I limiti

La definizione:

Il significato della definizione

La verifica

Applicazione: la ricerca degli asintoti di una funzione

lxfxx

0

lim

La definizione:

Data una funzione , con

punto di accumulazione per il

dominio, si dice che:

( l reale)

se per ogni ε esiste un intorno

I di tale che:

ε

per ogni

xf

lxfxx

0

lim

0x

lxfxx

0

lim

0

0x

lxf

., 0xxIx

Il significato della definizione

Fissiamo nel grafico un ε .

Individuiamo un intorno I di

tale che:

f (x) ] l – ε ; l + ε [

per ogni

0

0x

., 0xxIx

Se riduciamo ε siamo costretti

a scegliere un intorno di

più piccolo.

0x

Più piccolo scegliamo ε, più

piccolo diventa l’intorno I.

In ogni caso troviamo sempre

un intorno di tale che

per ogni x di quell’intorno

f (x) è molto vicino a l.

0x

La verifica

Verifichiamo che

Tracciamo il grafico

Proviamo che scelto ε

esiste un intorno I di 3 per ogni x

del quale (escluso al più 3) vale:

ε

.63

9lim

2

3

x

xx

,0

.3

92

x

xy

63

92

x

x

ε ε

3 – ε < x < 3 + ε

In conclusione:

considerato l’intorno di 6:

]6 – ε ; 6 + ε [

esiste l’intorno I di 3:

I = ]3 – ε ; 3 + ε [

i cui punti x (x ≠ 3) hanno

immagine nell’intorno di 6.

3x 3 x

3 x

63

92

x

x

La ricerca degli asintoti di una funzione

AsintotoLa retta r è detta asintoto del

grafico della funzione f (x) se:

la distanza di un generico punto P(x; f (x)) da tale retta tende a zero quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a infinito, cioè:

per x → ∞ oppure

per f (x) → ∞ .

PH

0PH

L’asintoto verticale

Data la funzione y = f (x), se:

si dice che la retta x = c è

asintoto verticale del grafico

della funzione.

xfcx

lim

L’asintoto orizzontale

Data la funzione y = f (x), se:

si dice che la retta y = q è

asintoto orizzontale del grafico

della funzione.

qxfx

lim

L’asintoto obliquo

Data la funzione y = f (x), se:

si dice che la retta y = mx + q è

asintoto obliquo del grafico della

funzione.

)]([lim qmxxfx

;lim

x

xfm

x

].[lim mxxfqx