1Ê Å Ö Á Ë Á É Ï

ÅéóáãùãÞ

Óôçí åðï÷Þ ôùí ðïëõìåóéêþí õðïëïãéóôþí, ôùí ç÷çôéêþíêáé ôçëåïðôéêþí óõóôçìÜôùí øõ÷áãùãßáò êáé ôùí øçöéá-êþí óõóôçìÜôùí åðéêïéíùíéþí, åßíáé ó÷åäüí óßãïõñï üôéÝ÷åôå äéáìïñöþóåé êÜðïéá Üðïøç ãéá ôçí Ýííïéá ôùí üñùíóÞìá êáé óýóôçìá êáé åßíáé ðïëý ðéèáíü íá ÷ñçóéìïðïéåßôåáõôïýò ôïõò üñïõò óõ÷íÜ óôçí êáèçìåñéíÞ óáò æùÞ.

Åßíáé ðïëý ðéèáíü ç ÷ñÞóç êáé ç êáôáíüçóç ôùíðáñáðÜíù üñùí íá åßíáé óùóôÞ ìå ôçí åõñåßá Ýííïéá. ÃéáðáñÜäåéãìá, ßóùò íá óêÝöôåóôå Ýíá óÞìá óáí ‘‘êÜôé’’ ðïõìåôáöÝñåé ðëçñïöïñßåò. ÓõíÞèùò, áõôü ôï êÜôé åßíáé Ýíáðñüôõðï ìåôáâïëþí ìéáò öõóéêÞò ðïóüôçôáò ðïõ ìðïñåßíá åðåîåñãáóôåß, íá áðïèçêåõôåß, Þ íá ìåôáäïèåß ìåöõóéêÝò äéáäéêáóßåò. ÌåñéêÜ ðáñáäåßãìáôá áðïôåëïýíôá óÞìáôá ïìéëßáò, ôá áêïõóôéêÜ óÞìáôá, ôá óÞìáôáåéêüíáò êáé âßíôåï, ôá âéïúáôñéêÜ óÞìáôá, ôá óÞìáôáñáíôÜñ êáé ôá óåéóìéêÜ óÞìáôá. Åßíáé ðïëý óçìáíôéêüóôï óçìåßï áõôü íá áíáöÝñïõìå üôé ôá óÞìáôá ìðïñïýí íá

ëÜâïõí ðïëëÝò éóïäýíáìåò ìïñöÝò Þ áíáðáñáóôÜóåéò. Ãéáðáñáäåßãìá, Ýíá óÞìá ïìéëßáò ðáñÜãåôáé óáí áêïõóôéêüóÞìá, áëëÜ ìðïñåß íá ìåôáôñáðåß óå Ýíá çëåêôñéêü óÞìááðü Ýíá ìéêñüöùíï, Þ óå Ýíá ðñüôõðï ìáãíÞôéóçò êáôÜ ôçíêáôáãñáöÞ ôïõ óå ìéá ìáãíçôéêÞ ôáéíßá, Þ áêüìá êáé óå ìéáóåéñÜ áñéèìþí üðùò óõìâáßíåé óôçí øçöéáêÞ êáôáãñáöÞôùí áêïõóôéêþí óçìÜôùí.

Ï üñïò óýóôçìá åßíáé äéöïñïýìåíïò êáé åðïìÝíùòåðéäÝ÷åôáé ðïëëþí åñìçíåéþí. Ãéá ðáñÜäåéãìá, óõ÷íÜ÷ñçóéìïðïéïýìå ôç ëÝîç ‘‘óýóôçìá’’ ãéá íá áíáöåñèïýìåóå ìéá ìåãÜëç ïñãÜíùóç ðïõ äéá÷åéñßæåôáé Þ õëïðïéåß äéá-äéêáóßåò üðùò åßíáé ôï ‘‘óýóôçìá êïéíùíéêÞò áóöÜëéóçò’’ Þôï ‘‘óýóôçìá ôùí áåñïðïñéêþí ìåôáöïñþí.’’ Ùóôüóï, óôáðëáßóéá áõôïý ôïõ âéâëßïõ, åíäéáöåñüìáóôå íá ïñßóïõìåìå Ýíá áõóôçñüôåñï ôñüðï ôï óýóôçìá ðïõ óõíäÝåôáé ðïëýóôåíÜ ìå ôá óÞìáôá. Ðéï óõãêåêñéìÝíá, Ýíá óýóôçìá ãéáôïõò óêïðïýò ìáò, åßíáé êÜôé ðïõ ìðïñåß íá ÷åéñéóôåß, íá

1

2 ÊåöÜëáéï 1 ÅéóáãùãÞ

ôñïðïðïéÞóåé, íá êáôáãñÜøåé, Þ íá ìåôáäüóåé óÞìáôá. ÃéáðáñÜäåéãìá, êáôÜ ôçí êáôáãñáöÞ áêïõóôéêþí óçìÜôùíóå CD (compact disc) áðïèçêåýåôáé Ýíá ìïõóéêü óÞìáóáí ìéá áêïëïõèßá áñéèìþí. ¸íá ç÷çôéêü óýóôçìááíáðáñáãùãÞò CD åßíáé Ýíá óýóôçìá ðïõ ìåôáôñÝðåéáñéèìïýò, ïé ïðïßïé åßíáé áðïèçêåõìÝíïé óå Ýíá CD(äçëáäÞ, ç áñéèìçôéêÞ áíáðáñÜóôáóç ôïõ óÞìáôïò), óå Ýíááêïõóôéêü óÞìá ôï ïðïßï ìðïñïýìå íá ôï áíôéëçöèïýìåìå ôçí áêïÞ ìáò. ÃåíéêÜ, ôá óõóôÞìáôá åßíáé ôåëåóôÝòðïõ äñïýí óå óÞìáôá êáé ðáñÜãïõí íÝá óÞìáôá Þ íÝåòáíáðáñáóôÜóåéò óçìÜôùí.

Óôü÷ïò ìáò óå áõôü ôï êåöÜëáéï åßíáé íá áíáðôýîïõìåÝíá ðëáßóéï ðïõ èá ìáò åðéôñÝøåé íá ïñßóïõìå áõóôçñÜôá óÞìáôá êáé ôá óõóôÞìáôá. ÓõãêåêñéìÝíá, èÝëïõìå íáäåßîïõìå üôé ôá ìáèçìáôéêÜ åßíáé ìéá êáôÜëëçëç ãëþóóáðïõ ìðïñåß íá ÷ñçóéìïðïéçèåß ãéá ôçí ðåñéãñáöÞ êáé ôçíêáôáíüçóç ôùí óçìÜôùí êáé ôùí óõóôçìÜôùí. ÈÝëïõìååðßóçò íá äåßîïõìå üôé ç áíáðáñÜóôáóç ôùí óçìÜôùí êáéôùí óõóôçìÜôùí ìå ìáèçìáôéêÝò åîéóþóåéò ìáò åðéôñÝðåéíá êáôáëÜâïõìå ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï ôá óÞìáôá êáéôá óõóôÞìáôá áëëçëåðéäñïýí êáèþò êáé ôïí ôñüðï ìå ôïíïðïßï ìðïñïýìå íá ó÷åäéÜóïõìå êáé íá õëïðïéÞóïõìåóõóôÞìáôá ðïõ åðéôåëïýí Ýíá óõãêåêñéìÝíï óêïðü.

1-1 ÌáèçìáôéêÞ ÐåñéãñáöÞ ôùí ÓçìÜôùíÔá óÞìáôá åßíáé ðñüôõðá ìåôáâïëþí ðïõ áíáðáñéóôïýíÞ êùäéêïðïéïýí ðëçñïöïñßá. Ôá óÞìáôá êáôÝ÷ïõí Ýíáíêåíôñéêü ñüëï óôç ìÝôñçóç, óôç óõóôçìáôéêÞ Ýñåõíá êáéåîÝôáóç öõóéêþí óõóôçìÜôùí, óôçí éáôñéêÞ ôå÷íïëïãßáêáé óôéò ôçëåðéêïéíùíßåò, ãéá íá ïíïìÜóïõìå ìåñéêÝòðåñéï÷Ýò. ÐïëëÜ óÞìáôá åßíáé öõóéêü íá èåùñçèïýí óáíðñüôõðá ìåôáâïëþí óôï ÷ñüíï. ¸íá êáëü ðáñÜäåéãìáåßíáé Ýíá óÞìá ïìéëßáò, ôï ïðïßï áñ÷éêÜ ðñïêýðôåéóáí ðñüôõðï ôçò ìåôáâáëëüìåíçò ðßåóçò ôïõ áÝñá óôïöÜñõããá. Áõôü ôï ðñüôõðï, öõóéêÜ, åîåëßóóåôáé óôï÷ñüíï êáé äçìéïõñãåß áõôü ðïõ óõ÷íÜ ïíïìÜæïõìå ÷ñïíéêÞêõìáôïìïñöÞ. Óôï Ó÷Þìá 1-1 öáßíåôáé ç êõìáôïñöÞåíüò óÞìáôïò ïìéëßáò. Óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç, ïêáôáêüñõöïò Üîïíáò ðáñéóôÜíåé ôçí ðßåóç ôïõ áÝñáÞ ôçí ôÜóç ôïõ ìéêñïöþíïõ êáé ï ïñéæüíôéïò Üîïíáò

0 10 20 30 40 50

150

100

50

0

Áñ÷

éêÞ

×ñï

íéêÞ

Óôé

ãìÞ

ÔìÞ

ìáôï

ò (m

sec)

×ñüíïò t (msec)

Ó÷Þìá 1-1: ÃñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôìÞìáôïò óÞìáôïò ïìéëßáò.Ôï óÞìá áõôü ìðïñåß íá ðáñáóôáèåß óáí ìéá óõíÜñôçóçs(t) ìßáò ìåôáâëçôÞò (÷ñüíïò). Ç óêéáóìÝíç ðåñéï÷ÞðáñïõóéÜæåôáé ìå ìåãáëýôåñç ëåðôïìÝñåéá óôï Ó÷Þìá 1-2.

ðáñéóôÜíåé ôï ÷ñüíï. ÐáñáôçñÞóôå, üôé õðÜñ÷ïõí ôÝóóåñá÷ñïíéêÜ ôìÞìáôá ôïõ óÞìáôïò ïìéëßáò. Ôï äåýôåñï ôìÞìááðïôåëåß ôç óõíÝ÷åéá ôïõ ðñþôïõ ê.ï.ê., êáé ôï ìÞêïò êÜèåôìÞìáôïò Ý÷åé ÷ñïíéêÞ äéÜñêåéá 50 milliseconds (msec).Ôï óÞìá ïìéëßáò óôï Ó÷Þìá 1-1 åßíáé Ýíá ðáñÜäåéãìáåíüò ìïíïäéÜóôáôïõ óÞìáôïò óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ. ÔÝôïéáóÞìáôá ìðïñïýí íá ðáñáóôáèïýí ùò óõíáñôÞóåéò ìéáòáíåîÜñôçôçò ìåôáâëçôÞò, ôçí ïðïßá óõìâïëßæïõìå ìå t.Áí êáé óôç óõãêåêñéìÝíç ðåñßðôùóç äåí ìðïñïýìå íáãñÜøïõìå ìéá áðëÞ åîßóùóç ç ïðïßá èá ðåñéãñÜöåé ôçãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ Ó÷Þìáôïò 1-1, ìðïñïýìå íááíôéóôïé÷ßóïõìå óôç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç ôç óõíÜñôçóçs(t). ÐñÜãìáôé, ç ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç áðü ìüíç ôçòìðïñåß íá èåùñçèåß óáí ïñéóìüò ìéáò óõíÜñôçóçò çïðïßá åê÷ùñåß êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ (êÜèå ôéìÞ ôçòáíåîÜñôçôçò ìåôáâëçôÞò t) Ýíáí áñéèìü s(t). ÐïëëÜ

1-1 ÌáèçìáôéêÞ ÐåñéãñáöÞ ôùí ÓçìÜôùí 3

0 50 100 150 200

−2000

0

2000

Äåßãìáôá ÓÞìáôïò Ïìéëßáò: s[n] = s(nTs )

Äéáêñéôüò ×ñüíïò n

Ó÷Þìá 1-2: ÐáñÜäåéãìá åíüò óÞìáôïò äéáêñéôïý ÷ñüíïõôï ïðïßï ìðïñåß íá ðáñáóôáèåß áðü ìéá ìïíïäéÜóôáôçáêïëïõèßá Þ óõíÜñôçóç ìßáò äéáêñéôÞò ìåôáâëçôÞò. Ôáäåßãìáôá ôïõ óÞìáôïò ðñïÝñ÷ïíôáé áðü ôç óêéáóìÝíçðåñéï÷Þ ôïõ Ó÷Þìáôïò 1-1.

óÞìáôá, áí ü÷é ôá ðåñéóóüôåñá, åßíáé óÞìáôá óõíå÷ïýò÷ñüíïõ. Åíôïýôïéò, ãéá äéÜöïñïõò ëüãïõò ïé ïðïßïéêáèþò èá ðñï÷ùñïýìå èá ãßíïíôáé üëï êáé ðåñéóóüôåñïðñïöáíåßò, åßíáé óõ÷íÜ åðéèõìçôü íá äçìéïõñãÞóïõìåìéá äéáêñéôïý ÷ñüíïõ ðáñÜóôáóç ôïõ óÞìáôïò. Áõôüìðïñåß íá ãßíåé ìå ôç äåéãìáôïëçøßá ôïõ óÞìáôïòóõíå÷ïýò ÷ñüíïõ óå óõãêåêñéìÝíåò éóáðÝ÷ïõóåò ÷ñïíéêÝòóôéãìÝò. Ôï áðïôÝëåóìá áõôÞò ôçò äéáäéêáóßáò åßíáé ìéááêïëïõèßá áñéèìþí ç ïðïßá ìðïñåß íá ðáñáóôáèåß óáíìéá óõíÜñôçóç ìßáò ìåôáâëçôÞò äåßêôç ç ïðïßá ðáßñíåéìüíï äéáêñéôÝò ôéìÝò. Ç áêïëïõèßá áõôÞ ìðïñåß íáðáñáóôáèåß ìáèçìáôéêÜ óáí s[n] = s(nTs), üðïõ n åßíáéáêÝñáéïò, äçëáäÞ, {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . } êáé Ts åßíáéç ðåñßïäïò äåéãìáôïëçøßáò1. Áõôü, öõóéêÜ, åßíáé áõôüðïõ êÜíïõìå üôáí ó÷åäéÜæïõìå ôéò ôéìÝò ìéáò óõíÜñôçóçòóå ìéá ãñáöéêÞ ðáñÜóôáóç óôï ôåôñÜäéü ìáò Þ óôçíïèüíç ôïõ õðïëïãéóôÞ ìáò. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá, äåíìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôç óõíÜñôçóç óå êÜèå äõíáôÞôéìÞ ìéáò óõíå÷ïýò ìåôáâëçôÞò, áëëÜ ìüíï ó’ Ýíá óýíïëïôéìþí ôçò. ÄéáéóèçôéêÜ, îÝñïõìå üôé üóï ðéï êïíôéíÜ

1Ãéá ôçí ðáñÜóôáóç ôùí óçìÜôùí óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ èá ÷ñçóéìïðïéïý-íôáé ïé ðáñåíèÝóåéò ( ) êáé ïé áãêýëåò ãéá ôçí ðáñÜóôáóç ôùí óçìÜôùíäéáêñéôïý ÷ñüíïõ (áêïëïõèßåò).

åßíáé ôá óçìåßá áõôÜ, ôüóï ç ðñïêýðôïõóá áêïëïõèßáäéáôçñåß ôç ìïñöÞ ôïõ áñ÷éêïý óÞìáôïò óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ.Óôï Ó÷Þìá 1-2 ðáñïõóéÜæåôáé Ýíá ðáñÜäåéãìá åíüòôìÞìáôïò óÞìáôïò äéáêñéôïý ÷ñüíïõ ðïõ ðñïÞëèå áðü ôçäåéãìáôïëçøßá ôïõ óÞìáôïò ïìéëßáò ôïõ Ó÷Þìáôïò 1-1, ìåðåñßïäï äåéãìáôïëçøßáò Ts = 1/8 msec. Óôçí ðåñßðôùóçáõôÞ ç êáôáêüñõöç ãñáììÞ ìå ôçí ôåëåßá óôï ôÝëïò ôçò,äåß÷íåé ôç èÝóç êáé ôçí ôéìÞ ôçò áêïëïõèßáò.

Ó÷Þìá 1-3: ÐáñÜäåéãìá óÞìáôïò ôï ïðïßï ìðïñåß íáðáñáóôáèåß óáí ìéá óõíÜñôçóç äýï ÷ùñéêþí ìåôáâëçôþí.

Åíþ ðïëëÜ óÞìáôá ìðïñïýí íá èåùñçèïýí óáí ðñüôõðáåîåëéóóüìåíá óôï ÷ñüíï, õðÜñ÷åé êáé ìéá ðëçèþñáóçìÜôùí ôá ïðïßá äåí ìðïñïýí íá èåùñçèïýí ùò ôÝôïéá.Ãéá ðáñÜäåéãìá, ìéá åéêüíá áðïôåëåß Ýíá ÷ùñéêü ðñüôõðïêáé åðïìÝíùò ìéá êáôÜëëçëç ìáèçìáôéêÞ ðåñéãñáöÞ ôçò,ðñïûðïèÝôåé ôç ÷ñÞóç äýï ÷ùñéêþí ìåôáâëçôþí. ÓôçãåíéêÞ ðåñßðôùóç, Ýíá ôÝôïéï óÞìá ìðïñåß íá èåùñçèåßùò ìéá óõíÜñôçóç äýï áíåîÜñôçôùí ìåôáâëçôþí. ÄçëáäÞ,ìéá åéêüíá ìðïñïýìå íá ôç óõìâïëßóïõìå ùò p(x, y).Ìéá öùôïãñáößá áðïôåëåß Ýíá Üëëï ðáñÜäåéãìá, üðùòç ‘‘åéêüíá ìå äéáâáèìßóåéò ôïõ ãêñé’’ ðïõ öáßíåôáé óôïÓ÷Þìá 1-3. Óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ, ç ôéìÞ p(x0, y0)

4 ÊåöÜëáéï 1 ÅéóáãùãÞ

ðáñéóôÜíåé ôçí ôéìÞ ôïõ ãêñß óôç èÝóç (x0, y0) ôçòåéêüíáò. Åéêüíåò üðùò áõôÝò ôïõ Ó÷Þìáôïò 1-3 ìðïñïýíãåíéêÜ íá èåùñçèïýí ùò óÞìáôá äýï óõíå÷þí ìåôáâëçôþí,áöïý óôç ãåíéêÞ ðåñßðôùóç èåùñïýìå üôé ï ÷þñïò åßíáéóõíå÷Þò. ÏðùóäÞðïôå, ç äåéãìáôïëçøßá ìðïñåß íá ÷ñç-óéìïðïéçèåß êáé óôçí ðåñßðôùóç áõôÞ ãéá íá ðÜñïõìåÝíá äéáêñéôü óÞìá äýï äéáóôÜóåùí. Ôï óÞìá áõôüèá ìðïñïýóå íá ðáñáóôáèåß áðü ìéá áêïëïõèßá äýïäéáóôÜóåùí, Þ áðü Ýíá ðßíáêá áñéèìþí, êáé èá ìðïñïýóåíá ðáñáóôáèåß óáí p[m,n] = p(m∆x, n∆y), üðïõ êáé ïéäýï ìåôáâëçôÝò m êáé n ðáßñíïõí ìüíï áêÝñáéåò ôéìÝòêáé ∆x, ∆y áðïôåëïýí ôçí ïñéæüíôéá êáé ôçí êáôáêüñõöçðåñßïäï äåéãìáôïëçøßáò áíôßóôïé÷á. Ïé óõíáñôÞóåéò äýïìåôáâëçôþí åßíáé êáôÜëëçëåò ìáèçìáôéêÝò ðáñáóôÜóåéòåéêüíùí ïé ïðïßåò äåí áëëÜæïõí ìå ôï ÷ñüíï. Áðüôçí Üëëç ìåñéÜ ôï óÞìá ôïõ âßíôåï åßíáé Ýíá óÞìá äýïäéáóôÜóåùí åîåëëéóüìåíï óôï ÷ñüíï ôï ïðïßï áðáéôåß ìéáåðéðëÝïí áíåîÜñôçôç ìåôáâëçôÞ ãéá ôçí ðåñéãñáöÞ ôïõ,äçëáäÞ v(x, y, t). Ôá óÞìáôá âßíôåï åßíáé ðñáãìáôéêÜóÞìáôá ôñéþí ìåôáâëçôþí ðïõ åîáñôþíôáé áðü ôïí ôýðïôïõ óõóôÞìáôïò âßíôåï êáé åßíáé äõíáôüí ïé äýï Þ áêüìáêáé ïé ôñåéò ìåôáâëçôÝò íá åßíáé äéáêñéôÝò.

Ï óêïðüò ìáò óå áõôÞí ôçí åíüôçôá Þôáí áðëÜíá åéóÜãïõìå ôçí éäÝá üôé ôá óÞìáôá ìðïñïýí íáðáñáóôáèïýí áðü ìáèçìáôéêÝò óõíáñôÞóåéò. Áí êáéóýíôïìá èá äïýìå üôé ðïëëÝò ãíùóôÝò óõíáñôÞóåéò åßíáéðïëýôéìåò óôç ìåëÝôç ôùí óçìÜôùí êáé ôùí óõóôçìÜôùí,äåí Ý÷ïõìå áêüìç ïýôå êáí ðñïóðáèÞóåé íá êáôáäåßîïõìåáõôü ôï ãåãïíüò. Ç ðñïóðÜèåéá ìáò åóôéÜóèçêå óôïíá áíáäåßîïõìå ôç ó÷Ýóç ðïõ õðÜñ÷åé áíÜìåóá óôéòóõíáñôÞóåéò êáé ôá óÞìáôá êáé, óå áõôü ôï óçìåßï,ïé óõíáñôÞóåéò ÷ñçóéìåýïõí áðëÜ ùò ôá áöçñçìÝíáóýìâïëá ãéá ôá óÞìáôá. ¸ôóé, ãéá ðáñÜäåéãìá, ìðïñïýìåôþñá íá áíáöåñüìáóôå óôï ‘‘óÞìá ïìéëßáò s(t)’’ Þ ‘‘óôçäåéãìáôïëçðôçìÝíç åéêüíá p[m,n].’’ Áí êáé áõôü ìðïñåßíá ìçí öáßíåôáé éäéáßôåñá óçìáíôéêü, óôçí åðüìåíçåíüôçôá èá äïýìå üôé åßíáé ðñÜãìáôé Ýíá ðïëý óçìáíôéêüâÞìá ðñïò ôï óôü÷ï ìáò ðïõ åßíáé ç óõóôçìáôéêÞ ÷ñÞóç ôùíìáèçìáôéêþí óôçí ðåñéãñáöÞ êáé ðáñÜóôáóç ôùí óçìÜôùíêáé ôùí óõóôçìÜôùí.

1-2 ÌáèçìáôéêÞ ÐåñéãñáöÞ ôùíÓõóôçìÜôùí

¼ðùò Ý÷ïõìå Þäç áíáöÝñåé, Ýíá óýóôçìá åßíáé êÜôé ðïõìåôáó÷çìáôßæåé óÞìáôá óå íÝá óÞìáôá Þ óå äéáöïñåôéêÝòáíáðáñáóôÜóåéò óçìÜôùí. Áí êáé áõôüò åßíáé ÝíáòìÜëëïí áöçñçìÝíïò ïñéóìüò, åßíáé ðïëý ÷ñÞóéìïò óáíáöåôçñßá. Ãéá íá ãßíïõìå ðéï óõãêåêñéìÝíïé, èá ëÝìåüôé Ýíá ìïíïäéÜóôáôï óýóôçìá óõíå÷ïýò-÷ñüíïõ äÝ÷åôáéóôçí åßóïäü ôïõ Ýíá óÞìá åéóüäïõ x(t) êáé ðáñÜãåé Ýíááíôßóôïé÷ï óÞìá åîüäïõ y(t). Áõôü ìðïñåß íá ðáñáóôáèåßìå ôç âïÞèåéá ôùí ìáèçìáôéêþí ùò åîÞò

y(t) = T {x(t)} (1.1)

êáé óçìáßíåé üôé ôï óýóôçìá (ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå ôïíôåëåóôÞ T ) äñá óôï óÞìá åéóüäïõ (êõìáôïìïñöÞ, åéêüíá,ê.ë.ð.) ãéá íá ðáñá÷èåß ôï óÞìá åîüäïõ y(t). Åíþáõôü ìðïñåß íá áêïýãåôáé ðïëý áöçñçìÝíï, Ýíá áðëüðáñÜäåéãìá èá ìáò äåßîåé üôé äåí åßíáé. Áò èåùñÞóïõìåÝíá óýóôçìá ôï ïðïßï ðáñÜãåé óôçí Ýîïäü ôïõ ôïôåôñÜãùíï ôïõ óÞìáôïò ðïõ åöáñìüæåôáé óôçí åßóïäü ôïõ.Ç ìáèçìáôéêÞ ðåñéãñáöÞ áõôïý ôïõ óõóôÞìáôïò äßíåôáéáðü ôçí ðáñáêÜôù áðëÞ ó÷Ýóç

y(t) = [x(t)]2 (1.2)

ç ïðïßá ðïëý áðëÜ ëÝåé üôé êÜèå ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ç ôéìÞôçò åîüäïõ ôïõ óõóôÞìáôïò åßíáé ßóç ìå ôï ôåôñÜãùíïôçò ôéìÞò ôïõ óÞìáôïò åéóüäïõ ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ.¸íá ôÝôïéï óýóôçìá ëïãéêÜ èá ìðïñïýóå íá ïíïìáóèåß‘‘óýóôçìá ôåôñáãþíïõ’’. Óôï Ó÷Þìá 1-5 Ý÷åé ó÷åäéáóôåß ç

T {x(t)}x(t) y(t) = T {x(t)}

Ó÷Þìá 1-4: Ó÷çìáôéêü äéÜãñáììá åíüò óõóôÞìáôïòóõíå÷ïýò ÷ñüíïõ.

1-2 ÌáèçìáôéêÞ ÐåñéãñáöÞ ôùí ÓõóôçìÜôùí 5

Ýîïäïò ôïõ óõóôÞìáôïò ãéá ôï óÞìá åéóüäïõ ôïõ Ó÷Þìáôïò1-1. ¼ðùò åßíáé áíáìåíüìåíï áðü ôéò éäéüôçôåò ôïõ ôåëåóôÞôïõ ôåôñáãþíïõ, ðáñáôçñïýìå üôé ôï óÞìá åîüäïõ åßíáéðÜíôá ìç áñíçôéêü êáé üôé ïé ìåãÜëåò ôéìÝò ôïõ óÞìáôïòåéóüäïõ åßíáé ðåñéóóüôåñï åíéó÷õìÝíåò áðü ôéò ìéêñÝò.Ôï óýóôçìá ðïõ ïñßóáìå ìå ôç Ó÷Ýóç (1.2) áðïôåëåß ÝíáðáñÜäåéãìá åíüò óõóôÞìáôïò óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ, äçëáäÞ,åíüò óõóôÞìáôïò ôïõ ïðïßïõ ç åßóïäïò êáé ç Ýîïäïò åßíáéóÞìáôá óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ. Ìðïñïýìå íá äçìéïõñãÞóïõìåÝíá öõóéêü óýóôçìá ôï ïðïßï èá ëåéôïõñãåß üðùò ôïóýóôçìá ôåôñáãþíïõ; Ç áðÜíôçóç åßíáé üôé ôï óýóôçìáôçò Ó÷Ýóçò (1.2) ìðïñåß íá ðñïóåããéóèåß äéáóõíäÝïíôáòêáôÜëëçëá çëåêôñïíéêÜ êõêëþìáôá. Áðü ôçí Üëëç ìåñéÜ,åÜí ç åßóïäïò êáé ç Ýîïäïò åíüò óõóôÞìáôïò åßíáé óÞìáôáäéáêñéôïý ÷ñüíïõ (áêïëïõèßåò áñéèìþí) ðïõ óõíäÝïíôáéüðùò äåß÷íåé ç ó÷Ýóç ðïõ áêïëïõèåß

y[n] = (x[n])2 (1.3)

èá ëÝìå üôé åßíáé Ýíá óýóôçìá äéáêñéôïý-÷ñüíïõ. Ç õëïðïß-çóç ôïõ óõóôÞìáôïò äéáêñéôïý ÷ñüíïõ åßíáé, ìðïñïýìå íáðïýìå, ôåôñéììÝíç áöïý áðëÜ áñêåß íá ðïëëáðëáóéÜóïõìåêÜèå ôéìÞ ôïõ óÞìáôïò äéáêñéôïý ÷ñüíïõ ìå ôïí åáõôü ôçò.

¼ôáí ìéëÜìå ãéá óõóôÞìáôá, åßíáé ðïëý ÷ñÞóéìï íáÝ÷ïõìå óôï ìõáëü ìáò ìéá ïðôéêÞ ðáñÜóôáóç ôïõ óõóôÞ-ìáôïò. Ãéá ôï óêïðü áõôü, ïé ìç÷áíéêïß ÷ñçóéìïðïéïýíÓ÷çìáôéêÜ äéáãñÜììáôá ãéá íá ðáñáóôÞóïõí ëåéôïõñãßåòïé ïðïßåò åêôåëïýíôáé óå ìéá õëïðïßçóç åíüò óõóôÞìáôïòêáé íá ðáñïõóéÜóïõí ôéò ó÷Ýóåéò ðïõ õðÜñ÷ïõí ìåôáîýôùí ðïëëþí óçìÜôùí ðïõ ìðïñïýí íá óõíõðÜñîïõí óôçíõëïðïßçóç åíüò óýíèåôïõ óõóôÞìáôïò. ¸íá ðáñÜäåéãìáó÷çìáôéêïý äéáãñÜììáôïò ðáñïõóéÜæåôáé óôï Ó÷Þìá 1-4.Áõôü ðïõ ðáñïõóéÜæåôáé óôï äéÜãñáììá åßíáé áðëÜ üôé ôïóÞìá y(t) ðñïêýðôåé áðü ôï óÞìá x(t) êáé ôïí ôåëåóôÞT { }. ¸íá Üëëï ðáñÜäåéãìá óõóôÞìáôïò ðñïôÜèçêåíùñßôåñá üôáí óõæçôÞóáìå ôç ó÷Ýóç ðïõ õðÜñ÷åé ìåôáîýåíüò óÞìáôïò óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ êáé åíüò óÞìáôïò äéáêñéôïý÷ñüíïõ. ÅðïìÝíùò, ïñßæïõìå ôï äåéãìáôïëÞðôç ùò Ýíáóýóôçìá ôïõ ïðïßïõ ç åßóïäïò åßíáé Ýíá óÞìá óõíå÷ïýò÷ñüíïõ x(t) êáé ôïõ ïðïßïõ ç Ýîïäïò åßíáé ç áêïëïõèßá

0 10 20 30 40 50

150

100

50

0

Áñ÷

éêÞ

×ñï

íéêÞ

Óôé

ãìÞ

ÔìÞ

ìáôï

ò Ó

Þìá

ôïò

(mse

c)

×ñüíïò t (msec)

Ó÷Þìá 1-5: Ç Ýîïäïò ôïõ óõóôÞìáôïò ôåôñáãþíïõ ãéá ôïóÞìá ïìéëßáò ôïõ Ó÷Þìáôïò 1-1. Ôï óýóôçìá ôåôñáãþíïõïñßæåôáé áðü ôçí åîßóùóç y(t) = [x(t)]2

äåéãìÜôùí ðïõ ïñßæåôáé áðü ôç ó÷Ýóç

x[n] = x(nTs) (1.4)

ç ïðïßá áðëÜ äçëþíåé üôé ï äåéãìáôïëÞðôçò ‘‘óõëëáìâÜíåé

Éäáíéêüò

Ó-óå-ÄÌåôáôñïðÝáò

x(t) x[n] = x(nTs)

Ts

Ó÷Þìá 1-6: Ó÷çìáôéêü äéÜãñáììá ôïõ äåéãìáôïëÞðôç.

6 ÊåöÜëáéï 1 ÅéóáãùãÞ

óôéãìéáßá ôçí ôéìÞ’’ ôïõ óÞìáôïò óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ ðïõåöáñìüæåôáé óôçí åßóïäü ôïõ, êÜèå Ts äåõôåñüëåðôá.ÊáôÜ óõíÝðåéá, ç äéáäéêáóßá ôçò äåéãìáôïëçøßáò áíôá-ðïêñßíåôáé óôïí ïñéóìü ðïõ äþóáìå ãéá ôï óýóôçìáêáé ìðïñåß íá ðáñáóôáèåß ìå ôï ó÷çìáôéêü äéÜãñáììáôïõ Ó÷Þìáôïò 1-6. Óõ÷íÜ èá áíáöÝñïõìå ôï óýóôçìáôïõ äåéãìáôïëÞðôç ùò ‘‘éäáíéêü ìåôáôñïðÝá óõíå÷ïýò óåäéáêñéôü’’ Þ éäáíéêü ìåôáôñïðÝá Ó-óå-Ä. Óå áõôÞí ôçíðåñßðôùóç, üðùò óôçí ðåñßðôùóç ôïõ óõóôÞìáôïò ôïõôåôñáãþíïõ, ôï üíïìá ðïõ äßíïõìå óôï óýóôçìá åßíáéìéá áêñéâÞò ðåñéãñáöÞ ôçò äéáäéêáóßáò ðïõ ðñáãìáôéêÜåêôåëåß ôï óýóôçìá.

1-3 ÓêÝøåéò ãéá ôá ÓõóôÞìáôáÔá Ó÷çìáôéêÜ äéáãñÜììáôá åßíáé ðïëý ÷ñÞóéìá ãéáôçí ðáñÜóôáóç óýíèåôùí óõóôçìÜôùí ìå ôç âïÞèåéááðëïýóôåñùí óõóôçìÜôùí, ôá ïðïßá ãßíïíôáé åõêïëüôåñáêáôáíïçôÜ. Ãéá ðáñÜäåéãìá, óôï Ó÷Þìá 1-7 öáßíåôáé ÝíáÓ÷çìáôéêü äéÜãñáììá ìßáò äéáäéêáóßáò êáôáãñáöÞò êáéáíáðáñáãùãÞò åíüò CD. Ó’ áõôü ôï ó÷çìáôéêü äéÜãñáììáôï óõíïëéêü óýóôçìá äéáéñåßôáé óå ôÝóóåñá õðïóõóôÞìáôá.Ôï ðñþôï õðïóýóôçìá ðåñéãñÜöåé Ýíá ìåôáôñïðÝá áðüÁíáëïãéêü-óå-Øçöéáêü. ¸íáò ìåôáôñïðÝáò Á-óå-ØðáñÜãåé óôçí Ýîïäü ôïõ áñéèìïýò ðåðåñáóìÝíçò áêñßâåéáòóáí äåßãìáôá ôïõ óÞìáôïò åéóüäïõ (êâáíôéóìÝíá óåÝíá ðåñéïñéóìÝíï áñéèìü áðü bits), åíþ ï éäáíéêüòìåôáôñïðÝáò Ó-óå-Ä ðáñÜãåé äåßãìáôá ôçò åéóüäïõ ìåÜðåéñç áêñßâåéá. Ãéá ôïõ ìåôáôñïðåßò Á-óå-Ø õøçëÞòðéóôüôçôáò ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýíôáé óå áêïõóôéêÜ óõóôÞìáôáõøçëÞò ðéóôüôçôáò, ç äéáöïñÜ ðïõ õðÜñ÷åé ìå ôïõòéäáíéêïýò ìåôáôñïðåßò Ó-óå-Ä åßíáé ðïëý ìéêñÞ, áëëÜ çäéÜêñéóÞ ôïõò åßíáé ðïëý óçìáíôéêÞ. Ìüíï êâáíôéóìÝíåò,ðåðåñáóìÝíçò-áêñßâåéáò, ôéìÝò äåéãìÜôùí ìðïñïýí íááðïèçêåõôïýí óå ìéá øçöéáêÞ ìíÞìç ðåðåñáóìÝíïõìåãÝèïõò! Óôï Ó÷Þìá 1-7 öáßíåôáé üôé ç Ýîïäïòôïõ ìåôáôñïðÝá Á-óå-Ø ïäçãåßôáé óôçí åßóïäï åíüòóõóôÞìáôïò ðïõ êáôáãñÜöåé ôïõò áñéèìïýò x[n] ðÜíù ó’Ýíá ïðôéêü äßóêï. Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá áõôÞ åßíáé ìéáðïëý óýíèåôç äéáäéêáóßá, áëëÜ ãéá ôï óêïðü ìáò åßíáéáñêåôü íá ðáñïõóéáóôåß áðëÜ óáí ìéá åíéáßá ëåéôïõñãßá.

Ãéá ôïí ßäéï ëüãï, ôï óýíèåôï ìç÷áíéêü/ïðôéêü óýóôçìáãéá ôçí áíÜãíùóç ôùí áñéèìþí áðü ôïí ïðôéêü äßóêïåìöáíßæåôáé, êé áõôü, óáí ìéá åíéáßá ëåéôïõñãßá. ÔÝëïò,ç ìåôáôñïðÞ ôïõ äéáêñéôïý ÷ñüíïõ óÞìáôïò óå óõíå÷ïýò÷ñüíïõ (áêïõóôéêÞ) ìïñöÞ åìöáíßæåôáé óáí Ýíá óýóôçìáìåôáôñïðÝá áðü Ø-óå-Á (Øçöéáêïý-óå-Áíáëïãéêü). Áõôüôï óýóôçìá äÝ÷åôáé óåéñéáêÜ áñéèìïýò ðåðåñáóìÝíçòáêñßâåéáò êáé ðáñåìâÜëëåé ôéìÝò ìåôáîý ôùí äåéãìÜôùí.Ôï óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ óÞìá ðïõ ðñïêýðôåé èá ìðïñïýóåóôç óõíÝ÷åéá íá ïäçãçèåß óôçí åßóïäï Üëëùí óõóôçìÜôùí,üðùò åßíáé ïé åíéó÷õôÝò, ôá ìåãÜöùíá êáé ôá áêïõóôéêÜ,ãéá ôç ìåôáôñïðÞ ôïõ óå ç÷çôéêü óÞìá. ÓõóôÞìáôá üðùòôï óýóôçìá êáôáãñáöÞò êáé áíáðáñáãùãÞò CD õðÜñ÷ïõíðïëëÜ ãýñù ìáò. Óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò äåíõðÜñ÷åé ëüãïò íá óêåöôïýìå ãéá ôï ðþò ëåéôïõñãïýí ôÝôïéáóõóôÞìáôá, áëëÜ áõôü ôï ðáñÜäåéãìá åîçãåß ôï ðüóïóçìáíôéêü åßíáé íá óêåöôüìáóôå Ýíá óýíèåôï óýóôçìá ìåÝíá éåñáñ÷éêü ôñüðï. Ìå áõôüí ôïí ôñüðï, ìðïñïýìåðñþôá íá êáôáëÜâïõìå ôá õðïóõóôÞìáôá, óôç óõíÝ÷åéáôéò ó÷Ýóåéò ðïõ õðÜñ÷ïõí ìåôáîý ôùí õðïóõóôçìÜôùí, êáéôåëéêÜ ïëüêëçñï ôï óýóôçìá. Áêïëïõèþíôáò áõôÞí ôçäéáäéêáóßá óôï óýóôçìá êáôáãñáöÞò êáé áíáðáñáãùãÞòCD, âëÝðïõìå üôé Ýíá ðïëý óçìáíôéêü æÞôçìá åßíáé çìåôáôñïðÞ ôïõ óÞìáôïò óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ óå äéáêñéôïý÷ñüíïõ êáé îáíÜ óå óõíå÷ïýò ÷ñüíïõ êáé âëÝðïõìå åðßóçòüôé åßíáé äõíáôü íá åîåôÜóïõìå áõôÝò ôéò äéáäéêáóßåò÷ùñéóôÜ áðü ôá õðüëïéðá õðïóõóôÞìáôá áðü ôá ïðïßááðáñôßæåôáé ôï óõíïëéêü óýóôçìá. Ç åðßäñáóç ôçòäéáóýíäåóçò ôùí õðïóõóôçìÜôùí åßíáé Ýðåéôá ó÷åôéêÜåýêïëï íá ôçí êáôáíïÞóïõìå. Ïé ëåðôïìÝñåéåò ìåñéêþíõðïóõóôçìÜôùí ìðïñïýí íá áöåèïýí óå åìðåéñïãíþìïíåòÜëëùí ôïìÝùí ïé ïðïßïé, ãéá ðáñÜäåéãìá, ìðïñïýí íááíáðôýîïõí ðåñéóóüôåñï ôá õðïóõóôÞìáôá ôùí ïðôéêþíäßóêùí.

1-4 Ôï Åðüìåíï ÂÞìáÔï óýóôçìá áíáðáñáãùãÞò CD áðïôåëåß Ýíá ðïëý êáëüðáñÜäåéãìá åíüò óõóôÞìáôïò äéáêñéôïý ÷ñüíïõ (discretetime system). ÌÝóá óå Ýíá ôÝôïéï óýóôçìá, üðùòìðïñïýìå íá äïýìå óôï Ó÷Þìá 1-7, ðåñéëáìâÜíïíôáé ðïëëÜ

1-4 Ôï Åðüìåíï ÂÞìá 7

CDÌåôáôñïðÝáò Á-óå-Ø

ÊáôáãñáöÝáò Ïðôéêïý Äßóêïõ

ÁíáãíþóôçòÏðôéêïý Äßóêïõ

ÌåôáôñïðÝáò Ø-óå-Á

x(t) x[n] (t)x̂ x̂[n]

Ó÷Þìá 1-7: ÁðëïðïéçìÝíï ó÷çìáôéêü äéÜãñáììá óõóôÞìáôïò êáôáãñáöÞò êáé áíáðáñáãùãÞò CD.

õðïóõóôÞìáôá êáé óÞìáôá äéáêñéôïý ÷ñüíïõ. Óôï âéâëßïáõôü óßãïõñá äåí õðïó÷üìáóôå üôé èá åîçãÞóïõìå üëåòôéò ëåðôïìÝñåéåò åíüò ÓõóôÞìáôïò áíáðáñáãùãÞò CDÞ ïðïéïõäÞðïôå Üëëïõ óýíèåôïõ óõóôÞìáôïò, åëðßæïõìåüìùò íá âÜëïõìå ôá èåìÝëéá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùíóçìÜôùí êáé óõóôÞìáôùí óõíå÷ïýò êáé äéáêñéôïý ÷ñüíïõÝôóé þóôå áõôÞ ç ãíþóç íá ìðïñåß íá ÷ñçóéìïðïéçèåß ãéáôçí êáôáíüçóç ðåñéóóüôåñï ðïëýðëïêùí óõóôçìÜôùí. ÓôïÊåöÜëáéï 2, èá áñ÷ßóïõìå ìå ðïëý áðëÝò ìáèçìáôéêÝòÝííïéåò êáé èá áðïäåßîïõìå üôé ïé ðïëý ãíùóôÝò ôñéãù-íïìåôñéêÝò óõíáñôÞóåéò ôïõ çìéôüíïõ êáé ôïõ óõíçìéôüíïõðáßæïõí Ýíáí èåìåëéþäç ñüëï óôç èåùñßá ôùí óçìÜôùíêáé ôùí óõóôçìÜôùí. Óôç óõíÝ÷åéá, èá äåßîïõìå ðþòìå ôç ÷ñçóéìïðïßçóç ôùí ìéãáäéêþí áñéèìþí ìðïñïýìå

íá áðëïðïéÞóïõìå ôçí Üëãåâñá ðïõ õðåéóÝñ÷åôáé óôç÷ñÞóç ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí óõíáñôÞóåùí. Óå åðüìåíáêåöÜëáéá èá åéóáãÜãïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ öÜóìáôïòåíüò óÞìáôïò êáé ôçí Ýííïéá ôïõ öéëôñáñßóìáôïò ìåÝíá ãñáììéêü ÷ñïíéêÜ áìåôÜâëçôï óõóôÞìá. ÌÝ÷ñéôï ôÝëïò ôïõ âéâëßïõ, ï åðéìåëÞò áíáãíþóôçò ðïõ èááðáó÷ïëçèåß ìå ôá ðñïôåéíüìåíá ðñïâëÞìáôá, èá äåßôéò ðïëõÜñéèìåò ðáñïõóéÜóåéò êáé èá êÜíåé üëåò ôéòðñïôåéíüìåíåò åñãáóôçñéáêÝò áóêÞóåéò, èá áíôáìåéöèåß ìåìéá óå âÜèïò êáôáíüçóç ðïëëþí èåìåëéùäþí åííïéþí ðïõêñýâïíôáé ìÝóá óôá øçöéáêÜ ðïëõìåóéêÜ ðëçñïöïñéáêÜóõóôÞìáôá, ðïõ üðùò äéáöáßíåôáé áíáðôýóóïíôáé óôéòìÝñåò ìáò ìå ãñÞãïñïõò ñõèìïýò.