COURS N°9 : NOMBRES COMPLEXES – 2NDE PARTIE

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I- FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE

Définition 1 : soit θ un nombre réel. On pose : cos sin

Théorème 1 (admis) : soit et deux nombres réels. Alors :

Définition 2 : soit r un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel. Soit z le nombre complexe de module r et d’argument θ.

est une forme exponentielle de z.

Théorème 2 (admis) : un complexe non nul z possède une infinité de formes exponentielles. Si et sont deux formes exponentielles de z, alors et il existe un entier relatif k tel que 2 .

Théorème 3 (admis) : soit z, z1, z2 trois nombres complexes non nuls de formes

exponentielles respectives , et . Alors : o o o

o Pour tout entier naturel n, o o

Exemples :

o Le nombre complexe z de module et dont un argument est a pour forme

exponentielle : .

o Le nombre complexe z de module et dont un argument est a pour forme

exponentielle : .

Remarque : une exponentielle complexe peut être un réel négatif. ( 1).

Applications :

o Calculs avec les formes exponentielles : Euler n° 755 (inverse) ; 756 (quotient) ; 757 (produit) ; 761 (puissance).

o Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle et inversement : Euler n° 764 et 763.

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o Placer un point dans un repère : Euler n° 1014.

II- FORMULE DE MOIVRE. FORMULES D’EULER Dans ce paragraphe, on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s’utilisent surtout pour transformer des expressions trigonométriques.

1) Formule de Moivre Abraham de Moivre (1667-1754) est un mathématicien britannique d’origine française. Il découvrit sa formule en 1717 en résolvant des équations algébriques issues de la trigonométrie.

Théorème : soit θ un nombre réel et n un entier naturel. Alors :

Démonstration :

Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un argument vaut θ ( ) de la manière suivante : . De plus, pour entier naturel n : cos sin cos sin Ainsi : cos sin cos sin .

Exemple :

2) Formules d’Euler Leonhard Euler (1707-1783) mathématicien et physicien suisse, découvrit l’extraordinaire parenté entre les exponentielles et la trigonométrie vers 1740. Il écrit alors dans son Introduction à l’analyse infinitésimale la fameuse formule

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1 0, qu’Euler appelait la plus belle formule des mathématiques car elle réunit les cinq nombres les plus importants en mathématiques : 0, 1, π, e et i.

Théorème : soit θ un nombre réel. Alors :

Démonstration :

Nous savons : cos sin et cos sin cos sin .

On a : cos sincos sin

En additionnant, puis en soustrayant les deux égalités membres à membres, on obtient les formules d’Euler.

Exemple :

Remarque : les formules d’Euler servent particulièrement lors de la linéarisation de polynômes trigonométriques.

III- TRANSFORMATIONS GÉOMÉTRIQUES ASSOCIÉES

1) Translation

Théorème : soit z, z’ et a des nombres complexes. La transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’, tel que z’ = z + a, est la translation de vecteur ayant pour affixe a.

Démonstration : Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; , , on considère le point A d’affixe a, le point M d’affixe z et le point M’ d’affixe z’. Si on pose , alors : dire que M’ est l’image de M par la translation de vecteur signifie : . Ce qui se traduit en termes d’affixes par : z – z’ = a. D’où le théorème.

« Ajouter un nombre a c’est translater d’un vecteur d’affixe a ».

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Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal ; , , soit A la point d’affixe 2 3 .

Quelle est l’affixe du point B, image du point A par la translation de vecteur 1,2 ? On a 1 2 1 5 .

2) Rotation

Théorème 1 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère orthonormal direct ; , et θ un nombre réel qulconque. Dire qu’un point M d’affixe z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre O et d’angle θ équivaut à dire que : .

Théorème 2 (admis) : on considère un point M quelconque du plan muni d’un repère

orthonormal direct ; , et θ un nombre réel quelconque. Dire qu’un point M d’affixe z a pour image un point M’ d’affixe z’ par la rotation de centre le point Ω d’affixe et d’angle θ, équivaut à dire que : .

Illustration :

Exemple : dans le plan muni d’un repère orthonormal ; , , on considère les points

A et B d’affixes respectives 1 et . Par quelle transformation géométrique le point B est-il l’image de A ? B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle .

Déterminer les coordonnées du point B. 12

√32

12

√32

Donc B a pour coordonnés : √ ; √

Soit le point C d’affixe . Par quelle transformation géométrique le point C est-il l’image de B ? Calculer les coordonnées de C. C est l’image de B par la translation de vecteur d’affixe i, et

« Multiplier par c’est faire tourner d’un angle θ».

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1 √32

3 √32

Donc C a pour coordonnées : √ ; √

Applications : fiche applications cours n°9 (extraits de sujets de bac)