1. Gyakorlat: Egytárolós rendszerek modellje és szabályozásuk jellemzése a) Hevítési folyamat modellezése idıtartományban Egy m [kg] tömegő, c [J/kgK] fajhıvel és h [W/K] felületi hıátadási együtthatóval rendelkezı tárgyat állandó ϑk [K] hımérséklető környezetben ϑ0 [K] kezdeti hımérsékletrıl hevítünk állandó P [W] teljesítménnyel. A folyamatot leíró differenciál-egyenlet:

( )khPt

mc ϑϑϑ −−=d

d ,

és a kezdeti feltétel:

( ) 00 ϑϑ = .

Rendezve:

mc

hP

mc

h

tkϑϑϑ +

=+d

d

A megoldás a homogén (gerjesztés nélküli) egyenlet általános megoldásából és az inhomogén egyenlet egy sajátos megoldásából tevıdik össze:

( ) ( ) ( )ttt ih ϑϑϑ +=

A homogén egyenlet:

0d

d =+ ϑϑmc

h

t

általános megoldása:

( ) ℜ∈=

+−=

−=

−CCet

Ktmc

h

tmc

h

tmc

h

h ;

ln

dd

ϑ

ϑ

ϑϑ

Az inhomogén egyenlet egy megoldását úgy határozzuk meg, hogy a homogén egyenlet tetszıleges együtthatóját idıfüggınek tekintjük:

( ) ( ) tmc

h

i etCt−

=ϑ

majd behelyettesítjük az inhomogén egyenletbe:

( ) tmc

h

k

tmc

hk

kt

mc

ht

mc

ht

mc

h

eh

Pte

mc

hPtC

mc

hPCe

mc

hCe

mc

he

t

C

+=+

=

+=+−

∫

−−−

ϑϑ

ϑ

d

d

d

Az inhomogén egyenlet megoldása:

( ) ki h

Pt ϑϑ += .

A differenciálegyenlet megoldása:

( ) ℜ∈++=−

Ch

PCet k

tmc

h

;ϑϑ .

A kezdıérték-feltételbıl azonosítható az együttható:

( ) kk h

PC

h

PC ϑϑϑϑϑ −−=⇒=++= 000 .

A differenciálegyenlet és kezdıérték-feltétel általános megoldása tehát:

( ) k

tmc

h

k h

Pe

h

Pt ϑϑϑϑ ++

−−=−

0

Az itt vázolt módszer alkalmazása magasabbrendő, vagy több egyenletbıl álló rendszer esetén igen bonyolulttá válik. Ezekben az esetekben a differenciálegyenleteket algebrai egyenletté alakító Laplace-transzformáció alkalmazása javallott.

A hımérséklet értéke állandósult állapotban:

( ) kt h

Pt ϑϑϑ +== ∞∞→

lim

A célfüggvény idı szerinti deriváltja:

( ) tmc

h

k eh

P

mc

ht

t

−

−+= 0d

d ϑϑϑ.

Ennek kezdeti értéke a függvény grafikus képéhez a kezdıpontban húzott érintı meredeksége:

( ) ( )000d

d ϑϑϑϑϑ −=

−+= ∞mc

h

h

P

mc

h

t k .

Ez az érintı az állandósult állapoti értéket az idıállandó abszcisszájú pontban éri el:

( )0d

d0 t

Tϑϑϑ =−∞ ,

a modellezett folyamat idıállandója tehát:

h

mcT = .

A bevezetett jelölésekkel:

( ) ( ) T

t

et−

∞∞ −+= ϑϑϑϑ 0

Az idıállandó nem függ a teljesítménytıl (gerjesztés), hanem csak a hı-tehetetlenségtıl (tömeg és fajhı szorzata), valamint a környezettel való hıcserélıdési együtthatótól (rendszer-paraméterek).

A lehőlési folyamatot ugyanaz a függvény írja le, csak ezúttal a hevítési teljesítmény nulla:

( ) ( ) k

tmc

h

k et ϑϑϑϑ +−=−

0

Ebben az esetben az állandósult állapoti érték a környezeti hımérséklettel egyenlı.

A számításokban alkalmazott egyszerősítı feltételek: • az alapjel idıben állandó (értéktartó szabályozás); • a környezet hımérséklete állandó (a környezet hı-tehetetlensége végtelen); • a környezettel kicserélt hı-teljesítmény arányos a hımérséklet-különbséggel (ez

vezetési, valamint konvektív hıáramlásnál igaz, hısugárzásra nem); • a fajlagos hıkapacitás (fajhı) értékét állandónak – a hımérséklettıl függetlennek –

tekintettük.

Az 1. ábra az alábbi adatokkal készült:

m = 10 kg; Számított értékek:

c = 450 J/kgK; T = 500 s;

h = 9 W/K; ϑ∞ = 1300 K;

ϑk = 300 K

ϑ0 = 400 K

P = 9000 W;

1.ábra. Hımérséklet az idı függvényében egy hevítési folyamat során

b) Hevítési folyamat modellezése Laplace-transzformáció segítségével Alkalmazzuk a Laplace-transzformációt:

( ){ } ( )st Θϑ =L

( ) 0d

d ϑΘϑ −=

sst

L

Figyelem: a kezdeti értéket tartalmazza a célfüggvény deriváltjának transzformáltja.

A differenciálegyenlet Laplace-operátor tartományban algebrai egyenletté alakul:

0ϑϑΘ ++

=

+smc

hP

mc

hs k .

Ennek megoldása:

( )

+

++

=

mc

hss

mc

hPs

s

kϑϑΘ

0

.

Elemi törtekre bontva:

( )

kk h

PB

h

PA

mc

hs

B

s

As

ϑϑϑ

Θ

−−=+=

++=

0;

.

A célfüggvény operátor-tartományban:

( )mc

hs

h

P

sh

P

skk

+

−−+

+=

ϑϑϑΘ

0

.

Visszatranszformálva idıtartományba megkapjuk a folyamatot leíró függvényt:

( ) tmc

h

kk eh

P

h

Pt

−

−−++= ϑϑϑϑ 0 .

A kezdeti érték, állandósult érték és idıállandó:

( ) ( )h

mcT

h

Pt k

t=+=== ∞∞→

;lim;0 0 ϑϑϑϑϑ

jelölések használatával:

( ) ( ) T

t

et−

∞∞ −+= ϑϑϑϑ 0

c) Hevítési folyamat irányítása állásos szabályozóval Az állásos szabályozó egy felsı hımérséklet-határ elérése esetén kikapcsolja, egy alsó határ elérésekor pedig bekapcsolja a főtıteljesítményt. A megállapított képletek érvényesek, csak az idı kezdıpontját kell mindig eltolni az aktuális szakasz kapcsolási pillanatába.

Hevítési szakaszban:

( ) maxmin ; ϑϑϑϑϑϑ ≤++

−−=−

k

tmc

h

k h

Pe

h

Pt .

Lehőlési szakaszban:

( ) ( ) minmax ; ϑϑϑϑϑϑ ≥+−=−

k

tmc

h

k et

Természetesen az elsı hevítési szakasz ϑ0 hımérsékleten indul. A 2. ábra az alábbi adatokkal készült:

m = 10 kg; Számított értékek:

c = 450 J/kgK; T = 500 s;

h = 9 W/K; ϑ∞ = 1300 K;

ϑk = 350 K

ϑ0 = 400 K

ϑmin = 800 K

ϑmax = 1100 K

P = 9000 W;

2.ábra. Hımérséklet az idı függvényében egy állásos szabályozóval

irányított hevítési folyamat során

d) Hevítési folyamat irányítása arányos szabályozóval Az arányos szabályozó a hımérséklet aktuális értéke (ϑ) és az elıírt alapjel (ϑa) közötti különbséggel (hibajel) arányos hevítési teljesítményt biztosít (hőtést nem):

( ) ( )( ) ( )( )

≤>−

=t

ttAtP

a

aaP

ϑϑϑϑϑϑ

ha 0

ha ,

ahol AP az arányos erısítés. A szabályozott folyamatot leíró differenciál-egyenlet:

kaPP

mc

h

mc

A

mc

Ah

tϑϑϑϑ +=++

d

d ,

a kezdeti feltétel pedig: ( ) 00 ϑϑ = .

A differenciálegyenlet Laplace-transzformációval algebrai egyenletté alakul:

0ϑϑϑΘ ++

=

++

smc

hA

mc

Ahs kaPP .

Ennek megoldása:

( )

++

++

=

mc

Ahss

mc

hAs

sP

kaP ϑϑϑΘ

0

.

Elemi törtekre bontva:

( )P

kaP

P

kaP

P Ah

hAB

Ah

hAA

mc

Ahs

B

s

As

++

−=+

+=

++

+=ϑϑϑϑϑΘ 0;; .

Bevezetve a ( ) ( )PP

kaP

t Ah

mcT

hA

hAt

+=

++

=== ∞∞→;lim;0 0

ϑϑϑϑϑϑ jelöléseket (kezdeti érték,

állandósult érték és idıállandó), a célfüggvény alakja operátor-tartományban:

( )T

sssY

10

+

−+= ∞∞ ϑϑϑ

.

Visszatranszformálva idıtartományba megkapjuk a folyamatot leíró függvényt:

( ) ( ) T

t

et−

∞∞ −+= ϑϑϑϑ 0

Látható, hogy amennyiben az alapjel nagyobb mind a kezdıértéknél, mind a környezeti hımérsékletnél, a hevített tárgy hımérséklete mindig az alapjelnél kisebb marad, tehát a hevítési folyamat teljes idıtartamában a teljesítménynek pozitív értéke van. Az állandósult érték is kisebb az alapjelnél. Az eltérés mértéke annál kisebb, minél nagyobb az AP / h arány. Általában igaz, hogy arányos szabályozással nem lehet nulla hibajel-értéket biztosítani. Elıny viszont a strukturális stabilitás: bármekkora erısítés esetén a rendszer stabil marad.

e) Egytárolós szakasz irányítása integrál-szabályozóval Az integrál-szabályozó a szabályozott jellemzı aktuális értéke (ϑ) és az elıírt alapjel (ϑa) közötti különbség (hibajel) idıbeli integráljával arányos módosított jellemzıt (hevítési példa esetében főtési/hőtési teljesítményt) biztosít. Hevítési folyamatok esetén elıfordul, hogy a hőtés nem biztosított, csak a főtés. Ebben az esetben – lengı jelleg mellett – a feladat már nem írható le egyetlen lineáris differenciálegyenlettel, hanem az állásos szabályozással történı hevítési esethez hasonló módon a lehőlési folyamatok nulla teljesítmény mellett zajlanak.

Főtı/hőtı integrál-szabályozó a hımérséklet aktuális értéke (ϑ) és az elıírt alapjel (ϑa) közötti különbség (hibajel) idıbeli integráljával arányos hevítési teljesítményt biztosít:

( ) ( )( )∫ −=t

aIT

ktP

0

dττϑϑ ,

ahol k [W/K] az erısítés (teljesítmény-együttható), TI [s] az integrálási idıállandó. A szá-mításokban végig a k / TI [W/Ks] arány szerepel. Idıben állandó alapjellel számolva:

( ) ( )∫−=t

II

a

T

kt

T

ktP

0

dττϑϑ .

A szabályozott folyamatot leíró differenciál-egyenlet:

( ) kI

at

I mc

ht

mcT

k

mcT

k

mc

h

tϑϑττϑϑϑ +=++ ∫

0

dd

d ,

a kezdeti feltétel pedig:

( ) 00 ϑϑ = .

A differenciálegyenlet Laplace-transzformációval algebrai egyenletté alakul:

02ϑϑϑΘ ++=

++

smc

h

mcTs

k

smcT

k

mc

hs k

I

a

I

,

ahol alkalmaztuk a

( ) ( )ss

dt

Θττϑ 1

0

=

∫L

összefüggést.

Az algebrai egyenlet megoldása:

( )

++

++=

I

I

ak

mcT

k

mc

hsss

mcT

k

mc

hss

s2

02 ϑϑϑ

Θ .

Ennek a függvénynek két negatív valós pólusa van, ha a nevezıben szereplı másodfokú függvény diszkriminánsa pozitív, azaz:

2

4

h

kmcTI > vagy

mc

h

T

k

I 4

2

< .

Ebben az esetben a célfüggvény elemi törtekre bontva:

( )21 ps

C

ps

B

s

As

−+

−+=Θ , ahol a

I

a

pp

mcT

k

A ϑ

ϑ

==21

Idıtartományba transzformálva (aperiodikus üzemmód):

( ) tptpa CeBet 21 ++= ϑϑ .

Állandósult állapotban (az exponenciális összetevık lecsengése után) a szabályozott jellemzı egyenlı az alapjellel, vagyis az integrál-szabályozó nulla hibát biztosít.

Határesetben a nevezı diszkriminánsa nulla, mc

h

T

k

I 4

2

= , a célfüggvény operátor-tartomány-

ban ( )( ) mc

hq

qss

qsqs

mc

hss

mcT

k

mc

hss

s akI

ak

2;

2

2

2

20

2

2

02

=+

++=

+

++=

ϑϑϑϑϑϑ

Θ alakú.

Elemi törtekre bontva:

( )( )

( )aka

a

qBA

qs

B

qs

A

ss

ϑϑϑϑϑ

ϑΘ

−−=−=+

++

+=

00

2

2;

,

végül idıtartományba transzformálva:

( ) ( )[ ] qtakaa etqt −−−+−+= ϑϑϑϑϑϑϑ 00 2

Nagyobb erısítés/integrálási állandó arányt választva a célfüggvény pólusai negatív valós résző konjugált komplex számok lesznek. Ennek következtében az idıfüggvénynek az alapjellel egyenlı állandó mellett csillapított lengı összetevıi lesznek. A túllendülés mértéke az erısítéstıl függ. Nagyobb erısítés gyorsabb szabályozást, de egyúttal nagyobb túllendülést is jelent.

A csillapított lengı választ eredményezı függvényalak operátor-tartományban:

( ) ( )( ) 2222

02

22

ωϑ

ϑϑϑΘ

+++++=

−+

+

++=

qs

CqsB

s

mc

h

mcT

k

mc

hss

mcT

k

mc

hss

s a

I

I

ak

,

ahol

mchCB

mc

h

mcT

k

mc

hq ak

aI 2

2;;

2;

20

0

22 ϑϑϑϑϑω −−

=−=

−== .

Ezzel:

( ) ( )( ) ( ) 220

220 2

2

ωω

ωϑϑϑ

ωϑϑϑΘ

++−−+

+++−+=

qsmch

qs

qs

ss ak

aa

Az utolsó két tört inverz Laplace transzformációja a következı összefüggésekkel történik:

( )te

qs

qs qt ωω

cos22

1 −− =

+++

L

( )te

qsqt ω

ωω

sin22

1 −− =

++L ,

mivel:

( ) ( )( )( ) ( )( ) teee

j

jqsjqs

j

jqsjqsqs

qttjqtjq ωωω

ωωω

ωω

ωω sin2

11

21

1

221

−+−−−−

−−

=−=

−+−

++=

=

−−++=

++

L

LL

( ) ( )( )( ) ( )( ) teee

jqsjqs

jqsjqs

qs

qs

qs

qttjqtjq ωωω

ωωω

ωω cos2

111

2

11

1

221

−+−−−−

−−

=+=

−++

++=

=

−++++=

+++

L

LL

és (Euler-képlet):

ααα sincos je j += . Idıtartományba transzformálva:

( ) ( ) teqtet qtakqtaa ω

ωϑϑϑωϑϑϑϑ sin

2cos 0

0−− −−

+−+= ,

ahol

2;2

qmcT

k

mc

hq

I

−== ω .

A 3. ábra az alábbi adatokkal készült:

m = 10 kg; Számított értékek:

c = 450 J/kgK; q = 0.001 Hz;

h = 9 W/K;

ϑk = 300 K;

ϑ0 = 400 K;

ϑa = 900 K;

a b c

k/ TI [W/Ks] 0.45 0.045 0.0045

ω [rad/s] 0.01 0.003 aperiodikus