HY 532 Συστηματα Προσωπικων

ΕπικοινωνιωνΑποστολος Τραγανίτης

Ενοτητα 5aΔιαμορφωση

E-mail: tragani@csd.uoc.gr Τηλ. : 0810 393553

Σημειώσεις στο: www.csd.uoc.gr/~hy532

2

Ενεργεια και ισχυς σηματων

• Ενέργεια σηματος :

• Ενα σημα w(t) ειναι σημα ενεργειας αν 0 < Ε <

• Ισχυς σηματος:

– Για περιοδικα σηματα, με περιοδο Τ, η ισχυς μπορει να υπολογισθει ολοκληρωνοντας μεσα σε μια περιοδο.

– Ενα σημα w(t) ειναι σημα ισχυος αν 0 < Ρ < Τα σηματα ισχυος δεν υπαρχουν στην φυση (γιατι??)

• Υπενθύμιση: Αν ενα ηλεκτρικο σημα εντασεως i(t) εφαρμοζεται σε μια αντισταση R αναπτύσσεται, την στιγμη t, ισχυς ιση προς i(t)2R. Για R=1 Ωμ η στιγμιαια ισχυς ειναι ιση με το τετραγωνο του σηματος. Η ενεργεια που καταναλωνεται στο διαστημα [-Τ/2, Τ/2] ειναι το ολοκληρωμα της ισχυος στο διαστημα αυτο και η μεση ισχυς είναι ο λογος της ενεργειας προς τον χρονο Τ.

2 ( )E w t dt

/ 22 2

/ 2

1( ) lim ( )

T

TT

P w t w t dtT

3

O Μετασχηματισμος Fourier - Ορισμος

• Ο μετασχηματισμος (μ/ς) Fourier του σηματος w(t) ειναι ο W(f) :

• O μ/ς Fourier υπαρχει ανν το w(t) ειναι σημα ενεργειας

• Ο αντιστροφος μ/ς Fourier διδεται απο την σχεση:

• Συμβολιζουμε ενα ζευγος μ/ς Fourier ως εξης:

w(t) W(f) ή W(f)=F{w(t)} ή w(t) = F-1{ W(f)}

• Η W(f) είναι εν γενει μιγαδικη συναρτηση W(f)=|W(f)| ejθ(f)

• Για πραγματικα σηματα w(t): |W(f)|=|W(-f)| και θ(f)= - θ(-f)

• Η |W(f)| ονομαζεται φασμα πλατους και η θ(f) φασμα φασης

2( ) ( ) { ( )} ( ) j ftw t W f F w t w t e dt

1 2( ) ( ) { ( )} ( ) j ftW f w t F W f W f e df

4

Φυσικη σημασια του μ/ς Fourier

• O μ/ς Fourier μπορει να θεωρηθει σαν ενας εργαλειο με το οποιο βλεπουμε ενα σημα απο μια αλλη οπτικη γωνια:– Κοιταξτε ποσο διαφορετικη μπορει να φανει μια καρεκλα οταν την κοιτάμε απο

διαφορετικες γωνιες και ποσο διαφορετικες πληροφοριες μας δινει η κάθε οπτικη γωνια

• Η συναρτηση w(t) περιγραφει το σημα στο πεδιο του χρονου, ενώ η W(f) το περιγράφει στο πεδιο συχνοτητων.

• Η συχνοτητα μετρα τον ρυθμο της χρονικης μεταβολης ενος σηματος:– «Η υψηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις γρηγορες μεταβολες συναρτησει του χρονου»

– «Η χαμηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις αργες μεταβολες»

5

Παραδειγμα Υπολογισμου μ/ς FourierΤετραγωνικος Παλμος

• Τετραγωνικός παλμός:

• Αλλά ως γνωστον

• Οπότε

-Τ/2 Τ/2 t

1 Π(t/T) 1, | | / 2

0, | | / 2

t Tt

T t T

/ 2

2

/ 2

( / ) 12

T j fT j fTj ft

T

e eF t T e dt

j f

2 sin( )jx jxe e j x

sin( ) sin( ){ ( / )} sin ( )

fT fTF t T T T c fT

f fT

Συμβολισμόςκαι ορισμός

6

Μ/ς Fourier Τετραγωνικου Παλμου (2)

• Eιδαμε οτι Π(t/T) Τ sinc(fT) οπου sinc(x)=sin(πx)/πx

• Παρατηρησεις:– Η ασυνεχεια στο πεδιο του χρονου οδηγει σε μη πεπερασμενο φασμα

– Η συναρτηση sinc(x) λεγεται και συναρτηση δειγματοληψιας

– Η διαρκεια του παλμου ειναι αντιστροφως αναλογη του ευρους φασματος

Πεδιο χρονουπ(t/T)

πεδιο συχνοτητωνΤ sinc(fT)

7

Ταυτοτητες EULER

2

cos( ) sin( )

cos( ) sin( ) 1,

jx

jj

e x j x

e j e j

sin( )2

jx jxe ex

j

cos( )

2

jx jxe ex

1jxe 2 1je

8

Παραδειγμα μ/ς Fourier #4Η ημιτονοειδης Συναρτηση

• Μερικες φορες ειναι ευκολότερο να βρουμε ενα ζευγος μ/ς υπολογιζοντας τον αντιστροφο μ/ς. Ετσι αρχιζοντας απο την σχεση:

• βρισκουμε:

• δηλαδη

•

•

1 1( ) ( ) ( )

2 2c cX f f f f f

1 2 21 1( ) { ( )} ( ) ( )

2 2j ft j ft

c cx t F X f f f e df f f e df

2 2

cos(2 )2

c cj f t j f t

c

e ef t

1 1cos(2 ) ( ) ( )

2 2c c cf t f f f f

Η cos(2πft) είναι σημαισχυος και οχι ενεργειας.Κανονικα δεν θα επρεπενα εχει μ/ς Fourier. Όμως…

9

0 0 0

1 1cos(2 ) ( ) ( )

2 2f t f f f f

= cos(2πf0t)

10

Μ/ς Fourier cos και sin

1 1cos(2 ) ( ) ( )

2 2c c cf t f f f f

cos(2πfct)

sin(2πfct)

Re

Im

sin(2 ) ( ) ( )2 2c c c

j jf t f f f f

-fc fcf

11

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (3)Συνελιξη

• Συνελιξη: Ορισμος x1(t)*x2(t) = - x1(τ) x2(t-τ) dτ

• Ιδιοτητα: x1(t)*x2(t) X1(f) X2(f)– Μια πολυπλοκη πραξη στο πεδιο του χρονου αντιστοιχει σε μια απλη πραξη

(πολλαπλασιασμο) στο πεδιο συχνοτητων.– Ετσι απλοποιουνται τοσο αναλυτικοι οσο και αριθμητικοι υπολογισμοι

• Εφαρμογη στα γραμμικα συστηματα: Eνα συστημα είναι γραμμικο αν για κάθε γραμμικο συνδυασμο εισοδων, η εξοδος είναι ο γραμμικος συνδυασμος των αντιστοιχων εξοδων

• y(t) = x(t)*h(t) Y(f) = X(f) H(f)

• h(t) H(f) = συναρτηση μεταφορας http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html

Γραμμικο χρονικα αμεταβλητο

συστημα (LTI)x(t)y(t) = -

x(τ) h(t-τ) dτ = -

h(τ) x(t-τ)

dτ= =x(t)*h(t)

htt

p:/

/cn

yack

.ho

me

ste

ad

.co

m/f

iles/

aco

nv/

con

vio

.htm

h(t) = κρουστικη αποκρισηδ(t)

12

H σχεση εισοδου-εξοδου σε LTI συστηματα

Κρουστικηαποκριση I(t)

fi(t)fo(t)=fi(τ)I(t-τ)dτ = fi(t)* I(t)

13

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (4)

• Διαμορφωση: x(t)cos(2πfct) (1/2)X(f+fc) + (1/2)X(f-fc)– παραδειγμα

• Θεωρημα του Parseval: E = |x(t)|2dt = |X(f)|2df

– H ενεργεια μπορει να υπολογισθει ειτε στο πεδιο του χρονου ειτε στο πεδιο συχνοτητων

– H |X(f)|2 καθοριζει τον τροπο κατανομης της ενεργειας στο φασμα

– Παραδειγμα: Αν x(t)=sinc(t) τοτε

E = sinc2(t)dt = [Π(f)]2df = 1

-W W -fc-W –fc -fc+W fc-W fc fc+W

X(f) A A/2

14

Σηματα Βασικης Ζωνης και ΖωνοπεραταBaseband and Bandpass Signals

• Ενα σημα x(t) Βασικης Ζωνης με ευρος φασματος Β ειναι ενα σημα για το οποιο ο μ/ς Fourier X(f) ειναι μη μηδενικος για |f| B, και ειναι μηδενικος X(f) = 0 για |f| > B.

• Ενα ζωνοπερατο σημα x(t) με ευρος φασματος Β = f2 – f1 ειναι ενα σημα για το οποιο ο X(f) ειναι μη μηδενικος για 0 f1 |f| f2 , και ειναι μηδενικος αλλου

-Β Β f

X(f)

B

-f2 -f1 f1 f2

X(f)

15

Διαμορφωση

• Τα σηματα βασικης ζωνης x(t) μπορουν να μετασχηματισθουν σε ζωνοπερατα σηματα αν πολλαπλασιασθουν με ενα ημιτονοειδες σημα:

• s(t) = x(t) cos(2πfct+θ) => S(f) = (1/2)[e-jθX(f+fc) + ejθX(f-fc)]

• Σημα πληροφοριας φερον

• Τα περισσοτερα σηματα μεταδιδονται με την διαμορφωση ενος καταλληλου φεροντος διοτι:– Τα διαμορφωμενα σηματα εκπεμπονται ευκολότερα– Η διαμορφωση επιτρεπει την συνυπαρξη στον ιδιο γεωγραφικο χωρο

πολλων σηματων με διαφορετικες συχνοτητες φεροντος που μοιραζονται το ηλεκτρομαγνητικο φασμα

fc-fc

|X(f)|

16

Η διαδικασια της ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

• ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ = Η μεταβολη, συμφωνα με το σημα πληροφοριας, μιας ή περισσοτερων παραμετρων ενος φεροντος κυματος (carrier wave) που ειναι καταλληλο για την μεταδοση μεσα απο το δεδομενο καναλι

• ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ειναι η αντιστροφη διαδικασια

• Το ειδος της διαμορφωσης καθοριζει:– Την αντοχη στο θορυβο και την παραμορφωση του καναλιου– Την πιστοτητα αναπαραγωγης του αρχικου σηματος

πληροφοριας– Το ευρος του απαιτουμενου για την μεταδοση φασματος– Την πολυπλοκοτητα των συστηματων εκπομπης και ληψης

17

Τι επιτυγχανουμε με την Διαμορφωση

• Την μεταδοση πολλων σημάτων στον ιδιο χωρο με χρηση διαφορετικων φεροντων

• Την ελαττωση των απαιτησεων στα χαρακτηριστικα των συστηματων εκπομπης

• Την χρησιμοποιηση περιοχων του φασματος με καλλιτερες συνθηκες μεταδοσης

18

Ειδη ΔιαμορφωσηςΗμιτονοειδες φερον

• Διαμορφωση συνεχους κυματος (continuous wave–CW)– Το φερον ειναι ενα ημιτονοειδες σημα x(t)=Acos(2π f t + φ)– Διαμορφωση πλατους (ΑΜ) αν το πλατος Α= Α[m(t)] οπου

m(t) ειναι το σημα πληροφοριας – Διαμορφωση συχνοτητας (FM) αν f = f [m(t)]– Διαμορφωση φασης (PM) αν φ = φ[m(t)]

• Ψηφιακη διαμορφωση συνεχους κυματος

– Το φερον ειναι ενα ημιτονοειδες σημα x(t)=Acos(2πf t +φ)– Το σημα πληροφοριας ειναι μια ακολουθια παλμων– Παλμικη διαμορφωση πλατους (ASK)– Παλμικη διαμορφωση συχνοτητας (FSK)– Παλμικη διαμορφωση φασης (PSK)

19

Ειδη ΔιαμορφωσηςΠαλμικο φερον

• Αναλογικη διαμορφωση παλμων ( Analog pulse modulation) -Το φερον ειναι μια ακολουθια παλμων -Το σημα πληροφοριας ειναι αναλογικο -Διαμορφωση υψους παλμων (PAM – Pulse Amplitude

Modulation) -Διαμορφωση διαρκειας παλμων (PWM – Pulse Width

Modulation) -Διαμορφωση θεσης παλμων (PPM – Pulse Position Modulation)

• Ψηφιακη διαμορφωση παλμων (Digital Pulse Modulation)– Το σημα πληροφοριας ειναι μια ακολουθια δυαδικων παλμων– Παλμοκωδικη Διαμορφωση (PCM – Pulse Code Modulation)

• A/D μετατροπη: Δειγματοληψία, κβαντισμος και δυαδικη κωδικοποιηση. • Σφαλματα δειγματοληψίας και κβαντισμου

20

Ειδη Διαμορφωσης

Ημιτονοειδες φερον Παλμικο φερον

Αναλογικο σημα Δυαδικο σημα Αναλογικο σημα Κβαντισμενο σημα πληροφοριας πληροφοριας πληροφοριας πληροφοριας

ΑΜ FM PM ASK FSK PSK PAM PWM PPM PCM DM

A=Amplitude, F=Frequency, P=Phase, M= Modulation K=Keying W=Width, P=Pulse, Position D=Delta

x(t)=Acos(2πft+φ) x(t)=Σ Αkp(t-tk)

21

Βασικοι τυποι αναλογικης διαμορφωσης

Στιγμιαια συχνοτητα

m(t)

Σημα πληροφοριας

Διαμορφωμενο σημα

22

Στιγμιαια συχνοτητα• Η στιγμιαια συχνοτητα του σηματος cos[θ(t)] ειναι η:

fi(t) = (1/2π){dθ(t)/dt} οποτε

– Για παραδειγμα αν θ(t)=2πfct, δηλαδη για το σημα cos(2πfct)

η στιγμιαια συχνοτητα ειναι:

fi(t) = (1/2π){dθ(t)/dt}= (1/2π){d(2πfct)/dt}= fc

• Αν θελουμε η στιγμιαια συχνοτητα fi(t) να ειναι γραμμικη συναρτηση του σήματος πληροφοριας m(t) θα πρεπει:

fi(t)= fc + fd m(t) οποτε:

( ) 2 ( ) 2 2 ( )

2 2 ( )

t t t

i c d

t

c d

t f d f d f m d

f t f m d

( ) 2 ( )t

it f d

23

Βασικοι τυποι ψηφιακης διαμορφωσης

ASK

FSK

PSK

24

ΑΜ

)()(2

)( 00 ffMffMA

fSAM

)()(2

)( 00 ffMffMA

fSAM Mixer

↔↔

)()(2

)( 00 ffMffMA

fSAM

)()(2

)( 00 ffMffMA

fSAM

25

Amplitude Shift Keying

26

FM

27

Frequency Shift Keying

28

PM

29

Phase Shift Keying

30

Γενικευμενη μορφη διαμορφωτη

Γενικη εκφραση του διαμορφωμενου σηματος

Αναπτυσσουμε και εχουμε

ΑΜ

FM

PM

31

Αποδιαμορφωση ΑΜ

Συγχρονος Αποδιαμορφωτης

32

Ασυγχρονοι και ασυγχρονοι αποδιαμορφωτες

Για θ-φ=π/2 εχουμε 0)(ˆ tm

Αναγκη συγχρονισμου !!

Φωρατης περιβαλουσας

Πρεπει m(t) > 0