Infinitesimos equivalentes

Definicion. Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes si lımn→∞

an

bn= 1, y

se escribe an ∼ bn.

Por ejemplo, la sucesion n! es equivalente a la sucesion√2πne−nnn.

Definicion. Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lımn→∞

an = 0. Dos sucesiones

{an} y {bn} se denominan infinitesimos equivalentes y se escribe an ∼ bn si lımn→∞

an = 0,

lımn→∞

bn = 0 y lımn→∞

an

bn= 1.

Teorema. Si {an} es una sucesion infinitesimal, entonces:

1. sen an ∼ an.

2. tan an ∼ an.

3. arc sen an ∼ an.

4. arctan an ∼ an.

5. 1− cos an ∼a2n2.

6. (1 + an)α − 1 ∼ α an.

7. ean − 1 ∼ an, ban − 1 ∼ an ln b .

8. ln(1 + an) ∼ an, logb(1 + an) ∼ an logb e .

Definicion. Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan equivalentes en

x = a si lımx→a

f(x)

g(x)= 1, y se escribe f(x) ∼ g(x) cuando x tiende a a.

Definicion. Una funcion f : A 7→ R se denomina infinitesimal en x = a si lımx→a

f(x) = 0.

Por ejemplo, f(x) = x2 es infinitesimal en x = 0 y f(x) = sen(x−2) es infinitesimalen x = 2.

Definicion. Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan infinitesimos

equivalentes en x = a si lımx→a

f(x) = 0, lımx→a

g(x) = 0 y lımx→a

f(x)

g(x)= 1 y se escribe

f(x) ∼ g(x) cuando x tiende a a.

Definicion (o pequena). Dados dos funciones f y g infinitesimales en cierto x = a,

diremos que g(x) es un infinitesimo de orden mayor que f(x) en x = a si lımx→a

g(x)

f(x)= 0

y se escribe g(x) = o(f(x)) cuando x tiende a a.

Por ejemplo, la funcion x2 es un infinitesimo de mayor orden que x en x = 0, esdecir x2 = o(x), y la funcion x3 es un infinitesimo de mayor orden que x3/2 en x = 0,o sea, x3 = o(x3/2). Ademas se tiene que:

1. Para todo m ∈ R, m · o(x) = o(x),

2. La suma de un numero finito infinitesimos equivalentes es un infinitesimo,

3. El producto de un numero finito de infinitesimos es un infinitesimo de ordensuperior.

Teorema. Si x tiende a 0, entonces:

1. sen x ∼ x.

2. tanx ∼ x.

3. arc sen x ∼ x.

4. arctanx ∼ x.

5. 1− cos x ∼ x2

2.

6. (1 + x)α − 1 ∼ αx.

7. ex − 1 ∼ x, bx − 1 ∼ x ln b .

8. ln(1 + x) ∼ x, logb(1 + x) ∼ x logb e .

Utilizando esta notacion los infinitesimos del teorema anterior se podran reescribir dela forma:

1. sen x = x+ o(x).

2. tanx = x+ o(x).

3. arc sen x = x+ o(x).

4. arctanx = x+ o(x).

5. 1− cos x =x2

2+ o(x2).

6. (1 + x)α − 1 = α x+ o(x).

7. bx − 1 = x ln b+ o(x) .

8. logb(1 + x) = x logb e+ o(x) .

Definicion (O grande). Dos funciones f : A 7→ R y g : A 7→ R se denominan compa-

rable o del mismo orden en x = a si lımx→a

f(x)

g(x)= l, donde l 6= 0, |l| < ∞ y se escribe

f(x) = O(g(x)) o g(x) = O(f(x)) cuando x tiende a a.