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LA MODULATION ANGULAIRE (Modulation de fréquence et de phase)

1 INTRODUCTION

1.1 Définition

La modulation d’angle consiste à faire varier la phase instantanée de la porteuse:θ(t) = ω(t).t + Ψ(t)

Il est rare qu’on ait à faire varier simultanément les 2 composantes ω(t) et Ψ(t) de θ(t) en fonction d’un message m(t)

On choisira:ω(t) = f [m(t)] et Ψ = Cte modulation de fréquence (f est une fonction linéaire)ouΨ(t) = f [m(t)] et ω = Cte modulation de phase (f est une fonction linéaire)

1.2 Principe

Soit une porteuse up(t) et un message m(t):

up(t) = Ap ejωpt = Ap (cos ωpt + j sin ωpt)

Un signal modulé exponentiellement s’écrit:

umod(t) = Ap ejωpt . ejk.m(t) = Ap ej[ωpt + k.m(t)] = Ap ej[ωpt + Ψ(t)]

= Ap [cos [ωpt + Ψ(t)] + j sin [ωpt + Ψ(t)]]

On reconnait un signal modulé en phase avec Ψ(t) = k.m(t)

Si maintenant on multiplie la valeur instantanée de la porteuse non plus par l’exponentielle du message, mais par l’exponentielle de son intégrale:

umod(t) = Ap ejωpt . ejk ∫ m(t) = Ap ej[ωpt + k ∫ m(t)dt]

= Ap ej[ωpt + Ψ(t)]

= Ap ej[θ(t)] = Ap [cos [θ(t)] + j sin [θ(t)]]

Académie de Martinique Préparation Agrégation Sciences Physiques B. Pontalier

LA MODULATION ANGULAIRE (Modulation de fréquence et de phase) page 1

La pulsation instanatannée ωi(t) est la dérivée de la phase instantanée θ(t) de ce signal et peut s’écrire:

ωi(t) = d[θ(t)] = ωp + dΨ(t) = ωp + d[k∫ m(t)dt] = ωp + k.m(t)

dt dt dt

La pulsation instantanée ωi(t) est donc une fonction linéaire du message; il s’agit d’une modulation de fréquence.

2 EXPRESSION DU SIGNAL MODULÉ

2.1 Modulation de fréquence

Soit un message sinusoïdal: m(t) = Am cos (ωm.t)La pulsation instantanée ωi(t) vaut:ωi(t) = ωp + k.Am cos (ωm.t)Cette pulsation oscille entre deux valeurs extrèmes:ωmin = ωp - k.Am et ωmax = ωp + k.AmOn définit l’excursion de fréquence comme l’écart entre la fréquence extrème de la porteuse modulée et la fréquence de la porteuse non modulée:δ f = fmax - fp = M.fmoù M = k.Am représente l’indice de modulation.



2.2 Modulation de phase

Soit un message sinusoïdal: m(t) = Am cos (ωm.t)Le signal modulé a pour expression:uPM(t) = Ap cos [ωp.t + M cos (ωm.t)]avec M = k.Am (indice de modulation)On remarque que M représente l’excursion de phase du signal.

Pour lever toute ambiguïté à la démodulation, on impose M ∈ ] -π , +π [ ;en effet: cos (Θ − π) = cos (Θ + π)

La pulsation instantannée ωi(t) vaut: ωi(t) = ωp - M.ωm sin (ωm.t)Cette pulsation oscille entre deux valeurs extrèmes:ωmin = ωp - M.ωm et ωmax = ωp + M.ωm

3 SPECTRE D’UN SIGNAL MODULÉ EXPONENTIELLEMENT

La pulsation instantannée d’un signal modulé exponentiellement a pour expression:ωFM(t) = ωp + M.ωm cos (ωm.t)ωP M(t) = ωp - M.ωm sin (ωm.t)

Ce spectre possède une infinité de raies de pulsations: ωP ± n.ωm où n ∈ N

On montre mathématiquement que:

Ap cos [ ωp .t + M. sin (ωm.t)] = Ap Σ Jn(M) cos (ωp + n.ωm)

L’amplitude relative de chaque raie est donnée par les fonctions de Bessel Jn(m) qui sont les

solutions de l’équation différentielle non linéaire:M2 f”(M) + M f’(M) + (M2 - n2) f(M) = 0

ωp + n.ωmωp - n.ωm ωp

✍ Toutes les composantes du spectre contiennent une partie du message, et l’énergie se distribue dans les raies suivant l’indice M.



Le tableau ci-dessous indique les valeurs des treize premières fonctions de Bessel pour M variant de 0 à 15.

M J 0 J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 J 80 , 0 1,000 , 2 0,98 0,120 , 5 0,94 0,24 0,031 , 0 0,77 0,44 0,11 0,021 , 5 0,51 0,56 0,23 0,06 0,012 , 0 0,22 0,58 0,35 0,13 0,032 , 5 -0,05 0,50 0,45 0,22 0,07 0,023 , 0 -0,25 0,34 0,49 0,31 0,13 0,04 0,014 , 0 -0,40 -0,07 0,36 0,43 0,28 0,13 0,05 0,025 , 0 -0,18 -0,33 0,05 0,36 0,39 0,26 0,13 0,05 0,026 , 0 0,15 -0,28 -0,24 0,11 0,36 0,36 0,25 0,13 0,067 , 0 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,16 0,35 0,34 0,23 0,138 , 0 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,10 0,19 0,34 0,32 0,229 , 0 -0,09 0,24 0,14 -0,18 -0,27 -0,06 0,20 0,33 0,30

10 , 0 -0,25 0,04 0,25 0,06 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,3112 , 0 0,05 -0,22 -0,08 0,20 0,18 -0,07 -0,24 -0,17 0,0515 , 0 -0,01 0,21 0,04 -0,19 -0,12 0,13 0,21 0,03 -0,17

J 9 J 1 0 J 1 1 J 1 2 J 1 3

0,020,06 0,030,13 0,06 0,030,21 0,12 0,06 0,03 0,010,29 0,20 0,12 0,06 0,030,23 0,30 0,27 0,20 0,12

-0,22 -0,09 0,10 0,24 0,28

exemple:

un émetteur de la bande FM émet sur 100MHz un signal audio Hi-Fi de bande passante 16kHz avec une excursion de fréquence δ f = ±32kHzon en déduit:- la fréquence d’émission oscille entre 99.968MHz et 100.032MHz- M = δ f / fm = 2- le spectre comporte 5 raies (plus leurs images) d’amplitudes:

J0 = 0,22; J1 = 0,58; J2 = 0,35; J3 = 0,13; J4 = 0,03;

- la bande passante nécessaire pour transmettre ce signal doit être: 2.nmax.fm = 128kHz

ωp + 4.ωmωp - 4.ωm ωp

8.ωm

J0

J1J1

J2 J2

J3J3J4J4



Quelques exemples de spectres de signal modulé FM pour différentes valeurs de l’indice de modulation.

M ≈ 5,5

M ≈ 3,5

M ≈ 1,5



4 MONTAGES ET CIRCUITS MODULATEURS

4.1 Utilisation d’une diode Varicap

Une diode polarisée en inverse est bloquée; elle ne laisse passer aucun courant excepté un courant de fuite très faible dû aux porteurs minoritaires; de part et d’autre de la jonction bloquée, il existe une zone de charges d’espace, la zone de transistion, dépourvue de charges mobiles et occupée uniquement par des charges statiques de signe opposé dûes aux atomes dopeurs ionisés.

On peut remarquer que la zone de transition se comporte comme un condensateur plan; on sait également que la largeur de cette zone de transition augmente avec la tension inverse aux bornes de la jonction.

On en déduit: C = ε S avec l = f(Ud) la largeur de la zone de transition

l et Ud la tension de polarisation directe de la jonction dC = - ε S dl

dUd l2 dUd

la variation de l en fonction de Ud étant toujours faible, on peut admettre le développement limité suivant:

dC = - [ ε S - 2 l ε S ] . dl = - C(0) [ 1- 2l ] . dl

dUd l02 l03 dUd l0 l0 dUd

l0 représente la largeur de la zone de transition pour une tension de polarisation nulle

tant que la variation de l autour de l0 reste petite, on peut considérer que C est une fonction linéaire croissante de la tension de polarisation Ud.

Un oscillateur LC utilisant une telle diode comme condensateur verra sa fréquence propre se modifier en fonction de la tension de polarisation inverse appliquée aux bornes de la diode.

Le montage ci-dessous représente un modulateur de fréquence à diode varicap.

On reconnait un amplificateur sélectif utilisant un circuit LC accordé rebouclé sur lui-même pour générer l’oscillation quasi-sinusoïdale.L’élément actif est un transistor polarisé en base commune dont l’amplification est positive (sans inversion de phase).



+

-

+ + + +- - - - l

zone de transition dépourvue de porteurs mobiles

N

P

UFM

+E

m(t)

Le message m(t) est appliqué sur l’anode de la varicap; en l’absence de message, la varicap subit une polarisation inverse égale à -E. La polarisation varie donc de (-E - mmax) à (-E + mmax).

4.2 Utilisation d’un Oscillateur Contrôlé en Tension (OCT)

Un OCT (VCO en Anglais) est un montage qui délivre à sa sortie une tension oscillante (sinusoïdale, carrée ou triangulaire) dont la fréquence est une fonction linéaire d’une tension d’entrée appelée tension de Wobulation.Au moyen d’une source de tension continue, on fixe un point de repos qui correspondra à la fréquence de la porteuse non modulée, puis on rajoute à cette polarisation le message m(t); la tension de wobulation variant entre (Uo - Am) et (Uo + Am), la fréquence de l’oscillation variera entre (fp - δf) et (fp + δf).

Uo + AmUo - Am Uo

fp + δf

fp

fp - δf

f

Uwob



4.3 Utilisation d’une Boucle à vérouillage de phase (PLL)

Une boucle à vérouillage est une boucle de régulation dont le but est de maintenir nul l’écart de phase entre deux signaux appliqués à l’entrée du comparateur de phase. La tension à la sortie du comparateur après filtrage est proportionnelle au déphasage ϕ.Lorsque la différence de tension entre le message m(t) et kϕ augmente, la fréquence à la sortie de l’OCT diminue, ce qui tend à faire diminuer ϕ. On voit que si m(t) varie au cours du temps, la phase ϕ(t) du signal uP M(t) variera de la même quantité.

Le signal de sortie est modulé en phase, puisque sa phase est l’image du message à transmettre.

filtrepasse-bas

oscillateurcommandéen tension

oscillateurlocal

fp

m(t)

uPM(t)cos ωpt

sin(ωpt + ϕ)

kϕcomparateurde phase +

-

5 MONTAGES ET CIRCUITS DÉMODULATEURS

5.1 Démodulateurs non cohérents (discriminateurs)

5.1.1 Principe

On transforme une modulation de fréquence ou de phase en modulation d’amplitude qui sera ensuite démodulée par un détecteur d’enveloppe. Pour celà, on utilise un dispositif ayant une courbe de réponse en fréquence aussi linéaire que possible.

intégrateur dérivateurU

f

UoUo(1-k)

Uo(1+k)

fp fp(1+δ)fp(1-δ)



Les montages présentant la réponse idéale sont le montage intégrateur et le montage dérivateur; cependant ils ne sont pas utilisé car ils ne sont pas faciles en mettre en œuvre de manière correcte.

5.1.2 Circuit oscillant désaccordé

On utilise le flanc ascendant de la courbe de réponse d’un circuit RLC parallèle; il existe une plage de fréquence en dessous de la fréquence de résonance (autour du point d’inflexion) où la courbe de réponse est sensiblement linéaire.

fo > fp

fofp

Ap

5.1.3 Discriminateur à circuits oscillants décalés

Pour augmenter la linéarité de la caractéristique, on utilise 2 circuits oscillants dont les fréquences propres f1 et f2 sont symétriques de part et d’autre de fp. On fait ensuite la différence des 2 signaux issus de la détection d’enveloppe de chaque circuit.



f2 > fp

f1 < fp

V2

V1

U21

Ap

f1 f2fp

f1

A

f2fp

5.2 Démodulateurs cohérents

5.2.1 Démodulateur à coïncidence ou à quadrature

On utilise un multiplieur suivi d’un filtre passe-bas. Sur les entrées du multiplieur, on applique le signal modulé FM et une image déphasée de ce signal; il convient que la variation de phase produite par le déphaseur soit une fonction linéaire de la variation de fréquence.

uFM(t)

filtrepasse-bas

déphaseur

multiplieurum(t) uf(t)

uFM = Ap [cos [ωpt + kΨ(t)]] udéphasé = Ap [sin [ωpt + kΨ(t) + dΨ(t)]]

um = C.Ap2 [sin [2ωpt + 2kΨ(t) + dΨ(t)] + sin [dΨ(t)]]

A la sortie du filtre passe-bas, on obtient:

uf = C.Ap2 sin [dΨ(t)] ≅ C.Ap2 dΨ(t)

Si le déphaseur a une caractéristique dΨ (df) linéaire, la tension uf sera une image de la fréquence instantannée du signal modulé FM, c’est à dire une image du message m(t).Au repos, c’est à dire pour une fréquence égale à celle de la porteuse, le déphaseur introduit un dépahasage fixe de π/2 en retard, d’où le nom de démodulateur à quadrature.



exemple: étude du circuit intégré SO41E

X

+1

-1

entrée HFmodulée

F M

circuit oscillant accordé équivalent à R

sortie BF

+ E

filtre passe-bas

11

8

6

7

9

10

1

2

déphaseurSO 41E

5.2.2 Démodulateur à PLL

Lorsque la boucle est vérouillée, la fréquence délivrée par l’OCT tend à suivre celle du signal modulé appliqué à l’entrée du comparateur; cette fréquence est commandée par la tension appliquée à l’entrée de l’OCT et issue du comparateur.

Cette tension est donc une image fidèle de la fréquence instantannée de l’OCT, donc de l’onde modulée en fréquence.

comparateurde

phase

filtrepasse-bas

OCT

entrée HFmodulée FM sortie image

du message



6 MODULATION STÉRÉOPHONIQUE

6.1 Principe de la modulation stéréophonique

Afin de rester compatible au niveau de la réception avec les récepteurs monophoniques, le message stéréo est transmis dans deux bandes de fréquences différentes.

1) la bande de base 0-15 kHz contient le message mono D+G (somme du message de droite D et du message de gauche G);

2) l’information complémentaire D-G (différence du message de droite D et du message de gauche G) est transmise dans une bande de fréquence translatée de 38 kHz.

La translation du message D-G est réalisée par une modulation sans porteuse double bande latérale (DSB) du message D-G par une sous-porteuse de 38 kHz non transmise.Pour pouvoir démoduler correctement grâce à une démodulateur cohérent le message D-G, on transmet une sous-porteuse pilote de fréquence moitié (19 kHz) de celle de la porteuse absente.

0 15 19 23 38 53 f (kHz)

message mono D+G message D-G modulé sans porteuse DSB

sous-porteuse pilote

Schéma fonctionnel du modulateur:

X

fx2

oscillateurpilote19 kHz

++

+-

++

+

modulateurFM

D(t)

G(t)

D(t) + G(t)

D(t) - G(t)

38 kHz

modulé DSB



C’est donc la bande de fréquence totale (bande de base D+G, sous-porteuse pilote 19kHz et bande D-G modulée sans porteuse) qui sert de signal modulant à la porteuse VHF modulée en fréquence.

Dans le cas d’une émission monophonique, seule la bande de base D+G est transmise. L’absence de sous-porteuse pilote permet d’informer le récepteur stéréo que le message D-G est absent (la LED du récepteur indiquant une émission stéréo est éteinte).

6.2 Principe de la démodulation stéréophonique

Deux filtres passe-bande de bande passante 0-15kHz et 23-53kHz permettent de séparer les deux informations D+G et D-G.Une boucle à vérouillage de phase PLL permet de reconstituer une porteuse exacte à 38 kHz afin d’effectuer une démodulation synchrone de l’information D-G. Cette porteuse est obtenue en comparant la sous-porteuse pilote à 19 kHz avec la fréquence de l’OCT divisée par 2.

38 kHz

++

+-

2 D(t)

2 G(t)

D+G

D-G

filtre0-15 kHz

filtre0-15 kHz

Xfiltre23-53 kHz

f ÷2

comparateurde phase

filtrepasse-bas

OCT

19 kHz

démodulateur FM

Un autre procédé utilisé pour restituer la porteuse de 38 kHz consiste à multiplier par 2 la fréquence de la sous-porteuse pilote à 19 kHz au moyen d’un mutiplicateur de fréquence par 2.

Dans le cas d’une émission monophonique, le récepteur transmet sur les deux sorties le message D+G.



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