Matematisk statistik f or¨ D, I, P och Fysiker - Lu · 2018. 9. 4. · I 3 Godk anda f¨...

Intro Info Kursplan Sannolikhetsteori Beroende

Matematisk statistik forD, I, Π och Fysiker

Forelasning 1

Johan Lindstrom

4 september 2018

Johan Lindstrom - [email protected] FMSF45/MASB03 F1 2/29

Intro Info Kursplan Sannolikhetsteori Beroende Tillampningar Arbetsmarknad Exjobb

Matematisk statistik – slumpens matematik

Sannolikhetsteori: Hur beskriver man slumpen?

Statistikteori: Vilka slutsatser kan man dra av ettdatamaterial?



Tillampningar for matematisk statistik

www.etc.se/inrikes/stopp-forsakringar-i-klimatkansliga-omraden



Kostnad stormskador



Oversvamningar — Sodra Nederlanderna 1953



OMXS30 aktieindex

1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 2009

200

400

600

800

1000

1200

1400

OMXS30



EKG och R-R variation



Careercast — The Best Jobs of 2017 & 2018

20171. Statistician

2. Medical Services Manager

3. Operations Research Analyst

5. Data Scientist

7. Mathematician

20181. Genetic Counselor

2. Mathematician

3. University Professor

5. Statistician

7. Data Scientist

9. Operations Research Analyst

10. Actuary

Mathematicians and Data Scientists both can find lucrativeopportunities in the tech space parsing and analyzing collecteddata.



Exjobb — LUP Student Papers VT-18 (ett urval)

Machine Learning:I Artificial Neural Network Modelling of Intensive Care

MortalityI Evaluation of Data Augmentation of MR Images for Deep

Learning

Finans & risk:I Pricing fixed price electricity contracts in the Nordic regionI Modelling Probability of Default in the Nordics

Signalbehandling:I Classification of bird syllables in noisy environments using

multitapersI Efficient Estimation of Decaying Sinusoids with Application

in NMR Spectroscopy

Modellering:I Road modelling using LiDAR-dataI Spatio-Temporal Modelling of Air Pollution in Malta


Intro Info Kursplan Sannolikhetsteori Beroende Fardighetstest

Praktiska detaljer

I Kursen gar over 2 lasperioderI 1+ forelasning i veckan (2 i vecka 2 & 5).I 1 rakneovning i veckanI Mycket sjalvstudietid (>10 h per vecka).I Examination:

I 3 Godkanda fardighetstest (2 i LP2, 1 i LP3).I 4 Godkanda datorovningar (2 i LP1, 2 i LP2).I Tentamin 2019-01-17

I Kurshemsida:www.maths.lth.se/matstat/kurser/fms012/pie/

I Forelasare: Johan Lindstrom, MH319



Forkunskapskrav

For att fa lasa kursen maste man ha klarat 12 hogskolepoanginom:

I Linjar algebra (FMA420, FMAA20I Endimensionell analys (FMAA01, FMAA05)I Flerdimensionell analys (FMA430, FMA435)

innan kursen startar.



Fardighetstest & Datorovningar

I Fardighetstest i Mozquiztohttp://quizms.maths.lth.se/

I Logga in med StiL-identitetI Testen skall klaras (6 av 10) senast:

I 2018-09-24, Mandag lv 4I 2018-10-15, Mandag lv 7I 2018-12-10, Mandag lv 6

I Handledning pa ovningarna och i datorsal.I Redovisningen sker i Mozquizto senast

I 2018-10-03, Onsdag lv 5I 2018-10-24, Onsdag lv 8I 2018-12-05, Onsdag lv 5I 2018-12-19, Onsdag lv 7


Intro Info Kursplan Sannolikhetsteori Beroende

Kursinnehall — En oversikt

Lasperiod 1 — SannolikhetsteoriI Grundlaggande begreppI Modeller for slumpmassiga handelserI Rakneregler for slumpmassiga handelser

Lasperiod 2 — StatistikI Hur anpassar vi modeller till data?I Hur bra ar anpassningen?I Vad kan vi dra for slutsatser fran data?I Finns det samband mellan olika datamaterial?


Intro Info Kursplan Sannolikhetsteori Beroende Ex Kolmogorov Frekvens

Grundlaggande begrepp (Kap. 2.2)

I Utfall – resultatet av ett slumpmassigt forsok.Bet. ω1,ω2, . . .

I Handelse – en samling av ett eller flera utfall.Bet. A,B, . . .

I Utfallsrum – mangden av mojliga utfall.Bet Ω

Exempel: TarningskastUtfallsrum Ω {1:a,2:a,3:a,4:a,5:a,6:a}Utfall ω1 1:aHandelse A ”Minst 4:a” = {4:a,5:a,6:a}

Utfallsrum vid kast av tva tarningar?



Exempel

Kasta en tarning och definera handelsernaI A : ”Minst 4:a” = {4:a,5:a,6:a}I B : ”Hogst 5:a” = {1:a,2:a,3:a,4:a,5:a}I C : ”3:a” = {3:a}

Vad ar:

1. A ∩ B?

2. A ∪ B?

3. A ∩ C?



Sannolikhet — Bet. P(A)

Kolmogorovs axiomsystem (Kap. 2.3)

0 ≤ P(A) ≤ 1En sannolikhet ar ett tal mellan 0 och 1

P(Ω) = 1Sannolikheten att nagot skall handa ar 1

P(A ∪ B) = P(A)+ P(B)Om och endast om A och B ar oforenliga

Komplementsatsen: P(A∗) = 1− P(A).

Additionssatsen: P(A ∪ B) = P(A)+ P(B)− P(A ∩ B)



Klassiska sannolikhetsdefinitionen (Kap. 2.4)

Om alla utfall ar lika sannolika (likformigt sannolikhetsmatt)ar sannolikheten for en handelse A kvoten mellan antaletgynsamma fall, g, och antalet mojliga fall, m:

P(A) =gm

(=‖A‖‖Ω‖

)

Exempel:Dra tva kort ur en kortlek. Vad ar sannolikheten att bada arhjarter?



Frekvenstolkning av sannolikhet (Kap. 2.4)

Upprepa ett slumpmassigt forsok n ganger

Antal ggr A intraffarn

→ P(A), da n→∞

100

101

102

103

104

105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Relativa frekvensen av antal treor

Antal tärningskast

Rel

ativ

frek

vens

1/6?


Intro Info Kursplan Sannolikhetsteori Beroende Bayes Oberoende Flera handelser

Betingad sannolikhet (Def. 2.6)

Sannolikheten att B intraffar givet att vi observerat A ar

P(B | A) =P(A ∩ B)

P(A)

Exempel:Sannolikheten att en slumpmassigt vald

I student ar langre an 185 cm?I manlig student ar langre an 185 cm?

Exempel:Dra tva kort ur en kortlek. Vad ar sannolikheten att bada arhjarter?



Satsen om total sannolikhet (Sats 2.9)Om vi har n st handelser H1, . . . ,Hn som ar

I Parvis oforenliga, Hi ∩ Hj = ∅, i 6= j

I Tillsammans tacker utfallsrummet,n⋃

i=1

Hi = Ω

galler for varje handelse A att

P(A) =n∑

i=1

P(A | Hi)P(Hi)

Bayes sats (Sats 2.10)

P(Hi | A) =P(Hi ∩ A)

P(A)=

P(A | Hi)P(Hi)∑ni=1 P(A | Hi)P(Hi)



Exemple: Bayes sats

Om vi traffar en kvinnlig teknolog i arskurs 2, vilken sektionar det mest troligt att hon tillhor?

SektionFEMVKDWI

P(Sek | kvinna)



Data fran LTHs antagningssystem

Sektion P(kvinna | Sek) StudenterF 24.3 181E 38.2 123M 30.5 158V 42.6 155K 58.0 112D 23.7 156W 64.4 59I 36.0 100tot 1044



Lagen om total sannolikhet

Sektion P(kvinna | Sek) P(Sek)F 24.3 17.3E 38.2 11.8M 30.5 15.1V 42.6 14.8K 58.0 10.7D 23.7 14.9W 64.4 5.7I 36.0 9.6tot 36.5

P(kvinna) =∑

i

P(kvinna | Seki) · P(Seki)



Sektion P(♀ | Sek) P(Sek) P(Sek | ♀) P(Sek | ♂)

F 24.3 17.3 11.5 20.7E 38.2 11.8 12.3 11.5M 30.5 15.1 12.6 16.6V 42.6 14.8 17.3 13.4K 58.0 10.7 17.0 7.1D 23.7 14.9 9.7 18.0W 64.4 5.7 10.0 3.2I 36.0 9.6 9.4 9.7tot 36.5

P(Sek | ♀) = P(♀ | Sek) · P(Sek)P(♀)

Klassificering — Exjobb:E. Persson (2018), Aspect-Based Opinion Mining fromSwedish Digital Book Reviews



Oberoende handelser (Kap. 2.7)

Handelserna A och B ar oberoende av varandra⇐⇒

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

For oberoende handelser galler att P(A | B) = P(A).

Obs: Skilj mellan oberoende och oforenliga.

Kan tva oberoende handelser vara oforenliga?



Alla, ingen och nagon (Kap. 2.7)

Om vi har n st oberoende handelser A1, . . . ,An fas foljandesannolikheter for

Alla: P(A1 ∩ · · · ∩ An) =n∏

i=1

P(Ai)

Ingen: P(A∗1 ∩ · · · ∩ A∗

n) =n∏

i=1

(1− P(Ai))

Minst en: P(A1 ∪ · · · ∪ An) = 1−n∏

i=1

(1− P(Ai))



Exempel — Alla, ingen och nagon

Kasta 4 tarningar vad ar sannolikheten att fa:

1. Alla (4 stycken) 3:or?

2. Inga 5:or?

3. Minst ett udda (1:a, 3:a, 5:a) nummer?


Matematisk statistik f or¨ D, I, P och Fysiker - Lu · 2018. 9. 4. · I 3 Godk anda f¨...

Documents

Transcript of Matematisk statistik f or¨ D, I, P och Fysiker - Lu · 2018. 9. 4. · I 3 Godk anda f¨...