História do Número

Aluno: Rafael Cavalcante

π

O π (pi) é a razão entre o comprimento de

uma circunferência e seu diâmetro, na Geometria euclidiana.

É um número irracional e é uma das constantes matemáticas mais importante.

É empregado frequentemente na matemática, física e engenharia.

O valor numérico de π, truncado em suas primeiras cifras, é o seguinte:

π ≈ 3,14159265358979323846....

Definição

A descoberta deste número magnífico não foi um processo fácil e linear. Muitos foram os matemáticos que dedicaram parte de suas vidas ao seu cálculo. Cada avanço tinha muitas falhas, muitos retrocessos, muitos esforços. O cálculo de pi foi levado a cabo durante muitos séculos por inúmeras razões, quer práticas quer teóricas.

O valor de pi, com 10 casas decimais, é

suficiente para a maioria das "aplicações" práticas. Ocasionalmente, existe a necessidade de aumentar a precisão dos resultados obtidos, contudo não se conhece um único caso, de uma situação prática que requeira o uso de π com mais do que 100 casas decimais. Então, por quê calcular o pi com bilhões de casas decimais?

Antigo Egito

História do cálculo do valor de π

Detalhe do papiro Rhind.

Matemáticos antigos perceberam que havia uma certa proporção entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Eles partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media nove unidades, então dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de oito lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência. O egípcio Ahmes no ano de 1800 a.C., descrito no papiro Rhind, chegou ao valor aproximado de 3,16 há 3500 anos.

Alguns matemáticos mesopotâmicos empregavam, no cálculo de segmentos, valores de π igual a 3, alcançando, em alguns casos, valores mais aproximados, como o de 3 + 1/8 (3,125).

Mesopotamia

O matemático grego Arquimedes (século III a.C.) foi capaz de determinar o valor de π, entre o intervalo compreendido por 3 + 10/71 (~3,1408) como valor mínimo e 3 + 1/7 (~3,1428) como valor máximo. Com esta aproximação de Arquimedes se obtém um valor para π com um erro que oscila entre 0,024% e 0,040% sobre o valor real. O método usado por Arquimedes era muito simples e consistia em circunscrever e inscrever polígonos regulares de n-lados em circunferências e calcular o perímetro de ditos polígonos. Arquimedes iniciou com hexágonos circunscritos e inscritos, e foi dobrando o número de lados até chegar a polígonos de 96 lados.

Antiguidade Clássica

Arquimedes (287 a 212 a.C.)

Antiguidade Clássica

Método de Arquimedes para encontrar dois valores que se aproximem ao número π, por excesso e falta.

Em torno do ano 20 d.C., o arquiteto e

engenheiro romano Vitrúvio calculou π como sendo o valor fracionário 25/8 .

No século II, Claudio Ptolomeu proporciona um valor fracionário por aproximações:

377/120=3,141666...

Antiguidade Clássica

Por volta do ano 120, o astrólogo chinês Chang Hong (78-139) usou a aproximação raiz de (~3,1622) , que deduziu da razão entre o volume de um cubo e a respectiva esfera inscrita. Um século depois, o astrônomo Wang Fang o estimou em 142/45 (3,1555...), ainda que se desconheça o método empregado. Poucos anos depois, por volta do ano 263, o matemático Liu Hui foi o primeiro em sugerir que 3,14 era uma boa aproximação, usando um polígono de 96 ou 192 lados. Posteriormente estimou π como 3,14159 empregando um polígono de 3.072 lados.

Matemática Chinesa

Matemática Chinesa

Método de aproximação de Liu Hui.

No final do século V, o

matemático e astrônomo chinês Zu Chongzhi calculou o valor de π em 3,1415926 ao qual chamou, valor por falta, e 3,1415927, valor por excesso, e deu duas proximações racionais de π: 22/7 e 355/113 , ambas muito conhecidas, sendo a última aproximação tão boa e precisa que não foi igualada por mais de nove séculos.

Matemática Chinesa

Zu Chongzhi (429-500)

No final do século V, o

matemático indiano Aryabhata estimou o valor em 3,1416 usando um polígono regular inscrito de 384 lados.

Matemática Indiana

Pela metade do século VII, estimando incorreta a aproximação de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como , cálculo este muito menos preciso que o de seu predecessor.

Aryabhata (476-550)

Brahmagupta (598-660)

No século IX Al-Jwarizmi em sua "Álgebra" (Hisab al yabr ua al muqabala) faz notar que o homem prático usa 22/7 como valor de π, o geômetra usa 3, e o astrônomo 3,1416. No século XV, o matemático persa Ghiyath al-Kashi foi capaz de calcular o valor aproximado de π com nove dígitos, empregando uma base numérica sexagesimal, o que equivale a uma aproximação de 16 dígitos decimais: 2π = 6,2831853071795865.

Matemática Islâmica

Ghiyath al-Kashi (1350-1439)

A partir do século XII, com o uso de cifras

arábicas nos cálculos, facilitou muito a possibilidade de obter melhores cálculos para π. O matemático Fibonacci, em sua “Practica Geometriae”, amplificou o método de Arquimedes, proporcionando um intervalo mais estreito.

Renascimento Europeu

Fibonacci (1175- 1250)

Renascimento Europeu

Alguns matemáticos do século XVII, como Viète, usaram polígonos de até 393.216 lados para se aproximar com boa precisão a 3,141592653.

François Viète (1540-1603)

Em 1593 o flamengo Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtém uma precisão de 16 dígitos decimais usando o método de Arquimedes.Adrianus Romanus

(1561-1615)

Em 1610 o matemático Ludolph van

Ceulen calculou os 35 primeiros decimais de π. Diz-se que estava tão orgulhoso desta façanha que o mandou gravar em sua lápide. Os livros de matemática alemães, durante muitos anos, denominaram a π como número ludolfiano.

Época Pré-Moderna

Ludolph van Ceulen(1540-1610)

Em 1665 Isaac Newton desemvolve a série:

O matemático inglês John Wallis desenvolveu, em 1655, a conhecida série Produto de Wallis:

Época Pré-Moderna

Em 1671, o matemático escocês James Gregory obteve

a serie infinita (-1 ≤ x ≤ 1)

Passando despercebido por ele que, quando x = 1, a série torna-se:

= 1 -

Em 1699, por sugestão de Edmond Halley, o matemático inglês Abraham Sharp (1651-1742) calculou π com uma precisão de 71 dígitos decimais usando a série de Gregory.

Época Pré-Moderna

Em 1720 o francês Thomas Fantet de Lagny

utilizou o mesmo método para obter uma aproximação de 127 dígitos (só os primeiros 112 eram corretos).

Época Pré-Moderna

Abraham Sharp (1651-1742)

Thomas Fantet de Lagny(1660-1734)

Em 1767, Johann Heinrich Lambert provou que é irracional. Em 1789,Jurij Vega encontrou 140 decimais de π, dos quais

126 eram corretos. Em 1794, Adrien-Marie Legendre mostrou é irracional. Em 1841, William Rutherford calculou 208 decimais, dos

quais 152 eram corretos. Em 1873, William Shanks dedicou cerca de 20 anos a calcular

π e chegou a obter 707 decimais . No ano de 1944, D. F. Ferguson encontrou um erro naposição decimal 528 da série de Shanks, a partir do qual todos os dígitos posteriores eram errôneos.

Em 1947, Ferguson recalculou π com 808 decimais com a ajuda de uma calculadora mecânica.

Época Pré-Moderna

Época Moderna (Era

Computacional)

E, em 2010, um executivo japonês

com um computador construído em casa, calculou o valor do conceito matemático com 5 trilhões de casas decimais e estabeleceu um novo recorde mundial. O computador foi construído por Kondo com peças compradas na internet e em lojas locais de Nagano. Ele usou dois processadores avançados e 20 discos rígidos externos.

Maior já encontrado

Shigeru Kondo

Em geometria• Comprimento da circunferência de raio r: C = 2 π r

Fórmulas que contém π

Áreas de seções cônicas:• Área do círculo de raio r: A = π r²• Área da elipse com semi-eixos “a” e “b”: A = π ab

Fórmulas que contém π

Áreas de corpos de revolução:• Área do cilindro: 2 π r (r+h)• Área do cone: π r² + π r g• Área da esfera: 4 π r²

Fórmulas que contém π

Volumes de corpos de revolução:• Volume da esfera de raio r: V = (4/3) π r³• Vol. de um cilindro reto de raio r e altura h: V = π r² h• Vol. de um cone reto de raio r e altura h: V = π r² h / 3

Fórmulas que contém π

Equações expresas em radianos:• Ângulos: 180 grãos são equivalentes a π radianos.

Em probabilidade• A probabilidade de que dois números inteiros positivos escolhidosao azar sejam primos entre si é: 6/𲕠Se for escolhido ao azar dois números positivos menores que 1, a probabilidade de que junto com o número 1 possam ser os lados de um triângulo obtusângulo é: (π-2)/4• O número médio de formas de escrever um número inteiro positivo como soma de dois quadrados perfeitos é π/4 (a ordem é relevante).

Fórmulas que contém π

Em análise matemática• Fórmula de Lei bniz: • Euler:

• Produto de Wallis:

Fórmulas que contém π

1. O cálculo do Pi com milhões de casas decimais é usado para testes em

computadores e programas (Hardware e software). Uma diferença em um dos algarismos, indica falha nas arquiteturas.

2. Apenas quarenta e sete casas decimais do pi seriam suficientemente precisas para inscrever um círculo em torno do universo visível. Resultado este cujo erro, relativamente à circularidade perfeita, não é maior do que um simples próton.

3. Um dos livros mais aborrecidos, alguma vez escrito, foi: "pi com um milhão de casas decimais".

4. A pior aproximação de sempre do pi, surgiu em 1897 quando a "House of Representatives" , no estado de Indiana, apresentou uma proposta de lei que decretou que o valor de pi era 4.

5. Na Grécia antiga o símbolo p era usado para denotar o número 80. 6. A fracção 22/7 é usada frequentemente como apróximação para o p. A 

fracção que melhor se apróxima de p, embora mais difícil de decorar é 104348/33215.

7. Pi é irracional, ou seja, PI não pode ser expresso através de uma fração.

Curiosidades

Referências