Izbocavanje

Osnove metalnih konstrukcija 1

Izbočavanje


Izbočavanje pravougaone ploče

σx,cr kritičan napon elastičnog izbočavanja.


Ojlerov napon izbočavanja

( )22

22

22

12)12/(

⋅

⋅=

⋅⋅=⋅=

btE

tb

EEE

ππλ

πσ

( )2

2

2

112

⋅

−⋅⋅

=btE

E υπσ

Ojlerov napon izvijanja za traku jedinične širine

Ojlerov napon izbočavanja


Naponska stanja pri izbočavanju

Do izbočavanja može da dođe usled dejtva:• Normalnog napona pritiska σx i ili σy• Smičućeg napona τxy• Kombinacije normalnog napona pritiska i

smičućeg napona.

Za razliku od izvijanja, izbočavanje ne mora da predstavlja obavezno i gubitak globalne stabilnosti konstrukcije, ili njenog dela. Postoji postkritičnarezerva nosivosti.


Osnove linearno elastične teorije izbočavanja

Osnovne preptostavke (Timošenko):• Materijal je idealno elastičan;• Nema početnih eometrijskih imperfekcija;• Opterećenje deluje u srednjoj ravni ploče;• Deformacije upravno na ravan ploče (w) su male.


Diferencijalna jednačina izbočavanja

Parcijalna diferencijalna jednačina savijanja ploče po teoriji II reda – opšti slučaj:

Dq

yw

yxw

xw

Dt

yw

yxw

xw z

yxyx =

++⋅+++ 2

22

2

2

4

4

22

4

4

422

∂∂σ

∂∂∂τ

∂∂σ

∂∂

∂∂∂

∂∂

,

0=== zxyy qτσ

Diferencijalna jednačina izbočavana

02 2

2

4

4

22

4

4

4

=⋅⋅+++xw

Dt

yw

yxw

xw

x ∂∂σ

∂∂

∂∂∂

∂∂

)1(12 2

3

vtED−⋅

⋅= krutost ploče na savijanje


Rešenje diferencijalne jednačine

Pretpostavlja se rešenje u obliku dvostrukog Furijeovog reda

∑ ∑∞

=

∞

=⋅⋅=

1 1sinsin),(

m nmn y

bnx

amAyxw ππ

02

2

2224 =

⋅

⋅−

+

⋅

Dt

am

bn

amA xmn σππ 0≠mnA

Netrivijalno rešenje

tD

ma

bn

am

x ⋅

⋅⋅

+

=

22

222

πσ


Kritičan napon elastičnog izbočavanja

ba /=α2

2

222

)1(12

⋅

−⋅⋅

⋅

+=

bt

vE

mnm

xπα

ασ

ΕΕ ⋅=⋅

+= σασα

ασ )(

22 k

mnm

x

22)(

+=

mnmk α

αα


Minimum funkcije k(α)21)(

+= α

ααk

( ) 0=αα

ddk

0,40,1

min

1

===

kmα


Familija krivih k(α) i kritičan napon

EEcrx kbtEk σσ

νπσ σ ⋅=⋅=

⋅

−⋅⋅

⋅= 4)1(12

2

2

2

min, σkk ≡min


Parametri koji utiču na vrednost kritičnog napona

• Dimenzije ploče (debljina t, dužina a i širina b) -uvode se u proračun preko Ojlerovog napona;

• Uslovi oslanjanja ploče - uvode se u proračun preko koeficijenta k (kσ ili kτ);

• Način naprezanja ploče - uvodi se u proračun preko koeficijenta k (kσ ili kτ);


Uticaj uslova oslanjanja


Uticaj načina naprezanja

1

2

x

x

σσψ =

Ecrxy k στ τ ⋅=, σx1 maksimalan napon pritiska


Vrednosti koeficijenta k

Normalni naponi (kσ) ψ = 1 ψ = 0,5 ψ = 0 ψ = –0,5 ψ = –1

Smičući naponi (kτ) Uslovi

oslanjanja

4,00 5,32 7,81 13,40 23,90 2+=≥

αα τ

434,5:1 k

2+=<α

α τ34,54:1 k

6,97 9,27 13,54 24,50 39,52

2+=≥α

α τ3,39:1 k

2+=<α

α τ3,57:1 k

5,41 - 11,73 - 23,94 2+=≥

αα τ

45,7:1 k

2+=<α

α τ55,6:1 k

5,41 - 9,54 - -

1,28 - 5,91 - 2,134 -

1,28 - 1,608 - -

0,426 - 1,702 - 0,851 -

0,426 - 0,567 - -

( )

( )

−<<−−⋅<<−⋅+⋅−<<+

=12 za198,5

01 za78,929,681,7 10 za05,1/2,8

2

2

ψψψψψψψ

σk


Povećanje stabilnosti ploče na izbočavanje primenom ukrućenja

( )2

2

2

112

⋅

−⋅⋅

=btE

E υπσ


Optimalan položaj ukrućenjaJedno ukrućenje Dva ukrućenja


Uticaj krutosti ukrućenja na vrednost kritičnog napona izbočavanja

Propisuje se potrebna krutost ukrućenja na savijanje (Imin) da bi se obezbedio kvalitetan (nepopustljiv) oslonac duž ukrućenja!

392,10čeplokrutost ćenjaukrukrutost

tbI

bDEI ss

s ⋅⋅=

⋅==γ


Otpornost pritisnute ploče na izbočavanje -koncept efektivne širine

2

2

2

, )1(12)(

⋅

−⋅⋅

⋅==eff

effcrxy btEkbf

νπσ σ

y

crxeff f

bb ,σ⋅=

2

,

22

2

2

, )1(12)(

⋅=

⋅

⋅

−⋅⋅

⋅==eff

crxeff

effcrxy bb

bb

btEkbf σ

νπσ σ


Određivanje efektivne širine

y

crxeff f

bb ,σ⋅=

crx

yP

f

,σλ = Relativna vitkost ploče na izbočavanje

Peff

bbλ

= Karmanova hiperbola

bbeff ⋅= ρ ρ redukcioni koeficijent (1 ≥ ρ)


Preporuke za određivanje koeficijenta ρ

>⋅−

≤=

673,0 122,01

673,0 1

2 PPP

P

za

za

λλλ

λρ Vinter (EC3)

>

≤=

9,0 9,0

9,0 1

PP

P

za

za

λλ

λρ SIA

>−

≤

=7,0

13,0

6,0

7,0 1

2 pP

p

za

za

λλ

λ

ρ JUS


Komparacija različitih krivih


Efektivni poprečni presek nosača


Postupak proračuna

Na ovaj način može da se sprovede proračun stabilnosti na izbočavanje usled dejstva normalnih napona pritiska;

Sračunavaju se efektivne širine pojedinh, pritisnutih delova poprelnog preseka (pritisnuta nožica i deo rebra nosača);

Neefektivni delovi poprečnog preseka tretiraju se kao “rupe”;

Određuju se geometrijske karakteristike preostalog, efektivnog poprečnog preseka (Aeff, Ieff, Weff, ...) i vrši kontrola napona u takvim, oslabljnim presecima;

Ako su naponi prekoračeni postavljaju se podužna ukrućenja i ponavlja proračun, za svako pojedinačno polje;


Iterativni postupak


Granične vitkosti pritisnutih delova poprečnog preseka

7,0

)1(12

2

2

2,

≤

⋅

−⋅

==

btEk

ff y

crx

yP

νπσ

λ

σyf

Ektb

⋅⋅≤ σ665,0

Za nožice - konzolne elemente (kσ= 0,426; ψ = 1):

≤Č0561za 11 Č0361za 13

tb

Za rebra – obostrano oslonjene elemente (kσ= 23,9; ψ = - 1):

≤Č0561za 78 Č0361za 96

tb


Određivanje širine referentnog pritisnutog dela preseka

N O Ž I C A Valjani nosači Zavareni nosači

( ) 12/ rtbb wf −−= ( ) 22/ ⋅−−= wwf atbb

R E B R O Valjani nosači Zavareni nosači

)(2 1rthb f +⋅−= 22 ⋅⋅−= wadb


Otpornost rebra na izbočavanje smicanjem


Post-kritična rezerva nosivosti

σVVV cru +=

Vu granična nosivost,

Vcr kritična sila izbočavanja,

Vσ post-kritčna rezerva nosivost.


Metoda zategnutog polja

Basler – Tirlimanov model Rokijev model


Proračun stabilnosti lima na izbočavanje prema JUS U.E7.121

Standard predviđa dve mogućnosti proračuna:• Proračun prema graničnim naponima izbočavanja;• Proračun prema konceptu efektivne širine;


Proračun prema graničnim naponima

• Postkritična rezerva nosivosti je karakteristična za granično stanje nosivosti, pa se proračun sprovodi prema teoriji graničnih stanja.

• Vrednosti napona se množe odgovarajućim koeficijentima sigurnosti, pa se takvi, ponderisani (radni) naponi porede sa graničnim naponima izbočavanja;

• Kontrola se sprovodi za normalne i smičuće napone:

uxzixz

uzziz

uxxix

ττγτ

σσγσ

σσγσ

≤⋅=

≤⋅=

≤⋅=

*

*

* Podužni normalni napon

Poprečni normalni napon (ako postoji)

Smičući napon


Kontrola uporednog napona

• U slučaju istovremenog dejstva normalnog i smičućeg napona treba proveriti i njihovu interakciju, odnosno u opštem slučaju:

12***2*2*

≤

+

⋅⋅

−

+

uuzux

zx

uz

z

ux

x

ττ

σσσσ

σσ

σσ

• Ako ne postoji poprečni normalni napon σz, što je čest slučaj, prethodna kontrola se svodi na:

12*2*

≤

+

uux

x

ττ

σσ


Granični normalni napon izbočavanja σux

yyuxux ffc ≤⋅⋅= σσ σ

Korekcioni faktor postritične rezerve nosivosti

25,125,025,1 ≤⋅−= ψσc

( ) cpux ff χχσ ⋅+⋅−= 221 Relativna granična nosivost na izbočavanje

c

crfσσ

−= 2 Interpolacioni faktor koji definiše udeo izvijanja i izbočavanja u ukupnoj nosivosti


Interpolacioni faktor f

22 2

/22 α

ασσ

σσ

σσ ⋅−=

⋅−=−= kkf

E

E

c

cr

čavanjeizbo čisto

izvijanje čisto

2za0,0 za2

1za0,1

2

22

2

⋅≤⋅−

≤⋅=

αα

α

σ

σσ

σ

kk

kf 21 <⋅< αk

cux χσ =Za f = 1

( ) cpux ff χχσ ⋅+⋅−= 221Za 0 < f < 1

pux χσ =Za f = 0


Bezdimenzionalni koeficijent izbočavanja χp

>−

≤

=7,0

13,0

6,0

7,01

2 Pp

P

pλ

λ

λ

χcrx

yp

f

,σλ =

Relativna (bezdimenzionalna) vitkost ploče


Bezdimenzionalni koeficijent izvijanja χc

E

y

c

yc

ffσ

ασ

λ ⋅==Relativna (bezdimenzionalna) vitkost ploče na izvijanje

2,0 za

42

2,0 za1

22

>−+

≤

=c

c

c

c

λλββ

λ

χ

Određuje se prema krivoj C iz standarda za centrično pritisnute elemente konstantnog jednodelnog preseka - JUS U.E7.081.


Granični smičući napon izbočavanja τu

3/3/25,1 yyuu ff ≤⋅⋅= ττ

Relativna granična nosivost na izbočavanje smicanjempu χτ =

>−

≤

=7,0

13,0

6,0

7,01

2 Pp

P

pλ

λ

λ

χ3⋅

=cr

yp

f

τλ


Provera stabilnosti ukrućene ploče

Ukupno polje izbočavanja a x b

Delimično polje izbočavanja ai x b

Pojedinačno polje izbočavanja ai x bi


Interpolacioni faktor za proračun delimičnog (ukupnog) polja

∑∑

++

⋅⋅−=−=s

s

c

cr kfγδ

ασσ

σ 11

22 2

392,10čeplokrutost ćenjaukrukrutost

tbI

bDEI ss

s ⋅⋅=

⋅==γ Relativna krutost ukrućenja

tbAs

s ⋅==

čeplošina povrćenjaukrušina povrδ Relativna površina ukrućenja


Sadejstvujuća širina ukrućenja

22665,0 1

11,b

fEktb

yeff ≤⋅⋅⋅= σ 22

665,0 222,

bfEktb

yeff ≤⋅⋅⋅= σ

Pri određivanju relativne krutosti i površine ukrućenja treba uzeti u obzir i efektivne (sadejstvujuće) delove ploče, odnosno lima.


Kontola stabilnosti podužnog ukrućenja

Stabilnost podužnih ukrućenja se može proveriti kao i kod centrično pritisnutog elementa sa odgovarajućim karakteristikama poprečnog preseka na izvijanje izvan ravni nosača (rebra).


Proračun prema konceptu efektivnog poprečnog preseka

Za neukrućene ploče može se smatrati da je vredost koeficijenta ρ jednaka bezdimenzionalnom koeficijentu izbočavanja (ρ = χp); bb peff ⋅= χ

Tip oslanjanja A Tip oslanjanja B Dijagram napona Dijagram napona

11 ≤≤− ψ 11 ≤≤− ψ 11 ≤≤− ψ

Izbocavanje

Documents

Transcript of Izbocavanje