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Physique des transducteurs piézoélectriques

Frédéric Élie,février 2017

« Si vous ne dites rien à votre brouillon, votre brouillon ne vous dira rien ! »Jacques Breuneval, mathématicien, professeur à l’université Aix-Marseille I, 1980

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Certains matériaux (cristaux et même polymères) ont la propriété de se déformer sous l'actiond'un champ ou d'un courant électrique, et, réciproquement, de générer un champ ou un courantélectrique lorsqu'ils sont déformés sous l'action de contraintes mécaniques. Cette faculté a pourorigine que la distribution des charges dans le matériau cesse d'être statistiquement homogènelors d'une déformation du matériau, et crée une polarité électrique responsable de l'apparitiond'une différence de potentiel électrique entre les bornes du matériau. Ces matériaux sontqualifiés de « piézoélectriques ».Sous certaines conditions, heureusement les plus courantes, ces matériaux peuvent êtremodélisés au moyen de schémas électriques équivalents qui permettent de simplifier les calculset la prédiction de leurs comportements.Lorsque ces matériaux sont associés à un milieu physique (air, liquide, autre milieu matériel) oubien un circuit électrique d'utilisation (amplification, circuit d'émission, circuit de réception...), lamodélisation par schémas électriques équivalents reste possible et permet de prédire, entreautres, les propriétés de sensibilité à la réception, ou à l'émission, de propagation des ondesacoustiques ou élastiques qui en sont émises.Les applications de la piézoélectricité sont très nombreuses et concernent des domaines variés :éléments actifs des antennes sonars et hydrophones en détection sous-marine, appareilsd'échographie en médecine, expertises des matériaux par ultrasons, systèmes d'émission ou deréception en acoustique aérienne (hauts-parleurs, microphones...), jauges de déformation, etc.,etc.

Sommaire :

1. Transducteurs piézoélectriques2. Propagation des ondes élastiques dans les solides : généralités3. Ondes élastiques dans les matériaux piézoélectriques4. Schéma équivalent pour un transducteur composite en interaction avec un milieufluide5. Sensibilités et directivité des capteurs et émetteurs piézoélectriques

©Frédéric Élie – http://fred.elie.free.fr, février 2017 - page 1/62

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1. Transducteurs piézoélectriques

1.1. Généralités

Un matériau piézoélectrique, par définition, a la propriété de générer une répartition de chargesélectriques dans des directions privilégiées lorsqu'il est soumis à une contrainte mécanique et,réciproquement, d'être le siège de déformations élastiques lorsqu'il est soumis à un champélectrique.Un matériau ordinaire conserve une distribution de charges électriques internes aléatoire detelle sorte que la charge globale reste nulle, que ce soit sans ou avec contraintes mécaniques.Ce n'est pas le cas pour les matériaux piézoélectriques.

La direction des déformations n'est pas nécessairement celle de la contrainte appliquée, ni duchamp électrique appliqué, comme l'illustrent les exemples simplifiés de la figure 1.

figure 1 : exemples de types de réponse d'un matériau piézoélectrique à l'action d'une contraintemécanique

1.2. Matériau non piézoélectrique : propriétés électriques

Pour un matériau non piézoélectrique, la présence d'un champ électrique E (vecteur à 3composantes spatiales Ei = E1, E2, E3 - unités : V/m), un champ de déplacement électrique D(vecteur à 3 composantes spatiales Dj = D1, D2, D3 - unités : C/m²) est généré dans lematériau ; la permittivité diélectrique du matériau relie linéairement E et D :

D=[ε]Esoit: Di=εij E j

(1)

où [e] est le tenseur permittivité diélectrique de 3 x 3 = 9 composantes ei j (i, j = 1, 2, 3),exprimées en farad/mètre (F/m). L'inversion de la relation (1) s'écrit :


Oh, Méson ! Quet'arrive-t-il ??

Je suis devenupiézoélectrique,

Photon !!...

Contrainte T Contrainte T

Déformation S

Déformation S

Champ électrique EChamp électrique E


E=[β]Dsoit: E j=β ji Di

(2)

où [b] est le tenseur imperméabilité diélectrique, de 9 composantes bi j : [b] = [e]-1 ; unités m/F.On distingue :

– la constante diélectrique à contrainte constante, éventuellement nulle (matériau libre) :e T

i j

– la constante diélectrique à déformation constante, éventuellement nulle (matériaubloqué) : e Si j

Pour un matériau non piézoélectrique, les deux constantes diélectriques sont identiques,puisque les contraintes ou les déformations sont indépendantes du champ électrique ou dudéplacement électrique.

1.3. Matériau non piézoélectrique : propriétés élastiques

Toujours dans le cas d'un matériau non piézoélectrique, on considère maintenant la relationentre l'action d'une contrainte et la déformation du matériau qu'elle produit.Comme indiqué dans les ouvrages de mécanique des milieux continus ( 1), pour un cubeélémentaire de matériau, il y a 9 composantes de contrainte T ij (i,j = 1, 2, 3) et 9 composantesde déformation Sij (i, j = 1, 2, 3) ; la force exercée suivant la direction spatiale n°i, sur un volumeélémentaire dxdydz dépend des 3 composantes Tij suivant les directions j = 1,2,3 :

F i=(∂T i1

∂ x1+∂T i2

∂ x2+

∂T i3

∂ x3 )dx dy dz=∂T ij

∂ x jdx dy dz (3)

de sorte que, pour définir complètement le champ de force dans les 3 directions x i, i = 1,2,3 ona besoin des 9 composantes Tij de la contrainte, ou encore tenseur des contraintes [T](unités : N/m² ou Pa)Quant à la déformation, on démontre qu'elle est définie par le tenseur de déformation [S] decomposantes (sans dimensions, ou plus exactement exprimées en m/m) :

S ij=12( ∂ ui

∂ x j+

∂ u j

∂ xi ) (4)

où les ui sont les déplacements du matériau suivant la direction x i. La relation linéaire entre lesdeux tenseurs [T] et [S] exprime la loi de Hooke généralisée ; mais adoptée telle quelle, ellefait intervenir un tenseur lourd à manipuler ; pour simplifier l'écriture, et surtout pour mettre enévidence certaines symétries dans le matériau, on utilise la convention suivante : les tenseurs[T] et [S] sont transformées chacun en vecteur à 6 composantes :

T 1=T 11 ; T 2=T 22 ; T 3=T 33

T 4=T 23=T 32 ; T 5=T 13=T 31 ; T 6=T 12=T 21 (5)

S 1=S 11; S 2=S22 ; S 3=S33

S 4

2=S 23=S32 ;

S5

2=S 13=S31 ;

S6

2=S 12=S 21

(6)

puisque les deux tenseurs sont symétriques.

1 J. Salençon: mécanique des milieux continus, Ellipses, Paris, 1988



Dans cette convention d'indices, les indices 1, 2, 3 représentent les axes Ox, Oy, Oyrespectivement, et les indices 4, 5, 6 équivalent à un indice double représentant un plan : 4pour yOz, 5 pour zOx, 6 pour xOy.

La loi de Hooke exprime que, pour de petits déplacements, les déformations sontproportionnelles aux contraintes, faisant intervenir le tenseur des raideurs à 6 x 6 = 36composantes [c] (unités : N/m²) :

Tm=c

mnS

n ; m ,n=1,2 ,3,4 ,5 ,6 (7)

Or on montre que [c] est lui aussi un tenseur symétrique : cmn = cnm ; par conséquent lecomportement élastique du matériau est, a priori, déterminé par 21 constantes d'élasticité aulieu de 36. Selon les propriétés de symétrie des cristaux composant le matériau, ce nombrepeut diminuer considérablement, abaissant corrélativement le rang des tenseurs. Le nombre detypes de cristaux classés selon les critères de symétrie est égal à 32 ; des ouvrages spécialisésdétaillent ces types et la nomenclature des cristaux concernés (2).Le cas d'un matériau isotrope est le plus simple puisque les constantes se réduisent au nombrede 2 :

c11=c22=c33=λ+2μ=Y1−σ

(1+σ)(1−2σ)

c12=c13=c23=c21=c31=c32=λ=Y σ(1+σ)(1−2σ)

c44=c55=c66=μ=Y1

2(1+σ)autres cmn=0

(8)

où l et m sont les coefficients de Lamé (unités : N/m²). On définit :Y: module d'Young ; c'est le rapport entre la contrainte exercée dans une direction spatiale x j

et la déformation dans cette même direction, sous l'hypothèse que les autres faces du sontlibres, ainsi : Y = Tj / Sj ; unités : N/m²s: coefficient de Poisson ; c'est le rapport entre la contraction dans une direction spatiale i etl'extension dans une autre direction spatiale j , ainsi : s = - Si / Sj ;La loi de Hooke généralisée (7) devient alors, compte tenu de (8) :

T 1=λ K+2μ S 1

T 2=λ K+2μ S 2

T 3=λ K+2μ S 3T 4=μ S 4

T 5=μ S5

T 6μ S6

(9)

où K désigne la variation relative de volume :

K=S 1+S 2+S3 (10)

Si l'on choisit i = 1 pour l'axe suivant lequel la contrainte est appliquée, les équations (9)deviennent :

2 Voir par exemple : Physical Acoustics, Principles and methods, edited by Warren P. Mason,Academic Press, New York and London, 1964



T 1=(λ+2μ) S1+λ(S2+S3)

0=(λ+2μ)S 2+λ(S 1+S3)

0=(λ+2μ)S 3+λ(S1+S2)

(11)

dont la résolution permet d'exprimer les déformations en fonction des contraintes :

S1=λ+μ

μ(3λ+2μ)T 1

S 2=S3=− λ2μ(3λ+2μ)

T 1

(12)

D'après les définitions du module d'Young et du coefficient de Poisson, il vient :

Y =T 1

S 1

=μ(3λ+2μ)

λ+μ

σ=−S 2

S 1= λ

2(λ+μ)

(13)

et, réciproquement, les coefficients de Lamé s'expriment à l'aide de Y et s :

λ=Y σ(1−2σ)(1+σ)

μ=Y1

2(1+σ)

(14)

On introduit aussi le module d'expansion en volume (ou « bulk modulus » en anglais) Bcomme le rapport entre une pression hydrostatique P appliquée à l'ensemble du matériau et savariation de volume ; dans ce cas on a T1 = T2 = T3 = P et T4 = T5 = T6 = 0 d'où :

S 1=S 2=S 3=K3=−P

13λ+2μ

et donc :

B=T 1

K=λ+

2μ3

(15)

Si l'on veut exprimer les déformations en fonction des contraintes, l'inversion de (7) s'écrit :

S m=smnT n ; m ,n=1,2 ,3 ,4 ,5,6 (16)

où le tenseur des compliances [s] à 36 composantes smn est lui aussi symétrique : smn = snm.Unités : m²/N. Pour un solide isotrope, on démontre (exercice!) :

s11=s22=s33=1/Y

s12=s13=s23=−σ/Y

s44=s55=s66=1 /μ

(17)

1.4. Matériau piézoélectrique : propriétés élastiques et électriques

On considère maintenant le cas d'un matériau piézoélectrique. Les équations précédentes (1),(2), (7) et (16) doivent être complétées pour prendre en compte :

– les effets d'une contrainte et d'un champ électrique sur les déformations et ledéplacement électrique, le déplacement électrique, et réciproquement,



– ou bien encore les effets d'une contrainte et d'un champ de déplacement électrique surles déformations et le champ électrique, et réciproquement.

Puisque les contraintes T et les déformations S sont, selon la convention d'indices adoptée plushaut, des vecteurs à 6 composants, et puisque le champ électrique E et le champ dedéplacement D sont des vecteurs à 3 composants, les interactions entre (T, S) et (E, D) fontintervenir, dans l'hypothèse linéaire, des tenseurs 3 x 6 (3 colonnes, 6 lignes) et 6 x 3 (6colonnes, 3 lignes).Selon que l'on considère l'un ou l'autre des champs comme appliqués ou bien comme effets, ona alors les systèmes suivants (voir démonstration en Annexe):

S=[sE]T+[d ]

* E

D=[d ]T+[εT]E

(18a) et réciproque : T=[cD

]S−[h]* D

E=−[h ]S+[βS]D

(18b)

S=[ sD]T+[ g ]

* D

E=−[ g ]T+[βT]D

(19a) et réciproque : T=[cE

]S−[e]* E

D=[e]S+[εS]E

(19b)

avec :– Les indices supérieurs E, D, T, S désignent les conditions aux limites respectivement à

champ E constant, déplacement électrique D constant, contrainte T constante,déformation S constante. On a donc par exemple [cE] tenseur des raideurs à champélectrique constant.

– [c], [s] tenseurs symétriques 6 x 6 (constantes élastiques, respectivement : raideur etcompliance)

– [d], [e], [g], [h] tenseurs 6 colonnes x 3 lignes (tenseurs des constantespiézoélectriques).

– [e], [b] tenseurs symétriques 3 x 3 (respectivement : permittivité diélectrique etimperméabilité diélectrique).

– [ ]* représente le tenseur transposé– ordre des indices doubles :

• constantes élastiques : 1er indice = direction de l'effort appliqué, 2e indice = directionde la déformation

• constantes piézoélectriques : 1er indice = direction du champ électrique, 2e indice =direction de la déformation

Les coefficients éléments de ces tenseurs peuvent être arrangés dans un tableau 9 x 9(appelée matrice élasto-électrique) qui met en relation les couples (S,D) et (T,E) (ou lesautres couples) ; comme les tenseurs sont symétriques, ce tableau contient au maximum 45coefficients différents. La présence de symétrie dans ces coefficients dépend de la structuredes cristaux que l'on peut nomenclaturer en classes du point de vue piézoélectrique. En fait, lestravaux ont montré que le nombre maximum de classes se réduit, là encore, à 32 ; autrementdit, pour les cristaux les plus anisotropes, les propriétés piézoélectriques font intervenir 32constantes indépendantes ! .Les 32 classes se répartissent entre les 7 systèmes de cristallisation (3) (tableau 1).

Système de cristallisation symétries Nombre de constantesélasto-électriques

exemples

I - Triclinique C1Ci

4527

Cristaux les plus anisotropes

II - Monoclinique C2CsC2h

252717

3 Physical Acoustics, Principles and Methods – ed. Warren P. Mason, Academic Press, 1964



Système de cristallisation symétries Nombre de constantesélasto-électriques

exemples

III - Orthorhombique D2C2vD2h

151712

Sel de Seignette (sel de Rochelle) (4)

IV - Tétragonal C4S4C4hD4C4vD2dD4h

13139911108

céramiquesADP (5)

V - Trigonal C3S6D3C3vD3d

15910128

Quartz (bioxyde de silice) SiO2

VI - Hexagonal C6C3hD6C6vD3hC6h et D6h

11981087

céramiques

VII - Isométrique T et TdO, Th et Oh

54

Tableau 1 : 32 classes de cristaux piézoélectriques

La matrice des constantes élasto-électriques se présente sous la forme de la figure 2 :

S1 ● ● ● ● ● ● ● ● ● T1

S2 ○ ● ● ● ● ● ● ● ● T2

S3 ○ ○ ● ● ● ● ● ● ● T3

S4 ○ ○ ○ ● ● ● ● ● ● T4

S5 = ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● ● x T5

S6 ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● ● T6

D1 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ● E1

D2 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● E2

D3 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● E3

Figure 2 – matrice des constantes élasto-électriques : ● constantes éventuellement égales en partie selon les symétries

○ constantes égales à celles qui leur sont symétriques par rapport à la diagonale ;grandeurs élastiques – grandeurs électriques – constantes élastiques [sE] – interaction champ

électrique/déformations [d]* – interaction contrainte/champ de déplacement électrique [d] – constantesdiélectriques [eT]

La figure 3 donne l'exemple du système orthorhombique du sel de Seignette (à 34°C):

4 Sel de Seignette : COONa-CHOH-CHOH-COOK-4H2O ; densité 1775 kg/m3 à 25°C ; décomposition à55°C ; constante diélectrique relative er ≈ 200 à température ambiante ; constante diélectrique d14 = 275.10-12 m/V (instable vers 25°C)

5 ADP : Ammonium dihydro phosphate NH4H2PO4 (encore appelé phosphate d'ammonium acide) ; tenue en températures jusqu'à 100°C ; densité 1804 kg/m3 ; craint l'humidité ; constante diélectrique relative er ≈ 15 à température ambiante ; constante piézoélectrique d31 = 24.10-12 m/V à 20°C



S1 52,0 -16,3 -11,6 0 0 0 0 0 0 T1

S2 -16,3 36,8 -12,2 0 0 0 0 0 0 T2

S3 -11,6 -12,2 35,9 0 0 0 0 0 0 T3

S4 0 0 0 150,2 0 0 345 0 0 T4

S5 = 0 0 0 0 350,3 0 0 54 0 x T5

S6 0 0 0 0 0 104,2 0 0 12 T6

D1 0 0 0 345 0 0 205 e0 0 0 E1

D2 0 0 0 0 54 0 0 9,6 e0 0 E2

D3 0 0 0 0 0 12 0 0 9,5 e0 E3

Figure 3 : constantes élasto-électriques du sel de Seignette (cristallisation orthorhombique, symétrie D2)les compliances smn

E sont exprimées en 10-12 m²/N, les constantes piézoélectriques dmn en 10-12 C/N.Par exemple, on a s12

E = -16,3.10-12 m²/N

Relations entre les constantes élasto-électriques :

[cE]=[sE

]−1

[cD]=[sD

]−1

[βT ]=[εT ]−1

[βS]=[ε

S]−1

(20a)

[d ]=[e ][ sE]=[ε

T] [ g ]

[e ]=[d ][cE]=[ε

S][h ]

[ g ]=[h][ sD ]=[βT ][d ]

[h]=[g ] [cD]=[β

S][e ]

(20b)

[εT]−[ε

S]=[d ] [eE

][d ]*=[e ][ sE

] [e ]*=[d ] [e]*

[βS]−[β

T]=[h] [sD

] [h]*=[ g ] [c D][ g ]

*=[h ][ g ]

*

[cD ]−[cE]=[e ]* [βS ][e ]=[h]* [εS ][h ]=[h]* [e ]

[sE]−[sD

]=[ g ]*[eT

] [g ]=[d ]*[β

T] [d ]=[d ]

*[ g ]

(20c)

Les matériaux piézoélectriques sont aussi caractérisés par d'autres constantes :– Température de Curie : température au-dessus de laquelle il y a dépolarisation des

cristaux, ils perdent alors leurs propriétés piézoélectriques. Lorsqu'elle est atteinte, eratteint son maximum : c'est la limite de fonctionnement du transducteur. Exemple :125°C pour la céramique titanate de baryum BaTiO3.

– Champ coercitif : valeur du champ électrique E au-dessus de laquelle le matériaupiézoélectrique se dépolarise.

– Angle de pertes : tan d (en %), où d angle de pertes ; il mesure les pertes dans lematériau piézoélectrique (amortissements).

– Constante de couplage : k (sans dimension) ; c'est le rapport entre l'énergie fournie aumatériau piézoélectrique et l'énergie mécanique emmagasinée dans le matériau, cecipour une direction donnée (j = 1 à 3, n = 1 à 6):

k jn=√d ² jn

ε jjT snn

E (21)

– Constante de fréquence : N = fr L (en Hz x m), où fr fréquence de résonance mécaniquedu mode vibratoire du matériau piézoélectrique, L dimension suivant laquelle se produitce mode de résonance (épaisseur, longueur, largeur, circonférence, etc.).

Les matériaux piézoélectriques ne sont pas seulement des cristaux monocristallins ; il y a aussi



des céramiques piézoélectriques.Les céramiques piézoélectriques sont des matériaux polycristallins, initialement nonpiézoélectriques, obtenus par frittage (cuisson) de poudres de différents cristauxferroélectriques (titanates, zirconates) à haute température. Ce mélange est préalablementmoulé dans la forme définitive de son utilisation (plaque, disque, anneau, tube...). Ils acquièrentleurs propriétés piézoélectriques lors de l'application d'un champ électrique très intenses(plusieurs kV) qui les polarise, sous une température supérieure au point de Curie de lacéramique.La polarisation des céramiques présente une grande hystérésis sous l'action du champpolarisant. La piézoélectricité des céramiques, pour lesquelles la polarisation est rémanente,résulte en fait d'une variation, sous l'action d'une force, de leurs polarisations préalablementexistantes.

Avantages des céramiques :– constantes piézoélectriques d grandes ;– forte robustesse mécanique : charge de rupture en traction > 107 daN/m² (1 tonne/cm²);– les céramiques sont insolubles dans l'eau ;– coût de fabrication plus bas que pour les lames monocristallines.

Inconvénient des céramiques :– forte sensibilité des propriétés piézoélectriques et des pertes à la température.

Exemple de piézoélectricité d'une lame vibrant longitudinalement (figure 4):

L: longueur de la lameb: épaisseur de la lameA: surface sur laquelle se développent leseffortsDL : variation de la longueur de la lame suivantOyF: force de compression appliquée suivant Oyu: tension appliquée aux bornes des faces yOzde la plaque.

Puisque l'on a : champ électrique appliquésuivant Ox (indice 1), effort appliqué suivant Oy(indice 2), déformation suivant Oy (indice 2),champ de déplacement électrique (ou densitésurfacique de charge) sur les faces yOz doncsuivant Ox (indice 1), alors les grandeurs etconstantes qui interviennent sont : Figure 4 – plaque céramique piézoélectrique

vibrant longitudinalement

– densité surfacique de charge : D1 (C/m²)– constante diélectrique du cristal libre, suivant Ox (indice 1) : eT

1 (F/m)– champ électrique appliqué suivant Ox (indice 1), suite à la tension u aux bornes : E1 =

u/b (V/m)– contrainte suivant Oy (indice 2), suite à la force appliquée F : T2 = F/A (N/m²)– déformation (allongement relatif) suivant Oy (indice 2) : S2 = DL/L– constante piézoélectrique : d12 (C/N ou m/V)– compliance sE

22 = 1/Y22, où Y22 module d'Young suivant Oy

les équations (18a) se réduisent alors à :


L

DL

b

+ -

u

x

yz

F

A


D1=ε1T E1+d 12 T 2

S 2=d12 E1+s22E T 2

en éliminant T2 entre ces deux relations, on obtient :

D1=e12 S 2+ε1S E1 (22a)

où (cf. 2e relation de (19b)):

e12=d 12

s22E (22b)

ε1S=ε1

T(1−k12 ²) (22c)

(eS1 constante diélectrique du cristal bloqué), où la constante de couplage k12 est (cf. (21)):

k 12=√d12 ²

ε1T s

22E

=√d 12 ² Y 22

ε1T (22d)

Le tableau 2 donne quelques modes de vibration des céramiques piézoélectriques :

forme polarisation excitation déformation constantes fréquence derésonance fr

cylindre

longitudinale

d33, g33

k33

eT33

N3L/L

Plaque mince

En épaisseur

d33, g33

k33

eS33

N3t/e

transversale

d31, g31

k31

eT33

NL/L



forme polarisation excitation déformation constantes Constante derésonance

Disque mince

En épaisseur

d33, g33

k33

eS33

N3t/e

radiale

d31, g31,

kr

eT33

Np/D

tube

longitudinale

d31, g31

k31

eT33

NL/L

En épaisseur

d33, g33

k33

eS33

N3t/e

circonférentielle

d31, g31

k31

eT33

Nc/Dm

coupelle

En épaisseur

d33, g33

kt

eS33

N3t/e

radiale

d31, g31

kp

eT33

Tableau 2 : modes de vibrations de quelques céramiques selon leur polarisation et excitation

Ordres de grandeur des constantes des céramiques piézoélectriques :d33 = 75 à 320.10-12 C/Nd31 = -30 à -140.10-12 C/Ncoefficients de couplage :

– en mode radial, pour un titanate : k r ²=2,52f r− f a

f aoù fr fréquence de résonance, fa

fréquence d’anti-résonance (pour laquelle l'impédance est maximale) ; kr = 0,2 à 0,5



– en mode longitudinal : k33 = 0,3 à 0,7

– en mode transversal : k31, relié à kr par k31=k r√ 1−σ

2Constante de fréquence en épaisseur: N3t = fre = 2400 à 2700 (Hz.m) (e : épaisseur).

Nous venons de voir rapidement les propriétés générales des matériaux piézoélectriques. Enutilisation, ils ne sont pas employés seuls mais en interface avec des dispositifs mécaniques(on dit alors transducteurs composites), l'ensemble étant au contact d'un milieu fluide (eau,air...). En mode d'émission, les vibrations du transducteur se transforment en ondesacoustiques qui se propagent dans le milieu fluide. En mode réception, elles sont produitesdans le transducteur sous l'action d'ondes acoustiques incidentes en provenance du milieufluide. Dans les deux cas, les vibrations du transducteur ne sont jamais celles du matériaupiézoélectrique comme s'il était seul ; celles-ci sont modifiées par les interfaces avec les partiesmécaniques et le milieu fluide, ainsi que leurs comportements mécaniques et acoustiques.Ces ensembles, transducteurs composites, sont rapidement complexes et prédire avecprécision leurs propriétés dynamiques nécessite des codes de calculs numériques imposants.Heureusement, au voisinage des résonances, il est souvent possible de modéliser cessystèmes au moyen de schémas électriques équivalents en utilisant les analogiesélectromécaniques, de sorte que le modèle fait intervenir des quadripôles constituésd'impédances en série ou en parallèle formées de selfs, de capacités et de résistances.Les propriétés des circuits équivalents sont liées non seulement à celles du matériaupiézoélectrique, mais encore aux modes de vibration et de propagation des ondes élastiques etacoustiques du matériau actif, des constituants mécaniques qui lui sont liés, et du milieu fluide,et ces propriétés se retrouvent dans la détermination des impédances, des couplages et destransformations électromécaniques dans le circuit. En conséquence, sans qu'il soit nécessairede calculer dans le détail tous les phénomènes d'élasticité, électromécaniques et acousto-mécaniques, il est utile d'examiner les modes de vibration des solides piézoélectriques sousl'action d'un champ électrique et d'une contrainte dans le cas simple où ils sont seuls et dans lecas où ils font partie d'un ensemble composite.Pour cela, à la section 2 ci-après, quelques types d'ondes élastiques dans les solides ordinairessont d'abord étudiés, ce qui permettra ensuite, à la section 3, de les rattacher aux modes devibration pour les solides piézoélectriques uniques et aussi dans un ensemble composite.L'approche d'un transducteur composite en interaction avec un milieu fluide, en émission ou enréception, est traitée en section 4. On verra, en section 5, comment en découleront lessensibilités à l'émission et à la réception, compte tenu des niveaux de bruit. Le cas particulierdes ultrasons sera évoqué en section 6.

2. Propagation des ondes élastiques dans les solides : généralités

2.1. Équations d'onde élastiques dans les solides de symétrie quelconque ; théorie deChristoffel, équations de Giebe et Bleischmidt

Dans un cube élémentaire de volume dx1dx2dx3 les lois de Newton de la dynamique permettentd'écrire les relations entre les déplacements dans les 3 directions i = 1, 2, 3 (x, y, z) et lescontraintes (cf. éq. (3)):

ρ∂ ² ui

∂ t ²dx1 dx2dx3=

∂T ij

∂ x j

dx1dx2 dx3 (23)

et d'après les équations (7), écrites dans les directions spatiales i, j = 1, 2, 3 : T ij=cijkl S kl ,(23) donne :



ρ∂ ² ui

∂ t ²= ∂

∂ x j

(cijkl S kl) (24)

NB : Pour un matériau isotrope, en adoptant la convention d'indices, et donc en appliquant lesrelations (8), (9) et (10), (24) devient :

ρ∂ ² u1

∂ t ²= ∂∂ x1

(λ K+2μ S 1)+∂

∂ x 2

(μ S 6)+∂

∂ x3

(μ S 5)

ρ∂ ² u2

∂ t ²= ∂

∂ x1(μ S 6)+

∂∂ x2

(λ K+2μ S 2)+∂

∂ x3(μS 4)

ρ∂ ² u3

∂ t ²= ∂

∂ x1

(μ S 5)+∂

∂ x2

(μ S 4 )+∂

∂ x3

(λ K+2μ S3)

(25)

Les solutions les plus générales de (24) sont obtenues par la méthode de Christoffel (6).L'onde se propage suivant un axe normal au plan d'onde, de cosinus directeurs nk (k = 1, 2, 3).Une distance s le long de cette normale est :

s=nk

xk k = 1, 2, 3 (26)

Si l'on cherche des solutions harmoniques de (24), l'onde se propage avec une fréquence etune célérité composites w/2p et V :

uk=U

kexp jω t exp (− j n

kx

kω/V )=U

kexp jω t exp(− jω s /V ) (27)

La relation (4) permet de réécrire (24) sous la forme :

ρ∂ ² u

i

∂ t ²=c

ijkl

∂ ² ul

∂ xj∂ x

k(i, j, k, l = 1, 2, 3) (28)

Or avec (26) : ∂ ul

∂ x k

=∂ ul

∂ s∂ s∂ x k

et ∂ s∂ x k

=nk , etc. (28) devient alors :

ρ∂ ² ui

∂ t ²=Γil

∂ ² ul

∂ s ² (29)

avec Gil tenseur de Christoffel (7) : Γil=c

ijkln

kn

j (30)

Les équations (29), compte tenu de (30), s'explicitent alors en :

6 Love : Theory of Elasticity, 4th edition, p.298, Cambridge University Press, 1927.7 Le tenseur de Christoffel G il ne doit pas être confondu avec les « symboles de Christoffel » Gk

il quiinterviennent dans les géométries non-euclidiennes et qui sont employés en Relativité Générale ; ce nesont d'ailleurs pas des tenseurs, c'est pourquoi on les appelle « symboles ».



ρ∂ ² u

1

∂ t ²=λ11

∂ ² u1

∂ s ²+λ12

∂ ² u2

∂ s ²+λ13

∂ ² u3

∂ s ²

ρ∂ ² u2

∂ t ²=λ12

∂ ² u1

∂ s ²+λ22

∂ ² u2

∂ s ²+λ23

∂ ² u3

∂ s ²

ρ∂ ² u

3

∂ t ²=λ

13

∂ ² u1

∂ s ²+λ

23

∂ ² u2

∂ s ²+λ

33

∂ ² u3

∂ s ²

(31a)

où les coefficients symétriques l ij sont :

λ11=n

1² c

11+n

2² c

66+n

3² c

55+2n

2n

3c

56+2n

3n

1c

15+2n

1n

2c

16

λ12=n1 ² c16+n2 ² c26+n3 ² c45+n2 n3(c46+c25)+n3 n1(c14+c56)+n1 n2 (c12+c66)

λ13=n

1² c

15+n

2² c

46+n

3² c

35+n

2n

3(c

45+c

36)+n

3n

1(c

13+c

55)+n

1n

2(c

14+c

56)

λ23=n1 ² c56+n2 ² c24+n3 ² c34+n2n3(c44+c23)+n3n1(c36+c45)+n1 n2 (c25+c46)

λ22=n

1² c

66+n

2² c

22+n

3² c

44+2 n

2n

3c

24+2n

3n

1c

46+2n

1n

2c

26

λ33=n1 ² c55+n2 ² c44+n3 ² c33+2 n2 n3c34+2n3 n1 c35+2n1 n2 c45

(31b)

Les équations (31) s'appliquent à tous types de classe cristallographique.

Pour des modes harmoniques, l'utilisation de (27) dans les équations (29) ou (31) conduità l'équation aux valeurs propres pour les amplitudes:

Γik

Uk=ρV² U

i (32)

qui admet des solutions non triviales si et seulement si :

dét∣Γik−ρV² δik∣=∣λ11−ρV² λ12 λ13

λ12 λ22−ρV² λ23

λ13 λ23 λ33−ρV²∣=0 (33)

Les solutions V² de (33) sont les valeurs propres Vp² (célérités) (p = 1, 2, 3) des modes depropagation, d'où l'on tire les amplitudes de déplacement Up (vecteurs propres de (32)).En général, les ondes de célérité Vp se propagent suivant une direction qui n'est pas la mêmeque celle du champ des déplacements uk. Soient (qk) k = 1, 2, 3, les cosinus directeurs d'undéplacement ; alors l'amplitude u de ce déplacement le long de cette direction est :

u=qk

uk avec q

kq

k=1 (34)

d'où :u

k=q

ku (35) (8)

En utilisant (35) dans l'équation de Christoffel (29), pour le mode de propagation Vp, on trouve :Γ

iku

k=ρV

p² u

i soit :

Γik

qk=ρV

p² q

i (36a)

qui fournit les directions des déplacements définies par leurs cosinus directeurs qk. (36a)

8 En effet : remplaçons (35) dans (34), il vient qkuk = qk(qku) = qkqku = u puisque qkqk = 1. Par exemple,en coordonnées polaires 2D : x, y jouent le rôle des uk, R celui de u, et cos q et sin q celui des qk ; ona bien : x = R cos q et y = R sin q → R = x cos q + y sin q puisque cos² q + sin² q = 1.



s'explicite en, compte tenu de (31a) (9):

q1λ

11+q

2λ

12+q

3λ

13=q

1ρV

p²

q1λ12+q2λ22+q3λ23=q2ρV p ²

q1λ13+q2 λ23+q3λ33=q3ρV p ² (36b)

Lorsque pour un mode de vibration n°p (valeur propre de (32)) la direction des déplacementsest différente de la direction de l'onde, c'est-à-dire si qp ≠ np, on dit que la direction depropagation de l'onde n'est pas pure.

Remarque : l'application directe de la forme harmonique du champ des déplacements (27)dans (28) donne d'autres expressions des équations du mouvement :

ρ∂ ² ui

∂ t ²=−cijkl n j nk (ωV )

2u l

(37)

2.2. Équation de Giebe et Bleischmidt :

Pour les solutions harmoniques, au lieu d'écrire (27), on écrit les déplacements en fonction desnombres d'onde :

uk=U k exp jω t exp(− j K l xl) avec nombre d'onde : K l=ωl

V l

=ωnl

V (38)

où les wl et les Vl correspondent aux modes unidirectionnels suivant x l :

ωl=V l

2 Ll(39) avec donc : (

ωV )

2=∑

l (ω l

V l )2

(40)

V étant le module de la célérité, qui se projette sur les cosinus directeurs n l en Vl, et Ll étant les

dimensions du matériau dans les directions l.L'idée est de déterminer les fréquences propres w puis de déduire V par (40) :L'injection de (38) dans (37) donne :

ρω ² ui=cijkl

ωk ω j

V k V j

u l (i, j, k, l = 1, 2, 3) (41)

Après la réduction des indices, conformément à la convention des indices présentée en section1 (11 = 1, 22 = 2, 33 = 3, 12 = 6, 13 = 5, 23 = 4), et puisque cnm = 0 pour n ≠ m et n, m ≥ 4, (41)devient, en négligeant le cisaillement dans les directions principales, ainsi que la compressiondans les autres, il vient :

ρω ² ui=cik

ωiωk

V iV k

uk (i, k = 1, 2, 3 ; termes 4, 5, 6 négligés) (41bis)

Avec V i ²=ciiρ

, (41bis) donne, compte tenu de (39), l'équation aux valeurs propres en uk :

9 v. Brissaud, Acustica 66 (1988) n°2



ω ² ui=cik

ωiωk

√cii ckk

uk (42)

dont l'existence des solutions non triviales a pour condition l'annulation de son déterminant, ceque traduit l'équation de Giebe et Bleischmidt :

dét∣γik ωiωk−ω ²δik∣=0 (43a)

où gik sont les coefficients de couplage du mode i sur le mode k : γik=cik

√cii ckk (43b).

Appliquons à l'exemple d'un matériau de classe cristallographique hexagonal C6v (exemple :céramique), pour lequel les raideurs vérifient (v. tableau 1):

c23 = c13 et c22 = c11

l'excitation étant supposée dirigée suivant x3. Posant :

α=c23

√c22 c33

=c13

√c11c33

γ=c

12

√c11 c22

=c

12

c11

l'équation (43a) devient :

∣ω1 ²−ω ² γω1ω2 αω1ω3

γω1ω2 ω2 ²−ω ² αω2ω3

αω1ω3 αω2ω3 ω3 ²−ω ²∣=0 (44)

Avec (44) et (39) on montre que le couplage des modes fait intervenir les rapports de forme du

matériau : G1=L1

L3et G2=

L2

L3. En effet, (44) se développe en :

f 6+a2 f 4

+a1 f 2+a0=0 (45)

f = w/2p étant la fréquence, et où :

a2=−( f 1 ²+ f 2 ²+ f 3 ²)=− f 3 ²[1+c11

c33(1

G1 ²+

1G2 ² )]

a1=(1−α ²)( f 1 ²+ f 2 ²) f 3 ²+(1−γ ²) f 1 ² f 2 ²= f 34 c11

c33 [(1−α ²)( 1G²1

+1

G²2)+(1−γ ²)c11

c33

1

(G1G2)2 ]

a0=( f 1 f 2 f 3)2(γ ²+2α ²−2αγ−1)= f 3

6( c11

c33)2

1

(G1G2)2(γ ²+2α ²−2αγ−1)

L'équation (45) est une équation polynomiale du 3e degré d'inconnue f², dont les solutions



dépendent du signe de b1=a²2

3−a1

. Posant : b0=9a1a2−27 a0−2a2

3

27, w= f²+

a2

3le

tableau 3 liste les solutions.Mais le problème se simplifie pour les comportements asymptotiques, G2 → ∞, c'est-à-direlorsqu'une des dimensions latérales devant l'autre et devant l'épaisseur devient très grande(figure 5). En effet, dans ce cas (45) devient :

f 4−( f 3 ²+ f 1 ²) f²+ f 1 ² f 3 ²(1−α ²)=0 (46)

figure 5 – solution asymptotique pour un matériau de classe hexagonal

Signe deb1

Nombre deracines

racines Notations auxiliaires

b1 = 0 1 racine réelle triple w=b01/3

b1 < 0 Racine réelle simple

w1=−2√−b1

3cotan 2ϕ tan θ=

2b1

3b0 √−b1

3

tanϕ=(tan θ2)

1 /32 racines complexesconjuguées w2=√−b1

3cotan 2ϕ+ j

√−b1

sin 2ϕ

w2=√−b1

3cotan 2ϕ− j

√−b1

sin 2ϕ

b1 > 0 4b13 < 27 b0² :

1 racine réelle simple w1=2√ b1

31

sin 2ϕtan θ=

−2b1

3b0 √ b1

3

tanϕ=(tan θ2)

1 /32 racines complexesconjuguées w2, w3=−√ b1

31

sin 2ϕ± j

√b1

tan 2ϕ

4b13 = 27 b0² :

3 racines réelles dont2 doubles

w1=w2=−3b0/ 2b1

w3=3b0 /b1


L1

L3

L2 → ∞


4b13 > 27 b0² :

3 racines réellessimples

w1=2√b1 /3cos ϕ/3cos ϕ=

3b0

2b1 √ 3b1w1=2√b1 /3cos (π−ϕ)/3

w1=2√b1 /3cos (π+ϕ)/3

Tableau 3 : solutions de (45) pour une pièce parallélépipédique de matériau de classe hexagonale

Dans l'approximation asymptotique, (46) admet 2 racines réelles, que l'on exprime sous formede constantes de fréquence N3 en épaisseur en fonction du rapport de forme G1 :

N 3±= f ± L3=

12√2 √ c33

ρ √1+c11

c33

1G1 ²

±√(1−c11

c33

1G1 ²)

2

+4α ²c11

c33

1G1 ²

(47)

Les courbes de f+ et f- en fonction de G1 sont représentées à la figure 6 ; elles montrent lesvaleurs asymptotiques pour G1 → ∞ et 0.

figure 6 : régimes asymptotiques pour un matériau de classe hexagonale

Les asymptotes (en tirés rouge et bleu sur la figure 6) correspondent aux modes non couplés :

--- f L3=12 √ c33

ρ =constante (mode épaisseur pur)

--- f L3=L3

2 L1√ c11

ρ =(12 √ c11

ρ ) 1G1

(mode longitudinal pur)

avec les valeurs asymptotiques des fréquences :

f α+= f 3

f α-=

12 L1

√ c11P

ρ = f 1 √1−α ²où c11

P=c11(1−α ²) constante de raideur de plaque (G1 → ∞)


fL3+

fL3-

log(fL3)

log(G1)G1 <<1 : poutre G1 >>1 : plaque

fα

-L3

fβ

-L3

fα

+L3

fβ

+L3


f β+= f 1

f β-=

12 L3

√ c33*

ρ = f 3√1−α ²où c33

*=c33(1−α ²) constante de raideur de poutre (G1 → 0)

Notons enfin que pour un matériau isotrope on a α=c

13

c11

= σ1−σ

puisque (8) s'applique.

Dans la suite de cette section, quelques exemples de transmission des ondes dans les solidesisotropes sont examinés ; ils permettent d'introduire la notion d'impédance mécanique qui serautile dans l'analyse des transducteurs au moyen des schémas équivalents.

3.2. Transmission des ondes élastiques dans les solides isotropes

On a les relations (8), (9), (10), (14), (15) pour une quelconque des directions x1, x2, x3

d'application de la contrainte. L'équation dynamique (28) appliquée au cas isotrope, donnealors :

ρ∂ ² u1

∂ t ²=(λ+μ)

∂ K∂ x1

+μ∇ ² u1

ρ∂ ² u2

∂ t ²=(λ+μ)

∂ K∂ x2

+μ∇ ² u2

ρ∂ ² u3

∂ t ²=(λ+μ)

∂ K∂ x3

+μ∇ ² u3

(48)

où ∇ ²=∂ ²/∂ x1

²+∂ ² /∂ x2

²+∂ ²/∂ x3

² est le laplacien. Les équations (48) peuvent êtretransformées pour conduire à l'équation d'onde de la déformation relative:

∂² K∂ t ²

−λ+2μ

ρ ∇ ² K=0 (49)

Les solutions de (49) sont des ondes dites de dilatation, ou longitudinales, qui se propagentavec la célérité :

V L=√ λ+2μρ

(50)

Ces ondes longitudinales se propagent dans la même direction que celle des déplacements u.Ainsi, pour des déplacements dans la direction x1 :

u1( x1, t)=U 1cosω(t− x1

V L) (51)

Les équations (48) peuvent aussi être transformées pour faire apparaître l'équation d'onde durotationnel des déplacements :



ρ∂ ²∂ t ²(∂ u2

∂ x3−

∂ u3

∂ x2)=μ∇ ²(∂u2

∂ x3−

∂u3

∂ x2 )ρ

∂ ²∂ t ²(

∂ u1

∂ x3

−∂ u3

∂ x1)=μ∇ ²(∂ u1

∂ x3

−∂u3

∂ x1)ρ

∂ ²∂ t ²( ∂u1

∂ x2−

∂ u2

∂ x1)=μ∇ ²(∂ u1

∂ x 2−

∂u2

∂ x1 ) (52a)

où l'on reconnaît les composantes du rotationnel des déplacements : rot u=( ∂ u i

∂ x j−

∂ u j

∂ xi ) avec

i, j = 1,2,3, et donc :

∂ ²∂ t ²

rotu−μρ ∇ ² rotu=0 (52b)

les équations (52) mettent en évidence un deuxième mode de propagation : celle des ondestransverses ou de cisaillement, avec la célérité :

V S=√μρ (53)

les ondes de cisaillement se propagent dans une direction perpendiculaire à la direction desdéplacements. Pour un déplacement dans la seule direction x1, par exemple, (donc u2 = u3 = 0)et indépendante de x1 et x2, (52) se réduit à :

ρ∂ ²∂ t ²

∂u1

∂ x3=μ

∂ ²∂ x3 ²

∂u1

∂ x3=μ ∂

∂ x3

∂ ²∂ x3 ²

u1=∂

∂ x3(ρ ∂ ² u1

∂ t ² )

qui devient, à une constante d'intégration près qui peut être nulle : ∂ ² u1

∂ t ²−

1V² S

∂ ² u1

∂ x3 ²=0 ;

l'onde plane de cisaillement se propage dans la direction x3 perpendiculaire à celle x1 dudéplacement, sous la forme :

u1( x3, t)=U 1cosω(t− x3

V S ) (54)

Ainsi, dans un solide isotrope, il existe deux modes de propagation des ondes associées auxdéformations : l'une longitudinale ou de compression, l'autre transversale ou de cisaillement.Le tableau 4 donne quelques valeurs de constantes élastiques et de célérités.

matériau Y (10-10 N/m²) m (10-10 N/m²) l (10-10 N/m²) s VL (m/s) VS (m/s)

aluminium 6,8 – 7,1 2,4 – 2,6 6,1 0,355 6420 3040

laiton 10,4 3,8 11,3 0,374 4700 2110

cuivre 12,1 – 12,8 4,6 13,1 0,37 5010 2270

or 8,12 2,85 15,0 0,42 3240 1200

fer 20,6 8,2 11,3 0,29 5950 3240

plomb 1,5 – 1,7 0,54 3,3 0,43 1960 690



matériau Y (10-10 N/m²) m (10-10 N/m²) l (10-10 N/m²) s VL (m/s) VS (m/s)

magnésium 4,24 1,62 2,56 0,306 5770 3050

nickel 21,4 8,0 16,4 0,336 6040 3000

platine 16,7 6,4 9,9 0,303 3260 1730

argent 7,5 2,7 8,55 0,38 3650 1610

acier 19,6 7,57 11,3 0,30 5790 3100

étain 5,5 2,08 4,04 0,34 3320 1670

zinc 10,5 4,2 4,2 0,25 4210 2440

Verre pyrex 6,2 2,5 2,3 0,24 5640 3280

nylon 0,355 0,122 0,511 0,4 2620 1070

polyéthylène 0,076 0,026 0,288 0,458 1950 540

polystyrène 0,528 0,12 0,34 0,405 2350 1120

Tableau 4 : constantes d'élasticité et célérités des modes longitudinaux et transverses de quelquesmatériaux

2.3. Transmission des ondes à l'interface de deux milieux

2.3.1. Considérons deux milieux : solide (1) et viscoélastique (2) (par exemple un solide aucontact d'un liquide, d'un gaz, d'une colle, d'une résine, d'un caoutchouc...).

Une onde longitudinale, d'amplitude U(1) qui se propage dans le milieu (1) rencontre l'interfaceentre les deux milieux (figure 7) avec l'angle d'incidence par rapport à la normale a (1) : elledonne lieu à :- une onde longitudinale réfléchie dans le milieu (1), d'amplitude UR(1) et d'angle de réflectionaR(1)

- une onde longitudinale transmise (réfractée) dans le milieu (2), d'amplitude UT(2) et d'angle deréfraction aT(2) ;- une onde de cisaillement réfléchie dans le milieu (1), d'amplitude VR(1) et d'angle de réflectionbR(1) ;- une onde de cisaillement transmise dans le milieu (2), d'amplitude VT(2) et d'angle de réfractionbT(2).

Figure 7 – réflection et réfraction d'une onde longitudinale entre deux milieux matériels

2.3.2. Supposons d'abord que l'interface est un plan complètement réfléchissant : UT(2) et VT(2)

sont donc nuls par hypothèse. On sait que pour une onde longitudinale, sa propagation a lamême direction que le déplacement. Il s'ensuit que les composantes du déplacement u suivantles axes x1 et x3 sont :


U(1)

UR(1)

VR(1)

UT(2)

VT(2)

a(1)

aR(1)

bR(1)

aT(2)

bT(2)

x1

x3

Milieu (2)

Milieu (1)


- déplacement suivant x1 : u1(1)=U(1)sin a

(1)exp j[ω t−2πλ L

( x1sin a(1)−x3cos a

(1))] (55a)

- déplacement suivant x3 : u3(1)=−U (1)cos a(1)exp j[ω t−2πλL

(x1sin a(1)− x3cos a(1))] (55b)

où U(1) est l'amplitude de l'onde longitudinale incidente.Le déplacement uR(1) associé à l'onde longitudinale réfléchie vers le milieu (1), UR(1), a pourcomposantes suivant les axes x1 et x3 :

- déplacement suivant x1 : uR1(1)=U R(1)sin aR(1)exp j[ω t−2πλL

(x1sin aR(1)+x3cos aR(1))]- déplacement suivant x3 : uR3(1)=U R(1)cos aR(1)exp j[ω t−

2πλ L

( x1sin aR(1)+x3 cosaR(1))]or les angles d'incidence et de réflection sont égaux : sin a(1) = sin aR(1), soit a(1) = aR(1). Pourl'onde longitudinale réfléchie les déplacements suivant x1 et x3 sont donc :

uR1(1)=U R(1)sin a(1)exp j[ω t−2πλ L

(x1sin a(1)+ x3cosa(1))] (56a)

uR3(1)=U R(1)cos a(1)exp j[ω t−2πλL

(x1sin a(1)+x3cos a(1))] (56b)

Quant à l'onde de cisaillement réfléchie dans le milieu (1), VR(1), on sait que sa propagation estperpendiculaire à celle du déplacement. Soient q1 et q3 les cosinus directeurs du déplacementet bR(1) l'angle de réflection de l'onde de cisaillement réfléchie ; les cosinus directeurs de l'ondesont n1 = sin bR(1), n3 = cos bR(1) , par conséquent la condition de perpendicularité des directionsde l'onde et du déplacement s'écrit :

q⋅n=0=q1sin bR(1)+q3cos bR(1)

dont la solution est, puisque bR(1) < p/2 : q1 = cos bR(1) et q3 = - sin bR(1). Les déplacements vR(1)

suivant x1 et x3 sont donc, pour l'onde de cisaillement réfléchie :

vR1(1)=V R(1)cos bR(1)exp j[ω t−2πλS

( x1sin bR(1)+x3cos bR(1))] (57a)

vR3(1)=−V R(1)sin bR(1)exp j[ω t−2πλS

(x1sin bR(1)+x3 cosbR(1))] (57b)

Il résulte, des équations (55), (56), (57) la relation de réflection de l'onde de cisaillement à partird'une onde incidente longitudinale :

sin a(1)

λ L=

sin bR(1)λS

soit sin a

(1)

sin b R(1)=

λLλ

S=

V L

V S (58)

Les amplitudes se déduisent ainsi :D'après (7), T3 = T5 = 0 entraîne que :



2(U(1)−U R(1))sin bR(1)cos a

(1)−V R(1)cos 2bR(1)=0

(U(1)+U R(1))(λ+2μcos² a

(1))−V R(1)μV L

V S

sin 2bR(1)=0 (59)

Et comme, d'après (58), on a : λ+2μ

μ =(V L

V S )2

soit : λ=μ(V L ²

V S ²−2)=μ(

sin ² a(1)

sin ² bR(1)

−2) ce

qui ré-exprime (59) par :

2(U(1)−U R(1))sin bR(1)cosa

(1)−V R(1)cos 2b R(1)=0

(U(1)+U R(1))sin a

(1)cos 2bR(1)−V R(1)sin bR(1)sin 2bR(1)=0 (60)

Si l'onde longitudinale incidente est perpendiculaire à l'interface Ox1, alors a(1) = bR(1) = 0 et (59)devient :

U(1)+U R(1)=0

V R(1)=0 (61)

autrement dit, l'onde réfléchie d'une onde longitudinale incidente normale à l'interface estexclusivement une onde longitudinale, de même amplitude : il n'y a pas conversion en une ondede cisaillement réfléchie.NB : En restant encore dans le cas d'un dioptre plan complètement réfléchissant, on regardemaintenant ce que donne une onde incidente de cisaillement, V(1), d'angle d'incidence b(1). Elleva produire deux ondes : l'une de cisaillement réfléchie, d'amplitude VR(1) et d'angle de réflectionb(1) (identique à l'angle d'incidence), la deuxième longitudinale réfléchie d'amplitude UR(1) etd'angle de réflection aR(1). Un raisonnement analogue à celui qui précède (intervention descosinus directeurs et utilisation de (7)) conduit à :

(V(1)+V R(1))sin 2b

(1)sin b(1)−U R(1)sin a R (1)cos 2b

(1)=0

(V(1)−V R (1))cos 2b

(1)−2U R (1)sin b(1)cosa R(1)=0

(62)

d'où l'on déduit de (62) une relation similaire à (58) :

sin aR(1)

sin b(1)=

λLλS

=V L

V S (63)

le maximum de (63) est atteint pour sin aR(1) = 1, ce qui correspond à un angle maximumd'incidence au-delà duquel il n'y a plus de réflection possible sous forme d'onde longitudinale :

sin b(1)max=

V S

V L (64)

b(1)max est appelé angle total de réflection ; cette situation se rencontre également en optique.

2.3.3. Supposons maintenant qu'une onde longitudinale incidente, U(1), rencontre un dioptreplan partiellement réfléchissant, parallèle à Ox1, sous l'angle d'incidence a(1) (figure 7) : elle seréfléchit avec le même angle a(1) en une onde longitudinale UR(1) et, avec un angle bR(1), uneonde de cisaillement VR(1), et transmet au milieu (2) une onde longitudinale UT(2) d'angle deréfraction aT(2) et une onde de cisaillement VT(2) d'angle de réfraction bT(2).Un raisonnement analogue au cas (b1) précédent, appliqué dans les deux milieux (1) et (2)



conduit, tous calculs faits, aux relations entre les angles :

sin a(1)

V L(1)=

sin a R(1)

V L (1)=

sin bR (1)

V S (1)=

sin aT (2)

V L(2)=

sin bT (2)

V S (2) (65)

où : VL(1) célérité de l'onde longitudinale dans (1), VS(1) célérité de l'onde de cisaillement dans(1), VL(2) célérité de l'onde longitudinale dans (2), VS(2) célérité de l'onde de cisaillement dans (2).Si l'onde longitudinale incidente est normale au dioptre plan, il n'y a pas d'onde de cisaillementtransmise au milieu (2), et l'on montre que :

r=U R(1)

U (1)=

ρ2V L(2)−ρ1V L(1)

ρ2V L(2)+ρ1V L(1)facteur de réflection (66a)

τ=U T (2)

U (1)=

2ρ1V L(1)

ρ2V L (2)+ρ1V L(1) facteur de transmission (66b)

où VL(1) célérité de l'onde longitudinale dans (1), et VL(2) dans (2). On a : r+τ=1 .

2.3.4. Le milieu (2) est maintenant de propriétés viscoélastiques (par exemple un liquide, ungel, etc.). Les équations d'élasticité (9) doivent être alors complétées de ces effets ; un desmodèles qui le permet est le modèle de Voigt, selon lequel la viscoélasticité se traduit par unevariation dans le temps des déformations relatives des surfaces et du volume :

T 1=λ K+2μ S 1+χ∂K∂ t

+2 η∂ S1

∂ t

T 2=λ K+2μ S 2+χ∂ K∂ t

+2 η∂ S2

∂ t

T 3=λ K+2μ S 3+χ∂K∂ t

+2 η∂ S3

∂ t

T 4=μ S4+η∂ S 4

∂ t

T 5=μ S5+η∂ S 5

∂ t

T 6=μ S6+η∂S 6

∂ t

(67)

Pour un liquide h est la viscosité dynamique (en kg/m/s) (rappel : n = h/r est la viscositécinématique en m²/s), et souvent m est négligeable. Mais pour des liquides constituées delongues chaînes de polymères (bains fondus, huiles...) m n'est pas négligeable.Pour un gaz, on a : c = -(2/3) h.

2.3.4.1. Étude du cas simple d'une onde plane de cisaillement se propageant dans la directionx3, et dont le champ des déplacements est suivant x2 (éq. (23)):

u2=U 2exp jω t

ρ∂ ² u2

∂ t ²=

∂T 4

∂ x3=−ω ² u2

(68)



La quatrième équation qui donne T4 dans (67), appliquée dans (68), fournit alors :

−ρω ² u2=(μ+ jωη)∂ ² u2

∂ x3 ² (69)

La solution onde plane de (69) est :

u2( x3, t)=U 20exp ((A+ j B) x3)exp jω t

A=R e(− jω

√μρ

1

√1+ jωημ

)

B=I m(− jω

√μρ

1

√1+ jωημ

)

(70)

où U20 est la valeur maxi de l'amplitude, et où Re et Im désignent les parties réelle et imaginairede la quantité complexe. Dans (70), A est négatif, et est donc le facteur d'atténuation del'amplitude de l'onde dans la milieu. On reconnaît dans (70) la célérité de l'onde de cisaillement(53) : V S=√μ/ρ .NB : Pour de faibles valeurs de ωη/μ le développement au premier ordre de (70) conduit à :

atténuation : A≈−ω ² η

2ρV S3 (71a)

facteur de phase : B≈−ωV S

(71b)

(71a) montre que l'onde est d'autant plus atténuée aux hautes fréquences et/ou dans lesmilieux de forte viscosité.Revenant au cas général, (70) appliqué dans (67) donne alors la contrainte T4 :

T 4(x3 , t)= jωU 20√ρ(μ+ jωη)exp( jω t)exp ((A+ jB)) x3 (72)

Par définition, l'impédance caractéristique Zc est le rapport entre la contrainte et la vitesse dedéplacement u°3 = ∂u3/∂t (unités : kg/m²/s):

ZC=T 4

u3°=RC+ j X C=√ρ(μ+ jω η) (73)

NB : pour un milieu non visqueux (h = 0), (73) devient : Xc = 0, Rc = rVS.

2.3.4.2. On suppose maintenant que l'onde incidente de cisaillement depuis le milieu solide (1)rencontre le dioptre qui le sépare d'un milieu (2) viscoélastique. Si l'angle d'incidence dans lemilieu (1) est a(1) et l'angle de réfraction bT(2) de l'onde transmise dans le milieu (2), lesconditions à l'interface x3 = 0 sont :

u2(1)=u2(2) : continuité des déplacements

T 3(1)=T 3(2) ; T 4(1)=T 4 (2) : continuité des contraintes (74)

et les déplacements sont :



u2(1)=U 20 exp jω t . exp( j ωV S (1)

(x1sin a(1)− x3cosa(1))) : onde incidente dans le milieu (1)

uR2(1)=U 20 r exp jω t .exp ( j ωV S (1)

( x1sin a(1)+x3cos a

(1))) : onde réfléchie dans le milieu (1)

uT2(2)=U 20 τexp jω t . exp−((A+ j B)( x1sin bT (2)−x3cos a(1))) : onde réfractée dans le milieu (2)

(75)

où V S (1)=√μ1/ρ1 est la célérité de l'onde de cisaillement dans le milieu (1).Dans (74) la condition de continuité des déplacements, avec (75) pris en x3 = 0, donne :

(1+r)exp ( j ωV S (1)

x1sin a(1))=τexp(−(A+ j B) x1sin bT (2)) (76)

L'égalité (76) est vérifiée par la condition de réfraction, en présence d'atténuation par viscosité :

sin bT (2)

sin a(1)=

V S (2)

V S (1)√1+

jωη2μ2

(77)

où V S (2)=√μ2/ρ2 est la célérité de l'onde de cisaillement dans le milieu (2).Les conditions de continuité des contraintes, dans (74), conduisent à :

(1−r)√ρ1μ1 cosa(1)=τ √ρ2(μ2+ jωη2)cosbT (2) (78)

Or d'après (73) les impédances caractéristiques des milieux (1) et (2) sont respectivement :

Z c(1)=√ρ1μ1 puisque le milieu (1) est sans viscosité: η1=0

Zc(2)=√ρ2(μ2+ jωη2) en présence de la viscosité dans le milieu (2) η2

la relation (78) s'écrit finalement :

Zc(2)=Z c(1)

1−r cos a(1)

1+r cos bT (2) (79)

Ainsi les relations (77) et (79) expriment le passage d'une onde de cisaillement d'un milieusolide dans un milieu viscoélastique.

2.4. Vibrations en torsion d'un cylindre solide

Soit un solide ayant la forme d'un cylindre vertical, d'axe Ox3, de rayon R, dont chaque sectiond'épaisseur élémentaire dx3 est soumise à une déformation en torsion, c'est-à-dire en rotationautour de l'axe Ox3 d'angle q (figure 8)(10).

10 Il s'agit ici d'une modélisation approximative ; pour une approche détaillée sur les modes de torsion,de compression et de flexion des barres cylindriques, se référer aux équations de Pochhammer etChree dans :L. Pochhammer : J. reine angew. Math. (Crelle), 81, 324 (1876)C. Chree : Trans. Cambridge Phil. Soc., 14, 1158 (1889)Love : Theory of Elasticity, pp. 307-309, 4th ed., Cambridge University Press, 1934



Figure 8 – déformation en torsion d'un cylindre

Dans chaque section d'épaisseur élémentairedx3, supposée être en rotation d'ensembleautour de Ox3, l'équation du mouvement est :

ρ∂ ²θ∂ t ²

−μ∂ ²θ∂ x3 ²

=0 (80)

de solution, avec pour conditions aux limites enx3 = 0, vitesse angulaire q°(x3 = 0) = q°0, momentde raideur M(x3 = 0) = M0 :

θ°=d θ/d t=θ°0 cosω x3

V S

− jM 0

Z c

sinω x3

V S

M=M 0cosω x3

V S− j θ°0 Z c sin

ω x3

V S

(81)

La célérité de propagation d'une onde de torsion est donc celle d'une onde de cisaillement :

V S=√μρ . Zc est l'impédance caractéristique pour une poutre cylindrique vibrant en torsion :

Zc=√ J M=π2

R4√μρ (82)

où J est le moment d'inertie par rapport à Ox3, par unité de longueur parcourue le long de la

circonférence de la section J =ρ AR²2

et M le moment de raideur par unité de longueur

parcourue le long de la circonférence de la section M=μ AR²2

(avec donc A = p R²) (11).

2.5. Ondes de compression dans une poutre

En compression, le déplacement u3, et la contrainte exercée T3 sont dans la même direction x3,et T3 est proportionnelle à la déformation relative S3 (égale ici à ∂u3/∂x3), la constante deproportionnalité étant le module d'Young Y. L'équation du mouvement est alors :

∂ ² u3

∂ t ²−

Yρ

∂ ² u3

∂ x3 ²=0 (83)

avec pour conditions aux limites en x3 = 0:– déplacement imposé à l'extrémité de la poutre : u3(x3 = 0) = u30

– contrainte imposée à l'extrémité de la poutre : T3 (x3 = 0) = T30.la solution de (83) est :

11 Pour obtenir les moments complets dynamique Jq et de raideur Mq on doit donc multiplier J et M par la

longueur de l'arc Rq : Jq = JRq et Mq = MRq ; les équations du mouvement étant : ∂ ² Jθ

∂ t ²=∂ ² M θ

∂ x3d'où (80).


dx3

x3

R

dq

(A)


u3(x3, t)=(u30 cosω x3

V C−

T 30

ω zCsin

ω x3

V C )exp jω t

T 3( x3, t)=−Y∂ u3

∂ x3

=Y ωV C (u30sin

ω x3

V C

+T 30

ω zC

cosω x3

V C )exp jω t

(84)

avec :

– célérité de l'onde de compression : V C=√Yρ (85)

– impédance caractéristique par unité de surface d'une section droite du cylindre :zC=√ρY (86). Noter que, de manière analogue à la définition (73) d'une impédance

caractéristique ZC, celle-ci ne doit pas être confondue avec zC, et vaut ici :

ZC (x3)=T 3

u °3

=T 30

u°30

1− j u °30 zC tanω x3

V C

1− jT 30

zCtan

ω x3

V C

(86)

où u° = ∂u3/∂t vitesse de déplacement.

2.6. Vibrations en mode de flexion d'une barre allongée

Soit une barre allongée (longueur très grande devant la largeur) orientée suivant la directionOx3. Une contrainte est appliquée suivant la direction Ox1 perpendiculaire à l'axe de la barre ; ils'agit alors de déterminer en chaque section de la barre le moment de flexion par rapport à l'axeOx2 perpendiculaire à Ox1 et Ox3, le déplacement u1 suivant la direction Ox1 (figure 9).

figure 9 – flexion d'une poutre allongée

Si T1 est la contrainte exercée suivant Ox1, alors la force élémentaire qui s'exerce sur la sectiondroite de surface dA = dx1dx2 est :

d F=T 1 d x1 d x2=∂F∂ x3

d x3

on applique les équations (23) :

ρ∂ ² u1

∂ t ²d x1 d x2 d x3=

∂T 1

∂ x3

d x1 d x2d x3=∂ F∂ x3

d x3


x3

R

x2

x1

dx3

F

F+dF

M M+dM

Fibre neutre


la surface de la section A étant finie : A=∬dx1 dx2 , la relation précédente devient :

ρ A∂ ² u1

∂ t ²d x3=

∂ F∂ x3

d x3 d'où l'équation des déplacements dans la direction x1 :

ρ A∂ ² u1

∂ t ²=

∂ F∂ x3

(87)

La différence des moments dynamiques M+dM et M des deux forces exercées F et F+dF auxextrémités (- dx3/2 et + dx3/2) du tronçon de la poutre de longueur dx3, ramenés au centre dutronçon et par rapport à l'axe de flexion Ox2 passant par ce centre, est égale à :

(M+dM )−M=dM=∂M∂ x

3

d x3=−((F+d F )

d x3

2−F

−d x3

2)=−F d x

3−dF

d x3

2≈−F d x

3

au premier ordre en dx3. D'où l'équation du moment fléchissant :

F=−∂M∂ x3

(88)

La fibre neutre est la ligne de la poutre où aucune déformation ne se produit : les points situésau-dessus (vers les x1 positifs) s'écartent parallèlement à Ox3 (extension), tandis que ceuxsitués en-dessous (vers les x1 négatifs) se rapprochent (compression). Soit R le rayon decourbure au niveau de la fibre neutre, alors la déformation relative suivant Ox1 est :

S1=x1

R (89)

La contrainte et la déformation relative étant reliées par le module d'Young Y: T1 = YS1, la forceexercée s'écrit alors :

dF=T 1 dA=Y S1 d A=Yx1

Rd A

avec dA = bdx1, où b largeur de la section suivant Ox2. On en déduit le moment dynamique Mpour une section finie :

M= ∫−a /2

a /2

x1 dF= ∫−a/2

a /2

Yx²1

Rb d x1=Y

bR

a3

12 (90)

où a est l'épaisseur de la section suivant Ox1.NB : lorsque l'aire de la section est donnée, on exprime aussi (90) à l'aide du rayon degyration RG :

M=1R

Y A R²G (91)

pour une poutre de section rectangulaire, RG = a/√12 ; pour une poutre de section circulaire(cylindre), RG = D/4 (D : diamètre).



Il reste à expliciter la courbure 1/R. Pour de petites déformations il est, au premier ordre :

1R≈

∂ ² u1

∂ x3

²

d'où, de (90) utilisé dans (88) : F=−Y A R²G

∂ ² u1

∂ x3 ²et (87) donne l'équation du mouvement :

∂ ² u1

∂ t ²+V²C R²G

∂4u1

∂ x34=0 (92)

où V C=√Yρ est la célérité de l'onde en compression, déjà rencontrée en (85). Il s'agit d'une

équation aux dérivées partielles de degré 4, qui nécessite donc de connaître 4 conditions auxlimites pour des positions x3 particulières qui dépendent du problème:

– déplacement u1 ;– inclinaison ∂u1/∂x3 ;– moment dynamique M ;– force appliquée F.

2.7. Application de (92) au cas simple d'une barre libre aux extrémités, et représentationpar un circuit électrique équivalent

Soit une barre rectiligne de section rectangulaire, de longueur 2L suivant Ox 3, d'épaisseur asuivant Ox1, de largeur b suivant Ox2, à laquelle on applique en son centre une différence dedeux forces suivant Ox1, F = F1 – F'1 ; les extrémités sont libres (figure 10).

figure 10 – effort appliqué en flexion sur une barre libre

L'onde de flexion est sous la forme :

u1(x3, t)=U 1( x3)exp jω t

son injection dans (92) donne l'équation en amplitude :

d 4U 1

d x34−

ω ²V²C R²G

U 1=0 (93)


x1

x3

x2

L L

a

b

Fibre neutre

u1

F1

F2


posant p=√ω

V C RGla solution générale de (93) est :

U 1(x3)=A1cosh p x3+A2sinh p x3+A3 cos p x3+A4sin p x3 (94)

où les constantes inconnues A1, A2, A3, A4 sont déterminées par les 4 conditions aux limites :

– en x3 = 0 : Z = - F/u°1 (on impose la force et la vitesse de déplacement au centre), etdu1/dx3 = 0 (pas d'inclinaison au centre) ;

– en x3 = L : M = R²GAY/R = R²GAY∂²u1/∂x²3 = 0 (pas de moment de flexion aux extrémités),F = - ∂M/∂x3 = 0 (pas de force aux extrémités), les extrémités sont donc libres.

Compte tenu de (94) ces quatre conditions conduisent, tous calculs faits (exercice),à l'impédance Z en x3 = 0 (12) :

Z=2 jY A R²G p3

ωsinh p L cos p L+cosh p Lsin p L

1+cosh p Lcos p L (95)

Aux basses fréquences, pL<<1:sin pL ≈ sinh pL ≈ pL,

cosh pL ≈ 1 + (p²L²/2), cos pL ≈ 1 – (p²L²/2)

(95) se réduit alors à :

Z= jω Mavec: M =2ρ A L

(96)

Tout se passe comme si, aux basses fréquences, la barre se comporte principalement commeune masse M sans compliance, et peut être assimilée à un dipôle électrique formé d'une selfd'impédance jMw. Le courant qui traverse ce dipôle est analogue à la vitesse de déplacementu°3, et la tension à ses bornes est analogue à la force F.Pour des pL plus grands, l'impédance Z donnée par (95) devient infinie pour une fréquenceappelée fréquence d'anti-résonance wA, telle que le dénominateur s'annule :cosh pAL cos pAL = -1 pour pAL = 1,8751 (on peut s'en convaincre en traçant la courbe y =cosh(x)cos(x)), soit :

ωA=3,516V C RG

L² (97)

Compte tenu de la définition de Z, l'anti-résonance peut être interprétée ainsi : à la fréquence(97), d'autant plus basse que la barre est allongée, ou que sa raideur est faible, sous l'actiond'une force finie F, les vitesses de déformation tendent vers zéro, la flexion ne se produitquasiment pas.Au voisinage de l'anti-résonance, on peut modéliser les déformations en flexion de la poutre aumoyen d'un circuit équivalent, comme suit :

– fréquences : ω=ωA+ω ' avec ω ' /ω

A≪1

– développement de p au voisinage de l'anti-résonance : p L=√ω

RGV C

≈ pA L(1+12ω 'ωA)

w'/wA étant très petits on assimile :

12 Rappel : Z = F/u°3 ne doit pas être confondu avec l'impédance caractéristique Zc = T1/u°3 qui est uneimpédance surfacique.



cosh( pA Lω '

2ωA )=cos( pA Lω'

2ωA )≈1 ; sinh( pA Lω '

2ωA )=sin( pA Lω '

2ωA )≈ pA Lω '

2ωA (98)

que l'on injecte dans (95), ce qui donne :

sinh p L=sinh p A L cosp A Lω '

2ωA

+cosh pA L sinhpA Lω '

2ωA

cosh p L=cosh p A L coshpA Lω '

2ωA+sinh p A L sinh

p A Lω '

2ωA

cos p L=cos pA L cosp A Lω '

2ωA−sin pA L sin

pA Lω '

2ωA

sin p L=sin p A L cospA Lω '

2ωA

+cos p A Lsinp A Lω '

2ωA

qui deviennent, compte tenu des approximations (98) :

sinh p L≈sinh pA L+pA Lω '

2ωA

cosh pA L

cosh p L≈cosh pA L+pA Lω '

2ωAsinh pA L

cos p L≈cos pA L−pA Lω '

2ωAsin pA L

sin p L≈sin pA L+p A Lω '

2ωA

cos pA L

(99)

Utilisant (99) dans (95), il vient :

sinh p L cos p L+cosh p L sin p L=cosh p A L sin pA L+pA Lω '

2ωA

cosh pA L cos pA L

+pA Lω '

2ωAsinh pA L sin pA L+( pA Lω '

2ωA )2

sinh pA L cos pA L=sinh pA Lcos pA L+cosh pA L sin pA L

(100a)

au premier ordre en (pALw'/2wA), et :

1+cosh p Lcos p L=1+cosh pA L cos p A L−pA Lω '

2ωA

cosh pA L sin pA L+pA Lω '

2ωA

cos pA L sinh pA L

−( pA Lω '

2ωA )2

sin pA L sinh pA L

or, dans cette expression, la condition d'anti-résonance (cosh pAL cos pAL = -1), ainsi que l'arrêtdu développement au premier ordre en (pALw'/2wA), conduisent à :



1+cosh p Lcos p L=pA Lω '

2ωA

(cos p A Lsinh pA L−cosh p A L sin pA L) (100b)

avec les relations (100), (95) devient :

Z=2 jY AR²G p3

ω2ωA

pA Lω ' [ sinh pA L cos pA L+cosh pA L sin p A L

cos p A L sinh pA L−cosh pA Lsin p A L ]=4 j

Y A R²G

p A L1ω(

ωV C RG )

3/2 1

( ω 'ωA)

[...]=4 j1

pA Lω 'ωA

A(ρY ω

V C

ωA

p² A V C )1/2

[...]

≈ (ω≈ωA)4 j

1p² A Lω '

ωA

A(ρY ω ²A

V²C )1 /2

[ ...]=4 j1

( p² A Lω 'ωA )

ρAωA[ ...]=4 jρA LωA

( pA L) ²ω 'ωA

[ ...]

où RG a été remplacé à l'aide de pA=√ωA

V C RG. Le terme entre crochets […] a comme valeur

numérique, puisque pAL = 1,8751 : […] = - 0,539. Finalement, l'impédance est :

Z=−0,5394 jρ A LωA

( pA L) ²ω 'ωA

(101)

Ce résultat (101) est comparable à celui que l'on obtiendrait pour un circuit équivalent constituéd'une masse, jouant le rôle d'une self L', en parallèle avec une compliance, jouant le rôle d'unecapacité C', au voisinage de la fréquence d'anti-résonance de ce circuit, donc avec la mêmeapproximation en fréquences : ω=ωA+ω ' avec ω ' /ωA≪1 (figure 11) :

figure 11 – schéma équivalent d'une barre vibrant en flexion, au voisinage de son anti-résonance

En effet, l'admittance du circuit de la figure 11 est égale à :

1Z=

1j L 'ω

+ j C 'ω=1−L ' C ' ω ²

j L ' ω d'où l'impédance : Z=

j L ' ω1−L' C 'ω ²

donc l'impédance devient infinie (anti-résonance) pour ωA=1

√L ' C 'que l'on remplace dans

l'expression de Z : Z=

j L ' ω

1−( ωωA )

2 ; au voisinage de l'anti-résonance, avec l'approximation au

premier ordre adoptée, Z se simplifie en :


F

u°3 L' (« masse »)

C' (« compliance »)


Z=

j L' ωA(1+ω 'ωA)

1−(1+ω 'ωA)

2≈

j L ' ωA(1+ω 'ωA)

−2ω 'ωA

≈− j L 'ωA

2(ω 'ωA)

(102)

qui a la même forme que (101). En égalisant les deux expressions de Z, et puisque pAL =1,8751,

Z=−0,5394 jρ A LωA

( pA L)2ω 'ωA

=−j L 'ωA

2ω 'ωA

→ 0,539×4×2ρ A L

( pA L)2=L '

soit la masse équivalente :L '=1,226ρA L (103)

On en déduit la compliance équivalente C', puisque ωA=1

√L ' C 'et (97) :

ωA=1

√L ' C '=3,516

V C RG

L ² → C '=

L4

(3,516) ² V²C R²G L '=

ρL4

(3,516) ² Y R²G×1,226ρ A L

où l'expression de VC et la relation (103) ont été utilisées ; finalement :

C '=1

15,16L3

Y AR²G (104)

L' et C' ont bien respectivement les dimensions d'une masse (kg) et d'une compliance (m²/N).

3. Ondes élastiques dans les matériaux piézoélectriques

3.1. Conditions aux limites d'un système piézoélectrique et choix des variablesindépendantes

Un système piézoélectrique est un milieu élastique auquel s'ajoutent des champssupplémentaires de nature électrique, E ou D, ainsi que des conditions aux limites propres àl'interaction entre les champs élastiques et ces champs électriques. Par conséquent, les formesde résolution de problème d'élasticité vues en section 2 doivent être complétées en ce sens.Le choix des variables indépendantes qui interviennent dans les équations (18) et (19)présentées en section 1 dépend directement des conditions aux limites tant mécaniquesqu'électriques portant sur T, S, E, D. On distingue fréquemment :

– les conditions aux limites de nature mécanique (contrainte et déformation): système libresi T = 0 (pas de contrainte imposée), ou/et bloqué si S = 0 (déformation impossible enune partie du système) ; dans ce cas, il y a avantage à choisir T ou S comme variablesindépendantes en mécanique ;

– les conditions aux limites de nature électrique (champ et déplacement électriques E, D)sont liées à la géométrie du matériau et/ou l'emplacement des électrodes ; dans ce casles variables indépendantes sont E ou D.

3.2. Modélisation d'un transducteur annulaire mince, et exemple de représentation parson circuit équivalent

Un transducteur, de masse volumique r, a la forme d'un anneau de section rectangulaire (figure12):



– rayon (mesuré du centre O au cercle partageant la largeur en deux parties égales) : R– largeur de l'anneau : b– épaisseur de l'anneau : a.

Les axes sont définis comme suit :– perpendiculaire au plan de l'anneau : Ox3

– tangentiel à l'anneau : Ox1

– radial : Ox2.

Figure 12 : anneau piézoélectrique mince, avec champ électrique dans la direction de l'épaisseur

Le champ électrique est dans la direction Ox3, c'est-à-dire entre les électrodes que sont lesfaces supérieures et inférieures de l'anneau : E3. Les autres composantes du champ électrique,E1 et E2 respectivement dans la direction tangentielle et la direction radiale, sont nuls puisqueles surface électrodes et les sections droites de l'anneau sont équipotentielles.Par ailleurs, l'anneau étant mince, la seule contrainte qui s'exerce est dans la directiontangentielle Ox1 : T1.Il s'ensuit que les variables indépendantes du problème sont E3 et T1, et que les autresvariables sont la déformation tangentielle S1 et le déplacement électrique dans la direction Ox3,D3 ; l'application de (18a) donne alors comme équations piézoélectriques :

S 1=s11E T 1+d31 E3 (105a)

D3=d 31T 1+ε33T E3 (105b)

L'anneau se déforme radialement (donc suivant Ox2) sous l'action de la contrainte tangentielleT1, puisque la compression interne le long de la circonférence est négligée à cause del'hypothèse anneau mince. Le déplacement radial est noté u2 et dépend de x2 ainsi que dutemps t. Il en est de même pour la contrainte T1. Par hypothèse (b/R et a/R <<1) on adonc approximativement : ∂T1/∂x2 = - T1/R. En introduisant cette relation dans l'équation (23), onobtient directement :

ρR∂ ² u2

∂ t ²(x2 , t)=−T 1(x2 , t) (106)

La déformation relative est, toujours sous les mêmes hypothèses : S1(x2,t) = u2(x2,t)/R. Enremplaçant dans (105a) cette expression de S1, et en utilisant (105a) dans (106), on obtientl'équation du déplacement u2 :

∂ ² u2

∂ t ²+ω ²0u2=

d 31

ρ R s11E

E3 (107)

où w0 est la fréquence de résonance pour un anneau sans champ électrique (E3 = 0) :


O

x2

x1

x3

E3

b

adq T

1

R


ω0=

1

√ρ R ² s11E (108)

Remarque : (107) n'est pas une équation d'onde, la propagation spatiale de la déformation n'yfigurant pas ; il n'y a pas de longueur d'onde, ou périodicité spatiale, d'une déformation seretrouvant à l'identique en d'autres points de l'anneau. A fortiori, il n'y a pas de célérité depropagation des déformations.Si le champ électrique est harmonique, E3 = E30 exp jwt , l'équation (107) admet une solutionelle aussi harmonique de même fréquence w/2p :

u2( t)=d 31

ρ R s11E(ω ²0−ω ²)

E3(t) (109)

De (109) et (105b) on déduit le champ de déplacement électrique D3 :

D3=d 31

s11E

S1+ε33T (1−k ²31)E3 (110)

où, on le rappelle, la déformation relative est :

S 1=u2

R (111)

u2 est donné par (109), le coefficient de couplage est donné par (cf. (21)):

k ²31=d ²31

s11Eε33T (112)

et la permittivité du solide bloqué (cf. (22c)) :

ε31S=ε33

T(1−k ²31) (113)

De l'expression de D3 on tire celle du courant électrique : I=dd t

(D3 AE) où AE est la surface

totale des électrodes annulaires : AE=2×[π(R+b2)

2−π(R−

b2)

2

]=2π R b , ce qui donne :

I=2π R b jω[d ²31

ρR ²(s11E)2(ω ²0−ω ²)

+ε31S ]E3 (114)

La tension électrique entre les électrodes est U = E3a , on définit alors l'impédance électrique Zcomme le rapport entre la tension électrique et le courant (loi d'Ohm), ou son inversel'admittance électrique 1/Z ; (114) donne alors :

1Z=

IU

=2π R b

ajω[

d ²31

ρR ² (s11E)2(ω ²0−ω ²)

+ε31S ]=2π R b

ajωε33

T [k ²31ω ²0ω ²0−ω ²

+1−k ²31] (115)



où l'on a utilisé (108), (112), (113).La résonance est atteinte à une fréquence fR = wR/2p où l'impédance s'annule (ou, en pratique,est minimale), donc où elle correspond à un pôle de l'admittance (valeur infinie) ; (115) tendvers l'infini pour :

ω ² R=ω ²0=1

ρ R ² s11E (116)

L'anti-résonance est atteinte à une fréquence fA = wA/2p où l'impédance devient infinie (ou, enpratique, est maximale), donc où elle correspond à un zéro de l'admittance (valeur nulle) ; (115)s'annule pour :

ω ²A=

ω ²R

1−k ²31

(117)

La relation (117) montre que la résonance et l'anti-résonance sont reliées par le coefficient decouplage électromécanique ; réciproquement, celui-ci peut être déduit de ces fréquences :

k ²31=f ²A− f ² R

f ² A (118)

NB : l'anti-résonance est toujours obtenue à des fréquences plus élevées que celle de larésonance.

Avant de modéliser l'anneau piézoélectrique par un circuit électrique équivalent, on a besoindes définitions suivantes :

– Le circuit équivalent complet, à constantes localisées, intègre les composantssuivants, valable uniquement au voisinage de la résonance : a) une branche électriquereprésentée par un condensateur caractérisé par la capacité bloquée, notée C0,rassemblant les propriétés du transducteur en l'absence de déformation ; b) une branchemécanique, circuit résonnant en série constitué d'éléments mécaniques caractérisés parla compliance mécanique Cm et la masse totale M du transducteur ; c) une brancheacoustique représentée par l'impédance de rayonnement, ou impédance de charge, ZR

= RR + j XR de l'interface transducteur/milieu fluide ; lorsque cette impédance de chargeest absente, le transducteur est dit « sans charge ».

– La conversion électromécanique est la transformation de l'ensemble du circuit lorsque labranche électrique est couplée à la branche mécanique. On la représente par untransformateur entre les deux branches, de coefficient de transformation électro-mécanique 1/f (f est alors appelé coefficient de transformation mécanique-électrique).

– Lorsque l'on applique le coefficient de transformation au secondaire du transformateur, lecircuit équivalent obtenu est formé de la branche électrique en parallèle avec unebranche, dite branche motionnelle d'impédance ZM = RM + jXM, qui intègre la branchemécanique et la branche acoustique transformées (on utilise aussi l'admittancemotionnelle YM = 1/ZM.

– L'impédance totale du circuit équivalent complet est l'impédance Z = R + jX mesurée enentrée aux bornes de la branche électrique.

La figure 13 montre cette représentation, en tant que transformateur et une fois latransformation électro-mécanique intégrée.Dans la suite, on va déterminer les expressions des différentes grandeurs listées ci-dessus,dans la configuration « sans charge ».



figure 13 – circuit équivalent d'un transducteur piézoélectrique annulaire sans charge

La relation (115) donnant l'admittance a la même forme que celle d'un circuit où C0 est enparallèle avec une branche série constituée de LM et CM ; sans préjuger pour l'instant de ce quesont ces variables, on a en effet :

Y =1Z= j X = jωC0+

11

j C M ω+ j LM ω

= jωC 0+ j C M ω1

LM C M

11

LM C M−ω ² (119)

où l'on constate que RM = 0 dans ce cas idéal.La comparaison avec (115) suggère alors les identités suivantes :

C0=(1−k² 31)2π R b

aε33T capacité bloquée (120)

CM =k ²312π R b

aε33T capacité de la branche motionnelle (121)

LM=1

CM ω ²0

=(s11

E)2ρR a

2π d ²31 b inductance de la branche motionnelle (122)

La relation (122) nous permet de déduire le coefficient de transformation électromécanique f, etde remonter ainsi à la branche mécanique du circuit équivalent (M, Cm). En effet, la massetotale de l'anneau M est approximativement : M = r2p Rab, (122) devient :

LM=M ( s11E

2πd 31 b)2

La comparaison avec le résultat de l'application du coefficient de transformationélectromécanique montré à la figure 13, LM = M/f ², fournit ce coefficient :

ϕ=2πb d

31

s11E (123)



On déduit de (123) et (121) la compliance mécanique Cm :

Cm=CM

ϕ ²=

R s11E

2πa b (124)

Finalement on retrouve le schéma de gauche de la figure 13, c'est-à-dire la branche mécaniqueconnectée à la branche électrique par l'intermédiaire d'un transformateur idéal de rapport f.

3.3. Modélisation d'un transducteur de forme parallélépipédique rectangle allongée, avecchamp électrique parallèle à sa longueur, et représentation par son circuit équivalent

Un transducteur, de masse volumique r, a la forme d'une barre parallélépipédique rectangleallongée dans la direction Ox1 (figure 14):

– longueur de la barre : L– largeur de la barre : b– épaisseur de la barre : a.

Les axes sont définis comme suit :– perpendiculaire aux faces horizontales : Ox1

– parallèle à la longueur : Ox3

– perpendiculaire aux faces latérales : Ox2.Les dimensions a et b sont supposées petites devant la longueur L.Le champ électrique est dans la direction Ox3, c'est-à-dire entre les électrodes que sont lesfaces avant et arrière perpendiculaires à Ox3 : E3. Les conditions aux limites pour lesdéplacements sont imposées aux faces avant et arrière, ce qui revient à fixer en ces faces lacontrainte T3 :

– en x = 0 : u3 = U30

– en x = L : u3 = -U3L (l'emploi du signe « moins » se justifiera plus loin, lors de lareprésentation par circuit équivalent).

Avec ces conditions, la contrainte dans la barre est parallèle à la longueur (Ox3), de même pourle champ de déplacement électrique D3. Les variables indépendantes choisies sont dont T3 etD3, et les autres variables sont la déformation relative longitudinale S3 et le champ électriquelongitudinal E3. L'application de (19a) donne les équations piézoélectriques :

S 3=s33D T 3+g33 D3 (125a)

E3=−g33T 3+β33T D3 (125b)

Figure 14 – barre parallélépipédique rectangle allongée piézoélectrique sous contrainte parallèle à l'axede sa longueur


électrodes

F30

U30

-F3L

-U3L

T3

E3 x

3x

3

x1

x2

b

a

L


L'équation (23) s'écrit ici, avec u3(x3,t) déplacement longitudinal :

ρ∂ ² u3

∂ t ²=

∂T 3

∂ x3 (126)

(125a) et (126) donnent :

ρ∂ ² u3

∂ t ²=

1

s33D

∂ S3

∂ x3

−g 33

s33D

∂ D3

∂ x3

or : S 3=∂u3 /∂ x3 et ∂ D3/∂ x

3=0 pour un diélectrique isolant. D'où l'équation d'onde de

compression longitudinale :

∂ ² u3

∂ x3 ²−

1V D ²

∂ ² u3

∂ t ²=0 (127)

où la célérité de l'onde de compression longitudinale à déformation constante est :

V D=√1

ρ s33D (128)

Les solutions de (127) sont de la forme :

u3( x3, t)=[Asin(ω x3

V D )+B cos(ω x3

V D )]exp jω t (129)

où A et B sont déterminées par les conditions aux limites transducteur contraint u3(0,t) = U30,u3(0,L) = - U3L :

A=−1jω [

U 3L

sin(ω LV D)

+U30

tan(ω LV D )]exp(− jω t)

, B=1jω

U 30 exp(− jω t ) (130)

Dans la suite, on va calculer l'impédance électrique totale Z, et, après avoir identifié le rapportde transformation électromécanique, on va remonter au schéma électrique équivalent mettantséparément en évidence la branche électrique et la branche mécanique.

Impédance électrique : Z=UI

; le courant électrique est égal à :

I=AE

∂D3

∂ t= jω ab D3

(131)

où AE = ab est la surface de la section droite du barreau et où l'on a utilisé D3 = D30 exp j wt .L'utilisation des équations (125), avec la solution (129) et (130), donne pour la tensionélectrique U entre les électrodes, tous calculs faits :



U=∫0

L

E3 d x3=[( g ²33

s33D

+β33T )L−

2 g ²33

s33D

V Dω tan( ω L

2V D )] (132)

D'où :

Z=1

jωab [( g ²33

s33D

+β33T )L−

2 g ²33

s33D

V Dω tan( ω L

2 V D )] (133)

Il s'agit d'identifier, dans l'expression (133), la branche électrique et la branche motionnelle :

Z=1

jωC 0

+RM+ j X M (134)

où RM et XM sont les composants résistif et de phase de la branche motionnelle. Il est déjà clairque RM = 0. On va identifier la capacité bloquée C0, ce qui nous permettra par déduction detrouver XM. Pour cela, réécrivons (133) :

Z=1

jωab (g ²33

s33D

+β33T )L+ j

V D

ω ²

2 g ²33

ab s33D

tan( ω L2 V D) (135)

Dans (135) une composante en 1/jw, donc de nature capacitive, apparaît, ainsi qu'une autrecomposante en j/w² qui est de nature ni selfique ni résistive ni capacitive. La premièrecomposante doit donc être liée à la capacité bloquée, en série avec l'impédance motionnelle jXM

qui est la seconde composante.

D'après (21) : k ²33=d ²33

s33Eε33T ; et comme d'après (20) on a d 33=ε33

T g33 : k ²33=ε33T g ²33

s33E ;

Par ailleurs, toujours avec (20) : s33D=s33

E(1−k33 ²) et β33

T =1

ε33T ; d'où :

g ²33

s33D

+β33T =

k33 ²

ε33T(1−k33 ²)

+1

ε33T

=1

ε33T(1−k 33 ²)

par identification dans (134), la capacité bloquée est :

C0=abL

ε33T (1−k33 ²) (136)

La branche motionnelle a donc pour impédance phasique :

j X M = jV D

ω ²

2 g ²33

ab s33D

tan( ω L2V D ) (137)

elle n'est ni selfique, ni capacitive. La fréquence d'anti-résonance correspond à Z infinie, soit :

f A=V D

2 L (138)



et la fréquence de résonance correspond à Z nulle, soit :

f R

f Acotan(π2 f R

f A)= 2π k 33 ² (139)

On cherche maintenant à identifier la branche mécanique du circuit équivalent du transducteur,d'impédance Zm. On sait que, pour cela, il faut connaître le rapport de transformation f d'untransformateur idéal électromécanique ; mais comme la branche motionnelle n'est pas selfique,on ne peut pas le déduire directement de la masse, il faut revenir à la définition même de cerapport de transformation, lequel est lié aux conditions aux limites :

ϕ= forcetension électrique

(sous condition de blocage statique S3 = 0)

On connaît la tension électrique (132), il reste donc à déterminer la force, mais ceci pourchaque face du barreau où des forces différentes s'appliquent ; on s'attend donc à obtenir uncircuit équivalent de la branche mécanique avec autant de transformations électromécaniquesqu'il y a de conditions aux limites relatives aux forces appliquées, en l'occurrence, dans leproblème présent, deux.Conditions aux limites (le terme exp jwt est sous-entendu):

– force exercée en x3 = 0 : d'après (125a) F 0=−a bT 3(0)=−ab( 1

s33D

S3(0)−g33

s33D

D3)d'après (131) et (4) pour Ox3 : F 0=−a b( 1

s33D

∂u3

∂ x3(0)−

g33

s33D

Ijωab) puisque

D3=I

j a bω ; avec (129) et (130) :

∂u3

∂ x3(0)=−

1jω(

U 2

sinω LV D

+U 1

tanω LV D

) ωV D d'où :

F 0=1

j s33D V D

abU 1

tanω LV D

+1

j s33D V D

a bU 2

sinω LV D

+g33

s33D

Ijω (140)

– En x3 = L, de même, par un calcul analogue :

F L=

1

j s33D V D

abU1

sinω LV D

+1

j s33D V D

a bU 2

tanω LV D

+g33

s33D

Ijω (141)

Champ électrique : il est donné par (125b) compte tenu de (125a) et de S 3=∂u3

∂ x3ainsi que

(129), (130), (131) :

E3=−g

33T

3+β

33T D

3=−g

33( 1

s33D

S3−

g33

s33D

D3)+β

33T D

3=−g

33( 1

s33D

∂u3

∂ x3−

g33

s33D

Ij abω)+β

33T 1

j a bωI



E3=−g33

s33D (A ω

V D

cos(ω L/V D)−B ωV D

sin (ω L/V D )−g33I

j ab ω)+β33T 1

j abωI

d'où :

U=∫0

L

E3d x

3=

g33

jω s33D

U1+

g33

jω s33D

U2+

Ljωab (

g 33 ²

s33D

+β33T ) I

or d'après (20) : g33 ²

s33D

+β33T=

β33T

1−k 33 ²et avec comme capacité bloquée :

C0=ab

Lβ33T

(1−k33 ²) (142)

La tension électrique entre les électrodes est :

U=g33

jω s33D

U 1+g33

jω s33D

U 2+I

jωC 0 (143)

Lorsque S3 = 0, les relations précédentes (140), (141), (143) deviennent, compte tenu deséquations (125) :

T 3=−g 33

s33D

Ij ab ω

F0=F L=−T 3 ab=g33

s33D

Ijω

U=E3 L=(g 33 ²

s33D

+β33T ) L

j a bωI

le facteur de transformation est alors :

ϕ=F (S 3=0)

U=

a bL g

33

1

1+β33

T s33D

g 33 ²

soit :

ϕ=a bL

g33

s33Eβ33

T (144)

où l'on a utilisé encore (20).

On montre qu'un circuit où les analogues de tension F1, F2 (forces) et vraie tension électrique Usont reliées aux analogues de courant U1, U2 et vrai courant électrique I vérifient les relations



(140), (141), (143), (144) comprend deux branches avec une transformation électromécaniquedéplacements (U1, U2) → courants (I1, I2) tel que représenté en figure 15 (13).

figure 15 – circuit équivalent d'un barreau piézoélectrique avec champ électrique parallèle à sa longueuret bloqué à ses extrémités

En appliquant les relations des transformateurs idéaux :

U 1=F1ϕ ; I1=ϕU1

U 2=F 2ϕ ; I 2=ϕU 2

on obtient :

U 1=( 1j ωC0

+Z 1

ϕ ²+

Z 2

ϕ ² )I 1+( 1jωC0

+Z 1

ϕ ² )I 2+1

jωC0I

U 2=( 1jωC0

+Z1

ϕ ²) I1+( 1jωC0

+Z1

ϕ ²+

Z 2

ϕ ² )I 2+1

jωC0I

U =1

jωC 0I1+

1jωC0

I2+1

jωC0I

(145)

avec :

Z1=Z D

j sinω LV D

−1

jωC0

Z 2= j Z D tanω L

2 V D

(146)

où l'impédance mécanique caractéristique est : Z D=ρabV DOn en déduit, pour la branche mécanique (schéma de droite de la figure 15) :

Z A=Z D

j sinω LV D

; Z B= j Z 0 tanω L2VD (147)

13 Voir par exemple : G. Chateigner, D. Bouix, M. Boës, J. Vaillant, D. Verkindère : Manuel de génie électrique, Dunod, 2006



Remarque : Dans cet exemple la branche motionnelle ZM = RM + jXM est en série avec labranche électrique Z0 = R0 + j/wC0 (avec ici R0 = 0 en l'absence de pertes diélectriques) ; laraison en est que l'excitation électrique et la déformation s'effectuent dans une même direction.Dans l'exemple de l'anneau, au point 3.2, les deux branches étaient en parallèle : en effet,l'excitation électrique était suivant l'épaisseur tandis que la déformation était tangentielle doncsuivant une direction perpendiculaire à la première.

4. Schéma équivalent pour un transducteur composite en interaction avec un milieu

4.1. Analogies électromécaniques, admittance d'entrée

En pratique, le transducteur est en interface avec un milieu fluide (gaz ou liquide) dans le quel ilrayonne, ou depuis lequel il reçoit, une onde acoustique, selon qu'il fonctionne en émetteur(source acoustique) ou bien en récepteur (hydrophone ou microphone). L'ensemble peuttoujours être représenté par un circuit équivalent au voisinage de la résonance, sachant quecelle-ci est différente de la résonance du transducteur seul puisqu'elle est modifiée par la« charge » apportée par le milieu fluide.Par ailleurs, en pratique aussi, les performances acoustiques d'un transducteur s'évaluent envitesse de vibration et en forces plutôt qu'en déplacements et contraintes mécaniques. Leschéma équivalent utilisera alors les analogies électromécaniques, en tenant compte d'une partdes pertes diélectriques et mécaniques, et d'autre part de l'interaction avec le milieu fluide(tableau 5). En présence d'une impédance de charge acoustique qui ferme le circuit, la figure13 doit être complétée comme la figure 16.

figure 16 – schéma du circuit équivalent d'un transducteur en présence d'une impédance derayonnement acoustique

Grandeurs électriques Grandeurs mécaniques Grandeursmotionnelles

Tension U (V) Force F (N) F = f U

Intensité I (A) Vitesse de vibration u° =du/dt (m/s) u° = I/f

Charge q (C) Déplacement u (m) u = q/f

Capacité C (F) Élasticité Cm (m/N) CM = Cm f²

Inductance L (H) Masse M (kg) LM = M/f²

Résistance R (W) Résistance mécanique Rm (pertes mécaniques) (N/m/s) RM = Rm/f²

Tableau 5 : analogie électromécanique



En (123) comme en (144) le coefficient de transformation électromécanique est :

ϕ=Y AE d

L (148)

où : Y module d'Young (= 1/sE) en N/m², AE surface des électrodes (en m²), d constantepiézoélectrique (en m/V), L distance entre électrodes (en m) ; f est alors en C/m ou N/V. Cetterelation (148) est générale, sans préjuger des différentes directions i, j qui dépendent duproblème.La constante de couplage, définie en (21), a l'expression générale, sans préjuger des directionsmises en jeu dans la configuration du transducteur :

k=√Y d ²

εT

(149)

De (148) et (149) il vient la relation entre ces deux coefficients :

ϕ=k ²εT AE

Ld (150)

Pour la capacité bloquée, l'expression (136) prend la forme générale sans préjuger desdirections mises en jeu dans la configuration du transducteur :

C0=ε

S AE

L=εT AE

L(1−k² ) (151)

Impédance totale du transducteur en présence d'une impédance de rayonnement acoustique(cf. fig. 16) :

Avec les conventions de sens adoptées à la figure 16, l' impédance de rayonnement est lerapport de la force F exercée par le fluide sur la face du transducteur à la vitesse de vibrationde cette face (appelée « face parlante » du transducteur) :

Z R=RR+ j X R=−Fu°

(152)

où u° = du/dt (dans la direction de la déformation considérée).L'admittance Y du circuit complet fermé sur ZR (ou admittance électrique d'entrée, mesurée auxbornes de la branche électrique) est telle que :

I=Y U

elle est la somme de l'admittance Y0 de la branche électrique constitué de la capacité bloquéeC0 et de la résistance de pertes diélectriques R0 et de l'admittance de la branche motionnelleYM :

Y =Y 0+ϕ ²

Z R+Z m=Y 0+Y M

ainsi :

Y M=ϕ ²

Z R+Z m (153)



où Zm est l'impédance de la branche mécanique : Z m=Rm+ j(M ω−1

Cmω) .

L'admittance électrique d'entrée est alors :

Y =( 1R0

+ jωC0)+ ϕ ²

Rm+ j(M ω−1

ωCm )+RR+ j X R (154)

avec donc Z = I/Y.

Remarque : le coefficient de couplage est également défini par la relation (14) :

k ²=C M

C 0+CM (155)

4.2. Rendement, facteur de qualité, diagramme d'admittance

Réécrivons l'admittance (154) en séparant la partie réelle, notée G (conductance) et la partieimaginaire, notée B (susceptance) ; on obtient, en utilisant les transformations du tableau 5 :

Y =G+ j B (156a)avec :

G=1R0

+

RM

+RR

ϕ ²

(RM+

RR

ϕ ² )2

+(LM

ω−1

ωC M+

X R

ϕ ² )2 (156b)

B=ωC 0−

LM ω−1

ωCM

+X R

ϕ²

(RM+RR

ϕ ² )2

+(LM ω−1

C M ω+

X R

ϕ ² )2 (156c)

En général l'impédance de rayonnement est résistive : XR << RR ; avec cette approximation,(156) montre que :

– G est maximale pour la fréquence de résonance motionnelle (ou encore résonance

série, ou résonance mécanique), soit : LM ω−1

ωCM

=0 d'où :

ωS=1

√LM CM

=1

√M C m (157)

– à une autre fréquence (ou pulsation wP), dite fréquence de résonance parallèle,l'argument (ou angle de phase) de Y = G + jB est le même qu'à la résonancemotionnelle. On doit donc avoir :

14 En effet : CM/(C0 + CM) = Cmf²/(C0 + Cm f²) avec Cm = L/YAE et C0 = (eTAE/L)(1 – k²) et f = YAEd/L, cequi donne : CM/(C0 + CM) = Yd²/(eT – k²eT + Yd²) = (Yd²/eT)/(1 – k² + Yd²/eT) = k²/(1 – k² + k²) = k²



tan θ(ωS)=tanθ(ωP)=BG

(ωS)=BG

(ωP )

avec (157) et (156) cela donne :

BG

(ωS)=ωS C0

1R0

+1

RM+RR /ϕ ² (158a)

BG

(ωP)=

ωP C0−((ωP /ωS) ²−1)ωP C M

(RM+RR/ϕ ²) ² (ωP C M ) ²+((ωP /ωS) ²−1) ²

1/R0+(ωP CM ) ²RM+RR /ϕ ²

(RM+RR/ϕ ²) ² (ωP C M ) ²+((ωP /ωS) ²−1) ²

(158b)

L'égalité de (158a) et (158b) conduit à une équation algébrique de degré 5 en wP :

ωP(ωP CM ) ² R0C 0(RM+RR /ϕ ²) ²+ωP R0 ((ωP/ωS ) ²−1)(C 0(ωP /ωS ) ²−C0−CM )

(ωP C M ) ²(RM+RR/ ϕ²)(RM+RR/ϕ ²+R0)+((ωP /ωS ) ²−1) ²

=ωS R0C0 (RM+RR/ϕ ²)

R0+RM+RR/ ϕ²

(159)

Pour un transducteur non chargé, comme dans l'air : RM+RR/ϕ ²≈0 , l'équation (159) se simplifie :

((ωP/ωS ) ²−1)(C 0(ωP/ωS ) ²−C0−CM )≈0

comme on cherche une fréquence autre que celle de la résonance motionnelle, l'annulation du premier terme ((ω

P/ω

S) ²−1)=0 est à exclure (on retombe sur la

solution (157)) ; la seconde solution est alors celle de (C0(ωP /ωS ) ²−C 0−CM )≈0 , soit :

ωP=ωS √1+CM

C0

(160)

que l'on écrit aussi :

C M

C0

=ωP ²−ωS ²

ωS ² (161)

D'après (155) k²=

CM

C0+CM

=CM

C0

1

1+CM

C0

, soit : k ²=1−(ωSωP)

2

(162)

– B est nulle pour deux fréquences : la fréquence de résonance (pulsation wR) pourlaquelle l'admittance est la plus grande (donc impédance la plus petite), la fréquenced'anti-résonance (pulsation wA) pour laquelle l'admittance et la plus petite (doncimpédance la plus grande):



B (wR) = 0 et B(wA) = 0 avec |Y(wR)| > |Y(wA)|

Dans l'air, avec RR≈0 , on vérifie que (156c) s'annule pour deux valeurs : l'une wA

proche de wP, et l'autre proche de wS, pour lesquelles on a |Y(wR)|² > |Y(wA)|². Dans l'air on a approximativement ωR≈ωS et ωA≈ωP et l'on a toujours wR < wA .

– On définit aussi la fréquence pour laquelle l'admittance est maximale, wMAXI → |Y|maximale, et la fréquence pour laquelle l'admittance est minimale, wMINI → |Y| minimale.

Le facteur de qualité mécanique, Qm, évalue l'importance relative des pertes mécaniques :

Qm=ωS LM

RM+RR/ϕ ² (163)

En l'absence de charge (transducteur dans l'air), (163) devient :

Qm=ωS LM

RM

=1

ωS C M RM (164)

On peut relier le facteur de qualité mécanique au rendement électroacoustique hea, lequel faitintervenir les pertes mécaniques et la résistance de rayonnement, comme on va le voir ci-après.

Définition du rendement électroacoustique :

ηea=puissance rayonnée

puissanceélectrique fournie=ηemηma

où ηem=puissance mécanique

puissance électrique fournie=

Pm

P Eet ηma=

puissancerayonnéepuissance motionnelle

=P R

PM

Pour hma : c'est le courant I = f u° qui véhicule la puissance, on est donc en série :

PM=(R

M+R

R/ϕ ²) I ² et P

R=(R

R/ϕ ²) I ² → ηma=

RR/ϕ ²

RM+RR/ϕ ²

Pour hem : c'est la tension U qui fournit la puissance, on est donc en parallèle :

Pm=U ²

RM+RR/ϕ ² et P E=U ²( 1R0

+1

RM +RR/ϕ ²) → ηem=

1RM +RR/ϕ ²

11R0

+1

RM+RR /ϕ ²

Le rendement électroacoustique est donc :

ηea=RR/ϕ ²

(RM+RR/ϕ ²) ²1

1R0

+1

RM+RR/ϕ ² (165)

Le rendement étant défini, réécrivons Qm en fonction de lui, pour cela on pose :R=RM+RR/ϕ ² . (163) s'écrit alors : Qm=ωS LM /R . Exprimons R en fonction de hea, à



partir de (165) ; on obtient l'équation du second degré en R :

R ²+R R0−R0 RR

ηea ϕ ²=0

dont la solution positive est : R=R0

2 (√1+4R0 RR

ϕ ² R0 ² ηea

−1) ; dans l'approximation RR/f²R0

faible, il vient : R≈RR

ϕ² ηead'où : Qm≈

ωS LM ηeaϕ ²

RR. De (150) et (151) on a : ϕ=

k ²1−k ²

C0

dd'où finalement :

Qm=ωS LM ηea

RR

C 0

d ( k ²1−k ²)

2 (166)

Qm est grand si : la fréquence de résonance motionnelle wS est grande, la masse motionnelle LM

est grande, le rendement est proche de 1, le facteur de couplage électromécanique k estproche de 1, le rayonnement acoustique est réduit (peu de pertes par rayonnement). CommeRR est très faible dans l'air, Qm est plus grand dans l'air que dans l'eau et à la résonancemotionnelle, l'admittance présente un pic plus prononcé dans l'air, révélant une bande passanteà -3dB plus étroite, mais véhiculant plus de puissance.L'évolution de l'admittance avec la fréquence est représentée dans le plan complexe (G, B) parune courbe appelée boucle de Kennelly. Son exploitation donne quelques renseignementsintéressants relatifs aux définitions et relations données dans cette section : fréquences derésonance motionnelle, parallèle, fréquence de résonance, fréquence d'anti-résonance,fréquence wMAXI, fréquence wMINI, rendement électroacoustique, évaluation de la bandepassante, pertes diélectriques.En première approximation, la courbe (G, B) est proche d'un cercle, comme on peut le justifierde manière heuristique suivante.

Pour cela, posons : α=RM +RR

ϕ ², β=LM ω−

1ωC M

, et (156) se réécrivent (avec XR = 0) :

G=1R0

+ αα ²+β ² (167a)

B=ωC 0−β

α ²+β ² (167b)

les relations (156) s'écrivent alors :

(G−1R0 )

2+(B−ωC0)

2=1

α ²+β ² (168)

Mais l'équation (168), sous sa forme, doit être modifiée car l'un des paramètres, b, dépend dew, il faut donc l'éliminer pour arriver à une expression de la forme d'une équation de cercle ;pour cela on utilise (167a) pour ne faire apparaître que G, R0, B, C0, a :

1α ²+β ²

=1α(G−

1R0)



d'où (168) se réécrit : (G−1R0 )

2+(B−ωC0)

2=1α(G−

1R0) ou encore :

(G−1R0 )

2−

1α (G−

1R0 )+(B−ωC0)=0=((G−

1R0 )−

12α)

2

−1

4α ²+(B−ωC0)

2=0

qui se réarrange en :

(G−( 1R0

+1

2α))2

+(B−ωC0)2=

14α ² (169)

L'équation (169) est celle d'un cercle, dans le plan (G,B), de rayon r=1

2α=

12(RM+RR /ϕ ²)

et de centre de coordonnées : GC=1R0

+1

2α=

1R0

+1

2(RM+RR/ϕ ²) , BC=ωC0 .

Cette conclusion est légitime si le centre varie peu avec la fréquence, ce qui est admis enpremière approximation au voisinage de la résonance. Le cercle de Kennelly est représenté à lafigure 17, dans l'air et dans l'eau, avec ses différents points remarquables.

Figure 17 – cercles de Kennelly (diagramme d'admittance G, B) pour un transducteur dans l'air (cercleen noir) et un transducteur dans l'eau (cercle en rouge), au voisinage de la résonance

Remarque : le rendement électroacoustique, tel que défini en (165), peut se retrouverdirectement au moyen des cercles de Kennelly dans l'air et dans l'eau. Il suffit pour cela demesurer les distances :

A1 A2=1

(RM +RR/ϕ ²) , A1 A3=

1RM

, A2 A3=1

RM

−1

RR /ϕ ² ' A0 A2=

1R0

+1

RM+RR /ϕ ²

et de calculer :



A1 A2

A1 A3

A2 A3

A0 A2

=RM

RM+RR/ϕ ²

1RM

−1

RM+RR/ϕ ²

1R0

+1

RM +RR/ϕ ²

ce qui donne exactement (165), ainsi :

ηea=A1 A2

A1 A3

A2 A3

A0 A2 (170)

Enfin, le diagramme d'admittance renseigne aussi directement sur les pertes diélectriques R0 :la tangente de l'angle entre l'axe OG et OA1 est en effet égale à wR0C0.

Sur la figure 17, les fréquences de pulsation w1 et w2 correspondent à des points du cercle deKennelly situés à son sommet et à sa base, de même abscisse GC. La ligne qui les joint estperpendiculaire en C à la ligne d'ordonnée BC : ces fréquences sont dites fréquencesquadrantales. Ce sont les points où l'énergie mécanique diminue de moitié dans la branchemotionnelle (RM, RR/f², LM, CM). On peut les calculer à partir de l'équation du cercle de Kennelly(169) :

De (G−GC) ²+(B−BC) ²=1 /4α ² on a : G = GC → B=±1

2α+BC ;

mais d'après (167b) B est aussi égal à B=ωC 0−β

α ²+β ² avec β=LM ω−1

ωCM :

ωC0−LM ω−1/ωCM

α ²+β ²=±

12α

+ωC0puisque BC=ωC0 .

On remplace 1/(a² + b²) par : 1

α ²+β ²=

1α(GC−

1R0 ) dans l'équation précédente. On obtient

alors deux équations en w : 2(GC−1R0)(

1ωC M

−LM ω)=±1 . En posant x= ωωS et en

utilisant (157), ainsi que GC−1/R0=1/2α , ces équations deviennent :

x ²± αLM ωS

x−1=0

ces deux équations admettent chacune une racine positive :

– dans le cas « + » : x2=12 √ α ²

LM ²ωS ²+4− α

2 LM ωS (171a)

– dans le cas « - » : x1=12 √ α ²

LM ²ωS ²+4+ α

2 LM ωS (171b)

La différence entre les fréquences quadrantales correspond approximativement à la bandepassante à -3 dB du transducteur : Df = f1 – f2. Elle est reliée au facteur de qualité mécaniqueQm, en effet :

x1−x2=ω1−ω2

ωS=

Δ ff S

= αLM ωS

=RM +RR/ϕ ²

LM ωS



ce qui d'après (163) donne :

Qm=f S

Δ f (172)

Pour une fréquence de résonance donnée, un facteur de qualité mécanique élevé signifie unebande étroite. Cette conclusion est surtout intéressante en mode émission, pour favoriser unebonne discrimination en fréquences, tandis qu'en réception on cherche plutôt des bandeslarges.

5.3. Exemple de transducteur composite : type TONPILZ (15)

Le transducteur de type Tonpilz possède une partie piézoélectrique (le « moteur ») quifonctionne suivant les modes mécaniques de compression et extension ; ces vibrations sonttransmises vers l'avant à un pavillon au contact de l'eau qui les convertit en ondes sonores. Lemoteur est bloqué à l'arrière par une contre-masse relativement importante, ce qui empêche lesvibrations de se propager vers l'arrière.De façon plus détaillée, on distingue (figure 18) :

figure 18 – transducteur composite type Tonpilz

– le moteur : empilement de céramiques annulaires, fonctionnant en mode decompression-extension, et soumises à un champ électrique dans le sens de leurépaisseur établi par des électrodes intercalées entre elles ;

– le pavillon, d'impédance mécanique intermédiaire entre celle des céramiques et celle dumilieu de propagation ; la face qui rayonne dans le fluide ou bien qui reçoit l'ondeacoustique incidente est appelée face parlante ; ses modes de vibration (déforméesmodales) peuvent être complexes selon les fréquences ;

– la contre-masse faite d'un métal lourd : elle assure le découplage entre le moteur etl'appui arrière du transducteur, afin que les déformations des céramiques se transmettentuniquement vers le pavillon ;

– la tige de précontrainte : elle plaque les céramiques piézoélectriques entre elles de façonà ce que seul le mode de compression soit privilégié ;

– des joints d'adhésifs (colle, résines) sont disposés entre ces divers éléments, et ont poureffet d'apporter des comportements élastiques qui viennent modifier la capacitémotionnelle de l'ensemble. Leur influence est suffisamment significatives dutransducteur, pour que nous examinions rapidement leur rôle dans le circuit équivalent :

15 O. Brandt : Le transducteur du type Tonpilz – n° 15632 DSM/B, décembre 1966



Supposons que le moteur est formé par l'empilement de 2n céramiques. En l'absence de jointsde colle, la capacité bloquée de cet empilement serait :

C0=2nC

où C est la capacité bloquée de chaque céramique, supposée la même. La présence de jointsde colle de part et d'autre d'une céramique crée un montage série de capacités, de capacitééquivalente CT telle que :

1CT

=1C+

2CG

(173)

où CG est la capacité d'un joint de colle. Les capacités individuelles sont :

– pour chaque céramique : C=εCS

hCavec eC permittivité de la céramique, hC son

épaisseur, S la section des électrodes,

– pour chaque joint de colle : CG=εGShG

avec eG permittivité de la colle, hG son

épaisseur, S la section des électrodes.

En admettant en pratique que C << CG, (173) devient alors :

CT≈C(1−2εCεG

hG

hC ) et C0=2nCT (174)

Exemple numérique : eC = 1250 en valeur relative, hC = 5 mm ; eG = 5 en valeur relative, hG =0,001 mm → CT = 0,9 C : la présence des joints de colle entraîne une perte de 10% sur lacapacité bloquée d'une céramique, et donc sur celle de l'ensemble du moteur. On a intérêt àutiliser des joints de colle les plus minces possible, mais comme cela doit être compatible avecdes colles de très bonne tenue, cela implique des variétés de colle très spécifiques (aralditesspéciales type P762...).Mécaniquement, la présence de joints de colle modifie la compliance mécanique de lacéramique seule :

CmC=hC

Y C S

où YC est le module d'Young de la céramique. La compliance de la colle vient s'ajouter à cellede la céramique seule, puisque l'ensemble est monté en parallèle :

CmG=2 hG

Y G S

où YG est le module d'Young de la colle. Ainsi : Cm=CmC+C mG=hC

Y C S+

2hG

Y G S, soit :



C m

C mG

=1+2hG

hC

Y C

Y G (175)

Pour obtenir une compliance la plus proche de celle de la céramique seule on a intérêt àminimiser l'épaisseur du joint de colle. Exemple numérique : hC = 5 mm, hG = 0,008 mm, YC =6.1010 N/m², YG = 4.109 N/m² → Cm/CmG = 1,05.

5. Sensibilités et directivité des capteurs et émetteurs piézoélectriques

5.1. Définitions des réponses à l'émission

Pour un transducteur fonctionnant en émission, on définit les différents niveaux relatifs :

– niveau d'émission S : niveau sonore mesuré sur l'axe d'émission acoustique dutransducteur, ramené à 1 mètre de distance ;

– réponse par volt, ou niveau d'émission ramené à 1 volt efficace d'excitation : Sv ;– réponse par ampère, ou niveau d'émission ramené à 1 ampère efficace d'excitation : Si ;– réponse par watt, ou niveau d'émission ramené à 1 watt d'excitation : Sw.

Ces niveaux, ainsi que leurs relations mutuelles, sont détaillées ci-après.Pour cela, on rappelle la définition de l'intensité sonore d'une onde acoustique à la distance r dela source d'émission ; soit W(r) la puissance acoustique (en watt W) d'une onde sphérique à ladistance r (en mètres m) dans le milieu de propagation, la conservation de l'énergie entraîneque cette puissance se retrouve à l'identique dans toute surface distante de r de la source sousun même angle solide :

W=4π r ² I (r )=constante

la constante peut être choisie pour une puissance de référence à r = 1 m de la sourceacoustique, I1, ainsi (loi de la perte par divergence):

I (r )=I1

r² (176)

Cette relation (176) doit être cependant corrigée pour tenir compte de l'absorption par le milieu :

I (r )=I1

r²exp(−α r ) (177)

L'impédance caractéristique ZC est l'impédance de rayonnement (152) par unité de surfacetraversée par l'onde acoustique : ZC = ZR/S = (F/u°)/S = (PS/u°)/S = P/u°. Loin des sources, elleest :

– pour une onde plane : ZC=ρ c donc P=ρ cu° : la pression acoustique et la vitesse

de vibration sont en phase ; en effet :

P=P0 exp jω(t− rc) , v=

P0

ρ cexp jω(t− r

c ) (178)

– pour une onde sphérique : ZC=

ρ c

1− j1

K r, où K=ω/c nombre d'onde, r distance à la

source : la pression acoustique et la vitesse de vibration ne sont pas en phase ; en effet :



soit P0 la pression à une distance r0 de la source, alors à une distance r la pression acoustique est :

P (r )=P0

r0

rexp jω(t− r

c ) (179)

et la vitesse se déduit par l'impédance caractéristique des ondes sphériques vue ci-dessus :

v (r )=P (r )

Z C (r )=P0r0( 1

jωρ r ²+

1ρc r )exp jω(t− r

c) (180)

L'onde sphérique est assimilée à une onde plane si K r >> 1, soit r >> l (longueur d'onde).

L'intensité sonore est le flux d'énergie par unité de temps à travers une surface unité ; onmontre que :

I=c E (181)

où E est la densité d'énergie (en J/m3). Pour les ondes planes, on montre que :

E=P ²

2ρc²=

ZC

² v ²

2ρ c ²=

ρ ² c ² v ²2ρ c ²

=ρv²2=ρ v ²

eff (182)

où veff = |v|/√2 est la valeur efficace de l'amplitude de la vitesse. D'où :

I=ZC v²eff =P²

2ρ c=

P ²eff

ρ c (183)

Pour les ondes sphériques, l'application de (179) ou (180) montre que, au premier ordre,l'intensité sonore décroît comme 1/r², ce qui justifie la loi de divergence sphérique (176).

Le niveau sonore à une distance r de la source, en présence d'atténuation, est défini par :

L(r )=10 log I (r )=I1−20 log r−α r (184)

Le niveau sonore de la source ramené à r = 1 m de distance, en l'absence d'atténuation, est :

S = L (1m) = I1

L et S sont exprimés en dB, mais ceci n'a de sens que si on les ramène à un niveau deréférence noté I0. On définit alors plutôt le niveau d'émission : niveau sonore mesuré sur l'axeacoustique du transducteur ramené à r = 1 m de distance à la source :

S (dB ref I0/1m)=10 log

I1

I0

(185)

L'intensité de référence est prise égale à I 0=P²eff0

ρ cavec Peff0 = 1 Pa pour l'eau et 2.10-5 Pa



pour l'air, soit : I0 = 6,5.10-7 W/m² pour l'eau, et I0 = 10-12 W/m² pour l'air (16). Avec cesréférences, on a pour (185) respectivement :

eau : S (dBref 6,5 .10−7W /m² )=10log I 1+62 (186)

air : S (dB ref 10−12W /m² )=10 log I1+120 (187)

La réponse par volt est le rapport de la tension d'excitation U à la pression acoustiqueramenée à r = 1m de la source, exprimée en dB référence 1 Pa/V :

S V=20 logPU

(dB ref 1Pa/V ) (188)

Remarque : SV=S−20 log U

La réponse par ampère est le rapport du niveau sonore S à l'intensité du courantd'alimentation (en ampère, A), exprimée en dB référence 1 Pa/A :

Si=S−20 log I (dB ref 1 Pa/ A) (189)

La réponse par watt est le rapport du niveau sonore S à la puissance d'émission PE (en watts,W), exprimée en dB référence 1 Pa/W :

SW=S−10 log P

E(dB ref 1 Pa/W ) (190)

5.2. Réponse en réception

Lorsque le transducteur fonctionne en microphone (air) ou en hydrophone (eau), la réponse à laréception est le rapport de la tension U mesurée aux bornes du transducteur en circuit ouvert àla pression acoustique P d'une onde plane qui existerait en l'absence du transducteur et à sonemplacement. Elle est caractérisée par la sensibilité Sh :

S h=20 logUP

(dB ref 1V /Pa) (191)

La quantité :

20 log J =Sh−S

i (192)

est indépendante du transducteur, de la direction d'émission, mais dépend seulement de lamasse volumique r du milieu de propagation et de la fréquence f : J s'appelle facteur deréciprocité. J vaut :

J =2 r

0

ρ f (193)

avec r0 = 1m. Pour l'eau r = 1000 kg/m3, et si Sh en V/Pa et Si en Pa/A, f en Hz, alors :

16 Pour l'air, la valeur de référence Peff0 = 2.10-5 Pa correspond au seuil d'audibilité de l'oreille humaine ;la masse volumique et la célérité du son dans l'air sont respectivement 1,3 kg/m3 et 330 m/s dans lesconditions standard.



J =2.10−3

f(VA/Pa² )=

2.10−15

f(VA /μ Pa²) (194)

Soit Z l'impédance électrique du transducteur composite, on montre la relation de réciprocité :

Sh=S

V+20 log J+20 log∣Z∣ (195)

qui s'écrit encore, compte tenu de (193) et pour l'eau (r = 1000 kg/m3) :

Sh=S

V+20 log∣Z∣−20 log f −294 (ref VA/Pa², f en Hz) (195bis)

Cette relation (195) permet de déduire SV à partir de la mesure de Sh. Mais on peut le faireaussi à partir de (192). En effet, un transducteur émet une onde acoustique vers une paroi donton connaît le coefficient de réflexion R ; la distance entre la face parlante et la paroi est r (figure19). On tient compte aussi de l'atténuation par le milieu.

Figure 19 – détermination expérimentale du Sh par le principe de réciprocité

La pression reçue sur l'hydrophone après réflexion sur la paroi est : R x P (2r) ;Niveau sonore émis : S = 20 log (P(1m)/1 mPa) (dB ref 1 mPa/1m) ;Niveau sonore reçu après réflexion : S'' = 20 log (RP(2r)/1mPa) (dB ref 1 mPa) ;or, en tenant compte de l'atténuation :

P (2 r )=P (1m)exp (−2α r )

2 r

d'où :

S ' '=S−2α r−20 log 2 r+20 log R

d'autre part :

S ' '=20 logU ' '−Sh

S h=Si+20 log J ( J =2×1m /ρ f , Si en dB ref μPa /1m /A )

S=S V+20 log U=Si+20 log I

d'où :

S ' '=20 log U ' '−(S i+20 log J )=(S i+20 log I )−2α r−20 log 2 r+20 log R

d'où Si :

S i=α r+10 log(2r )−10 log R−10 log J +10 logU ' '

I (196)

(192) permet alors de déduire Sh.


r

P

RP(2r)

Paroi (coefficient de réflexion R)

Tension à l'émission : UTension à la réception : U''


NB : les grandeurs électriques et acoustiques sont en valeurs efficaces.

5.3. Effet de la directivité et du rendement sur la réponse en émission

La concentration de l'énergie acoustique dans un faisceau d'émission ou de réception affecteles performances à l'émision ou bien à la réception d'un transducteur ; cette concentration dansl'espace du milieu de propagation est liée à la notion de directivité d'une antenne.

5.3.1. Directivité à l'émission

L'intensité sonore en un point du milieu de propagation, de coordonnées M(r,j,q) résulte de lasomme des amplitudes et des phases de chacune des surfaces élémentaires constitutives de laface parlante (figure 20).

figure 20 : lobe d'intensité acoustique dépointé en gisement et en site par rapport à l'axe acoustique del'émetteur

Soit I(r,j,q) l'intensité à une distance r de la source, et Ia(r) l'intensité maximale à la mêmedistance r. Alors, pour r suffisamment grand devant les dimensions caractéristiques de lasource, de sorte que les rayons soient parallèles (champ lointain), on a :

I (r ,θ ,φ)=I a(r)b(θ ,φ) (197)

b(j,q) est la fonction de directivité.Le facteur de directivité K est le rapport de l'intensité sonore sur l'axe à la moyenne desintensités sonores, sur une sphère centrée sur la source et passant par un point distant de r à lasource :

K=I aMAX

14 π r²

∬S

I (θ ,φ , r )dS (198)

soit :

1K

=1

4π∫θ=0

π

∫φ=0

2π

b(θ ,φ)sinθ d θ d φ (199)

qui ne dépend plus de r. L'index de directivité (ou gain d'antenne) est exprimé en dB :



D=10 log K (200)

il représente au gain en puissance dans la direction du faisceau par rapport à celle quefournirait un transducteur omnidirectionnel de même puissance à l'émission. Plus D est grandplus le faisceau est directif.Pour un transducteur de surface d'émission S suffisamment grande devant la longueur d'onde(en fait : S > (l/2)²), entourée d'un baffle rigide infini, on montre que :

D≈10 log4πSλ ²

(201)

Si le lobe du faisceau d'émission est de symétrie de révolution autour de l'axe, alors :

1K=

14π

∫0

2π

d φ∫0

π

b(θ ,φ)sinθd θ=2π

4π∫0

π

b(θ)sinθd θ soit :

D=3 dB−10 log∫0

π

b(θ)sinθ d θ (202)

La largeur du lobe à -3dB correspond à l'angle d'ouverture du faisceau où la puissance émiseest diminuée de moitié ; cet angle en azimut ou en site, noté q3, est tel que :

D(θ3)=10 log K−3dB (203)

Quelques exemples de directivité :

– piston rectangulaire de hauteur a et de largeur b :

b(θ)=sin ²(πa

λsinθ)

(π aλ

sin θ)2 D≈10 log

4πabλ ²

2θ3=50 ° λa (204)

– piston circulaire de rayon R :

b(θ)=4J 1

2(π2 Rλ

sinθ)(π2 R

λsinθ)

2 D=20 logπ2 Rλ

(si p2R >> l), 2θ3≈58° λ2 R (205)

où J1 fonction de Bessel d'ordre 1 (s'annule pour 3,83 ; 7,01 ; 10,17 ; 13,37...).

– dipôle (paire de transducteurs identiques distants de L :

pour r >> L : b(θ)=cos ²(π Lλ

sinθ) D=3dB−10 log[1+sin( 2π Lλ )

(2π Lλ ) ] sinθ3=

λ4 L (206)

– réseau linéaire (n transducteurs identiques distants de L :



b(θ)=1n²

sin ²( nπ Lλ

sinθ)sin ²( π L

λsinθ)

, si L/l >> 1 D≈10 log n , √2n

sin (nπ Lλ

sinθ3)(π L

λsinθ3)

=1 (207)

– source linéaire (transducteur cylindrique de longueur L et de rayon a << L) :

b(θ)=sin ²(π L

λsinθ)

(π Lλ

sinθ)2 , si L > 2l : D=10 log

2 Lλ

2θ3=50 ° λL (208)

La figure 21 montre deux exemples de directivité en site pour le piston rectangulaire.

f = 1500 Hz, D = 8 dB, 2q3 = 50° f = 3000 Hz, D = 14 dB, 2q3 = 25°

Figure 21 : directivités en site d'un piston rectangulaire

La réponse par watt d'un transducteur s'exprime à partir de l'index de directivité et durendement électroacoustique par :

SW=170,8 dB+10 logη

ea+D (209)

il s'ensuit que, puisque S=SW+10 log P

E , PE étant la puissance électrique totale fournie autransducteur :

S=170,8+10 log PE+10 log η

ea+D (210)

un niveau sonore en émission grand nécessite donc une puissance électrique élevée, un bonrendement, un transducteur directif.

5.3.2. Directivité à la réception

Une onde sonore incidente suivant l'axe de l'hydrophone engendre aux bornes de l'hydrophoneune puissance électrique PE'. Si la source n'est plus sur l'axe mais aux positions angulaires q, j,mais à la même distance, la puissance électrique PE'' engendrée aux bornes de l'hydrophoneest modifiée par un coefficient b' appelé fonction de directivité à la réception :

PE

' '=PE

' b ' (θ ,φ) (211)

Mais d'après le principe de réciprocité, les deux fonctions de directivité en réception et enémission sont égales :


-90 -70 -50 -30 -10 10 30 50 70 900

0,5

1

site (°)

b

-90 -70 -50 -30 -10 10 30 50 70 900

0,5

1

site (°)

b


b ' (θ ,φ)=b(θ ,φ) (212)

autrement dit le transducteur émet et reçoit le maximum d'intensité sonore dans la mêmedirection.

L'index de directivité en réception est défini comme suit. Il s'agit de comparer la tensionélectrique produite aux bornes du transducteur par une onde acoustique émise par une sourceplacée sur l'axe mais à grande distance, avec celle produite par des sources uniformémentréparties dans toutes les directions, de telle sorte que les deux systèmes de sources produisentà l'emplacement du transducteur la même pression.Soit U' la tension électrique produite par la source unique, et U'' celle produite par les sourcesmultiples. Elles diffèrent par l'index de directivité en réception :

D '=20 logU 'U ' '

(213)

Mais, toujours en vertu du principe de réciprocité, l'index en réception est égale à l'index enémission pour un même transducteur :

D '=D (214)

Lorsque la directivité est grande, le rapport signal/bruit est amélioré : le transducteur effectueune meilleure discrimination d'une source acoustique donnée au milieu d'un bruit de fondomnidirectionnel.



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