1

15. Koordinátageometria

I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok

Ha 풂(푎 ; 푎 ) és 풃(푏 ; 푏 ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor

az 풂 vektor hossza: |풂| = 푎 + 푎 a két vektor összege : 풂 + 풃(푎 + 푏 ; 푎 + 푏 ) a két vektor különbsége: 풂 − 풃(푎 − 푏 ; 푎 − 푏 ) vektor számmal való szorzata: λ풂(λ푎 ; λ푎 ) az a vektor ellentettje: −풂(−푎 ;−푎 ) a két vektor skaláris szorzata: 풂 ∙ 풃 = 푎 푏 + 푎 푏

Az퐴(푎 ; 푎 )pontbóla 퐵(푏 ; 푏 )pontbamutatóvektor: 퐴퐵⃗ = (푏 − 푎 ; 푏 − 푎 )

Az퐴(푎 ; 푎 )és퐵(푏 ; 푏 )pontoktávolsága: 퐴퐵⃗ = (푎 − 푏 ) + (푎 − 푏 )

Ha az 풂(푎 ; 푎 ) és 풃(푏 ; 푏 ) vektorok hajlásszöge φ, akkor: cos 휑 =∙

Ha az 풂(푎 ; 푎 ) vektort +90°-kal elforgatjuk, az 풂′(−푎 ; 푎 ) vektort,

ha –90°-kal elforgatjuk, az 풂′′(푎 ;−푎 ) vektort kapjuk.

Szakasz adott arányú osztópontja, háromszög súlypontja

Ha 퐴(푎 ; 푎 ), 퐵(푏 ; 푏 ) és 퐶(푐 ; 푐 ) a sík pontjai, akkor

az 퐴퐵 szakasz 퐹 felezőpontja: 퐹 ;

az 퐴퐵 szakasz 퐴-hoz közelebbi harmadoló pontja: 퐹 ;

az 퐴퐵 szakaszt m:n arányban osztó 푃 pont: 푃 ∙ ∙ ; ∙ ∙

az 퐴퐵퐶 háromszög 푆 súlypontja: 푆 ;

Egyenes egyenlete

Normálvektoros egyenlet: Az 풏(퐴; 퐵) nem nullvektort az egyenes normálvektorának nevezzük, ha merőleges az egyenesre. A 푃(푥 ; 푦 ) ponton átmenő 풏(퐴; 퐵) normálvektorú egyenes egyenlete:

퐴푥 + 퐵푦 = 퐴푥 + 퐵푦 Irányvektoros egyenlet:

A 풗(푣 ;푣 ) nem nullvektort az egyenes irányvektorának nevezzük, ha párhuzamos az egyenessel. A 푃(푥 ; 푦 ) ponton átmenő 풗(푣 ; 푣 ) irányvektorú egyenes egyenlete:

푣 푥 − 푣 푦 = 푣 푥 − 푣 푦 Iránytényezős egyenlet:

Az egyenesnek az 푥-tengely pozitív irányával bezárt szögét az egyenes irányszögének

2

nevezzük. Ha az egyenes φ irányszöge nem 90°, akkor az 푚 = 푡푔휑 számot az egyenes iránytényezőjének (meredekségének) nevezzük. A 푃(푥 ; 푦 ) ponton 푚 iránytényezőjű egyenes egyenlete:

푦 − 푦 = 푚(푥 − 푥 ). Két egyenes párhuzamos, ha

o normálvektoraik párhuzamosak; o irányvektoraik párhuzamosak; o irányszögük egyenlő; o iránytényezőjük egyenlő (ha van).

Két egyenes merőleges, ha o normálvektoraik merőlegesek → normálvektoraik skaláris szorzata 0; o irányvektoraik merőlegesek → irányvektoraik skaláris szorzata 0; o a koordinátatengelyekkel nem párhuzamos egyenesek iránytényezőinek szorzata −1.

Két egyenes metszéspontját úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert.

Kör egyenlete

Az 푂(푢, 푣) középpontú, 푟 sugarú kör egyenlete: (푥 − 푢) + (푦 − 푣) = 푟 .

Kör és egyenes közös pontjait úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk a kör és az egyenes egyenletéből álló egyenletrendszert.

Két kör közös pontjait úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk a két egyenletéből álló egyenletrendszert.

Parabola

A parabola azoknak a pontoknak a halmaza a síkon, amelyek egy egyenestől (vezéregyenes) és egy az egyenesre nem illeszkedő ponttól (fókuszpont) egyenlő távol vannak. A fókuszpont és a vezéregyenes távolságát paraméternek nevezzük.

A parabola tengelyponti egyenlete Ha a parabola paramétere 푝, a tengelye az푦-tengely, a csúcspontja az origóban van, akkor a

fókuszpont 퐹 0; , a vezéregyenes egyenlete 푦 = − , a parabola tengelyponti egyenlete:

푦 =12푝

푥 ;

3

ha a parabola csúcspontja az (푢; 푣) pontban van, akkor a fókuszpont 퐹 푢; 푣 + , a

vezéregyenes egyenlete 푦 = 푣 − , a parabola egyenlete:

푦 − 푢 = (푥 − 푣) .

II. Kidolgozott feladatok 1. Adott az 풂(2; 3);풃(6; 2); 풄(4; 5) vektor. Számítsuk ki az alábbi vektorok koordinátáit:

풂 + ퟐ풃 3풂 − 풃

풂 − 2풄 + 풃 !

Megoldás:

풂 + 풃 = (2 + 2 ∙ 6; 3 + 2 ∙ 2) = (14; 7)

3풂 −12풃 = 3 ∙ 2 −

12∙ 6; 3 ∙ 3 −

12∙ 2 = (3; 8)

풂 − 2풄 +34풃 = 2 − 2 ∙ 4 +

34∙ 6; 3 − 2 ∙ 5 +

34∙ 2 = (−1,5; −5.5)

2. Bontsuk fel a 풗(3;−2) vektort az 풂(6; 3) és a 풃(4;−5) vektorokkal párhuzamos összetevőkre!

Megoldás:

Keressük azokat az α és β valós számokat, amelyekre teljesül:

풗 =∝∙ 풂 + 훽 ∙ 풃 ,

koordinátákkal kifejezve:

3 = 6훼 + 4훽

−2 = 3훼 − 5훽

Ennek az egyenletrendszernek a megoldása: 훼 = ; 훽 = , így 풗 = 풂 + 풃 .

3. Adott az 퐴(7;−3) és 퐵(12;−4) pont. Hosszabbítsuk meg az 퐴퐵 szakaszt a 퐵-n túl a háromszorosára! Számítsuk ki az így kapott 퐶 pont koordinátáit!

Megoldás:

A 퐵 pont az 퐴퐶 szakasznak az 퐴 ponthoz közelebbi harmadoló pontja. Így a 퐶(푐 ; 푐 ) pontra teljesül:

2 ∙ 7 + 푐3

= 12é푠2 ∙ (−3) + 푐

3= −4

Az egyenletrendszer megoldásával megkapjuk a C pont koordinátáit: 푐 = 22 푐 = −6.

4. Igazoljuk, hogy az 퐴(1; 3), 퐵(4; 7), 퐶(2; 8), 퐷(−1; 4) pontok egy paralelogramma csúcsai!

4

Megoldás:

퐴퐵⃗ = (4 − 1; 7 − 3) = (3; 4); 퐷퐶⃗ = (2 − (−1); 8 − 4) = (3; 4). Ennek alapján az 퐴퐵 szakasz párhuzamos és egyenlő a 퐷퐶 szakasszal, tehát az 퐴퐵퐶퐷 négyszög paralelogramma.

5. Adott az 퐴퐵퐶 háromszög csúcsainak koordinátái: 퐴(2; 3); 퐵(13; 4); 퐶(6; 9). Határozzuk meg a) az α (퐴푐푠ú푐푠푛á푙푙é푣ő) szög nagyságát; b) az 퐴퐵퐶 háromszög területét!

Megoldás:

a) 퐴퐵⃗ = (11; 1), 퐴퐵⃗ = √11 + 1 = √122 , 퐴퐶⃗ = (4; 6), 퐴퐶⃗ = √4 + 6 = √52 .

A skaláris szorzat definíciója alapján: 퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗ = 퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗ ∙ cos 훼.

cos훼 =퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗퐴퐵⃗ ∙ 퐴퐶⃗

Ha a skaláris szorzatot kifejezzük a vektorok koordinátáival, akkor

cos 훼 =11 ∙ 4 + 1 ∙ 6√122 ∙ √52

= 0,6276; 훼 = 51,12°.

b) A háromszög területét két oldalból és a közbezárt szögből számoljuk ki:

푡 =푏 ∙ 푐 ∙ sin 훼

2=√52 ∙ √122 ∙ sin51,12°

2= 31.

6. Adott az 퐴퐵퐶 háromszög csúcsainak koordinátái: 퐴(3; 2); 퐵(13,4); 퐶(4; 10). Határozzuk meg

a) az 퐴 csúcsból induló magasságvonal egyenletét; b) a 퐵퐶 oldal egyenletét; c) az 퐴 csúcsból induló magasság hosszát; d) a háromszög köré írható körének középpontját!

Megoldás:

5

a) A 퐵퐶⃗ = (−9; 6) vektor az 퐴 csúcsból induló magasságvonal normálvektora. Az 1/3 ekkora 풏 = (−3; 2) normálvektort is használhatjuk az egyenes egyenletének felírásához. A magasságvonal átmegy az 퐴(3; 2) ponton, így a magasságvonal egyenletét a normálvektor segítségével felírhatjuk:

푚 :− 3푥 + 2푦 = −9 + 4 = −5.

b) Az 퐵퐶⃗ vektor a 퐵퐶 oldal irányvektora 풗 = (−9; 6). Az oldal átmegy a 퐵(13; 4) ponton, tehát a BC egyenes egyenletét a 풗ퟏ = (−3; 2) irányvektorral felírva:

푎:2푥 + 3푦 = 26 + 12 = 34.

c) Az pontból induló magasság talppontja az 푚 egyenes és az 푎 egyenes metszéspontja. Ezért a 푇 pont koordinátáit az alábbi egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg:

푚 :3푥 − 2푦 = 5 푎:2푥 + 3푦 = 38,

A 푇(7; 8) és 퐴(3; 2) pontok távolságának kiszámításával határozzuk meg a magasság hosszát:

(7 − 3) + (8 − 2) = 7,21.

d) A háromszög körülírt körének a középpontját az oldalfelező merőlegesek metszéspontjaként

kapjuk meg. A 퐵퐶 oldal felezőpontja 퐹 ; = (8,5; 7). A 퐵퐶푓 oldalfelező merőlegesének normálvektora

풏 = (−3; 2), egy pontja 퐹 .

Így az oldalfelező merőleges egyenlete:

푓 :− 3푥 + 2푦 = −11,5.

Hasonlóan írjuk fel az 퐴퐶 oldalfelező merőlegesének egyenletét:

퐹4 + 32

;10 + 22

= (3,5; 6)

풏 = (1; 8) 푓 :푥 + 8푦 = 51,5

Az 푓 és 푓 egyenesek metszéspontját a megfelelő egyenletrendszer megoldásával határozzuk meg. Így megkapjuk a háromszög köré írt körének 푂(7,5; 5,5) középpontját.

7. Adott az 퐴(2; 3)és 퐵(10; 6) pont. Hol vannak a síkban azok a 푃 pontok, amelyekre teljesül az 퐴푃 − 퐵푃 = 20összefüggés?

Megoldás:

A 푃(푥; 푦) pontra a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha:

(푥 − 2) + (푦 − 3) − (푥 − 10) − (푦 − 6) = 20

Az egyenletet rendezve egy egyenes egyenletét kapjuk:

6

푒:16푥 + 6푦 = 143

Az 푒 egyenes normálvektora 풏 = (8; 3); az 퐴퐵⃗ = (8; 3). Az 푒 egyenes normálvektora megegyezik az 퐴퐵 egyenes irányvektorával, tehát a keresett ponthalmaz az 퐴퐵 szakaszra merőleges egyenes.

8. Az 퐴퐵퐶퐷 és 퐺퐴퐸퐹 négyzetek az ábra szerint érintik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a 퐺퐶 és 퐵퐹 egyenesek a négyzetek közös oldalán metszik egymást!

Megoldás:

A négyzetek oldalhossza legyen 푎 és 푏, az ábra szerint helyezzük el a négyzeteket a koordináta-rendszerben. A 퐺퐶 egyenes egyenlete:

풗(푎 + 푏; 푎)

퐶(푎; 푎)

푎푥 − (푎 + 푏)푦 = 푎 − 푎 − 푎푏 = −푎푏

A 퐵퐹 egyenes egyenlete:

풗(푎 + 푏;−푏)

퐵(푎; 0)

푏푥 + (푎 + 푏)푦 = 푎푏

A két egyenes 푀 metszéspontját úgy határozhatjuk meg, ha megoldjuk ezt az egyenletrendszert:

7

푥 = 0; 푦 =푎푏푎 + 푏

Ez azt jelenti, hogy az 푀 pont az 푦-tengelyen van, tehát az egyenesek valóban a közös négyzetoldalon metszik egymást.

9. Igazoljuk, hogy az 푘: 푥 + 푦 − 18푥 + 6푦 + 65 = 0 egyenlet kör egyenlete. a) Írjuk fel az adott körrel koncentrikus, a 푃(2; 4) ponton átmenő kör egyenletét! b) Írjuk fel a 푘 kör 퐸(6; 1) ponton átmenő érintőjének egyenletét! c) Adott az 퐹(8;−6) pont. Határozzuk meg a 푘 körön az 퐴 és 퐵 pontokat úgy, hogy az 퐹

pont az 퐴퐵 húr felezőpontja legyen!

Megoldás:

Teljes négyzetté kiegészítéssel átalakítjuk az adott egyenletet:

푥 − 18푥 + 81 + 푦 + 6푦 + 9 − 25 = 0

푘: (푥 − 9) + (푦 + 3) = 25

Ez az egyenlet az 푂(9;−3) középpontú, 5 egység sugarú kör egyenlete.

a) Az 푂푃 távolság √7 + 7 = √98. Így a koncentrikus kor egyenlete:

푘 : (푥 − 9) + (푦 + 3) = 98 .

b) Az 퐸 pont koordinátái kielégítik a 푘 kör egyenletét, tehát a pont rajta van a körön. Az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre, ezért az 푂퐸⃗ = (−3; 4) vektor az érintő normálvektora. Így az érintő egyenlete:

푒 ∶ −3푥 + 4푦 = −14

c) Az 퐹 pont koordinátáit behelyettesítjük be a kör egyenletébe:

(8 − 9) + (−6 + 3) = 10 < 25 ,

ezért az 퐹 pont a körvonalon belül van. A középpontból a húrra bocsátott merőleges felezi a húrt, ezért az 푂퐹 szakaszra az 퐹 pontban merőlegest állítunk. Az így kapott 푔 egyenes kimetszi a körvonalból az 퐴 és 퐵 pontokat.

8

푔 ∶ 풏 = 퐹푂⃗ = (1; 3) 퐹(8;−6)

푔:푥 + 3푦 = −10

푘: (푥 − 9) + (푦 + 3) = 25

A 푘 kör és a 푔 egyenes közös pontjait megkapjuk, ha megoldjuk a fenti egyenletrendszert. 푥 = −3푦 − 10

푘: (−3푦 − 19) + (푦 + 3) = 25 Egyenletrendezés után az

푦 + 12푦 + 34,5 = 0 másodfokú egyenletet kapjuk, aminek a gyökei: 푦 = −4,78és 푦 = −7,22. A megfelelő 푥 értékek: 푥 = 4,34és 푥 = 11,66. A keresett pontok 퐴 = (4,34; −4,78) és 퐵 = (11,66;−7,22).

10. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a 푃(8; 3) ponton és mindkét

koordinátatengelyt érinti!

Megoldás:

A keresett kör középpontja egyenlő távol van a koordinátatengelyektől. A 푃 pont az I. síknegyedben van, ezért ha a kör sugara 푟, akkor az egyenlete:

(푥 − 푟) + (푦 − 푟) = 푟 .

Azt az 푟 értéket keressük, amelyre a P pont rajta van a körön:

(8 − 푟) + (3 − 푟) = 푟

Az egyenletet rendezve:

푟 − 22푟 + 73 = 0

A másodfokú egyenlet megoldásával megkapjuk a kör sugarát. Két kör teljesíti a feltételeket:

푘 :(푥 − 4,1) + (푦 − 4,1) = 16,81

푘 :(푥 − 17,9) + (푦 − 17,9) = 320,41

9

11. Adott az 퐴(0; 0) és 퐵(16; 0) pont. Hol vannak a síkban azok a 푃pontok, amelyekre 퐴푃: 푃퐵 = 3: 5?

Megoldás:

A 푃(푥; 푦) pontra a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha:

푥 + 푦(푥 − 16) + 푦

=35

Az egyenletet négyzetre emeljük és rendezzük:

25 ∙ (푥 + 푦 ) = 9 ∙ ((푥 − 16) + 푦 ) 16푥 + 16푦 + 288푥 = 2304

푥 + 푦 + 18푥 = 144 푘:(푥 + 9) + 푦 = 225

Egy olyan kör egyenletét kaptuk, amelynek középpontja 푂(−9; 0) és a sugara 15 egység. Ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért a kör minden pontja hozzátartozik a keresett ponthalmazhoz.

Megjegyzés: Bármely 1-től különböző arány esetében a pontok egy körvonalon helyezkednek el, ezt a kört az 퐴퐵szakasz adott arányhoz tartozó Apollóniusz-körének nevezzük.

12. Adott az 퐴(−2;−2) és 퐵(6; 4) pont és az 푒: 푥 + 2푦 = 9 egyenes. Határozzuk meg az 푒 egyenesnek azokat a pontjait, amelyekből az 퐴퐵 szakasz derékszögben látszik!

Megoldás:

A Thalesz tétel miatt a keresett pontok az 퐴퐵 átmérőjű körvonalon vannak. Az 퐴퐵 szakasz felezőpontja 푂(2; 1). A kör sugara 푂퐴 = √16 + 9 = 5. Így a Thalesz kör egyenlete:

푘: (푥 − 2) + (푦 − 1) = 25 푒: 푥 + 2푦 = 9

A fenti egyenletrendszert megoldjuk:

10

푥 = 9 − 2푦 (7 − 2푦) + (푦 − 1) = 25

Egyenletrendezés után:

푦 − 6푦 + 5 = 0 Két megoldást kapunk: 푦 = 1 és 푦 = 5, a pontok első koordinátái: 푥 = 7 és 푥 = −1. A keresett pontok: 푃 (7; 1) és 푃 (−1; 5).

13. Határozzuk meg az (푥 − 1) + (푦 − 3) = 20 és az (푥 − 10) + 푦 = 50 egyenletű körök közös húrjának hosszát!

Megoldás:

(푥 − 1) + (푦 − 3) = 20 (푥 − 10) + 푦 = 50

A fenti két egyenletet kivonjuk egymásból és rendezzük:

18푥 − 99 − 6푦 + 9 = −30

11

푦 = 3푥 − 10 (*)

Behelyettesítünk a második kör egyenletébe:

(푥 − 10) + (3푥 − 10) = 50

푥 − 8푥 + 15 = 0

A másodfokú egyenlet megoldása után felírjuk az egyenletrendszer megoldását:

푥 = 3; 푦 = −1

푥 = 5; 푦 = 5

A körök közös pontjai 푃 (3;−1) és 푃 (5; 5). A két pont távolsága megadja a közös húr hosszát: √4 + 36 = 6,32.

Megjegyzés: A két kör egyenletének kivonásával kapott (*) egyenlet elsőfokú, tehát egyenes egyenlete. Ezen az egyenesen rajta vannak a közös pontok, ezért ez az egyenlet a közös húr egyenesének az egyenlete.

14. Írjuk fel annak a parabolának az egyenletét, amely áthalad a 퐴(−1; 16); 퐵(1; 6); 퐶(3; 0)

pontokon és a tengelye párhuzamos az y-tengellyel!

Megoldás:

A parabola egyenlete 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐 alakban adható meg. Az 푎 ≠ 0; 푏; 푐 paramétereket kell úgy megválasztanunk, hogy az 퐴, 퐵, 퐶 pontok rajta legyenek a parabolán. A pontok koordinátáit behelyettesítjük az adott egyenletbe:

16 = 푎 − 푏 + 푐 (1) 6 = 푎 + 푏 + 푐 (2) 0 = 9푎 + 3푏 + 푐 (3)

A (2) egyenletből kivonjuk az (1) egyenletet és az eredményt 2-vel osztjuk.

−10 = 2푏 푏 = −5

Ezt az eredményt a (2) és a (3) egyenletbe behelyettesítjük:

11 = 푎 + 푐 15 = 9푎 + 푐

Tehát 푎 = 0,5é푠푐 = 10,5.

A keresett parabola egyenlete: 푦 = 0,5푥 − 5푥 + 10,5.

15. Írjuk fel az y = x − 4x + 5 egyenletű parabola (3; 2) pontjához tartozó érintőjének egyenletét!

Megoldás:

Jelöljük 푚-mel az érintő iránytangensét. A (3; 2) ponton átmenő 푚 iránytantengensű egyenes egyenlete:

12

푒:푦 − 2 = 푚(푥 − 3)

Azt az 푚 értéket keressük, amelyre az 푒 egyenesnek és a parabolának egy közös pontja van.

푦 = 푚(푥 − 3) + 2 = 푚푥 − 3푚 + 2

kifejezést behelyettesítjük a parabola egyenletébe:

푚푥 − 3푚 + 2 = 푥 − 4푥 + 5.

Az egyenletet rendezve:

푥 − (4 +푚)푥 + 3푚 + 3 = 0.

Akkor kapunk egy megoldást, ha a másodfokú egyenlet diszkriminánsa 0.

퐷 = (4 + 푚) − 12푚 − 12 = 푚 − 4푚 + 4 = 0,

tehát 푚 = 2.

Az érintő egyenlete: 푦 = 2푥 − 4.

III. Ajánlott feladatok

1. Adott az 풂(−5; 2); 풃(7; −4); 풄(0; 3); 풅(1; 6). Határozza meg a következő vektorok koordinátáit:

a) −풂 b) − 풃 c) 풂 + 2풃 d) 풂 − 풅 + 풄

e) 풂 풃 f) 풅 − 3풄 + a g) 풂 풃 풄 풅 h) 풂 풃 풄 풅

2. Egy háromszög csúcsai: 퐴(5; 2); 퐵(−3; 8); 퐶(10; 14). A háromszöget a koordináta-rendszer kezdőpontja körül +90°-kal elforgatva az 퐴 퐵 퐶 háromszöget kapjuk. Határozzuk meg az elforgatott háromszög csúcsainak koordinátáit!

3. Számítsuk ki az 풂(−7; 5) és 풃(2;−4) vektorok skaláris szorzatát és hajlásszögét!

13

4. Határozzuk meg a b értéket úgy, hogy az 풂(−3; 12) és 풃(8; 푏) vektorok merőlegesek legyenek egymásra!

5. Egy négyszög csúcsainak koordinátái: 퐴(3;−6); 퐵(11;−1); 퐶(8; 4);퐷(3; 3). Bizonyítsuk be, hogy az 퐴퐵퐶퐷 négyszög átlói merőlegesek egymásra! Számítsuk ki a négyszög területét!

6. Az 퐴(2; 5) és 퐵(−7; 12) pontokat összekötő szakaszt a 푃;푄; 푅 pontok 4 egyenlő szakaszra osztják. Adjuk meg a 푃; 푄; 푅 pontok koordinátáit!

7. Az 퐴퐵퐶 háromszög két csúcsa 퐴(5;−4) és 퐵(13; 1), súlypontja 푆(7; 4). Határozzuk meg a 퐶 csúcs koordinátáit!

8. Az 퐴(0; 0);퐵(9; 0); 퐶(11; 4); 퐷(2; 4) pontok egy paralelogrammát határoznak meg. A 푃 pont a 퐵퐶 oldal 퐶-hez közelebbi negyedelő pontja, a 푄 pont a 퐷퐶 szakasz 퐷-hez közelebbi harmadoló pontja.

a) Határozzuk meg annak a 퐻 pontnak a koordinátáit, amely az 퐴푃 szakaszt 2:1

arányban osztja! b) Határozzuk meg a 퐵푄 szakasz 퐹 felezőpontját! c) Mit tapasztalunk? Fogalmazzuk meg általánosan az észrevételünket!

9. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely a) átmegy a 푃(2;−5) ponton és normálvektora 풏(−5; 2); b) átmegy a P(−4; 6) ponton és irányvektora 풗(−3; 1); c) átmegy a P(3;−2) ponton és a meredeksége m = 1,2; d) átmegy az A(2;−1) és a B(6;−3) pontokon!

10. Egy háromszög egyik csúcsa 퐴(3;−4), két magasságvonalának egyenlete 7푥 − 2푦 − 1 = 0 és 2푥 − 7푦 − 6 = 0. Határozzuk meg a hiányzó csúcspontok koordinátáit!

11. Egy paralelogramma két oldalegyenesének egyenlete 푥 + 2푦 + 1 = 0 , 2푥 + 푦 − 3 = 0. Középpontja az (2;1) pont. Adjuk meg a csúcsok koordinátáit!

12. Egy derékszögű háromszög csúcspontjai: A(5; 0); B(0; 3); C(0; 0). Az ábra szerint a befogókra négyzeteket rajzolunk.

14

a) Írjuk fel az 퐴퐹 és 퐵퐸 egyenesek egyenletét! b) Határozzuk meg a két egyenes 푀 metszéspontját! c) Írjuk fel a derékszögű háromszög 퐶 csúcsából induló magasság egyenesének

egyenletét! d) Mutassuk meg, hogy a magasságvonal áthalad az 푀ponton! e) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges derékszögű háromszög esetében igaz a d) állítás!

13. Egy háromszög csúcspontjai 퐴(2; 3);퐵(13; 4); 퐶(6; 9). Hol vannak azok a pontok a síkban, amelyekre 푃퐴 + 푃퐵 = 2 ∙ 푃퐶 ?

14. Egy kör átmérőjének végpontjai 퐴(−6; 11) és 퐵(4;−5). Írjuk fel a kör egyenletét!

15. Határozzuk meg a kör középpontjának koordinátáit és sugarát, ha egyenlete: a) 푥 + 푦 − 10푥 − 4푦 + 13 = 0 b) 푥 + 푦 + 8푥 + 7 = 0 c) 2푥 + 2푦 + 12푥 − 6푦 + 10 = 0 d) 푥 + 푦 − 6푥 + 9 = 0

16. Toljuk el az 푥 + 푦 − 16푥 + 2푦 + 40 = 0 egyenletű kört a 풗(−3; 5) vektorral! Írjuk fel az így

kapott kör egyenletét!

17. Adott az 푥 + 푦 − 6푥 + 8푦 − 56 = 0 egyenletű kör és az 푥 − 8,4 = 0 egyenletű egyenes. a) Számítsa ki a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit! b) Mekkora távolságra van a kör középpontja az egyenestől?

(Középszintű érettségi 2009. október)

18. Határozzuk meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek az 퐴(2;−3) ponttól 5 egység távolságra vannak és illeszkednek a 7푥 − 푦 = −8 egyenesre!

19. Írjuk fel az 푥 + 푦 − 10푥 + 4푦 − 36 = 0 egyenletű kör 푃(11;−6) belső pontján áthaladó legrövidebb illetve leghosszabb húrját tartalmazó egyenes egyenletét!

20. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelyik az y tengelyt a (0; 1) pontban metszi és érinti az 푦 = 푥 + 3és 푦 = 푥 − 1 egyenletű egyeneseket! (Írásbeli érettségi-felvételi feladat 1999.)

15

21. Adott az 푥 + 푦 + 6푥 + 4푦 − 3 = 0 egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa 퐴(1;−2) Számítsa ki a háromszög másik két csúcsának koordinátáit! (Emelt szintű érettségi 2011. május)

22. Az 퐴퐵퐶 háromszög beírt körének egyenlete (푥 − 6) + (푦 − 3) = 10 , az 퐴(8;−1) csúcsal szemközti oldal egyenlete 푎:−푥 + 3푦 = 13 .Határozzuk meg a háromszög hiányzó csúcsainak koordinátáit!

23. Határozzuk meg annak a 3 egység sugarú körnek az egyenletét, amely érinti az (푥 − 2) + (푦 − 3) = 4 és (푥 − 11) + (푦 + 6) = 100 köröket!

24. Írjuk fel a parabola egyenletét, ha a fókuszpontja a (4; −2) pont, vezéregyenesének egyenlete 푦 = −6!

25. Határozzuk meg az 푦 = 푥 egyenletű parabolának azokat a pontjait, amelyek az 퐴(−4;−5) és 퐵(−8; 3) pontoktól egyenlő távol vannak!

26. Írjuk fel az 푦 = 푥 parabola olyan húr egyenesének az egyenletét, amely áthalad az (5; 2) ponton és ez a pont a húrt felezi!

27. Igazoljuk, hogy az 푦 = 푚푥 + (푚 ≠ 0) egyenes az 푦 = 4푎푥(푎 ≠ 0) parabola érintője !

28. Milyen görbét írnak le az ordinátatengelyt és az 푥 + 푦 = 100 egyenletű kört érintő körök középpontjai?

29. Egy parabola fókuszpontja 퐹(0; 2), vezéregyenesének egyenlete 푣: 푦 = −2. A vezéregyenes 푃(3;−2) pontjából érintőket húzunk a parabolához. Határozzuk meg az érintési pontokat! Bizonyítsuk be, hogy a két érintési pont és a fókuszpont egy egyenesen van!

30. Adott az 푒: 푥 = −8 egyenletű egyenes, az 퐹 (−2; 0) és 퐹 (2; 0) pontok. Adjunk feltételt az olyan 푃(푥; 푦) pontok koordinátáira,

a) amelyek az 푒 egyenestől kétszer olyan messze vannak, mint az 퐹 ponttól! b) amelyeknek az 퐹 és 퐹 pontoktól mért távolságösszeges 8 egység !

Az ajánlott feladatok megoldásai 1. Adott az 풂(−5; 2); 풃(7; −4); 풄(0; 3); 풅(1; 6). Határozza meg a következő vektorok koordinátáit:

a) −풂 b) − 풃 c) 풂 + 2풃 d) 풂 − 풅 + 풄

e) 풂 풃 f) 풅 − 3풄 + a g) 풂 풃 풄 풅 h) 풂 풃 풄 풅 Megoldás:

a) (5; −2) b) −2 ; c) (9; −6) d) −3 ;−

16

e) −5 ;2 f) −6 ;0 g) −2 ; h) −6 ;

2. Egy háromszög csúcsai: 퐴(5; 2); 퐵(−3; 8); 퐶(10; 14). A háromszöget a koordináta-rendszer kezdőpontja körül +90°-kal elforgatva az 퐴 퐵 퐶 háromszöget kapjuk. Határozzuk meg az elforgatott háromszög csúcsainak koordinátáit!

Megoldás:

Ha az 푂퐴⃗(5; 2) vektort +90°-kal elforgatjuk, az 푂퐴⃗(−2; 5) vektort kapjuk. Így az elforgatott háromszög csúcsai: 퐴 (−2; 5); 퐵 (−8;−3); 퐶 (−14; 10).

3. Számítsuk ki az 풂(−7; 5) és 풃(2;−4) vektorok skaláris szorzatát és hajlásszögét!

Megoldás:

풂풃 = (−7) ∙ 2 + 5 ∙ (−4) = −34.

A két vektor szögét jelöljük φ-vel. Ekkor cos휑 = 풂풃|풂|∙|풃|

=√ ∙√

= −0,8838, 휑 = 152,10°.

4. Határozzuk meg a 푏 értéket úgy, hogy az 풂(−3; 12) és 풃(8; 푏) vektorok merőlegesek legyenek egymásra!

Megoldás:

Két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha skaláris szorzatuk 0. 풂풃 = (−3) ∙ 8 + 12푏 = 0, tehát 푏 = 2.

5. Egy négyszög csúcsainak koordinátái: 퐴(3;−6); 퐵(11;−1); 퐶(8; 4);퐷(3; 3). Bizonyítsuk be, hogy az 퐴퐵퐶퐷 négyszög átlói merőlegesek egymásra! Számítsuk ki a négyszög területét!

Megoldás:

퐴퐶⃗ = (5; 10);퐵퐷⃗ = (−8; 4), skaláris szorzatuk 5 ∙ (−8) + 10 ∙ 4 = 0. Ezért az 퐴퐶 és 퐵퐷 átló

merőleges. 퐴퐶 = √125; 퐵퐷 = √80. Ekkor a négyszög területe: 푇 = ∙ = √ ∙ = 50.

6. Az 퐴(2; 5) és 퐵(−7; 12) pontokat összekötő szakaszt a 푃;푄; 푅 pontok 4 egyenlő szakaszra osztják. Adjuk meg a 푃; 푄; 푅 pontok koordinátáit!

Megoldás:

A 푄 pont az 퐴퐵 szakasz felezőpontja, 푃 és 푅 az AB szakasz harmadoló pontjai:

푃 ∙ ; ∙ 푄 ; 푅 ∙ ; ∙

푃(−0,25; 6,75) 푄(−2,5; 8,5) 푅(−4,75; 10,25)

7. Az 퐴퐵퐶 háromszög két csúcsa 퐴(5;−4) és 퐵(13; 1), súlypontja 푆(7; 4). Határozzuk meg a 퐶 csúcs koordinátáit!

Megoldás:

A háromszög harmadik csúcsát keressük 퐶(푐 ; 푐 ) alakban. Ekkor : = 7 ; = 4. Tehát 푐 = 3; 푐 = 15.

17

8. Az 퐴(0; 0);퐵(9; 0); 퐶(11; 4); 퐷(2; 4) pontok egy paralelogrammát határoznak meg. A 푃 pont a 퐵퐶 oldal 퐶-hez közelebbi negyedelő pontja, a 푄 pont a 퐷퐶 szakasz 퐷-hez közelebbi harmadoló pontja.

a) Határozzuk meg annak a 퐻 pontnak a koordinátáit, amely az 퐴푃 szakaszt 2:1

arányban osztja! b) Határozzuk meg a 퐵푄 szakasz 퐹 felezőpontját! c) Mit tapasztalunk? Fogalmazzuk meg általánosan az észrevételünket!

Megoldás:

푃 ∙ ; ∙ = (10,5; 3) ;푄 ∙ ; ∙ = (5; 4) .

a) 퐻 ∙ 10,5; ∙ 3 = (7; 2)

b) 퐹 ; = (7; 2) c) A 퐻 és 퐹 pont egybeesik, az 퐴푃 és 퐵푄 szakasz metszéspontjával azonos. Ezzel

bizonyítottuk, hogy a metszéspont az 퐴푃 szakaszt negyedeli, a 퐵푄 szakaszt felezi. (Tetszőleges paralelogramma esetében teljesül ez a tulajdonság.)

9. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely a) átmegy a 푃(2;−5) ponton és normálvektora 풏(−5; 2); b) átmegy a 푃(−4; 6) ponton és irányvektora풗(−3; 1); c) átmegy a 푃(3;−2) ponton és a meredeksége 푚 = 1,2; d) átmegy az 퐴(2;−1) és a 퐵(6;−3) pontokon;

Megoldás:

a) −5푥 + 2푦 = −5 ∙ 2 + 2 ∙ (−5) = −20 b) 풗(−3; 1)풏(1; 3), így az egyenes egyenlete: 푥 + 3푦 = −4 + 3 ∙ 6 = 14 c) 푦 − (−2) = 1,2 ∙ (푥 − 3)푦 = 1,2푥 − 5,6 d) 푨푩⃗ = 풗(4;−2)풏(1; 2), az egyenes egyenlete: 푥 + 2푦 = 2 − 2 = 0

10. Egy háromszög egyik csúcsa A(3;−4), két magasságvonalának egyenlete 7x − 2y − 1 = 0 és 2x − 7y − 6 = 0. Határozzuk meg a hiányzó csúcspontok koordinátáit! Megoldás:

푚 :7푥 − 2푦 − 1 = 0 푚 :2푥 − 7푦 − 6 = 0

Az 퐴퐶 egyenes merőleges az 푚 magasságvonalra. 풏 = (2; 7) és 퐴(3;−4) adatokból az 퐴퐶 oldal egyenlete:

푏: 2푥 + 7푦 = −22

18

A 푏 egyenes és az 푚 magasságvonal metszéspontja a 퐶 pont. A megfelelő egyenletrendszer megoldásával kapjuk a 퐶(−4;−2) megoldást. Hasonlóan az 퐴퐵 egyenes egyenlete:

푐: 7푥 + 2푦 = 13 A 푐 egyenes és az 푚 magasságvonal metszéspontjaként kapjuk a 퐵(1; 3) pontot.

11. Egy paralelogramma két oldalegyenesének egyenlete x + 2y + 1 = 0, 2x + y − 3 = 0. Középpontja a (2;1) pont. Adjuk meg a csúcsok koordinátáit!

Megoldás:

Az 푎: 푥 + 2푦 + 1 = 0és 푑: 2푥 + 푦 − 3 = 0 egyenesek metszéspontja a paralelogramma 퐴 csúcsa.

Az egyenletrendszer megoldásával 퐴 ; . A paralelogramma átlói felezik egymást, ezért a

퐾(2; 1) pont az 퐴퐶 szakasz felezőpontja. Ez alapján megkapjuk a 퐶 ; csúcsot. A 퐵퐶oldal egyenese, a 푏 egyenes, párhuzamos a 푑 egyenessel és átmegy a 퐶 ponton.

푏: 2푥 + 푦 = 7 푎: 푥 + 2푦 = −1

Az 푎 és 푏 egyenesek metszéspontja a퐵(5; −3) pont.

19

퐷퐵 szakasz felezőpontja a 퐾 pont, Ezt a tulajdonságot felhasználva határozzuk meg a paralelogramma 퐷(−1; 5) csúcsát.

12. Egy derékszögű háromszög csúcspontjai: 퐴(5; 0);퐵(0; 3); 퐶(0; 0). Az ábra szerint a befogókra négyzeteket rajzolunk.

a) Írjuk fel az 퐴퐹 és 퐵퐸 egyenesek egyenletét! b) Határozzuk meg a két egyenes 푀 metszéspontját! c) Írjuk fel a derékszögű háromszög 퐶 csúcsából induló magasság egyenesének

egyenletét! d) Mutassuk meg, hogy a magasságvonal áthalad az 푀ponton! e) Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges derékszögű háromszög esetében igaz a d) állítás!

Megoldás:

a) Az 퐴és 퐹 pontokon átmenő 푓 egyenes egyenlete: 푓: 3푥 + 8푦 = 15 A 퐵 és 퐸 pontokon átmenő 푒 egyenes egyenlete: 푒: 8푥 + 5푦 = 15

b) Az 푓 és 푒 egyenesek egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásával megkapjuk a

metszéspontot: 푀 ; .

c) A magasságvonal normálvektora 퐵퐴⃗ = (5;−3), Átmegy az 푂(0; 0) ponton, így az egyenlete: 푚: 5푥 − 3푦 = 0.

d) Az 푀 ; pont koordinátát behelyettesítjük az 푚 egyenes egyenletébe:

5 ∙ − 3 ∙ = 0 , így az 푀pont illeszkedik a magasságvonalra. e) Paramétereket használva: 퐴(푎; 0) és 퐵(0; 푏) az átfogó két végpontja:

푓: 푏푥 + (푎 + 푏)푦 = 푎푏 푒: (푎 + 푏)푥 + 푎푦 = 푎푏

Ma푏

a + 푎푏 + 푏;

푎 푏a + 푎푏 + 푏

푚: 푎푥 − 푏푦 = 0 Ekkor is igaz, hogy az 푀 pont koordinátáit az 푚 egyenes egyenletébe helyettesítve azonosságot kapunk, tehát az 푀 pont illeszkedik az 퐶 csúcsból induló magasságvonalra.

20

13. Egy háromszög csúcspontjai 퐴(2; 3);퐵(13; 4); 퐶(6; 9). Hol vannak azok a pontok a síkban, amelyekre 푃퐴 + 푃퐵 = 2 ∙ 푃퐶 ?

Megoldás:

A 푃(푥; 푦) pontra a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha: (푥 − 2) + (푦 − 3) + (푥 − 13) + (푦 − 4) = 2 ∙ (푥 − 6) + 2 ∙ (푦 − 9) .

Az egyenletet rendezve egy egyenes egyenletét kapjuk: 푒: 3푥 − 11푦 = −18.

Ez azt jelenti, hogy a keresett pontok egy egyenesen helyezkednek el.

14. Egy kör átmérőjének végpontjai 퐴(−6; 11) és 퐵(4;−5). Írjuk fel a kör egyenletét!

Megoldás:

Az 퐴퐵 szakasz felezőpontja a kör 푂(−1; 3) középpontja, sugara pedig az 퐴푂 szakasz: √89. A kör egyenlete:

푘:(푥 + 1) + (푦 − 3) = 89.

15. Határozzuk meg a kör középpontjának koordinátáit és sugarát, ha egyenlete: a) 푥 + 푦 − 10푥 − 4푦 + 13 = 0 b) 푥 + 푦 + 8푥 + 7 = 0 c) 2푥 + 2푦 + 12푥 − 6푦 + 10 = 0 d) 푥 + 푦 − 6푥 + 9 = 0

Megoldás:

Az adott egyenleteket teljes négyzetté kiegészítéssel átalakítjuk: a) 푥 − 2 ∙ 5 ∙ 푥 + 25 + 푦 − 2 ∙ 2푦 + 4 = 25 + 4 − 13

(푥 − 5) + (푦 − 2) = 16 A kör középpontja 푂(5; 2), sugara 푟 = 4.

b) 푥 + 푦 + 8푥 + 7 = 0 푥 + 2 ∙ 4 ∙ 푥 + 16 + 푦 = 16 − 7 (푥 + 4) + 푦 = 9 A kör középpontja 푂(−4; 0), sugara 푟 = 3.

c) 2푥 + 2푦 + 12푥 − 6푦 + 10 = 0, az egyenletet 2-vel osztjuk: 푥 + 푦 + 6푥 − 3푦 + 5 = 0 푥 + 2 ∙ 3 ∙ 푥 + 9 + 푦 − 2 ∙ 1,5푦 + 2,25 = 9 + 2,25 − 5 (푥 + 3) + (푦 − 1,5) = 6,25 A kör középpontja 푂(−3; 1,5), sugara 푟 = 2,5.

d) 푥 + 푦 − 6푥 + 9 = 0 (푥 − 3) + 푦 = 0 Ezt az egyenletet egyetlen pont, a (3; 0) pont elégíti ki, tehát nem kör egyenlete.

16. Toljuk el az 푥 + 푦 − 16푥 + 2푦 + 40 = 0 egyenletű kört a 풗(−3; 5) vektorral! Írjuk fel az így kapott kör egyenletét!

Megoldás:

Átalakítjuk az adott egyenletet, meghatározzuk a kör középpontját és sugarát: 푘: (푥 − 8) + (푦 + 1) = 64 + 1 − 40 = 25

21

A kör középpontja 푂(8;−1), sugara 5 egység. A kör középpontját eltoljuk az adott vektorral, sugara az eltolás során változatlan marad:

푂 (8 − 3;−1 + 5) = (5; 4).

Az eltolás után a kör egyenlete: 푘 :(푥 − 5) + (푦 − 4) = 25.

17. Adott az 푥 + 푦 − 6푥 + 8푦 − 56 = 0 egyenletű kör és az 푥 − 8,4 = 0 egyenletű egyenes. a) Számítsa ki a kör és az egyenes közös pontjainak koordinátáit! b) Mekkora távolságra van a kör középpontja az egyenestől?

(Középszintű érettségi 2009. október)

Megoldás:

a) A közös pont első koordinátája 푥 = 8,4. A kör egyenletébe ezt az értéket behelyettesítve, az 푦 + 8푦 − 35,84 = 0 egyenletet megoldva megkapjuk a kör és egyenes két közös pontjait: 푃 (8,4; 3,2) és 푃 (8,4;−11,2).

b) A kör egyenlete 푘:(푥 − 3) + (푦 + 4) = 81, a kör középpontja 푂(3;−4). Ez a pont az 푥 = 8,4 egyenletű egyenestől 8,4 − 3 = 5,4 egység távolságra van.

18. Határozzuk meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek az 퐴(2;−3) ponttól 5 egység távolságra vannak és illeszkednek a 7푥 − 푦 = −8 egyenesre!

Megoldás:

Az 퐴 ponttól 5 egységre lévő pontok a 푘: (푥 − 2) + (푦 + 3) = 25 egyenletű egyenesen vannak. A kör és az egyenes egyenletéből álló egyenletrendszernek két megoldása van, így két ilyen pont létezik: 푃 (−1; 1) és 푃 (−2;−6) .

19. Írjuk fel az 푥 + 푦 − 10푥 + 4푦 − 36 = 0 egyenletű kör 푃(11;−6) belső pontján áthaladó legrövidebb illetve leghosszabb húrját tartalmazó egyenes egyenletét!

Megoldás:

22

A kör egyenlete: 푘: (푥 − 5) + (푦 + 2) = 65, a kör középpontja 푂(5;−2). A legrövidebb húrt akkor kapjuk, ha az 푂푃 szakaszra merőleges húrt veszünk, a leghosszabb pedig az 푂푃–re illeszkedő átmérő. Az 푂푃⃗ = (6;−4) az első egyenes (푒) normálvektora, a második egyenes (푓) irányvektora, és illeszkednek a 푃 pontra, tehát:

푒: 3푥 − 2푦 = 45 푓: 2푥 + 3푦 = 4

20. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelyik az 푦-tengelyt a (0; 1) pontban metszi és érinti az 푦 = 푥 + 3 és 푦 = 푥 − 1 egyenletű egyeneseket! (Írásbeli érettségi-felvételi feladat 1999.)

Megoldás:

A keresett kör középpontja egyenlő távol van a két adott egyenestől, ezért az ábra szerint rajta van az 푒 és 푓 egyenesek közép-párhuzamosán, ennek egyenlete: 푔: 푦 = 푥 + 1. Az 푒 és 푔 párhuzamos egyenesek távolsága megadja a kör sugarát, például az 푒 egyenes (0; 3) pontjának távolsága a 푔 egyenestől √2. A kör átmegy az 퐴(0; 1) ponton, tehát a keresett kör középpontja rajta van az 퐴 középpontú, √2 sugarú 푘: 푥 + (푦 − 1) = 2 körvonalon. A 푘kör és a 푔 egyenes metszéspontjait a megfelelő egyenletrendszer megoldásával megkapjuk: 푂 (1; 2) és 푂 (−1; 0). A két kör egyenlete:

푘 :(푥 − 1) + (푦 − 2) = 2 푘 :(푥 + 1) + 푦 = 2

21. Adott az 푥 + 푦 + 6푥 + 4푦 − 3 = 0 egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa 퐴(1;−2) Számítsa ki a háromszög másik két csúcsának koordinátáit! (Emelt szintű érettségi 2011. május)

Megoldás:

Teljes négyzetté kiegészítéssel meghatározzuk a kör középpontját, amely egyben a szabályos háromszög súlypontja is: (푥 + 3) + (푦 + 2) = 16, 푂(−3;−2). A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadoló pontja, így a 퐵퐶 oldal felezőpontja 퐹(−5;−2).A 퐵퐶 oldal merőleges az 퐴퐹

23

szakaszra, ezért egyenlete: 푓: 푥 = −5. A kör és az egyenes közös pontjaira: 푦 = −2 + 2√3 ; 푦 = −2 − 2√3 adódik, tehát a szabályos háromszög hiányzó csúcsai 퐵 −5;−2 + 2√3 és 퐶 −5;−2 − 2√3 .

22. Az 퐴퐵퐶 háromszög beírt körének egyenlete (푥 − 6) + (푦 − 3) = 10 , az 퐴(8;−1) csúccsal szemközti oldal egyenlete 푎:−푥 + 3푦 = 13. Határozzuk meg a háromszög hiányzó csúcsainak koordinátáit!

Megoldás:

Ellenőrizhető, hogy az 푎 egyenes valóban érinti az adott kört. Az 퐴 pontból érintőket húzunk az adott körhöz. Az érintési pontok az 푂퐴 szakasz Thalész-körén vannak. Ennek a körnek a középpontja az 푂퐴 szakasz 퐹(7; 1) felezőpontja, sugara 푂퐹 = √5, így a Thalész-kör egyenlete: 푘 = (푥 − 7) + (푦 − 1) = 5. A 푘 és 푘 egyenletekből álló egyenletrendszert megoldjuk: a két egyenletet kivonva és rendezve 푥 = 2푦 + 5. A 푘 egyenletbe behelyettesítünk. 푘 = (2푦 − 2) + (푦 − 1) = 5. Az egyenletrendszert megoldva: 푦 = 2 és 푦 = 0; 푥 = 9 és 푥 = 5. Az érintési pontok 퐸 = (9; 2) és 퐸 = (5; 0). A 푐 oldalegyenes átmegy az 퐴 és 퐸 pontokon, egyenlete 3푥 − 푦 = 25. Az 푎 és 푐 egyenesek metszéspontja a 퐵(11; 8) csúcs. Hasonlóan a 푏: 푥 + 3푦 = 5 egyenes és az 푎 egyenes metszéspontjaként a harmadik csúcs 퐶(−4; 3).

24

23. Határozzuk meg annak a 3 egység sugarú körnek az egyenletét, amely kívülről érinti az (푥 − 2) + (푦 − 3) = 4 és (푥 − 11) + (푦 + 6) = 100 köröket!

Megoldás:

A körök középpontjait az 푂 középpontú 5 egység sugarú 푘 és az 푂 középpontú 13 egység sugarú 푘 kör metszéspontjaiként kapjuk meg:

푘 :(푥 − 2) + (푦 − 3) = 25 푘 :(푥 − 11) + (푦 + 6) = 169

A két egyenletet kivonjuk: 18푥 − 18푦 − 144 = −144

푥 = 푦

Visszahelyettesítjük a 푘 egyenletbe és rendezzük: 푥 − 5푥 − 6 = 0

A másodfokú egyenletet megoldva megkapjuk a keresett körök középpontjait:퐴(−1;−1); 퐵(6; 6). Felírjuk a körök egyenletét:

푎:(푥 + 1) + (푦 + 1) = 9 푏:(푥 − 6) + (푦 − 6) = 9

Létezik két olyan 3 egység sugarú kör is, amelyet a 푘 kör belülről, a 푘 kör kívülről érint. Ezeknek az egyenlete hasonló módszerrel adható meg.

24. Írjuk fel a parabola egyenletét, ha a fókuszpontja a (3; −2) pont, vezéregyenesének egyenlete 푦 = −6 !

Megoldás: Legyen a parabola egy pontja 푃(푥; 푦). Ez a pont a fókuszponttól és a vezéregyenestől egyenlő távol van:

25

(푥 − 3) + (푦 + 2) = |푦 + 6|

Mindkét oldal pozitív, ezért a négyzetre emelhetünk és rendezés után megkapjuk a parabola egyenletét:

푦 =(푥 − 3)

8− 4

Megjegyzés:

A parabola egyenletében szereplő állandókat használva: a parabola paramétere a fókuszpont és a vezéregyenes távolsága,푝 = 4. A parabola csúcspontja 푇(3;−4). Ezek alapján a parabola egyenlete: 8 ∙ (푦 + 4) = (푥 − 3) .

25. Határozzuk meg az 푦 = 푥 egyenletű parabolának azokat a pontjait, amelyek az 퐴(−4;−5) és 퐵(−8; 3) pontoktól egyenlő távol vannak!

Megoldás:

Az 퐴 és 퐵 pontoktól egyenlő távol lévő pontok az 퐴퐵 szakasz felező merőlegesén vannak: 푓: − 푥 + 2푦 = 4

Az 푓 egyenes és a parabola egyenletéből álló egyenletrendszert megoldjuk:

−푥 + 2 ∙14푥 = 4

A 푃 (4; 4) és 푃 (−2; 1) pontok adják a megoldást.

26. Írjuk fel az 푦 = 푥 parabola olyan húr egyenesének az egyenletét, amely áthalad az (5; 2) ponton és ez a pont a húrt felezi!

Megoldás:

A 푃 푃 húr felezőpontja az 퐴(5; 2) pont. Ha a푃 pontot az 퐴 pontra tükrözzük, akkor a 푃 pontot kapjuk. A 푃 pont rajta van az 푦 = 푥 egyenletű parabolán, ezért a 푃 pont a parabola 퐴 pontra való tükörképén lesz. A parabola (0; 0) csúcspontját az 퐴(5; 2) pontra tükrözve a (10; 4) pontot kapjuk. A tükrözéssel a parabola paramétere nem változik, de a tükörkép egy lefelé álló parabola lesz, így egyenlete: 푦 = − (푥 − 10) + 4. A 푃 és 푃 pont a két parabola két közös pontja.

푦 =120

푥

26

푦 = −120

(푥 − 10) + 4

A fenti egyenleteket összeadjuk és rendezzük: 2푦 = 푥 − 1

푒:푥 − 2푦 = 1 Ez utóbbi egy egyenes egyenlete, amelyre a 푃 és 푃 pontok illeszkednek. Így ez lesz a keresett egyenes egyenlete.

Megjegyzés: Az egyenletrendszer megoldásával megkaphatjuk a húr végpontjait pontosan is:

푃 5 − √15; 5 − √15 ; 푃 5 + √15; 5 + √15 .

27. Igazoljuk, hogy az 푦 = 푚푥 + (푚 ≠ 0) egyenes az 푦 = 4푎푥(푎 ≠ 0) parabola érintője !

Megoldás:

Az egyenes és a parabola közös pontjait a megfelelő egyenletrendszer megoldásával kapjuk meg:

푚푥 +푎푚

= 4푎푥

푚 푥 + 2푎푥 +푎푚

= 4푎푥

푚 푥 − 2푎푥 +푎푚

= 0

푚푥 −푎푚

= 0

푚푥 =푎푚

푥 =푎푚

푦 =2푎푚

Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, az egyenes a parabolát az 퐸 ; pontban érinti.

28. Milyen görbét írnak le az 푥-tengelyt és az 푥 + 푦 = 100 egyenletű kört érintő körök középpontjai?

Megoldás:

27

Azokat a köröket vizsgáljuk először, amelyek az I vagy II síknegyedben belülről érintik az adott kört. Ha a keresett kör középpontja 푂(푥; 푦), akkor a kör sugara 푦, az érintkezés feltétele miatt az 푂 pont az origótól 10 − 푦távolságra van, tehát:

푥 + 푦 = (10 − 푦) Átalakítva és rendezve:

푦 = 5 − 푥 . Egy parabola egyenletét kaptuk, amelynek a körön belüli darabján vannak a belülről érintkező körök középpontjai. Ha ugyanezt a gondolatmenetet a III. és IV. síknegyedre alkalmazzuk, akkor az

푦 =120

푥 − 5

parabolát kapjuk. Ha a kört kívülről érintő köröket is megvizsgáljuk, akkor a parabolák, körön kívüli darabjait kapjuk. Így a két parabola vonal a keresett ponthalmaz, a körvonalon lévő pontokat tekinthetjük 0 sugarú körök középpontjainak.

29. Egy parabola fókuszpontja 퐹(0; 2), vezéregyenesének egyenlete 푣: 푦 = −2 . A vezéregyenes 푃(3;−2) pontjából érintőket húzunk a parabolához. Határozzuk meg az érintési pontokat! Bizonyítsuk be, hogy a két érintési pont és a fókuszpont egy egyenesen van!

Megoldás:

A parabola paramétere 4, így egyenlete: 8푦 = 푥 .

A 푃 ponton átmenő egyenesek közül azokat keressük, amelyeknek a parabolával egy közös pontjuk van és nem párhuzamosak a parabola tengelyével. Jelöljük az ilyen egyenes meredekségét m-mel:

푒: 푦 + 2 = 푚(푥 − 3) A parabola egyenletét figyelembe véve keressük a közös pontokat:

18푥 + 2 = 푚푥 − 3푚

푥 − 8푚푥 + 24푚 + 16 = 0 Az egyenletnek akkor van egy megoldása, ha a diszkrimináns 0:

64푚 − 96푚 − 64 = 0

28

Innen 푚 = 2 vagy 푚 = −0,5. Az érintők egyenlete 푒 : 2푥 − 8 illetve 푒 :−0,5푥 − 0,5, az érintési pontok: 퐴(8; 8) és 퐵(−2; 0,5). Az 퐹퐴⃗(8; 6) = 4 ∙ 퐵퐹⃗(2; 1,5), így a vektorok párhuzamosak, ezért a 퐵, 퐹, 퐴 pontok egy egyenesen vannak.

Megjegyzés: A feladat állítása a vezéregyenes minden pontjára igaz bármely parabola esetében.

30. Adott az 푒: 푥 = −8 egyenletű egyenes, az 퐹 (−2; 0) és 퐹 (2; 0) pontok. Adjunk feltételt az olyan 푃(푥; 푦) pontok koordinátáira,

a) amelyek az 푒 egyenestől kétszer olyan messze vannak, mint az 퐹 ponttól! b) amelyeknek az 퐹 és 퐹 pontoktól mért távolságösszege 8 egység!

Megoldás:

a) A 푃(푥; 푦) pont akkor és csak akkor felel meg a feltételeknek, ha

2 ∙ (푥 + 2) + 푦 = 푥 + 8 4푥 + 16푥 + 16 + 4푦 = 푥 + 16푥 + 64

3푥 + 4푦 = 48 Ez az egyenlet egy ellipszist határoz meg, amelyet

푥16

+푦12

= 1

alakban szoktak megadni. b) A 푃(푥; 푦) pont akkor és csak akkor felel meg a feltételeknek, ha

(푥 + 2) + 푦 + (푥 − 2) + 푦 = 8 (푥 + 2) + 푦 = 8 − (푥 − 2) + 푦

푥 + 4푥 + 4 + 푦 = 64 + 푥 − 4푥 + 4 + 푦 − 16 (푥 − 2) + 푦 16 (푥 − 2) + 푦 = 64 − 8푥 2 (푥 − 2) + 푦 = 8 − 푥

4푥 − 16푥 + 16 + 4푦 = 64 − 16푥 + 푥 3푥 + 4푦 = 48 푥16

+푦12

= 1

Ugyanazt az ellipszist kapjuk, mint az a) feladatrészben.

29

IV. Ellenőrző feladatok

1. 퐴(3; 7); 퐵(1; 1) ; 퐶(8;−4). Határozza meg az 퐴퐵퐶 háromszögben az 퐴 csúcsából induló magasságvonal egyenletét! Írja fel az 퐴 csúcsból induló súlyvonal egyenletét!

2. Határozza meg az 푒:6푥 − 8푦 = 5 egyenesnek és az 푓:3푥 − 4푦 = −1egyenesnek a távolságát!

3. Vannak-e párhuzamos vagy merőleges egyenesek az alábbi egyenesek között?

푒:푥 + 2푦 + 1 = 0 푓:6푥 − 3푦 = 5 푔:푦 = 2푥 − 1 ℎ:4푥 + 8푦 + 7 = 0

4. Bizonyítsa be, hogy a (6; 2), (13; 1) , (12; −6), (1;−8) pontok egy deltoid csúcsai. Számítsa ki a deltoid területét!

5. Az 퐴퐵퐶퐷 rombusz 퐴 csúcsának koordinátái (−1; 3), a rombusz középpontja 푂(2; 1). Az 퐴퐵 oldal egyik pontja 푃(0; 2). Határozza meg a rombusz csúcsainak a koordinátáit!

6. Határozza meg az 푥 + 푦 − 6푥 − 4푦 − 3 = 0egyenletű kör 푃(1; 3) pontra vonatkozó tükörképének egyenletét!

7. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a (2; 11) és a (10; 11) pontokon és érinti az 푥 + 푦 = 5 egyenest!

8. Egy derékszögű háromszög átfogójának egyik végpontja 퐴(−2; 2), a másik végpontja a 퐵 pont, amelynek ordinátája 4. Az egyik befogó egyenlete 푥 + 푦 = 10. Számítsa ki az átfogóhoz tartozó magasság hosszát!

9. Egy parabola egy pontja a 푃(5; 2), csúcspontjának a koordinátái (3; −2). A parabola tengelye párhuzamos az 푦 tengellyel. Írja fel a parabola egyenletét!

10. Az 퐴퐵퐶퐷 négyzet 퐶 csúcsa az푦 = 푥 − 5푥 + 8,25egyenletű parabola csúcsában, 퐵 és 퐷 szintén a parabolán van. Adja meg a négyzet csúcsainak a koordinátáit!

Ellenőrző feladatok megoldásai 1. 퐴(3; 7); 퐵(1; 1) ; 퐶(8;−4). Határozza meg az 퐴퐵퐶 háromszögben az 퐴 csúcsából induló

magasságvonal egyenletét! Írja fel az 퐴 csúcsból induló súlyvonal egyenletét!

Megoldás: A magasságvonal egyenlete: 푚 :7푥 − 5푦 = −14 A súlyvonal egyenlete: 푠 : 17푥 + 3푦 = 72

2. Határozza meg az 푒:6푥 − 8푦 = 5 egyenesnek és az 푓:3푥 − 4푦 = −1 egyenesnek a távolságát!

Megoldás: Az 푒 egyenes valamely pontjából merőlegest bocsátunk az 푓 egyenesre. A merőleges összekötő szakasz hossza adja meg a két párhuzamos egyenes távolságát: 0,7 egység.

3. Vannak-e párhuzamos vagy merőleges egyenesek az alábbi egyenesek között?

30

푒:푥 + 2푦 + 1 = 0 푓:6푥 − 3푦 = 5 푔:푦 = 2푥 − 1 ℎ:4푥 + 8푦 + 7 = 0

Megoldás: Az irányvektorok, a normálvektorok vagy az iránytényezők összehasonlításával dönthetjük el a kérdést.Az alábbi táblázat tartalmazza ezeket az adatokat mindegyik egyenes esetében: e f g h normálvektor (1; 2) (2; −1) (2; −1) (1; 2) irányvektor (2; −1) (1; 2) (1; 2) (2; −1) iránytényező −0,5 2 2 −0,5 Ez alapján 푒 és ℎ párhuzamos, 푓 és 푔 párhuzamos, 푒 és ℎ merőleges 푓-re és 푔 –re.

4. Bizonyítsa be, hogy a (6;2), (13;1) , (12;-6), (1;-8) pontok egy deltoid csúcsai. Számítsa ki a deltoid területét!

Megoldás: Az 퐴(6; 2), 퐵(13; 1) , 퐶(12;−6), 퐷(1;−8) betűzéssel 퐴퐵 = 퐵퐶 = √50, 퐶퐷 = 퐷퐴 = √125, a pontok valóban deltoidot határoznak meg. A területet az átlók hosszának felhasználásával számoljuk ki.

푇 =퐴퐶 ∙ 퐵퐷

2=10 ∙ 152

= 75.

5. Az 퐴퐵퐶퐷 rombusz 퐴 csúcsának koordinátái (−1; 3), a rombusz középpontja 푂(2; 1). Az 퐴퐵 oldal egyik pontja 푃(0; 2). Határozza meg a rombusz csúcsainak a koordinátáit!

Megoldás: Az 푂 pont az 퐴퐶 átló felezőpontja, ebből meghatározható a C pont koordinátái : (5; −1). A rombusz átlói merőlegesen felezik egymásra, ezért a 퐵 pont az 퐴퐶 felező merőlegesén van, amelynek az egyenlete: 푓: 3푥 − 2푦 = 4. Az 퐴 és 푃 pontokon átmenő egyenes egyenlete 푎: 푥 + 푦 = 2. Az 푎 és 푓 egyenes metszéspontja a 퐵(1,6; 0,4) pont. A 퐵 pontot 푂-ra tükrözve megkapjuk a rombusz 퐷(2,4; 1,6) csúcsát.

6. Határozza meg az x + y − 6x − 4y − 3 = 0egyenletű kör 푃(1; 3) pontra vonatkozó tükörképének egyenletét!

Megoldás: Az kör egyenletét átalakítva:

(푥 − 3) + (푦 − 2) = 16 meghatározzuk a kör 푂(3; 2) középpontját és 푟 = 4 sugarát. A középpontot tükrözve felírjuk a tükörkép egyenletét:

(푥 + 1) + (푦 − 4) = 16 .

7. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a (2; 11) és a (10; 11) pontokon és érinti az 푥 + 푦 = 5 egyenest!

1. Megoldás:

31

A kör középpontja egyenlő távol van az 퐴(2; 11) és 퐵(10; 11) pontoktól, ezért rajta van az 퐴퐵 szakasz 푓: 푥 = 6 felezőmerőlegesén. Így a keresett kör középpontját 푂(6; 푣) alakban keressük. Az 퐴푂 távolság, a kör sugara, (6 − 2) + (11 − 푣) . Így a kör egyenletét

푘:(푥 − 6) + (푦 − 푣) = 16 + (11 − 푣)

formában írjuk fel. Azt a 푣 értéket keressük, amelyre a körnek az 푥 + 푦 = 5 egyenletű egyenessel egy közös pontja van. Ezt az összefüggést a 푘 kör egyenletébe behelyettesítve és rendezve az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

푦 + 푦(1 − 푣) + 11푣 − 68 = 0.

Akkor van egy megoldásunk, ha az egyenlet diszkriminánsa 0:

퐷 = (1 − 푣) − 44푣 + 272 = 0.

Innen 푣 = 7 vagy 푣 = 39 adódik. Ezekkel az értékekkel két kört kaptunk:

푘 :(푥 − 6) + (푦 − 7) = 32

푘 :(푥 − 6) + (푦 − 39) = 800

2. Megoldás:

Az 푥 + 푦 = 5 egyenes a keresett körnek érintője, az 퐴퐵 egyenes a kör szelője. A szelő és érintő metszéspontja a 푃(−6; 11) pont. Alkalmazhatjuk a szelőtételt: az érintőszakasz négyzete megegyezik a 푃퐴 ∙ 푃퐵 = 128 szorzattal. Így az érintési pont a 푃 középpontú, √128sugarú körnek és az érintőnek a metszéspontjaként határozható meg:

(푥 + 6) + (푦 − 11) = 128

푥 + 푦 = 5

Az egyenletrendszer megoldásából két érintési pontot kapunk: 퐸 (2; 3) és 퐸 (−14; 19). Az érintési pontokban az érintőre merőlegest állítunk. A merőlegesek az 퐴퐵 szakasz felezőmerőlegeséből, 푓: 푥 = 6, kimetszik a körök középpontjait: 푂 (6; 7) és 푂 (6; 39). A sugár kiszámítása után felírhatjuk a körök egyenletét:

푘 :(푥 − 6) + (푦 − 7) = 32

푘 :(푥 − 6) + (푦 − 39) = 800

32

8. Egy derékszögű háromszög átfogójának egyik végpontja 퐴(−2; 2), a másik végpontja a 퐵 pont, amelynek ordinátája 4. Az egyik befogó egyenlete 푥 + 푦 = 10. Számítsa ki az átfogóhoz tartozó magasság hosszát!

Megoldás:

Az 퐴 pont nincs rajta az adott befogón, így a befogó a 퐵 pontra illeszkedik, a 퐵 pont első koordinátája meghatározható, 푥 = 6. A háromszög derékszögű csúcsa rajta van az 퐴퐵 átmérőjű Thalész-körön:

푘:(푥 − 2) + (푦 − 3) = 17.

A Thalész-kör és az adott befogó két metszéspontja közül az egyik a 퐵(6; 4) pont, a másik pedig a háromszög derékszögű csúcsa: 퐶(3; 7).

9. Egy parabola egy pontja a 푃(5; 2), csúcspontjának a koordinátái (3; −2). A parabola tengelye párhuzamos az 푦 tengellyel. Írja fel a parabola egyenletét!

Megoldás:

A parabola egyenlete 푦 = 푎(푥 − 3) − 2 alakban adható meg. Azt az 푎 paramétert keressük, amelyre a 푃(5; 2) pont illeszkedik a parabolára. A 푃 pont koordinátáit behelyettesítve 푎 = 1, tehát a parabola egyenlete: 푦 = (푥 − 3) − 2.

10. Az 퐴퐵퐶퐷 négyzet 퐶 csúcsa azy = x − 5x + 8,25egyenletű parabola csúcsában, 퐵 és 퐷 szintén a parabolán van. Adja meg a négyzet csúcsainak a koordinátáit!

Megoldás:

A parabola egyenlete átalakítva: y = (x − 2,5) + 2, tehát a parabola csúcspontja a 퐶(2,5; 2) pont. Szimmetria miatt a 퐵퐶 oldal meredeksége 1, a 퐷퐶 oldal meredeksége -1. Ezeknek az oldalaknak az egyenlete felírható, és a parabolával való metszéspontból megkapjuk a 퐵(3,5; 3) és 퐷(1,5; 3) pontokat. 퐶퐷⃗(−1; 1) = 퐵퐴⃗ , így 퐴(2,5; 4).