1

2

I fluidi reali

La viscosità

Flussi laminare e turbolento

La resistenza idrodinamica

La lezione di oggi

3

Forze di trascinamento nei fluidi

La legge di Stokes

La centrifuga

La lezione di oggi

4

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

5

Δy"

Definizione operativa di viscosità Domanda: come faccio a tener conto dell’attrito

tra le molecole di un fluido?

Esperimento

Lastra in moto con velocità v

Fluido viscoso (magari miele…)

Lastra fissata a terra di area A

yvηA FΔ

Δ=

6

La viscosità !  η è la viscosità

!  Si misura in Pa.s (pascal x secondo)

!  poise (P) = 0.1 Pa.s (è una unità c.g.s .....)

DIMENSIONALMENTE ]T[ML]/[L][LT

]]/[L[MLTyv/

F/A 111

22−−

−

−

==ΔΔ

Temperatura oC

Olio di ricino (!) Acqua Aria Sangue Plasma

20 0.986 1.005 x 10-3 1.81 x 10-5 3.015 x 10-3 1.810 x 10-3

37 - 0.695 x 10-3 1.87 x 10-5 2.084 x 10-3 1.257 x 10-3

Nota: ηsangue/ ηacqua e ηplasma/ ηacqua rimangono ~ costanti tra 0o e 37o

7

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

8

Un fluido ideale scorre in un condotto

Pareti del condotto

In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo uguale

Tutte le molecole viaggiano alla stessa velocità

9

Un fluido reale scorre in un condotto

Pareti del condotto

In ogni punto, i vettori velocità hanno modulo diverso

Le molecole viaggiano a velocità diverse: "   Vicino alle pareti sono ferme

"   Vicino al centro del tubo sono veloci

10

Il flusso laminare !  Il fluido è reale

!  Non ci sono turbolenze (vedi dopo)

11

Il flusso laminare

Se la velocità al centro è vmax , si trova che la vmedia = 0.5 vmax

PORTATA Q = Avmedia = 0.5Avmax

dove A è l’area della sezione del condotto

12

Caduta di pressione dovuta alla viscosità

!  Tubo orizzontale !  Fluido viscoso !  Lavoro per vincere le forze di viscosità ! l’energia meccanica

non si conserva !  Caduta di pressione

Fluido non viscoso Fluido viscoso

13

Caduta di pressione dovuta alla viscosità

in un tubo cilindrico orizzontale

Legge di Hagen-Poiseuille

Q = ΔPπR4

8ηl

14

Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il

sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi:

1.  Velocità media e massima del sangue

vA Q =

Max v21

v =

== AQ v =⋅

R π1Q 2

m) 10(4.0 πsm 101.0 23-

-13-6

=⋅

⋅ -1-2 ms 102.0 ⋅

-1-2 ms 104.0 ⋅== v 2 vMax

Condizioni al contorno

15

Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il

sangue scorre con una portata di 1.0 cm3/s. Si trovi:

2.  La caduta di pressione in un tratto lungo 10 cm

l η 8R πP Q

4Δ=

sPa 102.084 η -3 ⋅⋅=

Condizioni a contorno

==Δ R π

lQ η 8 P 4 =⋅⋅

⋅⋅⋅⋅ m) 10(4.0π

)sm 10m)(1.0 s)(0.1Pa10(2.084843-

-13-6-3

Pa 1.2

16

Esercizio Una grande arteria di un cane ha raggio interno di 4.0 mm. Il

sangue scorre con una portata di 1 cm3/s. Si trovi:

3.   La potenza necessaria a mantenere la portata

=⋅=ΔΔ⋅=Δ= vFtx/tL/ W F

=⋅⋅⋅ − )ms 100.2)(m )100.4(π)(Pa 1.2( -1222-3

=⋅⋅Δ v)πR(P 2

W101.2 -6⋅

17

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

18

Il flusso turbolento

Dissipazione di energia meccanica

(maggiore rispetto al caso del flusso laminare)

19

Il numero di Reynolds !  I vortici dissipano energia meccanica !  La legge di Hagen-Poiseuille non è più valida !  E’ il dominio della fisica non - lineare !  Uso regole empiriche

!  Definisco il Numero di Reynolds (NR) !  Nel caso di un tubo di flusso di raggio R, NR vale:

ηRv2ρ NR =

Sperimentalmente si trova che: "  NR < 2000: flusso laminare "  2000 < NR < 3000: flusso instabile (può cambiare da laminare ! turbolento "  NR > 3000: flusso turbolento "  esperimento: rubinetto dell’acqua

20

Esercizio Nella grande arteria di un cane, il raggio è 4.0x10-3 m,

la velocità media del sangue 1.99x10-2 ms-1 e la viscosità η = 2.084x10-3 Pa.s.

La densità è ρ = 1.06x103 kg.m-3. Trovare il numero di Reynolds e stabilire

se il flusso sia o meno laminare.

==η

Rv2ρ NR

=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

sPa102.084m) 10)(4.0ms 10(1.99)mkg 10(1.062 3-

-3-1-2-33

81 =

Il flusso è quindi laminare

21

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

22

La resistenza idrodinamica !  Fluido viscoso

!  Condotto con pareti rigide

!  Se voglio una portata Q devo applicare una ΔP

!  Definisco Resistenza di un condotto:

r = ΔPQ

se utilizzo Poiseuille: Q = ΔP π R4

8 η l

Analoga alla resistenza elettrica (legge di Ohm): "  ΔP analoga a ΔV (differenza di potenziale) "  Q analoga alla i (corrente)

r = 8 η lπR4

Unità di misura Pa.s.m-3

23

Esercizio (parte I) Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min. La viscosità del sangue è η = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109 capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di rc = 4 µm, determinare:

1.  La velocità media del sangue nell’aorta

2.  La velocità massima del sangue nell’aorta

3.  La velocità media del sangue nei capillari

24

Domanda 1 La velocità media del sangue nell’aorta

mediaA v Q =

vmedia = QA

= Qπ R2 =

5 lmin

!

"#

$

%& 10-3 m3

l!

"#

$

%& 1 min

60 s!

"#

$

%&

(3.14)(10-2 )2 = 2.65 ⋅10-1 m/s

Esercizio

mediamax v2 v ⋅=

vmax = 2 ⋅vmedia = 2 ⋅ (2.65 ⋅10-1 m /s) = 5.3⋅10-1 m/s

Domanda 2 La velocità massima del sangue nell’aorta

25

( ) 2269capillari m 0.251 m) 104(π)10(5 A =⋅⋅⋅⋅= −

L’area dei capillari si ottiene moltiplicando

l’area di 1 capillare per l’area del singolo capillare

La portata è costante per l’equazione di continuità

mediaA v Q =

vmedia = QAcapillari

= 5 l

min!

"#

$

%& 10-3 m3

l!

"#

$

%& 1 min

60 s!

"#

$

%&

0.251 m2 = 0.33 mm/s

Domanda 3

Esercizio

26

Nell’aorta umana di raggio interno ra = 1 cm, la portata del sangue è Q = 5 l/min. La viscosità del sangue è η = 4.75.10-3 Pa.s. Se vi sono 5.109 capillari nel letto vascolare dell’aorta, e ciascuno di essi ha un raggio interno di rc = 4 µm, determinare: 4.  La perdita di carico (ΔP/l) nell’aorta

5.  La perdita di carico media dei capillari nel letto vascolare dell’aorta

6.  La resistenza idrodinamica per unità di lunghezza nell’aorta

7.  La resistenza idrodinamica media per unità di lunghezza in ciascun capillare

Esercizio (parte II)

27

l η 8R πP Q

4Δ=

ΔPl

= 8 η Qπ R4 =

(8)(4.75 ⋅10-3) 5 lmin

#

$%

&

'( 10-3 m3

l#

$%

&

'( 1 min

60 s#

$%

&

'(

(3.14)(10−2 )4 = 100 N/m3

Domanda 4 Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nell’aorta

Esercizio

28

l η 8R πP Q

4Δ=

3546

14-3

4 N/m 108 )104)(14.3(

)107.1)(10(8)(4.75 R π

Q η 8 lP

⋅=⋅

⋅⋅==

Δ−

−

/sm 101.7 105

s 60min 1

lm10

minl 5

Q 314-9

33-

capillare ⋅=⋅

"#

$%&

'""#

$%%&

'"#

$%&

'

=

Domanda 5 Applico Poiseuille per calcolare la ΔP/l nei capillari, sapendo che la portata in ciascun capillare è data da

Esercizio

29

r/l = 8 ηπR4 = (8) ⋅ (4.75 ⋅10-3)

(3.14) ⋅ (10-2 )4 = 1.2 ⋅106 N ⋅s ⋅m-6

Domanda 6 Applico Poiseuille per calcolare la r/l nell’aorta

Esercizio

r =�p

Q

Q =�p⇡R4

8⌘l

r

l=

8⌘

⇡R4

30

r = ΔPQ

r/l = 8 ηπR4e usando Poiseuille

r/l = 8 ηπR4 = (8) ⋅ (4.75 ⋅10-3)

(3.14) ⋅ (4 ⋅10-6 )4 = 4.73⋅1019 N ⋅s ⋅m-6

Domanda 7 Applico Poiseuille per calcolare la r/l, usando il

raggio del capillare

Esercizio

31

Nei fluidi reali l’attrito tra le molecole causa dissipazione dell’energia meccanica che è maggiore quando si instaurano fenomeni di turbolenza

Riassumendo fin qui…

32

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

La legge di Stokes

33

�!F

�!v�!F A

�!F

�!F

�!F A �!v

�!F

�!F A

�!v lim

�!F A +

�!F = 0

Un oggetto è immerso in un fluido viscoso, inizialmente in quiete. Se su di esso agisce una forza F, l’oggetto accelera.

Per effetto della viscosità,sull’oggetto inizia ad agire una forza di attrito viscoso FA

La velocità cresce e con essa cresce la forza di attrito viscoso

La velocità raggiunge un valore limite (e rimane costante) quando la forza di attrito viscoso eguaglia la forza esterna.

34

La legge di Stokes

vR η π6 - FA =

Quando la particella

ha forma sferica e raggio R

35

!  Viscosità

!  Flusso laminare

!  Flusso turbolento

!  Resistenza idrodinamica

!  La legge di Stokes

!  La centrifuga

36

Velocità limite ! Moto rettilineo uniforme ! Accelerazione = 0 ! Risultante delle forze 0 !

Verso la centrifuga... Qual è la velocità massima (ovvero la velocità limite, vT) per una piccola sfera di raggio R, densità ρ che cade in

un fluido di viscosità η e densità ρo ?

Archimede g ρ R π34 A 0

3=

Stokes vη R π6 F Td =

peso g ρ R π34

w 3=

Fd A

w

y

g ρ R π34

g ρ R π34

vη R π6 3o

3T =+

)ρ - (ρ gη

R

92

v o

2

T =Velocità limite

0 wA Fd =−+

37

Esercizio Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci vuole

per ottenere un sedimento di 1.0 cm:

1.  Sotto l’azione dell’accelerazione di gravità della terra ?

Condizioni a contorno

== )ρ - (ρ aη

R

92

v o

2

T

=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅ mkg 10)1.056 - (1.3 )sm (9.81 s)Pa 10(2.084

m) 10(2 92 3-32-

3-

2-6

-1-6 sm 101.0 ⋅⋅=

3hr~s 101.0 sm 101.0

m 10 vs t 4

1-6-

2

⋅=⋅⋅

==−

Tempo di sedimentazione

"  R = 2.0 µm = 2.0.10 -6 m "  S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m "  a = 9.81 m s-2

38

La centrifuga !  Grandi accelerazioni

!  Velocità della molecola dipende da: !  forza di trascinamento viscoso !  massa della molecola m !  fattore geometrico φR della molecola (per la sfera φ=6π)* !  densità della molecola ρ e del mezzo ρ0 !  velocità angolare della centrifuga ω ! accelerazione centripeta a = ω2 r (a>>g)

vs = mϕRη

a (1- ρ0

ρ)Velocità limite

"  Moto rettilineo uniforme "  Spessore del sedimento x = vs ⋅ tcentrifugazione

"  dimostrate la relazione *

Sfera: fattore geometrico

39

vs =m

�R⌘a

✓1� ⇢0

⇢

◆

=) 4⇡

3�=

2

9=) � = 6⇡

=⇢V

�R⌘a

✓1� ⇢0

⇢

◆

Per una sfera

=4⇡

3�

R2

⌘a (⇢� ⇢0) ⌘

2

9

R2

⌘a (⇢� ⇢0)

vs =4⇡R3

3�R⌘a (⇢� ⇢0)

40

Esercizio

Condizioni a contorno "  R = 2.0.10 -6 m "  S = 1.0 cm = 1.0.10-2 m "  a = 9.81.105 m s-2

== )ρ - (ρ aη

R

92

v o

2

T

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅ mkg 10)1.056 - (1.3 )sm 10(9.81 s)Pa 10(2.084

m) 10(2 92 3-32-5

3-

2-6

-1-1 sm 101.0 ⋅⋅=

s 101.0 sm 101.0

m 10 vs t 1-

1-1-

2

⋅=⋅⋅

==−

Tempo di sedimentazione

Un globulo rosso del sangue può essere approssimato a una sfera di raggio 2.0 µm e densità 1.3.103 kg m-3. Quanto tempo ci

vuole per ottenere un sedimento di 1.0 cm: 2.  In una centrifuga con accelerazione uguale a 1.0.105g ?

41

Con la legge di Stokes spieghiamo il funzionamento

della centrifuga

Prossima lezione: I fenomeni molecolari

Riassumendo

42

A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico

lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC, trovare la differenza di pressione necessaria per iniettare la

soluzione a 1.5 g/s

Esercizio

43

A un paziente viene fatta un’iniezione con un ago ipodermico lungo 3.2 cm e di diametro 0.28 mm. Assumendo che la soluzione

iniettata abbia la stessa densità e viscosità dell’acqua a 20 oC, trovate la differenza di pressione necessaria per iniettare la

soluzione a 1.5 g/s

1-36-3-3

-1-3

sm 101.5 mkg 10

skg 101.5t

Δmρ1

tΔV Q ⋅=

⋅

⋅⋅=

Δ=

Δ=

Pa 103.2 R π

Q l η 8 P 54 ⋅==Δ

Esercizio

Quale sarà la forza esercitata sullo stantuffo?