ j. Posons F = R⊕Ek. Puisque dimF < +∞, les normes‖·‖p et ‖·‖ sont equivalentesdans F . Ilexistera donc un reel c > 0 tel que, pour tout u ∈ F ,

1

c‖u‖pp ≤ ‖un‖p ≤ c‖u‖pp.

Soit a = maxc, µ. Considerons l’ensemble

B = u ∈ F ;1

4a2≤ ‖u‖pp ≤

1

3a2.

On sait que γ0(B) = k. Alors, enutilisant que

Iµ(u)2 ≤ max‖u′‖2pp , µ

2‖u‖2pp

pour tout u ∈ H1,p(S1) et que γ0(B) = k, on deduit

dk(µ) ≤ maxu

Φµ(u) ≤ max c2

9a4− 1

4a2,µ2

9a4− 1

4a2 < 0.

Pour conclure que dk(µ) est une valeur critique de Φµdistinguons deux cas :

(a) dk(µ) = − 1

4µ2(si µ > 0). Dansce cas dk(µ) est une valeur critique de Φµcorrespondant

au point critiqueu ≡ (1

4πµ2)1/p.

(b) dk(µ) 6= − 1

4µ2. Dans ce casKdk(µ) ∩R = ∅. Nous pouvons alorsappliquer le principe

de minimax de [B-B-L-R] avec d = dk(µ). Onconclut que dk(µ) est une valeur critique deΦµ et lelemme (4.8) est demontre.

Proposition (4.10). Les valeurs (bk(µ))k sont des valeurs propres du probleme(Pv)µ.De plus on a

bk(µ) < bk+1(µ).

Demonstration.Soit [0, µ) le plus grand intervalle dans R+ telque

bk(µ) > 0 pour tout µ ∈ [0, µ).

(Voir la remarque (4.7)). Par le lemme (4.6) les valeurs dk(µ) definie en (4.8) sont desvaleurs critiques deΦµ lorsque µ ∈ [0, µ). Par ailleurs on saitque

dk(µ) < 0

33

et que si u ∈ H1,p(S1) est un point critique de Φµ,tel que Φµ(u) = dk(µ), alors

‖u‖pp = −2dk(µ).

Grace a l’homogeneite de Iµ et de ‖ · ‖p on aen outre l’identite suivante :

dk(µ) = A ∈ ΛkΦµ(u);u ∈ A et ‖u‖pp = −2dk(µ)

= A ∈ ΛkIµ(u)2;u ∈ A et ‖u‖pp = −2dk(µ)+ 2dk(µ)

= 4d2k(µ)(A ∈ ΛkIµ(u))2 + 2dk(µ).

Doncdk(µ) = 4d2

k(µ)b2k(µ) + 2dk(µ)

c-a-d.

b2k(µ) =

−1

4dk(µ).

La valeur bk(µ) est donc une valeur propre du probleme (Pv)µ lorsqueµ ∈ [0, µ), la courbeBk = (bk(µ) + µ, bk(µ));µ ∈ [0, µ) appartient au spectre de Fucik. Puisque Bk passepar (bk(0), bk(0)) et

bk(0) ≥ b1(0) = b1 ≥ λ1

on deduit que Bk est contenue dans l’une descourbes Cm pour m ≥ 1. En particulier,par lacontinuite de bk(µ), µ = +∞, et nousconcluons que bk(µ) est une valeur propre de(Pv)µ.∀µ ≥ 0.Prouvons la deuxieme partie de la proposition. Vu que Bk estcontenue dans l’une descourbes Cm pour m ≥ 1 du spectre deFucik il suffit de verifier que bk(0) < bk+1(0) etnousaurons automatiquement le resultat

bk(µ) < bk+1(µ)

pour tout µ ≥ 0.Il suffira de verifier que dk(0) < dk+1(0)pour tout k ≥ 1. Posons dk = dk(0) et supposons,parl’absurde, que

d = dk = . . . = dk+s

pour un certain s ∈ N, s ≥ 1. Comme d = dk < 0 est unevaleur critique de la fonctionnelle

Φ(u) = Φ0(u) = ‖u′‖2pp − ‖u‖pp,

et les fonctions constantes (autres que u ≡ 0) ne sont pasdes points critiques de Φ,ondeduit que

Kd ∩R = ∅.

En appliquant le principe de minimax de la section 3 il vient

γ(dk) ≥ s+ 1 ≥ 2.

34

Il existe donc, au moins, deux orbites differentes dans Kd.Les elements u de Kd sont lessolutions de l’equation

< Φ′(u), v >= 2I(u) < I ′(u), v > −p(ϕp(u), v) = 0

∀ v ∈ H1,p(S1), telles que Φ(u) = d. Comme on a, par [C2], que

‖u‖pp = −2d et I(u) =√−d,

on peut donc reecrire

1

p< I ′(u), v >=

1

2√−d· (ϕp(u), v) ∀ v ∈ H1,p(S1)

ou encore

−(ϕp(u′))′ =

1

2√−d· ϕp(u).

Or, nous savons par la proposition (4.2) que cette equation a uneseule solution (a unetranslation pres) satisfaisant une desconditions de normalisation. D’ou l’absurde.

Corollaire (4.11). ∀ k ≥ 1, bk(0) ≥ λk.Demonstration.Les valeurs bk(0) sont desvaleurs propres de (Pv) distinctsdeux a deux. Donc bn(0)n≥1 ⊂ λnn≥1 (car b1(0) ≥ λ1)etpar suite bk(0) ≥ λk.

Demonstration de (A) du theoreme (4.3)Nous voulons prouver que bk(µ) ≥ λk(µ).Comme, par laproposition (4.8), la courbe Bk est contenue dans l’une descourbes Cm pourm ≥ 1 et, grace au corollaire (4.9), bk(0) ≥ λk, on deduit que Bk est contenue dansl’unedes courbes Cm pour m ≥ k. On a doncbk(µ) ≥ λk(µ). Pour montrer quebk(µ) ≤ λk(µ) (cequi achevera la demonstrationde cette partie A) il suffit de montrer que bk(0) ≤ λk.Celaimpliquerait en effet que bk(0) = λk. Comme par cepoint ne passe qu’une seule courbedu spectre de Fucik, ondeduit que Bk = Ck ∩ (x, y);x ≥ y et doncbk(µ) = λk(µ).Pourmontrer que bk(0) ≤ λk nous utilisons un argumentde continuite par rapport a p. Nousintroduisons unenouvelle notation en mettant p bien enevidence :

λk,p = k-ieme valeur propre non nulle dup-laplacien

λk,p =

2k

p sin πp

p (p− 1).

Mp = u ∈ H1,p(S1); ‖u‖p = 1

Σp = A ⊂Mp;A est compact et invariant,

et de facon analogue, M0k,p(A), γ0,p(A),Γk,p et bk,p, cette derniere quantite etant

bk,p = A ∈ Γk, u ∈ A‖u′‖pp.

Nous utiliserons le resultat suivant.

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Lemme (4.12). Soient 1 < p ≤ q et k ≥ 1. Alors

pb1/pk,p ≤ qb

1/qk,q

Demonstration du lemme (4.12).Supposons 1 < p < q. Prenons l’operateur

g : H1,q(S1)→ H1,p(S1)

defini parg(u) = |u|q/p−1u.

Cet operateur est bien defini et

‖g(u)‖p = ‖u‖q

‖g(u)′‖p ≤q

p‖u‖

q−pp

q · ‖u′‖q.

Montrons que g est continu. Vu comme un operateur de Lq versLp, g est un operateurde Nemytskii, qui est continu deLq dans Lp. Sur H1,q(S1) il verifie la relationsuivante :etant donnes u, v ∈ H1,q(S1) on a

‖g(u)′ − g(v)′‖p =q

p‖|u|q/p−1u′ − |v|q/p−1v′‖p

≤ q

p‖u‖

q−pp

q ‖u′ − v′‖q +q

p‖v′‖q‖|u|q/p−1 − |v|q/p−1‖ pq

q−p

Le dernier facteur a droite n’est autre que

‖h(v)− h(u)‖ pqq−p

ou h(x) = |x|q/p−1. h est aussi un operateur deNemytskii, de Lq vers Lpq/q−p. Il est donccontinu et parsuite, g est continu de H1,q(S1) vers H1,p(S1).Considerons maintenant un ensemble quelconque B ∈ Γk,q.On lui associe l’ensemble B ⊂Mp defini par

B = g(B)

Comme g est continue, B est un ensemble compact. Commel’operateur g est invariant partranslation, B estinvariant. On a donc B ∈ Σp. Montrons queγ0,p(B) ≥ k. Supposons,

par l’absurde, qu’ilexiste une application h : B → R ×s \0 appartenant a M0s,p(B, S)

pour uncertain s < k et une certaine action S dans Cs.Prenons la fonction Φ : R×s → R×s definie comme suit

Φ(c, z) = (|c|p/q−1c, z)

pour tout (c, z) ∈ R×s. Posons h = Φ h g. Il est facile deverifier que h ∈ M0s,q(B, S)

et doncγ0,q(B) ≤ s, ce qui est absurde car B ∈ Γk,qet s < k. Nous avons donc que

36

B ∈ Γk,p..Si nous utilisons ensuite les definitions de bk,q etbk,p nous obtenons

bk,p = A ∈ Γk,p, v ∈ A‖v′‖pp ≤ B ∈ Γk,q, v ∈ B‖v′‖pp

≤ (q

p)pB ∈ Γk,q, u ∈ B‖u′‖pq

= (q

p)pb

p/qk,q

c-a-d.bk,p ≤ (

q

p)pb

p/qk,q ,

ce qui termine la demonstration du lemme (4.11).

(suite de la demonstration de (A) du theoreme (4.3)).Nous supposons dansce qui suit 1 < p ≤ 2. Comme il a etemontre dans [DF-R] que bk,2 = λk,2 (cas p = 2)ondeduit du lemme (4.11), avec q = 2, que

b1/pk,p − λ

1/2k,2 ≤ (

2

p− 1)λ

1/2k,2 .

Cela implique que pour p suffisamment pres de p = 2,bk,p = λk,p. En effet, supposonspar l’absurde, qu’ilexiste 1 < pn < 2 avec pn → 2 tel que bk,pn 6= λk,pn . Comme bk,p ≥λk,p(corollaire (4.11)), il resulte que

bk,pn ≥ λk+1,pn .

il vient

λ1/pnk+1,pn

− λ1/2k,2 ≤ (

2

pn− 1)λ

1/2k,2 .

et en faisant n→∞, on trouve

λ1/2k+1,2 − λ

1/2k,2 ≤ 0,

une contradiction. (Nous avons utilise ici le fait que lesvaleurs λk,p sont continues parrapport a ppour un k ≥ 1 fixe).On a donc montre que λk,p = bk,p pour tout p dansunvoisinage (a gauche) de p = 2. Montrons ensuite que le memeresultat est vrai pour tout1 < p ≤ 2, ce qui terminera lademonstration de (A).Posons

p1 = infp > 1; bk,q = λk,q ∀ q ∈ (p, 2].

Par ce qui precede p1 < 2. Supposons, par contradiction, quep1 > 1. Par la definition dep1 on a que

bk,p = λk,p pour tout p ∈ (p1, 2].

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On a aussi bk,p1 = λk,p1 . En effet, dans le cascontraire, bk,p1 ≥ λk+1,p1 et, en utilisantlelemme (4.11) pour 1 < p1 < p < 2, il vient

λ1/p1k+1,p1

− λ1/pk,p ≤ (

p

p1

− 1)λ1/pk,p .

Si nous faisons alors tendre p vers p1 nous trouvons

λ1/p1k+1,p1

− λ1/p1k,p1≤ 0,

ce qui est absurde. On a donc λk,p1 = bk,p1 . Lememe raisonnement que celui que nousavons employeprecedemment pour p = 2 nous assure alors l’existence d’unvoisinage (p1−ε, p1] tel que

bk,p = λk,p ∀ p ∈ (p1 − ε, p1]

ce qui est absurde d’apres la definition de p1. Donc p1 = 1et la demonstration de la partie(A) du theoreme (4.3) estachevee.

Demonstration de (B) du theoreme (4.3).Reprenons l’argument utilise dans lapremiere partie de lademonstration de (A). Il suffit de verifier quebk ≤ λk pour p ≥ 2et suffisamment pres de p = 2.Nous adoptons les notations bk,p, λk,p, γ0,p,etc. . . introduitesdans la demonstration de la partie (A).Fixons k ≥ 1. Prenons le sous-espace Ek engendre par lesfonctions sin jt, cos jt, pour1 ≤ j ≤ k et posons

B = u ∈ R⊕ Ek; ‖u‖p = 1.On sait que γ0,p(B) = k. Prenonsu ∈ B quelconque de la forme

u(t) =a0

2+

k∑j=1

aj cos jt+ bj sin jt

Un calcul direct des normes ‖u′‖2 et ‖u‖2 donnel’inegalite suivante :

‖u′‖22 ≤ k2‖u‖2

2 = λk,2‖u‖22.

Par ailleurs, en appliquant l’inegalite de Holder on a que

π

a20

2+

k∑j=1

a2j + b2

j

= ‖u‖22 ≤ (2π)

p−2p = ‖u‖2

p = (2π)p−2p

et alors

‖u′‖∞ ≤ kk∑j=1

(|aj|+ |bj|) ≤ k(2k)1/2(k∑j=1

a2j + b2

j)1/2 ≤ c(k, p)

ou c(k, p) =√

2k3/2π−1/2(2π)p−22p . on en deduit

bk,p ≤ maxu∈B‖u′‖pp ≤ max

u∈B‖u′‖p−2

∞ ‖u′‖22 ≤ c(k, p)p−2(2π)

p−2p λk,2.

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Doncbk,p ≤ (c(k, p)(2π)1/p)p−2λk,2.

Finalement supposons, par contradiction, qu’il n’existe aucunintervalle [2, 2 + ε) pourlequel on ait

bk,p = λk,p ∀ p ∈ [2, 2 + ε).

Il existe alors une suite (pn), p ≥ 2 et limn→∞

pn = 2, telle quebk,pn 6= λk,pn ∀n ∈ N .

Doncbk,pn ≥ λk+1,pn , ce qui, avec (4.25) implique

λk+1,pn ≤ (c(k, pn)(2π)1/pn)pn − 2λk,2.

Si on fait n→∞ on obtient

(c(k, pn)(2π)1/pn)pn − 2→n→∞1

et par suiteλk+1,2 ≤ λk,2 ,

une contradiction.

Remarque (4.13).L’argument utilise dans la demonstration de la partie (A) dutheoreme(4.3) ne s’applique pas pour p > 2 : nous pourrionsavoir bk,p = λk+s,p avec s > 1 sans,par cela,contredire l’inegalite du lemme (4.11) : pour p → 2 on trouverait l’inegalite

λ1/2k,2 ≤ λ

1/2k+s,2 qui est manifestement juste.

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