İşaret ve Sistemler

Ders 7: Konvolüsyon (Evrişim)

Konvolüsyon (Evrişim)

Konvolüsyon(convolution) uzun yıllardır bilinen

ve uygulanan matematiksel bir işlem olmakla

birlikte bu işlemi tanımlamak için matematikte

çok çeşitli terimler kullanılmıştır.

Örneğin; yığışım tümlemesi (superposition

integral), tarama (scanning) tümlemesi,

Duhamel tümlemesi, yuvarlatma (smoothing)

tümlemesi, ağırlıklı ortalama ve katlama

(folding) tümlemesi olarak kullanılabilmektedir.

İşaret ve Sistemler 2

Konvolüsyon nedir? Konvolüsyon, birim dürtü yanıtı (h(t)) olarak

bilinen bir sistemin, x(t) giriş işaretine karşılık

üreteceği y(t) çıkış işaretini zaman domeninde

bulmaya yarayan bir işlemdir.

İşaret ve Sistemler 3

Konvolüsyon nedir? Konvolüsyon işlemi * sembolü ile gösterilir ve

bir boyutlu sürekli zamanlı konvolüsyon işlemi

aşağıdaki formül ile hesaplanır:

y(t) = x(t) * h(t)

İşaret ve Sistemler 4

dtxhty

dthxty

)( ).()(

)( ).()(

Konvolüsyon nedir? Benzer şekilde ayrık konvolüsyon işlemi;

HATIRLATMA

Konvolüsyon işleminin uygulanabilmesi için

sistemin lineer ve zamanla değişmeyen

olması gerekmektedir.

İşaret ve Sistemler 5

k

k

knxkhny

knhkxnhnxny

)().()(

)().()(*)()(

Sürekli Zaman Fonksiyonlarının Konvolüsyonu

Zaman sürekli fonksiyonları olan f1(t) ve f2(t)

gibi iki fonksiyonun konvolüsyonu matematikte,

formülü ile tanımlanır ve konvolüsyon

tümlemesi (convolution integral) adı verilir.

Konvolüsyon (convolved) fonksiyonu da bir

zaman fonksiyonudur.

İşaret ve Sistemler 6

dtfftffFfFF )( ).()()().( 2121

1

Konvolüsyon simgesel olarak (*) işaretiyle de

gösterildiği için f(t) fonksiyonu,

biçiminde yazılabilir.

Konvolüsyona giren f1(t) fonksiyonunun t=0

zamanından önce tanımlanmamış olması durumunda

(causal-nedensel) integralin alt sınırı sıfır değerinden

başlar ve aşağıdaki bağıntıyla gösterilir.

İşaret ve Sistemler 7

Sürekli Zaman Fonksiyonlarının Konvolüsyonu

dtfftf )( ).()( 2

0

1

f2(t-τ) fonksiyonunun da t=0 zamanından önce

tanımlanmamış olması durumunda konvolüsyon

integralinin üst sınırı t değerini alacaktır.

Dolayısıyla ifade aşağıdaki yeni halini alacaktır.

İşaret ve Sistemler 8

Sürekli Zaman Fonksiyonlarının Konvolüsyonu

dtfftf

t

)( ).()( 2

0

1

1. Değişme Özelliği:

İşaret ve Sistemler 9

Konvolüsyon Özellikleri

ddu

uttu

duumutmdtmm

tmtmtmtm

))(( ).()( ).(

)(*)()(*)(

2121

1221

)(*)()( ).( 1221 tmtmduumutm

2. Dağılma Özelliği:

İşaret ve Sistemler 10

Konvolüsyon Özellikleri

)(*)()(*)()()(*)( 3121321 tmtmtmtmtmtmtm

3. Birleşme Özelliği:

)(*)(*)()(*)(*)( 321321 tmtmtmtmtmtm

4. Lineerlik Özelliği:

)(*)(

)( ).()( ).(.

)(*)()(*)(.

21

2121

2121

tmtma

dtmmadtmma

tmtmatmtma

Konvolüsyonun diğer bir özelliği, birim dürtü işareti ile

herhangi bir işaretin konvolüsyonunun işaretin kendisini

vermesidir:

İşaret ve Sistemler 11

Konvolüsyonun Özellikleri

)()( ).(

)( ).()(*)(

)()(*)(

1

0

1

11

11

tmdtm

dtmttm

tmttm

t

Konvolüsyon İntegrali

Konvolüsyon işlemi 4 adımdan oluşmaktadır.

1. h(t) dürtü tepkisi zamana göre ters çevrilerek h(-t) elde edilir. Daha sonra t parametreli, τ’nun bir fonksiyonu olan, h(t-τ) oluşturmak için t birim kaydırılır.

2. t parametresi sabit tutularak x(τ) ve h(t- τ) sinyalleri, τ’nun tüm değerleri ile çarpılır.

3. y(t) çıkışının tek bir değerini üretmek için x(τ).h(t-τ) çarpımı tüm τ değerleri için hesaplanır.

4. y(t) çıkışının tüm değerlerini üretmek için τ’nun -∞'dan +∞'a kadar olan değerleri ile 1-3 adımları tekrarlanır.

İşaret ve Sistemler 12

dthxthtxty )( ).()(*)()(

Konvolüsyon Toplamı

toplamı konvolüsyon veya süperpozisyon

toplamı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir:

y[n] = x[n] * h[n]

Konvolüsyon: h[k]’yı ters çevirir, n’nin her bir değeri için h[k]’yı

öteleyerek x[n] sinyalinden geçirilir.

Ayrık Zamanlı Doğrusal Sistem

İşaret ve Sistemler 13

Konvolüsyon Örnek 1

İşaret ve Sistemler 14

Konvolüsyon Örnek 2

Aşağıdaki şekilde gösterilen p(t) birim darbe

işareti için x(t)=h(t)= p(t) olduğunu varsayarsak,

Konvolüsyon integralinin hesabı dört adımda

yapılmaktadır.

İşaret ve Sistemler 15

)(*)()(*)()( tptpthtxty

Konvolüsyon Örnek 2

İşaret ve Sistemler 16

dthxthtxty )( ).()(*)()(

Konvolüsyon Örnek 2

İşaret ve Sistemler 17

Konvolüsyon Örnek 2

İşaret ve Sistemler 18

Konvolüsyon Örnek 2

İşaret ve Sistemler 19

Konvolüsyon Örnek 2

İşaret ve Sistemler 20

Konvolüsyon Örnek 3

İşaret ve Sistemler 21

hesaplayınız.

Konvolüsyon Örnek 3

İşaret ve Sistemler 22

Konvolüsyon Örnek 3

İşaret ve Sistemler 23

Konvolüsyon Örnek 4

İşaret ve Sistemler 24

hesaplayınız.

Konvolüsyon Örnek 4

İşaret ve Sistemler 25

Konvolüsyon Örnek 4

İşaret ve Sistemler 26

Konvolüsyon Örnek 5

İşaret ve Sistemler 27

hesaplayınız.

Konvolüsyon Örnek 5

İşaret ve Sistemler 28

Konvolüsyon Örnek 5

İşaret ve Sistemler 29

Frekansta Konvolüsyon

İşaret ve Sistemler 30

dfMfMdfMM

fMfMfMfM

)( ).()( ).(

)(*)()(*)(

2121

1221

FREKANSTA KONVOLÜSYON ZAMANDA ÇARPIM

ZAMANDA KONVOLÜSYON FREKANSTA ÇARPIM

İŞLEMİ DEMEKTİR.

)().()(*)(

)().()(*)(

2121

2121

1

tmtmfMfM

fMfMtmtm

F

F

Konvolüsyon Örnek 6

İşaret ve Sistemler 31

?)()(2)( 4 fMtuetm t

)(2 4 tue t

te 4

)(2 tu

jfdtedteefM

tj

fjjwtt 2

.)()

2(2

4

1

Konvolüsyon Örnek 6

İşaret ve Sistemler 32

jwdtedtetufM jwtjwt 2

2)(2)(0

2

)(*)()()(2)( 21

4 fMfMfMtuetm t

dj

fj

fMfM

dfMMfMfM

)2

( .2

2)(*)(

)( ).()(*)(

12

2121

Konvolüsyon Örnek 6

İşaret ve Sistemler 33

jwfjfM

jfj

jf

jwfM

4

2

42

2)(

22

22*

2)(

Hatırlatma

İşaret ve Sistemler 34

)(

)(

)()().(

)()( 1)(

tdfe

fdte

fMtFfM

ttdtt

jwt

jwt

Konvolüsyon Örnek 7

İşaret ve Sistemler 35

Konvolüsyon Örnek 7

İşaret ve Sistemler 36

dteeedtetwtwF

twFfMfVtwtmtv

jwttjwtjwjwt .2

1.coscos

cos*)()(cos)()(

00

00

00

)()(2

1cos

2

1cos

000

)(2)(2

000

fffftwF

dteetwFtffjtffj

)()(2

1)(

)()(2

1*)()(

00

00

ffMffMfV

fffffMfV

Konvolüsyon Örnek 7

İşaret ve Sistemler 37

)()(2

1)( 00 ffMffMfV

Çalışma Sorusu

İşaret ve Sistemler 38

?)(*)(5.1)()( thtxtthtx