Interação trinca-discordância

INTERAÇÃO TRINCA-DISCORDÂNCIA: INFLUÊNCIA DA VIZINHAÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL

ANGELO GIL P. RANGEL

UFMG 2002

X2

X3

X1

ρ'

E

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA METALÚRGICA E DE MINAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas

Tese de Doutorado

"Influência da vizinhança de uma trinca

sobre a energia elástica de uma

discordância em anel”

Autor: Angelo Gil Pezzino Rangel

Orientadores: Profa. Dra. Berenice M. Gonzalez Prof. Dr. Horacio Helman (in memoriam) Co-Orientador: Prof. Dr. Gérard Michot

Agosto/2002

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas

Angelo Gil Pezzino Rangel

INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA

SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA

DISCORDÂNCIA EM ANEL

Tese de Doutorado apresentada ao Curso de

Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e

de Minas da Universidade Federal de Minas

Gerais.

Área de concentração: Metalurgia Física Orientadores: Profa. Dra. Berenice M. Gonzalez Prof. Dr. Horacio Helman (in memoriam) Co-Orientador: Prof. Dr. Gérard Michot

Belo Horizonte

Escola de Engenharia da UFMG

2002 INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

iii

INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

iv

HOMENAGEM

AO PROFESSOR

HORACIO HELMAN,

pela sua inesgotável fonte de sabedoria diante de adversidades, pela sua inata

capacidade de simplificar o que a todos parecia complexo, pelo seu excepcional dom de

cativar o espírito de quem quer que fosse que com ele se relacionasse, esse trabalho foi

finalizado em sua memória.


v

A Margarida, Anathalia, Joana e Giuliano.


vi

AGRADECIMENTOS

TRABALHOS DE NATUREZA ACADÊMICA SEMPRE CONTÊM ERROS que alguns colegas mais

afoitos se apressam logo em descobrir. É sobre os erros de muitos e os poucos acertos

de alguns que caminha a Ciência. Esse trabalho não pretende fugir à regra. E, antes que

alguém venha lhe apontar tais erros, o Autor deseja informar que essas são as páginas

do trabalho em que mais erros ele comete. Erra o Autor por omitir quem nela deveria ter

o nome constando e erra mais gravemente ainda por agradecer de forma insuficiente

àqueles que aqui são citados. Num ato de contrição, o Autor deseja antecipadamente

desculpar-se com os que se incluem no erro de primeira espécie. Quanto aos incluídos

no erro da segunda espécie, o Autor agradece:

- à Profa. Maria Angela Loyola de Oliveira e ao Prof. Guilherme E.C. Laux, incentivadores da hora primeira;

- ao Colegiado do Curso Superior de Tecnologia Mecânica da UFES, pela licença concedida para ausentar-me durante o período de Set/1997 a Fev/1999, rearranjando-se para absorver os meus encargos acadêmicos, enquanto eu "passeava pela Europa", principalmente ao Coordenador, Prof. Antonio Paula Nascimento, amigo leal e sincero, e à Secretária, Srta. Elizabeth Vieira;

- aos colegas e amigos do Departamento de Engenharia Mecânica e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFES, os quais, mais que dar-me incentivos, faziam a necessária e imprescindível cobrança pelo resultado final do trabalho;

- à Sra. Maria Aparecida Pacheco, Secretária do CPGEM que me cobrava pelo lado mineiro do trabalho e de quem me tornei admirador pela sua eficiência no trato administrativo;

- a todo o pessoal do LPM-EMN, Nancy (je ne pouvais pas les oublier ici): Mme. Sylvie Choux, Mme. la Secretáire Nounou, M. Pascal Martin, Jojo (M. J.P. Feieresen), M. Daniel Perrin, Dr. J.P. Michel, Dr. Amand George, pesquisador e Diretor do Labo, quem amavelmente me acolheu e me forneceu o inefável apoio para esse trabalho, por quem desenvolvi extraordinária admiração por sua seriedade e pela sua constante preocupação em relação ao meu desenvolvimento, Dr. Marc Legros, pelo seu apoio inconteste e pelas nossas discussões, dentro e fora do Labo, a tous mes remérciments;


vii

- ao Prof. Marcio Coelho de Mattos, ontem meu aluno brilhante, hoje meu professor exemplar, colega fiel e amigo sincero, parceiro de inconfidências acadêmicas;

- em especial ao Prof. Cherlio Scandian, companheiro em França, executor das mais belas manips de Silício, colaborador importante na jornada e que me deu a honra de participar da banca que analisa este trabalho;

- aos colegas professores Rogério Ramos, Marcelo Camargo de Macedo e João Luis Donatelli, pelas palavras de incentivo e exemplos gratificantes;

- a CAPES, pela oportunidade a mim concedida de poder, através de seu Programa CAPES-COFECUB e da Rede Santos-Dumont, visitar o LPM pelo período de dezoito meses, sem o que esse trabalho não poderia ter se completado;

- à Cia. Siderúrgica de Tubarão, na pessoa do seu ex-Diretor de RH, Sr. Luiz Carlos Pimenta, que apoiou grande parte do desenvolvimento do trabalho em França através de seu programa conjunto com a UFES;

- a Gerard (Prof. Dr. Gérard Michot), competente profissional, brilhante pesquisador, coordenador do projeto e directeur de thése chez LPM, de quem absorvi a paixão pelo tema e a quem coube, originalmente, propô-lo, que me recebeu em França sem medir energias para me auxiliar na jornada longe dos amigos, tornando-se ele mesmo um amigo;

- ao Prof. Horacio Helman, jamais esquecido, orientador em toda a acepção da palavra, que se foi tão prematuramente, sem que pudéssemos juntos desfrutar o fim de mais uma tarefa concluída;

- à Profa. Berenice M. Gonzalez, quem aceitou me orientar após a morte do Prof. Helman, substituindo-o em todos os aspectos acadêmicos e juntando-se a sua memória no aspecto pessoal, sempre dela tendo incondicional apoio;

- aos Profs. Paulo J. Modenesi e Vicente T.L. Buono, por me darem o prazer e a honra de também participarem da banca; e

- a minha família: Margarida, minha mulher, e meus filhos Anathalia, Joana e Giuliano, pela compreensão, abnegação e paciência por férias sem passeios, fins de semana modorrentos e pela pouca atenção que lhes pude oferecer durante o período em que estive me dedicando a esse trabalho.

(Mesmo após esta lista de agradecimentos, resta-me a incômoda sensação que nela

ainda falta alguém importante.)


viii

Rangel, Angelo Gil Pezzino

Influência da vizinhança de uma trinca sobre a energia elástica de uma discordância em anel / Angelo Gil Pezzino Rangel. – Belo Horizonte, 2002. Tese (doutorado) — Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais. Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Minas. Área de concentração: Metalurgia Física. Orientador(a): Berenice M. Gonzalez. Descritores: 1. MECÂNICA DA FRATURA / 2. TEORIA DAS DISCORDÂNCIAS / 3. INTERAÇÃO TRINCA-DISCORDÂNCIA / 4. FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO / 5. ANÁLISE DE ENERGIA.


ix

UFMG – ESCOLA DE ENGENHARIA CAPA Distribuição da componente normal da tensão na região da trinca causada pela presença de uma discordância em anel, de raio ρ, no plano de deslizamento [1 –1 1], com vetor de Burgers b = [1 1 0] e emitida e se desenvolvendo à frente da trinca (eixo das coordenadas X3) no ponto E. [v. Eq. (4.33) na página 62 dessa tese]. ISBN XX–XX–XXXX O trabalho descrito nessa tese é parte de um programa de pesquisa entre a UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (Brasil) e a ÉCOLE DES MINES DE NANCY, do Institute Nationale Polytéchnique de Lorraine (França), através do Programa CAPES-COFECUB e da Rede Santos-Dumont. Os recursos foram fornecidos pela CAPES, pela EMN e pela CST – Cia. Siderúrgica de Tubarão (Vitória – Brasil).


x

PREFÁCIO

A PESQUISA NA ÁREA DA ENGENHARIA DE MATERIAIS SE CARACTERIZA, principalmente,

pelos trabalhos experimentais. Isto se explica pela natureza complexa dos fenômenos

que nela são estudados, a maioria deles lidando com um número tal de parâmetros e

variáveis que se torna largamente imprevisível, ou simplesmente impossível, qualquer

afirmação à cerca do comportamento desses materiais quando utilizados em aplicações

da Engenharia. No entanto, à medida que avança a Ciência e a própria Engenharia, seja

nas novas aplicações de materiais amplamente conhecidos, seja na criação de novos

materiais para resolver problemas até recentemente insolúveis, sopram os ventos na

direção de um maior emprego de técnicas de simulação para analisar materiais. Longe

de querer substituir a experimentação por modelos computacionais, o uso da simulação

tem o propósito de complementar os resultados experimentais e fornecer subsídios, a

um baixo custo, para aumentar as chances de acerto nas previsões sobre o

comportamento do material modelado.


Nas páginas que se seguem, o leitor irá acompanhar a descrição da interação de uma

discordância em anel, ou dislocação em anel, vizinha à frente de uma trinca que se

desenvolve em um material monocristalino. Este é um problema já conhecido, com

soluções, em sua maioria, bidimensionais, e para o qual existem milhares de horas de

experimentação que justificam investigações mais profundas sobre os seus resultados.

As implicações da interação e as ramificações das questões que elas propõem nos

resultados práticos direcionam a pesquisa para a simulação tridimensional, uma vez que

xi

analisar todas as possibilidades que se apresentam tornaria lento e oneroso o processo

de aquisição do conhecimento. A natureza interdisciplinar do problema, em que está

presente, de um lado, a teoria atômica de discordâncias e, de outro, a mecânica de meios

contínuos, é um outro fator indutor do emprego de técnicas computacionais de

simulação que permitam a maior compreensão do comportamento das variáveis nele

envolvidas. O desenvolvimento das técnicas computacionais se baseia em teorias bem

fundamentadas da Mecânica da Fratura e da Teoria Linear da Elasticidade.

Para apresentar os pontos de vista do autor, essa obra divide-se em três partes. A

primeira parte apresenta as noções preliminares sobre o tema, os objetivos do trabalho e

a revisão bibliográfica, esta última não tão intensa quanto o que se desejava a princípio,

mas abrangente o suficiente para permitir que o leitor possa avaliar as principais

contribuições que existem na literatura. A segunda parte descreve a metodologia

empregada e a descrição do procedimento computacional. A terceira e última parte tem

a finalidade de apresentar os resultados e as discussões que deles decorrem, seguindo-se

as conclusões pertinentes.

Embora seja esse um trabalho que pode ser caracterizado como sendo uma pesquisa

pura, suas motivações ultrapassam os muros da Academia e se originam em problemas

reais vividos pelo autor na sua vida profissional. Sempre lhe despertaram a atenção as

falhas provocadas por trincas surgidas, aparentemente do nada, em estruturas

aeronáuticas, área na qual existe um rigoroso controle de qualidade sobre os critérios de

projeto, como também sobre o material empregado e sobre todo o processo de

fabricação das peças. Embora o trabalho não enderece diretamente esse tipo de

problema, o autor acredita que nele tenha sido dado um passo decisivo para a

compreensão de alguns dos fenômenos que desempenham papel importante naquelas

falhas.

Durante a elaboração desse trabalho, o autor teve a oportunidade de visitar, entre 1997 e

1999, sob o patrocínio da CAPES, o Laboratoire des Physiques des Matériaux, da

École des Mines de Nancy, Institute Nationale Polythécnique de Lorraine, em França,

onde foram realizados inúmeros ensaios sobre o Silício monocristalino. A experiência INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

xii

da Équipe du Silicium, como é conhecida, foi fundamental para a compreensão do

problema, influenciando sobremaneira o direcionamento do trabalho e dos critérios nele

adotados. Lá se desenvolveram, também, os primeiros passos do procedimento

computacional aqui apresentado.

Para que este trabalho pudesse se iniciar e ser concluído, foi essencial o apoio do

CPGEM. Em especial, a profícua e breve interação com o Prof. Horacio Helman que

acreditou na sua concretização desde o início, mas que não pode vê-lo concluído. O

vazio deixado pela sua morte prematura foi incontornável e a sua memória fez-se

presente em cada momento desse trabalho.

Finalmente, é preciso ressaltar que esse trabalho é apenas uma estação na trajetória para

o domínio do assunto e o controle da propagação de trincas em materiais. Ele próprio

poderá ter alguns de seus procedimentos melhorados, não apenas para se obter

resultados mais precisos, mas para que o faça de forma mais eficiente.

Belo Horizonte – Agosto de 2002

O AUTOR


xiii

SUMÁRIO

PREFÁCIO ..................................................................................................... x

FIGURAS ....................................................................................................... xvi

TABELAS ...................................................................................................... xxv

SIMBOLOGIA................................................................................................. xxvi

RESUMO ....................................................................................................... xxx

ABSTRACT.................................................................................................... xxxi

PARTE I

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO..................................................................................... 2

CAPÍTULO 2 - OBJETIVOS ........................................................................................ 6

CAPÍTULO 3 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................. 7

3.1 A mecânica da fratura ............................................................................ 7 3.2 A teoria das discordâncias ..................................................................... 13 3.3 Descrição de uma trinca pelo empilhamento de discordâncias ........... 15 3.4 Geração de discordâncias na extremidade da trinca ............................ 17 3.5 A interação trinca-discordância............................................................. 18

PARTE II

CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA.................................................................................. 23

4.1 Fundamentos teóricos ............................................................................ 23 4.1.1 Introdução ...................................................................................... 23 4.1.2 O Silício e os modelos de emissão de discordâncias.................. 24

4.1.2.1 Orientações cristalográficas ............................................... 25 4.1.2.2 Fontes de discordância no Si.............................................. 27 4.1.2.3 Densidade de fontes primárias ........................................... 27


xiv

4.1.2.4 Fontes secundárias ............................................................. 32 4.1.2.5 Emissão estimulada de discordâncias ................................ 33 4.1.2.6 Mecanismo de multiplicação de fontes de discordância.... 35 4.1.2.7 A transição dútil-frágil (BDT) ........................................... 37

4.1.3 Princípios físicos........................................................................... 46 4.1.3.1 A energia potencial de um corpo ....................................... 48 4.1.3.2 A variação de energia causada pela presença de uma

discordância ....................................................................... 49 4.1.3.3 Formulação de energia para o problema da Mecânica da

Fratura ................................................................................ 51 4.2 A solução computacional....................................................................... 57

4.2.1 O anel de discordância e seu campo de tensões.......................... 58 4.2.1.1 A malha de elementos ........................................................ 58 4.2.1.2 As componentes de tensão no plano da trinca ................... 71

4.2.2 Os fatores de intensidade de tensão – KI, KII e KIII ..................... 73 4.2.2.1 A discordância presa à aresta da trinca .............................. 73 4.2.2.2 A discordância distante da aresta da trinca ........................ 76

4.2.3 A força imagem ............................................................................. 79 4.2.4 A energia elástica armazenada....................................................... 80

PARTE III

CAPÍTULO 5 - RESULTADOS E DISCUSSÃO................................................................ 83

5.1 As configurações para o CFC ............................................................. 83 5.1.1 Configuração ALPHA ................................................................... 84 5.1.2 Configuração BETA ...................................................................... 85 5.1.3 Configuração GAMMA................................................................. 85

5.2 Um caso sob a Configuração ALPHA ..................................................... 86 5.2.1 A malha de elementos.................................................................... 86 5.2.2 A distribuição de tensões ............................................................... 89 5.2.3 Os fatores de intensidade de tensão ............................................... 91

5.3 Um caso sob a Configuração BETA ........................................................ 92 5.3.1 A malha de elementos.................................................................... 92 5.3.2 A distribuição de tensões ............................................................... 93 5.3.3 Os fatores de intensidade de tensão ............................................... 95

5.4 Um caso sob a Configuração GAMMA ................................................... 96 5.4.1 A malha de elementos.................................................................... 96 5.4.2 A distribuição de tensões ............................................................... 98


xv

5.4.3 Os fatores de intensidade de tensão ............................................... 100 5.5 A Configuração REF0 ............................................................................. 101 5.6 A Configuração REF1 ............................................................................. 104 5.7 A Configuração REF2 ............................................................................. 108 5.8 A Variação de energia ............................................................................. 112

5.8.1 O cálculo da força-imagem e da energia elástica .......................... 114 5.8.2 A energia elástica acumulada ........................................................ 116

CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES .................................................................................... 125

CAPÍTULO 7 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................... 127

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 128

O AUTOR ......................................................................................................... 135

APÊNDICE A – .................................................................................................

APÊNDICE B – .................................................................................................

APÊNDICE C – LISTAGEM DAS ROTINAS...........................................................


xvi

FIGURAS

CAPÍTULO 3

FIGURA 3.1 Modos de carregamento da Mecânica da Fratura: (i) Modo I;

(ii) Modo II; e (iii) Modo III........................................................ 10

FIGURA 3.2 Distribuição das tensões próximas à aresta da trinca (ponto O):

(a) Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) com material

frágil; (b) Mecânica dos Meios Contínuos, com material

elástico-perfeitamente plástico; e (c) Fratura frágil-dútil com

enclave elástico............................................................................ 11

FIGURA 3.3 Discordância (a) em aresta; e (b) em hélice. ............................... 14

FIGURA 3.4 A trinca modelada por arranjos de discordâncias: (a) Modo I;

(b) Modo II; e (c) Modo III. ........................................................ 16

CAPÍTULO 4

FIGURA 4.1 Corpo de prova DCB (double cantilever beam) típico

empregado nos ensaios de nucleação de discordâncias em

trincas.. ........................................................................................ 26

FIGURA 4.2 Figuras de ataque observadas nos planos de clivagem 110

(a) e 111 (b) depois da fratura completa da amostra

(microscopia óptica, marcadores: 10 µm). A posição da frente

da trinca durante a deformação plástica materializa-se por uma

linha tracejada na micrografia. Durante a propagação à

temperatura ambiente, sua posição se moveu para baixo............ 28

FIGURA 4.3 Topografia de Raios-X [OLIVEIRA (1994)]... .............................. 29

FIGURA 4.4 (a) Micrografia óptica de um plano 111 (onde e é a

espessura da amostra e os pontos O e S são as interseções da INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

xvii

aresta da trinca com as faces da amostra antes da sua fratura

completa). Os pontos de emissão de discordâncias (indicados

por setas) fora evidenciados pelas figuras de ataque [v. Fig.

4.2(b)]. As discordâncias são emitidas na frente da trinca e se

desenvolvem nos planos de deslizamento 111, os quais

cortam as faces da amostra. No caso apresentado aqui, dois

planos de deslizamento paralelos contendo dua sfontes

primárias SP cortam a face maior da amostra na direção [132].. 30

FIGURA 4.4 (b). Sob as condições de carregamento para o qual a fratura

frágil é evitada, uma intensa deformação plástica se

desenvolve. Grandes anéis de discordância crescem até o

contorno do cristal que eles cortam localmente (triângulos

escuros). Um exame dos .... nessas faces ao longo da direção

[132] fornece valiosas informações sobre a densidade de fontes

e suas atividades. No caso especial representado aqui, os anéis

emitidos são tangentes ao plano da trinca. Nenhum pit pode ser

detectado sobre o plano de clivagem. Em geral, a discordâncias

cortam esse plano e os pits são observados como aqueles vistos

na Fig. 4.2(b). .............................................................................. 31

FIGURA 4.5 Figuras de ataque observadas na face da amostra (marcador: 50

µm). O ponto P2 [v. Fig. 4.4(b)] corresponde à interseção do

maior anel de discordância com a face da amostra. Pelo menos

tres empilhamentos de pits bem definidos (setas maiores) são

notados no lado direito da micrografia, enquanto a situação é

bem mais difusa no lado esquerdo............................................... 32

FIGURA 4.6 Uma das orientações cristalográficas concebidas para o Modo I

de carregamento para amostras de Si clivadas no plano (111).

Supões-se que quatro discordâncias com vetores de Burgers

(a/2) [0 1 1] são emitidas de uma fonte primária SPRI. O

segmento P1P2 da quarta discordância emitida migra do plano


xviii

de deslizamento (1 1 1) para o outro plano de deslizamento

(1 1 1). ......................................................................................... 36

FIGURA 4.7 A migração acontece porque o segmento P1P2 é atraído pela

trinca. Então, o segmento se curva no plano (1 1 1) até o

momento em que ele corta a aresta da trinca. Uma fonte

secundária é ativada através do processo de emissão

estimulada [v.MICHOT (1982)]. ................................................... 37

FIGURA 4.8 Dependência dos fatores de intensidade de tensão em relação à

temperatura para diferentes valores de δ . Os círculos cheios

representam KC, os fatores de intensidade de tensão de

clivagem, enquanto os círculos vazados são os fatores de

intensidade de tensão plásticos, KI [MICHOT (1989) e MICHOT

& GEORGE (1985)], para um Si do tipo Czochralski. .................. 39

FIGURA 4.9 Taxa de variação de carregamento, K , versus o inverso da

temperatura crítica de transição no Si, TC, tal como obtidas por

HIRSCH & ROBERTS (1996): grandes variações são observadas

de acordo com a geometria da amostra testada, a origem do

cristal, a pureza, o procedimento para inserira trinca no

material, etc.. ............................................................................... 41

FIGURA 4.10 Variações admitidas para a contribuição da blindagem, Kd,

para o fator de intensidade de tensão efetivo, KE, nos pontos

mais vulneráveis ao longo da frente da trinca para uma dada

taxa de carregamento, AK : (a) para uma transição suave, as

discordâncias que geram a blindagem são emitidas para baixos

valores de KA; (b) para uma transição mais abrupta, a

discordância que gera a blindagem surge quando os valores de

KA estão próximos de KIC. .......................................................... 42


FIGURA 4.11 Interação discordância anelar-trinca: (a) configuração do

Modelo de RICE-THOMSON, com semi-anel situado em

plano de deslizamento que contém a frente da trinca;

xix

(b) configuração do Modelo OLIVEIRA-MICHOT, com anel

inteiro situado em plano de deslizamento oblíquo em relação à

frente da trinca............................................................................. 47

FIGURA 4.12 Corpo elástico B: (a) em repouso sem carregamento; e (b) em

uma posição de equilíbrio, após sofrer um carregamento P,

q. ................................................................................................ 48

FIGURA 4.13 Geração de uma discordância em aresta através do corte do

material, com deslocamento na parte inferior (x > 0, y < 0)

igual a bx em relação à parte superior (x > 0, y > 0), com o

restabelecimento do material inteiro (recolagem). Durante esta

operação (quasi-estática), a componente da tensão, σxy aumenta

progressivamente e o trabalho total é igual ao aumento de

energia elástica... ........................................................................ 50

FIGURA 4.14 Corpo elástico com superfície interna livre S. A parte superior

da superfície livre é denotada por S+ e a parte inferior é

denotada por S– , enquanto a normal é denotada nS... ................. 52

FIGURA 4.15 Região do corpo em que a Φ é determinado em função do

ângulo θ.. ..................................................................................... 53

FIGURA 4.16 A superposição dos efeitos da trinca e da discordância que

interagem: (a) a discordância em um meio infinito sem a trinca

(logo, Kd = 0); (b) a mesma discordância próxima a uma trinca

que é fechada por um carregamento tal que Kd = KA = 0; (c) a

discordância próxima à trinca causa um campo de tensões que

se traduz por Kd g 0; (d) para recuperar o meio contínuo, agora

com a trinca, mas retirada a discordância, é preciso que se

aplique um carregamento para fechar a trinca tal que KA = Kd.. . 56

FIGURA 4.17 A discordância de raio unitário à frente da aresta da trinca e as

coordenadas adimensionais usadas na formulação...................... 59


xx

FIGURA 4.18 Coordenadas adimensionais do ponto M sobre o plano da

trinca, vendo-se a curva iso-p. ..................................................... 61

FIGURA 4.19 Superfície iso-p genérica.construída pelas coordenadas (Ρ, λ) ... 62

FIGURA 4.20 Decaimento da componente de tensão τηζ com o aumento da

distância EM................................................................................ 67

FIGURA 4.21 Malha de elementos quadrilaterais, típica para a análise. (a) O

valor mínimo de p é correspondente à tensão de cisalhamento

de (µ/6) x 10-5. O percentual de redução das tensões usado para

a malha foi de 40%. Nº de divisões em λ = 24; Nº divisões em

p = 20. Total de elementos = 480; (b) Detalhe da região da raíz

da malha, notando-se o raio de corte.. ......................................... 68

FIGURA 4.22 (a) Superfície iso-p para a malha da Fig. 4.16; (b) Vista da

superfície (N.B.: A escala vertical está ampliada 20X para

facilitar a visualização)................................................................ 69

FIGURA 4.23 Rotação ω do eixo ζ para o procedimento de integração ao

longo do anel de discordância. .................................................... 70

FIGURA 4.24 Esquema para determinação das funções de peso, vendo-se em

elemento IJKL sobre o qual atua uma tensão distribuída, e.g.

τηη, representada pela área sombreada. As forças resultantes

incrementais dP, dQ e dR são representadas no ponto M

situado no baricentro do elemento IJKL.. ................................... 74

FIGURA 4.25 Progressão da região de influência do anel de discordância.

Somente a parte da região que fica sobre a superfície da trinca

é considerada para integração...................................................... 77

FIGURA 4.26 Regiões retangulares (malha "negativa"). Os fatores de

intensidade de tensão devem ser calculados para essas áreas e o

resultado subtraído do resultado da malha original.. ................... 78


xxi

FIGURA 4.27 Deslocamento da discordância para o cálculo da energia.

Inicialmente, o ponto do anel que irá tocar a aresta da trinca

está em O. Para o cálculo, porém esta é a última posição,

encontrada quando a energia é muito pequena para atrair a

discordância até o ponto E........................................................... 81

CAPÍTULO 5

FIGURA 5.1 Configuração ALPHA.. ................................................................ 84

FIGURA 5.2 Configuração BETA..................................................................... 85

FIGURA 5.3 Configuração GAMMA.. .............................................................. 86

FIGURA 5.4 Malha de elementos para a configuração ALPHA.. .................... 87

FIGURA 5.5 Distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ, sobre o

plano da trinca para os dados da Configuração ALPHA da

Fig. 5.1: vista de topo.. ............................................................... 88

FIGURA 5.6 Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão,

τΗΗ, sobre o plano da trinca. ........................................................ 88

FIGURA 5.7 Detalhe da distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ,

sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.. ......... 89


τΞΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.... 90


τΖΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.... 90

FIGURA 5.10 Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos ao

longo da aresta da trinca para a malha da Fig. 5.4 e os dados da

Tab. 5.1... ..................................................................................... 91

FIGURA 5.11 Malha típica para a configuração cristalina BETA.. ................... 93

FIGURA 5.12 Componente da tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ.. ............. 94


xxii

FIGURA 5.13 Componente da tensão de cisalhamento τΞΗ no plano da trinca.. 94

FIGURA 5.14 Componente da tensão de cisalhamento τΖΗ no plano da

trinca... ......................................................................................... 95

FIGURA 5.15 Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos na

configuração BETA. .................................................................... 96

FIGURA 5.16 Malha de elementos na configuração GAMMA... ...................... 97

FIGURA 5.17 Distribuição da componente de tensão normal ao plano da

trinca, τΗΗ. ................................................................................... 98

FIGURA 5.18 Distribuição da componente de tensão tangente ao plano da

trinca, τΞΗ..................................................................................... 98

FIGURA 5.19 Distribuição da componente de tensão tangente ao plano da

trinca, τΖΗ..................................................................................... 99

FIGURA 5.20 Distribuição dos fatores de intensidade de tensão na

configuração GAMMA. .............................................................. 100

FIGURA 5.21 Anel de discordância no plano de deslizamento perpendicular

ao plano da trinca......................................................................... 101

FIGURA 5.22 Malha utilizada para a solução da Configuração REF0. ............. 102

FIGURA 5.23 Componentes da tensão sobre o plano da trinca para a

Configuração REF0. .................................................................... 103

FIGURA 5.24 Fatores de intensidade de tensão para o exemplo da

Configuração REF0. .................................................................... 104

FIGURA 5.25 Configuração REF1, na qual foram usados dados da

Configuração BETA modificados para que o plano de

deslizamento usado contivesse toda a aresta da trinca. ............... 105

FIGURA 5.26 Malha de elementos para os dados da Configuração REF1. ....... 106

FIGURA 5.27 Componentes da tensão no plano da trinca, notando-se a

componente de cizalhamento τΖΗ (Modo III). ............................. 107


xxiii

FIGURA 5.28 Predominância do Modo III nos fatores de intensidade de

tensão da Configuração REF1. .................................................... 108

FIGURA 5.29 Configuração REF2, com o plano de deslizamento contendo a

aresta da trinca............................................................................. 109

FIGURA 5.30 Malha de elementos usada no cálculo da Configuração REF2. .. 110

FIGURA 5.31 Componentes de tensão sobre o plano da trinca.......................... 111

FIGURA 5.32 Fatores de intensidade de tensão para a Configuração REF2,

destacando-se o Modod II de carregamento. ............................... 112

FIGURA 5.33 Malhas usadas para comparação da força imagem e da energia

elástica armazenada no material para os vetores de Burgers e

planos de deslizamento indicaods nas Figs. 5.37-38: (a) b = [1

0 1] (-1 1 1); e b = [0 -1 1] (1 1 1)............................................... 114

FIGURA 5.34 Distribuição da força imagem ao longo da direção ξ. ................. 115

FIGURA 5.35 Distribuição da energia elástica acumulada ao longo da direção

ξ. .................................................................................................. 115

FIGURA 5.36 (a) ................................................................................................ 117

FIGURA 5.36 (b) ................................................................................................ 117

FIGURA 5.36 (c)................................................................................................. 118

FIGURA 5.36 (d) ................................................................................................ 118

FIGURA 5.36 (e)................................................................................................. 119

FIGURA 5.36 (f) ................................................................................................. 119

FIGURA 5.36 (g) ................................................................................................ 120

FIGURA 5.36 (h) ................................................................................................ 120

FIGURA 5.36 (i) ................................................................................................. 121

FIGURA 5.36 (j) ................................................................................................. 121


xxiv

FIGURA 5.37 Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão

α e para anéis em posições afastadas da aresta trinca. ................ 122

FIGURA 5.38 Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão

α................................................................................................... 122

FIGURA 5.39 Variação da energia elástica para diferentes valores do raio do

anel de discordância ao longo da direção ξ. ................................ 123

FIGURA 5.40 Ângulo variável usado na determinação do parâmetro χ. ........... 124


xxv

TABELAS

CAPÍTULO 4

TABELA 4.1 Orientações do plano de deslizamento usadas. .............................. 27

TABELA 4.2 Constantes elásticas HJ para o cálculo da força-imagem............... 80

CAPÍTULO 5

TABELA 5.1 Dados para a construção da malha da Fig. 5.4 (Configuração

ALPHA)......................................................................................... 87


BETA)............................................................................................ 92


GAMMA). ..................................................................................... 97


REF0)............................................................................................. 102


REF1/BETA). ................................................................................ 105


REF2/ALPHA). ............................................................................. 109


xxvi

SIMBOLOGIA

Alfabeto grego:

Α, Β, Γ configurações dos planos de deslizamento segundo o tetraedro de Thompson;

Γ espaço dos pontos materiais da superfície S que envolve o corpo elástico B;

Φ campo potencial de tensões;

Φ(θ) matriz de funções angulares;

Πp Energia potencial do sistema;

Ρ, λ coordenadas polares adimensionais do ponto M no plano da trinca;

Ξ, Η, Ζ coordenadas adimensionais associadas ao plano de propagação da trinca;

Ω espaço ocupado pelo corpo elástico B;

Ω(ω) matriz de rotação usada na integração das tensões em torno do anel de discordância;

α ângulo de emissão, medido entre a direção X’1, reta que define a direção da interseção do plano de deslizamento com o plano de propagação da trinca, e a direção X’2, definida pela reta que liga o ponto de emissão, E, e o centro do anel (v. Fig. 4....);

χ ângulo de varredura do anel usado para determinar o parâmetro η;

ϕ energia de ativação da discordância;

γ ângulo de afastamento da direção ξ’ em relação ‘a direção Ξ;

γS energia da superfície livre;

δ distância da aresta da trinca à periferia do anel de discordância;

εijk símbolo de permutação; INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

xxvii

ε diádica de deformações;

κ afastamento do ponto M em relação ao ponto de emissão E, em número de raios do anel de discordância;

µ módulo de cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal;

η parâmetro usado para determinação do trabalho das forças externas sobre o corpo no Modo I;

ν coeficiente de Poisson;

ρ valor da coordenada η" no sistema rotacionado sobre o plano de deslizamento;

ρ' raio do anel de discordância;

σij tensor que representa a componente da tensão na superfície cuja normal é a direção j agindo na direção de i;

σ diádica de tensões;

τij tensor adimensional que representa a componente da tensão na superfície cuja normal é a direção j agindo na direção de i;

τ diádica adimensional de tensões;

θ no problema bidimensional, ângulo formado entre a reta que une o ponto de emissão ao centro do anel de discordância e a direção de propagação da trinca (Ξ);

ξ, η, ζ coordenadas adimensionais associadas ao plano de deslizamento da discordância;

ξ', η', ζ' coordenadas adimensionais associadas ao plano de deslizamento com origem no centro do anel de discordância;

ξ”, η”, ζ” coordenadas adimensionais associadas ao plano de deslizamento com origem no centro do anel de discordância e girante em torno de ζ’ para permitir o cálculo das integrais elípticas ao longo do anel de discordância;

ω ângulo de rotação usado na integração ao longo do anel de discordância;


xxviii

Alfabeto: romano

Ak área do elemento k da malha;

B largura do corpo elástico em que se encontra a trinca;

Ci coeficientes do polinômio que determina as coordenadas da malha (i = 1,..,4);

E (p), K (p) funções elípticas de primeira e de segunda ordem, respectivamente;

Fo constante usada no cálculo do campo de tensões;

G força de extensão da trinca;

G(ζo) matriz das funções de peso Gi(ζo) para o ponto ζo ao longo da aresta da trinca;

H constante elástica;

H (χ) função do ângulo χ usada no integrando do parâmetro η;

I, J, K vetores unitários nas direções Xi;

J índice referente ao modo de carregamento da trinca (=I, II ou III);

KJ fator de intensidade de tensões sob carregamento em modo J;

KA fator de intensidade de tensões devido à aplicação de cargas externas ao corpo B;

Kd fator de intensidade de tensões devido à presença do anel de discordância no interior do corpo B;

N número inteiro que corresponde ao número de vezes que o raio do anel de discordância é maior que o comprimento do vetor de Burgers;

Pi força concentrada aplicada no ponto i;

Q(p) matriz de atenuação que relaciona as tensões com as funções elípticas;

Sy limite de escoamento do material;


xxix

S superfície da trinca, tal que S = S+ 4 S–, onde S+ representa a superfície superior da trinca e S– representa a superfície inferior;

TA vetor tensão de superfície aplicado sobre o corpo elástico B;

Uo energia de deformação de um corpo elástico B;

Wo trabalho das forças externas agindo sobre um corpo elástico B;

W(p,η”,ζ”) matriz geométrica;

X, Y, Z cadas associadas ao plano de propagação da trinca;

a comprimento da trinca;

b comprimento do vetor de Burgers;

b vetor de Burgers;

bi componente do vetor de Burgers na direção i;

dP, dQ, dR forças incrementais agindo sobre os pontos M (superfície superior) e M’ (superfície inferior) da trinca e nas direções associadas ao plano de propagação da trinca, Ξ, Η, Ζ;

f forças de corpo de B;

g i vetores de base de um sistema de coordenadas;

i, j, k vetores unitários nas direções xi;

li cossenos diretores das componentes do vetor de Burgers em relação ao próprio vetor;

m matriz da constante elástica f;

nS vetor unitário normal à superfície S;

p parâmetro das funções elípticas;

q forças de superfície aplicadas sobre o corpo B;

t forças de superfície resultantes sobre o corpo B;

u vetor de deslocamentos.


xxx

RESUMO

A proposição de um modelo semi-analítico tridimensional para determinação da

energia elástica de discordâncias em anel no interior da estrutura cristalina de um

monocristal e próxima a uma trinca é apresentada. Nele, simula-se o comportamento

de um corpo de prova de um material CFC, no qual existe uma trinca e uma única

discordância. Os planos cristalinos principais do material são conhecidos previamente.

São determinadas as condições de propagação da trinca induzidas pela presença de um

anel de discordância (blindagem e antiblindagem) através do cálculo dos fatores de

intensidade de tensão. A variação de energia de uma discordância em relação a um

meio infinito foi determinada para uma das três diferentes orientações cristalográficas

do Si monocristalino por uma formulação inteiramente tridimensional. Um programa

foi desenvolvido utilizando técnicas relativamente simples de programação para

simular o comportamento do anel de discordância ao longo do seu plano de

deslizamento e para calcular a força imagem associada. A integração dessa força em

relação à distância entre o anel de discordância e a aresta da trinca fornece um

trabalho virtual e permite o cálculo da redução da energia elástica do anel de

discordância induzido na vizinhança da trinca. Uma distância crítica, além da qual não

existe interação entre trinca e anel de discordância, é também calculada.


xxxi

ABSTRACT

A semi-analytic three-dimensional model is proposed in which the elastic energy of the

dislocation loop within the crystal lattice of a monocrystalline material and in the

neighborhood of a crack is calculated. The behavior of a specimen made of a FCC

material is simulated when a single dislocation is present near a crack edge. Crystal

planes of the material are known a priori. Fracture propagation conditions induced by

the presence of the dislocation loop (shielding or anti-shielding) are analyzed by

calculating the stress intensity factors. The energy change in the infinite medium due to

the dislocation loop is determined for one of the three different Silica crystallographic

orientations and using an entirely three-dimensional approach. The computational

techniques used are actually very simple and they succeed in simulating the loop

behavior within its slip plane and to calculate the corresponding image force. The

integration of this force with respect to different distances from the loop to the crack

edge leads to a virtual work which allows the calculation in the elastic energy reduction

due to the closeness of the loop and the crack edge. A critical distance is found beyond

which there is no interaction between crack and loop.


PARTE I

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

DURANTE O CARREGAMENTO DE UMA PEÇA, a presença de concentradores de tensões

induz a emissão de discordâncias, mesmo para carregamentos bem inferiores àqueles

necessários para se obter uma deformação plástica generalizada na peça. Por esta razão,

as discordâncias podem facilmente aparecer nas vizinhanças de uma trinca. Quando o

material é quase perfeito, como é o caso do Silício, a ausência de fontes volumétricas de

discordâncias faz com as discordâncias apareçam na extremidade daquela trinca. No

caso real, tridimensional, elas tomam a forma de anéis. Durante o seu crescimento,

surge a competição entre o trabalho realizado pelas forças externas (numa primeira

aproximação, proporcional à área do anel) e a energia elástica armazenada na região em

torno do defeito estrutural (inicialmente aproximada como sendo proporcional ao

perímetro do anel). Feito o balanço dessas variações, a energia livre do cristal atinge seu

valor máximo quando o raio do anel atinge um valor crítico. Se este raio crítico é da

ordem de grandeza do vetor de Burgers, a emissão é espontânea para energias da ordem

de um eletron-volt e a emissão pode ser ativada termicamente. Cálculos efetuados para

emissões de discordâncias no Silício, considerando a energia do anel em um meio

infinito, indicam, entretanto, valores certamente absurdos para o raio crítico e para a

barreira de energia. Assim, na medida em que parece impossível a emissão de

discordâncias, pode-se concluir que o Silício é intrinsecamente frágil, rompendo-se

apenas por clivagem. A partir da comparação dos valores do raio crítico, os materiais

podem ser separados em duas famílias: parcialmente frágeis (covalente, cerâmicos, etc.)

e parcialmente dúteis (metais de estrutura cúbica de face centrada). Esta classificação

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 3

não responde, porém, a duas questões fundamentais: (i) como considerar o

comportamento de materiais semi-frágeis que apresentam uma transição frágil-dútil (a

maioria deles de estrutura cúbica centrada, como o Ferro de primeira liga, a neve, etc.)?;

e (ii) como explicar as observações que podem ser feitas experimentalmente na aresta

de trincas em corpos de prova de Silício?

A resposta à primeira indagação será detalhada ulteriormente ao longo desse trabalho.

Ao que tudo indica, parece que a transição frágil-dútil não é uma grandeza intrínseca,

pois ela depende de parâmetros mecânicos como a velocidade de aplicação do

carregamento e o número de fontes de discordâncias. A observação presença de

superfícies livres, no entanto, permitiria, talvez, responder a segunda indagação. De

fato, a presença de tais superfícies permite uma certa relaxação de deformações e, por

conseguinte, de tensões, conduzindo a uma redução da energia elástica do anel. Esta

redução de energia do defeito estrutural deve ser acompanhada da respectiva redução do

raio crítico e do valor absoluto da barreira de energia, facilitando, assim, a emissão de

discordâncias na aresta da trinca. Embora o cálculo dessa energia já tenha sido

apresentado há algum tempo para um anel em um meio semi-infinito, tal fato não é

verdadeiro para um anel nas vizinhanças de superfície livre constituída pelas bordas de

uma trinca. Este é o principal objetivo desse trabalho.

O cálculo da energia de uma discordância tocando em apenas um ponto a aresta da

trinca, denominado ponto de emissão, e orientada de maneira genérica em relação ao

plano de propagação da trinca e para um vetor de Burgers qualquer não pode ser feito

analiticamente. Utiliza-se um método de cálculo semi-analítico dessa energia,

reduzindo-se o tempo de computação necessário em um cálculo puramente numérico. O

procedimento adotado permite, em particular, a determinação da energia armazenada no

volume do material por uma integral de área.

O cálculo tridimensional introduz um parâmetro de importância capital no problema,

qual seja, a direção do plano de deslizamento segundo o qual o anel de discordância se

desenvolve (caracterizado pelo ângulo γ na Fig. 4....), pois, tanto o trabalho das forças

externas, quanto a energia elástica do anel, variam com essa direção. As experiências INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


realizadas sobre o Silício mostram que os sistemas de deslizamento ativados nem

sempre correspondem àqueles mais solicitados pelo carregamento. Em um material

homogêneo, isto poderia significar que os sistemas de deslizamento não obedeceriam ao

critério do fator de Schmid. A presença de superfícies livres impõe um critério que

engloba o trabalho das forças externas e a energia elástica armazenada. Para um dado

modo de carregamento, se o valor máximo da primeira energia não corresponde ao valor

mínimo da segunda, a emissão pode não ocorrer. O ângulo ideal de desenvolvimento o

anel de discordância deve provavelmente corresponder àquele para o qual a razão do

trabalho das forças externas pela energia elástica armazenada é máxima. É importante

observar que o denominador dessa razão não depende do modo de carregamento,

contrariamente ao que se passa com o numerador.

A análise física dos resultados do cálculo numérico deve permitir explicar as

disparidades observadas nos sistemas de deslizamento em relação àqueles deduzidos

pela simples aplicação do fator de Schmid. Levando-se em conta o grande número de

resultados experimentais obtidos para monocristais de diferentes orientações

cristalográficas, pode esperar-se testar a validade deste tipo de critério.

A seguir, o Cap. 2 apresenta os objetivos desse trabalho. O Cap. 3 faz uma extensa

revisão bibliográfica sobre conceitos da Mecânica da Fratura, da Teoria de

Discordâncias e da interação entre trincas e discordâncias. Nele são apresentados os

principais desenvolvimentos que levaram à idealização do presente trabalho.

Os principais aspectos e o equacionamento do problema de interação trinca-

discordância em três dimensões são apresentados no Cap. 4. Nele, uma discussão

detalhada é feita sobre o uso do Silício monocristalino como material modelo para o

estudo de emissão de discordâncias na aresta da trinca. Os princípios físicos usados na

análise da interação são descritos a seguir, com a apresentação dos fatores de

intensidade de tensões, dos parâmetros que caracterizam a discordância em anel e das

demais variáveis que definem o problema. São apresentadas algumas considerações

sobre a força-imagem e sobre a variação da energia elástica do anel de discordância,

desde um ponto relativamente distante até a aresta da trinca. Uma vez estabelecidas as



equações do problema, uma solução numérica é proposta. As propriedades do Silício

monocristalino nas três configurações usadas para o modelamento são discutidas no

início do capítulo. A formulação das equações de um elemento é introduzida a seguir,

juntamente com a construção da malha de elementos usada para o cálculo das variáveis.

A determinação numérica dos fatores de intensidade de tensão, da força imagem e do

valor da energia é descrita ao final.

O Cap. 5 apresenta os resultados numéricos obtidos quando são efetuadas algumas

alterações de parâmetros do problema. Uma comparação é feita com os resultados

obtidos com o modelo OLIVEIRA-MICHOT e os contornos das zonas de blindagem são

estabelecidos. É dada atenção a uma configuração especial de um material cujo plano de

deslizamento é ortogonal ao plano de clivagem. Embora este não seja o caso do Silício,

os resultados podem ser usados para um outro material, ainda não explorado

experimentalmente, mas que revela algumas importantes observações interessantes a

cerca do modelo. Concluindo o capítulo, é feita uma discussão sobre a barreira de

nucleação e são apresentadas algumas distâncias críticas que controlam o fenômeno. As

conclusões integram o Cap. 6, dando-se especial atenção ao desenvolvimento da

blindagem da trinca e aos resultados experimentais obtidos anteriormente. A obtenção

das equações adimensionais para os fatores de intensidade de tensão é mostrada no

Apêndice.


CAPÍTULO 2

OBJETIVOS

O OBJETIVO DESSE TRABALHO É DETERMINAR A REDUÇÃO DA ENERGIA ELÁSTICA de um

anel de discordância induzida pela proximidade das superfícies livres de uma trinca em

relação a energia de um meio infinito no qual elas se encontram.

CAPÍTULO 3

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

TRINCAS E MICRO-FISSURAS SÃO DEFEITOS que surgem em peças e componentes

estruturais, até mesmo durante o processo de obtenção do próprio material com que eles

são confeccionados, ou, ainda, nas várias etapas do seu processo de fabricação. Em

materiais cristalinos, defeitos da microestrutura, oriundos da natureza aleatória da

formação da rede cristalina durante a solidificação, interagem com trincas e micro-

fissuras presentes nas suas vizinhanças, podendo levar a falhas catastróficas desses

elementos. A propagação de trincas e o descolamento de fibras em materiais compostos

são apenas dois dos diversos fenômenos que podem ser citados, os quais são

provocados por falhas dessa natureza. As condições em que a interação trinca-defeito

estrutural ocorre e as suas conseqüências têm despertado, ao longo dos anos, a atenção

de pesquisadores, os quais têm investigado experimental, analítica e

computacionalmente as diversas combinações de materiais, trincas e defeitos

estruturais, na tentativa de obter uma previsão confiável do comportamento mecânico de

corpos elásticos. Duas áreas de estudo de materiais aliam-se a essas investigações: a

Mecânica da Fratura e a Teoria de Discordâncias.

3.1 A MECÂNICA DA FRATURA

O homem neolítico concebeu e aperfeiçoou a técnica do escamamento de pedras silex,

usando-a com excepcional destreza para confeccionar as suas primeiras ferramentas.

CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 8

Sem que ele soubesse, estava empregando a Mecânica da Fratura para a sua

sobrevivência. Outras aplicações surgiram com o tempo, mas os primeiros relatos

descrevendo os resultados do efeito de trincas datam dos sécs. XII e XIII.

Aparentemente, somente nos sécs. XV e XVI se tentou estabelecer algum tipo de estudo

investigativo que levasse ao entendimento do efeito de trincas em peças quando estas

eram submetidas a um carregamento [v. ROSSMANITH (1997)]. Não causa muita

surpresa saber que Leonardo da Vinci e Galileo Galilei foram dois desses primeiros

investigadores. O primeiro, engenheiro, arquiteto, médico, desenhista, pintor, auto-

didata, foi dono de uma série de talentos indiscutíveis. Em um dos seus inúmeros

escritos, ele descreve o que se poderia, hoje, chamar de ensaio de tração, realizado em

pedaços de arame de ferro de diferentes comprimentos, mas de mesmo diâmetro.. Ele

observou que a força para romper o arame diminuía à medida que o seu comprimento

aumentava. Essa estranha relação encontra uma explicação no aumento do número de

defeitos presentes no arame, pois os métodos de fabriacação desse material não

asseguravam um controle mínimo da sua qualidade. O outro, Galilei, analisou o

comportamento de arames de diferentes diâmetros, mas de mesmo comprimento, e de

vigas de mármore sob carregamento central. As observações de da Vinci e Galilei se

repetiram em outros ensaios realizados até o final do séc. XIX, quando se atribuiu o fato

de arames de menor comprimento suportarem cargas maiores que arames de mesmo

diâmetro e de maior comprimento à falta de homogeneidade do material das amostras.

A maior parte do desenvolvimento do estudo de trincas, porém, ocorreu durante o

séc. XX.

Quando GRIFFITH (1921) propôs seu modelo para a análise de trincas, calcado no

trabalho matemático anterior de INGLIS (1913), foram, finalmente, lançadas as bases

para o surgimento de uma nova disciplina – a Mecânica da Fratura – muito embora seus

estudos tenham permanecido como mera curiosidade científica até meados de 1950.

Griffith, partindo do princípio de conservação da energia, mostrou que o decréscimo da

energia potencial em um corpo elástico, no qual existe uma trinca, é igual ao aumento

da energia da superfície livre devida à propagação da trinca, dada por γS. Essa energia

de superfície foi por ele definida como a energia necessária para gerar a trinca, ou

provocar o aumento de suas dimensões, em um meio elástico. Matematicamente, isso se INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


traduz por G = (ØE/Øa) > 2.γS, onde G é a força de extensão da trinca, E é a energia

elástica total e a o comprimento da trinca. Esse critério, no qual admite-se que o

material se rompe logo após se deformar de forma puramente elástica, era ideal para

aplicações em materiais frágeis, como o vidro, material usado por Griffith para

demonstrar a sua teoria. A esse modelo, a literatura convencionou denominar Modelo de

Griffith e ele se tornou o ponto de partida para que outros modelos mais complexos

fossem idealizados.

Ao descrever a distribuição das tensões em torno de uma trinca, IRWIN (1957),

considerando apenas o termo singular da solução geral proposta por WILLIAMS (1957),

mostrou que G é variável com a carga e o seu valor máximo foi interpretado como sendo

uma propriedade do material, GC, pois depende das forças de coesão que estão presentes

na sua estrutura cristalina. IRWIN (1958), introduzindo um cálculo essencialmente

baseado na Mecânica dos Meios Contínuos, apresentou, ainda, uma solução para a

distribuição da componente de tensão na direção normal ao plano de propagação da

trinca e as componentes de cisalhamento na mesma região, todas proporcionais a r–1/2,

portanto, uma solução singular. Para caracterizar as componentes de tensão, ele adotou

três diferentes modos de carregamento (v. Fig. 3.1) – Modo I: quando a trinca está sob o

efeito de um esforço de tração normal ao seu plano; Modo II: quando o esforço sobre a

trinca é de cisalhamento no seu próprio plano, com o carregamento na direção normal a

sua aresta; e Modo III: quando o esforço de cisalhamento também se dá no plano da

trinca, mas com o carregamento na direção paralela à aresta. Em cada um desses modos,

as componentes de tensão foram matematicamente expressas em função de um

parâmetro, que ele denominou de Fator de Intensidade de Tensões, FIT, sendo

representado pela letra K, a ela apondo-se os índice I, II ou III, conforme o modo de

carregamento empregado. Essencialmente, a solução dada é bidimensional, pois se

considera que a trinca se estende sobre um plano semi-infinito, cujo limite é a sua

aresta, admitindo-se, assim, que qualquer plano normal ao plano da trinca pode

representar o que está acontecendo em torno dela. Embora limitada, a aceitação dessa

solução é respaldada por uma ampla comprovação experimental.



BARENBLATT (1962) deu um tratamento matemático consistente ao problema de trincas

em materiais frágeis através da Teoria da Elasticidade, resolvendo alguns problemas

específicos, nos quais as trincas apareciam sob equilíbrios estático e dinâmico. Mais que

a simples solução desses problemas, ele indicou a importância da caracterização da

extremidade da trinca na sua propagação. O Modelo de Griffith foi estendido a materiais

dúteis por OROWAN & SYLWESTROWICZ (1949), os quais introduziram, na formulação

do critério de ruptura proposto por Griffith, o termo devido à dissipação de energia por

deformação plástica. O aparecimento de uma zona plástica em torno da extremidade da

trinca deslocou o centro das atenções dos pesquisadores e essa passou a ser uma das

principais linhas de desenvolvimento da Mecânica da Fratura a partir de então.

Figura 3.1: Modos de carregamento da Mecânica da Fratura: (i) Modo I; (ii) Modo II; e (iii) Modo III.

(i)

(ii)

(iii)

É difícil o uso prático do critério de Griffith para a propagação de trincas, modificado

para incluir a contribuição plástica. Pode-se dizer, mesmo, que ele não tem qualquer

justificativa teórica [IRWIN (1964)]. Por esta razão, o conceito dos fatores de intensidade

de tensão tem sido preferido pela simplicidade do seu emprego e pela possibilidade de

sua extensão ao problema do escoamento em pequena escala. Todos os cálculos para o

desenvolvimento da zona plástica à frente da trinca em materiais elásticos-perfeitamente INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

NFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A

r

O

r

σ

O

Sy

r

σ

O

Sy

(b)

(c)

Figura 3.2: Distribuição das tensões próximas à aresta da trinca (ponto O): (a) Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) com material frágil; (b) Mecânica dos Meios Contínuos, com material elástico-perfeitamente plástico; e (c) Relaxação incompleta devida ao enclave elástico, típica dos materiais semi-frágeis [v. MICHOT (1998)].

trinca

trinca

trinca

enclave elástico

σ [ Sy

zona plástica (relaxação)

ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

11

plásticos (nos quais não existe o encruamento) resultam no desaparecimento da solução

singular em r–1/2, isto é, uma completa relaxação devida à plasticidade. Por exemplo,

DUGDALE (1960), BARENBLATT (1962) e GOODIER (1968) ampliaram o tratamento

matemático para incluir materiais dúteis. A tensão no interior da zona plástica é

uniforme e igual à tensão de escoamento. Na ausência de um critério de propagação da

trinca que envolva as tensões locais, foi proposto um critério alternativo, baseado na

deformação provocada pela abertura da aresta da trinca (CTOD, ou Crack Tip Opening

Displacement).

(a) σ

I


Este critério deve ser relacionado à regra de NEUBER (1961), a qual determina que o

produto entre o fator de concentração de tensões e o fator de concentração de

deformações é um valor constante. Esta concepção leva a resultados considerados

satisfatórios para materiais, tanto quanto é satisfatório o tratamento puramente elástico

dado aos materiais frágeis. Entretanto, ela não leva em consideração o comportamento

de alguns materiais com estrutura cristalográfica CCC ou covalente, os quais

apresentam uma transição frágil-dútil (BDT, ou Brittle-Ductile Transition). Esta

transição, cujas implicações e comparações com os demais modelos pode ser vita na

Fig. 3.2, pode ser atribuída à evolução da deformação plástica na aresta da trinca,

iniciada de forma discreta na região frágil, mas crescendo a posteriori rapidamente, até

a completa relaxação na região plástica.

Como a relaxação completa resulta da hipótese da existência de continuidade física

entre a zona plástica e a trinca, uma descontinuidade foi introduzida por CHANG & OHR

(1981). Duas justificativas físicas podem ser apresentadas para sustentar a existência

desse enclave próximo à aresta da trinca [WEERTMAN (1978) e THOMPSON (1978)].

Primeiramente, nas vizinhanças da aresta da trinca, as deformações são certamente

elásticas e os deslocamentos são de ordem de grandeza menor que a separação média

entre discordâncias, ou, ainda, possuem dimensão de ordem maior que a das células de

discordância. Em segundo lugar, a atração da força-imagem, proporcional a r–1,

ultrapassa a repulsão da trinca, esta proporcional a r–1/2 para as menores distâncias

radiais a partir da aresta da trinca. Então, a introdução de um enclave puramente elástico

nesta região, reduzindo o fator de concentração devido à carga aplicada, ou pela

presença de uma discordância, para um valor efetivo. Esta operação é chamada de

blindagem (shielding) e será tratada posteriormente. Ela é conseqüência: (i) do uso do

modelo BCS [v. BILBY, COTTRELL & SWINDEN (1963)] modificado pela introdução de

uma zona livre de discordâncias à frente da trinca [v. CHANG & OHR (1981)]; (ii) do

equilíbrio causado pela contínua distribuição das discordâncias, as quais são afastadas

da ponta da trinca pelo campo de tensões proporcional a r–1/2 e retardadas por uma

tensão de escoamento constante (ou uma tensão de atrito da estrutura cristalina) [v.

MAJUMDAR & BURNS (1983)]; e (iii) do mesmo equilíbrio descrito em (ii), mas, agora,

levando em consideração a força-imagem [v. MICHOT (1989)]. Como a amplitude da INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


blindagem é fortemente afetada pelo tamanho da zona livre de discordâncias, outras

considerações são necessárias para se determinar sua extensão, como, por exemplo, a

interrupção da atividade da fonte de discordância em virtude de tensões de cisalhamento

inferiores à tensão de cisalhamento mínima [v. CHANG &OHR (1981), MAJUMDAR &

BURNS (1983) e MICHOT (1989)]. Este tipo de parâmetro microscópico é geralmente

ignorado na Mecânica do Contínuo.

A consideração da zona plástica na região à frente da trinca suscitou algumas

indagações sobre o comportamento do material quando as tensões naquela região

ultrapassavam o seu limite de escoamento e atingiam a tensão de ruptura do material.

Observou-se que o escoamento causava um relaxamento das tensões, aumentando,

assim, a capacidade do corpo de suportar carregamentos maiores sem que a trinca

sofresse alteração na sua extensão. Porém, em determinado instante do aumento do

carregamento, a trinca se propagava rapidamente, sugerindo que o mecanismo de

deformação assemelhava-se ao dos materiais frágeis. Também, pelo que se viu acima,

nos materiais que apresentam uma transição frágil-dútil, não se pode usar o mesmo

tratamento ao comportamento plástico que normalmente se dá na Mecânica dos Meios

Contínuos. É preciso descer ao nível microscópico e, por essa razão, parece apropriada a

introdução da Teoria das Discordâncias.

3.2 A TEORIA DAS DISCORDÂNCIAS

A Teoria de Discordâncias surgiu de algumas constatações feitas a partir de observações

do comportamento mecânico de alguns materiais. Em monocristais, os valores teóricos

previstos para a resistência à ruptura por cisalhamento eram algumas ordens de

grandeza discrepantes (bem acima) dos valores encontrados em laboratório. Alguns

pesquisadores atribuíam esse fato à existência de defeitos na estrutura cristalina do

material (ou à falta de homogeneidade, como foi dito anteriormente), imperceptíveis,

àquela época, a olho nu, e que reduziam drasticamente a sua resistência teórica.

OROWAN (1934a-c) propôs uma solução para este problema com a criação de um

modelo de defeito na estrutura cristalina, mostrado na Fig. 3.3 (a), denominado de



discordância em aresta (edge dislocation). Logo a seguir, BURGERS (1939) sugeriu um

outro tipo de defeito micro-estrutural, visto na Fig. 3.3 (b), denominado discordância

em hélice (screw dislocation). Outras configurações surgiram da combinação entre os

modelos de defeitos estruturais propostos por Orowan e Burgers. Além de agirem entre

si, os defeitos estruturais interagem com outros tipos de defeitos, como a inclusão de

átomos de outros materiais e a presença de alguns precipitados, o que reduz ainda mais

a resistência do material. Porém, tudo isso se tratava de idealizações que não podiam ser

vistas, apenas conjecturadas.

Figura 3.3: Discordância (a) em aresta; e (b) em hélice.

(a)

(b)

A comprovação da existência das discordâncias teve que aguardar o fim da II Grande

Guerra, quando foram desenvolvidos equipamentos e técnicas de visualização capazes



de detectá-las. A microscopia eletrônica de transmissão é a técnica que permitiu o maior

conhecimento do surgimento e do comportamento de defeitos da estrutura cristalina.

Em anos recentes, o computador veio contribuir de forma decisiva para o estudo das

discordâncias e dos seus efeitos na estrutura do material. A criação de novos algoritmos,

a enorme capacidade de processamento em semicondutores e o fácil acesso de uma

grande faixa de pesquisadores a essas máquinas permitiram um desenvolvimento

rápido, de caráter multiplicador, assegurando condições para a solução de problemas

cada vez mais complexos.

Embora as discordâncias sejam defeitos de natureza bidimensional, pois se

desenvolvem em planos e superfícies da estrutura cristalina, elas afetam o

comportamento tridimensional da rede cristalina. Pela sua concepção, também, as

discordâncias ocorrem somente em uma das três hipóteses: (a) possuem comprimento

infinito; (b) ligam duas superfícies livres; (c) são fechadas, ou seja, formam polígonos

fechados [v. NABARRO (1967) e KOSEVICH (1979)]. A primeira delas é de ocorrência

puramente teórica, uma vez que não existe material de comprimento infinito. Nesse

caso, os problemas se reduzem àqueles em que as tensões, ou as deformações, podem

ser consideradas em um estado plano. Salvo em microscopia de transmissão de elétrons

(TEM), quando as superfícies dos corpos de prova estão muito próximas, a segunda

hipótese é difícil de ser encontrada, embora seja mais realista que a primeira e de

existência plausível (De fato, uma das maiores dificuldades para se determinar a solução

de problemas em que as discordâncias estão presentes é a diferença de escalas a eles

inerente). As leis de conservação de energia fazem com que a discordância se feche

sobre si própria se ela não encontrar uma superfície livre. Esse fato leva à terceira

hipótese, a qual compreende a maioria dos casos reais e contempla discordâncias

fechadas, limitadas, portanto, à região do corpo onde elas surgem. A existência de uma

tensão de linha ao longo da discordância resulta na forma circular para discordâncias

que se iniciam (raios muito pequenos). Essas discordâncias são denominadas

discordâncias em anel (loop dislocation), ou discordâncias anelares, que são

combinações das discordâncias em aresta, das discordâncias em hélice e mistas. No

entanto, a medida em que crescem, as discordâncias fechadas sofrem os efeitos da

cristalografia, podendo assumir formas de energia mínima, como é o caso do Si, no qual INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


as discordâncias possuem a forma hexagonal, com cada um dos segmentos orientados

segundo a direção < 1 1 0 >.

3.3 DESCRIÇÃO DE UMA TRINCA PELO EMPILHAMENTO DE DISCORDÂNCIAS

LOUAT & RATH (1987), HIRTH & LOTHE (1982) e WEERTMAN (1996) mostraram que

uma trinca em um material frágil pode ser modelada por um arranjo adequado de

discordâncias(v. Fig. 3.4 a-c). De fato, a trinca pode ser imaginada como uma

distribuição de discordâncias que satisfaçam a hipótese (b) acima, as quais são

justapostas a uma distância igual ao comprimento total da trinca. O mesmo critério de

energia formulado por Griffith pode ser deduzido para materiais frágeis usando apenas

as equações das discordâncias. A distribuição de tensões em torno delas é idêntica

àquela determinada por IRWIN (1957) para os três diferentes modos de carregamento.

Figura 3.4: A trinca modelada por arranjos de discordâncias: (a) Modo I; (b) Modo II; e (c) Modo III.

(a)

(b)

(c)

σyy

σyx

σyx

SSS S S S S S S S SSSS

σyz

σyz ·

σyy

A vantagem desse procedimento é que se pode introduzir outras discordâncias na região

da zona plástica fora da trinca e calcular a dimensão da zona plástica apenas resolvendo



as equações de equilíbrio do conjunto de discordâncias virtuais que formam a trinca e

das discordâncias reais que formam a zona plástica. Entretanto, a solução dessas

equações é matematicamente delicada e só se apresentam em algumas situações em que

somente duas dimensões são encontradas.

3.4 GERAÇÃO DE DISCORDÂNCIAS NA EXTREMIDADE DA TRINCA

Pelas equações da Mecânica da Fratura, a presença de discordâncias na região à frente

da trinca leva a um alívio de tensões em virtude da formação de uma zona de

deformação plástica nesse local. Sendo a deformação plástica nada mais que o

movimento de deslizamento de discordâncias, isso sugere que, nos materiais dúteis, a

extremidade da trinca é uma região especialmente propícia à emissão de discordâncias.

Na verdade, a emissão de discordâncias se deve ao trabalho das forças externas e ao

crescimento do anel. RICE & THOMSON (1974) apresentaram uma detalhada análise

desse fenômeno, estabelecendo um critério para fratura de materiais cristalinos.

Admitindo a discordância e usando as equações da elasticidade, um raio crítico foi

determinado, a partir da frente da trinca, além do qual torna-se possível a emissão

espontânea de discordâncias. Pequenos valores deste raio crítico, da ordem do

comprimento do vetor de Burgers, ocorrem em materiais dúteis, enquanto os materiais

frágeis apresentam valores de raios críticos bem mais altos. Entretanto, valores

intermediários deste raio crítico levam a algumas contradições do modelo apresentado.

Mesmo assim, baseadas nesta formulação do raio crítico, diversas outras propostas

vieram à luz, sempre apresentando problemas de incompatibilidade com os resultados

experimentais [OHR ET AL. (1986)]. Salienta-se que o critério permite separar materiais

frágeis (e.g., materiais cerâmicos) de materiais dúteis (CFC), mas é de pouca utilidade

quando se tem materiais semi-frágeis (CCC). Outro aspecto é que a admissão de uma

nucleação homogênea na região à frente da trinca mostrou-se equivocada, como foi

comprovado por MICHOT (19..), pois tal nucleação somente pode ocorrer se for

heterogênea (somente na presença de um defeito estrutural sobre a aresta da trinca).



3.5 A INTERAÇÃO TRINCA-DISCORDÂNCIA

Quem se propõe estudar a Mecânica da Fratura e a Teoria das Discordâncias

surpreende-se ao descobrir quão estreita é a relação entre trincas e discordâncias. Esse

fato, como observou WESTERGAARD (1939), aliado ao efeito que discordâncias

provocam à frente de uma trinca, permite afirmar-se que, dos diversos defeitos

cristalinos possíveis de ocorrer em um material, a discordância deva ser o primeiro a ser

investigado. Os modelos matemáticos que permitem a análise da interação trinca-

discordância resultam da combinação das duas áreas de conhecimento acima descritas –

a Mecânica da Fratura e a Teoria de Discordâncias. A complexidade desses modelos

varia em uma ampla gama de formulações, as quais se baseiam em diversas hipóteses

simplificadoras.

Os primeiros modelos de interação trinca-discordância eram representados no espaço

bidimensional [v. MAJUMDAR & BURNS (1981), THOMSON (1985), KIRCHNER & MICHOT

(1986), SCHOECK (1991), LOUAT (1992)]. A redução de uma das dimensões do

problema leva a uma simplificação significativa das equações da Elasticidade, as quais

se restringem a um estado plano de tensões ou de deformações, e, em diversas situações,

permite a solução analítica do problema. No entanto, as discordâncias, mesmo as de

aresta, não ocorrem paralelas à direção da frente da trinca. A natureza tridimensional do

problema exige, pois, um tratamento de mesma ordem de complexidade. RICE &

THOMSON (1974) foram os primeiros a tentar solucionar o problema da interação trinca-

discordância em três dimensões. Embora uma geometria tridimensional tivesse sido

adotada por eles para a trinca, foram considerados somente os efeitos bidimensionais da

sua interação com uma discordância em semicírculo, a qual se situava em um plano de

deslizamento que continha inteiramente a aresta da frente da trinca e cujas extremidades

coincidiam com aquela aresta.

O conceito de blindagem foi introduzido na escala microscópica [v. RICE & THOMSON

(1974)] antes de ser usado na Mecânica do Contínuo por WEERTMAN (1978). A

discordância isolada é considerada como um carregamento interno que provoca uma

pré-tensão, esta representada pelo campo de tensões em torno da discordância que INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


resulta num Kd. A este campo de tensões soma-se o fator de intensidade de tensão

devido à aplicação das forças externas aplicadas sobre o corpo, dado por KA. Existe um

efeito protetor, ou de blindagem da trinca no sentido que a sua propagação é inibida. O

fator que determina essa proteção é o resultado do produto Kd KA. Se Kd KA < 0 não

ocorre a propagação da trinca, enquanto Kd KA > 0 causa o efeito contrário, provocando

a propagação da trinca mesmo para carregamentos ligeiramente abaixo do carregamento

crítico (KA < KC). Inicialmente, o formalismo foi desenvolvido para o modo III por

MAJUMDAR & BURNS (1983) e, depois, foi estendido para um caso mais geral [v.

KIRCHNER & MICHOT (1986), LIN & THOMSON (1986)]. A ocorrência do fenômeno de

blindagem foi comprovada experimentalmente para o Si quando uma zona plástica se

desenvolve por fluência a alta temperatura e, em seguida, ela é "congelada" à

temperatura ambiente, resfriando-se o corpo de prova ainda sob carregamento.

Verificou-se que, à temperatura ambiente, a propagação da trinca implica carregamentos

até três vezes superior àqueles necessários para provocar a ruptura em cristais livres

[v. MICHOT et al. (1982)].

SCHOECK (1991) mostrou a formação e a emissão de uma discordância à frente da trinca

usando o modelo de Peierls-Nabarro. Esse modelo alia os efeitos da escala atômica, ou,

pelo menos, da discordância, aos da escala macroscópica. Nele, as tensões em uma

pequena vizinhança em torno da discordância são admitidas com uma variação senoidal,

para simular o efeito das forças interatômicas, enquanto as tensões numa região fora

daquela vizinhança variam linearmente com a deformação, segundo a Lei de Hooke. No

limite entre essas duas regiões, as tensões se igualam. Com o aumento da tensão

causado pelo carregamento crescente, a energia acumulada na estrutura cristalina é

suficiente para gerar a discordância. SCHOECK & PÜSCHL (1991), estendendo esse

conceito para o problema tridimensional, e RICE (1992), introduzindo uma relação

tensão-deformação complementar sobre o plano de deslizamento baseada no modelo de

Peierls, aperfeiçoaram o modelo sugerido por RICE & THOMSON (1974). No entanto,

uma forte restrição parece se impor no que diz respeito ao posicionamento do plano de

deslizamento [v. ARGON (1982)]. Como no modelo de RICE & THOMSON (1974),

SCHOECK & PÜSCHL (1991) e RICE (1992) também consideram que este plano contém a

aresta que define a frente da trinca, o que é um fato raro. Um outro modelo foi sugerido INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


por KIRTIKAR & KING (1991), no qual as interações entre discordâncias anelares e a

frente da trinca são observadas usando-se anéis de discordância infinitesimais, de

maneira semelhante àquela sugerida por KROUPA (1966). Recentemente, SCHOECK

(1995, 1996.a, 1996.b), XU & ARGON (1997) e WANG (1998) apresentaram importantes

modificações na formulação de modelos baseados nas hipóteses de Peierls. SCHOECK

(1995, 1996b) generalizou o problema e introduziu uma formulação variacional. XU &

ARGON (1997) analisaram a nucleação de discordâncias anelares a partir do plano de

propagação de uma trinca, como fizeram OLIVEIRA ET AL. (1994). WANG (1998)

ampliou o seu modelo para o tratamento de carregamentos em modos mistos.

Finalmente, OLIVEIRA (1994) propôs um modelo tridimensional usando o Silício

monocristalino como material de base. Nesse modelo, a interação trinca-discordância

foi caracterizada pela presença de uma discordância anelar situada na raiz da trinca,

enquanto o plano de deslizamento que contém a discordância foi posicionado de forma

tal que a sua interseção com a aresta que contém a frente da trinca se reduzisse a apenas

um ponto. Tem-se, assim, um ângulo entre ele e o plano de propagação da trinca, o que

torna o modelo bem mais genérico, tendo nele embutida a tridimensionalidade do

problema. Como resultado, obteve-se uma importante alteração no valor do fator de

intensidade de tensões na região próxima ao ponto onde a discordância toca a trinca.

Esta alteração pode significar tanto uma redução, quanto um aumento daquele valor,

provocando efeitos de shielding (“blindagem”, ou redução das tensões) e de anti-

shielding (“antiblindagem”, ou aumento das tensões), respectivamente, na trinca. O

modelo tridimensional de Oliveira foi validado por um intenso programa prévio de

ensaios que se iniciou por BADAWI (1976) e foi completado por MICHOT (1982, 1988),

AZZOUZI (1992), GEORGE & MICHOT (1993) e SCANDIAN (2000).

Muitos dos trabalhos publicados sobre a interação trinca-discordância usam o Si como

material básico [v. AZZOUZI (1992), OLIVEIRA (1994) e SCANDIAN (2000)]. Do lado

experimental, esse fato se deve às características ímpares desse material em relação à

temperatura em que a discordância pode nele se mover. Frágil à temperatura ambiente,

em temperaturas relativamente baixas ele se torna dútil e pode, rapidamente, voltar à

situação de frágil, congelando, assim, a discordância em sua posição e permitindo a sua INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


visualização através de topografia com Raios-X. Nesse aspecto, o Silício apresenta,

ainda, certas vantagens em relação a outros materiais, pois as mudanças na sua estrutura

cristalina desviam os Raios-X, deixando-se ver, claramente, onde e de que forma elas

acontecem. Do ponto de vista analítico e computacional, a estrutura cristalina do Silício

é facilmente modelada e seus planos de deslizamento podem ser determinados com

expressões geométricas bem simples. Isso facilita a comparação entre o modelo

computacional e o corpo de prova ensaiado. Com tudo isso a seu favor, o Silício

monocristalino se apresenta como material ideal, sendo possível modelar

adequadamente a região à frente da trinca. Existe uma literatura vasta a respeito dos

fatos aqui narrados, como BADAWI (1976), MICHOT (1982, 1988), AZZOUZI (1992),

GEORGE & MICHOT (1993), OLIVEIRA (1994), OLIVEIRA ET AL. (1994), GEORGE (1998),

SCANDIAN ET AL. (999), SCANDIAN (1999), GEORGE ET AL. (2001), OLIVEIRA ET AL.

(2001) e RANGEL ET AL. (2001).

Observa-se que os modelos acima mencionados, quando apresentam o cálculo da

variação da energia plástica durante o movimento da discordância de um ponto qualquer

na região próxima à trinca até sua aresta, o fazem para domínios bidimensionais, ou, se

apresentam uma visão tridimensional do problema, tratam-no com simplificações que

retornam o equacionamento a duas dimensões somente. LI [v. OHR ET AL. (1986)]

estabeleceu alguns parâmetros de comparação para saber se a discordância se aproxima,

se afasta, ou fica indiferente em relação à trinca. Nenhum modelo tridimensional foi

apresentado, até o presente momento, no qual é efetuado o cálculo da variação de

energia elástica. A realização deste cálculo só é exeqüível numericamente, uma vez que

o equacionamento e a formulação exigem uma metodologia bastante elaborada.


PARTE II

CAPÍTULO 4

METODOLOGIA

4.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

4.1.1 INTRODUÇÃO

A PRINCIPAL FUNÇÃO DOS MODELOS de interação trinca-discordância é refletir os

mecanismos de deformação em torno da frente da trinca e, assim, determinar os efeitos

da presença da discordância na região próxima à trinca. Para alcançar esse objetivo,

esses modelos se baseiam nas seguintes hipóteses:

Hipótese 1 – O campo de tensões da trinca é dado pelas equações da Mecânica da Fratura;

Hipótese 2 – O material sólido na região próxima à discordância e à trinca é considerado como um meio contínuo homogêneo e isotrópico;

Hipótese 3 – As equações da Mecânica do Contínuo são válidas para analisar os efeitos mecânicos oriundos da presença de uma discordância em um sólido.

À primeira vista, as duas últimas hipóteses acima parecem contrariar a natureza do

próprio problema, uma vez que, como observou GRIFFITH (1923), a discordância é um

defeito na estrutura atômica do material que possui escala microscópica e, nela, cada

átomo está em uma posição bem definida relativamente aos seus vizinhos, o que faz

CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA

24

com que as forças de interação atômica provoquem direções preferenciais no

deslocamento de cada um deles. Entretanto, KOVÁCS & ZSOLDOS (1973) apresentam

justificativas plausíveis para estas hipóteses.

Um outro aspecto importante no tratamento da interação discordância-trinca é que, na

prática, um pequeno volume do material sólido apresenta um grande número

discordâncias. Nesse caso, a trinca interage com todas essas discordâncias

simultaneamente. Uma boa parcela dos modelos propostos, porém, considera que

apenas uma discordância está presente na região próxima à trinca. A conseqüência dessa

simplificação é que a região analisada restringe-se àquela ocupada pela discordância e

pelos efeitos da sua singularidade. Ela não constitui qualquer violação da natureza física

do problema, pois o aparecimento de apenas uma discordância na ponta trinca é uma

condição real, obtida pelo início da formação de uma zona plástica à frente da trinca.

4.1.2 O SILÍCIO E OS MODELOS DE EMISSÃO DE DISCORDÂNCIA

A validação de um modelo para simular os mecanismos responsáveis pelo movimento

de discordâncias deve fundamentar-se em resultados de ensaios efetuados em

laboratório, nos quais são usados materiais reais e estabelecidas condições ideais de

propagação da trinca. Além disso, o material deve apresentar certas características de

comportamento mecânico que possam ser reproduzidas pelo modelo.

O Silício tem se mostrado como esse material adequado para mostrar

experimentalmente o aparecimento de discordâncias e o crescimento da zona plástica à

frente de trincas [v. MICHOT (1982), SELATNIA (1986), MICHOT (1988), AZZOUZI (1992),

GEORGE & MICHOT (1993), OLIVEIRA (1994), OLIVEIRA ET AL. (1994), GEORGE (1998),

SCANDIAN ET AL. (1999), SCANDIAN (2000), OLIVEIRA ET AL. (2001) e GEORGE (2001)].

As principais razões para que ele seja utilizado são:

a) Ele apresenta planos de clivagem bem definidos 111 e 110;



25

b) Nele, a propagação de trincas à temperatura ambiente (20ºC) é

totalmente frágil, sem discordâncias;

c) Embora frágil à temperatura ambiente, observa-se uma mobilidade de

discordâncias na faixa de temperaturas que vai de 600ºC a 800ºC, as

quais são relativamente baixas e possíveis de serem alcançadas em

laboratório durante um ensaio. Esse fato atua positivamente quando se

deseja “congelar” uma determinada configuração da discordância

com um rápido resfriamento do corpo de prova e, assim, fazer

observações;

d) Em amostras de Silício de grande pureza, tem-se, ainda, a ausência da

influência de outros elementos na microestrutura do material; e

e) O Silício é, além disso, um material que não absorve Raios-X, o que

permite observações das amostras usadas nos ensaios por técnicas de

visualização em que esse tipo de radiação é usado Essa técnica é

denominada de topografia com Raios-X convencional, ou com

sincrotron.

Todos esses fatores fazem do Silício o material ideal para se obter resultados

experimentais, nos casos em que se deseja o aparecimento de uma zona plástica na

ponta da trinca, tanto pela presença de discordâncias, quanto pelo crescimento da zona

plástica. Ele é, também, o material ideal para ser modelado em virtude dessas

propriedades e da sua estrutura CFC. Logo, ele é o material mais indicado para validar o

modelo proposto, a exemplo do que já fizeram OLIVEIRA (1994), OLIVEIRA ET AL.

(1994), SCANDIAN (2000), OLIVEIRA ET AL. (2001) e RANGEL ET AL. (2001).

4.1.2.1 Orientações cristalográficas

As orientações cristalográficas usadas nesse desenvolvimento são aquelas também

definidas para a realização dos ensaios de nucleação de discordâncias em amostras



26

confeccionadas a partir de placas de cristal de Si de espessuras que variam entre 600 e

800 µm. Essas placas são livres de discordâncias, formando uma estrutura

monocristalina praticamente perfeita.

Para definir as orientações cristalográficas de uma amostra faz-se necessário saber,

antes, quais as direções desejadas para a propagação da trinca (X), para o plano de

clivagem (Y) e para a normal à face lateral da amostra (Z). Esta última direção é sempre

escolhida de forma que seja paralela à direção ideal da aresta da trinca. O corpo de

prova do tipo DCB (Double Cantilever Beam) mostrado na Fig. 4.1 ilustra essas

direções.

plano de propagação da trinca

Z

Y

X E

trinca

Figura 4.1: Corpo de prova DCB (double cantilever beam) típicempregado nos ensaios de nucleação de discordâncias em trincas.

o

Usando o tetraedro de Thompson [v. KOVÁCS & ZSOLDOS (1967) e HIRTH & LOTHE

(1982)], da mesma forma como foi adotado por OLIVEIRA (1994), GEORGE & MICHOT

(1993) e SCANDIAN (2000), foram considerados as três orientações indicadas na

Tab. 4.1 para o plano de deslizamento.



27

TABELA 4.1: Orientações do plano de deslizamento usadas.

Configuração Plano de clivagem Direção da normal Série

ALFA 111 [ 211 ] K

BETA 111 [ 110 ] E

GAMMA 1 01 [ ] 100 G

4.1.2.2 Fontes de discordância no Si

Muito pouco se sabe sobre a natureza de fontes de nucleação. Na ausência de fontes em

volume em materiais quase perfeitos como o Si, a emissão de discordâncias está restrita

à aresta da trinca. Ensaios feitos com corpos de prova de Si demonstraram que a

capacidade da frente da trinca gerar discordâncias é dramaticamente reduzida quando se

consegue melhorar a qualidade dessa trinca [v. MICHOT et al. (1998) e SCANDIAN et al.

(1998)], o que enfatiza a natureza heterogênea da nucleação à frente da trinca. Logo, é

necessária a existência de defeitos para que ocorra a emissão de uma discordância.

Cálculos recentes apresentados por XU et al. confirmam essas observações.

Em alguns casos, é possível ligar a origem das discordâncias com um degrau (step) na

aresta da trinca. Essas regiões são denominadas fontes primárias.

4.1.2.3 Densidade de fontes primárias

Padrões típicos de discordâncias em torno de fontes são observados nos planos de

clivagem <110> e <111> para as trincas presentes nos corpos de prova das Figs. 4.2(a)-

(b), obtidas em um microscópio óptico (as figuras de ataque correspondem aos pontos

de desvio das discordâncias nas superfícies observadas). No primeiro deles, somente um

plano de deslizamento foi ativado, dando origem a 90 discordâncias. O segundo exibe

configurações típicas de fontes, com ativação dos tres possíveis planos de



28

escorregamento [a análise detalhada dessa configuração pode ser encontrada em Michot

et al. (1994)]. A observação daquelas figuras evidencia o caráter tridimensional do

problema, pois as discordâncias emitidas são caracterizadas pela sua forma em anel

(Fig. 4.3).

(a)

[ ]011

[ ]011 [ ]001

SP

[ ]111

[ ]101

[ ]211SP

[ ]011 [ ]101

(b)

Figura 4.2: Figuras de ataque observadas nos planos de

clivagem 110 (a) e 111 (b) depois da

fratura completa da amostra (microscopia

óptica, marcadores: 10 µm). A posição da frente

da trinca durante a deformação plástica

materializa-se por uma linha tracejada na

micrografia. Durante a propagação à

temperatura ambiente, sua posição se moveu

para baixo.



29

(1994)]. Figura 4.3: Topografia de Raios-X [OLIVEIRA



30

P2

[ ]110

e = 650 µm

P1

[ ]211

S

[ ]111

[ ]132

[ ]111

SP

SP O

Figura 4.4: (a) Micrografia óptica do plano de clivagem 111 (onde e é a espessura da amostra e os pontos O e S são as interseções da aresta da trinca com as faces da amostra antes da sua fratura completa). Os pontos de emissão de discordâncias (indicados por setas) fora evidenciados pelas figuras de ataque [v. Fig. 4.2(b)]. As discordâncias são emitidas na frente da trinca e se desenvolvem nos planos de deslizamento 111, os quais cortam as faces da amostra. No caso apresentado aqui, dois planos de deslizamento paralelos contendo duas fontes primárias SP cortam a face maior da amostra na direção [132].

A Fig. 4.4(a) mostra a distribuição das fontes primárias ao longo da frente de uma

trinca. São identificadas seis fontes primárias (plano de clivagem 1 1 1). Esse corpo

de prova foi carregado à temperatura T = 885 K, com uma taxa dK / dt = 62 Pa√m s-1 e

falhou quando KA = 1,11 KIC. A maior extensão de uma discordância em anel (medida

no plano de clivagem) foi ~ 80 µm. Dois planos de deslizamento (1 1 1) paralelos



31

originados de duas fontes aparecem na Fig. 4.4(a). Permitindo-se um desenvolvimento

maior [Fig. 4.4(b)], os anéis crescem até tocar o contorno (1 2). Os pontos de

interseção devem estar alinhados segundo a direção [132]. O número de fontes

primárias pode, então, ser deduzido a partir do número de linhas paralelas.

1

A observação das figuras de ataque na face ( 11 2) do corpo de prova mostrado na

Fig.4.5, o qual é carregado durante duas horas à temperatura T = 1.023 K, sob

KA = 0,66 MPa√m, indica que três fontes bem definidas emitiram mais que cinco anéis.

O

P2

P1

[ ]211

[ ]111

[ ]132

[ ]111

SP

SP

[ ]110

Figura 4.4: (b). Sob as condições de carregamento para o qual a fratura frágil é evitada, uma

intensa deformação plástica se desenvolve. Grandes anéis de discordância crescem

até o contorno do cristal que eles cortam localmente (triângulos escuros). Um exame

das figuras de ataque nessas faces ao longo da direção [132] fornece valiosas

informações sobre a densidade de fontes e suas atividades. No caso especial

representado aqui, os anéis emitidos são tangentes ao plano da trinca. Nenhum pit

pode ser detectado sobre o plano de clivagem. Em geral, a discordâncias cortam esse

plano e os pits são observados como aqueles vistos na Fig 4 2 (b)



32

Este tipo de observação é comum nos ensaios realizados, com um número de fontes

primárias sempre inferior a dez, ou seja, com a distância mínima entre fontes de

aproximadamente 50 µm (N.B.: deve-se ressaltar que as fontes são detectadas

freqüentemente na interseção da frente da trinca com a superfície livre (1 2). Este fato

deve-se, provavelmente, ao estado plano de tensões que prevalece nessas situações).

[1

[ ]132

os

amos

1

]21

P2

Figura 4.5: Figuras de ataque observadas na face da am tra (marcador: 50 µm). O ponto P2 [v. Fig. 4.4(b)] corresponde à interseção do maior anel de discordância com a face da tra. Pelo menos três empilhamentos de pits bem definidos (setas maiores) são notados no lado direito da micrografia, enquanto a situação é bem mais difusa no lado esquerdo.

4.1.2.4 Fontes secundárias

Se os alinhamentos das figuras de ataque que surgem das fontes primárias são

observados de formas bem definidas do lado de fora da região da zona plástica, como na

Fig.4.5, por outro lado é difícil achar traços de deslizamento sobre o plano primário

(lado esquerdo daquela figura). Pode-se concluir que a relaxação plástica dispara

algumas fontes primárias, as quais emitem dezenas de discordâncias em formações retas

bem definidas e que são prontamente seguidas da ativação de muitas fontes secundárias

que emitem, no entanto, apenas algumas discordâncias em outros planos. Este fato é

confirmado por observações AFM (Atomic Force Microscope) da superfície da trinca

após sofrer uma extensa deformação plástica [v. MICHOT et al. (2000)], mostrando que a

distância entre planos de deslizamento é muito menor que aquela entre fontes primárias.

Um mecanismo de multiplicação de fontes de discordâncias foi proposto por MICHOT et

al. (1999) e (2000). Uma das discordâncias emitidas em uma das fontes primárias migra



33

para um plano ao longo do qual ela pode se mover e tocar o fundo da trinca. A

interseção dessa discordância com a frente da trinca em um ponto em que o efeito de

blindagem inexiste dispara uma fonte secundária através do processo de emissão

estimulada [v. SCANDIAN ET AL. (1999)]. Este processo pode repetir-se mais de uma vez,

dando origem a uma avalanche de emissões de discordâncias, o que claramente provoca

um efeito de blindagem da trinca. A seguir, o processo de emissão estimulada é

apresentado, antes mesmo de se descrever o mecanismo de multiplicação de

discordâncias.

4.1.2.5 Emissão estimulada de discordâncias

Com uma clivagem quase perfeita, com as encontradas em para corpos de prova

confeccionados em GaAs, todas as tentativas de se desenvolver zonas plásticas na aresta

da trinca em corpos de prova do tipo DCB foram infrutíferas até o presente. As

discordâncias não são nucleadas para fatores de intensidade de tensões KA inferiores ao

valor de KIC, mesmo para um carregamento estático. A hipótese da nucleação

heterogênea baseia-se na correlação entre fontes de discordâncias e algumas

características das superfícies da aresta da trinca. Como é geralmente impossível se

detectar a posição da aresta da trinca em corpos de prova de GaAs, mesmo utilizando-se

microscopia óptica, conclui-se a total ausência de fontes de discordância. Como

nenhuma nucleação homogênea ocorre, o material é intrinsecamente frágil. Em corpos

de prova de Si clivados ao longo do plano 110, a nucleação pode ser suprimida

aplicando-se uma pequena carga sob alta temperatura por um tempo suficientemente

longo, de forma a aliviar, por difusão, o campo de tensões em torno dos poucos defeitos

deixados na aresta da trinca (v. KOIZUMI & MICHOT). Se as amostras correspondentes

são fraturadas à temperatura de 20°C, um aumento da tenacidade é observado, sua

ordem de grandeza subindo com a temperatura e o tempo dessa exposição. Na ausência

de discordâncias, tal efeito deve ser associado a uma mudança no raio da aresta da trinca

através da difusão. Uma primeira estimativa indica que apenas uns poucos planos

atômicos estão envolvidos nesse processo.



34

A localização das atividades das fontes nas proximidades da aresta da trinca permite que

se estude a interação entre discordâncias emitidas por fontes em volume e a frente da

trinca ainda virgem, isto é, sem a presença de discordâncias a ela presas. Como tais

fontes não são, em geral, encontradas em amostras de GaAs, ou mesmo de Si, fontes

extrínsecas são criadas por micro-identação. Em cristais de GaAs, por exemplo,

nenhuma atividade de discordância é detectada se as amostras são carregadas para que

atinjam 0,6 KIC. Em uma amostra, previamente identada com uma força de 100 g num

ponto distante 0,2 mm da frente da trinca, foi aplicada uma carga de 0,5 KIC a uma

temperatura de 450ºC e, em seguida, sob uma observação de topografia de Raios-X in-

situ, verificou-se, primeiramente, o crescimento de um contraste elástico em torno da

identação Vickers, a qual evidencia uma atividade plástica, e, em segundo lugar,

decorridos alguns minutos, a repentina aparição de uma zona plástica na aresta da

trinca. Esse mecanismo tem sido denominado emissão estimulada [v. MICHOT (1982)].

Testes equivalentes foram realizados com amostras de Si [v. SCANDIAN (2000)]. Após o

embotamento da trinca, a amostra é carregada. As discordâncias surgem a partir da

identação e algumas são atraídas pelo campo de tensões da trinca. Quando a primeira

dessas discordâncias toca a aresta da trinca, ocorre uma rápida e imediata multiplicação

de discordâncias. Dois pontos devem ser destacados: (i) a nucleação ocorre facilmente

pelo processo que se convencionou chamar emissão estimulada, pois ela ocorre sob

cargas relativamente baixas. Pode-se considerar que, localmente, a amplitude da tensão

atingida no núcleo da discordância (e que é aproximadamente igual à resistência teórica

ao cisalhamento) é suficientemente alta para estimular a emissão de uma nova

discordância na interseção do plano de deslizamento da primeira discordância com a

aresta da trinca. O processo envolvido na emissão em materiais semi-frágeis e que exige

um alto nível de energia é, então, suplantado [v. SCHOECK & PÜSCHL (1991), RICE

(1992) e XU et al. (1997)]; (ii) este primeiro evento é seguido de uma rápida

multiplicação da população de discordâncias. Uma explicação possível para a origem do

mecanismo de avalanche é apresentada a seguir.


Acredita-se que o mecanismo de emissão estimulada seja válido também para materiais

contendo fontes em volume. Provavelmente, é este mecanismo o responsável pela


35

grande plasticidade encontrada na aresta de trincas de materiais dúteis, pois ela baixa as

tensões necessárias para a ativação de fontes na aresta da trinca e de fontes em volume.

4.1.2.6 Mecanismo de multiplicação de fontes de discordâncias

A posição do tetraedro de Thompson em relação à orientação cristalográfica é vista na

Fig.4.6. Algumas discordâncias com vetor de Burgers b = (a/2) [0 1 1] são emitidas na

fonte primária, SPRI sobre o plano de deslizamento (1 ) mostrado na Fig.4.7 e move-se

para o ponto SSEC por um deslizamento desviado, onde intercepta a aresta da trinca. A

fonte secundária ativada emite uma nova trilha de discordâncias e o processo reinicia.

Alguns argumentos sustentam essa hipótese, mesmo se, devido à resolução limitada da

topografia por Raios-X, este mecanismo não tenha sido observado diretamente:

11

(i) Em primeiro lugar, em pelo menos uma orientação, não há dúvidas com

relação à migração de planos, pois se verificou que ele ocorre durante o

crescimento da zona plástica [v. OLIVEIRA & MICHOT (1995)];

(ii) Em segundo lugar, a factibilidade do processo de migração de planos foi

verificada. Sob um carregamento no Modo I, o sistema de deslizamento

± a/2 [011] (1 ) é observado com freqüência. O campo de tensões

impõe o sinal positivo ao vetor de Burgers para que a condição de

crescimento do anel seja satisfeita. Se ele se move no plano de deslizamento

(1 ), esta discordância estará sujeita a um campo de tensões de amplitude

relativamente baixa e cujo sinal satisfaz a condição de encolhimento. Como

a amplitude da tensão de cisalhamento resolvida impõe a escolha do plano

primário, qual seria a razão para que a discordância muda-se para este

plano? Sob uma tal situação de desequilíbrio, a tensão é mais baixa na

última discordância emitida do que na primeira delas. Isto se deve à tensão

de retorno das discordâncias já emitidas. Quanto maior o número de

discordâncias no empilhamento inverso, menor é o valor da tensão que age

sobre a última discordância emitida. A trinca é, então, blindada em torno da

11

11



36

fonte primária. Entretanto, cálculos de modelos tridimensionais [v.

OLIVEIRA & MICHOT (1998)] mostram que o comprimento da aresta da

trinca influenciado por esta blindagem é menor que o raio da discordância.

Isto significa que a fonte secundária é apenas ligeiramente blindada.

Dependendo das condições de ensaio (temperatura, carga e taxa de variação

do carregamento), existirá um número crítico de discordâncias emitidas,

acima do qual haverá migração, o que leva à emissão estimulada;

Ssec

b = a/2 ([011])

[111]

[111]

P1

Figura 4.6: Uma das orientações cristalográficas concebidas para o Modo I de carregamento para amostras de Si clivadas no plano (111). Supões-se que quatro discordâncias com vetores de Burgers (a/2) [0 1 1] são emitidas de uma fonte primária SPRI. O segmento P1P2 da quarta discordância emitida migra do plano de deslizamento (1 1 1) para o outro plano de deslizamento (1 1 1).

P2

Sp

(iii) Por último, pode-se concluir que a relaxação plástica se inicia pelo

aparecimento de algumas fontes primárias, as quais são rapidamente

seguidas pela estimulação de muitas novas fontes que emitem cada vez INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


37

menos discordâncias à medida que se multiplicam. A emissão da primeira

discordância é a situação mais difícil de se determinar, indicando, assim, um

ponto de interesse para se analisar a interação entre a trinca e uma

discordância.

[111]

[111]

P1

Spr

Ssec

b = a/2 [011]

FIGURA 4.7: A MIGRAÇÃO ACONTECE PORQUE O SEGMENTO P1P2 É ATRAÍDO PELA TRINCA. ENTÃO, O SEGMENTO SE CURVA NO PLANO (1 1 1) ATÉ O MOMENTO EM QUE ELE CORTA A ARESTA DA TRINCA. UMA FONTE SECUNDÁRIA É ATIVADA ATRAVÉS DO PROCESSO DE EMISSÃO ESTIMULADA [V Michot (1982)]

P2

4.1.2.7 A transição dútil-frágil (BDT)

Origem da transição

Quando uma trinca é posta sob carga de abertura a uma taxa de crescimento constante

, surge a competição entre o aumento da energia elástica devida à carga aplicada e a

relaxação plástica induzida pela emissão e pela mobilidade de discordâncias, . Se a

taxa de crescimento da zona plástica (i.e., a taxa de crescimento da blindagem) é

controlada pela mobilidade da discordância (principalmente em função da temperatura),

AKi

dKi



38

pode-se esperar a transição de um modo de baixa absorção da energia de clivagem (em

baixas temperaturas) para um modo dútil, no qual é grande a absorção desta energia (em

altas temperaturas). Esta transição do material de uma condição frágil para uma outra

dútil é controlada por parâmetros físicos (emissão, multiplicação e mobilidade da

discordância) e por fatores geométricos (cristalografia do deslizamento, modo de

abertura da trinca). A fratura frágil aparecerá se o fator de intensidade de tensão efetivo,

KE = KA + Kd (Kd < 0), ultrapassa a tenacidade do material KC. Caso contrário, uma

abertura dútil será observada.

A mudança no comportamento ocorre a uma temperatura crítica, TC, denominada

temperatura de transição f'rágil-dútil (BDDT - Brittle to Ductile Transition

Temperature). Como a taxa de crescimento da zona plástica depende da temperatura e

do tempo, a BDDT é sensível à taxa de aumento do carregamento e, assim, não pode ser

considerada como uma propriedade intrínseca do material. ST. JOHN (1975), MICHOT &

GEORGE (1985) e MICHOT (1989) investigaram a transição frágil-dútil no Modo I de

abertura para amostras de Si monocristalino que haviam sofrido um processo prévio de

clivagem e que foram carregadas com uma taxa de abertura ( = dδ/dt) constante. A

transição observada ocorre dentro de uma estreita faixa de temperatura, como mostra a

Fig. 4.8, e a BDTT mostra-se dependente da taxa de abertura, com uma energia de

ativação, ϕ, próxima a 2eV para a fiaxa de temperatura entre 973 e 1.223ºK. Isto pode

ser expresso por

δ

dδ/dt (ou dK/dt) α exp(– Q / k TC) , (a)

onde k é a constante de Boltzmann

No trabalho pioneiro de St. John, a transição frágil-dútil é atribuída ao embotamento da

ponta da trinca causado pela deformação plástica que compete com o crescimento da

tensão aplicada. Esta idéia foi mais tarde estendida para o nível microscópico [HAASEN

(1983) e BREDE & HAASEN (1988)] em função de emissão de discordâncias em uma

ponta de trinca embotamento. Entretanto, pelo Princípio de St.Venant [ou a cálculos

mais sofisticados de PASJIN et al. (1985)], como os planos de deslizamento cortam a INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


39

aresta da trinca em apenas um ponto, a perturbação limita-se a algumas poucas

distâncias interatômicas ao longo da frente da trinca, ou seja, uma distância bem menor

que o espaçamento dos planos de deslizamentos ativos. Isto indica que a relaxação de

tensões por embotamento é desprezível. Ensaios feitos por OLIVEIRA & MICHOT (1995)

indicam que, mesmo para orientações favoráveis, a blindagem resultante de

deslizamentos de planos que quase contêm a aresta da trinca é, de fato, o mecanismo de

relaxação predominante. XU, ARGON & ORTIZ (1995) mostraram, por estimativas

mecânicas, que a nucleação de discordâncias desses planos de embotamento é pouco

provável de ocorrer para muitos cristais. MICHOT & GEORGE (1985) ligaram a transição

frágil-dútil a um mecanismo de blindagem provocado por uma discordância.

Figura 4.8: Dependência dos fatores de intensidade de tensão em relação à temperatura para diferentes valores de δ . Os círculos cheios representam KC, os fatores de intensidade de tensão de clivagem, enquanto os círculos vazados são os fatores de intensidade de tensão plásticos, KI [MICHOT (1989) e MICHOT & GEORGE (1985)], para um Si do tipo Czochralski.



40

A cinética de movimentação de discordâncias é um processo térmico de ativação de

energia, próxima a 2eV no Si. Assim admite-se, já há algum tempo, que a transição

frágil-dútil era controlada pela mobilidade de discordâncias. A mesma observação é

válida para outros materiais como Ge, AsGa, Mo e Al2O3, como mostram HIRSCH &

ROBERTS (1996). Entretanto, somente a inclinação da curva é imposta através da energia

de ativação no gráfico de Arrhenius relacionando a taxa de variação de tensão com a

BDTT. Grandes afastamentos na BDTT são, de fato, observadas no Si (Fig. 4.9), de

acordo com a orientação cristalográfica, origem (zona de flutuação, ou Czochralski),

pureza (intrínseca, dopagem, conteúdo de oxigênio, carga de hidogênio, etc.) e

tratamentos termomecânicos. Afastamentos, nos quais a inclinação da curva mantém-se

constante, são resultados de diferenças nas atividades das fontes, enquanto uma variação

desta inclinação deve-se a outros mecanismos ativados termicamente (nucleação,

interações das discordâncias que se movem com eventuais obstáculos, etc.). Qualquer

tentativa de prever a BDTT significará lidar com a avaliação da atividade de

discordâncias. Admitindo um equilíbrio do crescimento da zona plástica, é possível

contornar essa dificuldade. Porém, esta não é uma hipótese realista, o que é confirmado

por experimentos, e, além disso, em cristais covalentes a tensão de atrito deve ser

compreendida como um parâmetro dinâmico, pois a taxa de variação de tensão com o

tempo (fluxo de tensão), por ela definida, é muito sensível à taxa de variação de

deformação. Por essas razões, HIRSCH et al. (1989) desenvolveram um modelo

bidimensional e simularam situações de desequilíbrio, introduzindo explicitamente a

mobilidade da discordância. Muito embora eles não tenham conseguido evitar algumas

hipóteses sobre as condições de emissão de discordâncias, eles destacaram o conceito

fundamental de uma distância crítica entre fontes, dC, abaixo da qual, sob as condições

em que ocorre o ensaio, todos pontos vulneráveis sobre o perfil da trinca podem ser

blindados (KE < KIC). A característica nova e fundamental deste modelo é que duas

escalas definem a BDT: a zona livre de discordâncias, obtida de considerações

unicamente bidimensionais, e um parâmetro micro-estrutural que é o espaçamento entre

fontes de discordância.



41

106 B C

A

105 E D dKA/dt

F G H

104 (MPa√m s-1)

103

102

0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 x1000

/ TC

Figura 4.9: Taxa de variação de carregamento, K , versus o inverso da temperatura crítica de transição no Si, TC, tal como obtidas por HIRSCH & ROBERTS (1996): grandes variações são observadas de acordo com a geometria da amostra testada, a origem do cristal, a pureza, o procedimento para inserira trinca no material, etc..

A nitidez da transição

Como os processos termicamente ativados exibem variações contínuas sobre uma larga

gama de temperaturas, torna-se difícil, para alguns autores [XU et al. (1995)], explicar o

rápido aumento na resistência do material, observado a alguns graus abaixo da BDTT

(Fig. 4.8) através de um simples mecanismo de blindagem pelo surgimento de uma

discordância. De fato, um aumento contínuo e permanente da blindagem deve levar a

uma variação do fator de intensidade de tensão KE(t) no ponto mais vulnerável ao longo

da frente da trinca [Fig. 4.10 (a)]. Uma transição suave é observada, uma vez que a

trinca só acontece para fatores de intensidade de tensão aplicados (KA = KC) muito

maiores que a tenacidade do material, KIC em temperaturas logo abaixo de TC. Por outro

lado, para uma transição mais nítida, é necessário um rápido crescimento da blindagem

[Fig. 4.10 (b)]. Pergunta-se, então, como explicar esse aumento?



42

T IMEDIATAMENTE ACIMA DA TRANSIÇÃO FRÁGIL DÚTIL

K KKC

KIC KIC

KA KA

KC

KE KE

KMIN KMIN

KD KD

t t

Figura 4.10:Variações admitidas para a contribuição da blindagem, Kd, para o fator de intensidade de tensão efetivo, KE, nos pontos mais vulneráveis ao longo da frente da trinca para uma dada taxa de carregamento, AK : (a) para uma transição suave, as discordâncias que geram a blindagem são emitidas para baixos valores de KA; (b) para uma transição mais abrupta, a discordância que gera a blindagem surge quando os valores de KA estão próximos de KIC.

HIRSCH et al. (1995) escolheram a rota da simulação para apreciar a influência dos

diferentes parâmetros (taxa de mobilidade, nucleação, taxa de carregamento, etc.) sobre

a amplitude da blindagem. Para considerar esta clara separação da BDT, a primeira

emissão deve ser iniciada em um valor próximo a KIC e ser seguido por uma rápida

emissão de conjuntos de discordância sob um nível mais baixo de tensão. Expressando a

condição de nucleação em função das componentes de tensão, ao invés de termos do

fator de intensidade efetivo, MAEDA (1989) obteve uma transição mais nítida e com

menos hipóteses, enquanto BREDE (1993) e XIN & HSIA (1997) obtiveram o mesmo

resultado acelerando o processo de blindagem através do aumento do número de

sistemas de deslizamento ativados. Pode-se pensar que o número de planos de



43

deslizamento envolvidos é importante, mas somente isto não é suficiente para explicar a

evolução da blindagem. MICHOT et al. (1998) evidenciaram que as simulações

bidimensionais não representam adequadamente a cinética do mecanismo, pois as

hipóteses admitidas no modelo de duas dimensões abstraem-se da evolução da

população de fontes de discordância durante o teste. Aqueles autores concluiram,

através de medições in-situ, que a taxa de nucleação de discordâncias deve ser

proporcional ao produto KA · (dKA / dt), isto é, o número de fontes deve aumentar

segundo uma relação de t2. Experimentos recentes sobre a emissão estimulada [MICHOT

et al. (1998)] mostram que, tão logo que uma primeira discordância esteja disponível na

aresta da trinca, outras discordâncias surgem, mesmo sob níveis mais baixos de tensão.

As discordâncias multiplicam-se por um mecanismo de avalanche, ou seja, a taxa de

multiplicação de discordâncias resultante da ativação de novas fontes é muito maior que

aquela resultante da mobilidade de emissão controlada para uma mesma fonte.

Esta é uma das condições que levam a uma transição mais abrupta, de acordo com a

simulação de HIRSCH et al. (1995). Entretanto, essa condição não é suficiente. Se este

mecanismo de multiplicação sempre ocorre, como se pode justificar uma evolução

suave como aquela proposta pela Fig. 4.10 (a)? Obviamente, a transição repentina

depende de um outro parâmetro. Pela simulação de Hirsch, um alto valor limite de KMIN

para a emissão da primeira discordância também é necessário para se obter uma BDT

abrupta. Assim, deve-se procurar um mecanismo físico a nível microscópico para a

criação de novas fontes cuja eficiência será dependente da tensão.. Isto pode ser

alcançado através do estímulo do processo de emissão anteriormente descrito. Seria este

mecanismo sensível à tensão? Experimentalmente, a contagem de figuras de ataque em

amostras de Si carregadas sob condições de fluência por um período de duas horas

indica um crescimento muito rápido do número de discordâncias, n, dentro da zona

plástica com o carregamento aplicado [MICHOT (1982)], sendo que esse número situa-se

em torno de n KA8 ! A taxa de geração de fontes (o inverso do laso de tempo

necessário para uma discordância percorrer a trajetória da fonte primária até uma

segunda fonte) é proporcional à mobilidade da discordância (para o Si, o expoente de

tensão é próximo da unidade) e ao inverso da distância d percorrida pela discordância.



44

Quando o valor limite para ativação da fonte, KMIN, é baixo, as condições de crescimento

estão próximas de uma condição de equilíbrio, i.e., todas as discordâncias estão

aproximadamente sob o mesmo campo de tensão, a migração entre planos é improvável

de ocorrer, d deve ser grande e a taxa de ativação de novas fontes é muito baixa. Para

valores mais altos de KMIN, as condições de desequilíbrio acopladas à maior mobilidade

favorecem a migração entre planos, aumentando, assim, a taxa de ativação de novas

fontes.

Sob condições conhecidas de temperatura e de taxa de carregamento, quanto mais baixo

o valor limite da fonte de ativação, KMIN, mais baixa será a taxa de multiplicação de

discordâncias. O aumento da taxa de blindagem é contínuo e uma transição suave é

esperada [Fig. 4.10 (a)]. Em oposição, para valores mais altos de KMIN a taxa de

multiplicação é instantaneamente aumentada, bem como a taxa de blindagem. Uma

transição abrupta é esperada [Fig. 4.10 (b)]. Pode-se concluir que a transição abrupta

observada no Si resulta do fato que algumas fontes disponíveis na frente da trinca são

ativadas sob um valor alto de KMIN e que elas se multiplicam por um mecanismo de

avalanche cuja eficiência depende fortemente do nível de tensão, ou seja, uma emissão

estimulada na frente da trinca irá aparecer sob um valor baixo de KMIN e levará o

material a uma transição suave. No Si, uma rede equivalente pode ser desenvolvida pelo

efeito de uma pré-deformação. Com efeito, a forma da BDT muda de abrupta para suave

quando cristais de Si livres de discordâncias são substituídos por amostras pré-

tensionadas e aquecidas [WARREN (1989)]. Um crescimento semelhante no valor da

tenacidade após deformação foi também observado em monocristais de NiAl [EBRAHIMI

& SHRIVASTAVA (1998)].

Comentários

Quando dois mecanismos independentes, porém alternativos, estão competindo durante

qualquer transformação microestrutural, a evolução global será controlada pelo mais

rápido deles, isto é, aquele com a maior energia de ativação em alta temperatura, ou

aquele com o fator pré-exponencial mais alto em baixa temperatura. Por outro lado,



45

quando dois mecanismos independentes, mas simultâneos, combinam-se para efetuar a

transformação, a evolução será controlada pelo mais lento deles.

A transição frágil-dútil depende da habilidade do material em gerar e mover

discordâncias. Esses mecanismos não são independentes no sentido que, em primeiro

lugar, deve existir uma emissão de discordâncias antes que elas possam mover-se. O

mecanismo mais lento ainda controla a transição global. A taxa de blindagem deve ser,

em primeira aproximação, proporcional ao produto da taxa de nucleação de

discordâncias pela mobilidade dessas discordâncias. Sob a hipótese de nucleação

heterogênea, o número de fontes depende ou da densidade de densidade de defeitos ao

longo da frente da trinca, ou da densidade de fontes volumétricas na origem de emissões

estimuladas na frente da trinca. A taxa de nucleação depende não somente do nível de

tensão, mas, também, da temperatura ao longo da mobilidade da discordância, como é

explicitamente colocado no modelo de multiplicação proposto. Não se pode descartar a

hipótese de nucleação homogênea. Porém, como experimentalmente a nucleação surge

mais facilmente em defeitos, pode-se imaginar um processo de nucleação ativada

somente em tensões próximas àquela necessária para romper o material. O segundo

termo do produto, ou seja, a mobilidade da discordância, controla a atividade das fontes

e, como foi dito anteriormente, uma parte da taxa de nucleação. Portanto, não

surpreende que, em muitos casos, a BDT é interpretada como um processo

termicamente ativado e controlado pela mobilidade da discordância [HIRSCH &

ROBERTS (1996) e GUMBSCH (1998)]. De fato, exceto no caso de amostras de Si livres

de discordâncias, não existem evidências de uma BDT dominada por nucleações.

GUMBSCH (1998) mostrou, recentemente, que em monocristais de tungstênio a

nucleação de discordâncias identifica-se com um processo de controle apenas em trincas

sob regimes semi-frágeis de baixas temperaturas, bem abaixo da transição.


Um fato importante a destacar é a que o mecanismo de multiplicação proposto é

termicamente ativado, pois a taxa de multiplicação de fontes ao longo da aresta da trinca

depende da mobilidade da discordância. Portanto, todos os ensaios realizados com o Si

devem levar a um valor de ativação comum., i.e., aquele necessário para a ativação do

deslizamento da discordância. Pode-se afirmar, uma vez que a densidade das fontes


46

primárias ao longo da frente da trinca impõe um valor absoluto para a temperatura de

transição, que a BDT, nos cristais de Si livres de discordâncias, é controlada pela

nucleação.

4.1.3 PRINCÍPIOS FÍSICOS

Ao realizar o cálculo da interação discordância-trinca OLIVEIRA (1994) e OLIVEIRA &

MICHOT (1994) tinham em mente a comprovação dos efeitos de shielding e de

antishielding da frente da trinca. Esses efeitos, que podem ser traduzidos como

blindagem e antiblindagem, respectivamente, descrevem o fenômeno de redução

(shielding), ou de aumento (antishielding) do nível de tensão na região da frente da

trinca. Essa alteração no nível de tensão se reflete na alteração dos fatores de

intensidade de tensão, KI, KII e KIII e, portanto, na inibição, ou na exacerbação da

propagação da trinca.

O cálculo admite que a discordância está posicionada imediatamente à frente da trinca,

mas, diferentemente de RICE & THOMSON (1994), está situada em um dos planos de

deslizamento do material que intercepta a frente da trinca em apenas um ponto. A

Fig. 4.11 faz uma comparação entre o modelo RICE-THOMSON (a) e o modelo de

OLIVEIRA-MICHOT (b).

Na configuração usada no cálculo de Oliveira-Michot, a existência de um anel de

discordância dá origem a um campo de tensões em suas vizinhanças e que altera o

campo de tensões à frente da trinca. Quando as tensões em ambos os campos

apresentam sinais contrários e o nível de tensão é reduzido, ocorre o shielding, ou seja, a

propagação da trinca é inibida pela presença da discordância; em caso contrário, ocorre

o anti-shielding.

A configuração usada nos cálculos de RICE-THOMSON foi concebida para determinar as

diferentes condições em que ocorrem as respostas dútil e frágil de materiais cristalinos.

Nela, um semi-anel de discordância se situa em um plano de deslizamento que contém a



47

aresta da trinca. Essa simplificação reduz o problema em uma dimensão, permitindo,

assim, que a solução seja expressa em função da parte real de uma função complexa.

Por seu lado, a configuração usada nos cálculos de Oliveira-Michot apresenta uma

análise tridimensional completa do problema. No entanto, a análise feita em

RICE & THOMSON (1974) mostra que existe uma força de atração exercida sobre a

discordância pela aresta da trinca (sem carga) e uma outra força de repulsão produzida

pela ação das forças externas. É possível, então, calcular o trabalho produzido por essas

forças sobre a discordância situada em um ponto qualquer do seu plano de deslizamento

e, assim, determinar o raio crítico de emissão da discordância. Embora a solução pelo

modelo de Oliveira-Michot seja mais geral, OLIVEIRA (1994) não apresenta essa análise,

nem se conhece quem a tenha feito.

Apresenta-se, a seguir, uma formulação geral, na qual as equações são obtidas de forma

consistente e utilizando variáveis adimensionalizadas em relação a parâmetros

intrínsecos ao problema.

y

x

z

discordância

y

x

z

discordância plano de

deslizamento

(a) (b)

Figura 4.11: Interação discordância anelar-trinca: (a) configuração usada no modelo de RICE-THOMSON, vendo-se o semi-anel situado em um plano de deslizamento que contém a frente da trinca; (b) configuração usada no Modelo OLIVEIRA-MICHOT, na qual o anel inteiro está situado em plano de deslizamento oblíquo em relação à frente da trinca.

plano de propagação da trinca

abertura da trinca



48

Figura 4.12: Corpo elástico B: (a) em repouso sem carregamento; e (b) em uma posição de equilíbrio, após sofrer um carregamento P, q.

(a)

B

Ω

Γ

X2

X1 X3

O

(b)

P1

P2 P3

q1

q2

X2

X1 X3

O

Ω’

Γ’

4.1.3.1 A energia potencial de um corpo

Um corpo elástico B ocupa, inicialmente, uma região do espaço Ω delimitada por Γ,

como mostra a Fig. 4.12(a). Ao ser submetido a um carregamento P, q, indicado na

Fig. 4.12(b), seus pontos materiais passam a ocupar uma nova região do espaço, Ω’,

muito próxima de Ω e delimitada por Γ’. Admitindo-se que o corpo seja um meio



49

contínuo perfeito, a energia potencial total do sistema deformado pode ser calculada por

[LANGHAAR (1962) e WASHIZU (1982)]

Π p = Πo = Uo + Wo (4.1)

onde Uo é a energia elástica armazenada no corpo, dada por

Uo = ∫Ω21

σ : ε dΩ , (4.2)

onde σ é a diádica de tensão, ε a diádica de deformação e Wo é o trabalho realizado

pelas forças conservativas, q e P, aplicadas sobre o corpo ao longo do deslocamento u,

dado por

Wo = – q · u dΓ – ∫Γ ∑i

Pi · u . (4.3)

4.1.3.2 A variação de energia causada pela presença de uma discordância

Seja o corpo elástico B no qual existe uma discordância que pode ser descrita pelo

vetor de Burgers b (bx, by). A presença desse defeito provoca, internamente, um campo

de deformações e, por conseguinte, um campo de tensões que se traduz pelo acúmulo de

energia elástica em torno da linha de discordância. Uma forma de calcular esta energia é

considerar que ela representa o trabalho de forças externas capazes de criar a mesma

discordância. Para simplificar o procedimento, imagine-se que o corpo B tenha uma de

suas dimensões conhecida, e.g., a sua espessura, dada por B, como mostra a Fig. 4.13.

Efetuando-se um corte no corpo a partir da posição da discordância e na direção paralela

à direção da componente bx, até a sua superfície, de tal forma que a coordenada x se

situe no intervalo 0 [ x [ R, e, a seguir, deslocando a região inferior do valor daquela

componente do vetor b, obtém-se o vetor de tensão aplicada à superfície n (0,1,0) dado

por tA(x) = σΑ · n, o qual varia de um valor 0, na raiz do corte, até o valor tA(bx), na

superfície do corpo. Ao longo do plano do corte existe um aumento do trabalho



50

necessário para fazer com que as duas partes se separem de bx. Para um trecho dbx, este

aumento corresponde a

dW = B dbx σ∫R

0 xy (x) dx . (4.4)

B y

x

bx

σxy(x, bx)

Figura 4.13: Geração de uma discordância em aresta através do corte do material, com deslocamento na parte inferior (x > 0, y < 0) igual a bx em relação à parte superior (x > 0, y > 0), com o restabelecimento do material inteiro (recolagem). Durante esta operação (quasi-estática), a componente da tensão, σxy aumenta progressivamente e o trabalho total é igual ao aumento de energia elástica.

Na Eq. (4.4), a tensão aplicada é igual e oposta à tensão causada pela presença da

discordância, cujo vetor de Burgers é bx. Admitindo que o campo de tensão se

desenvolve a partir de um campo potencial Φ(x, y), como é o caso das tensões

originadas nas funções de Airy, por exemplo, por ter apenas a componente de

cisalhamento, a tensão pode ser encontrada por – (∂2Φ/∂x∂y). Assim, a Eq. (4.4) pode

ser reescrita na forma

dW = B dbx (∂∫R

02Φ/∂x∂y) dx = B dbx [– Φx(R, 0) + Φx(0, 0)] , (4.5)

onde Φx = – (∂Φ/∂y). Uma vez que, sobre a superfície livre do corpo, as tensões são

nulas e Φx(R, 0) ≡ 0. Considerando-se, agora, apenas a componente by do vetor de



51

Burgers, nada se modifica na Eq. (4.4), uma vez que esta componente gera uma tensão

normal à superfície do corte e, portanto, não realiza trabalho. Num raciocínio

semelhante para um corte efetuado ao longo da direção y, chega-se ao aumento de

trabalho dado por

dW = – B dby (∂∫R

02Φ/∂x∂y) dy = B dby Φy(0, 0) , (4.6)

com Φy = (∂Φ/∂x). Para as duas componentes, o aumento total do trabalho por unidade

de comprimento de largura do corpo será

dW/B = dbx Φx(0, 0) + dby Φy(0, 0) . (4.7)

Usando a notação r, a integração da Eq. (4.7) leva a

W/B = ½ [Φ1(r) b1 + Φ2(r) b2] = ½ Φi(r) bi , (4.8)

onde a repetição de índices denota um somatório em i.

De posse desse resultado e com as Eqs. (4.1-3), a energia potencial de um corpo em que

existam n discordâncias é dada por

Πp = ∫Ω21

σ : ε dΩ – Γ∫ q

q · u dΓ – ∑j

Pj · uj – ½ ∑k

Φik(ρ) bi

k . (4.9)

4.1.3.3 Formulação de energia do problema da Mecânica da Fratura

Admita-se, agora, que, no corpo elástico B, do qual se conhece uma de suas dimensões

dada por B, exista internamente uma pequena região S, de comprimento 2a, mostrada na

Fig. 4.14, representando a trinca.

A força capaz de aumentar a superfície da trinca, chamada força de extensão, é dada por

G = (∂Πp/∂A) . (4.10)



52

Figura 4.14: Corpo elástico com superfície interna livre S. A parte superior da superfície livre é denotada por S+ e a parte inferior é denotada por S– , enquanto a normal é denotada nS.

x

y

z

S+

S–

B

nS

2a

Devem-se considerar, a partir daqui, os modos de abertura da superfície S mostrados na

Fig. 3.1: Modo I, para esforço normal ao plano da superfície; Modo II, para

cisalhamento no plano da superfície e atuante na direção x da Fig. 4.14; e, finalmente,

Modo III, para cisalhamento também no plano da superfície, mas atuante na direção z.

Nesses casos, as componentes da diádica de tensões σ' = [σ11 σ12 σ13 σ22 σ23 σ33]T

podem ser obtidas pela relação de Irwin [v. MAUGIN (1992) e FETT (1998)]

σ' = rπ2

1 Φ(θ) K J , (4.11)

onde r é a distância entre a aresta da trinca e o ponto considerado e θ é o ângulo que r

faz com a horizontal, mostrado na Fig. 4.15, e a função angular Φ(θ) é dada por



53

E x

y

θ

Figura 4.15: Região do corpo em que a Φ é determinado em função do ângulo θ.

Φ(θ) = , (4.12)

636261

535251

434241

333231

232221

131311

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

sendo

Φ11 = Φ22 =

−

2θ3sen

2θsen1

2θosc ,

Φ12 =

+−

2θ3cos

2θcos2

2θsen ,

Φ21 = Φ42 = 2θ3cos

2θcos

2θens ,

Φ33 = 2θsen− ,

Φ41 =

+

2θ3sen

2θsen1

2θcos ,



54

Φ53 = 2θcos ,

Φ61 = 2 ν2θcos ,

Φ62 = –2 ν 2θsen ,

Φ13 = Φ23 = Φ31 = Φ32 = Φ43 = Φ51 = Φ52 = Φ63 = 0, (4.13.a-i)

e

K J = [ KI KII KIII ]T . (4.14)

IRWIN (1957) relacionou a força de extensão da trinca e os fatores de intensidade de

tensão por

G = 21

2 Eν− ( KI

2 + KII2) +

µ21 KIII

2 , (4.15)

onde E é o módulo de elasticidade do material, ν é o seu coeficiente de Poisson e µ é o

módulo de elasticidade transversal. Considerando apenas o Modo I de abertura da

superfície, a Eq. (4.15) reduz-se a

G = 21

2 Eν −

KI

2 = KI2 / H . (4.16)

Admita-se, agora, que, aplicado sobre o corpo elástico B, um carregamento qualquer

P+ resulte em um fator de intensidade de tensão dado K+I. Se um segundo carregamento,

por exemplo, P–, é aplicado sobre o corpo, obtem-se um novo fator de intensidade de

tensão K–I. Sobrepor esses dois carregamentos é o mesmo que retirar a carga, com o

fator de intensidadede tensão

KI = K+I + K–

I (4.17) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


55

e a força de extensão será

G = (K+I + K–

I)2 / H = [(K+I)2 + 2(K+

I) (K–I) + (K–

I)2] / H . (4.18)

Usando a definição da força de extensão vista na Eq. (4.10), tem-se

G = (K+I + K–

I)2 / H = 12 A Γ

∂∂ ∫

t

[(σ · n)+ + (σ · n)–] · (u+ + u–) dΓ +

+ 12 A Ω

∂∂ ∫ [(f+ + f–) · (u+ + u–)] dΩ . (4.19)

Restringindo a análise aos termos cruzados da Eq. (4.19) e omitindo-se o índice I do

fator de intensidade de tensão, chega-se a

(K+ · K–) / H = 12 A Γ

∂∂ ∫

t

[t+ · u– + t– · u+] dΓ + 12 A Ω

∂∂ ∫ [f+ · u– + f– · u+] dΩ ,

(4.20)

onde se considerou t = (σ · u). Pelo Teorema de Betti da reciprocidade, t+ · u– = t– · u+ e

os termos da Eq. (4.20) se somam para dar

K– = HK A+

∂∂

Γ∫ t

t– · u+ dΓ + f∫Ω– · u+ dΩ . (4.21)

Se o campo de deslocamentos u+ é conhecido para um dado carregamento K+, pode-se,

então, determinar, para o corpo elástico considerado, o fator de intensidade de tensão

induzido K–, qualquer que seja o carregamento.

Introduzindo o termo devido à presença de uma discordância na equação do trabalho

das forças que atuam sobre o corpo, tem-se, da Eq. (4.28),

K– = HK A+

∂∂

Γ∫ t

t– · u+ dΓ + f∫Ω– · u+ dΩ + ∑

kΦi

+k(r) bi–k

. (4.22)



56

θ

σ22dA

σ12dA df2

df1

(a) Kd = 0 (b) Kd = KA = 0

θ

(c) Kd g 0 (d) KA = –Kd

θ

Figura 4.16: A superposição dos efeitos da trinca e da discordância que interagem: (a) a discordância em um meio infinito sem a trinca (logo, Kd = 0); (b) a mesma discordância próxima a uma trinca que é fechada por um carregamento tal que Kd = KA = 0; (c) a discordância próxima à trinca causa um campo de tensões que se traduz por Kd g 0; (d) para recuperar o meio contínuo, agora com a trinca, mas retirada a discordância, é preciso que se aplique um carregamento para fechar a trinca tal que KA = Kd.



57

Na Eq. (4.22), vê-se que o K– total é, então, o resultado da contribuição das forças de

superfície (primeiro termo do lado direito), das forças de corpo (segundo termo) e das

forças devidas à presença da discordância (terceiro termo). Nota-se que existirá um K–

mesmo que inexistam forças de superfície e forças de corpo atuando. Conclui-se que

cada discordância age como um carregamento interno. No entanto, como Φi(r) é um

potencial obtido de uma função de Airy, este método somente pode ser utilizado para

problemas bidimensionais.

É interessante observar que a superposição dos efeitos provocados pela trinca e pela

presença da discordância não é evidente, como mostrou OLIVEIRA (1994). A

Fig. 4.16(a) mostra uma região do corpo elástico e contínuo B em que existe uma

discordância. Se existe uma trinca nas proximidades da discordância, o contínuo pode

ser recuperado aplicando-se um carregamento sobre as duas faces da trinca, S+ e S–, de

maneira que se obtenha o seu completo fechamento. O corpo da Fig. 4.16(b) é, então,

idêntico ao da Fig. 4.16(a). Pode-se chegar ao mesmo resultado somando-se o efeito da

perturbação provocada pela presença da discordância sobre a trinca, representado por

Kd, como mostra a Fig. 4.16(c), e um carregamento externo tal que KA = – Kd, esse

mostrado na Fig. 4.16(d).

4.2 A SOLUÇÃO COMPUTACIONAL

A solução computacional do problema envolve uma primeira parte inteiramente

analítica – até o cálculo do campo de tensões em torno da discordância, cujas

expressões são dadas em função de integrais elípticas conhecidas, e suas projeções no

plano da trinca – e uma segunda parte totalmente numérica e que finaliza os cálculos

para se obter, em primeiro lugar, os fatores de intensidade de tensão, KJ, e, em seguida,

a variação da energia.

A primeira parte do procedimento computacional inicia-se com as relações básicas entre

as coordenadas associadas ao sistema cristalino, ao plano de propagação da trinca e ao

plano de deslizamento. Matrizes de transformação são construídas entre os três INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


58

sistemas. As três configurações usadas na definição do plano de deslizamento do Silício

dependem da sua orientação cristalográfica descritas na Tab. 4.1. A configuração ALFA

corresponde à orientação de mesmo nome e assim sucessivamente. A seguir, o

procedimento gera uma malha de elementos sobre a superfície da trinca. A malha é

polar e tem como referência o ponto onde a discordância toca a aresta da trinca. Para

determinar a distância radial usa-se o parâmetro p da solução das integrais elípticas, e,

na varredura angular, o ângulo λ. As seis componentes independentes da diádica de

tensão são calculadas analiticamente para cada nó desses elementos e, em seguida, lhes

é aplicada a transformação entre os sistemas de coordenadas do plano de deslizamento e

do plano de propagação da trinca. Obtém-se, então, o vetor de tensão, representado pela

componente normal da tensão e pelas componentes de cisalhamento no plano da trinca

que resultam nas forças dfi responsáveis pelo fechamento da trinca (v. Fig. 4.13).

Na segunda parte, procede-se utilizando os resultados analíticos já obtidos para se

calcular, iterativamente, os fatores de intensidade de tensão, por integração numérica, e

a força-imagem para diferentes posições de um anel de discordância afastado da aresta

da trinca. A variação do trabalho realizado pela força-imagem ao longo de uma

trajetória virtual de afastamento é calculada e igualada à variação de energia elástica

induzida pela proximidade das superfícies livres da trinca. As duas partes da solução

serão detalhadas a seguir.

4.2.1 O ANEL DE DISCORDÂNCIA E SEU CAMPO DE TENSÕES

4.2.1.1 A malha de elementos

Processos iterativos exigem uma relativa rapidez nos cálculos. Tempos demasiadamente

longos despendidos em cálculos intermediários tornam excessivamente lenta a iteração

a ser efetuada na segunda parte da solução. Se esses processos iterativos envolvem

ainda integrações numéricas, geralmente por procedimentos também muito lentos, vê-se

que existe uma necessidade de otimizar todo o processo de cálculo. Para acelerar a

solução do problema da determinação dos fatores de intensidade de tensão da Eq. (4.22) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


59

seria necessário, então, usar uma malha com o menor número possível de elementos e,

ainda assim, que produzisse resultados suficientemente precisos. O ideal seria obter uma

malha através de um método adaptativo que pudesse minimizar o erro da integração

numérica. Isto, porém, poderia imprimir uma maior lentidão nos cálculos, frustrando, de

uma certa forma, o objetivo de se obter um procedimento numérico mais rápido.

Um dos parâmetros a ser usado para se conseguir uma malha adaptativa é o campo de

tensões, pois dele depende a precisão da integração. Resolveu-se, assim, investigar o

comportamento das componentes da tensão sobre a superfície da trinca para identificar a

possível otimização da posição dos nós da malha. Uma análise da distribuição das

componentes de tensão sobre o plano da trinca demonstrou que essas componentes

dependiam dos valores do parâmetro p usado na determinação das funções elípticas de

primeira e de segunda espécies, K (p) e E (p), respectivamente, bem como da sua

posição relativa à componente do vetor de Burgers no ponto considerado, do raio do

anel e de constantes elásticas [v. Apêndice A]. Foi identificada a forte dependência das

componentes da tensão em relação ao parâmetro p e ele foi escolhido para representar

uma das coordenadas da malha.

Figura 4.17: A discordância de raio unitário à frente da aresta da trinca e as coordenadas adimensionais usadas na formulação.

plano de propagação da trinca plano de deslizamento

trinca C

Ξ

ξ

Η

Ζ

η'

ξ'

ζ" ≡ ζ'

1α

ξ"

η" ω

θ

E

ζ

η



60

As coordenadas dos diversos sistemas usados nos cálculos, bem como as diversas

grandezas envolvidas no problema, foram adimensionalizadas para simplificação.

Convencionou-se, neste trabalho, que as coordenadas adimensionalizadas, ou reduzidas,

são designadas por letras do alfabeto grego, enquanto as coordenadas dimensionais, ou

absolutas, são representadas em letras do alfabeto romano. Assim, o sistema de

coordenadas xi, i = 1, 2, 3 é substituído nos cálculos por ξi, onde

ξi = (xi / ρ ') , (4.23)

sendo ρ' o raio da discordância, dado, por sua vez, por

ρ' = N | b | , N ∈ ø , (4.24)

enquanto o sistema Xi é substituído por Ξi = Xi / ρ '. Nota-se, ainda, que essas

coordenadas são, alternativamente, representadas como x, y, z, ξ, η, ζ, X, Y, Z e

Ξ, Η, Ζ. A Fig. 4.17 mostra as coordenadas adimensionais.

Para um ponto M qualquer, de coordenadas (ξM, 0, ζM) h (ξ"M, η"M, ζ"M), situado,

assim, sobre a superfície da trinca (v. Fig. 4.18), o valor de p é encontrado pela relação

p2 = 4 ζ" M / (Ρo)M = 1 – p'2, (4.25)

onde ζ"M é a coordenada do ponto na direção ζ" mostrada na Fig. 4.14, e a distância

(Ρo)M é dada por

( CM / ρ ')2 = (Ρo)2 = η" M2 + (ζ" M + 1)2 . (4.26)

A direções dos eixos ξ M", η M", ζ M" são escolhidas de forma que a posição do ponto

M em relação ao ponto E é dada por

CM = CE + EM = 0 i" + η" M j" + ζ" M k" , (4.27)

onde i", j", k" são os vetores unitários nas direções ξ" M, η" M, ζ" M e



A VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A A ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL

Figura 4.18: Coordenadas adimensionais do ponto M sobre o plano da trinca, vendo-se a curva iso-p.

Ξ Ζ

ΖM

E ξ

C

ζ Η curva iso-p

ΞM

M

λM

η

η"

Ρ

ENERGIANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

61

EM = Ξ M I + 0 J + Ζ M K . (4.28)

A substituição das relações das Eqs. (4.25-26) na Eq. (4.27) resulta no polinômio

Ρ 4 + C2 Ρ 3 + C3 Ρ 2 + C4 Ρ + C5 = 0 , (4.29)

sendo que os coeficientes Ci são dados por

C2 = 4 ψ(λ) , (4.30.a)

C3 = 4 [ψ(λ)]2 + δo + 2 – p' 1 – [φ(λ)]2 , (4.30.b)

C4 = 2 2 ψ(λ) + (δo + 1) – ψ(λ) p' , e (4.30.c)

C5 = (δo + 1)2 – δo p' , (4.30.d)

onde se tem δo como a distância entre o perímetro do anel de discordância e o ponto E

sobre a aresta da trinca, medida no plano de deslizamento,

plano da trinca

1

INFLUÊNCIA D


62

φ(λ) = (i' · ∆ M) sen(λ) + (k' · ∆ M) cos(λ) , (4.31.a)

ψ(λ) = [ (i' · ∆ M) sen(λ) – (k' · ∆ M) cos(λ) ] , (4.31.b)

δo = δ2 + 2 δ cos(α) + 1 , (4.31.c)

∆ M = [δ + cos(α) sen (α) 0]T . (4.31.d)

E

Ξ

Ζ

λ Ρ

p

superfície iso-p plano da trinca

Figura 4.19: Superfície iso-p genérica.construída pelas coordenadas (Ρ, λ).



63

A solução do polinômio da Eq. (4.29) fornece, para cada ponto M(ξM, 0, ζM), os valores

do par (Ρ, λ) que formam o sistema de coordenadas polares com centro em E.

Inspecionando-se as Eqs. (4.30.a-d), verifica-se que os coeficientes do polinômio em Ρ

são funções apenas de p (ou de p'). Dessa forma, dado um valor de λ, determina-se Ρ

para um valor constante de p. Isto resulta numa curva em torno do ponto E, tal que Ρ(p),

a qual pode ser comparada a uma curva de nível. O conjunto de curvas para as quais o

valor de p é constante forma uma superfície, a qual foi denominada superfície iso-p.

Admitindo um incremento constante ∆λ para 0 [ λ [ π e que Ρ(p) varie à partir do

ponto E, ao longo de λ, para 0 [ p < 1, é possível formar uma superfície sobre o semi-

plano da trinca (ξ m 0) que corresponda à variação de λ e Ρ, isto é, dado um valor

p = cte., tem-se uma curva em que λ se situa no intervalo 0 [ λ [ π e Ρ varia de um

valor mínimo, Ρmin, quando p = pmax, até um valor máximo, Ρmax, quando p = pmin. Esta

superfície é ilustrada no esquema da Fig. 4.19. Quando Ρ d 0, p d 1 e a superfície é

assintótica ao eixo p. Se, ao contrário, Ρ d ∞, então p d 0, assim como qualquer outra

função que depender de p.

Nesse instante, é necessário estabelecer um critério para os incrementos de Ρ e λ de

forma a se construir a malha. Um critério para λ é considerar intervalos angulares

iguais, ou seja, dividir-se o ângulo π em nλ intervalos. Para os incrementos de Ρ,

entretanto, como as equações são mais complexas, é preciso compreender-se

exatamente o papel de p no problema. Ele surge da solução das equações integrais das

componentes da diádica de tensão, σ. Essas integrais têm a forma geral dada por HIRTH

& LOTHE (1968)

σ = σ ij g i 1 g j =

( ) ( )" " "8π " "m kmi j m kmj iC C

k k

b R dx b R dxx x

ε ε∇ − ∇∂ ∂

∫ ∫2 2µ " ∂ ∂

+



64

( ) ( )3

22 "1 " " " "m kmn ij nC

k i j k

Rb Rx x x x

ε δν

∂ ∂ "dx − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∇

∫ g i 1 g j , (4.32),

ou, em coordenadas adimensionais, assumindo a forma também adimensional

τ = τ ij g i 1 g j =

( ) ( )2 2" ξ " " ξ "8 π ξ " ξ "m kmi j m kmj iC C

k k

l P d l PN

ε ε∇ − ∇∂ ∂

∫ ∫1 d

∂ ∂+

( ) ( )3

22 " ξ "1 ξ " ξ " ξ " ξ "m kmn ij nC

k i j k

Pl Pε δν

∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ∂

∫ d∇ g i 1 g j . (4.33)

Por serem as integrais da Eq (4.33) do tipo elíptico, portanto resolvidas em função das

funções elípticas de primeira e segunda espécie, K (p) e E (p), respectivamente, é

possível resolvê-las numericamente reconhecendo-se que elas podem ser colocadas na

forma

( )∫

π+

π− ∆

2

2 0

duP

ufkk , (4.34)

onde k é um inteiro,

∆ = usinp 221 − , (4.35)

P02 = η"2 + (ζ" + 1)2 e (4.36)

p2 = 4 ζ" / P02 = 1 – p'2 . (4.37)

As Eqs. (4.36) e (4.37) são idênticas às Eqs. (4.25) e (4.26) e são repetidas, apenas, por

questões de formalismo. É fácil rearranjar a Eq. (4.33) para escrevê-la na forma

matricial

τ(p) = Fo Ω(ω) · W(η", ζ") · Q(p) , (4.38) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


65

onde

Fo = [2 . N . π . (1 – ν)]–1 , (4.39)

Ω(ω) = 0

" senω" cosω 0

cosω1" senω

0 senω" senω

P

ζ −ζ −ζ

ζ

, (4.40)

W(η", ζ") =

2 2 2 2 20 0

2 2 2 2 20 0

22

0

2 22 2 2 2 2

00 0 0

2 22 2

0 0

8 321 2 0 2(1 ) 0

8 321 0 2(1 ) 0 η"

12(1 )(1 η") 0 2(1 )η" 0 4 ζ"

3 2 4 6 32 121 (1 η") 1 (1 η" ) (1 2η")

3 61 η" (1 η")ζ" 2η" ζ"

P p P p P

P p P p P

P

PP p P P p P

P P

− ν − − ν − −

− ν − + − ν

− ν + − − ν ν −

+ − − + − −

+ − + − −

0

0

20

12

12

+

22

0

2 22 2

0 0

124 η"

3 61 ζ" 2 ζ" 0 0

P

P P

ν − −

(4.41)



66

Q(p) =

2

2

2

22

2 2 2

2 2

4 4

2 2

4 4

1 0

2 2- 1-3 1- 3

1 -1

( )21 3-2 1- ( )1-

3 1- 3

3 -4 2-

6- 2 1--3

pp

pp

ppp

p p p

p pp p

p pp p

EK

. (4.42)

As funções elípticas são dadas por

K (p) = 2 220

1 senp dπ

− ϕ∫ ϕ e (4.43.a)

E (p) = 20 2 21 sen

d

p

π ϕ

− ϕ∫ . (4.43.b)

Elas são resolvidas completamente pelo método da média aritmética-geométrica

[ABRAMOWITZ & STEGUN (1965)], como pode ser visto no Apêndice B. Considerem-se,

agora, as componentes da diádica de tensão sobre o plano da trinca e ao longo da

direção ξ, a qual é a direção definida pela interseção do plano de deslizamento com o

plano de propagação da trinca. Uma inspeção do valor de cada uma dessas componentes

revela que, nesta situação, todas as componentes são nulas exceto a componente τηζ, a

qual se escreve, segundo a notação usada por OLIVEIRA (1994),

τηζ = 2 Fo (1 – p')2 [Q1 – (1 + p') Q3 ] / (1 – ν) – [(1 – p') / (1 – ν)] Q5 ν , (4.44)

sendo



67

1.0

0.5

0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12κ

τ ηζ =

σηζ

/ µ

Figura 4.20: Decaimento da componente de tensão τηζ com o aumento da distância EM em número de raios do anel de discordância.

Q1 = 2 E (p) / p'2 , (4.45.a)

Q3 = Q1 – [2 K (p)] / p2 e (4.45.b)

Q5 = [Q1 – Q3 (1 + p'2)] / p2 . (4.45.c)

Ao traçar o gráfico τηζ vs. κ, como mostra a Fig. 4.20, vê-se um rápido decaimento

daquela componente da tensão a medida que aumenta a distância do ponto M ao ponto

E. Na Fig. 4.20 observa-se que, para valores de κ m 4 (o que significa que a distância

é maior ou igual a 4 vezes o raio da discordância ρ'), a componente adimensional

da tensão é inferior a uma ordem de grandeza em relação ao valor reduzido da tensão de

cisalhamento em relação ao limite teórico de cisalhamento do material, indicando que, a

partir dessa distância, a influência da presença do anel de discordância é desprezível no

campo de tensões da trinca. Nesse caso, à medida que p cresce, a tensão tende

EM



68

suavemente para zero. O máximo valor de Ρ foi estabelecido para um valor mínimo da

tensão reduzida (adimensional) da ordem de (µ/6) x 10–5.

Ζ

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Ξ

(a)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ξ

ζ

A Malha de Elementos

(b)

Figura 4.21: Malha de elementos quadrilaterais, típica para a análise. (a) O valor mínimo de p é correspondente à tensão de cisalhamento de (µ/6) x 10-5. O percentual de redução das tensões usado para a malha foi de 40%. Nº de divisões em λ = 24; Nº divisões em p = 20. Total de elementos = 480; (b) Detalhe da região da raíz da malha, notando-se o raio de corte.

Ζ

Ξ


Por outro lado, para valores κ [ 1, o valor da componente da tensão cresce muito

rapidamente, podendo ultrapassar o limite de cisalhamento teórico do material, µ/6. Este

fato obriga a determinação de um valor mínimo para κ ligeiramente maior que zero. O

valor de κ abaixo do qual a componente de tensão τηζ é ligeiramente inferior ao limite INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


69

de cisalhamento do material corresponde ao valor máximo da tensão e, portanto, ocorre

para o maior valor de p, isto é, para o menor valor de Ρ. A essa distância denominou-se

raio de corte. Dentro deste limite, as tensões são superiores ao limite de cisalhamento

teórico do material e não são válidas as relações da Elasticidade linear. Arbitrariamente,

para manter um valor finito dessa tensão, adotou-se que ela teria um valor constante e

igual a µ/6.

Figura 4.22: (a) Superfície iso-p para a malha da Fig. 4.18; (b) Vista da superfície (N.B.: A escala vertical está ampliada 20X para facilitar a visualização).

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Ζ

Ξ

(a)

E

-10

-5

0

5

-10-8

-6-4

-2 0

2 4

6 8

10

12

14

16

18

20

Ξ

Ζ

(b)

Η

A Superfície Iso-p

Conhecidos os limites da região a ser discretizada, resta, ainda, determinar a malha, isto

é, os nós dos elementos. Na direção do ângulo λ (observar que este ângulo varia INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


70

positivamente no mesmo sentido dos ponteiros do relógio a partir do sentido positivo do

eixo Ζ), é mais prático que se estabeleçam setores regulares, ou seja, tomando-se

intervalos iguais. No sentido radial, porém, a adoção de um critério não é tão natural e

exige uma estratégia adequada.

Sobre o raio de corte, a tensão se apresenta com um valor ligeiramente inferior ao limite

teórico de cisalhamento do material, µ/6. A partir dele, é possível, com o uso da

Eq. (4.44), fazer essa tensão decrescer sempre de um valor percentual (entre 60 e 95%,

dependendo da precisão e do tempo desejados) do valor imediatamente anterior e

encontrar, assim, a variação de p ao longo de ξ. Este procedimento pode ser adotado até

que se atinja o valor mínimo da tensão [como foi visto acima, da ordem de (µ/6) x 10–5],

correspondendo, então, ao limite da região a ser considerada no cálculo dos fatores de

intensidade de tensão.

Figura 4.23: Rotação ω do eixo ζ em torno do eixo η, como usada no cálculo da integração dos fatores de intensidade de tensão ao longo do anel de discordância. Nota-se que ω é escolhido de maneira que a componente na direção ξ” seja sempre zero.

M

Cn ω

η = η"

ξ'

ζ'

ζ"

ξ"



71

A Fig. 4.21 apresenta uma malha típica para o cálculo dos fatores de intensidade de

tensão. Nela, usou-se um intervalo angular uniforme correspondente a 24 divisões

(∆λ = π/24). Foi empregada uma redução da tensão de 40%, isto é, cada novo valor de

tensão usado para calcular p e, por conseguinte, as coordenadas Ρ, valia 60% do valor

da tensão usado no cálculo do Ρ anterior. Reduções mais suaves garantem melhor

representação da distribuição de tensões, mas sobrecarregam os cálculos. Na malha da

Fig. 4.21, a redução usada resulta em 20 divisões ao longo de cada direção radial

partindo de E. Neste caso, um total de 480 quadriláteros foi obtido. Observa-se que o

valor mínimo de p é alcançado quando a tensão de cisalhamento sobre o plano da trinca

e ao longo da direção ξ atinge um valor próximo a (µ/6) x 10-5, enquanto o valor

máximo de p ocorre para esta mesma tensão em torno de (µ/6). No primeiro caso, a

distância máxima do ponto E corresponde a, aproximadamente, 8,5 vezes o raio do anel

de discordância.

A Fig. 4.22 apresenta a superfície iso-p para a malha da Fig. 4.21. Em (a) tem-se uma

vista de topo dessa superfície. Cada curva em torno do ponto E representa um único

valor de p. A Fig. 4.22 (b) mostra uma perspectiva da superfície. Para melhor

visualização, a escala vertical (valores de p) está aumentada 20X.

4.2.1.2 As componentes de tensão no plano da trinca

Como foi visto na Eq. (4.22), a interação trinca-discordância pode ser verificada através

da alteração do fator de intensidade de tensão na região em que a discordância está

próxima à trinca. A determinação desses fatores de intensidade de tensão está, então,

relacionada ao cálculo das componentes do campo de tensões em torno da discordância.

O cálculo analítico dessas componentes é explicitado na Eq. (4.38) para um ponto

qualquer M nas vizinhanças do anel de discordância, como o mostrado na Fig. 4.23.

Se o ponto M está localizado no plano da trinca, os valores encontrados para as

componentes τij ainda serão relativos às direções associadas ao plano de deslizamento

onde se encontra o anel de discordância. Para encontrar as componentes nas direções



72

associadas ao plano da trinca é necessário, então, aplicar a matriz de transformação

entre os dois sistemas de coordenadas, ou seja,

τM = TT(ξi, Ξi) · τ'M · T(ξi, Ξi) , (4.46)

onde o símbolo τ'M representa as componentes da diádica de tensões nas coordenadas do

plano de deslizamento [Eq. (4.38)], τM essas mesmas componentes, mas no sistema de

coordenadas do plano da trinca e T(ξi", Ξi) é a matriz de transformação entre o sistema

de coordenadas ξi" para o sistema de coordenadas Ξi. Embora a matriz [ τij ] contenha

seis componentes independentes, apenas as componentes τηη, τηξ e τηζ são usadas no

cálculo dos fatores de intensidade de tensões, em virtude dos modos de abertura de

interesse.

4.2.2 OS FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO – KI, KII E KIII

4.2.2.1 A discordância presa à aresta da trinca

Muitos dos métodos numéricos empregados para calcular os fatores de intensidade de

tensão precisam de rotinas separadas para completar o cálculo, uma para cada

distribuição de tensões e uma para cada comprimento de trinca. BÜCKNER (1970)

propôs um procedimento através de funções de peso que simplifica a determinação

desses fatores. Conhecida a função de peso para uma determinada geometria da trinca,

os valores de KJ para um ponto situado na aresta da trinca são obtidos multiplicando-se

esta função pela distribuição de tensões no semiplano onde a trinca está situada.

Para um ponto Z(0, 0, Ζo) situado na aresta da trinca, os fatores de intensidade de tensão

são dados pelo vetor

KJ = II

I

III

( )1 ( )'

( )

o

o

o

KKK

Ζ Ζ ρ Ζ

= ∫∫∞+

∞−∞−π0

22N m G(Ζo) τ(Ξ,Ζ) dΖ dΞ , (4.46)



73

onde N é o número inteiro de vetores de Burgers contidos no raio do anel de

discordância, τ(Ξ,Ζ) é o vetor de tensões [ τηξ τηη τηζ ]T,

m = , com f =

f

f

0100000100001

)2(2

ν−ν , (4.47)

G(Ζo) = , (4.48)

−

1

32

23

1

1

0000

0000

GGGGG

GG

que é a matriz das funções de peso, dadas por [BÜCKNER (1970)]

G1(Ζo) = 2

ΞΛ

, (4.49.a)

G2(Ζo) = ( )22

o

4

Ξ Ξ − Ζ − Ζ Λ

, e (4.49.b)

G3(Ζo) = ( )3

o4

2 Ζ ΖΞ − Λ

, (4.49.c)

nas quais

Λ2 = Ξ2 + (Ζ – Ζo)2 . (4.50)

A Fig. 4.24 apresenta um esquema para determinação das funções de peso de Bückner.

Nela, vê-se o ponto de aplicação das forças resultantes incrementais sobre um elemento

e também a geometria que define as funções de peso. As forças resultantes incrementais

podem ser encontradas pelas relações

dP = τηη dA k , dQ = τηξ dA i , dR = τηζ dA j (4.51)



74

e, dados os modos de abertura considerados, a elas correspondem forças resultantes

contrárias, de mesma intensidade, mas aplicadas na superfície inferior do plano da

trinca.

No procedimento usado para obter os fatores de intensidade de tensão apresentado por

OLIVEIRA (1994), as integrais da Eq. (4.46) são calculadas numericamente pelo Método

de Romberg. Os limites de integração (–∞ < Ξ [ 0; –∞ < Ζ < +∞) foram satisfeitos

aproximadamente, tomando-se, para isto, valores das coordenadas (Ξ, Ζ) desde regiões

muito distantes do ponto E até as suas proximidades. Esse procedimento torna a solução

numérica extremamente lenta e pouco eficiente, pois leva em consideração uma grande

região do plano da trinca onde as tensões são muito baixas e pouco contribuem para o

cálculo dos fatores de intensidade de tensão.

Figura 4.24: Esquema para determinação das funções de peso, vendo-se em elemento IJKL sobre o qual atua uma tensão distribuída, e.g. τηη, representada pela área sombreada. As forças resultantes incrementais dP, dQ e dR são representadas no ponto M situado no baricentro do elemento IJKL.

ξM

ζM ζo

Ζ

Ξ E I

J

L

K

dQ dR

dP

dA

τηη

plano da trinca aresta da trinca(τηη)J

(τηη)K

(τηη)I

(τηη)L

Η



75

A Fig. 4.20 mostra que existe um rápido decaimento das componentes da tensão para

pontos do plano da trinca afastados do ponto de emissão, E. Com base neste fato, uma

nova região de integração é proposta aqui, na qual o trabalho computacional é

drasticamente reduzido. Essa região consiste superfície demarcada pela projeção da

superfície iso-p sobre aquele plano. O resultado é uma malha de elementos como a

mostrada na Fig. 4.21, sobre os quais as componentes da tensão se distribuem entre um

valor máximo, em torno de µ/6, e um valor mínimo, em torno de (µ/6) x 10-5. Os fatores

de intensidade de tensão são obtidos pela integração das equações sobre cada elemento.

Outro aspecto importante a se observar é que, até o cálculo das componentes de tensão,

o problema foi tratado unicamente por soluções quasi-analíticas, usando-se, para tal, as

integrais elípticas, como foi visto nas Eqs. (4.38)-(4.43). A partir de agora, porém, as

integrais que determinam os fatores de intensidade de tensão, na Eq. (4.46), deverão ser

calculadas numericamente, procurando-se diminuir os erros de aproximação que sempre

existem nesses procedimentos. Uma vez que os valores das componentes das tensões

são praticamente exatos nos nós de cada um dos elementos, esses valores nodais serão

usados para obter os valores interpolados para as componentes da tensão através de uma

aproximação bicúbica. Com esse procedimento, é possível, então, substituir as integrais

da Eq. (4.46) pelo somatório da integral sobre cada elemento (e = 1, 2, ..., L), ou seja,

KJ = 21

2e

L

Ae

N=π∑ ∫ m Ge (Ζo) τε (Ξ,Ζ) dAe , (4.52)

onde L é o número total de elementos na malha e Ae é a área de cada um deles.

Admite-se que as componentes da tensão apresentam uma distribuição bicúbica (em Ξ3

e Ζ3) sobre a área equivalente a um elemento quadrilátero e da malha. Sabendo que nos

nós (I,J,K,L) do elemento essas componentes – respectivamente, (τij)I, (τij)J, (τij)K e

(τij)L, mostradas na Fig. 4.24, apresentam valores quase exatos, pelo Método da

Quadratura de Gauss a integral da Eq. (4.52) será exata se forem escolhidos quatro

pontos de integração e seus respectivos pesos. Porém, visando à redução do tempo de

computação, optou-se por um esquema de integração reduzida, com apenas um ponto de INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


76

integração situado no baricentro do elemento e mantendo a interpolação bicúbica. A

expressão usada na solução da Eq. (4.52) é

KJ = ∑∑==π

L

k

L

e

N

112

2m Gk(Ζo) τk(ΞM,ΖM) wk(ΞM,ΖM) Ak , (4.53)

sendo que Gk(Ζo) é o valor das funções de peso de Bückner para um ponto M situado no

baricentro do elemento, τk(ΞM,ΖM) é o valor da componente de tensão naquele mesmo

ponto e wk(ΞM,ΖM) é a função peso de Gauss para um ponto de integração localizado,

também, no baricentro de cada elemento.

4.2.2.2 A discordância afastada da aresta da trinca

O desenvolvimento apresentado na Seção anterior considerou o anel de discordância

osculando a aresta da trinca no ponto E. Para determinar a diminuição da energia

elástica induzida pela proximidade da trinca, considera-se uma situação fictícia em que

a discordância se afasta da trinca. Admite-se, então, que a discordância está posicionada

a uma distância δ do ponto E, medida ao longo da direção ξ, como mostra a Fig. 4.23. A

força de atração que atua sobre o anel nesta posição reflete-se no fundo da trinca como a

força imagem, a qual será tratada adiante.

Quando o anel de discordância é posicionado a uma distância qualquer do fundo da

trinca, ele leva consigo o campo de tensões a sua volta. Isto implica que a região que é

usada para a determinação dos fatores de intensidade de tensão vai diminuindo

gradativamente de tamanho até praticamente desaparecer, como mostra a Fig. 4.25.

Computacionalmente, isto corresponde a se omitir, do cálculo dos fatores de intensidade

de tensão, os elementos incluídos naquela região. Pode considerar, ainda, um recuo da

aresta da trinca, qo na Fig. 4.25, no sentido contrário ao do deslocamento, o que,

novamente, resulta na necessidade de omissão da influência dos elementos

imediatamente vizinhos a ela.



77

direção do deslocamento do anel de discordância

região de influência do anel

δ1 δ2

Ξ

Ζ

Η

ξ

Figura 4.25: Progressão da região de influência do anel de discordância. Somente a parte da região que fica sobre a superfície da trinca é considerada para integração.

Eo

E1 E2

posição inicial

posições intermediárias

q2 q1

qo

Em virtude da formulação da malha de elementos em coordenadas polares, com centro

no ponto E onde o anel toca o fundo da trinca, os elementos vizinhos à aresta da trinca e

próximos a este ponto podem ser, sem perda sensível de precisão, omitidos do cálculo

dos fatores de intensidade de tensão. Porém, à medida que cresce a distância entre o

elemento e o ponto E, a dimensão do elemento no sentido circunferencial cresce na

mesma proporção. Isto significa que o elemento não pode ser inteiramente omitido no

cálculo, pois parte dele pode estar ainda na região sobre a superfície da trinca. Que parte

desse elemento deve ser considerada e como ela influencia nos cálculos para a obtenção

dos fatores de intensidade de tensão são perguntas dificilmente respondíveis sem uma

análise detida de cada elemento. Um lado positivo desse procedimento é que as tensões

nessa região são relativamente baixas quando comparadas com aquelas encontradas nos

elementos próximos ao ponto E em que o anel de discordância toca a aresta da trinca.

Obviamente, isso causa uma irregularidade na aresta da trinca que aumenta com o

tamanho do elemento, ou seja, com a distância em que o elemento se encontra do ponto

E.



78

O cálculo de uma nova malha pode ser evitado se a malha anterior é usada, dela

retirando-se os elementos que estão sombreados na Fig. 4.26. Esses elementos possuem

seus baricentros além da linha que delimita a aresta. A Fig. 4.26 mostra que a nova

aresta é bastante irregular, mas pode ser usada como uma primeira aproximação. Vê-se,

também, que o deslocamento do anel dado por

δ = δξ gξ + δζ gζ . (4.54)

O cálculo dos fatores de intensidade de tensão ao longo de ζ, como no procedimento

anterior. Observa-se uma pequena perda de precisão pela aproximação da região

original por elementos retangulares. Como essas aproximações ocorrem para valores

das componentes de tensão relativamente baixos quando comparados aos valores dessas

mesmas tensões na região em torno do ponto E, o erro cometido pode ser considerado

desprezível no resultado da integração.

-7 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 10

ξ

ζ

ξ

δζ

δξ

ξ' η'

δξ

δ

Figura 4.26: Os elementos sombreados são retirados da região de integração por possuírem seus baricentros além da linha que limita a aresta da trinca. Os fatores de intensidade de tensão devem ser calculados para a área restante (elementos sem sombra).



79

4.2.3 A FORÇA IMAGEM

A presença de superfícies livres permite que ocorra o relaxamento das tensões e,

conseqüentemente, de se diminuir a energia elástica armazenada no corpo. A

discordância situada no interior do volume do corpo apresenta uma energia superior

àquela associada a uma discordância próxima à superfície. Dessa forma, é

energeticamente mais favorável a sua aproximação da superfície. A diminuição de

energia correspondente é dada por

f = eU∂∂r

, (4.55)

onde Ue é a energia elástica e r é a distância entre a posição inicial e a nova posição da

discordância, tem grandeza de uma força. Esta força, denominada força-imagem, não é

uma força no sentido clássico da ação entre dois corpos, mas é uma força

termodinâmica que atua sobre uma configuração atômica. Seu ponto de aplicação é

desconhecido. Quando estão presentes os três modos de abertura, a força de extensão da

trinca é dada por

G = (∂Πp/∂Ξ) = (∂Πp/∂a) = (KI)d2 / HI + (KII)d

2 / HII + (KIII)d2 / HIII , (4.56)

Onde Pp representa a energia potencial de um corpo, no qual existe uma trinca. HI, HII

e HIII são constantes elásticas dadas na sua forma adimensional na Tab. 4.2 e o índice ()d

indica um fator de intensidade de tensão induzido pela discordância. Na ausência de um

campo de forças pela aplicação de um carregamento externo ao coirpo, a energia

potencial se reduz à energia elástica do anel de discordância.

Empregando a Terceira Lei de Newton, observa-se que a força exercida pela

discordância sobre a trinca é igual e de sinal oposto à força induzida na discordânica

pela trinca. Assim,

f = – G = (f µ b2) gξ . (4.57)



80

TABELA 4.2: Constantes elásticas adimensionais HJ para o cálculo da força-imagem.

Modo de abertura Estado

I II III

Plano de tensão 2 / (1 – ν) 2 / (1 – ν) 2

Plano de deformação 2 (1 + ν) 2 (1 + ν) 2 (1 + ν)(1 – ν)

4.2.4 A ENERGIA ELÁSTICA ARMAZENADA

A energia elástica da discordância tende a diminuir à medida que ela se aproxima da

trinca. A variação da energia elástica é determinada, então, admitindo-se que ela é igual

ao trabalho realizado pela força imagem sobre a discordância ao longo da trajetória

fictícia, desde uma posição afastada da trinca até que a sua circunferência toque a aresta

da trinca no ponto de emissão, E. De acordo com o Princípio de St.Venant, o efeito

mútuo entre discordância e trinca torna-se desprezível à medida que a primeira se

encontra a distâncias maiores da segunda. Existirá, então, uma posição longe da trinca a

partir da qual quase nenhuma interação ocorrerá entre discordância e trinca. Como esta

posição é desconhecida, torna-se mais fácil considerar o trabalho virtual no sentido

inverso, ou seja, parte-se de uma posição em que o anel de discordância toca a trinca no

ponto de emissão, E, calculam-se os fatores de intensidade de tensão e, a seguir, a força-

imagem. Usando a força-imagem, essa energia pode ser encontrada por

Ed = – Wi(f) = – f · dξ gC

ξ = 0

ξ = r∫ ξ . (4.56)

Como o ponto ξ = rC é desconhecido, uma forma de determinar a energia é fazer com

que a discordância caminhe a trajetória do seu deslizamento no sentido para fora da

trinca, o que explica o sinal negativo na Eq. (4.56). A Fig. 4.27 ilustra essa trajetória.



81

OE

δT

Η

Ξ

ξ

Ζ

posição originalposição final

Figura 4.27: Distância máxima ξ = δT = rC que a discordância pode estar da aresta da trinca a partir da qual a sua influência torna-se desprezível. Para o cálculo da variação da energia elástica, esta é a última posição a ser considerada para o cálculo do trabalho virtual.

A energia elástica do corpo é, então,

Ue = Ue∞ – G dξ . (4.58) Cξ =

ξ = 0

r

∫


PARTE III

CAPÍTULO 5

RESULTADOS E DISCUSSÃO

COM BASE NA FORMULAÇÃO APRESENTADA NO CAP. 4, foi elaborado o programa

computacional DIFRAC (um acrônimo para Dislocation-Fracture Interaction), o qual

usa a metalinguagem MATLAB. O programa permite calcular, em primeiro lugar, a

distribuição das componentes de tensão sobre o semiplano que forma a trinca. Em

seguida, calculam-se os fatores de intensidade de tensão na aresta da trinca para diversas

posições arbitrárias do anel de discordância sobre o plano de deslizamento e em relação

àquela aresta, admitindo que o problema é essencialmente de natureza tridimensional.

Prosseguindo, o programa calcula, ainda, a força imagem e a energia elástica relativas a

cada uma das posições assumidas pelo anel. O programa apresenta a vantagem de

ilustrar graficamente os resultados. Na versão usada, a interatividade com o usuário não

está ainda implementada.

Nas páginas a seguir, iniciando com a apresentação das três diferentes configurações

cristalinas analisadas, são mostrados resultados obtidos pelo DIFRAC.

5.1 AS CONFIGURAÇÕES CRISTALINAS PARAO SI

Antes de iniciar a apresentação dos resultados, é necessário apresentar as diferentes

orientações da cristalografia do Si monocristalino usadas nos cálculos e que já foram

mencionadas na Tab. 4.1. Essas configurações correspondem àquelas utilizadas nos

CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 84

experimentos realizados por MICHOT (1982, 1989), MICHOT, GEORGE & CHAMPIER

(1982), AZZOUZI (1992), GEORGE & MICHOT (1993), OLIVEIRA (1994), MICHOT et al.

(2000) e SCANDIAN (2000), os quais compõem a base experimental usada neste

trabalho.

5.1.1 CONFIGURAÇÃO ALPHA

A orientação cristalográfica ALPHA corresponde ao plano de clivagem situado em

1 , enquanto a normal à face lateral da amostra é a direção [1 ]. Nesta

configuração, o anel de discordância tem o aspecto mostrado na Fig. 5.1.

11 21

Figura 5.1: Configuração ALPHA.

-400-200

0

-500

0

500

-500

0

500

Z

Configuração ALPHA

X

Y

α = π / 3N = 50



5.1.2 BETA

A orientação cristalográfica BETA corresponde ao plano de clivagem situado em 111 ,

sendo a normal à face lateral da amostra a direção [ ]. Nesta configuração, o anel de

discordância tem o aspecto mostrado na Fig. 5.2.

110

1 10

Configuração BETA

-400-200

0200

-500

0

500

-500

0

500

ZX

Y

Figura 5.2: Configuração BETA.

α = – π / 4 N = 50

5.1.3 GAMMA

A orientação cristalográfica GAMMA corresponde ao plano de clivagem situado em

01 , a normal à face lateral da amostra sendo dada pela direção [ 0 ]. Nesta

configuração, o anel de discordância tem o aspecto mostrado na Fig. 5.3.



Figura 5.3: Configuração GAMMA.

-400

-200

0

200

-5000

500

-500

0

500

Z

Configuração GAMMA

X

Y

α = – π / 6 N = 50

5.2 UM CASO SOB A CONFIGURAÇÃO ALPHA

5.2.1 A MALHA DE ELEMENTOS

Uma malha de elementos típica para essa configuração é apresentada na Fig. 5.4. Para

obtê-las, foram usados os dados da Tab. 5.1.:



Tabela 5.1 Dados para a construção da malha da Fig. 5.4 (Configuração ALPHA)

Parâmetro Descrição Valor

I Direção de propagação da trinca. [-1 1 0]

K Direção normal à grande face do CP. [-1 -1 2]

k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 1 1]

b Vetor de Burgers. [1 1 0]

α Ângulo de emissão. π / 3

N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.

50

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Ξ

Ζ


Figura 5.4: Malha de elementos para a configuraç!ao ALPHA.


CAPÍTULO 5 – RESULTADOS


88

-6 -4 -2 0 2

-10-5

05

10

-6

-4

-2

0

2

Ζ

τHH nos Nós dos Elementos

Ξ

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8


Ζ

Ξ

Figura 5.5: Distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ, sobre o plano da trinca para os dados da Configuração ALPHA da Fig. 5.1: vista de topo.

Figura 5.6: Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ, sobre o plano da trinca.


5.2.2 A DISTRIBUIÇÃO DAS COMPONENTES DE TENSÃO

Para a malha da Fig. 5.4, foram encontradas as distribuições de tensão mostradas nas

Figs. 5.5-5.7. Na Fig. 5.5 pode ser vista a distribuição da componente da tensão normal

ao plano da trinca, com o detalhe da região do ponto de emissão na Fig. 5.6, notando-se

o gradiente de tensão provocado pela presença do anel de discordância. Na Fig. 5.7 são

vistas as componentes da tensão tangenciais ao plano da trinca, também com gradientes

de tensão significativos na região do ponto de emissão.


Figura 5.7: Detalhe da distribuição da componente da tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ, na região do ponto de emissão, E.

E

Y

Z

X



90

-4 -2 0

-6-4

-20

24

6

00.5

11.5

τζη nos Nós dos Elementos

Ξ

-4 -2 0

-5

0

5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

τξη nos Nós dos Elementos

ΞFigura 5.8: Perspectiva da distribuição da

componente normal da tensão, τΞΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.

Figura 5.9: Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão, τΖΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.

τΞΗ

τΖΗ


R

VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. ANGEL DEMET / UFMG

91

5.2.3 OS FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO

Na Fig. 5.8 está a distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos

(adimensionais) para as distribuições das componentes da tensão mostradas nas

Figs. 5.5-5.7.

-8-6-4-202468-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Ζο

K I

, K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III/ µ b1/2

Figura 5.10: Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos ao longo da aresta da trinca para a malha da Fig. 5.4 e os dados da Tab. 5.1.

Fatores de Intensidade de Tensão

INFLUÊNCIA DA


5.3 UM CASO SOB A CONFIGURAÇÃO BETA


De maneira análoga à configuração cristalina anterior, a Tab. 5.2 apresenta os dados

para se determinar uma malha típica para a configuração BETA, para a qual a Fig. 5.2

apresenta a situação relativa de anel de discordância e trinca.

Tabela 5.2 Dados para a construção da malha da Fig. 5.11 (Configuração BETA)



K Direção normal à grande face do CP. [0 -1 1]

k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 1]


α Ângulo de emissão. −π / 4


50

Para esse caso, a malha é a mostrada na Fig. 5.11.



-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ξ

Ζ


Figura 5.11: Malha típica para a configuração cristalina BETA.

5.3.2 A DISTRIBUIÇÃO DAS COMPONENTES DE TENSÕES

As distribuições das componentes de tensão sobre o plano da trinca são mostradas nas

Figs. 5.12-14.



-6 -4 -2 0

-4-2024

-4

-2

0

2

4

6

Ζ

τ HH nos Nós dos Elementos

Ξ

-6 -4 -2 0

-4-2

02

4

-1

0

1

2

3

Ζ

τΞH nos Nós dos Elementos

Ξ

Figura 5.12: Componente da tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ.

Figura 5.13: Componente da tensão de cisalhamento τΞΗ no plano da trinca.



-6 -4 -2 0

-4-2

02

4

-1

0

1

2

Ζ

τZH nos Nós dos Elementos

Ξ

Figura 5.14: Componente da tensão de cisalhamento τΖΗ no plano da trinca.


Como foi calculado para a configuração ALPHA, também se obtém os fatores de

intensidade de tensão para a configuração BETA. Eles são mostrados na Fig. 5.15

abaixo.



Figura 5.15: Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos na configuração BETA.

-6-4-20246-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12 Fatores de Intensidade de Tensão

Zo

K I

, K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III / µ b1/2

5.4 CONFIGURAÇÃO GAMMA


Na configuração GAMMA, a malha da Fig. 5.16 foi obtida com base nos dados da

Tab. 5.3.



Tabela 5.3 Dados para a construção da malha da Fig. 5.16 (Configuração GAMMA)


I Direção de propagação da trinca. [1 -1 0]

K Direção normal à grande face do CP. [0 0 1]

k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 1]


α Ângulo de emissão. −π / 6


50

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Ξ

Ζ


Figura 5.16: Malha de elementos na configuração GAMMA.



INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL

-6 -4 -2 0

-5

0

5

0

1

2

Ζ


ΞFigura 5.18: Distribuição da componente de

tensão tangente ao plano da trinca, τΞΗ.

Ξ

Figura 5.17: Distribuição da componente de tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ.

DEMET / UFMG

98

5.4.2 A DISTRIBUIÇÃO DAS COMPONENTES DE TENSÃO

As Figs. 17-19 referem-se às componentes de tensão no plano da trinca.

-6 -4 -2 0

-5

0

5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Z



-6 -4 -2 0

-5

0

5

-2

-1

0

1

2

Ζ


ΞFigura 5.19: Distribuição da componente de

tensão tangente ao plano da trinca, τΖΗ.




Os fatores de intensidade de tensão para os dados da Tab. 5.3 são apresentados na

Fig. 5.20.

-8-6-4-202468-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08


Zo

K I

, K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2

K III / µ b1/2

Figura 5.20: Distribuição dos fatores de

intensidade de tensão na configuração GAMMA.



5.5 CONFIGURAÇÃO REF0

O caso a seguir não se enquadra nas configurações possíveis do Si, mas pode ser

aplicado a outros materiais em que o plano de deslizamento está colocado

perpendicularmente ao plano da trinca. O interesse em apresentá-lo reside no fato dele

apresentar resultados que refletem as expectativas em relação ao campo de tensões em

torno do anel sobre o plano da trinca.

A Fig. 5.21 mostra a posição do anel de discordância em relação à trinca. Por ser

perpendicular ao plano de deslizamento, o plano da trinca deve mostrar-se com um

plano principal de tensões.

Configuração REF0

-400-200

0200

-500

0

500

-500

0

500

ZX

Y

Figura 5.21: Anel de discordância no plano de deslizamento perpendicular ao plano da trinca.



INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ξ

ΖFigura 5.22: Malha utilizada para a

solução da Configuração REF0.

ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG

102

Tabela 5.4 Dados para a construção da malha da Fig. 5.22 (Configuração REF0)



K Direção normal à grande face do CP. [-1 -1 -1]

k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 -1]

b Vetor de Burgers. [-1 1 0]

α Ângulo de emissão. 0


50



-6 -4 -2 0

-4-2

02

4Z


Ξ

-6 -4 -2 0

-4-2

02

4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Ζ


Ξ

-8 -6 -4 -2 0 2

-5

0

5Z


Ξ

Figura 5.23: Componentes da tensão sobre o plano da trinca para a Configuração REF0.



A malha da Fig. 5.22 foi usada para gerar as componentes de tensão da Fig. 5.23. Estas

revelam que o plano da trinca é, de fato, um plano principal de tensão. Os fatores de

intensidade de tensão correspondentes podem ser vistos na Fig. 5.24.

-4-3-2-101234-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04


Zo

K I

, K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2

K III / µ b1/2

Figura 5.24: Fatores de intensidade de tensão para

o exemplo da Configuração REF0.


Um segundo exemplo que apresenta um interesse específico é apresentado na Fig. 5.25,

onde se vê um anel posicionado em um plano de deslizamento que contém a aresta da

trinca. Espera-se que o programa dê resultados nos quais existe uma forte influência da

tensão de cizalhamento. Em especial, se o vetor de Burgers é paralelo à frente da trinca,

que o fator de intensidade de tensão para o Modo III seja proeminente em relação outros

dois modos de carregamento. Para os cálculos, foram usados os dados da Tab. 5.5. INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


-400 -200 0

-500

0

500

-500

0

500

Z

Configuração REF1

X

Y

Figura 5.25: Configuração REF1, na qual foram usados dados da Configuração BETA modificados para que o plano de deslizamento usado contivesse toda a aresta da trinca.

Tabela 5.5 Dados para a construção da malha da Fig. 5.26 (Configuração REF1/BETA)



K Direção normal à grande face do CP. [0 -1 1]

k Direção normal ao plano de deslizamento. [1 -1 -1]

b Vetor de Burgers. [0 -1 1]

α Ângulo de emissão. π/2


50



A malha de elementos obtida com esses dados é mostrada na Fig. 5.26.

-6

-4

-2

0

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Ξ

Z


Figura 5.26: Malha de elementos para os dados da Configuração REF1.

As componentes da tensão são mostradas na Fig. 5.27 e os fatores de intensidade de

tensão na Fig. 5.28. Nelas, vê-se que a tensão de cizalhamento τΖΗ e o fator de

intensidade de tensão relativo ao Modo III destacam-se dos demais.



107


-4 -3 -2 -1 0

-8-6

-4-2

02

46

8

-0.20

0.2Z


Ξ

-4 -2 0

-5

0

5-0.5

00.5

Z


Ξ

-4 -2 0

-5

0

5-5

-4

-3

-2

-1

Z


Ξ

Figura 5.27 Componentes da tensão no plano da trinca, notando-se a componente de cizalhamento τΖΗ (Modo III).


-8-6-4-202468-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

Zo

K I

, K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III / µ b1/2

Figura 5.28: Predominância do Modo III nos fatores de intensidade de tensão da Configuração REF1.

Fatores de Intensidade de Tensão


Uma terceira configuração especial, representada na Fig. 5.29, denominada aqui

Configuração REF2, baseada na Configuração ALPHA. Como na Configuração REF1,

considera-se o anel num plano de deslizamento que contém a aresta da trinca. Com o

vetor de Burgers na direção de propagação da trinca, espera-se que o resultado mostre

uma predominância do Modo II. Os dados usados são mostrados na Tab. 5.6. Essa

configuração é a mesma usada por OLIVEIRA (1994).



Configuração REF2

-400-200

0200

-500

0

500

-500

0

500

ZX

Y

Figura 5.29: Configuração REF2, com o plano de deslizamento contendo a aresta da trinca.

Tabela 5.6 Dados para a construção da malha da Fig. 5.30 (Configuração REF2/ALPHA)



K Direção normal à grande face do CP. [-1 -1 2]

k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 -1]

b Vetor de Burgers. [-1 1 0]

α Ângulo de emissão. π/2


50



-8

-6

-4

-2

0

2

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Ξ

Ζ


Figura 5.30: Malha de elementos usada no cálculo da Configuração REF2.

A Fig. 5.31 mostra as componentes da tensão sobre o plano da trinca. Delas, a

componente τΞΗ, a qual corresponde ao Modo II de carregamento, destaca-se das outras

duas componentes. Os fatores de intensidade de tensão são mostrados na Fig. 5.32, onde

se vê a predominância do Modo II de carregamento.




111

-6 -4 -2 0

-5

0

5 Z


Ξ

-6 -4 -2 0

-5

0

5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Ζ


Ξ

-6 -4 -2 0

-5

0

5-0.200.2

Ζ


ΞFigura 5.31: Componentes de

tensão sobre o plano da trinca.


-8-6-4-202468-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0


Zo

K I

, K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III/ µ b1/2

Figura 5.32: Fatores de intensidade de tensão para a Configuração REF2, destacando-se o Modod II de carregamento.

5.8 A VARIAÇÃO DA ENERGIA

As configurações apresentadas anteriormente têm, como objetivo, mostrar a

flexibilidade do programa e demonstrar a sua versatilidade em casos específicos, nos

quais as expectativas por resultados satisfatórios em casos limites são satisfeitas. Como

se vê, porém, a quantidade de informação que pode ser obtida para cada uma das

configurações é crescente. Sabendo que cada configuração possui quatro planos de

deslizamento (tetraedro de Thompson) e que em cada um desses planos podem ocorrer

três vetores de Burgers, seria demasiado apresentar aqui a análise de todas as

combinações possíveis entre configuração, planos de deslizamento e vetores de Burgers. INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


Isto, sem dúvida, será feito no futuro, mas é importante, no momento, apresentar as

combinações que podem responder a algumas das perguntas formuladas por SCANDIAN

(2000). Por que, no ensaio de algumas configurações, criam-se situações favoráveis ao

aparecimento de um determinado vetor de Burgers, mas ele pouco, ou jamais é

detectado? Que carregamentos são necessários para gerar esse vetor e sob que condições

ele é estimulado?

A seguir, um exemplo do cálculo de energia é apresentado para uma situação

característica da Configuração GAMMA, demonstrando os resultados que o programa

DIFRAC pode obter no cálculo da força-imagem e da energia elástica. Lembra-se que

todas essas variáveis são mostradas na sua forma adimensional. Na seqüência, A

variação da energia é analisada para diferentes ângulos de emissão (α) e para diferentes

raios do anel de discordância para um CP de Configuração BETA.

5.8.1 O CÁLCULO DA FORÇA-IMAGEM E DA ENERGIA ELÁSTICA

Usando como base um CP na Configuração GAMMA, são calculadas a força-imagem e

a energia elástica para dois diferentes vetores de Burgers, cada um deles associado a um

plano de deslizamento, para uma anel com a mesma dimensão, ρ’ = 50b, e o mesmo

ângulo de emissão, α = 0. Esta simulação procura repetir as condições de ensaio do CP

CH-19 apresentado por SCANDIAN (2000).

As Figs. 5.33(a-b) mostram as malhas utilizadas nos cálculos da força-imagem,

mostrada na Fig. 5.34, para diferentes posições do anel de discordância ao longo da

direção ξ, medidas em (D/ρ’) sobre o plano de deslizamento, e da energia elástica

acumulada correspondente (Fig. 5.35), presente no material em função da presença do

anel para dois casos: (i) b = [1 0 1] (-1 1 1); e (ii) b = [0 -1 1] (1 1 1).



-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Ξ

Ζ


-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Ξ

Ζ


(a)

(b) Figura 5.33: Malhas usadas para comparação da força imagem e da

energia elástica armazenada no material para os vetores de Burgers e planos de deslizamento indicaods nas Figs. 5.37-38: (a) b = [1 0 1] (-1 1 1); e b = [0 -1 1] (1 1 1).




0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-3 Variação da Força Imagem

D / ρ'

< f

>

b = [ 1 0 1 ] (-1 1 1 )b = [ 0 -1 1 ] ( 1 1 1 )

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-4 Variação da Energia

D / ρ'

Eb

b = [ 1 0 1 ] (-1 1 1 )b = [ 0 -1 1 ] ( 1 1 1 )

Figura 5.34: Distribuição da força imagem ao longo da direção ξ.

Figura 5.35: Distribuição da energia elástica acumulada ao longo da direção ξ.


A comparação da energia elástica acumulada calculada para os dois vetores de Burgers

considerados indica que o segundo deles fornece mais energia ao material e, portanto,

necessita de menos energia externa para ser ativado, isto é, uma vez carregado o

sistema, o vetor b = [0 -1 1] deverá aparecer antes do vetor b = [1 0 1]. Este fato foi

comprovado por SCANDIAN (2000), o qual identificou que o aparecimento do primeiro

vetor de Burgers é estimulado, mesmo quando são criadas condições tais de ensaio que

de alguma forma favoreçam o aparecimento do segundo.

5.8.2 A ENERGIA ELÁSTICA ACUMULADA

Os exemplos seguintes mostram a variação da energia elástica acumulada quando se

varia o ângulo de emissão na faixa – π / 2 ≤ α ≤ + π / 2, mantendo-se o vetor de

Burgers b = [-1 -1 0] (-1 -1 1) e o raio do anel de discordância ρ’ = 50b constantes na

Configuração BETA.

A Figs. 5.36(a-j) mostram a evolução dos fatores de intensidade de tensão com a

variação do ângulo de emissão. A Fig. 5.37 traz as diversas curvas da energia de

relaxação para cada valor desse ângulo e a Fig. 5.38 apresenta a variação da máxima

energia de elástica com o ângulo de emissão. Variando-se o raio do anel de

discordância, as curvas da energia elástica variando ao longo da direção x são aquelas

apresentadas na Fig. 5.39.



-6-4-202468-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III/ µ b1/2

α = – π / 2

Figura 5.36: (a)

-6-4-20246-0.08

-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K

III/ µ b1/2

α = – 2π / 5

Figura 5.36: (b) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG


-6-4-20246-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K

III/ µ b1/2

α = – 3π / 10

Figura 5.36: (c)

-6-4-20246-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2

K II

/ µ b1/2

K III

/ µ b1/2

α = – π / 5

Figura 5.36: (d)



-4-3-2-10123456-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III

/ µ b1/2

-3-2-10123456-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III

/ µ b1/2

α = – π / 10

α = + π / 10

Figura 5.36: (e)

Figura 5.36: (f)



-3-2-10123456-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III

/ µ b1/2 α = π / 5

-3-2-10123456-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III

/ µ b1/2

α = 3 π / 10

α = + π / 5

α = + 3π / 10

Figura 5.36: (g)

Figura 5.36: (h)



-4-3-2-10123456-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III

/ µ b1/2 α = 2 π / 5

-4-3-2-10123456-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08


Ζο

K I ,

K II

, K

III /

µ b

1/2

K I / µ b1/2 K

II / µ b1/2

K III

/ µ b1/2 α = π / 2

α = + 2π / 5

α = + π / 2

Figura 5.36: (i)

Figura 5.36: (j)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x 10-4 V ariaçao da Energia

D / ρ '

Eb

α = - π / 2α = - 2π / 5α = - 3π / 10α = - π / 5α = - π / 10α = 0α = π / 10α = - π / 5α = 3π / 10α = π / 2

Variação da Energia

D / ρ’

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5x 10

-3 Energia elástica reduzida vs. Ângulo de emissão

α (radianos)

E b

Eb = 4.7e-005*α

3 + 0.0003*α2 - 7.7e-005*α + 7.3e-005

valores calculadoscubic

Figura 5.37: Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão α e para anéis em posições afastadas da aresta trinca.

Figura 5.38: Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão α.



E

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

-3 Variaçao da Energia

D / ρ'

b

N = 5N = 50N = 500N = 20N = 200

Figura 5.39: Variação da energia elástica para diferentes valores do raio do anel de discordância ao longo da direção ξ.

D / ρ’

Se o CP é considerado um meio infinito, a sua energia total, E∞, pode ser calculada por

E∞ = Eb + Er , (5.1)

onde Er é a energia de relaxação.

É possível obter-se a distância crítica a partir da energia de Gibbs, dada por

G = Wext – Eb . (5.2)

Na Eq. (5.2), Wext ë o trabalho das forças externas, para o Modo I expresso na forma



Wext = η KI b ρ’(3/2) , (5.3)

sendo η um parâmetro definido por

η = +π

π

1 23 π −∫ H (χ) dχ , (5.4)

onde χ é o ângulo definido na Fig. 5.40.

χ Ξ

H

2ρ'

Figura 5.40: Ângulo variável usado na determinação do parâmetro η.

anel de discordância

Diferenciando-se a Eq. (5.2) em relação a α e igualando o resultado a zero, obtém-se

extW E 0α α α

rG ∂ ∂∂= +

∂ ∂ ∂= . (5.5)


CAPÍTULO 6

CONCLUSÕES

O COMPORTAMENTO MICROMECÂNICO QUE INDUZ efeitos de blindagem ou anti-

blindagem devidos à presença de um anel de discordância é apresentado numa

formulação tridimensional. As equações de interação são descritas através de

parâmetros e equações adimensionais. Esta abordagem possibilitou o cálculo dos

fatores de intensidade de tensão, KI, KII e KIII, na forma adimensional para três

configurações cristalográficas diferentes de um material CFC. A interação da trinca e do

anel de discordância foi analisada para diversas posições do anel situadas sobre o plano

de deslizamento e ao longo da direção formada pela interseção desse plano com o plano

de propagação da trinca. A força-imagem foi calculada em cada uma dessas posições

arbitrárias. Admitiu-se que, ao assumir em seqüência tais posições, a discordância

percorre uma trajetória virtual, o que permite calcular o trabalho exercido por essa força

ao longo dessa trajetória virtual. Este trabalho foi igualado à energia elástica

armazenada no sistema pela presença do anel de discordância. Foi determinada uma

distância crítica entre trinca e anel além da qual a interação é fraca.

Observou-se que é possível estabelecer uma relação entre a energia elástica e o ângulo

de emissão, α. Nessa relação, | α | π/2 maximiza a relaxação, indicando que o anel

encontra-se praticamente perpendicular à superfície da trinca, ou seja, da superfície

livre.

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES 126

Valores do raio do anel de discordância superiores a 500b, onde b é o comprimento do

vetor de Burgers, torna a relaxação desprezível, pois a maior parte do anel encontra-se

longe da aresta da trinca.

No desenvolvimento do modelo, mostrou-se que o domínio de integração das equações

que representam os fatores de intensidade de tensão pode ser drasticamente reduzido em

relação ao modelo tridimensional proposto anteriormente. Este fato é de extrema

importância para diminuir o tempo de computação necessário no cálculo dos fatores de

intensidade de tensão, uma vez que sua determinação envolve um número muito grande

de integrações, número esse diretamente proporcional ao número de pontos usados ao

longo da aresta da trinca para representar a distribuição daqueles fatores. Essa redução

foi possível pelo uso das propriedades da superfície iso-p.

Mostrou-se a importância do ângulo de emissão sobre as condições de nucleação de

discordâncias em anel nas vizinhanças da trinca. É possível verificar, também, que este

ângulo de emissão desempenha um papel importante na determinação dos fatores de

intensidade de tensão. O trabalho permitiu determinar uma distância crítica da posição

do anel de discordância a partir da variação da energia crítica de Gibbs. Finalmente,

foram melhorados os cálculos efetuados por MICHOT (1982).


CAPÍTULO 7

SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

DURANTE O DESENVOLVIMENTO DESTE TRABALHO, algumas decisões foram tomadas visando aos objetivos imediatos a serem alcançados e, como conseqüência, muitos caminhos mantiveram-se inexplorados. Uma dessas outras opções seria a admissão de uma nova malha regular cartesiana associada à malha polar considerada. Nela, os valores das componentes de tensão poderiam ser interpolados a partir dos seus valores nodais. A vantagem direta advém durante o procedimento adotado para calcular os fatores de intensidade de tensão para posições do anel de discordância afastados da aresta da trinca. Uma malha regular certamente aumentaria a precisão dos cálculos quando do afastamento do anel da região próxima ao ponto de emissão, local onde as tensões variam muito rapidamente. O atual sistema apresenta aspectos nitidamente fracos com relação a esse aspecto, como se observa nas oscilações presentes nos gráficos dos FIT’s e nos da força-imagem.

CAPÍTULO 9 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 127


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O AUTOR

ANGELO GIL PEZZINO RANGEL nasceu a 19 de janeiro de 1952, na cidade de São

Sebastião do Rio de Janeiro-RJ. Graduou-se em Engenharia Mecânica (1974) pela

Escola de Engenharia do Rio de Janeiro, da UGF-RJ. Possui os títulos de Mestre em

Engenharia Aeronáutica (1981), pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), em

São José dos Campos-SP, e de Applied Mechanics Engineer (1985), pela University of

Michigan, Ann Arbor-MI (EEUU da A). Trabalhou na Empresa Brasileira de

Aeronáutica (EMBRAER) e no Centro Técnico Aeroespacial (CTA), em São José dos

Campos, na posição de engenheiro de estruturas e de pesquisador, respectivamente,

entre 1977 e 1988. Foi diretor de pesquisa e desenvolvimento da PROAD S.A., em

Vitória-ES, onde atuou como consultor entre 1988 e 1990. Atualmente, ocupa o cargo

de Professor Adjunto, em regime de DE, no Curso Superior de Tecnologia Mecânica

(CSTM), da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES), em Vitória-ES, para a qual

foi admitido, por concurso público, em 1990. Leciona disciplinas nas áreas de

Resistência dos Materiais, Estruturas dos Materiais, Mecânica, Método dos Elementos

Finitos e Equipamentos de Movimentação e Armazenagem de Materiais, para alunos de

graduação do CSTM e do Departamento de Engenharia Mecânica (DEM). Na pós-

graduação, leciona as disciplinas de Mecânica do Contínuo, Mecânica Clássica,

Mecânica dos Sólidos, Materiais Compostos, Teoria de Cascas e Estabilidade

Estrutural, no Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PPGEM).

Desenvolveu e desenvolve pesquisa nas áreas de Teoria de Cascas, Dinâmica de

Máquinas e Estruturas, Mecânica Computacional, Mecânica da Fratura e

Comportamento Mecânico de Tubos Rígidos e Flexíveis. Participa, como professor e

pesquisador, do Programa Institucional da UFES em Recursos Humanos para o Setor

Petróleo e Gás (ANP/PRH-29), patrocinado pela Agência Nacional do Petróleo. Tem

diversos trabalhos técnicos e científicos publicados no Brasil e alguns no exterior. Está

implantando o Laboratório de Análise Experimental de Tensões, no PPGEM. Tem sido

o orientador de diversos projetos de Iniciação Científica de alunos da UFES e atua

como co-orientador de dissertações de alunos do mestrado do PPGEM, em assuntos

136

voltados para a análise do comportamento mecânico de tubos rígidos e flexíveis usados

nas indústrias upstream do Setor Petróleo e Gás. É também consultor do Instituto

Tecnológico da UFES (ITUFES). Membro do Conselho Municipal de Ciência e

Tecnologia da cidade de Vitória-ES, nos biênios 1999-2001 e 2001-2003, e é,

atualmente, o representante da UFES na Câmara Setorial de Petróleo do Município de

Vila Velha-ES.


ANEXO

LISTAGEM DO PROGRAMA

A LISTAGEM DO PROGRAMA DIFRAC é apresentada nas páginas a seguir.

ANEXO 95

function difrac(config)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function DIFRAC calculates and plots 3D stresses associated with the presence

% of a dislocation ring when it moves towards a crack frontline in a monocrys-

% talline material (e.g., Si or GaAs). The energy variation is also calculated

% at the crack frontline.

% The analysis is made under the assumptions of isotropic behavior and that the

% atoms are displayed in a continuum medium. Frames of reference are assigned

% as follows:

% 1. REFERENCE FRAME (Crystal)

% ---------------

% Eo = [Io Jo Ko]' : Unit base vectors attached to the midspan of the

% ~ ~ ~ ~ specimen, with directions Io, Jo and Ko parallel to

% ~ ~ ~

% crystal lattice; they are

%

% Io = [1 0 0]' ,

% ~

% Jo = [0 1 0]' ,

% ~

% Ko = [0 0 1]' .

% ~

% SPECIMEN

% ________

% /

% _ _ _ _ _ _ _ _/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

% /| / /|

% / | / |

% / | Y / |

% / | J | / |

% / | ~ | / |

% /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ __ _ _ / |

% | | | | |

% | |_____________|_ /_ _ _ _ _ _ | _ _ _|

% | / \ \ \ \ |\/ | /|

% | / \ crack \ \ |/ | / | I

% | / \\ surface \\\ /_E______________|__ /_______~_

% | / \\ \ \\ \ \\\ / | / | X

% | / \\ \ \ \\\ \\ /<- crack | / |


ANEXO 96

% |/________________/ _frontline _ _ _ _|/ |

% | |_ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| _ _ _|

% | / / | /

% | / /K | /

% | / / ~ | /

% | / / | /

% | / Z | /

% |/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|/

%

% 2. CRYSTAL FRAME

% -------------

% E = [I J K ]' : Unit base vectors attached to the midspan of the

% ~ ~ ~ ~ crack, oriented relatively to the REFERENCE FRAME

% (crystal lattice) and, according to experimental

% determination, aligned as shown in the figure above,

% with its origin located at point E; they are given

% by

%

% I = [IXo IYo IZo]' ,

% ~

% J = [JXo JYo JZo]' ,

% ~

% K = [KXo KYo KZo]'

% ~

% and they transform to the REFERENCE FRAME by the

% orthogonal transformation

%

% E = Ao . Eo ,

% ~ ~ ~

%

% where Ao is the matrix containing the direction

% ~

% cossines of the angles between E and Eo.

%

% 3. SLIP PLANE FRAME

% ----------------

% e = [i j k ]' : Unit base vectors attached to the midspan of the

% ~ ~ ~ ~ crack, oriented relatively to the REFERENCE FRAME

% (crystal lattice) determining the dense plane within

% which the dislocation moves; they transform as


ANEXO 97

%

% e = B1 . E = B1 . Ao . Eo = A1 . Eo .

% ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

%

% One can observe that

%

% B1 = A1 . Ao' .

% ~ ~ ~

%

% 4. TRANSLATED SLIP PLANE FRAME

% ---------------------------

% ep = [ip jp kp]': Unit base vectors attached to the center O of the,

% ~ ~ ~ ~ dislocation ring and parallel to [i j k]; they

% ~ ~ ~

% transform as

% ep = e .

% ~ ~

% A vector defined in the translated slip plane frame

% as U = [up vp wp]' can be related to the REFERENCE

% ~

% FRAME as

% U = [uo vo wo] = A1 . ([up vp wp]' + D) ,

% ~ ~ ~

% where D = [DX DY DZ]' is the vector linking the

% ~

% center of the ring to the emission point.

%

% In the crack plane frame, the same vector can be

% represented as

% U = B1 . [up vp wp]' - D ,

% ~ ~ ~

% with D = [DX DY DZ]'.

% ~

% 5. ROTATED-TRANSLATED SLIP PLANE FRAME

% --------------------------------------

% epp = [ipp jpp kpp]': Unit base vectors attached to the center O of the,

% ~ ~ ~ ~ dislocation ring, rotated by an angle theta (angle

% of depart) measured on the slip plane starting from

% direction ip; transformation is given by

% ~


ANEXO 98

% epp = B3 . ep = B3 . e = B3 . B1 . Ao . Eo = A3 . Eo ,

% ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

%

% where

% | cos(theta) sin(theta) 0 |

% | |

% B3 = | - sin(theta) cos(theta) 0 | .

% ~ | |

% | 0 0 1 |

% Dislocation rings show up in dense (slip) planes of the crystalline material.

% Their main geometrical parameters are given in a file which is loaded at the

% beginning of the solution. This file must contain the following information:

%

% IC : Vector indicating the direction of crack propagation on the cleavage

% ~ plan, e.g. (examples show data for alpha-configuration),

%

% | -1 |

% I = IC = | 1 | ;

% ~ | 0 |

%

% KG : Vector indicating the direction normal to the main crystal plane,

% ~ following the direction of the crack front, e.g.,

%

% | -1 |

% K = KC = | -1 | ;

% ~ | 2 |

%

% kp : Vector indicating the direction normal to the slip plane, e.g.,

% ~

% | -1 |

% k = ks = | 1 | ;

% ~ | 1 |

%

% b : Vector indicating the direction of the dislocation (also known as

% ~ Burger's vector), e.g.,

%

% | -1 |

% b = | 1 | ;

% ~ | 1 |

%


ANEXO 99

% rhop : Radius of the dislocation ring, given as a function of the length of

% the Burger's vector, varying between

%

% 5 * | b | <= rhop <= 5000 * | b | ;

% ~ ~

%

% theta: Angle of depart indicating the slope of the dislocation ring relative

% to direction i.

% ~

%

% xp

% /

% Slip o C (center of ring)

% Plane /

% /

% /\ theta

% / \

% -----------o-------------- x

% / E (emission point)

%

% Structure of data files:

% Obs: All vectors are represented by their components in the crystallographic

% (reference) coordinate system.

% IC - column vector determining direction of crack propagation;

% KC - column vector determining direction normal to specimen's

% mid-plane;

% ks - column vector determining direction normal to sliding plane;

% b - column vector representinf the Burgers' vector;

% theta - angle of depart;

%

% I. CHOOSE SPECIMEN CONFIGURATION AND MATERIAL PROPERTIES

% I.1 Choice of the crystal lattice configuration

tic;

ntim = 0;

icount = 0;

while (icount < 5)

switch (config)

case 'alpha' ...

% a. Load crystal lattice data with an alpha-configuration

load alph_config


ANEXO 100

icount = 11;

case 'beta' ...

% b. Load crystal lattice data with a beta-configuration

load beta_config

icount = 12;

case 'gamma'

% c. Load crystal lattice data with a gamma-configuration

load gamm_config

icount = 13;

case 'test'

% d. Load crystal lattice used for testing

load test_config

icount = 14;

case 'ref0'

% e. Load crystal lattice data for special congiguration ref0, where

% normal to slip plane is parallel to vector K.

% ~

load ref0_config

icount = 15;

case 'ref1'

% f. Load crystal lattice data for special congiguration ref0, where

% normal to slip plane is parallel to vector K.

% ~

load ref1_config

icount = 16;

case 'sp00'

% g. Load crystal lattice data for special congiguration ss with theta = 0,

% used in the analysis of dislocation growth.

%

load sp0_config

icount = 17;

case 'ss00'

% g. Load crystal lattice data for special congiguration sp with theta = 0,

% used in the analysis of dislocation growth.

%

load ss0_config

icount = 18;

otherwise

disp('O nome do arquivo de dados fornecido é ') % português


ANEXO 101

disp('desconhecido.') % português

disp('Alterar o nome do arquivo de dados.') % português

disp('(voce terá apenas 5 oportunidades).') % português

% disp('The given filename is uknown.') % english

% disp('Change data filename.') % english

% disp('(you''ll have only 5 attempts).') % english

% disp('Le nom du fichier donné n'est pas connu.') % français

% disp('Changer le nom du fichier de donnés.') % français

% disp('(vous avez que 5 tentatives).') % français

pause;

icount = 1 + icount;

if(icount == 5); break; end;

end;

end;

% I.2 Material Properties

% a) Shear Modulus

mu = 1/6.;

% mu = 1/12.;

% b) Poisson's Coefficent

nu = .25;

% II. INITIALIZATION OF MAIN VARIABLES

% Initial values given to the main parameters of the problem

% II.1 Initial value of d (ring's center off-distance), in # of rhop's

dist = 0;

idf = 0;

% II.2 Vector of N's (size of rhop, given in lengths of Burgers' vector)

% Nsz = [5];

Nsz = [50];

% Nsz = [500];

% Nsz = [5000];

% Nsz = [50000];

% Nsz = [500000];

% Nsz = [5000000];

% Nsz = [5 50 500 5000 50000 500000];

% Nsz = [5 50 500 5000 50000 500000 5000000];

% Nsz = [5 20 30 40 200 300 400 500 5000 50000 500000 5000000];

% III. FIND TRANSFORMATION MATRICES BETWEEN DIFFERENT FIXED FRAMES

% Transformation matrices are used to represent components of quantities

% in different frames.

% III.1 Matrices of Base Vectors


ANEXO 102

% a. Reference Frame (Crystal Lattice)

Eo = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 1 ];

% b. Crack Plane and Slip Plane Frames

[Ao,A1,B1] = trnsf_mat(IC,KC,ks);

% c. Translated Slip Plane Frame

A2 = A1;

B2 = B1;

% III.2 Other Transformation Matrices

% The transformation matrices are already calculated, since all

% vectors are given in terms of the reference system [Xo,Yo,Zo].

% a. From Translated to Rotated-Tranlated Frames ...

ct = cos(theta);

st = sin(theta);

B3 = [ ct st 0

-st ct 0

0 0 1 ];

% b. From Translated to Slip Plane Frame

% -x-x-x-

% IV. DRAW SPECIMEN AND OBTAIN DIMENSIONS OF THE CRACK SURFACE

% Draws a sketch of the specimen and the dislocation ring with

% dimensions given as functions of the Burger's vector for an initial

% c.o.d. (crack openning displacement) given by

cod = 10; % Size of COD

% Number of sections in lambda-direction

%

% |

% \ | /

% \ | /

% \ | / n_lamb = 4

% \ | /

% z \|/


ANEXO 103

% -----------+------------

% |x

%

% n_lamb = 5; % for a half surface of p - Gerard's

% n_lamb = 6; % for a half surface of p - improved Gerard's

% n_lamb = 8; % for a half surface of p

% n_lamb = 12; % for a half surface of p

n_lamb = 24; % for a complete surface of p

% n_lamb = 48; % for a more complete surface of p

% n_lamb = 180; % for a onde degree increment for surface of p

N_len = length(Nsz);

blen = norm(b,2) ;

DMax = 500 ;

N_iter = 0 ;

% Number of stress intervals

% s_int = 10;

tim(ntim + 10) = toc; % Check CPU time up to here

% Parameters to build up the mesh:

% Values of p and angle phi (= (3*pi/2) - lambda)

% [p,phi] = initval(n_lamb);

[p,phi,r] = mesh_data(mu,nu,n_lamb,Nsz);


lambda = phi ;

rc = r(1);

plen = length(p) ;

llen = length(lambda);

KIT = [];

KIIT = [];

KIIIT = [];


ANEXO 104

KIE = [];

Im_ForT = [];

sum_d = 0 ;

id = 1 ;

d = [0 0 0]; % Used when dislocation is at crack tip only!

dl = 0 ;

l_dist = 1;

l_d = 0;

for iN = 1:1:N_len

N = Nsz(iN);

rhop = N * blen;

% III.1 Find the cut off region close to point E

% [rc,pmax] = cutoffr(N,mu,nu);

% Reduce vector p by taking pmax as its maximum value

% p = red_p(p,pmax,id);

hf = 1; % Current figure number


while idf == 0

dsf = 0; % Flag to avoid drawing specimen

% Draw specimen (if iN = 1 and id = 1)

[mag_rhop,EC,CtrRng] = spec_drw(Ao,A1,B1,B3,rhop,theta,dl,cod,...

hf,DMax,iN,id,config);

idf = -1;

end;

% Draw ring

h_rng = ring(hf,mag_rhop,CtrRng,B1);


ANEXO 105


% if (iN == N_len) & (id == l_dist)

% write_data(config,IC,KC,ks,b,theta,N,hf); % Write data to

% % figure(1) if

% last N and last id.

% end;

% IV. DETERMINE ENERGY VARIATION DUE TO THE INCREASE OF THE RING's DIAMETER ON

% THE SLIP PLANE

% IV.1 Calculate effective geometry of the crack

% [LimX,LimZ] = crk_surf(LimSpec,rc);

% IV.2 Mesh crack surface

% Crack surface is meshed to obtain stresses

% a. Rectangular mesh

% b. Triangular mesh

% c. Iso-p coordinates

% c.1 Generate mesh coordinates


[p,R,XM,ZM,X_step] = isop(Ao,A1,B1,p',lambda,dl,rhop,theta,rc,id,...

sum_d);


[XN,ZN,l_vecX,l_vecZ,csiC,zetaC] = contour_points(XM,ZM,plen,llen);



ANEXO 106

% c.2 Draw mesh and find baricenter of each element

hf = 11; % Current figure number

%

% specimen(rhop,cod,hf) % This line to plot mesh on the crack plane

%

%

%


[elm,elsurf,sumar,Xbar,Zbar,hmsh] = quadmesh(lambda,R,hf);


% IV.4 Determine stresses at node points of the mesh




[eta,zeta,SIGMA,StVec] = stresses(Ao,A1,B1,b,p,lambda,R,XM,ZM,...

rhop,EC,CtrRng,elsurf,theta,rc,nu,mag_rhop,cod);


[S12,S22,S23] = change_str(SIGMA,StVec,XM,ZM,p,lambda);


% IV.5 Determine stresses at the baricenter of the elements




% [Sb12,Sb22,Sb23,dPb,dQb,dRb] = barstrs(p,lambda,S12,S22,S23,dP,dQ,dR);

%

%


ANEXO 107


%

% Using one Gaussian integration point in each element

[Sb12,Sb22,Sb23] = Gstrs(XM,ZM,Xbar,Zbar,S12,S22,S23,'cubic');


% IV.6 Calculate KI, KII and KIII





[KII,KI,KIII,Zsta,Zred,KIzer] = Kinteg(Xbar,Zbar,Sb12,Sb22,Sb23,...

elsurf,p,lambda,rhop,b,mu,nu);


% d. Generate vector of increments in d and check its value

test_Energy = 0 ;

Work_done = 0 ;

Energy = 0 ;

last_Energy = 0 ;

ntim = 150 ;

while test_Energy == 0

ntim = ntim + 10;

tim(ntim) = toc; % Check CPU time up to here

KIIT = [ KIIT

KII ];


ANEXO 108

KIT = [ KIT

KI ];

KIIIT = [ KIIIT

KIII ];

KIE = [ KIE KIzer ];

% IV.7 Calculate imaginary force acting on the crack's edge




Im_For = imagf(KII,KI,KIII,mu,nu,Xbar,Zbar,Zsta,Zred);

Im_ForT = [ Im_ForT

Im_For ];

del_Work = trapz( Zsta', Im_For ) * norm(d,2);

Work_done = Work_done + del_Work;

Energy = - Work_done;

if ( abs(Energy) - abs(last_Energy) ) >= 1.00e-2

test_Energy = 1;

else

% IV.8 Displace loop

N_iter = N_iter + 1;

[d,Xn,Zn,Xd,Zd,Xbp,Zbp,A] = displace(b,d,XN,ZN,l_vecX,...


ANEXO 109

l_vecZ,B1,p,lambda,rhop,N_iter);

[NSb12,NSb22,NSb23] = Gstrs(XM,ZM,Xbp,Zbp,S12,S22,S23,'cubic');

[KII,KI,KIII] = neg_Kinteg(Xbp,Zbp,NSb12,NSb22,NSb23,KII,...

KI,KIII,Zsta,A,p,lambda,rhop,b,d,mu,nu);

XN = Xn;

ZN = Zn;

end;

end;

stp = 1;

tim(ntim) = toc; % Check CPU time up to here

end;

figure(90)

hold on

grid on

plot(1:1:ntim,tim,'ro');

% IV.8 Calculate work done during the ring dislocation's displacement




% WD = wrkdn(ImFor,d,Zsta);

% figure(60)

% semilogx(Nsz,KIE)


ANEXO 110

% stp=1;

% END OF PROGRAM DIFRAC

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

function [Ao,A1,B1] = trnsf_mat(IC,KC,ks)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function TRNSF_MAT(IC,KC,ks) finds matrix of transformation between systems

% defined by [IC,JC,KC] and [is,js,ks].

%

%

% Input variables are:

%

% IC - Vector indicating the direction of crack propagation on the

% cleavage plan;

% KC - Vector indicating the direction normal to the main crystal plane,

% following the direction of the crack front;

% ks - Vector indicating the direction normal to the slip plane.

%

% Notation uses sufixes ..C for capital and ..s for small in crystallographic

% and slip plane systems, respectively.

%

% FRAME X-Y-Z DEFINING THE CLEAVAGE PLANE SYSTEM (E)

% Vectors defining specimen's base system

unit_Xo = [1 0 0]';

unit_Yo = [0 1 0]';

unit_Zo = [0 0 1]';

% Vector defining the direction of fracture propagation (X)

% Ex.: IC = [ -1 1 0 ]';

length_IC = norm(IC,2);

nrm_IC = IC / length_IC;


ANEXO 111

% Vector defining the direction normal to crystal plane XY (Z)

% Ex.: KC = [ -1 -1 2 ]';

length_KC = norm(KC,2);

nrm_KC = KC / length_KC;

% Vector defining the direction Y normal to plane XZ (Y)

JC = cross(nrm_KC,nrm_IC);

length_JC = norm(JC,2);

nrm_JC = JC / length_JC;

% Matrix of director cosines of system X-Y-Z relative to Xo-Yo-Zo

Ao = [nrm_IC nrm_JC nrm_KC]';

% FRAME x-y-z DEFING THE SLIP PLANE SYSTEM (e)

% Vector defining the direction normal to sliding plane (z)

% Ex.: ks = [ -1 1 1 ]';

length_ks = norm(ks,2);

nrm_ks = ks / length_ks;

if (nrm_ks' * nrm_KC) < 0

nrm_ks = -nrm_ks;

end;

% Vector defining the direction normal to plane x-z; it also defines the

% intersection of sliding plane-cleavage plane (plane where fracture

% propagates)

is = cross(nrm_JC,nrm_ks);

length_is = norm(is,2);

nrm_is = is / length_is;


ANEXO 112

% Vector defining the direction normal to plane x-z (y)

js = cross(nrm_ks,nrm_is);

length_js = norm(js,2);

nrm_js = js / length_js;

% Matrix of director cossines of system x-y-z relative to Xo-Yo-Zo

A1 = [nrm_is nrm_js nrm_ks]';

% Transformation Matrix between the two systems defined above

B1 = A1 * Ao';

stp = 1;

% END OF FUNCTION TRNSF_MAT

function [p_val, phi, r] = mesh_data(mu,nu,n_lamb,N)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function MESH_DATA(mu,nu,s_int,n_lamb,N) finds radii and angles of the polar

% mesh around the point of emission.

%

% It is based on the fact that stress component (sig23) cannot be grater than

% mu/10 (maximum theoretical stress and upper bound limit for sig23) and that

% values smaller than 1.E-4 are negligible.

%


%

% mu - shear's modulus of the material;

%

% nu - Poisson's coefficient of the material;


ANEXO 113

%

% n_lamb - number of intervals in angular direction;

%

% N - size of loop radius in number of lengths of Burger's vector.

%

%

% The cut-off region is the minimum radius calculated based on the maximum

% value of sig23, which is the only stress component left when one considers

% the x-dir. as the line formed by the crossing of the slip plane with the

% plane of crack propagation. In this case, all variables are zero, except

% rhop, Ro and the distance of point M to point E, the last one given by rho.

% The cut-off radius is the distance of the closest point to the point of

% emission for which stresses (sig23 for that matter) are within the

% theoretical range. This is shown in the figure below.

%

%

% | sig23

% |

% * |

% + - - - (mu/10)

% * |

% * | |

% * | |

% * | |

% * | |

% * | |

% * | |

% * | |

% * | |

% * - - - - - - - - - - - - - - + - - + (mu/10^4)

% * | |

% _________________________|____________________|_____|_____ x

% M E

% -->| r C |<--

%

%

% When the above condition is reached, the matching value of p is set as pmax,

% while the stress upper bound is reduced by an amount calculated based on the

% number of desired stress intervals s_int. With this, a new rC is calculated,

% as well as p, with the same procedure. These last values represent the


ANEXO 114

% position of the next p-line.

%

%

%

%

%

% Angular coordinates

%lamb = 0:(2*pi/n_lamb):2*pi; % use this line to draw a complete surface of p

lamb = 0:(pi/n_lamb):pi; % angle measured from +Zo around Yo

phi = (3*pi/2) - lamb; % angle used in the calculations

%phi = (pi/2) - lamb;

% Stress limits and decrement

s_upper = mu ;

s_lower = mu * 1.E-4;

% Calculate stress factor Fo

Fo = 1 / (2 * pi * N);

po = .9;

p = po;

sig23 = 0. ;

while (abs(sig23) < s_upper)

p = 1 - (.1 * (1 - p));

[sig23] = shearst(mu,nu,Fo,p);

end;

pmax = p;

p_val = [];

r = [];

s23 = sig23;


ANEXO 115

nw_s_upper = s_upper;

while (abs(s23) >= s_lower)

while (abs(sig23) > nw_s_upper)

p = pmax - (.01 * (1 - pmax));

[sig23] = shearst(mu,nu,Fo,p);

pmax = p;

end;

% nw_s_upper = nw_s_upper - del_s;

nw_s_upper = nw_s_upper * .9;

p_val = [ p_val pmax ];

ppmin = sqrt(1 - pmax * pmax);

rC = N * 2 * ppmin / (1 - ppmin);

r = [ r rC ];

s23 = sig23;

end;

tr = 1;

% END OF FUNCTION MESH_DATA

function [s23] = shearst(mu,nu,Fo,p)

% 1 2 3 4 5 6 7 8


ANEXO 116

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function SHEARST(mu,nu,p) calculates the shear stress on the crack plane in

% the x-direction due to the presence of the dislocation. This stress component

% is used to find the cut-off radius.

p2 = p * p;

pp2 = 1 - p2;

pp = sqrt(pp2);

[K,E] = ellipke(p2);

Q1 = 2 * E / pp2;

Q3 = (Q1 - (2 * K)) / p2;

Q5 = (Q1 - Q3 * (1 + pp2)) / p2;

sp23 = ((Q1 - (1+pp)*Q3)/(1 - nu)) - ((1 - pp)/(1 - nu)) * Q5 * 2 * nu;

s23 = Fo * (1 - pp)^2 * (sp23)/4;

% END OF FUNCTION SHEARST

function [mag_rhop,EC_red,CtrRng] = spec_drw(Ao,A1,B1,B3,rhop,theta,d,cod,...

hf,NMax,iN,id,cnfg)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function SPEC_DRW(Ao,A1,B1,B3,rhop,theta,cod,hf,NMax,iN,id) draws

% dislocation ring over the cracked specimen, indicating main directions.

%


%

% Ao - transformation matrix defining direction cossines of the crack

% frame [X,Y,Z] with respect to reference frame [Xo,Yo,Zo];

% A1 - transformation matrix defining direction cossines of slip plane

% [x,y,z] w.r.t. [Xo,Yo,Zo];


ANEXO 117

% B1 - transformation matrix from the crack frame to the slip frame, i.e.,

% from [x,y,z] to [X,Y,Z];

% B3 - transformation matrix defining direction cossines of translated

% frame [xp,yp,zp] w.r.t. [xpp,ypp,zpp];

% rhop - radius of dislocation ring (in terms of Burgers' vector length);

% theta - angle of depart between x-dir and the line passing thru the

% point of the ring touching the crack frontline (point of emission,

% E) and the ring center;

% d - distance between center of ring and point of emission;

% cod - initial crack openning displacement;

% hf - figure number;

% NMax - max value of N for scaling specimen;

% iN - index of current size of loop radius;

% id - iteration number for the distance (d >= 0);

% cnfg - configuration.

%

% N O T E:

% Due to MATLAB's convention for axes directions, it is necessary to reverse

% the sense of y-dir and label YDir as 'Z' and ZDir as 'Y'. This reverses

% only the plotting of variables in y-dir (renamed 'Y'), but does not affect

% plotting in z-dir.

%

% Coordinate systems are defined as follows:

%

% 1) Crystallographic (reference/base) system: Xo,Yo,Zo

% Global reference system to which all other systems are related; its

% base vectors are given by

%

% Notation Components in Ref.System

% Io = [1 0 0]' ,

% ~

% Jo = [0 1 0]' ,

% ~

% Ko = [0 0 1]' .

% ~

%

% 2) Crack plane system: X,Y,Z

% Basic frame defining crack plane with respect to the REFERENCE FRAME,

% having its origin at the point of emission E (point where dislocation

% ring touches the crack frontline); its base vectors are given by


ANEXO 118

%

% Notation Local Global

% I = [1 0 0]' = [IXo IYo IZo]' ,

% ~

% J = [0 1 0]' = [JXo JYo JZo]' ,

% ~

% K = [0 0 1]' = [KXo KYo KZo]' .

% ~

%

% 3) Slip plane system: x,y,z

% Frame attached to the slip plane (dense plane) of the crystal, with

% origin at E; base vectors are

%

% Notation Local Crack Global

% i = [1 0 0]' = [iX iY iZ]' = [iXo iYo iZo]' ,

% ~

% j = [0 1 0]' = [jX jY jZ]' = [jXo jYo jZo]' ,

% ~

% k = [0 0 1]' = [kX kY kZ]' = [kXo kYo kZo]' .

% ~

%

% 4) Ring centered sytem: x',y',z'

% Frame parallel to slip plane system but with its origin displaced

% to point C (center of dislocation ring), which lies on the slip plane,

% with coordinates given by

%

% x' = - rhop * cos(theta) ,

% y' = - rhop * sin(theta) ,

% z' = 0 ,

%

% where theta is the angle of depart; its base vectors are the same as

% in previous system (3), i.e., i'=i, j'=j and k'=k.

% ~ ~ ~ ~ ~ ~

%

% 5) Rotated ring centered system: x",y",z"

% Frame centered in C rotated about z' of an angle equal to theta, such

% that its x"-dir is colinear wit the straight line passing thru E and C;

% its base vectors are given by

%

% Not. Local Slip Plane Crack Global


ANEXO 119

% i" = [1 0 0]' = [ cst snt 0]' = [i"X i"Y i"Z]' = [i"Xo i"Yo i"Zo]' ,

% ~

% j" = [0 1 0]' = [-snt cst 0]' = [j"X j"Y j"Z]' = [j"Xo j"Yo j"Zo]' ,

% ~

% k" = [0 0 1]' = [ 0 0 1]' = [k"X k"Y k"Z]' = [k"Xo k"Yo k"Zo]' ,

% ~

%

% with cst and snt being the cosine and the sine of theta.

%

% 6) Rotated ring centered system: x"',y"',z"'

% Frame rotated such that point M (on the cleavage plan) have coordinates

% M(x"',0,z"') = M(Xo,0,Zo); its base vectors are i"',j"' and k"'.

% ~ ~ ~

%

% Transformation from one system to the other are obtained by applying vector

% transformation rules

%

% x = A . X ,

% ~ ~ ~

%

% where

% x = [xi xj xk]' ,

% ~

% X = [XI XJ XK]'

% ~

%

% and A being the transformation matrix with the director cosines of the angles

% ~

% between each base vector defining x and the base vectors for X. Its inverse

% ~ ~

% is A_1 = inv(A) = (A)^(-1) = (A)'.

% ~ ~ ~ ~

%

% The notation used in the program assumes

%

% Type for System

% o global reference (crystal)

% caps ltrs. crack plane

% small ltrs. slip plane

% p prime


ANEXO 120

% pp double prime

% ppp triple prime

%

%

%

% Plot specimen rotated by 90 deg around x-dir with YDir reversed

% and notation in YDir and ZDir switched to z- an y-dir, respectively.

figure(hf)

if (iN == 1) & (id == 1)

ho = specimen(rhop,cod,hf,NMax);

rotate3d;

end;

hold on

%

% IMPORTANT NOTES:

% a) From this point on, all plots show functions with YDir

% reversed, as well as YDir and ZDir switched to z- and

% y-dir, respectively;

%

% b) Specimen is drawn by taking the crack plane frame as the

% main directions (sides of the specimen are parallel to

% vectors [1 0 0], [0 1 0] and [0 0 1], respectively), with

% its crystallographic reference being oriented elsewhere

% (see picture below).

%

% SPECIMEN

% ________

% /

% _ _ _ _ _ _ _ _/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

% /| / /|

% / | / |


ANEXO 121

% / | Y / |

% / | J | / |

% / | ~ | / |

% /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ __ _ _ / |

% | | | | |

% | |_____________|_ /_ _ _ _ _ _ | _ _ _|

% | / \ \ \ \ |\/ | /|

% | / \ crack \ \ |/ | / | I

% | / \\ surface \\\ /_E______________|__ /_______~_

% | / \\ \ \\ \ \\\ / | / | X

% | / \\ \ \ \\\ \\ /<- crack | / |

% |/________________/ _frontline _ _ _ _|/ |

% | |_ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| _ _ _|

% | / / | /

% | / /K | /

% | / / ~ | /

% | / / | /

% | / Z | /

% |/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|/

%

% PLOT MAIN COORDINATE SYSTEMS ON SPECIMEN

ct = cos(theta);

st = sin(theta);

% Reference system definition (X0,Y0,Z0)

Eo = [ 1 0 0

0 1 0

0 0 1 ];

% Coordinate transformation matrix from theta-rotated system (prime-prime)

% to sliding plane system (prime) - [ x' = [B_3].x" ]

B_3 = B3';

% Adequate magnitude of base vectors for plotting

magfac = 5;

mag_rhop = magfac * rhop;

mag_Eo = mag_rhop * Eo;

mag_B1 = mag_rhop * B1;


ANEXO 122

dmag = magfac/5 * d * rhop;

% Origin of crack plane frame in global coordinates

Orig = [ 0 0 0 ]';

% Center of dislocation ring on the theta-rotated sliding plane frame in

% local coordinates ...

CEpp = mag_rhop * [-1 0 0 ]';

% ... in displaced slip plane ...

CEp = B_3 * CEpp;

% ... in sliding plane frame ...

EC = - CEp + [dmag 0 0]';

EC_red = EC / mag_rhop;

% ... and in crack plane coordinates

CtrRng = B1' * EC;

% Extract base vectors from system definition in global reference frame

% Crack plane system:

X = mag_Eo(1,:)';

Y = mag_Eo(2,:)';

Z = mag_Eo(3,:)';

% Slip plane system:

x = mag_B1(1,:)';

y = mag_B1(2,:)';

z = mag_B1(3,:)';

figure(hf);

% Find coordinates of rotated sliding plane base vectors

% in global reference frame

%B_2 = B_3 * Ao' * Eo;

%if (iN == 1)

% Plot crack plane coordinate system (X,Y,Z) in global reference frame ...


ANEXO 123

% ... in X-direction (actual XDir)

line([Orig(1) X(1)],...

[Orig(2) X(2)],...

[Orig(3) X(3)],'Color','k');

% ... in modified Y-direction (actual ZDir)

line([Orig(1) Z(1)],...

[Orig(2) Z(2)],...

[Orig(3) Z(3)],'Color','k');

% ... and in modified Z-direction (actual -YDir)

line([Orig(1) Y(1)],...

[Orig(2) Y(2)],...

[Orig(3) Y(3)],'Color','k');

% Plot slip plane system...

% ... in x-direction

line([Orig(1) x(1)],...

[Orig(3) x(3)],...

[Orig(2) x(2)],'Color','k','LineStyle',':');

% ... in modified y-direction

line([Orig(1) y(1)],...

[Orig(3) y(3)],...

[Orig(2) y(2)],'Color','k','LineStyle',':');

% ... and in modified z-direction

line([Orig(1) z(1)],...

[Orig(3) z(3)],...

[Orig(2) z(2)],'Color','k','LineStyle',':');

% Draw radius of dislocation ring from center to point of emission

line([CtrRng(1) Orig(1)],...

[CtrRng(3) Orig(3)],...

[CtrRng(2) Orig(2)],'Color','r');

% Plot sliding plane coordinate system (x,y,z) in global reference frame

% ... x-direction

line([CtrRng(1) (CtrRng(1)+x(1))],...


ANEXO 124

[CtrRng(3) (CtrRng(3)+x(3))],...

[CtrRng(2) (CtrRng(2)+x(2))],'Color','g');

% ... y-direction

line([CtrRng(1) (CtrRng(1)+z(1))],...

[CtrRng(3) (CtrRng(3)+z(3))],...

[CtrRng(2) (CtrRng(2)+z(2))],'Color','g');

% ... and z-direction

line([CtrRng(1) (CtrRng(1)+y(1))],...

[CtrRng(3) (CtrRng(3)+y(3))],...

[CtrRng(2) (CtrRng(2)+y(2))],'Color','g');

cg = strcat('Configuração ',upper(cnfg)); % Português

%cg = strcat('Configuration ',upper(cnfg)); % English

%cg = strcat('Configuration ',upper(cnfg)); % Français

title(cg,'FontSize',14);

%end;

% END OF FUNCTION SPEC_DRW

function h = specimen(rhop,cod,hf,DMax)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Generates a picture of the specimen with its main coordinate systems

%

% Input data are:

%

% rhop - radius of dislocation ring

% cod - crack opening distance

%

% Main variables are:

%


ANEXO 125

% max_dim - maximum value used as parameter to calculate lengths in specimen

% h_cod - half cod

%

max_dim = DMax;

h_cod = DMax / 50 / 2 ;

view([1 -1 1]);

spec_xmin = -max_dim;

spec_xmax = 0;

spec_ymin = -max_dim;

spec_ymax = max_dim;

spec_zmin = -max_dim;

spec_zmax = max_dim;

%LimSpec = [spec_xmax spec_xmin spec_zmax spec_zmin];

% Lower base surface of specimen

base_surf_x = [spec_xmin spec_xmax spec_xmax spec_xmin spec_xmin];

base_surf_y = [spec_ymin spec_ymin spec_ymin spec_ymin spec_ymin];

base_surf_z = [spec_zmax spec_zmax spec_zmin spec_zmin spec_zmax];

% Crack lower surface

crk_lsurf_x = [spec_xmin spec_xmax spec_xmax spec_xmin spec_xmin];

crk_lsurf_y = [ -h_cod 0 0 -h_cod -h_cod ];

crk_lsurf_z = [spec_zmax spec_zmax spec_zmin spec_zmin spec_zmax];

% Crack upper surface

crk_usurf_x1 = [spec_xmin spec_xmax];

crk_usurf_y1 = [ h_cod 0 ];

crk_usurf_z1 = [spec_zmax spec_zmax];

crk_usurf_x2 = [spec_xmax spec_xmin spec_xmin];

crk_usurf_y2 = [ 0 h_cod h_cod ];

crk_usurf_z2 = [spec_zmin spec_zmin spec_zmax];

% Upper base surface of specimen

uppr_surf_x = [spec_xmin spec_xmax spec_xmax spec_xmin spec_xmin];


ANEXO 126

uppr_surf_y = [spec_ymax spec_ymax spec_ymax spec_ymax spec_ymax];

uppr_surf_z = [spec_zmax spec_zmax spec_zmin spec_zmin spec_zmax];

% Vertical edges

vert_edge_x1 = [spec_xmin spec_xmin];

vert_edge_y1 = [spec_ymin -h_cod ];

vert_edge_z1 = [spec_zmax spec_zmax];


vert_edge_y2 = [ h_cod spec_ymax];

vert_edge_z2 = [spec_zmax spec_zmax];


vert_edge_y3 = [spec_ymin -h_cod ];

vert_edge_z3 = [spec_zmin spec_zmin];


vert_edge_y4 = [ h_cod spec_ymax];

vert_edge_z4 = [spec_zmin spec_zmin];

vert_edge_x5 = [spec_xmax spec_xmax spec_xmax];

vert_edge_y5 = [spec_ymin 0 spec_ymax];

vert_edge_z5 = [spec_zmax spec_zmax spec_zmax];

vert_edge_x6 = [spec_xmax spec_xmax spec_xmax];

vert_edge_y6 = [spec_ymin 0 spec_ymax];

vert_edge_z6 = [spec_zmin spec_zmin spec_zmin];

figure(hf)

% Draw lower base surface of specimen

h1 = line(base_surf_x,base_surf_y,base_surf_z,'Color', 'blue');

% Draw crack lower surface

h2 = line(crk_lsurf_x,crk_lsurf_y,crk_lsurf_z,'Color', 'blue');

% Draw crack upper surface

h3 = line(crk_usurf_x1,crk_usurf_y1,crk_usurf_z1, 'Color', 'blue');

h4 = line(crk_usurf_x2,crk_usurf_y2,crk_usurf_z2, 'Color', 'blue');


ANEXO 127

% Draw upper base surface of specimen

h5 = line(uppr_surf_x,uppr_surf_y,uppr_surf_z,'Color', 'blue');

% Draw vertical edges

h6 = line(vert_edge_x1,vert_edge_y1,vert_edge_z1,'Color', 'blue');






h = [h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10 h11];

x_dir = [1 0 0];

y_dir = [0 1 0];

z_dir = [0 0 1];

rotate(h,x_dir,90);

set(gca,'YDir','reverse');

% Next line prevents displaying tick-marks

%set(gca,'YDir','reverse','Visible','off');

xlabel('\fontsize14x');

ylabel('\fontsize14z');

zlabel('\fontsize14y');

grid off

hidden on

axis equal

% END OF FUNCTION SPECIMEN


ANEXO 128

function h_rng = ring(hf,mag_rhop,CtrRng,B)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

%

% Function RING(hf,mag_rhop,CtrRng,B) draws the loop relatively to the

% specimen.

%


%

% hf - figure number;

% mag_rhop - magnification of loop radius for drawing;

% CtrRng - coordinates of the loop's center;

% B - transformation matrix from the crack plane to the slip plane.

%

%

%

% Set current figure

figure(hf);

% Draws dislocation ring with n equally spaced arcs

mag_rhop = mag_rhop(:); % Make sure r is a vector.

n = 40;

theta = ((0:n)/n*2*pi)';

sintheta = sin(theta); sintheta(n+1) = 0;

x_rhop = mag_rhop * cos(theta);

y_rhop = mag_rhop * sintheta;

z_rhop = (length(x_rhop) * zeros(1,n+1))';

s_coords = [ x_rhop'

y_rhop'

z_rhop' ];

Ext_CR = repmat(CtrRng,1,length(x_rhop'));


ANEXO 129

Rng_coords = (B' * s_coords) + Ext_CR;

X_rhop = Rng_coords(1,:);

Y_rhop = Rng_coords(2,:);

Z_rhop = Rng_coords(3,:);

EX = X_rhop';

EY = Y_rhop';

EZ = Z_rhop';

h_rng = line(EX,EZ,EY,'Color','m','LineWidth',1);

axis equal

% END OF FUNCTION H_RING

function [p,R,Xrl,Zrl,X_step] = isop(Ao,A1,B1,p,phi,d,rhop,theta,rc,id,sum_d)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function ISOP(Ao,A1,B1,p,phi,d,rhop,pmax,theta, rc) determines the polar

% coordinate pair (R,lambda) for which parameter p has the same value.

%

% Input data are:

%

% Ao - transformation matrix from the crack to the reference system;

% A1 - " " " " slip plane to the ref. system;

% B1 - " " " " crack plane to slip plane;

% p - p-values for build up the mesh;

% phi - angle phi is equal to ((3*pi/2) - lambda);

% d - distance from the current center of ring, point C', to the

% center of ring when its circle touches the point of emission;

% rhop - radius of the dislocation ring;


% rc - cut-off radius;


ANEXO 130

% id - iteration number for the distance (d >= 0)

%

% p is a parameter used in the evaluation of the elliptic functions of the

% first (K(p)) and the second (E(p)) kinds. For a point M of coordiantes

% (XoM,0,ZoM) = (EM, lambda) = (xM,0,zM), it is related to the slip plane

% coordinate system through equation

%

%

%

%

% p² = (4 * xM * rhop) / [zM² + (xM + rhop)²] . (1)

%

%

%

%

% Based on this relation and keeping p constant, coordinates (xM,zM) are

% expressed as functions of p and vector EM, linking the point of emission to

% the desired point M, having its components given in terms of the slip plane

% system (x,y,z), is transformed to the components in the reference system by

% transformation matrix B1 * A1, where B1 is the transformation matrix from

% the theta-rotated transformation system to the slip plane system and e is

% the transformation matrix from the slip plane system to the reference

% system. Em is also expressed in terms of vectors CE (from the center of the

% ring to the emission point) and CM (from the center of the ring to the

% desired point M.

%

%

%

%

% Xo

% /

% -->| xM |<--

% ---------------------------------o----- x

% | /|E

% | / |

% | / |

% | / |

% | R / |

% zM | ~/ |


ANEXO 131

% | / |

% | / |

% | / |

% |/ |

% o ---------|

% / M |

% / |

% |

% | z

% ->

% Vector CM is defined by

% -> -> ->

% CM = CE + EM , (2)

%

% where

% ->

% CM = 0 i" + yM" j" + zM" k" , (3)

% ~ ~ ~

% ->

% CE = -(d + rhop * cos(theta)) i - rhop sin(theta) j (4)

% ~ ~

% ->

% EM = XM I + 0 J + ZM K . (5)

% ~ ~ ~

%

% When combined and transformed to system E, these equations lead to

% ~

%

% | 0 | | -[d+rhop*cos(theta)] | | XM |

% | | | | | |

% B1'. B3'. | yM" | = B1 . | - rhop * sin(theta) | + | 0 | . (6)

% ~ ~ | | ~ | | | |

% | zM" | | 0 | | ZM |

%

%


ANEXO 132

% Taking

%

% etaM" = yM" / rhop , (7.a)

%

% zetaM" = zM" / rhop , (7.b)

%

% CSIM = XM / rhop , (8.a)

%

% ZETAM = ZM / rhop , (8.b)

%

%

% eq.(1) can be rewritten as

%

%

% p² = 4 * eta" / [zeta"² + (1 + eta")²] = const. (9)

%

%

% and eq.(6) becomes

%

% | 0 | | -[delta + cos(theta)] | | CSIM |

% | | | | | |

% B1'. B3'. | etaM" | = B1 . | - sin(theta) | + | 0 | , (10)

% ~ ~ | | ~ | | | |

% | zetaM" | | 0 | | ZETAM |

%

% or

%


ANEXO 133

% -> -> ->

% B1' . B3' . CM" = B1 . CE + EM . (11)

% ~ ~ ~

%

% where

%

% delta = d / rhop , CSIM = XM / rhop , ZETAM = ZM / rhop . (12)

%

% Subsitution of eqs.(7-8) into eq.(11) and, later, this result into eq.(9),

% it follows that

%

% RHO^4 + C[2] * RHO^3 + C[3] * RHO^2 + C[4] * RHO + C[5] = 0 , (13)

%

% where

%

% RHO = RM / rhop ,

%

% C[5] = 4 * g ,

%

% C[4] = 4 * g^2 + 2 * del_o + 2 - s * (1 - f^2) ,

%

% C[3] = 2 * (2 * g * (del_o + 1) - g * s) , (14)

%

% C[2] = (del_o + 1)^2 - del_o * s ,

%

% C[1] = 1

%

% s = [4/(p^2) - 2]² , (15)


ANEXO 134

%

% del_o = delta^2 + 2 * delta * cos(theta) + 1 . (16)

%

% The pair (R,lambda) is calculated in n_lamb sections following the descrip-

% tion bellow.

%

%

% x *

% \ / * |

% \ / * |XM

% o M ---------+

% * /.\ |

% p=cnst. * / . \ |

% ___ * / . \ |

% \ * / . \ |

% * / . \ |

% * / . \ R |

% * / . \~ |

% / . \ |

% / . \ |

% / . .\ | TOP VIEW

% / .lambda. \.-|- . === ====

% / . . \-|-. \ phi

% / . . \| \ \

% Z <--+-------------+-------------o--------------

% ZM |E / /

% |-\ .

% |- \

% | \

% X \C

% o

%

% |Y

% | .o

% | .. /C


ANEXO 135

% ..| /

% .. | / SIDE VIEW

% .. | / ==== ====

% .. |E

% -------------------o-------------o-------------->X

% M |

% |

% |

% |

% |

% |

%

% One observes that

%

%

% XM = - RM sin(lambda) = RM cos(phi) and

% (17)

% ZM = RM cos(lambda) = - RM sin(phi) .

%

%

Xrl = [];

Zrl = [];

X_step = [];

plen = length(p); % length of vector p

llen = length(phi); % length of vector lambda (phi)

dlen = norm(d,2);

% Separate maximum value of p

pmax = p(plen);

%p = p';

p2 = p.^2;

ct = cos(theta);

st = sin(theta);

a1 = B1(:,1);


ANEXO 136

a2 = B1(:,2);

a3 = B1(:,3);

Dm = [d + ct st 0]';

s = a1' * Dm;

q = a3' * Dm;

R = [];

rr = [];

Coeff = [];

xrl_max = [];

del_o = d^2 + 2 * d * ct + 1;

C(1) = 1;

% Calculate coefficients of the 4th-order polynomial [Eq.(13) above]

for il = 1:1:llen % loop over lambda from (3*pi)/2 to pi/2

clmb = - sin(phi(il)); % a positive angle phi is used instead of

slmb = cos(phi(il)); % the negative angle lambda

% almb = slmb * a3(1) + clmb * a3(3); % Gerard's notation

% blmb = - s * slmb - q * clmb ; % Gerard's notation

almb = slmb * a1(3) + clmb * a3(3);

blmb = - s * slmb - q * clmb ;

% almb = - slmb * a3(1) + clmb * a3(3); % OLD NOTATION!!!

% blmb = s * slmb - q * clmb ; % OLD NOTATION!!!

C(2) = 4 * blmb;

pred = [];

for ip = 1:1:plen

lp = (4 / p2(ip) - 2)^2;

C(3) = 4 * blmb^2 + 2 * del_o + 2 - lp + lp * almb^2;


ANEXO 137

C(4) = 2 * (2 * blmb * (del_o + 1) - blmb * lp);

C(5) = (del_o + 1)^2 - del_o * lp;

% disp('p = ')

% p(ip)

% C

% disp('roots')

% roots(C)

posrt = real_roots(C,0,10^8);

rtmax = max(posrt);

rtmin = min(posrt);

if (~isempty(posrt))

pred = [ pred

p(ip) ];

rr = [rr rtmin];

else

pred = [ pred ];

rr = [rr];

end;

end;

if (id > 1)

rr = [rr 0];

end;

phi1 = phi(il) * ones(1,length(rr));


ANEXO 138

[xrl,zrl] = pol2cart(phi1,rr); % angle phi is used instead of lambda

% disp(' xrl''');

% disp(xrl');

Xrl = [ Xrl

xrl ];

Zrl = [ Zrl

-zrl ];

R = [ R

rr ];

rr = [];

end;

if id == 1

X_step = [ X_step

max(abs(Xrl)) ];

else

p = [ pred

pmax ];

end;

%p = [ pred

% pmax ];

P = repmat(p,1,length(phi));

figure(10);

%specimen(rhop,10);

hold on

axis image


ANEXO 139

contour3(Xrl,Zrl,20*P',60);


rotate3d;

grid on;

xlabel('\fontsize12\rm\xi');

ylabel('\fontsize12\rm\zeta');

title('\fontsize14\bfA Superfície Iso-\itp') % Português

%title('\fontsize14\bfThe Iso-\itp Surface') % English

%title('\fontsize14\bfLa Surface Iso-\itp') % Français

% END OF FUNCTION ISOP

function [x] = real_roots(C,Xmin,Xmax)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function REAL_ROOTS(C,Xmin,Xmax) determines the real roots of a polynomial,

% with coefficients given by a vector C, within the range (XMin <= x <= Xmax).

% Vector C contains the coefficients of the polynomial in descending order

% of power, i.e.,

%

% C(1)X^(n) + C(2)X^(n-1) + C(3)X^(n-2) + ... + C(n)X + C(n+1) .

%

% First, roots are found thru MATLAB's function ROOTS(C). In a second step,

% only the real roots are taken. Finally, roots are filtered within the

% interval (XMin <= x <= Xmax).

%

% Column vector x contains all real roots of the polynomial in the given

% interval.

%

% Find all roots of the polynomial

allrts = roots(C);

% Initialize variables


ANEXO 140

realrts = [];

cmplxrts = [];

bndrts = [];

ubndrts = [];

alrtslen = length(allrts);

% Select real roots only

for ir = 1:1:alrtslen

if (imag(allrts(ir)) == 0)

realrts = [realrts allrts(ir)]; % vector of real roots

else

cmplxrts = [cmplxrts allrts(ir)]; % vector of complex roots

end;

end;

rrtslen = length(realrts);

% Select roots within bounded interval [Xmin,Xmax] only

for ir = 1:1:rrtslen

if ((realrts(ir) >= Xmin) & (realrts(ir) <= Xmax))

bndrts = [bndrts realrts(ir)]; % vector of bounded roots

elseif ((realrts(ir) >= Xmin) | (realrts(ir) <= Xmax))

ubndrts = [ubndrts realrts(ir)]; % vector of unbounded roots

end;

end;


ANEXO 141

x = bndrts;

% END OF FUNCTION REAL_ROOTS

function [XN,ZN,l_vecX,l_vecZ,csiC,zetaC] = contour_points(X,Z,plen,llen)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function CONTOUR_POINTS(X,Z,PLEN,LLEN) extracts the coordinates of the points

% on the mesh contour lines.

%

%

%

%

%

% Extract coordinates of contour points

%

% - along lambda = 0:

Xl0 = X(1,:)';

Zl0 = Z(1,:)';

l_Xl0 = length(Xl0);

l_Zl0 = length(Zl0);

% - along R = R(pmin):

XRpi = X(2:llen-1,plen);

ZRpi = Z(2:llen-1,plen);

l_XRpi = length(XRpi);

l_ZRpi = length(ZRpi);

% - along lambda = pi/2:

XPi_2 = fliplr( X(llen,1:plen) )'; % invert order of

ZPi_2 = fliplr( Z(llen,1:plen) )'; % vectors

l_XPi_2 = length(XPi_2);


ANEXO 142

l_ZPi_2 = length(ZPi_2);

% - along R = R(pmax):

XRpa = flipud( X(2:llen-1,1) );

ZRpa = flipud( Z(2:llen-1,1) );

l_XRpa = length(XRpa);

l_ZRpa = length(ZRpa);

csiC = [ XPi_2

XRpa

Xl0

XRpi ];

zetaC = [ ZPi_2

ZRpa

Zl0

ZRpi ];

figure(7)

plot (csiC,zetaC,'+')

set(gca,'YDir','reverse')

axis equal

grid on

hold on

l_vecX = [ l_XPi_2

l_Xl0 ];

l_vecZ = [ l_ZPi_2

l_Zl0 ];

XN = [ csiC(1:l_XPi_2)

csiC((l_XPi_2 + l_XRpa + 1):(l_XPi_2 + l_XRpa + l_Xl0)) ];

ZN = [ zetaC(1:l_ZPi_2)

zetaC((l_ZPi_2 + l_ZRpa + 1):(l_ZPi_2 + l_ZRpa + l_Zl0)) ];


ANEXO 143

% END OF COUNTOUR_POINTS

function [elnum,elsurf,sum_area,Xbar,Zbar,hpt] = quadmesh(lambda,R,hf)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function QUADMESH(lambda,R) draws the mesh over the crack surface, assigns

% element numbers and calculates the surface of each element.

%

% Input are:

%

% R,lambda - vectors of node coordinates in polar form;

% hf - figure number.

%

%

%

%


chklen = min(size(R));

if (llen > chklen)

Rlen = chklen;

else

Rlen = length(R);

end;

% Mesh is created by first incrementing along lambda and then along R, so the

% numbering of the element will become optimized.


ANEXO 144

% Draw each element, calculate its baricenter coordinates and area

figure(hf)

%specimen(50,10);

%subplot(1,2,1)

hold on

axis image


elnum = 0; % element numbering initialized

sum_area = 0; % total area initialized

hpt = [];

elsurf = [];

iel = [];

Xbar = [];

Zbar = [];

Are = [];

for il=1:1:llen-1

rad_coord = [];

xl = [];

zl = [];

iae = [];

for iR = 1:1:Rlen-1

elnum = elnum + 1; %element counting

ielI = [R(il ,iR ) lambda(il) ];

ielJ = [R(il+1,iR ) lambda(il+1)];

ielK = [R(il+1,iR+1) lambda(il+1)];

ielL = [R(il ,iR+1) lambda(il) ];

iel = [ ielI ielJ ielK ielL ];

[h,ae,xbar,zbar] = quadri(iel);

hpt = [ hpt h ];


ANEXO 145

elsurf = [ elsurf ae ];

iae = [ iae ae ];

sum_area = sum_area + ae;

% plot(xbar,zbar,'+')

xl = [ xl xbar ];

zl = [ zl zbar ];

end;

Xbar = [ Xbar

xl ];

Zbar = [ Zbar

zl ];

Are = [ Are

iae ];

end;

grid on;



title('\fontsize14\bfA Malha de Elementos') % Português

%title('\fontsize14\bfThe Element Mesh') % English

%title('\fontsize14\bfLa Maillage') % Français

%title('\fontsize14\bfA Malha de Elementos e os Baricentros') % Português

%title('\fontsize14\bfThe Element Mesh and the Baricenters') % English

%title('\fontsize14\bfLa Maillage et les Baricentres') % Français

%figure(7);

%surf(Xbar,Zbar,Are);

%rotate3d;

stp = 1;


ANEXO 146

%subplot(1,2,2)

%refresh(hpt)

%hold on

%plot(Xbar,Zbar,'+')

%zoom

% END OF FUNCTION QUADMESH

function [eta,zeta,SIGMA,StVec] = stresses(Ao,A1,B1,b,p,lamb,R,XM,ZM,rhop,...

EC,CtrRng,elsurf,theta,rc,nu,mag,cod)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function STRESSES(Ao,A1,B1,b,d,p,lamb,R,XM,ZM,rhop,EC,CtrRng,theta,rc,nu,mag,

% cod) calculates stress components at point M(XM,ZM)lying on the (virtual)

% crack plane comprised by the intervals

%

% -Inf < XM < rc and -Inf < ZM < +Inf ,

%

% where rc is the cut-off radius.

%

% Input are:

%

% Ao - transformation matrix from the cleavage plan coordinate system

% to the crystallographic coordinate system;

% A1 - transformation matrix from the slip plane coordinate system

% to the crystallographic coordinate system;

% B1 - transformation matrix from the slip plane coordinate system

% to the crack plane coordinate system;

% b - Burger's vector;

% d - center-off distance;

% p - vector of parameter p;

% (lamb,R)- polar coordinates of several M points over the crack plane;

% (XM,ZM) - cartesian coordinates of several M points over the crack


ANEXO 147

% plane;

% rhop - radius of the dislocation ring;

% EC - vector of center of ring coordinates in slip plane system;

% CtrRng - vector of center of ring coordinates in crystall.coord.system;

% elsurf - area of each element;


% rc - cut-off radius;

% mu - shear modulus of the material; and

% nu - Poisson's coefficient;

% mag - magnification factor for rhop;

% cod - crack opening displacement.

%

%

% Each stress component is obtained by the analytical integration of the

% expression found in HIRTH & LOTHE [1] and according to OLIVEIRA [2].

% The general expression of these components is

%

%

% [sig(i,j)/mu] = Fo . f(i,j) ,

%

% where

%

% Fo = 1 / [2 * N * pi * (1 - nu)]

% ~

% f(i,j) = f(b,Q,x'M,z'M,nu) ,

% ~ ~

% mu is the shear's modulus of the material,

% N is the number of Burger's vectors in rho'(radius of boucle),

% ~

% Q = Q(p) is a matrix containing functions of p,

% ~ ~

% (x'M,z'M) are the coordinates of point M in the slip plane coordinate

% system rotated such that y'M = 0, and

%

% nu is the Poisson's coefficient of the material being analysed.

%

%

%

%

%


ANEXO 148

%

% [1] HIRTHE,J.P. & J.LOTHE, "Theory of Dislocations", 2nd ed., J.Wiley&Sons,

% Inc., New York, 1982, rep. by Krieger Pub.Co., Malabar, FL, 1992.

%

% [2] OLIVEIRA,M.A.L., Emission et Develppement de Dislocations en Tete de

% Fissure dans le Silicium: Analyse Tridimensionnelle de l'Interaction

% Dislocation/Fissure, doctoral thesis presented at the Inst. Nat.

% Polytech. de Lorraine, Ecole des Mines de Nancy, Nancy, jun, 1994.

%

%

% Find position of points M in slip plane coordinates

YM = zeros(size(XM));

c = - EC;

ct = cos(theta);

st = sin(theta);

len_b = norm(b,2);

nrm_b = b / len_b;

N = rhop / len_b;

llen = length(lamb);

plen = length(p);

p2 = p.^2;

len_EtaMpp = [];

len_ZetaMpp = [];

Nrm_sjpp = [];

Nrm_sipp = [];

rhoM = [];

bpp = [];

BB = [];

Comg = [];

Somg = [];

for il=1:1:llen


ANEXO 149

% Coordinates of point M in the crack plane system ...

% Note: Cartesian coordinates of point M in the cleavage plane (YM=0), XM and

% ZM, are given by matrices of orders (llen x plen), each line represent-

% ing the respective coordinates for a given value of p. To find the the

% pair [XM,ZM] one must identify which is the order of p (ip) and lambda

% (il) corresponding to that point; the pair is, then, given by

%

% [XM,ZM] = [XM(il,ip),ZM(il,ip)]

%

CSIMX = [ XM(il,:)

YM(il,:)

ZM(il,:) ]; % this gives all coordinates along lamda for different

% values of p.

% Find the position of point M in the slip plane coordinate system to orient

% ypp (in terms of the crystallographic coordinate system):

%

% zetaM" k = [CSIM 0 ZETAM] * E = [CSIM 0 ZETAM] * Ao * Eo

% ~ ~ ~ ~

%

% etaM" j" = cid' * e + CSIMX' * E - zetaM" k

% ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

%

% etaM" = [cid' - transp(zetaM")] * A1 + [CSIM 0 ZETAM] * Ao * Eo

% ~ ~ ~ ~ ~ ~

%

% etaM"

% ~

% j"(M) = ---------

% ~ |etaM"|

% ~

%

% i" = j" x k = j" x ( A1 * Eo )

% ~ ~ ~ ~ ~ ~

%

zetaM = CSIMX' * B1(3,:)';

zer = zeros(length(zetaM),1);

zetaMpp = [zer zer zetaM];


ANEXO 150

cid = repmat(c,1,length(CSIMX));

etaMpp = (cid' - zetaMpp) * A1 + CSIMX' * Ao;

letapp = length(etaMpp);

p_ver = [];

B_pwise = [];

nrm_sipp = [];

nrm_sjpp = [];

comg = [];

somg = [];

len_etaMpp = [];

len_zetaMpp = [];

for ip = 1:1:plen

loc_etaMpp = norm(etaMpp(ip,:),2);

len_etaMpp = [ len_etaMpp loc_etaMpp ]; % = xM / rhop (= rho / rhop)

loc_nrm_sjpp = etaMpp(ip,:) / loc_etaMpp;

nrm_sjpp = [ nrm_sjpp loc_nrm_sjpp' ];

loc_nrm_sipp = cross(loc_nrm_sjpp,A1(3,:));

nrm_sipp = [ nrm_sipp loc_nrm_sipp' ];

% Transformation matrix from local pp-coordinates to slip plane coordinates

loc_B = [ loc_nrm_sipp' loc_nrm_sjpp' A1(3,:)' ];

B_pwise = [ B_pwise loc_B ];

loc_zetaMpp = zetaMpp(ip,3);

len_zetaMpp = [ len_zetaMpp loc_zetaMpp ]; % = zM / rhop (= h / rhop)

% Vector CM in the slip plane coordinate system

loc_rhoM = [ 0

loc_etaMpp

loc_zetaMpp ];

rhoM = [ rhoM loc_rhoM ];

% Next three lines used for verification only


ANEXO 151

loc_p_ver = sqrt(4 * loc_etaMpp / (loc_zetaMpp^2 + (1+loc_etaMpp)^2));

p_ver = [ p_ver

loc_p_ver ];

% Burger's vector components in the omega-rotated slip plane coordinate system

comg = [comg nrm_b' * loc_nrm_sipp'];

somg = [somg nrm_b' * loc_nrm_sjpp'];

end;

BB = [ BB

B_pwise ]; % transformation matrices from the local

% coordinate system of each point to the slip

% plane system.

Mrm_sipp = [ Nrm_sipp

nrm_sipp ];

Nrm_sjpp = [ Nrm_sjpp

nrm_sjpp ];

len_EtaMpp = [ len_EtaMpp

len_etaMpp ];

len_ZetaMpp = [ len_ZetaMpp

len_zetaMpp ];

Comg = [ Comg

comg ];

Somg = [ Somg

somg ];

end;

eta = len_EtaMpp;

zeta = len_ZetaMpp;

% Calculate elliptic functions of first [K(p)] and second [E(p)] kinds

[Kp,Ep] = ellipke(p2);

% Calculate matrix Q of stress coefficients

Q = stcoef(Kp,Ep,p);


ANEXO 152

Fo = 1 / (2 * N * pi * (1-nu));

sigma = [];

for ip=1:1:plen

s = [];

for il=1:1:llen

RHO = sqrt(zeta(il,ip)^2 + (1 + eta(il,ip))^2);

RHO2 = RHO * RHO;

RHO3 = RHO * RHO * RHO;

% Calculate the weighted distribution of stress coefficients

W = wgtdis(p(ip),nu,RHO,eta(il,ip),zeta(il,ip));

omga = omega(eta(il,ip),zeta(il,ip),Comg(il,ip),Somg(il,ip),RHO);

ss = omga * W * Q(:,ip);

Fss = Fo * ss;

% transformation of the (6x1) stress vector in a (3x3) symmetric matrix

sig = [ Fss(1) Fss(2) Fss(3)

Fss(2) Fss(4) Fss(5)

Fss(3) Fss(5) Fss(6) ];

s = [ s sig ];

end;

sigma = [ sigma

s ];

end;

% Transformation of stresses from the slip plane coordinate system to the

% cleavage plane coordinate system (the stress vector acting on each node


ANEXO 153

% is also calculated)

%

% Notes: a) Stresses are stored in the following fashion:

%

% | sig(1) sig(2) ... sig(n_l) |

% | ~ ~ ~ |

% | sig(n_l+1) sig(n_l+2) ... sig(n_l+n_l) |

% sigma = | ~ ~ ~ | ,

% | : : ... : |

% | : : ... : |

% |sig((n_p-1)*n_l+1) sig((n_p-1)*n_l+2) ... sig((n_p-1)*n_l+n_l)|

% | ~ ~ ~ |

%

% where, for a given element e, stresses are

%

% | sigxx sigxy sigxz |

% | |

% sig(e) = | sigxy sigyy sigyz | ;

% ~ | |

% | sigxz sigyz sigzz |

%

%

% b) The stress transformation is given by

%

% SIGMA(e) = B1 . sigma(e) . B1' ,

%

% while the stress vector in Y-dir can also be found by

%

% FORCE(e) = sigma(e) . loc_B(:,1)'.

%

%

SIGMA = [];

StVec = [];

for ip=1:1:plen

inc_p = 3 * (ip-1);

StF = [];

SIG = [];


ANEXO 154

for il=1:1:llen

inc_l = 3 * (il-1);

B_rot = Ao * BB((1+inc_l):(3+inc_l),(1+inc_p):(3+inc_p));

sf = B_rot * sigma(1+inc_p:3+inc_p,1+inc_l:3+inc_l);

SF = sf * B_rot';

sg = B_rot * sigma(1+inc_p:3+inc_p,1+inc_l:3+inc_l);

SG = sg * B_rot';

StF = [ StF SF ];

SIG = [ SIG SG ];

end;

StVec = [ StVec

StF ];

SIGMA = [ SIGMA

SIG ];

end;

stp = 1;

% END OF FUNCTION STRESSES

function [Q] = stcoef(K,E,p)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function STCOEF(K,E,p) calculates Qi coefficients of stress components.

%

% Input are:

%


ANEXO 155

% (K,E) - First and second kind elliptic functions, respectively;

% p - parameter associated with the coordinates of a point M.

%

p2 = p.^2;

m = (ones(size(p2)) - p2);

plen = length(p);

for ip=1:1:plen

Q(1,ip) = 2 * E(ip) / m(ip);

Q(2,ip) = 2 * ((1 + m(ip)) * Q(1,ip) - K(ip)) / (3 * m(ip));

Q(3,ip) = (Q(1,ip) - 2*K(ip)) / p2(ip);

Q(4,ip) = (Q(1,ip) + Q(3,ip)) / (3 * m(ip));

Q(5,ip) = (Q(1,ip) - (Q(3,ip) * (1 + m(ip)))) / p2(ip);

Q(6,ip) = ((2*Q(3,ip) - Q(1,ip))) / (3 * p2(ip));

end;

stp =-1;

% END OF SUBROUTINE STCOEF

function [S12,S22,S23] = change_str(SIGMA,StVec,X,Z,p,lamb)

% Reads files with coordinates and stresses generated by DiFrac

S11 = [];

S12 = [];

S13 = [];

S22 = [];

S23 = [];

S33 = [];

%dP = [];

%dQ = [];


ANEXO 156

%dR = [];

l_X = length(p);

l_Z = length(lamb);

for ii = 1:1:l_X

inc_X = 3 * (ii-1);

s11 = [];

s12 = [];

s13 = [];

s22 = [];

s23 = [];

s33 = [];

% dp = [];

% dq = [];

% dr = [];

for jj = 1:1:l_Z

inc_Z = 3*(jj-1);

mac11 = SIGMA(1+inc_X,1+inc_Z);






s11 = [ s11 mac11 ];

s12 = [ s12 mac12 ];

s13 = [ s13 mac13 ];

s22 = [ s22 mac22 ];

s23 = [ s23 mac23 ];

s33 = [ s33 mac33 ];

f12 = StVec(1+inc_X,2+inc_Z);



ANEXO 157


% dp = [ dp f22 ];

% dq = [ dq f12 ];

% dr = [ dr f23 ];

end;

S11 = [ S11

s11 ];

S12 = [ S12

s12 ];

S13 = [ S13

s13 ];

S22 = [ S22

s22 ];

S23 = [ S23

s23 ];

S33 = [ S33

s33 ];

% dP = [ dP

% dp ];

% dQ = [ dQ

% dq ];

% dR = [ dR

% dr ];

end;

stp = 1;

rts=40; % magnifying ratio for stresses

rtf=9000; % magnifying ratio for forces

% Draw stresses

figure(21)

hold on


ANEXO 158

axis image

surf(X,Z,rts*S22')

%contour3(Xbar,Zbar,rts*Sb22',60)


rotate3d

%axis square

shading interp

grid on;



title ('\fontsize14\tau_\eta_\eta nos Nos dos Elementos') % Português

%title ('\fontsize14\tau_\eta_\eta at the Elements Nodes' ) % English

%title ('\fontsize14\tau_\eta_\eta aux Noeuds des Elements') % Français

%pause;

figure(22)

hold on

axis image

surf(X,Z,rts*S12')



rotate3d

%axis square

shading interp

grid on;



title ('\fontsize14\tau_\xi_\eta nos Nos dos Elementos') % Português

%title ('\fontsize14\tau_\xi_\eta at the Elements Nodes' ) % English

%title ('\fontsize14\tau_\xi_\eta aux Noeuds des Elements') % Français

%pause;

figure(23)

hold on

axis image

surf(X,Z,rts*S23')




ANEXO 159

rotate3d

%axis square

shading interp

grid on;



title ('\fontsize14\tau_\zeta_\eta nos Nos dos Elementos') % Português

%title ('\fontsize14\tau_\zeta_\eta at the Elements Nodes' ) % English

%title ('\fontsize14\tau_\zeta_\eta aux Noeuds des Elements') % Français

%pause;

%s11 = 1000*s11;

%s12 = 1000*s12;

%s13 = 1000*s13;

%s22 = 1000*s22;

%s23 = 1000*s23;

%s33 = 1000*s33;

function [Si12,Si22,Si23] = Gstrs(X,Z,Xi,Zi,S12,S22,S23,meth)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function GSTRS(X,Z,S12,S22,S23,meth) interpolates the stress distributions

% S12, S22 and S23, defined at each coordinate pair (X,Z), over the X-Z (Y = 0)

% plane (xi,zeta,0), such that result shows the interpolated values at

% each coordinate pair (Xi,Zi), which are the interpolation points.

%

%


%

% (X,Z) - coordinates where stresses are calculated analitically;


ANEXO 160

% (Xi,Zi) - coordinates of points where stresses are interpolated;

% S12,S22,S23 - stresses at (X,Z);

% meth - method for interpolation:

% = 'linear' for linear interpolation (default);

% = 'nearest' for nearest neighbor interpolation;

% = 'cubic' for bicubic interpolation;

% = 'v4' for bicubic spline interpolation.

icount = 0;

while (icount == 0);

switch(meth)

case 'linear'

Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi');



icount = 1;

case 'nearest'

Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi','nearest');



icount = 1;

case 'v4'

Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi','v4');



icount = 1;

case 'cubic'

Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi','cubic');


ANEXO 161



icount = 1;

end;

end;

sstp = 1;

%

function [KII,KI,KIII,Zsta,Zred,KIzer] = Kinteg(Xbar,Zbar,Sb12,Sb22,Sb23,...

elsurf,p,lamb,rhop,b,mu,nu)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function KINTEG(XBAR,ZBAR,SB12,SB22,SB23,dPb,dQb,dRb,rhop,b,mu,nu) calculates

% the distribution of KI, KII and KIII along z-coordinate direction by using

% stresses in [s12,s22,s23].

%


%

% (Xbar,0,Zbar) - coordinates (cleavage plan) of elements' baricenter;

% [Sb12,Sb11,Sb23] - stresses at the elements' baricenter in the cleavage

% plan coordinate system (= [Sxx Sxy Syz]);

% elsurf - vector of the area of each element;

% p, lamb - parameters;

% rhop - loop radius;

% b - Burgers' vector;

% mu - shear modulus;

% nu - Poisson's coefficient.

%

% Output variables are the stress intensity factors KI, KII and KIII, as well

% as the graphics of Syy, Sxy and Syz at the baricenter of each element.


ANEXO 162

%

%

% Function KINTEG calculates SIF by summation rather performing a formal

% integration.

% Over the crack plane, stress component distributions are assumed as a linear

% variations of the exact values calculated at each node of the mesh elements.

% Over each element, stresses are assumed as constants and acting on their

% baricenters. Their values are the arithmetic averages calculated using the

% exact values at the four nodes of each element.

%

% Points along z-axis for which SIF are to be calculated are assumed to be

% coincident with the elements' z-coordinate baricenter, Zbar. Elements in the

% mesh are considered as regular quadrilaterals.

%

% Intermediate variables are as follows:

%

% .For an element e, delimited by nodes I,J,K,L and sides IJ,JK,KL,LI:

%

% - Baricenter coordinates:

%

% Xbar = (1/4) * (xI + xJ + xK + xL)

%

% Zbar = (1/4) * (zI + zJ + zK + zL)

%

% - Stresses (Syy,Sxy,Syz) at the baricenter:

%

% sige = (1/4)* (sigI + sigJ + sigK + sigL)

%

% with sig = [Syy Sxy Syz]


ANEXO 163

%

%

%

% For each station N(0,0,zzer), integration is assumed as a summation over the

% entire crack surface, which is semi-infinite in x-direction (-Inf < x < 0)

% and infinite in z-direction (-Inf < z < +Inf), as follows:

%

%

% | K II |

% | | e=E

% SIF = | K I | = sp2 * sum A(e) * m * F(e) * sig(e) ,

% | | e=1 ~ ~ ~

% | K III |

%

% where

%

% sp2 = sqrt(2 * N)/pi² ,

%

% | 1 0 0 f 0 |

% m = | 0 1 0 0 0 | ,

% ~ | 0 0 1 0 f |

%

%

% f = 2 * nu / (2 - nu) ,

%

%

% | F1 0 0 |

% | 0 F1 0 | 1

% F = | 0 0 F1 | = - * [ F(Zzer) + F(ZZer-1) ]

% ~ | F2 0 F3 | 2 ~ ~

% | F2 0 -F2 |

%


ANEXO 164

%

% F1 = sqrt(Xbar) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²] ,

%

%

% F2 = sqrt(Xbar) * [Xbar² - (Zzer - Zbar)²] / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,

%

%

% F3 = 2 * (Zzer-Zbar) * sqrt(Zbar³) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,

%

%

% sig(e) = [ Sxybar(e) Syybar(e) Syzbar(e) ]' .

% ~

%

%

% Note: Since Xbar is always negative (-Inf < Xbar < 0), its value has been

% assumed as

%

%

% Xbar = abs(Xbar)

%

% for calculating its square root.

%

%

%

% Basic parameters for calculations

% Number of coordinates

Ae = elsurf;

plen = length(p);

llen = length(lamb);

%si_x = max(size(Xbar));

%si_z = min(size(Zbar));


ANEXO 165

% Calculate stress vector components at each baricenter

for ip=1:1:plen-1

for il=1:1:llen-1

Se = Ae((il-1)*(plen-1)+ip);

dPb(ip,il) = Sb22(ip,il) * Se;

dQb(ip,il) = Sb12(ip,il) * Se;

dRb(ip,il) = Sb23(ip,il) * Se;

end;

end;

%% Draw forces

%figure(31)

%hold on

%axis image

%surf(X,Z,rts*dP')

%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dP',60)

%set(gca,'YDir','reverse');

%rotate3d

%%axis square

%shading interp

%grid on;

%xlabel('\fontsize12\rm\xi');

%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');

%title ('\fontsize14Forca dP nos Nos dos Elementos') % Português

%%title ('\fontsize14Force dP at the Elements Nodes' ) % English

%%title ('\fontsize14Force dP aux Noeuds des Elements') % Français

%%pause;

%figure(32)

%hold on

%axis image


ANEXO 166

%surf(X,Z,rts*dQ')

%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dQ',60)


%rotate3d

%%axis square

%shading interp

%grid on;



%title ('\fontsize14Forca dQ nos Nos dos Elementos') % Português

%%title ('\fontsize14Force dQ at the Elements Nodes' ) % English

%%title ('\fontsize14Force dQ aux Noeuds des Elements') % Français

%%pause;

%figure(33)

%hold on

%axis image

%surf(X,Z,rts*dR')

%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dR',60)


%rotate3d

%%axis square

%shading interp

%grid on;



%title ('\fontsize14Forca dR nos Nos dos Elementos') % Português

%%title ('\fontsize14Force dR at the Elements Nodes' ) % English

%%title ('\fontsize14Force dR aux Noeuds des Elements') % Français

%%pause;

a = 1;

blen = norm(b,2);

mlenb = mu * blen;

msqb = mu * sqrt(blen);

N = rhop / blen;


ANEXO 167

sp2 = sqrt(2 * N) / (pi * pi);

f = 2 * nu / (2 - nu);

m = [ 1 0 0 f 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 f ];

% Calculates KI, KII and KIII as vectors to be plotted

% Find Zmin and Zmax

ndiv = 5.000e002; % This section establishes the number of

% stations where SIF's are to be

% calculated; the domain of integration

Zmax = max( max(Zbar) );

Zmin = min( min(Zbar) );

Zinc = abs(Zmax-Zmin)/ndiv; % points along Zeta-dir is given by

Zsta = Zmin:abs(Zmax-Zmin)/ndiv:Zmax; % [Zmin = - 10 < zeta < Zmax = + 10];

Zsta = fliplr(Zsta); % Zsta is the vector of stations along

% zeta where SIF's are calculated.

%

Zround = adround(Zsta,Zinc); % Round-off of Zo values to obtain

Zsta = Zround; % exact increments in Z-dir.

nz = length(Zsta);

% Establish coordinates of points along Z-dir where SIF's will be calculated

dK = [];

% Loop over points on z-axis

for iK=1:1:nz

Zzer = Zsta(iK); % Z-coord of Station iK

elpl_K = zeros(3,1);

% Loop over p


ANEXO 168

for jK=1:1:plen-1

S1 = [ Sb12(jK,:)

Sb22(jK,:)

Sb23(jK,:) ];

ell_K = zeros(3,1);

% Loop over lambda

for kK=1:1:llen-1

Se = Ae((kK-1)*(plen-1)+jK);

xb2 = Xbar(kK,jK)^2;

sqxb3 = sqrt(abs(Xbar(kK,jK))*xb2);

sqxb = sqrt(abs(Xbar(kK,jK)));

% zdif = abs(Zzer - Zbar(kK,jK));

zdif = (Zzer - Zbar(kK,jK));

zdif2 = zdif * zdif;

u = xb2 + zdif2;

u2 = u * u;

v = xb2 - zdif2;

F1 = sqxb / u ;

F2 = sqxb * v / u2 ;

F3 = 2 * zdif * sqxb3 / u2 ;

F = [ F1 0 0

0 F1 0

0 0 F1

F2 0 F3

F2 0 -F2 ];

ell_K = ell_K + Se * m * F * S1(:,kK);

%


ANEXO 169

end;

elpl_K = elpl_K + ell_K;

end;

dK = [ dK elpl_K ];

if iK == nz

stp = 1;

end;

end;

KIzer = 0.;

for iK=1:1:nz

% Zzer = Zsta(iK); % Z-coord of Station iK

% Zzerl1 = Zsta(iK-1); % Z-coord of Station iK-1

% Zzerd = abs(Zzer - Zzerl1); % Integration step

% dKmed = (1/2) * (dK(:,iK) + dK(:,iK-1));

% SIF = SIF + Zzerd * dKmed;

KII(iK) = dK(1,iK) * sp2; % Reduced values of

KI(iK) = dK(2,iK) * sp2; % the stress intensity

KIII(iK) = dK(3,iK) * sp2; % factors

%

% Choose KI max

%

if (iK > 1)

if(abs(KI(iK)) > abs(KIzer))


ANEXO 170

KIzer = KI(iK);

end;

end;

end;

%sqsqN = N^(.25);

sqsqN = 1.;

Zred = Zsta * sqsqN; % Reduced z-coordinates

figure(6)

%hold on

plot(Zred,KI,'r',Zred,KII,'b-.',Zred,KIII,'m:')

grid on

set(gca,'XDir','reverse')

title('\fontsize14\bfFatores de Intensidade de Tensão'); % Português

%title('\fontsize14\bfStress Intensity Factors'); % English

%title('\fontsize14\bfFacteurs d''Intensité de Contraintes'); % Français

xlabel('\fontsize12\rm\zeta_o');

%xlabel('\fontsize12\rmz_o\fontsize12(\rho''/b)^1/4 ');

ylabel('\fontsize12\rmK _I , K _II , K _III / \mu b^1/2');

legend(' \fontsize12\rm K _I / \mu b^1^/^2 ' ,...

' \fontsize12\rm K _II / \mu b^1^/^2 ' ,...

' \fontsize12\rm K _III/ \mu b^1^/^2 ')

stp = 1;

% END OF KINTEG

function [image_force] = imagf(kII,kI,kIII,mu,nu,Xbar,Zbar,Zsta,Zred)

% 1 2 3 4 5 6 7 8


ANEXO 171

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

% Function IMAGF(kII,kI,kIII, mu,nu,Xbar,Zbar,Zsta,Zred) calculates and plots

% the reduced image force acting on the emmission point based on the stress

% intensity factors.

%

%


%

%

% kI - vector of KI /[mu * sqrt(b)] distribuition along Zsta;

% kII - vector of KII /[mu * sqrt(b)] distribuition along Zsta;

% kIII - vector of KIII/[mu * sqrt(b)] distribuition along Zsta;

% mu - shear's modulus;

% nu - Poisson's coefficient;

% Xbar -

% Zbar -

% Zsta - adimensional coordinates along zeta-dir.

%

%

% Output variables is the image force acting on the emission point

% image_force.

%

% Image force is obtained by expression:

%

% image_force / mu * b = (kI^2/hI) + (kII^2/hII) + (kIII^2/hIII)

%

% where hI, hII & hIII are constants HI, HII & HIII normalized by mu.

%

%

% Image force must be computed for each and every point along Z-dir., hence

% a loop must be carried on.

%

%

%

% Calculate hI, hII, & hIII constants:

%

% - for plane strain:

%


ANEXO 172

% HI = HII = 2 * (1 + nu) * mu => hI = hII = 2 * (1 + nu);

%

% and

%

% HIII = 2 * (1 - nu^2) * mu => hIII = hI * (1 - nu);

%

hI = 2 * (1 + nu);

hII = hI ;

hIII = hI * (1 - nu);

state = 'Estado plano de deformacao'; % Português

%state = 'Plane strain' ; % English

%state = 'Deformations planes' ; % Français

%

% - for plane stress:

%

% HI = HII = 2 * mu / (1 - nu) => hI = 2 / (1 - nu);

%

% and

%

% HIII = 2 * mu => hIII = 2.

%

%hIII = 2 ;

%hI = hIII / (1 - nu);

%hII = hI ;

%state = 'Estado plano de tensoes'; % Português

%%state = 'Plane stress' ; % English

%%state = 'Contraintes planes' ; % Français

% Find squares of SIF's:

nz = length(Zsta);

kI2 = kI.^2;


ANEXO 173

kII2 = kII.^2;

kIII2 = kIII.^2;

image_force = [];

for iK = 1:1:nz

i_f(iK) = kI2(iK) / hI + kII2(iK) / hII + kIII2(iK) / hIII;

end;

image_force = i_f;

figure (30)

plot(Zred,image_force)

grid on

set(gca,'XDir','reverse')

title('\fontsize14\bfForça Imagem Reduzida'); % Português

%title('\fontsize14\bf Reduced Image Force'); % English

%title('\fontsize14\bf Force Image Réduite'); % Français

xlabel('\fontsize12\rm\zeta_o');

%xlabel('\fontsize12\rmz_o\fontsize14(\rho''/b)^1/4 ');

ylabel('\fontsize12\rmf / \mu b')

%legend(' \fontsize12\rm K _I / \mu b^1^/^2 ' ,...

% ' \fontsize12\rm K _II / \mu b^1^/^2 ' ,...

% ' \fontsize12\rm K _III/ \mu b^1^/^2 ')

% END OF IMAGF

function [d,Xn,Zn,Xd,Zd,Xbp,Zbp,A] = displace(b,d,XN,ZN,l_vecX,l_vecZ,B1,...

p,lambda,rhop,ni)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890


ANEXO 174

% Function DISPLACE(B,D,XN,ZN,L_VECX,L_VECZ,B1,P,LAMBDA,RHOP,NI) calculates the

% distance achieved by the dislocation loop relative to its last position. It

% also calculates the baricenter coordinates for the elements ahead of the

% crack's edge.

%

%

%


%

%


% d = dislocation loop position relative to point of emission, E;

% XN - adimensional coordinates of contour points in csi-direction;

% ZN - adimensional coordinates of contour points in zeta-direction;

% l_vecX -

% l_vecZ -

% B1 - transformation matrix between slip plane coordinates and crack

% propagation coordinates;

% p - vector p;

% lambda - vector lambda;


% ni - power for iteration.

%

%

% area of loop influence to be

% omitted from calculations

% at each step

% |

% \|/

% | + | x

% B'o---------.A"\|A' /

% | | | \ | /

% | x | .\ \| / <-loop

% B o-------------|A / - -- -- --- --| \ | / path

% | | / | | .\ \| /

% | | / <-loop | | | \ |/ X

% | | / path -------+---------.---o-------

% | | / | | |d /|E' dx

% | |/ X | | . / |


ANEXO 175

% -----+-------------o------- -- -+- -|- -- -- -+- -+- -- --

% | |E | | | dy|

% | | . | .\ \|

% | | | C'o---------+D"-|D'

% | | . . |

% | | | | |

% C o-------------|D - -- -- -- --. |

% |Z | |Z

%

% Initial position Displaced position

%

%

%

% Distance d is measured in the x-direction (intersection od sli plane and

% crack propagation plane. Its length is the Burgers vector length.

%

%

%

%

%

plen = length(p) ;


len_b = norm(b,2) ;

l_Xl0 = l_vecX(1);

l_XPi_2 = l_vecX(2);

l_Zl0 = l_vecZ(1);

l_ZPi_2 = l_vecZ(2);

l_vecX = [ l_XPi_2

l_Xl0 ];

l_vecZ = [ l_ZPi_2

l_Zl0 ];

if (ni >= 2)


ANEXO 176

XN = -XN;

end;

XPi_2 = XN (1:l_XPi_2);

Xl0 = XN((l_XPi_2 + 1):(l_XPi_2 + l_Xl0));

ZPi_2 = ZN (1:l_ZPi_2);

Zl0 = ZN((l_ZPi_2 + 1):(l_ZPi_2 + l_Zl0));

Xbp = [];

Zbp = [];

Zap = [];

Zrp = [];

dx = d(1);

dy = d(2);

dz = d(3);

% Make displacement equal to length of Burgers' vector

ndx = B1(1,1) * (len_b * (2 ^ (ni - 1)) / rhop) ;

ndz = B1(1,3) * (len_b * (2 ^ (ni - 1)) / rhop) ;

nd = [ ndx 0 ndz ];

d = [ dx + ndx 0 dz + ndz ];

% Coordinates of contour points shifted from their original place

csiCp = XN + ndx * ones( size(XN) );

zetaCp = ZN + ndz * ones( size(ZN) );

XPi_2p = csiCp(1:l_XPi_2);

Xl0p = csiCp((l_XPi_2 + 1):(l_XPi_2 + l_Xl0));

ZPi_2p = zetaCp(1:l_ZPi_2);

Zl0p = zetaCp((l_ZPi_2 + 1):(l_ZPi_2 + l_Zl0));


ANEXO 177

figure(7)


axis equal

grid on

hold on

plot (XPi_2p,ZPi_2p,'rx')

plot (Xl0p ,Zl0p ,'bx')

% Determine mesh to be subtracted from original area

% i. Get Z extrema

% zeta_min = min(ZPi_2);

% zeta_max = max(Zl0) ;

% zetap_min = min(ZPi_2p);

% zetap_max = max(Zl0p) ;

% zeta_MIN = .5 * (zeta_min + zetap_min);

% zeta_MAX = .5 * (zeta_max + zetap_max);

% ZPi_2p(1) = zeta_MIN;

% Zl0p(l_ZPi_2 + l_ZRpa + l_Zl0) = zeta_MAX;

% ii. Find coordinates of vertices of the subtracted elements, their

% baricenters and element areas:

Xp = [ -XPi_2p

- Xl0p ];

Xpp = [ -XPi_2

- Xl0 ];

Zp = [ ZPi_2

Zl0 ];

Zpp = Zp ;

stp = 1;


ANEXO 178

Xn = Xp;

Zn = Zp;

Xd = -XN;

Zd = ZN;

for iB = 1:1:(length(Xp)-1)

Xbp(iB) = .25 * (Xn(iB) + Xd(iB) + Xn(iB+1) + Xd(iB+1));

Zbp(iB) = .25 * (Zn(iB) + Zd(iB) + Zn(iB+1) + Zd(iB+1));

A(iB) = abs(Xn(iB) - Xd(iB)) * abs(Zn(iB+1) - Zn(iB));

end;

figure(80)


axis equal

grid on

hold on

plot(Xn,Zn,'rx')

plot(Xd,Zd,'b+')

plot(Xbp,Zbp,'ko')

% END OF DISPLACE

function [KII,KI,KIII] = neg_Kinteg(Xbar,Zbar,Sb12,Sb22,Sb23,KII,KI,KIII,...

Zsta,elsurf,p,lamb,rhop,b,d,mu,nu)

% 1 2 3 4 5 6 7 8

%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890


ANEXO 179

% Function NEG_KINTEG(XBAR,ZBAR,SB12,SB22,SB23,dPb,dQb,dRb,rhop,b,mu,nu) cal-

% culates the distribution of KI, KII and KIII along z-coordinate direction by

% using stresses in [s12,s22,s23] and due to the negative area where these

% stress actuate.

%


%

% (Xbar,0,Zbar) - coordinates (cleavage plan) of elements' baricenter;

% [Sb12,Sb11,Sb23] - stresses at the elements' baricenter in the cleavage

% plan coordinate system (= [Sxx Sxy Syz]);

% elsurf - vector of the area of each element;

% p, lamb - parameters;



% d - loop displacement;

% mu - shear modulus;

% nu - Poisson's coefficient.

%

% Output variables are the stress intensity factors KI, KII and KIII, as well

% as the graphics of Syy, Sxy and Syz at the baricenter of each element.

%

%

% Function KINTEG calculates SIF by summation rather performing a formal

% integration.

% Over the crack plane, stress component distributions are assumed as a linear

% variations of the exact values calculated at each node of the mesh elements.

% Over each element, stresses are assumed as constants and acting on their

% baricenters. Their values are the arithmetic averages calculated using the

% exact values at the four nodes of each element.

%

% Points along z-axis for which SIF are to be calculated are assumed to be

% coincident with the elements' z-coordinate baricenter, Zbar. Elements in the

% mesh are considered as regular quadrilaterals.


ANEXO 180

%

% Intermediate variables are as follows:

%

% .For an element e, delimited by nodes I,J,K,L and sides IJ,JK,KL,LI:

%

% - Baricenter coordinates:

%

% Xbar = (1/4) * (xI + xJ + xK + xL)

%

% Zbar = (1/4) * (zI + zJ + zK + zL)

%

% - Stresses (Syy,Sxy,Syz) at the baricenter:

%

% sige = (1/4)* (sigI + sigJ + sigK + sigL)

%

% with sig = [Syy Sxy Syz]

%

%

%

% For each station N(0,0,zzer), integration is assumed as a summation over the

% entire crack surface, which is semi-infinite in x-direction (-Inf < x < 0)

% and infinite in z-direction (-Inf < z < +Inf), as follows:

%

%

% | K II |

% | | e=E

% SIF = | K I | = sp2 * sum A(e) * m * F(e) * sig(e) ,


ANEXO 181

% | | e=1 ~ ~ ~

% | K III |

%

% where

%

% sp2 = sqrt(2 * N)/pi² ,

%

% | 1 0 0 f 0 |

% m = | 0 1 0 0 0 | ,

% ~ | 0 0 1 0 f |

%

%

% f = 2 * nu / (2 - nu) ,

%

%

% | F1 0 0 |

% | 0 F1 0 | 1

% F = | 0 0 F1 | = - * [ F(Zzer) + F(ZZer-1) ]

% ~ | F2 0 F3 | 2 ~ ~

% | F2 0 -F2 |

%

%

% F1 = sqrt(Xbar) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²] ,

%

%

% F2 = sqrt(Xbar) * [Xbar² - (Zzer - Zbar)²] / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,

%

%

% F3 = 2 * (Zzer-Zbar) * sqrt(Zbar³) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,

%

%

% sig(e) = [ Sxybar(e) Syybar(e) Syzbar(e) ]' .

% ~

%

%

% Note: Since Xbar is always negative (-Inf < Xbar < 0), its value has been

% assumed as


ANEXO 182

%

%

% Xbar = abs(Xbar)

%

% for calculating its square root.

%

%

%

% Basic parameters for calculations

% Number of coordinates

Ae = elsurf;

plen = length(p);

%llen = length(lamb);

lelem = length(Ae);

dz = d(3);

% Calculate stress vector components at each baricenter

for iE = 1:1:lelem

% for il=1:1:llen-1

Se = Ae(iE);

dPb(iE) = Sb22(iE) * Se;

dQb(iE) = Sb12(iE) * Se;

dRb(iE) = Sb23(iE) * Se;

% end;


ANEXO 183

end;

%% Draw forces

%figure(31)

%hold on

%axis image

%surf(X,Z,rts*dP')

%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dP',60)


%rotate3d

%%axis square

%shading interp

%grid on;



%title ('\fontsize14Forca dP nos Nos dos Elementos') % Português

%%title ('\fontsize14Force dP at the Elements Nodes' ) % English

%%title ('\fontsize14Force dP aux Noeuds des Elements') % Français

%%pause;

%figure(32)

%hold on

%axis image

%surf(X,Z,rts*dQ')

%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dQ',60)


%rotate3d

%%axis square

%shading interp

%grid on;



%title ('\fontsize14Forca dQ nos Nos dos Elementos') % Português

%%title ('\fontsize14Force dQ at the Elements Nodes' ) % English

%%title ('\fontsize14Force dQ aux Noeuds des Elements') % Français

%%pause;

%figure(33)


ANEXO 184

%hold on

%axis image

%surf(X,Z,rts*dR')

%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dR',60)


%rotate3d

%%axis square

%shading interp

%grid on;



%title ('\fontsize14Forca dR nos Nos dos Elementos') % Português

%%title ('\fontsize14Force dR at the Elements Nodes' ) % English

%%title ('\fontsize14Force dR aux Noeuds des Elements') % Français

%%pause;

a = 1;

blen = norm(b,2);

mlenb = mu * blen;

msqb = mu * sqrt(blen);

N = rhop / blen;

sp2 = sqrt(2 * N) / (pi * pi);

f = 2 * nu / (2 - nu);

m = [ 1 0 0 f 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 f ];

% Calculates KI, KII and KIII as vectors to be plotted

% Find Zmin and Zmax

ndiv = 5.000e002; % This section establishes the number of

% stations where SIF's are to be

% calculated; the domain of integration

%Zmax = max( max(Zbar) );

%Zmin = min( min(Zbar) );

%Zinc = abs(Zmax-Zmin)/ndiv; % points along Zeta-dir is given by


ANEXO 185

%Zsta = Zmin:abs(Zmax-Zmin)/ndiv:Zmax; % [Zmin = - 10 < zeta < Zmax = + 10];

%Zsta = fliplr(Zsta); % Zsta is the vector of stations along

% zeta where SIF's are calculated.

%

%Zround = adround(Zsta,Zinc); % Round-off of Zo values to obtain

%Zsta = Zround; % exact increments in Z-dir.

nz = length(Zsta);

% Establish coordinates of points along Z-dir where SIF's will be calculated

dK = [];

% Loop over points on z-axis

for iK=1:1:nz

Zzer = Zsta(iK) + dz; % Z-coord of Station iK

elpl_K = zeros(3,1);

% Loop over p

for jE = 1:1:lelem

S1 = [ Sb12(jE)

Sb22(jE)

Sb23(jE) ];

ell_K = zeros(3,1);

% Loop over lambda

% for kK=1:1:llen-1

Se = Ae(jE);

xb2 = Xbar(jE)^2;

sqxb3 = sqrt(abs(Xbar(jE))*xb2);

sqxb = sqrt(abs(Xbar(jE)));

% zdif = abs(Zzer - Zbar(kK,jK));


ANEXO 186

zdif = (Zzer - Zbar(jE));

zdif2 = zdif * zdif;

u = xb2 + zdif2;

u2 = u * u;

v = xb2 - zdif2;

F1 = sqxb / u ;

F2 = sqxb * v / u2 ;

F3 = 2 * zdif * sqxb3 / u2 ;

F = [ F1 0 0

0 F1 0

0 0 F1

F2 0 F3

F2 0 -F2 ];

ell_K = ell_K + (Se * m * F * S1);

%

% end;

end;

dK = [ dK ell_K ];

if iK == nz

stp = 1;

end;

end;

KIzer = 0.;

for iK=1:1:nz


ANEXO 187

% Zzer = Zsta(iK); % Z-coord of Station iK

% Zzerl1 = Zsta(iK-1); % Z-coord of Station iK-1

% Zzerd = abs(Zzer - Zzerl1); % Integration step

% dKmed = (1/2) * (dK(:,iK) + dK(:,iK-1));

% SIF = SIF + Zzerd * dKmed;

KII(iK) = KII(iK) - dK(1,iK) * sp2; % Reduced values of

KI(iK) = KI(iK) - dK(2,iK) * sp2; % the stress intensity

KIII(iK) = KIII(iK) - dK(3,iK) * sp2; % factors

%

% Choose KI max

%

if (iK > 1)

if(abs(KI(iK)) > abs(KIzer))

KIzer = KI(iK);

end;

end;

end;

%sqsqN = N^(.25);

sqsqN = 1.;

Zred = Zsta * sqsqN; % Reduced z-coordinates

figure(6)

hold on

plot(Zred,KI,'r',Zred,KII,'b-.',Zred,KIII,'m:')

%grid on

%set(gca,'XDir','reverse')

%title('\fontsize14\bfFatores de Intensidade de Tensão'); % Português

%%title('\fontsize14\bfStress Intensity Factors'); % English

%%title('\fontsize14\bfFacteurs d''Intensité de Contraintes'); % Français

%xlabel('\fontsize12\rm\zeta_o');


ANEXO


188

%%xlabel('\fontsize12\rmz_o\fontsize12(\rho''/b)^1/4 ');

%ylabel('\fontsize12\rmK _I , K _II , K _III / \mu b^1/2');

%legend(' \fontsize12\rm K _I / \mu b^1^/^2 ' ,...

% ' \fontsize12\rm K _II / \mu b^1^/^2 ' ,...

% ' \fontsize12\rm K _III/ \mu b^1^/^2 ')

stp = 1;

% END OF NEG_KINTEG

Interação trinca-discordância

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